Цилиндр

Определение и общие свойства цилиндра.

Цилиндром (точнее, прямым круговым цилиндром) называется тело вращения, полученное при вращении прямоугольника вокруг оси, проходящей через одну из его сторон. Слово цилиндр часто встречается в технике. Цилиндры обычно представляют себе круглыми, т.е. с круглым основанием (рис. 1). Их можно определить так: пусть даны две параллельные плоскости, задана некоторая фигура F. Из всех точек фигуры F проведем параллельные друг другу отрезки до плоскости ?'. Фигура, которую образуют эти отрезки, и называется цилиндром. Фигура F, из точек которой проведены отрезки, называется основанием цилиндра. Отрезки, образующие цилиндра, так и называются его образующими.

(рис.1) (рис.1.1)

Призма называется описанной около цилиндра, если осно­вание её - это многоугольники, описанные около основания цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра (рис.1.1)

Простейшие свойства цилиндра:

Свойство 1: Все образующие цилиндра равны друг другу.

Свойство 2: Основание цилиндра равны друг другу.

Свойство 3: Все сечения цилиндра плоскостями, параллельными плоскостями основания цилиндра, равны основания цилиндра.

Действительно, любое такое сечение является общим двух цилиндров, на которые секущая плоскость разбивает данный цилиндр. Поэтому оно равно другим основаниям этих цилиндров, которые являются основаниями исходного цилиндра.

Перпендикуляр, опущенный из любой плоскости одного основания цилиндра на плоскость другого его основания, называется высотой цилиндра (иначе длина образующей). Т.к. плоскости оснований параллельны, то перпендикуляры у них общие и все они равны. Поэтому высоту можно проводить из любой точки плоскости основания.

Для того, чтобы задать цилиндр, достаточно задать его основание и одну образующую. Соответственно, цилиндры различают по виду оснований и наклону образующих.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскости основания. Для этого достаточно, чтобы какая-то образующая была перпендикулярно плоскости основания, так как остальные образующие параллельны ей и тоже будут перпендикулярны к плоскости основания, т.к. остальные образующие параллельны ей и тоже будут перпендикулярны к плоскости основания.

Цилиндру можно дать и другое определение. Цилиндр можно определить как фигуру, образованную равными и параллельными друг другу отрезками, идущими из всех точек некоторой плоской фигуры F в одну сторону от её плоскости ? (рис. 2)

Нам надо убедиться что концы, о которых уже было сказано, лежат в одной плоскости ?', параллельной плоскости ?. Сделаем проверку. Возьмем некоторую точку А, принадлежащую фигуре F, построим отрезок АА' и проведем через точку А' плоскость ?', параллельную плоскости ? (рис. 2.1.).

Если теперь взять любую точку X F и провести через Х прямую l, параллельную прямой АА', то l пересечет плоскость ?' в такой точке Х', что ХХ' = АА'. А это и означает, что концы всех отрезков ХХ', равных и параллельных отрезку АА' и идущих с ним в одном направлении от плоскости ?, лежат в плоскости ?' ???.

Цилиндр вращения.

Прямым круговым цилиндром называется прямой цилиндр, основание которого – круг. Отрезок, соединяющий центры его оснований, называется осью цилиндра. Ось прямого кругового цилиндра является его осью вращения, а сам он – фигура вращения. Все сечения прямого кругового цилиндра плоскостями, параллельными плоскостям оснований, являются кругами с центрами на оси (по свойству 3). Плоскости этих кругов перпендикулярны оси (рис. 2.2).

(рис.2.2) (рис.2.3)

Поэтому прямой круговой цилиндр является фигурой вращения и его называют цилиндром вращения. Он получается вращением прямоугольника вокруг своей оси симметрии, а также вращением прямоугольника вокруг стороны (рис. 2.3.). Эти прямоугольники называются осевыми сечениями цилиндра вращения. Образующие цилиндра вращения, исходящие из точек окружности основания, образуют его боковую поверхность.

Поверхностью цилиндра вращения называется объединение его оснований и боковой поверхности цилиндра. Поверхность цилиндра вращения иногда называют его полной поверхностью, подчеркивая этим, что она состоит из боковой поверхности и двух оснований. Цилиндр вращения симметричен относительно любой плоскости, проходящей через его ось (рис. 3), а также относительно плоскости, делящей пополам его образующие. Цилиндр вращения имеет центр симметрии – середину его оси.

Эллипс как сечение цилиндра вращения.

Простейшую кривую поверхность, именно круговой цилиндр, можно получить при помощи простейших кривых – окружности и прямой – следующим образом. Через одну из точек окружности проведем прямую, перпендикулярную к плоскости круга, и будем перемещать её параллельно самой себе вдоль всей окружности. Можно также получить круговой цилиндр, заставив одну прямую вращаться вокруг другой прямой, параллельной первой и служащей для первой прямой осью вращения. Таким образом, круговой цилиндр есть поверхность вращения. Поверхности вращения представляют важный тип поверхностей; они встречаются в практическом обиходе в виде стаканов, бутылок и т.д. Все они могут быть охарактеризованы тем, что их можно получить путем вращения некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в её плоскости.

Плоскость, перпендикулярная к оси, пересекает круговой цилиндр по окружности; плоскость, наклонная к оси, дает в сечении, как в этом можно непосредственно убедиться, эллипсовидную кривую. Покажем, что эта кривая есть действительно эллипс. Для этого возьмем шар такого диаметра, чтобы он в точности соответствовал внутренности цилиндра, и будем передвигать этот шар внутри цилиндра до соприкосновения с секущей плоскостью (рис. 4).

