Алгебра; квадратные уравнения
Автором основополагающего арабского трактата по алгебре «Краткой книги об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы», в латинских переводах оказавшего также большое влияние на средневековую европейскую науку, был уже не раз упоминавшийся аль-Хорезми. В центре внимания стоит решение шести канонических классов уравнений первой и второй степеней, которые он, как и все его преемники в странах арабского Востока, записывали без всякой символики:
Сам аль-Хорезми выражал уравнение, скажем, четвертого класса так: «Квадраты и корни равны числу». Чтобы решить какое-либо уравнение первой или второй степени, его требуется предварительно свести к одному из этих типов, которые как видно, не содержат вычитаемых членов. Для этого применяются операции, давшие название как трудам по алгебре, так и самой этой науке. Операция аль-джабр (восполнение) есть перенос вычитаемых членов уравнения в другую часть в виде прибавляемых членов; аль-мукабала (противопоставление) есть сокращение равных членов в обеих частях. Кроме того, требовалось привести коэффициент а при квадрате к единице, так как правила решения формулировались для этого случая. Таким образом, уравнение 2х2+100-20х=58 с помощью аль-джабра преобразуется в 2х2+100=58+20х и после деления на 2 с помощью аль-мукабалы – в уравнение пятого класса х2+21=10х.
Что касается решений ,то аль-Хорезми формулируе тлишь правила, дающие положительные корни уравнений. Уравнения четвертого и шестого классов всегда имеют один и только один такой корень (другой отрицательный); уравнение пятого класса либо имеет два таких корня, либо вовсе не имеет действительных корней. Аль-Хорезми указывает условия, при которых корни существуют, в том числе когда есть только один корень (мы бы сказали теперь – двойной). Правила формулируются на примерах с числовыми коэффициентами, но вполне общим образом. Обоснованы правила для четвертого и шестого классов с помощью некоторых геометрических преобразований прямоугольных фигур, соответствующих нашим алгебраическим преобразованиям. Например, правило решения уравнения х2+10х=39 . Неизвестная величина х изображается линией, х2 – квадратом, построенном на этой линии, а произведение 10х – суммой двух прямоугольников со сторонами х и 5 (рис 4). Эти прямоугольники вместе с квадратом образовывали Г-образную фигуру с площадью 39. Наконец, Г-образная фигура дополняется квадратом со стороной 5 до полного квадрата с площадью 64. Сторона полного квадрата одновременно есть х+5 и 8; следовательно, х=3.
Рис.
4
Рис. 5
Это и другие доказательства аль-Хорезми напоминают теоремы античной геометрической алгебры, но лишь отчасти. Предшественники аль-Хорезми в алгебре неизвестны; несомненно, он опирался на местные традиции, синтезировавшие элементы вавилонской и греческой математики. В алгебраическом трактате аль-Хорезми мы находим также краткие сведения о действиях с алгебраическими выражениями, некоторые примеры алгебраического решения треугольников и большой отдел задач на раздел наследств, выражающихся уравнением первой степени.
Другой вариант геометрических доказательств и несколько более полный анализ правил решения квадратных уравнений встречается у Ибн Турка аль-Хуттали, уроженца Хуттла – района нынешнего Душанбе, современника аль-Хорезми. И, наконец, доказательства этих правил для четвертых-шестых классов квадратных уравнений с помощью V – VI предложений II книги Евклида, выражающих правила
мы находим у багдадского ученого Сабита ибн Корры (836 – 901).
Ибн Корра, уроженец сирийского города Харрана ,принадлежал к потомкам древних вавилонян – сабиям, из среды которых вышли многие астрономы и математики. В эпоху эллинизма сабии усвоили греческий язык. Поссорившись со своими единоверцами, Ибн Корра приехал в Багдад, примкнул к кругу ученых, группировавшихся около братьев Бану Муса, и вскоре занял в нем выдающееся место. Ибн Корра – автор многих сочинений по математике, астрономии и механике, но также переводил и редактировал переводы с греческого и сирийского. Именно в его переводах сохранились не дошедшие до нас по-гречески книги «Конические сечения» Аполлония, «Книга лемм», «Книга о семиугольнике» и другие мемуары Архимеда. Все позднейшие ученые Востока пользовались его переводом «Аламагеста» и «Началами» Евклида в его редакции. Квадратным уравнениям посвящен трактат Ибн Корры «Рассуждение об установлении задач алгебры с помощью геометрических доказательств». Приведем в качестве примера обоснование Ибн Корры решения уравнения
. Ибн Корра строил квадрат ABDC, равный х2, и продолжал одну из его сторон на отрезок BE=а (рис. 5). Далее он строил прямоугольник DE, равный произведению ах. Тогда прямоугольник CE=ABDC+DE равен х2+ах=b и, следовательно, известен. Но если середина отрезка BE – точка F, то в силу VI предложения II книги «Начал»
. Так как произведение
известны, известен и квадрат
, а следовательно, и сама линия
. Искомая линия
= х равна разности известных линий
Алгебра квадратных уравнений получила дальнейшее развитие в «Книге об аль-джабр и аль-мукабале» египетского математика Х века Камила аль-Мисри. Абу Камил с большим искусством владел различными преобразованиями, в частности иррациональных выражений. Его книга уже не содержит геометрических приложений. Этому вопросу Абу Камил посвятил специальное сочинение, где с помощью квадратных уравнений решены многие задачи на определение элементов правильных пяти- и десятиугольников, вписанных в данный круг или описанных около него. Приведем одну любопытную задачу, в которой нарушено античное требование однородности слагаемых величин и вместе с тем приходится действовать иррациональными числами. Требуется найти высоту равностороннего треугольника, если сумма площади и высоты равна 10. Дело сводится к уравнению
,
корень которого
.
