Вход

Основы математики

Реферат по математике
Дата добавления: 23 января 2002
Язык реферата: Русский
Word, rtf, 108 кб
Реферат можно скачать бесплатно
Скачать
Не подходит данная работа?
Вы можете заказать написание любой учебной работы на любую тему.
Заказать новую работу




Треугольник Паскаля. Его свойства. Бином Дяди Ньютона.


1 C00

1 1 C10 C11

1 2 1 C20 C21 C22

1 3 3 1 C30 C31 C32 C33

1 4 6 4 1 C40 C41 C42 C43 C44

1 5 10 10 5 1 C50 C51 C52 C53 C54 C55

1 6 15 20 15 6 1 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1


1. Свойства треугольника Паскаля:


1) В треугольнике Паскаля каждое число кроме крайних единиц равно

сумме двух соседних в предыдущей строке.

2) Сумма чисел n-ой строки равна 2n, где n принадлежит целым чис-

лам.

3) Сумма чисел любой строки в два раза больше суммы чисел в пре-

дыдущей сроке.

4) Числа, равноудаленные от концов любой строки равны между собой.

Сmn=Cmm-n


2. Бином Ньютона.

(a+b) - двучлен (бином)

(a+b)0=1

(a+b)1=a+b

(a+b)2=C20a2 + C21ab + C22b2

и т.д. ;)


Свойства бинома Ньютона:

1) Бином ньютона содержит n+1 слагаемых.

2) Биноминальные коэффициетнты, равноудаленные от концов равны

между собой.

3) Формулу бинома Ньютона можно записать символически:

n

(a + b)n = S Cnk.an-k.bk

k=0

4) Любой член можно выразить формулой: Tk+1=Cnk.an-k.bk

5) Сумма биноминальных коэффициентов равна 2n.


Метод математической индукции.

Некоторое утверждение будет верно при любом n N, если:

1) Оно верно при n=1;

2) Предположим, что оно верно при n=k и докажем, что оно верно

при n=k+1.


Комбинаторика: Размещения и перестановки.

Определение: Группы составленные из каких-либо предметов отличаю-

щихся друг от друга предметами или порядком прелметов называются сое-

динениями.

3 рода соединений:

1) Размещения

2) Перестеновки

3) Сочетания

Дано: (a,b,c) - 3 элемента.

по одному: a, b, c.

по два: ab, bc, ac, ba, cb, ca.

по три: abc, acb, bca, bac, cab, cba.


1). Соединения, которые содержат n-элементов, отличающихся или поряд-

ком или элементом называются размещениями и обозначают: Amn, n,m

------------¬

¦ m! ¦

¦Amn= ------+

¦ (m-n)!¦

L------------

2). Соединения, которые отличаются только только порядком называются

перестановками.

------¬

¦Pm=m!¦

L------

2). Сочетания, которые отличаются по крайней мере одним элементом на-

зываются сочетениями.

--------------¬ Свойства числа сочетний:

¦ m! ¦ 1) Сmn=Cmm-n

¦Сmn= --------+ 2) Cmn+Cmn+1=Cm+1n+1

¦ (m-n)!n!¦ 3) Cm0=1

L-------------- 4) C00=0!=1




Дифференцирование функций.


Производная функции


h=x-a - приращение аргумента


f(a+h) - f(a) - приращение функции

--------------------------------------¬

¦ f(a+h) - f(a) -

¦k=lim ------------- = f'(x) или f'(a)-

¦ h->0 h -

+--------------------------------------

¦f(a+h)-f(a)=(k+a).h-

L--------------------


df = f'(x).dx - дифференциал функции.


Примеры:

1 1/(h+x)-1/x -h/(x(x+h))

1) f(x)=- ; f'(x) = lim ----------- = lim ----------- =

x h->0 h h->0 h

1 1

= lim ------- = ---

x(x+h) h2

|\\ 1

2) (x2)' = 2x; (ax+b)' = a; (? a )' = ---

2?x

(ax2 + bx + c)' = 2ax + b; (x3)' = 3x2

----------------¬

¦(axn)' = n.xn-1¦

L----------------


Техника дифференцирования.


(fg)' = f'g + fg' Угловой коэффициент касательной в данной то-

(f + g) = f' + g' чке равен значению производной в данной точ-

( f )' f'g + fg' ке.

¦ - ¦ = ---------

9 g 0 g2 1) Функция монотонно убывает, там где произ-

водная отрицательна.

(fn)' = nfn-1f 2) Функция монотонно возрастает, там где про-

n|\\ 1 изводная положительна.

? f = -------- 3) Если производная равна нулю или не сущес-

n. n? f твует то в этих точках функция имеет локальные

экстремумы.

