Вход

Отображения в пространстве R(p1,p2)

Реферат по математике
Дата добавления: 23 января 2002
Язык реферата: Русский
Word, rtf, 572 кб
Реферат можно скачать бесплатно
Скачать
Данная работа не подходит - план Б:
Создаете заказ
Выбираете исполнителя
Готовый результат
Исполнители предлагают свои условия
Автор работает
Заказать
Не подходит данная работа?
Вы можете заказать написание любой учебной работы на любую тему.
Заказать новую работу




Отображения в пространстве R(p1,p2)


§1. Пространство R(p1,p2).


А1- аффинная прямая. Отнесем прямую А1 к подвижному реперу r = {a,e}, где а иe соответственно точка и вектор.

Деривационные формулы репера r имеют вид:

d a= e , de= We (1),

причем формы Пфаффа  и W подчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства :

D  = W , DW=WW=0.

Пусть e* - относительная длина вектора e* =e + de + 1/2d2e + 1/6d3e +... по отношению к вектору е. Тогда e* =e*e. Из (1) получаем :e* =1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора e* , близкого к e , по отношению к e.

Пусть R(p1,p2) – пространство всех пар (p1,p2) точек p1,p2 прямой А1. Поместим начало а репера r в середину Q отрезка р1р2, а конец вектора е – в точку р1; при этом р2 совместится с концом вектора -е.

Условия стационарности точек р1 и р2 в таком репере имеют соответственно вид: W+=0, -W+=0.

Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р12) являются формы Пфаффа : W+ , -W+.

Очевидно, что dim R(p1,p2)=2. Заметим ,что в репере r форма 2W является дифференциалом относительной длины отрезка р12*, близкого к р1р2,по отношению к р1р2.


§ 2. Отображение f.


А2 – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R={p,ej}. Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А2 имеют соответственно вид :dp=Wjej ; dej= Wj k;

DWj=Wk^Wkj ; DWj=Wjy^Wyk .

Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение f плоскости А2 в пространстве R(p1,p2):f:A2R(p1,p2).

Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f=2 (1)

Поместим начало Р репера R в точку f-1(p1,p2). Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде :

Q+W=jWj ; Q-W=jWj (2)

Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f-1: R(p1,p2)A2 обратное к f.В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f-1 имеют вид :

Wj=j(Q+W)+j(Q-W) (3)

Из (2) и (3) получаем :

kj+kj=jk

jj=1

jj=1 (*)

jj=0

jj=0

Указанную пару {r;R} реперов пространств А1 и А2 будем называть репером нулевого порядка отображения f.


§3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f.

Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f.

D(?jWj-W-Q)=0,

получаем :

d?j=?kWjk+1\4(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk

D(?jWj+W-Q)=0

получаем :

d?j=?kWjk+1\4(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk

Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид:

Q+W=?jWj

Q-W=?jWj

d?j=?kWjk+1\4(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk

d?j=?kWjk+1\4(?j?k-?k?j)Wk+?jkWj

Из этих уравнений вытекает, что система величин Г1={?j,?j} является геометрическим объектом. Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы (2) :

d?k^Wjk+?kdWjk+1\4(?j?k-?k?j)^Wk+1\4(?j?k-?k?j)dWk+d?jk^Wk+?jkdWk=0.

получим:

(d?jt-?ktWjk-?jkWtk+1\4(?k?jt-?k?jk)Wk+1\16?t?k(?j-?j)Wk)^Wt=0

d?k^Wjk+?kdWjk+1\4d(?j?k-?k?j)^Wk+1\4(?j?k-?k?j)dWk+d?jk^Wk+?jkdWk=0

получим:

(d?jt-?ktWjk-?jtWtk+1\4(?k?jt-?k?jt)Wk+1\16?t?k(?j-?j)Wk)^Wt=0

обозначим:

?j=d?j-?tWjt

?j=d?j-?tWjt

?jk=d?jk-?tkWkt-?jtWkt

?jk=d?tkWjt-?jtWkt

Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения f примет вид:

Q+W=?jWj

Q-W=?jWj

d?j=?kWjk+1\4(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk

d?j=?kWjk+1\4(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk (4)

?jk=(1\4(???jk-???jk)+1\16?k??(?j-?j)+?jk?)W?

?jk=(1\4(???jk-???jk)+1\16?k??(?j-?j)+?jk?)W?

Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г2={?j,?j,?jk,?jk} образует геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2) приведет к фундаментальному геометрическому объекту ГР порядка р :

ГР={?j,?j,?j1j2,?j1j2,...,?j1j2...jp,?j1j2...jp}.


§ 4. Векторы и ковекторы первого порядка.


Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин {?j},{?j} образует подобъекты геометрического объекта Г1. Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые:

?jXj=1 ; ?jXj=1 (6)

не инцидентные точке Р. Из условия rang f=2 и уравнения (2) вытекает, что прямые (6) не параллельны. Условия (*) показывают, что величины {?j,?j} являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом , величины {?j,?j} охватываются объектом Г1.