Иранский математик Абу Бакр аль-Караджи в посвященном багдадскому визирю Фахр аль-Мульку трактате «Аль-Фахри» (ок. 1010) дал решение трехчленных уравнений вида
Кубические уравнения
Первый толчок в этом направлении сообщила задача Архимеда о делении данного шара плоскостью на два сегмента с данным отношением объемов. Решения, найденные Архимедом и его преемниками остались арабам неизвестными. Первый шаг сделал аль-Махани, выразивший задачу уравнением типа
. Вслед затем несколько ученых Х века – аль-Хазани, Ибн аль-Хайсам и другие – дали геометрическое построение величины
На протяжении Х века уравнениями высших степеней с числовым или же произвольным коэффициентами был выражен целый ряд геометрических, тригонометрических и физических задач: построение сторон вписанных в данный круг правильных девяти- и семиугольников, построение сегмента шара по данным объему и площади поверхности, задача о трисекции данного угла и др. Все эти задачи сводятся к уравнениям третьей степени. Трисекции угла посвящен трактат Сабита ибн Корры «Деление прямолинейного угла на три равные части». Ибн Корра, следуя Архимеду, сводит эту задачу к построению с помощью «вставки», а задачу о помещении отрезка
между сторонами
и продолжением стороны
прямоугольника
таким образом, чтобы положение этого отрезка проходило через вершину
, он сводит к проведению через вершину
гиперболы, для которой прямые
и
служат асимптотами, и к проведению окружности с центром
и радиусом
(рис. 6). Если гипербола и окружность пересекутся в точке
на прямые
и
откуда
, т.е.
.
Но
откуда
рис. 6
Построение стороны правильного вписанного девятиугольника для вычисления тригонометрических таблиц подробно изложено в крупнейшем астрономическом произведении средневекового Востока – «Каноне Мас’уда» Абу Райхана аль-Беруни (973 – ок. 1050). Уроженец г. Кят, аль-Беруни сначала работал в родном ему Хорезме и в Гургане на южном берегу Каспийского моря, а с 1017 года, после захвата Хорезма был вынужден переехать в столицу империи Махмуда Газну. После завоевания Махмудом Северной Индии аль-Беруни прожил в ней несколько лет и глубоко изучил санскритскую научную литературу. Аль-Беруни принадлежит большое число сочинений по различным разделам математики и естествознания вплоть до минералогии и фармакогнозии. «Канон Мас’уда», посвященный сыну Махмуда Мас’уду вступившему на престол в 1030 году, - огромный энциклопедический труд, в котором, помимо астрономии, имеются большие части, посвященные тригонометрии, хронологии и географии. В тригонометрической части «Канона» аль-Беруни свел определение стороны вписанного правильного девятиугольника, т.е. хорды
, к кубическим уравнениям
, в первом из которых х – хорда дуги 2/9 окружности, а во втором х – сторона вписанного правильного 18-угольника. Приближенно решая первое из этих уравнений, аль-Беруни нашел, что х=1;52, 45, 47, 13, откуда следует, что хорда 1/9 окружности равна 0; 41, 2, 32, 41, 55. Однако он не сообщил здесь способа приближенного вычисления корней и лишь описал итерационный прием нахождения стороны девятиугольника, состоящий в последующем определении хорд
(т.е. 1/12, 1/6 и 1/5 круга), а затем хорд
Уравнение четвертой степени Абу Али ибн аль-Хайсама (965-1039). Уроженец Басры в Ираке, ибн аль-Хайсам работал главным образом в Каире; ему принадлежат много трудов по математике и астрономии. Латинский перевод его «Книги оптики» оказал большое влияние на развитие этой науки в Европе. К уравнению четвертой степени сводится задача Ибн аль-Хайсама об определении места отражения светящейся точки от цилиндрического зеркала по данным положениям точки и глаза. Каирский ученый решил ее с помощью пересечения окружности и гиперболы.
В построении кубических уравнений были достигнуты столь значительные успехи, что вскоре стало возможным создание обобщающей их теории. Наиболее удачное положение ее дал Омар Хайям в «Трактате о доказательствах задач алгебры» (1074). В этом труде алгебра впервые выступает как самостоятельная наука. Подобно Ибн Корре, Хайям нередко называл алгебру аль-джабр; он употребляет также термин «алгебраисты» (джабриййун). Предметом алгебры Хайям объявляет неизвестное число и неизвестную величину, отнесенные к другим известным числам или величинам. Такое отнесение осуществляется в виде уравнения, т.е. приравнивания одних степеней к другим. Тем самым алгебра рассматривается как наука об уравнениях, которые мы теперь называем алгебраическими.
Отметив, что поиски числового решения кубических уравнений, т.е. решения в радикалах, оказались тщетными, Хайям высказывает надежду, что это будет сделано в будущем; действительно, это удалось итальянцам в начале XVI века. Общим методом решения объявляется построение корней с помощью пересечения конических сечений. Главное содержание трактата составляет классификация уравнений, подбор соответствующих каждому классу пар конических сечений и определение возможного числа и границ положительных корней, т.е., как говорят теперь, отделение корней. Уравнения исследуются в общем виде, т.е. коэффициенты их предполагаются произвольными положительными величинами. Всего Хайям различает 14 канонических классов. Для каждого их них он указывает требуемые конические сечения – параболы, равносторонние гиперболы и окружности, абсциссы точек пересечения которых выражают корни уравнения, и анализирует условия возможности положительных корней. Так, для решения уравнения
Хайям строит гиперболу и окружность следующим образом: он считает коэффициент р линией ВС, коэффициент q – квадратом со стороной BD, а свободный член r – параллелепипедом с основанием q и высотой s=AB (т.е. BC=p, BD=
и
Корнем уравнения является абсцисса точки К пересечения этих кривых. Хайям правильно указывает, что во втором случае (r/q>p) этот корень единственный (абсцисса r/q точки А не удовлетворяет кубическому уравнению, так как уравнения кривых при исключении у дают уравнение четвертой степени, корни которого – корни кубического уравнения и число r/q ), однако он не заметил, что в первом случае (r/q>p ) могут существовать еще два положительных корня и, таким образом, прошел мимо открытия трех корней кубического уравнения, обнаруженных только Дж. Кардано в XVI веке. Впрочем, заметить возможность еще двух точек пересечения кривых на чертеже нелегко. Во всех остальных случаях анализ существования одного или двух положительных корней у Хайяма совершенно правильный. Для примера Хайям применяет свой геометрический метод, комбинируя его с некоторыми расчетами, и к отделению корней уравнений с числовыми коэффициентами.
