КЛАССИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ НЕЧИСЛОВОЙ ПРИРОДЫ НА ОСНОВЕ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ОЦЕНОК ПЛОТНОСТИ.
В СССР в середине 70-х годов активно ведутся работы по статистическому анализу нечисловых данных [1]. В настоящее время во Всесоюзном центре статистических методов и информатики мы при разработке методических документов и программных продуктов по прикладной статистике делим ее на четыре части соответственно виду обрабатываемых статистических данных: на статистику случайных величин, многомерный статистический анализ, статистику временных рядов и случайных процессов, статистику объектов нечисловой природы (другими словами, статистику нечисловых данных).
Вероятностный и статистический анализ нечисловых данных сопровождали теорию вероятностей и математическую статистику с самого начала их развития. Типичными примерами являются урновые схемы и изучение рождаемости. Испытание Бернулли- вероятностная модель простейшего объекта нечисловой природы. Наиболее массовым применением статистических методов является, видимо, выборочный контроль качества продукции по альтернативному признаку (т. е. по признаку "годен” - “не годен"), относящийся, очевидно, к статистике объектов нечисловой природы [2].
Развитие прикладных исследований привело к необходимости рассмотрения в качестве статистических данных различных объектов нечисловой природы. Этот термин применяем к объектам, которые нецелесообразно рассматривать как описанные числами. Другими словами, речь идет об элементах пространства, не являющихся линейными (векторными). Примеры: бинарные отношения (ранжировки, разбиения, толерантности и т. д.); множества; нечеткие множества; результаты измерений в шкалах, отличной от абсолютной; как обобщение перечисленных объектов - элементы пространств общей природы. Для результатов наблюдений, являющихся объектами нечисловой природы, рассматривают [1] классические задачи статистики: описание данных (включая классификацию) оценивание (параметров, характеристик, плотности распределения, регрессионной зависимости и т. д.).
Математический аппарат статистики объектов нечисловой природы основан не на свойстве линейности пространства, а на применении симметрик и метрик в нем, поэтому существенно отличается от классического.
В прикладных работах наиболее распространенный пример объектов нечисловой природы - разнотипные данные. В этом случае реальный объект описывается вектором, часть координат которого - значения количественных признаков, а часть - качественных (номинальных и порядковых).
Основная цель настоящего раздела - обосновать новый подход [3] к классификации в пространствах произвольной природы, основанный на построении не параметрических оценок плотности распределений вероятности в таких пространствах [4].
"
Пусть
- измеримое пространство,.
и
.
суть
-конечные меры на
.,
причем
абсолютно непрерывна относительно
,
т. е. из равенства.
.
=0 следует равенство
=0,
где
..
В этом случае на
существует неотрицательная измеримая
функция такая, что
для
любого
Функция называется производной
Родона-Никодима меры
по мере
,
а в случае, когда
- вероятностная мера, также плотностью
вероятности
по отношению к
.
" [5]
Будем
считать, что в пространстве объектов
нечисловой природы фиксирована некоторая
мера
,
а мера
соответствует распределению Р случайного
элемента
со знаниями в измеримом пространстве
,
т. е.
Если
-
пространство из конечного числа точек,
то в качестве меры
можно использовать считающую меру
(приписывающую единичный вес каждой
точке), т. е.
,
или
В
случае считающей меры значение плотности
в точке
совпадает с вероятностью попасть в
точку
,
т. е.
Многие методы классификации используют расстояния или меры близости между объектами или признаками. Такие методы пригодны и для классификации объектов нечисловой природы, лишь бы в соответствующем пространстве было определено расстояние или мера близости. Таким образом, широко известные иерархические агломеративные алгоритмы ближайшего соседа, дальнего соседа, средней связи и др., результатом работы которых являются дендрограммы, на самом деле относятся к статистике объектов нечисловой природы.