4) Чтобы найти экстремумы на данном интервале, то надо найти:

а) Значение функции на краях промежутка;

б) Экстремумы функции на данном промежутке;

в) Сравнить полученные результаты и выбрать нужные.


Дифференцирование тригонометрических функций.

---------------¬ ----------¬

¦ Sin x ¦ ¦ tg x ¦

¦ Lim ----- = 1¦ ¦Lim ---- ¦

¦x->0 x ¦ ¦x->0 x ¦

L--------------- L----------


(Sin x)' = Cos x

(Cos x)' = -Sin x

1 1

(tg x)' = ----- ; (Ctg x)' = -----

Cos2x Sin2x

Спецкурс - " Уравнения и неравенства с параметрами ".


" Исследование квадратного трехчлена "




Теорема 1. ---

--------- ¦ а > 0,

¦ D . 0,

¦ x0 > M, ( a7f(M) > 0,

M < x1 , x2 <=> ¦ f(M) > 0, <=> Б D . 0,

=========== ¦ a < 0, 9 x0 > M.

¦ D . 0,

¦ x0 > M,

¦ f(M) < 0

L--



Теорема 2. ---

---------- ¦ а > 0,

¦ D . 0,

¦ x0 < b, ( a7f(b) > 0,

x1 , x2 < b <=> ¦ f(b) > 0, <=> Б D . 0,

=========== ¦ a < 0, 9 x0 < b.

¦ D . 0,

¦ x0 < b,

¦ f(b) < 0

L--



Теорема 3. ---

--------- ¦ ( а > 0,

¦ 2 D . 0, a7f(b) > 0

¦ Б M < x0 < b, a7f(M) > 0,

M < x1 , x2 < b <=> ¦ 2 f(M) > 0, <=> D . 0,

=============== ¦ 9 f(b) > 0, M < x0 < b

¦ ( a < 0,

¦ 2 D . 0,

¦ Б M < x0 < b,

¦ 2 f(b) < 0,

¦ 9 f(M) < 0

L--



Теорема 4. ---

--------- ¦ ( а > 0,

¦ Б f(M) > 0,

¦ 9 f(b) < 0, a7f(b) < 0

M < x1 < b < x2 <=> ¦ ( a < 0, <=> a7f(M) > 0,

=============== ¦ Б f(b) > 0,

¦ 9 f(M) < 0

L--



Теорема 5. ---

--------- ¦ ( а > 0,

¦ Б f(M) < 0,

¦ 9 f(b) > 0, a7f(b) > 0

x1 < M < x2 < b <=> ¦ ( a < 0, <=> a7f(M) < 0,

=============== ¦ Б f(b) < 0,

¦ 9 f(M) > 0

L--



Теорема 6. ---

---------- ¦ ( а > 0,

¦ Б f(M) < 0,

¦ 9 f(b) < 0, a7f(b) < 0

x1 < M < b < x2 <=> ¦ ( a < 0, <=> a7f(M) < 0,

=============== ¦ Б f(b) > 0,

¦ 9 f(M) > 0

L--



Теорема 7. ---

--------- ¦ а > 0,

¦ f(M) < 0,

x1 < M < x2 <=> ¦ a < 0, <=> a7f(M) < 0,

=========== ¦ f(M) > 0

L--


Числовая последовательность.


1). Числовая последовательность - такой ряд чисел, который занумеро-

ван с помощью натуральных чисел и обозначается {an} или (an) -

a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7...an

f(n) - закон, по которому каждому номеру соответствует свой член

последовательности. |\\ |\ |\

Последовательность называют возрастающей, если каждый член после-

довательности больше предыдущего, т.е.: если an+1>an, то (an)%.

Последовательность называется убывающей, если каждый член после-

довательности меньше предыдущего, т.е.: если an+1


an , M => (an) - ограниченная сверху.

an . M => (an) - ограниченная снизу.


2). Арифметическая прогессия [_]

Арифметической прогрессией называют такой ряд чисел, в котором

каждый член, начиная со второго, равен предыдущему плюс одно и тоже

число, которое называется разностью прогрессий.

_ a1,a2,a3,a4...an

a2=a1+d; d - разность прогрессий

-------------¬

¦an=a1+(n-1)d¦- - формула любого члена арифметической прогрессии...

L--------------


Свойства членов арифметической прогресии:

1. Каждый член арифметической прогрессии есть среднее арифмети-

ческое членов, с ним соседних: an=(an-1+an+1)/2

2. Суммы членов, равноудаленных от концов между собой равны между

собой: a1+an=a2+an-1=a3+an-2

3. Каждый член арифметической прогрессии есть среднее арифмети-

ческое равноудаленных от него членов.