Геометрическая теория кубических уравнений привлекала внимание математиков стран ислама и позднее и аль-Каши распространил ее на уравнения четвертой степени. Мы не знаем, однако, изложил ли он свои результаты, мельком упоминаемые в «Ключе арифметики», в специальном сочинении. Впоследствии геометрическое построение корней уравнений явилось предметом исследования европейских математиков Нового времени – Декарта и многих других, которые, впрочем, отправлялись от трудов греческих классиков: открытия арабских ученых в этой области были им незнакомы.
Наряду с общей теорией разрабатывались и приемы численного решения уравнений третьей степени. Такие приемы были известны например аль-Беруни, который, как мы видели, определял в «Каноне Мас’уда» сторну вписанного правильного девятиуольника. Аль-Каши в недошедшем до нас «Трактате о хорде и синусе» предложил оригинальный итерационный прием решения уравнения трисекции угла, которое можно записать в виде
Страница рукописи алгебраического трактата Хайяма.
где
. Метод аль-Каши известен нам в изложении Кази-заде ар-Руми, работавшего в Самаркандской обсерватории одновременно с аль-Каши, в «Трактате об определении синуса одного градуса» и внука ар-Руми Мирима Челеби в комментариях к астрономическим таблицам Улугбека. Этой задаче был посвящен и недошедший до нас трактат самого Улугбека. Аль-Каши записывает кубическое уравнение в форме
и берет в качестве в качестве первого приближения
, к качестве второго
; далее вычисляются
и т.п.в зависимости от требуемой точности. Этот процесс в рассматривавшихся случаях сходится очень быстро; с его помощью аль-Каши вычислил значение
Мы отмечали риторический характер арабской алгебры. Только в мавританских государствах были сделаны первые шаги к созданию алгебраической символики, которые мы знаем по труду «Снятие покрывала с науки Губар» аль-Каласади, работавшего в Гренаде перед самой гибелью последнего мавританского эмирата на юге Испании и умершего изгнанником в Африке (1486). Аль-Каласади для обозначения квадратного корня из числа ставил над этим числом букву «джим» - первую букву слова «джизр» - корень, а при записи уравнений для обозначения неизвестных и их квадратов ставил на соответствующими коэффициентами буквы «шин» и «мим» - первые буквы слов «шай» - вещь и «мал» -квадрат. Роль знака равенства играет буква «лам» - возможно, последняя буква слова «йа’далу» - равно. Интересно также обозначение пропорций \: члены пропорций разделяются троеточиями вида
Символика аль-Каласади была столь развита, что невозможно считать ее всецело созданием этого ученого. По-видимому, к его предшественникам принадлежал марокканский мавританский математик XIII века Ибн аль-Банна аль-Мараккуши (из Марокко), который, по сообщению тунисского историка XIV века Ибн Халдуна, применял при доказательствах алгебраические обозначения, служащие одновременно и для «отвлеченного рассуждения» и для «наглядного представления».
Теория чисел
Достижения в теории чисел были менее значительны. Все же следует упомянуть решение неопределенных уравнений первой степени и их систем в целых числах, иногда требовавшие терпеливых расчетов. Так, Абу Камил в «Книге редкостей в арифметике» нашел все 2676 целых решений системы
,
Быть может, особенно замечательно, что математики стран ислама впервые высказали утверждение, составляющее первый частный случай теоремы Ферма, именно, что уравнение
неразрешимо в рациональных числах (кроме тривиального случая, когда хотя бы одна из неизвестных равна нулю). В свою очередь, это утверждение связано с предположением о неразрешимости в рациональных числах задачи об удвоении куба
Доказательство неразрешимости уравнения
Сабит ибн Корра посвятил «Книгу о нахождении дружественных чисел легким способом» изложению способа образования дружественных чисел, т.е. пар чисел, каждое из которых равно сумме делителей другого. Спосод ибн Корры, обобщающий пифагорейский способ образования совершенных чисел, изложенный в «Началах» Эвклида, состоит в том, что если
и
- 1 – простые числа, то числа
и
Геометрические вычисления
В геометрии большое место занимали вопросы, связанные с применением вычислительных методов. К этому кругу проблем относятся уже упоминавшиеся применения алгебры; использовались с этой целью и тригонометрические приемы. Уже «Книга измерения плоских и шаровых фигур» братьев Бану Муса, написанная в середине IX века, свидетельствовала о глубоком усвоении античных приемов измерения, в частности изложенных в «Измерении круга» Архимеда. В дальнейшем вычисление со все возрастающей точностью элементов фигур, особенно правильных многоугольников и многогранников, занимало многих ученых; сказанное относится и к точному или приближенному вычислению круглых фигур и их частей, а также фигур, встречающихся строительном деле, - арок, сводов, полых куполов и поверхностей в форме сталактитов.
Быть может самым ярким примером искусного применения вычислительной техники служит «Трактат об окружности» аль-Каши, в котором длина окружности вычислена (с помощью последова-тельного извлечения квадратных корней) как среднее арифметическое параметров вписанного и описанного правильных многоугольников с числом сторон 3• 228 . Это дало аль-Каши для отношения длины окружности к диаметру, т.е. числа ?, приближение ? =3; 08,29,44,00,47,25,53,07,25, которое он зедсь же переводит в десятичные дроби: ? =3,141 592 653 589 793 25, где неверна только последняя цифра 5, которую следовало бы заменить на 38…. Подобная точность была вновь достигнута лишь сто пятьдесят лет спустя А. Ван Роменом, который воспользовался вписанным и описанным 230 – угольниками.
Заметим в этой связи, что математики стран ислама уже высказали мысль об иррациональности числа ? – факт, доказанный только в XVIII веке Ламбертом и Лежандром.
Геометрические построения
Для нужд землемерия, архитектуры, техники разрабатывались и методы геометрических построений. Внук Сабита ибн Корры Ибрахим ибн Синан (908-946) посвятил теории геометрических построений специальную «Книгу о методе анализа и синтеза и о других действиях в геометрических задачах». В «Книге о построении трех (конических) сечений» Ибн Синан рассматривает семь способов построения эллипса, гиперболы и параболы по точкам с помощью циркуля и линейки. Абу Саид ас-Сиджизи (X-XI века) в «Трактате об описании конических сечений» применил для непрерывного построения всех трех конических сечений так называемый совершенный циркуль, одна из ножек при вращении может вытягиваться и сокращаться по длине отрезка прямолинейной образующей конуса от его вершины до точек сечения. На рис. 8 изображен совершенный циркуль, ножка АВ которого закреплена под углом ? к плоскости бумаги, а ножка ВС переменой длины вращается вокруг ножки АВ под углом ?. Заметим, что эксцентриситет ? конического сечения связан с углами ? и ? соотношением ? = cos ?/cos ? т.е. ?> ? сечение является эллипсом, при ?= ? – параболой, а при ?< ? – ветвью гиперболы.