Не пытаясь рассмотреть все многообразие методов классификации в статистике объектов нечисловой природы (см., например, [6, 7]), сосредоточимся на тех из них, которые используют плотности распределения и их оценки. Зная плотности распределения классов, можно решать основные задачи классификации - как задачи выделения кластеров, так и задачи диагностики. В задачах кластер-анализа можно находить моды плотности и принимать их за центры кластеров или за начальные точки итерационных методов типа динамических сгущений. В задачах диагностики (дискриминации, распознавания образов с учителя) можно принимать решения о классификации объектов на основе отношения плотностей, соответствующих классам. При неизвестных плотностях представляется естественным использовать их состоятельные оценки. Корректность такой постановки, как правило, нетрудно обосновать, например, в стиле [8]. Таким образом, для переноса на пространства произвольной природы основных методов классификации рассматриваемого типа достаточно уметь оценивать плотность распределения вероятности в таких пространствах.
Методы оценивания плотности вероятности в пространствах общего вида предложен и первоначально изучены в [4]. В частности, в задачах классификации объектов нечисловой природы предлагаем использовать непараметрические ядерные оценки плотности типа Парзена-Розенблатта (этот вид оценок и его название введены нами в [4]):
,
где
К:
- ядерная функция
- выборка по которой оценивается
плотностью,
- расстояние между элементом выборки
и точкой
,
в которой оценивается плотность
последовательность
показателей размытости такова, что при
0
и n
,
а
- нормирующий множитель, обеспечивающий
выполнение условия
Оценки
типа Парзена-Розенблатта - частный
случай линейных оценок [4]. В теоретическом
плане они выделяются тем, что удается
получать результаты такого же типа, что
в классическом одномерном случае (
),
но, разумеется, с помощью совсем иного
математического аппарата.
Одна
из основных идей состоит в том, чтобы
согласовать между собой расстояние
и меры
.
А именно, рассмотрим шары радиуса
и их меры
Предположим,
что
как функция
при фиксированном
непрерывна и строго возрастает. Введем
функцию
Это
- монотонное преобразование расстояния,
а потому
- метрика или симметрика (т. е. неравенство
треугольника может быть не выполнено),
которую, как и
,
можно рассматривать как меру близости
между
и
.
Введем
.
Поскольку
определена однозначно, то
^
где
.,
а потому
Переход
от
к
напоминает классическое преобразование,
использованное Н. В. Смирновым,
,
переводящее случайную величину
с непрерывной функцией распределения
в случайную величину
,
равномерно распределенную на [ 0, 1]. Оба
рассматриваемых преобразования
существенно упрощают дальнейшие
рассмотрения.
Преобразование
зависит от точки
,
что не влияет на дальнейшие рассуждения,
поскольку ограничиваемся изучением
сходимости в точке.
Функцию
,
для которой мера шара радиуса
равна
,
называют [4] естественным показателем
различия или естественной метрикой. В
случае пространства
и евклидовой метрики
имеем
где
-объем
шара единичного радиуса в
.
Поскольку можно записать, что
где
то
переход от
к
соответствует переходу от
к
.
Выгода от такого перехода заключается
в том, что утверждения приобретают более
простую формулировку.
ТЕОРЕМА
1. Пусть
- естественная метрика,
Плотность
непрерывна в
и ограничена на
,
причем
.
Тогда
,
оценка
является состоятельной, т. е.
по
вероятности при
,
Теорема 1 доказана в [4]. Однако остается открытым вопрос о скорости сходимости ядерных оценок, т. е. о поведении величины
и
об оптимальном выборе показателей
размытости
.
Введем
круговое распределение
и круговую плотность
.
ТЕОРЕМА
2. Пусть ядерная функция
непрерывна и
при
.
Пусть круговая плотность допускает
разложение
причем
остаточный член равномерно ограничен
[0, 1,....,
].
Пусть
Тогда
Величина
достигает минимума, равного
при
что
совпадает с классическими результатами
для
(см.
[9, с316]). Заметим, что для уменьшения
смещения оценки приходится применять
знакопеременные ядра
.
В
случае дискретных пространств естественных
метрик не существует. Однако можно
получить аналоги теорем 1 и 2 переходя
к пределу не только по объему выборки
,
но и по параметру дискретности
.
Пусть
-
последовательность конечных пространств,
-
расстояния в
для
любого
.
Положим
,
,
,
Тогда
функции
кусочно постоянны и имеют скачки в
некоторых точках
,
причем
.
ТЕОРЕМА
3. Если
при
(другими словами,
при
),
то существует последовательность
параметров дискретности
такая, что при
,
,
справедливы заключения теорем 1 и 2.