Из (*) получаем:

d?j=-?kWkj-1\4(?j+?j)?tWt-?kt?k?tWt-?ktWt^?k?j

d?j=-?kWkj-?kt?k?jWt-?kt?k?jWt+1\4?t(?j+?j)Wt

Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом Г1. Будем называть их основными векторами 1-го порядка.

Предположение 1.Конец вектора v1=?jej (вектора v2=?jej) лежит на прямой (6). Доказательство вытекает из формул (*),(2). Прямые, параллельные прямым (6), инцидентные точке Р, определяются соответственно уравнениями:

?jXj=0 , ?jXj = 0 (7).

Предположение 2. Основные векторы {?j} и {?j} параллельны прямым (6) соответственно. Доказательство вытекает из формул (*) и (7). Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке:

?jXj=1

V2

V1 ?jXj=1

Система величин ?j=?j-?j образует ковектор: d?j=?kWjk+(?jk-?jk)Wk.

Определяемая им прямая ?jXj=0 (8) проходит через точку Р и точку пересечения прямых (6).

Пусть W-однородное подмногообразие в R(p1,p2) содержащее элементы (р12) определяемое условием: (р1*2*)?W?p1*p2*=p1p2.

Теорема 1.Прямая (8) является касательной в точке Р к прообразу f-1(W) многообразия W при отображении f.

Доказательство:

] (p1*,p2*)?W и p1*=p1+dp1+1\2d2p1+... ,

p2*=p2+dp2+1\2d2p2+... .

Тогда в репере Г: p1*p2*=e p1p2, где e=1+2W+... является относительной длиной отрезка р1*р2* по отношению к р1р2. Таким образом, (р1*р1*)?W?W=0.

Из (2) получим: W=?1Wj

Следовательно, (р1*р2*)?W равносильно ?jWj=0 (9)

Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения.

При фиксации элемента (р12)?R(p1p2) определяется функция h: (p1*p2*)?h(p1p2)?e?R, так, что р1*р2*=е р1р2

В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о., линия f-1(W) является линией уровня функции h. Заметим, что (9) является дифференциальным уравнением линии f-1(W).

]W1,W2- одномерные многообразия в R(p1p2), содержащие элемент (р1р2) и определяемые соответственно уравнениями:

(p1*,p2*)єW1?p2*=p2.

(p1*,p2*)єW2?p1*=p1.

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.

Теорема 2. Прямая (7) является касательной в точке P к прообразу многообразия W2 (многообразия W1) при отображении f.

Дифференциальные уравнения линии f-1(W1) и f-1(W2) имеют соответственно вид:

?jWj=0

?jWj=0.

Пусть W0- одномерное подмногообразие в R(p1p2), содержащее (р1р2) и определяемое условием: (p1*p2*)єW0?Q*=Q ,где Q*– середина отрезка р1*р2*. Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1.

Предложение 3. Прямая (?j+?j)X-j=0 (10) является касательной в точке Р к прообразу f-1(W0) многообразия W0 при отображении f. Дифференциальное уравнение линии f-1(W0) имеет вид: (?j+?j)Wj=0.

Теорема 3.Прямые, касательные в точке Р к многообразиям f-1(W1), f-1(W2), f-1(W), f-1(W0) составляют гармоническую четверку.

Доказательство вытекает из (7),(8),(10).


§5. Точечные отображения, индуцируемые отображением f.


Рассмотрим отображения:

П1: (р12)?R(p1,p2)?p1?A1 (5.1)

П2: (р12)?R(p1,p2)?p2?A1 (5.2)

Отображение f: A2?R(p1,p2) порождает точечные отображения:

?11?f: A2?A1 (5.3)

?22?f: A2?A1 (5.4)

В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений ?1 и ?2 меют соответственно вид (2.5 а) и (2.5 б). Подобъекты Г1,2={?j,?jk} и Г2,2={?j,?jk} объекта Г2 являются фундаментальными объектами второго порядка отображений ?1 и ?2.

В работе <4> доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет соответственно вид:

x=1+?jXj+1/2?jkXjXk+1/4?y?kXjXk+<3>, (5.5)

y=-1+?jXj+1/2?jkXjXk+1/4?y?kXjXk+<3>, (5.6)

Введем системы величин:

?jk=?jk+1/4(?j?k+?k?j),

?jk=?jk+1/4(?j?k+?k?j)

Тогда формулы (5.5) и (5.6) примут соответственно вид:

x=1+?jXj+1/2?jkXjXk+<3> (5.7)

y=-1+?jXj+1/2?jkXjXk+<3> (5.8)

В <4> доказано, что существует репер плоскости А2, в котором выполняется:

?1 ?2 1 0

=

?1 ?2 0 1

Этот репер является каноническим.

Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f является единичной матрицей.

Формулы (5.7) и (5.8) в каноническом репере примут вид:

x=1+X1+1/2?jkXjXk+<3> (5.9),

y=-1+X2+1/2?jkXjXk+<3> (5.10).


§6. Инвариантная псевдориманова метрика.