Непрерывному построению эллипса с помощью нити, закрепленной в его фокусах (так называемый способ садовника), посвящен написанный в IX веке трактат одного из братьев Бану Муса аль-Хасана «Об удлиненном круге». На рис. 9 изображено построение таким образом эллипса с фокусами А и В.
Большое число геометрических построений изложено в «Книге о том, что необходимо ремесленнику из геометрических представлений» Абу-л-Вафы аль-Бузджани. Помимо элементарных задач, решаемых с помощью циркуля и линейки точно, здесь даются и приближенные построения, например для правильных семи- и девятиугольника; рассмотрены и механические приемы трисекции угла, а также удвоения куба. Около полутора десятков задач решено с помощью циркуля постоянного раствора – такие построения представляли практический интерес, ибо на открытой местности удобно пользоваться окружностями фиксированного радиуса. Абу-л-Вафа указывает также способы построения по точкам параболы, которую он называет «зажигательным зеркалом». Интересны построения Абу-л-Вафы на сфере: помимо элементарных задач сферической геометрии здесь решаются задачи разделения сферы на сферические многоугольники, получаемые проектированием из центра сферы на сферические многоугольники, получаемые проектированием из центра сферы ребер вписанных в нее правильных и полуправильных многогранников. Построениям на сфере посвящено специальное «Рассуждение о циркуле для больших кругов» Ибн аль-Хайсама.
Из геометрических задач Абу-л-Вафы отметим остроумное построение квадрата, равновеликого трем равным квадратам, путем раскроя этих квадратов: два из них делятся диагонально пополам, полученные треугольники приставляются к сторонам третьего квадрата. Тогда фигура EFGH искомый квадрат, который получается отрезанием выступающих частей треугольников и вставлением их на место конгруэнтных им частей квадрата EFGH , не заполненных треугольниками (рис. 9). Абу-л-Вафа показывает неточность методов, которыми решают эту задачу ремесленники, а также решает другими методами, из которых следует отметить построение стороны утроенного квадрата как диагонали куба, построенного на одном из малых квадратов. Особенно важно замечание Абу-л-Вафы к последнему методу: «Точно так же обстоит дело, если мы хотим построить квадрат более чем их трех или менее чем из трех квадратов», который для n>3 квадратов означает мысленное построение диагонали n – мерного куба, построенного на данном квадрате. Именно в эту эпоху на Востоке получили распространение геометрические названия степеней высшее третьей: квадрато-квадрат (мал аль-мал), квадрато-куб (мал аль-ка’б) и кубо-куб (ка’б аль-ка’б) и т.д., являющиеся переводами терминов Диофанта и их обобщениями; эит термины были хорошо известны Абу-л-Вафе, которому принадлежат комментарии к «Арифметикам» Диофанта.
Теория параллельных
Среди общих проблем геометрии пристальное внимание арабских ученых привлекла теория параллельных. Постулат параллельных Эвклида (если прямая образует с двумя прямыми, лежащими в одной плоскости, внутренние односторонние углы, в сумме меньше двух прямых, то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются с той стороны, где эта сумма меньше двух прямых) был подвергнут специальному рассмотрению еще греками. Многие полагали, что содержащееся в этом постулате утверждение является теоремой, которую можно доказать с помощью других постулатов и аксиом «Начал».
Первый арабский труд по этому вопросу был написан еще аль-Аббасом аль-Джаухари, работавшим под руководством аль-Хорезми. Аль-Джаухари в «Совершенствовании книги “Начала”» опирался на неявно предполагаемое допущение, равносильное доказываемому постулату: если при пересечении двух прямых какой-либо третьей накрестлежащие углы равны, то это же имеет место при пересечении тех же двух прямых любой другой прямой. Он доказал в качестве теоремы предложение: через любую точку внутри любого данного угла можно провести прямую, пересекающую обе его стороны. На скрытом допущении этого предложения основывалось одно из доказательств постулата о параллельных, придуманных Лежандром.
Два трактата, посвященные доказательству V постулата принадлежат Сабиту ибн Корре. В «Книге о доказательстве известного постулата Эвклида» Ибн Корра основывается на предположении, что если две прямые удаляются друг от друга с одной стороны, они обязательно приближаются с другой стороны. С помощью этого утверждения, равносильного V постулату, Ибн Корра доказывает существование параллелограмма, после чего уже легко доказывается V постулат. В «Книге о том, что две линии проведенные под углами, меньшими двух прямых, встретятся» Ибн Корра исходит из существования равноотстоящих прямых, с помощью чего доказывает сначала существование прямоугольника. Здесь, однако, существование равноотстоящих прямых на плоскости (утверждение само по себе равносильное доказываемому) не постулируется: Ибн Корра пытается вывести его из представления о «простом движении», т.е. о равномерном поступательном движении вдоль прямой. Именно он считает очевидным (здесь-то и скрыто утверждение, содержащее доказываемый постулат), что при таком движении все движущиеся точки описывают прямые линии.
Ибн аль-Хайсам также рассмотрел теорию параллельных в двух сочинениях. В трактате «О разрешении сомнений в книге Эвклида “Начала”» исходным служит утверждение, что две пересекающиеся прямые не могут быть параллельны одной прямой, т.е. что из одной точки нельзя провести двух параллелей к одной прямой. В «Книге комментариев к введениям книги Эвклида “Начала”» Ибн аль-Хайсам использует то же представление о «простом движении», что и Ибн Корра. С помощью «простого движения» Ибн аль-Хайсам устанавливает, что коней отрезка, перпендикулярного к прямой, вдоль которой происходит движение, описывает прямую, которая, таким образом, является равноотстоящей от данной прямой. Далее оказывается существование прямоугольника, для чего рассматривается четырехугольник с тремя прямыми углами и три гипотезы о четвертом угле этого четырехугольника, который априори можно предположить острым, тупым и прямым (рис 10).