ПРИМЕР
1. Пространство
всех подмножеств конечного множества
из
элементов допускает [10, Пар 4. 3]
аксиоматическое введение метрики
,
где
- символ симметрической разности
множеств. Рассмотрим непараметрическую
оценку плотности типа Парзена - Розенблатта
,
где
- функция нормального стандартного
распределения. Можно показать, что эта
оценка удовлетворяет условиям теоремы
3
.
ПРИМЕР
2. Рассмотрим пространство функций
,
определенных на конечном множестве
со значениями в конечном множестве
.
Это пространство можно интерпретировать
как пространство нечетких множеств
[11]. Очевидно,
.
Будем использовать расстояние
.
Непараметрическая оценка плотности
имеет вид:
.
Если
,
,
то при
выполнены условия теоремы 3, а потому
справедливы теоремы 1 и 2.
. ПРИМЕР
3. Рассматривая пространства ранжировок
объект непреов, в качестве расстояния
между ранжировками
и
.
Тогда
.
не стремиться к 0 при
.,
условия теоремы 3 не выполнены.
Пространства
разнотипных признаков - это декартово
произведение непрерывных и дискретных
пространств. Для него возможны различные
постановки. Пусть, например, число
градаций качественных признаков остается
постоянным. Тогда непараметрическая
оценка плотности сводится к произведению
частоты попадания в точку в пространстве
качественных признаков на классическую
оценку Парзена-Розенблатта в пространстве
количественных переменных. В общем
случае расстояние
можно, например, рассматривать как сумму
евклидова расстояния
между количественными факторами,
расстояния
между номинальными признаками (
,
если
и
,
если
)
и расстояния
между порядковыми переменными (если
и
- номера градаций., то
.
Наличие
количественных факторов приводит к
непрерывности и строгому возрастанию
,
а потому для непараметрических оценок
плотности в пространствах разнотипных
признаков справедливы теоремы 1 - 3.
Литература
1.Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях.-М.Наука,1979.-296 с.
2.Орлов А.И. Экспертные оценки / Вопросы кибернетики. Вып.58.-М.: Научный Совет СССР по комплексной проблеме "Кибернетика", 1979.С.17-33.
3.Орлов А.И. / Тезисы докладов Четвертой международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике: Том 2.-Вильнюс, Вильнюсский госуниверситет, 1985.С.278-280.
4.Орлов А.И. / Анализ нечисловой информации в социологических исследованиях.-М.Наука, 1985.С.58-92.
5.Орлов А.И. / Статистика. Вероятность. Экономика.-М.Наука,1985. С.99-107.
6.Орлов А.И. / Заводская лаборатория. 1987.Т.58. N3.С.90-91.
7.Орлов А.И. /Надежность и контроль качества. 1987.N6.С.54-59.
8.Рекомендации. Прикладная статистика. Методы обработки данных. Основные требования и характеристики.- М.:ВНИИС,1987.-64 с.
9.Кривцов В.С., Фомин В.Н., Орлов А.И. / Стандарты и качество. 1988.N3.С.32-36.
11.Колмогоров А.Н. Статистический приемочный контроль при допустимом числе дефектных изделий, равном нулю. - Л.: ДНТП, 1951. - 22 с.
12. Гнеденко Б.В. Математика и контроль качества продукции.- М.: Знание, 1978. - 64 с.
13. Беляев Ю.К. Вероятностные методы выборочного контроля.-М.: Наука, 1975. - 408 с.
14. Лумельский Я.П. Статистические оценки результатов контроля качества. - М.: Из-во стандартов, 1979. - 200 с.
15. Орлов А.И. Современные проблемы кибернетики: Прикладная статистика. - М.: Знание, 1981. с 3-14.
16. Статистические методы анализа экспертных оценок / Ученые записки по статистике, т. 29, -М.: Наука, 1977-384 с. 17.
17.Экспертные оценки в системных исследованиях / Сборник трудов. - Вып. 4. - М.: ВНИИСИ, 1970 - 120 с.
18. Экспертные оценки / Вопросы кибернетики. - Вып. 58. - М.: Научный Совет АН СССР по комплексной проблеме / "Кибернетика". 1979. - 200 с.