------------¬ ----------------¬

¦ (a1+an)n¦- ¦ 2a1+(n-1)d ¦

¦S_=--------+- ¦S_=----------.n¦

¦ 2 ¦- ¦ 2 ¦

L------------- L----------------


3). Геометрической прогрессией называется такой ряд чисел, в котором

каждый член, начиная со второго равен предыдущему, умноженному на одно

и тоже число, которое называется знаменателем прогрессии.(q)

b2=b1.q; b2=b1.q2 и т.д.

-------------¬

¦bn=b1.q(n-1)¦- - формула лыбого члена арифметической прогрессии.

L--------------


Свойства членов геометрической прогрессии:

|\\\\\\\\\\

1. bn=? bn-k.bn+k

2. b1.bn=bk.bn-k+1

2. Произведение n-членов геометрической прогрессии равно:

--------------------------¬

¦ |\\\\\\\ |\\\\\\\\\¦

¦P=?(b1.bn)n = ?(b12qn-1)n¦

L--------------------------

4. Сумма n-членов геометрической прогрессии равна:


bnq-b1 b1(qn-1)

S=------ = --------

q-1 q-1

1

lq9m.pdr 2 1


Основные формулы сокращенного умножения.


a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab

a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab

a2 - b2 = (a - b)(a + b)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + an-3b4 + ... +bn-1)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)

a4 + b2 + 1 = (a2 + a + 1)(a2 - a + 1)

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5


|\\\\\\\\\ |\\\\\\\\\

/ A + ?A-B / A + ?A-B

A + B = /---------- + /----------

? 2 ? 2


|\\ |\\ |\\ |\\

a - b = (? a - ? b )(? a + ? b )


|\\ |\\ 3|\\ |\\\ 3|\\

a - b = ((? a - ? b )(? a2 + ? ab + ? b2)


|\\ --> a, если a . 0!

? a2 = ¦a¦-+

L->-a, если a < 0!


Сумма углов выпуклого многоугольника: 180(n - 2)

Формула Герона S = ?p(p - a)(p - b)(p - c)

Правильный многоугольник:

an = 2r.tg(180/n) = 2R.Sin(180/n)

Sn = p.r = 0,5.PR.Cos(180/n)

--------------------------

Sквадрата = a.b abc

Sтреугольника = 0,5.ah = 0,5.ab.Sin a = ---

4R

d1.d2

Sпараллелограма = ab.Sin a = ----- = a.ha

2

Sтрапеции = 0,5.(a + b) = ch (c - средняя линия)


Преобразования на плоскости.

Осевая симметрия - движение при котором сохраняется расстояние.

Sl(ABC) = A1B1C1 (относительно прямой l)

Центральная симметрия - движение относительно точки,

при котором сохраняется расстояние

ZO(ABCD) = A1B1C1D1 (относительно точки О)

Параллельный перенос (П[вектор]

Поворот - R[угол][точка]

Гомотетия - увеличение или уменьшение H[коэфициент][точка]



Правила действия над тригонометрическими функциями.

г==============================T==============================¬

¦y=Sin a- функция ограниченная ¦y=Cos a- функция ограниченная ¦

¦ + ¦ + ¦ - ¦ + ¦

¦-1 , Sin a , 1 ----+---- ¦-1 , Cos a , 1 ----+---- ¦

¦ - ¦ - ¦ - ¦ + ¦

¦==============================¦==============================¦

¦y=tg a ; y=Ctg a- неограниченные функции ¦

¦ - ¦ + ¦

¦ ----+---- ¦

¦ + ¦ - ¦

L=============================================================-

360 = 2p ; 180 = p ; 90 = 0,5p ;Длинна дуги равна произведению

p p p её радианного измерения на ра-

60 = - ; 45 = - ; 30 = - диус

3 4 6

Cокружности = 2pR

Основные тригонометрические тождества:

q 1.Sin2a + Cos2a = 1

Sin a Cos a

2.tg a = ----- ; Ctg a = -----

Cos a Sin a

3.tg a * Ctg a = 1

1 1

4.1 + tg2a = ----- ; 1 + Ctg a = -----

Cos2a Sin2a


Правило формул превидения

Какой знак: Ставим тот знак, который имеет функция в данной четверти.