Рис. 10
Рис. 11
Омар Хайям в «Комментариях к трудностям во введениях книги Эвклида» подверг критике геометрию недопустимо вводить движение. Собственное доказательство Хайяма базируется на принципе, который он считал более простым, чем постулат Эвклида: две сходящиеся прямые пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые расходились в месте схождения. Каждое их этих двух утверждений равносильно утверждению постулату Эвклида. В отличие от многих своих предшественников, Хайям формулировал свой постулат явно. В его рассуждениях основную роль играет рассмотрение четырехугольника с двумя равными сторонами, перпендикулярными к основанию. Углы, прилегающие к четвертой стороне, равны между собой; подобно Ибн аль-Хайсаму, Хайям разбирает три гипотезы о величине этих углов (рис. 11). Опровергая гипотезы острого и тупого углов, он также приходит к существованию прямоугольника, и т.д. Комментарии Хайяма к Эвклиду оказали влияние на работы по теории параллельных Насир ад-Дина ат-Туси, который в своем «Изложении Эвклида» предложил доказательство, основанное на постулате: если прямые, расположенные в одной плоскости, расходятся в одном направлении, они не могут в этом направлении сходится, если только не пересекаются. И он рассматривает четырехугольник Хайяма и три гипотезы о нем.
Заметим, что тот же четырехугольник и те же три гипотезы были положены в основу исследований по теории параллельных итальянского математика первой половины XVIII века Саккери.
Мы назвали далеко не всех математиков, занимавшихся теорией параллельных на протяжении IX – XIV веков. Разумеется, арабские математики были далеко от мысли о создании неевклидовой геометрии и только стремились вывести постулат Эвклида о параллельных из принципов, которые считали более очевидными. Но попутно они сделали несколько выдающихся открытий: установили двустороннюю зависимость между этим постулатом и величиной суммы углов четырехугольника и, следовательно, треугольника; установили логическую эквивалентность ряда предложений теории параллельных; применили для опровержения острого и тупого углов способ приведения к противоречию и т.д. При этом Хайям получает некоторые предложения, по существу принадлежащие к первым теориям неевклидовых геометрий Лобачевского и Римана.
Исследования по теории параллельных ат-Туси стали известными в Европе в XVII веке, в частности Валлису, и таким образом сыграли роль в подготовке одного из крупнейших открытий математики – систем неевклидовых геометрий.
Тригонометрия
Тригонометрия возникла сначала в форме исчисления хорд в трудах александрийских астрономов. Индийцы, отправляясь от этих трудов, ввели линии синуса, косинуса и синуса-версуса. Познакомившись с индийскими «сиддхантами», арабские ученые существенно продвинули вперед разработку тригонометрии, которая стала благодаря им разветвленной и самостоятельной наукой.
Первоначально тригонометрия излагалась в составе астрономических сочинений, заключавших и тригонометрические таблицы. Мы уже указывали, что арабы называли линию синуса словом «джайб» (транслитерация индийского слова «джива» - хорда, тетива), переведенным на латынь словом sinus; от латинского сокращения выражения complementi sinus, которым было переведено арабское выражение «джайб тамам» - синус дополнения, произошел наш «косинус». Понимая под словом «синус» линию синуса, арабы называли радиус круга «наибольшим синусом» или «полным синусом»; последнее выражение долго сохранялось в Европе в виде названия sinus totus и обозначения sin tot.
Линии тангенсов и котангенсов арабы первоначально именовали соответственно «обращенной тенью» (зиил ма’кус) и «плоской тенью» (зиил мустав) – названиями, восходящими к гномике александрийских астрономов и объясняющимися тем, что линии тангенса и котангенса первоначально рассматривались как тени гномона – горизонтального и вертикального – соответственно на вертикальную и горизонтальную плоскости; позже эти линии стали называть соответственно «тенью» и «тенью дополнения» (в Европе их вначале называли umbra – тень). Линии синуса и косинуса измеряли, следуя традиции александрийских и индийских астрономов, в 60-х долях радиуса, а линии тангенса и котангенса – в 7-х и 12-х долях гномона.
Линии секанса и косеканса, являющихся отрезками прямой диаметра, сначала называли диаметрами обращенной и соответственно плоской тени, а в последствии – первым и вторым диаметрами. Теоретический интерес этих двух последних линий невелик, но таблицы их вплоть до открытия логарифмов имели практическую ценность, поскольку позволяли деление на косинус и синус умножением. Наиболее ранние таблицы синусов в арабском мире были составлены, по-видимому, аль-Хорезми, а в астрономических таблицах его современника Хабаша аль-Хасиба аль-Марвази имелись уже линии тангенса, котангенса, секанса и косеканса.
Рис. 12
Вслед за индийскими астрономами ученые стран ислама при решении астрономических задач пользовались правилами сферической тригонометрии. Например, Сабит ибн Корра в «Книге о часовом инструменте, называемом солнечными часами» дал два решения задачи об определении высоты h Солнца над горизонтом по широте ? местности, склонению ? Солнца и его часовому углу h. Правила Ибн Корры в наших обозначениях имеют вид
где t0 – угол – ZPA на рис. 12. Первое правило отличается от правила Варахамихиры только тем, что произведение cos?cos? заменено равным ему отношением
во втором правиле h находится без помощи t0. То и другое равносильно сферической теореме косинусов. Эти же правила изложены в «Книге о науке звезд» аль-Баттани, а затем аль-Беруни в «Каноне Ма’суда» и другими астрономами стран ислама.
К той же теореме сводились правила определения расстояния между двумя городами с данными географическими координатами и определение направлений на священный город мусульман Мекку (так называемая Кибла) в городе с данными координатами. В первом случае при определении расстояния АВ между городами А и В , в сферическом треугольнике ABN, образованным этими городами и северным полюсом Земли N, известны угол N, равный разности долгот городов А и В , и расстояния (в градусах) NA и NB, равные дополнениям широт городов А и В до ?/2. Во втором случае, если считать, что город В – Мекка, требуется узнать угол А того же треугольника. К задачам сферической тригонометрии сводятся такие важные для сферической астрономии задачи взаимного перехода между тремя применяемыми в астрономии системами координат на небесной сфере: экваториальной, где роль экватора играет небесный экватор, а роль полюса – полюс мира, вокруг которого совершается видимое суточное вращение светил; эклиптической, где роль экватора играет эклиптика, по которой совершается видимое годичное движение Солнца, а роль полюса – полюс эклиптики, и наконец, горизонтальной, где роль экватора играет линия горизонта, а роль плюса – зенит.