Рассмотрим систему величин:

Gjk=1/2(?j?k+?k?j)

Из (3.1) получим:

dGjk=1/2(d?j?k+?j?k+d?k?j+?kd?j)=1/2(?k?tWjt+1/4?j?k?tWt-1\4?k?t?tWt+?k?jtWt+?j?tWkt+

+1/4?j?k?tWt-1/4?j?k?tWt-1/4?j?t?kWt+?j?ktWt+?k?tWjt+1/4?k?j?tWt-1/4?k?t?jWt+

+?k?jtWt),

dGjk=1/2(?k?t+?k?t)Wjt+1/2(?j?t+?t?j)Wkt+GjktWt,

где Gjkt=1/2(?k?jt+?y?kt+?j?kt+?k?jt-1/2?j?k?t+1/2?j?k?t-1/4?j?k?t+1/4?j?k?t+1/4?j?k?t-

-1/4?j?k?t) (6.3).

Таким образом, система величин {Gjk} образует двухвалентный тензор. Он задает в А2 инвариантную метрику G:

dS2=GjkWjWk (6.4)

Из (6.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) соответствует при отображении f метрике dS2=?2-W2 (6.5) в R(p1,p2).

Из (6.5) вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой.

Асимптотические направления определяются уравнением GjkWjWk=0 или

?jWj?kWk=0 (6.6)

Предложение: Основные векторы V1 и V2 определяют асимптотические направления метрики G.

Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар. На проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек (x,U) и (y,U) расстояние между ними определяется как двойное отношение W=(xy,UU)

Теорема: Метрика dS2=?2-W2 совпадает с метрикой Розенфельда .

Доказательство: В репере r имеем для координат точек p1,p2,p1+dp1,p2+dp2

Соответственно: 1,-1,1+?+W,-1+?-W.

Подставляя их в формулу (4.2) на стр. 344 (§7), получаем

dS2=?2-W2

Следствие: Метрика G сохраняется при расширении фундаментальной группы ее проективных преобразований.

В работе <3> был построен охват объекта

Гljk=1/2Gtl(Gtkj+Gjtk-Gjkt)

псевдоримановой связности G фундаментальным объектом Г2={?j,?j,?jk,?jk}.

Он определяется формулой: Гljk=?j?jk+?l?jk-?l?t?k+?l?t?k.


§7. Инвариантная риманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

gjk=?j?k+?j?k (7.1)

Из (3.1) получаем:

dgjk=d?j?k+d?k?j+d?j?k+d?k?j=?k?tWjt+1/4?k?j?tWt-1/4?j?t?jWt+?k?jtWt+?j?tWkt+

+1/4?j?k?tWt-1/4?j?t?kWt+?j?ktWt+?k?tWjt+1/4?k?j?tWt-1/4?k?t?jWt+?k?jtWt+

+?j?tWkt+1/4?j?k?tWt-1/4?j?t?kWt+?j?ktWt.

dgjk=(?k?t+?k?t)Wjt+(?j?t+?j?t)Wkt+gjktWt, (7.2)

где gjkt=1/2?j?k?t-1/2?j?k?t-1/4?k?t?j-1/4?j?t?k+1/4?j?k?t+1/4?j?k?t+?k?jt+?j?kt+

+?k?jt+?j?kt (7.3)

Таким образом, система величин {gjk} образует двухвалентный тензор. Он задает в А2 инвариантную метрику g:

dS2=gjkWjWk (6.4)

Из (7.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) соответствует при отображении f метрике:

dS2=2(?2+W2) (6.5)

в R(p1,p2)

Из (6.5) вытекает, что метрика g является римановой метрикой.

Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением:

GjkXjXk=1 (6.6)

или (?jXj)2+(?jXj)2=1 (6.7)

Из (6.7) вытекает:

Предложение 7.1: Единичная окружность метрики g с центром в точке Р является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых, параллельных этим векторам.

Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности полностью определяет эту окружность, а следовательно и метрику g.



V1

V2 рис.3.



Пусть gjk=?j?k+?j?k (6.8)

В силу (2.7) имеем:

gjtgtk=(?j?t+?j?t)(?t?k+?t?k)=?j?k+?j?k=?kj (6.9)

Таким образом, тензор gjk является тензором взаимных к gjk. Как известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному полю поле ковектора и наоборот.


Предложение 7.2: Поле основного вектора {?j} (вектора {?j}) соответствует в метрике g полю основного ковектора {?j} (ковектора {?j}).

Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину в метрике g.

Доказательство:

?j?kgjk=?j?k?j?k+?j?k?j?k=1,

?j?kgjk=?j?k?j?k+?j?k?j?k=1,

?j?kgjk=?j?k?j?k+?j?k?j?k=0.

Таким образом, f задает на А2 структуру риманова пространства (A2,gf).

В работе <2> был построен охват объекта

?jkl=1/2gtl(gtkj+gjtk-gjkt)

римановой связности ? фундаментальным объектом

Г2={?j,?j,?jk,?jk}

Он определяется формулой:

?jkl=?l?jk+?lMjk+Gjk(?l-?l)+1/2(?l+?l)(?j?k-?j?k),

где Gjk=1/2(?j?k+?k?j).

© Рефератбанк, 2002 - 2017