Какая функция: Если угол откладывается от горизонтального диаметра то

функция не меняется. Если угол откладывается то вертикального диаметра

то функция меняется на созвучную.( Sin a на Cos a ; tg a на Ctg a)

----------------------------------T---------------------------------¬

¦Cos(a-b) = Cosa*Cosb + Sina*Sinb ¦ Cos(a+b) = Cosa*Cosb - Sina*Sinb¦

+---------------------------------+---------------------------------+

¦Sin(a-b) = Sina*Cosb - Cosa*Sinb ¦ Sin(a+b) = Sina*Cosb + Cosa*Sinb¦

+-----------------------T---------+--------------T-------------------

¦ tg a - tg b ¦ tg a + tg b ¦

¦tg(a-b) = ----------- ¦ tg(a+b) = ----------- ¦

¦ 1 + tga*tgb ¦ 1 - tga*tgb ¦

+-----------------------+-T----------------------+----¬

¦ Ctga*ctgb + 1 ¦ Ctga*ctgb - 1 ¦

¦Ctg(a-b) =-------------- ¦ Ctg(a+b) = ------------- ¦

¦ Ctg a - ctg b ¦ Ctg a + ctg b ¦

+-----------------------T-+---------------------T------

¦Sin 2a = 2*Sin a*Cos a ¦ Cos2a = Cos2a - Sin2a ¦

+-----------------T-----+--------------T---------

¦ 2*tg a ¦ Ctg2a - 1 ¦

¦tg 2a = -------- ¦ Ctg 2a = --------- ¦

¦ 1 - tg2a ¦ 2*Ctg a ¦

L-----------------+---------------------

Sin a * Cos b = 0,5*[Sin(a-b) + Sin(a+b)]

Sin x + Sin y = 2Sin 0,5(x+y) * Cos 0,5(x-y)

Sin x - Sin y = 2Cos 0,5(x+y) * Sin 0,5(x-y)

Cos x + Cos y = 2Cos 0,5(x+y) * Cos 0,5(x-y)

Cos x - Cos y = -2 Sin 0,5(x+y) * Sin 0,5(x-y)

Cos a * Cos b = 0,5[Cos(a-b) + Cos(a+b)]

Sin a * Sin b = 0,5[Cos(a-b) - Cos(a+b)]

---------------------------T---------------------------------¬

¦ Sin(x-y) ¦ Sin(x+y) ¦

¦tg x - tg y = ----------- ¦ tg x + tg y = ----------- ¦

¦ Cos x Cos y ¦ Cos x Cos y ¦

+--------------------------+--T------------------------------+

¦ Sin(x-y) ¦ Sin(x+y) ¦

¦Ctg x - Ctg y = ------------ ¦ Ctg x + Ctg y = ----------- ¦

¦ Sin x Sin y ¦ Sin x Sin y ¦

L-----------------------------+-------------------------------


Sin 3x = 3Sin x - 4Sin3x 2tg x

Cos 3x = 4Cos3x - 3Cos x Sin 2x = ---------

/1 + Cos 2x 2tg2x + 1

¦Cos x¦ = / ----------

? 2 . 1 + tg2x

/1 - Cos 2x Cos 2x = --------

¦Sin x¦ = / ---------- 1 - tg2x

? 2 .

/ 1 - Cos 2x 2tg x

¦tg x¦ = / ----------- tg 2x = --------

? 1 + Cos 2x 1 - tg2x

1. Решение тригонометрических уравнений.



Sin x = m ==> x = (-1)n7arcsin m + pn, n Z.

Cos x = m ==> x = + arccos m + 2pn, n Z.

tg x = m ==> x = arctg m + pn, n Z.

ctg x = m ==> x = arcctg m + pn, n Z.


2. Равенство одноименных функций.


Sin t = Sin a ==> t = (-1)ka + kp, k Z.

Cos t = Cos a ==> t = + a + 2kp, k Z.

tg t = tg a ==> t = a + kp, k Z.


3. Универсальная подcтaновка.


t t

2tg --- 1 - tg2 ---

2 2 t

Sin t = ------------ ; Cos t = ------------- ; tg --- = Z.

t t 2

1 + tg2 --- 1 + tg2 ---

2 2



4. Функции кратных аргументов.



--

¦ Cos2x = Cos2x - Sin2x.

(a+b)2=a2+2ab+b2 ===> ¦

¦ Sin2x = 2Cosx7Sinx.

L-


--

¦ Cos3x = Cos3x - 3Cosx7Sin2x.

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 ===> ¦

¦ Sin3x = 3Cos2x7Sinx - Sin3x.

L-


--

¦ Cos4x=Cos4x-6Cos2x7Sin2x+Sin4x.

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ===> ¦

¦ Sin4x=4Cos3x7Sinx-4Cosx7Sin3x.

L-



5. Дополнительно.


Cos (n+1)7x = 2Cosx7Cos(nx) - Cos(n-1)x.


Sin 5a = 16Sin5a - 20Sin3a + 5Sina.


Sin 7a = -64Sina7 + 112Sin5a - 56Sin3a + 7Sina =

= Sina7(64Cos6a - 80Cos4a + 24Cos2a - 1).




© Рефератбанк, 2002 - 2017