Сферической тригонометрии было посвящено также сочинение Сабита ибн Корры «Трактат о фигуре секущих», в котором доказана сферическая теорема Менелая, формулируемая еще с помощью синусов, как у последующих математиков, а, следуя Менелаю и Птолемею, с помощью хорд удвоенных дуг.
На рубеже IX и Х веков, например, в «Книге о науке звезд» Сабия Абу Абдаллаха аль-Баттани (ок. 850-929) учение о тригонометрических функциях, представлявшихся в виде отрезков, связанных с кругом определенного радиуса, достигло довольно высокого развития. Были найдены простейшие соотношения между ними, разработаны приемы составления тригонометрических таблиц и установлен ряд основных теорем, служащих для решения плоских и сферических треугольников. Правда, запас этих теорем был невелик и потому решение треугольников было часто довольно громоздким. Весьма значительного развития достигло искусство решения сложных тригонометрических задач в «Каноне Мас’уда» аль-Беруни. Математики и астрономы стран ислама проявили большое вычислительное искусство при составлении тригонометрических таблиц. Мы упоминали об алгебраическом вычислении sin 1° аль-Каши, но уже в Х веке Абу-л-Вафа в своем «Алмагесте» с помощью тонких интерполяционных приемов вычислил sin 0°,5 с точностью до 10-8 . Абу-л-Вафа пользовался линейным интерполированием; аль-Беруни предложил в «Каноне Мас’уда» применять квадратическое интерполирование.
Одним из замечательных образцов высокой техники приближенных вычислений может служить итерационный прием решения трансцендентного уравнения, получившего позднее имя Кеплера – уравнения t=
– k sin
0 = t+k sin t
1 =t+k sin
0
2 =t+k sin
1
аль-Хасиб мог удовлетворится отысканием
В XI веке появляется сводное сочинение, посвященное сферической тригонометрии, - трактат «Собрание правил науки астрономии» (теоремы сферической тригонометрии, необходимые для астрономии, называли «правилами астрономии»). Имя автора в дошедшей до нас рукописи не указано, сказано только, что трактат посвящен некоему Амид аль-Мульк Абу Насру Мансур ибн Мухаммеду и написан в Исфахане через два года после того, как была закрыта астрономическая обсерватория, которой руководил автор. Как видно из предисловия автору известен «Канон Мас’уда» аль-Беруни, законченный в 1030 голу; рукопись переписана в начале XIII века. Поэтому весьма возможно, что упомянутый Амид аль-Мулк – Кудури (1024-1064), визир сельджукского султана Торгул-бека.
Трактат состоит из трех книг. В первой изложена теория составных отношений, где, как и в комментариях Хайяма к Эвклиду, составление отношений трактуется как умножение некоторых величин. Во второй выводятся плоская и сферическая теоремы Менелая, а в третьей доказываются теоремы сферической тригонометрии, «заменяющие» теорему Менелая и решаются все шесть задач определения элементов сферического треугольника по трем известным, в том числе впервые – по трем углам. В связи с последней задачей здесь впервые же определяются полярный треугольник, вершины которого являются полюсами А’В’С’ сторон данного треугольника АВС, а стороны определяются через углы данного треугольника (рис. 13).
Рис. 13
Если в «Каноне Мас’уда» тангенс и котангенс называются еще «обращенной и плоской тенями», здесь мы встречаем уже «тень» и «тень дополнения», однако автор иногда сбивается на старую терминологию. Дальнейшие авторы уже прочно перешли на терминологию, введенную, по-видимому, в этом трактате. Рассматриваемый трактат – первое большое сочинение, специально посвященное сферической тригонометрии.
Все последующие авторы писали сочинения по сферической астрономии по плану этого трактата. Таков «Трактат о полном четырехстороннике» Насир ад-Дина ат-Туси (1260) и упоминаемая ат-Туси книга Фазл ад- Дина ас-Салара, его предшественника на посту советника Хулагу-хана, казненного последним в 1262 году. Трактат ат-Туси состоит из пяти книг: первая также посвящена теории составных отношений, вторая – плоской теореме Менелая, третья – тригонометрическим функциям, четвертая сферической теореме Менелая, пятая – теоремам сферической тригонометрии, «заменяющим» теорему Менелая. Здесь изложены в переработанном виде и все шесть случаев определения элементов сферического треугольника. Трактат ат-Туси в свою очередь, оказал значительное влияние на дальнейшее развитие этой науки, в частности Региомонтана.
Инфинитезимальные методы
Уже в середине IX века арабские математики владели античным методом исчерпывания, который обогатили некоторыми примерами, позволившими им получить по-новому уже ранее известные, а также и совсем новые результаты. В «Книге измерения плоских и сферических фигур» братьев Бану Муса методом исчерпывания доказан ряд предложений, имеющихся в трактатах Архимеда «Измерение круга» и «О шаре и цилиндре».