Точно такой же шар возьмем с другой стороны секущей плоскости и также продвинем его до соприкосновения с плоскостью сечения. Шары соприкасаются с цилиндром по двум окружностям, а с плоскостью сечения имеют две точки соприкосновения F₁ и F₂ . Соединим теперь произвольную точку В кривой пересечения с точками F₁ и F₂ и рассмотрим образующую цилиндра, проходящую через точку В.

Пусть она пересекает с окружностями соприкосновения шаров и цилиндра в точках Р₁ и Р₂. Прямые BF₁ BP₁ – касательные к одному и тому же шару, проходящие через точку В. Все такие касательные имеют равную длину, что непосредственно следует из всесторонней симметрии шара по отношению к вращению. Таким образом, имеем: BF₁ =BP₁ и точно так же получаем: BF₂ = BP₂. Отсюда BF₁ + BF₂ = BP₁ + BP₂ = P₁P₂.

Но расстояние P₁P₂ не зависит от выбора точки В на кривой вследствие симметрии фигуры по отношению к вращению. Следовательно, для всех точек сечения сумма расстояний от точек

F₁ и F₂ одинакова, т.е. сечение представляет эллипс с фокусами F₁ и F₂ .

Из кругового цилиндра путем обобщения получается эллиптический цилиндр. Этот цилиндр образует прямая, движущаяся по эллипсу, перпендикулярная к его плоскости. Таким же способом, положив в основание параболу или гиперболу, получим параболический или гиперболический цилиндр (является цилиндрической поверхностью второго порядка).

Объем цилиндра.

Теорема: объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Доказательство: Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную n-угольную призму F_n, а в эту призму впишем цилиндр P_n. Обозначив через V и V_n объемы цилиндров Р и Р_n, через r_n – радиус цилиндра Р_n. Так как объем призмы F_n равен S_n? h, где S_n – площадь основания призмы, а цилиндр P содержит призму F_n, которая, в свою очередь, содержит цилиндр P_n, то V_n< S_n?h n цилиндра P_n стремиться к радиусу r цилиндра P (r_n= r cosпри n ? ?). Поэтому объем цилиндра Р_n стремиться к объему цилиндра Р: lim_n??V_n = V. Из неравенств 1следует, что и lim_n??S_n ? h = V. Но lim_n??S_n =?r². Таким образом,

V=?r² h (2)

Обозначив площадь ?r² основания цилиндра буквой S, и из формулы (2) получаем

V = S ? h

Площадь цилиндра.

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь её развертки. Так как площадь прямоугольника АВВ'A' равна AA'?AB=2?rh, то для вычисления площади S_бок боковой поверхности цилиндра радиуса r и высоты h получается формула

S_бок = 2?rh (1)

Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.

Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Так как площадь каждого основания равна ?r², то для вычисления площади S_цил полной поверхности цилиндра получаем формулу:

S_цил = 2?r (r + h)

Цилиндры в практике.

Предметы, имеющие более или менее точную форму цилиндра, а также и такие, у которых есть детали цилиндрической формы, встречаются повсеместно: в быту, в строительстве, в технике – и играют важную роль. Оси автомобилей и вагонов, цилиндры и поршни двигателей и так далее – все они имеют главные части в виде круговых цилиндров. Стальные трубы представляют собой прямые цилиндры с тонким круговым кольцом в основании.

Под цилиндрами понимают обычно круглые предметы, но если в виду цилиндры в нашем общем смысле, то можно привести множество других примеров. Рельсы, различные виды проката, бетонные желоба и другие изделия имеют разнообразные формы цилиндров (хотя и не круглых). В практике их характеризуют формой перпендикулярного сечения. Колонны, если они не сужаются кверху, столбы балки в строительных конструкциях имеют форму цилиндров, в частности, призм, прямых и наклонных. Например, мостовые фермы составляются сплошь из частей, имеющих форму призм.

Задача №1

Осевой сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найти: а) высоту цилиндра; б) площадь основания цилиндра.

а) Дано: Решение:

Цилиндр а) Так как АВСД – квадрат, то АВСД – осевое сечение, квадрат. АВ=АД. Из треугольника АВД

ВД = 20см. по теореме Пифагора: АС² =

Найти: ВА² + АД; 20² = h² + h²; 20² = 2h²; h

h - ?; 400 = 2 h²; h² = 400; h = 10.

Ответ: h = 10.

б) Дано: Решение:

цилиндр б) S_осн = ?r²; r = АД; r h;

АВСД – осевое сечение, квадрат. r= = 5; S_осн = ?(3)²;

S_осн = ? ·25()²; S_осн = ?50. ВД = 20см.

Найти:

S_осн - ?

Задача №2

Площадь основания цилиндра относиться к площади осевого сечения как ?:4. Найти: а) угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания; б) угол между диагоналями осевого сечения.

Дано:

Цилиндр;

АВСД – осевое сечение

Найти: ДСА (АС; ВД)

Решение:

Осевым сечением является прямоугольник. S_АВСД = АВ·АД =2rh; S_осн=?r²; ; ; (sin? = ; cos? = ; tg? = ); ;

tg? = ; r =; tg? = ; ? = ; АСD = 30^°.

Список литературы:

1. Учебное пособие для студентов. Геометрия 2 часть. Просвещение 1987г. Атанасян Л.С., Базылев В.Т.

2. Стереометрия. Геометрия в пространстве. Александров А.Д., Вернев А.Л.

3. Большая школьная энциклопедия. Том 1, Москва 2004. Штейн Е.А.