Близка к Архимеду и «Книга о карастуне» Сабита ибн Корры, посвященная теории рычажных весов. Находя равнодействующую двух равных параллельных сил, представляемых грузами, подвешенными к балке или коромыслу весов, он обобщает эту задачу на случай, когда к балке «подвешено сколь угодно грузов и даже бесконечно много». В случае любого конечного числа равных параллельных сил, приложенных на равных расстояниях друг от друга, равнодействующая равна сумме этих сил и приложена на середине отрезка между крайними точками приложения сил. Обобщая этот факт на случай бесконечно многих сил, Ибн Корра приходит к тому, что равнодействующая непрерывной нагрузки, равномерно распределенной на отрезке, приложена в середине этого отрезка. С математической токи зрения этот результат равносилен вычислению интеграла
В «Книге об измерении конического сечения, называемого параболой», Ибн Корра весьма оригинально произвел квадратуру сегмента параболы. То, что площадь этого сегмента равна 2/3 описанного около него параллелограмма, доказал еще Архимед, причем двумя способами: так называемым механическим методом и суммированием геометрической прогрессии, но соответствующий мемуар великого сиракузянина не был, по-видимому, известен арабским ученым. Во всяком случае, Ибн Корра решает задачу по-другому: он рассматривает параболу и делит ее диаметр на неравные части, относящиеся между собой как нечетные числа 1 : 3 : 5 : 7 :.. 1 : 4 : 9 : 16:…, а соответствующие ординаты точек параболы – как натуральные числа 1 : 2 : 3 : 4 :…. Таким образом, вычисление Ибн Корры равносильно вычислению интеграла
, причем он впервые делит отрезок интегрирования на неравные части. Это вычисление было существенным шагом вперед по сравнению с древними, так как у Архимеда встречаются лишь вкладки, равносильные интегрированию
и
Прием Ибн Корры получил дальнейшее развитие только в XVII веке, когда с помощью родственного приема – деления отрезка интегрирования на неравные части в геометрической прогрессии – П.Ферма вычислил интегралы
Рис. 13
Задача квадратуры параболы была решена еще одним чрезвычайно изящным методом внуком Ибн Корры Ибн Синаном в «Книге об измерении параболы». Сначала Ибн Синан доказывает, что если один многоугольник получен из другого с помощью аффинного преобразования, то площадь треугольника, начерченного в первом многоугольнике, относится к площади соответствующего треугольника во втором многоугольнике как площади этих многоугольников. Отметим, что здесь впервые проявляется аффинное преобразование наиболее общего вида; Ибн Синан не имеет еще никакого термина и описывает соответствие многоугольников, указывая на параллельность соответствующих линий на сохранение отношений отрезков соответствующих прямых. Далее утверждение с помощью метода исчерпывания обобщается на сегменты парабол и на вписанные в них треугольники, основаниями которых являются хорды сегментов, а вершинами – концы диаметров, сопряженных с этими хордами (рис. 13). И, наконец, Ибн Синан доказывает, что площадь сегмента параболы равна 4/3 площади вписанного в него треугольника, сравнивая сегмент параболы с одним из малых сегментов, из которых состоит избыток сегмента над треугольником (рис. 13 большой сегмент – АВС, малые – ANB и ВМС ). Ибн Синан доказывает, что площади треугольников, вписанные в малый и большой сегменты ,относятся как 8:1, откуда в силу доказанного следует, что таково же отношение и площадей самих сегментов, т.е. площадь сегмента относится к площади избытка как 4:1 и, следовательно, к площади вписанного треугольника как 4:3.
Рис. 14
В «Книге измерения параболических тел» Ибн Корра рассматривает тела, полученные вращением сегмента параболы. Он называет тела, образованные вращением сегментом около его хорды параболическими сферами, а тела, полученные вращением сегмента около одного из его диаметров,- параболическими куполами. Ибн Корра различает яйцевидные и тыквообразные параболические сферы (рис. 14 а, б) и параболические купола с гладкой, выступающей и вдавленной вершинами (рис. 14 в, г, д). Параболический купол с гладкой вершиной – сегмент параболоида вращения, объем которого был найден Архимедом в сочинении «О коноидах и сфероидах». В «Книге измерения параболических тел» находятся объемы параболических куполов всех трех типов методом, близким к методу предыдущего трактата Ибн Корры. Более простой метод определения кубатуры параболических куполов был предложен в конце Х века иранцем Абу-с-Сахлом аль-Кухи. Ибн Корра и аль-Кухи нашли, что объем параболического купола с гладкой, выступающей или вдавленной вершинами равен половине объема прямого кругового цилиндра тела вращения параллелограмма, описанного около сегмента параболы, при вращении которого относительно одного из его диаметров получается параболический купол (объем этого тела вращения равен объему прямого кругового цилиндра с той же боковой поверхностью).
Объем параболической сферы был найден в трактате «Об измерении параболического тела» Ибн аль-Хайсама. Это вычисление потребовало суммирования ряда четвертых степеней натуральных чисел, древним неизвестного:
с помощью которых он, применяя метод исчерпывания, доказывает, что объем параболической сферы равен 8/15 объема тела вращения параллелограмма, описанного около сегмента параболы, при вращении которого относительно одной из ее хорд получается параболическая сфера (объем этого тела вращения также равен объему прямого кругового цилиндра с той же боковой поверхностью). Вычисление Ибн аль-Хайсама было равносильно новому интегрированию
Другое направление инфинитезимальных исследований берет свое начало в «Книге о замедлении и ускорении движения по зодиакальному кругу в соответствии с его расположением относительно эксцентрического круга», также принадлежащей Ибн Корре. Трактат посвящен изучению видимого движения светила (например, Солнца) по эклиптике в соответствии с одной из гипотез Птолемея о движении по эклиптике, согласно которой истинное движение светила – равномерное по кругу с центром D, расположенному в плоскости эклиптики эксцентрично относительно Земли Е (рис 15). В трактате показывается, что скорость видимого движения достигает минимума в точке А эксцентрического круга, наиболее удаленной от Земли (т.е. в апогее светила), достигает максимума в точке С, наиболее близкой к Земле (т.е. в перигее), меньше в точках, более близких к точке А, и больше в точках, более близких к точке С. Термина «скорость» у Ибн Корры нет, в этом смысле он применяет слово «движение» (харака), но терминами «замедление» (ибта) и «ускорение» (сур’а) он пользуется.
Рис. 15
Особенно интересно предложение трактата: «Что касается среднего равномерного движения на зодиакальном круге, то оно не является истинным ни в каком месте, за исключением двух точек эксцентрического круга, в которых всегда движение среднее…. Это – две точки, видимое расстояние каждой из которых от самого дальнего расстояния по зодиакальному кругу – четверть круга». В этом предложении показывается, что в точках B и F, для которых углы 4ВЕ и AFE прямые, мгновенная скорость равна средней. Таким образом, в этом трактате Ибн Корра приходит к представлениям о мгновенной скорости и ускорении такого движения.
Эти идеи получили дальнейшее развитие в книге аль-Беруни «Метод исследования движения Солнца» и его «Каноне Мас’уда». В «Каноне Мас’уда» аль-Беруни характеризует движение Солнца по эклиптике (при той же гипотезе, что и у Ибн Корры) вблизи апогея и перигея следующим образом: «Замедление будет происходить по обе стороны апогея, а предел замедления – в нем самом. Затем замедление уменьшается и переходит в ускорение, предел которого в перигее. Далее ускорение уменьшается и переходит в замедление». Аль-Беруни также отмечает, что «замедление движения в апогее переходит в его ускорение в перигее только после того, как оно проходит через равенство его и среднего (движения) в месте наибольшего угла уравнения. Изменение его по обе стороны от этого места не ощущается, так как приращение (угла уравнения) уменьшается от апогея до указанного места, потом как бы останавливается в нем, а затем увеличивается до тех пор, пока Солнце не достигнет перигея». Под углом уравнения точки М эксцентрического круга подразумевается угол DME, равный разности углов ADM и AEM, под которыми дуга АМ видна из центров D и Е.
Следует отметить также, что, сформулировав в «Каноне Мас’уда»правило квадратичного интерполирования для таблиц синусов и тангенсов, аль-Беруни указывает, что «это уточнение возможно для всех таблиц по общему правилу», и формулирует для всевозможных встречающихся здесь непрерывных зависимостей, заданных, впрочем, таблицами, независимо от того, являются ли графики, выражающие эти зависимости, пользуясь современной терминологией, выпуклыми кривыми, как график синуса, или вогнутыми кривыми, как график тангенса.
Заметим также, что в философской литературе на арабском языке нашло отражение и античное атомистическое учение о пространстве и времени, отвергавшееся Аристотелем и Эвклидом. Упомянем прежде всего сочинения «мутакаллимов» - приверженцев так называемого калама, основанного в Х веке аль-Аш’шари, которые придерживались атомистической точки зрения как на пространство, так и на время (таким образом они стремились обосновать основное положение своего учения, согласно которому Аллах каждое мгновение вновь создает мир, вследствие чего ничто не может совершится не по его воле). Далее, заслуживает внимания философская полемика аль-Беруни с Ибн Синой по поводу книг Аристотеля «Физика» и «О небе», где аль-Беруни оспаривал мнение Аристотеля о прочности атомистической точки зрения, а Ибн Сина защищал его, а также критика атомизма в комментариях к Аристотелю западноарабского философа Ибн Рушида (Аверроэс, 1126-1198). Латинские переводы философских трудов Авиценны и Аверроэса сыграли существенную роль при начальной разработке новых течений математической и механической мысли в средневековых Оксфордской и Парижской школах.
Значение математики стран ислама
Математика стран ислама оказала исключительное влияние на развитие математики как на Востоке, так и на Западе. Мы уже упоминали о том, что в XIII веке в Ханабалыке (Пекин) появились исследования по сферической тригонометрии. Эти работы, несомненно связаны с деятельностью Насир ад-Дина ат-Туси. Известно, что в 1267 году в Ханабалык прибыл сотрудник Марагинской обсерватории Джамал ад-Дин (по китайским источникам – Чжа-ма-лу-тин), доставивший туда новые астрономические приборы, а также что в Мараге работал китайский астроном Фао Мун-чи. Мы указывали также, что крупный среднеазиатский ученый XI века аль-Беруни прожил несколько лет в Индии. В своей «Индии» аль-Беруни писал, что познакомил индийских ученых с «Началами» Эвклида, «Алмагестом» Птолемея и некоторыми своими трактатами, переводя их на санскрит.
Но особенно глубоким было влияние математики стран ислама на Западную Европу. Математики мавританских государств Северной Африки и Пиренейского полуострова, внесшие в развитие математики гораздо меньший вклад, чем их восточные коллеги, сыграли исключительно важную роль в ознакомлении европейцев с достижениями ученых стран ислама и их греческих, индийских и восточных предшественников. С начала XI века в течении около ста лет распространение сведений, полученных с Востока, имело в развитии математики в Европе решающее значение. В районы Испании, освобождающиеся от власти мавров, ученые многих стран Европы приезжали знакомится с математикой и естественными науками. В XII веке здесь достигает блестящего расцвета деятельность переводчиков и компиляторов арабских и переведенных с греческого сочинений. В это время на латынь переводится ряд сочинений аль-Хорезми, Бану Муса, Ибн Корры, Ибн аль-Хайсама и других математиков Востока и по существу создается латинский вариант арабской математической литературы. «Начала» Эвклида и многие сочинения Архимеда переводятся на латынь сначала с арабских переводов. Европейцы изучали арабскую литературу не только в Испании. Итальянец Леонардо Пизанский обучался математике в Северной Африке и объехал многие страны Востока.
Переводы с арабского продолжали играть существенную роль и позже, когда в Европе наметились собственные оригинальные направления. Достаточно упомянуть про Региомонтана, основой тригонометрического труда которого были работы аль-Баттани и Насир ад-Дина ат-Туси.
Начиная с XIV века основным путем влияния ученых стран ислама на Европу становится Византия. В этот период многие сочинения переводятся с арабского сначала на греческий, а затем с греческого на латынь и живые европейские языки. Мы уже упоминали о том, что вскоре после взятия Константинополя турками Ала ад-Дин аль-Кушчи познакомил византийских ученых с некоторыми открытиями ученых самаркандской школы. Это видно из того, что в византийских рукописях XV века приводятся вычисления с десятичными дробями со ссылкой на то, что этот способ заимствован у турок, а также из того, что первой европейской рукописью, где встречаются термины «положительный» и «отрицательный», является немецкая рукопись, приписываемая мифическому автору по имени Initus Algebras. В ней сказано, что ее оригинал был написан по-арабски, с арабского она была переведена на греческий, с греческого – на латынь, а с латыни – на немецкий (мы видели, что эти термины встречались в трактате самого аль-Кушчи). Были переведены на латынь и астрономические таблицы Улугбека.
О влиянии науки стран ислама на науку Европы говорят такие наши термины, как «арабские цифры», «алгебра», «алгоритм», «цифра», «корень», «синус». Арабского происхождения также многие астрономические термины и большинство названий звезд. Усвоение учеными Европы науки стран ислама позволило начать строить европейскую науку на прочном фундаменте и не повторить заново весь пройденный их предшественниками путь.