Вход

Разностные аппроксимации

Реферат по математике
Дата добавления: 23 января 2002
Язык реферата: Русский
Word, rtf, 4.5 Мб
Реферат можно скачать бесплатно
Скачать

11




Разностные аппроксимации


1.Примеры разностных аппроксимаций.

Различные способы приближенной замены одномерных дифференциальных уравнений разностными изучались ранее. Напомним примеры разностных аппроксимаций и введем необходимые обозначения. Будем рассматривать равномерную сетку с шагом h, т.е. множество точек

h={xi=ih, i=0, 1, 2,…}.

Пусть u(x) – достаточно гладкая функция, заданная на отрезке [xi-1, xi+1]. Обозначим


Разностные отношения



называются соответственно правой, левой и центральной разностными производными функции u(x) в точке xi , т.е. при фиксированном xi и при h0 (тем самым при i) пределом этих отношений является u’(xi). Проводя разложение по формуле Тейлора, получим


ux,i – u’(xi) = 0,5hu’’(xi) + O(h2),

ux,i – u’(xi) = -0,5hu’’(xi) + O(h2),

ux,i – u’(xi) = O(h2),


Отсюда видно, что левая и правая разностные производные аппроксимируют u’(x) с первым порядком по h, а центральная разностная производная – со вторым порядком. Нетрудно показать, что вторая разностная производная


аппроксимирует u’’(xi) со вторым порядком по h, причем справедливо разложение


Рассмотрим дифференциальное выражение


(1)


с переменным коэффициентом k(x). Заменим выражение (1) разностным отношением


(2)


где a=a(x) – функция, определенная на сетке h. Найдем условия, которым должна удовлетворять функция a(x) для того, чтобы отношение (aux)x,i аппроксимировало (ku’)’ в точке xi со вторым порядком по h. Подставляя в (2) разложения


где ui’ = u’(xi), получим


С другой стороны, Lu = (ku’)’ = ku’’ + k’u’,

т.е.


Отсюда видно, что Lhu–Lu = O(h2), если выполнены условия


(3)


Условия (3) называются достаточными условиями второго порядка аппроксимации. При их выводе предполагалось, что функция u(x) имеет непрерывную четвертую производную и k(x) – дифференцируемая функция. Нетрудно показать, что условиям (3) удовлетворяют, например, следующие функции:


Заметим, что если положить ai = k(xi), то получим только первый порядок аппроксимации.

В качестве следующего примера рассмотрим разностную аппроксимацию оператора Лапласа


(4)


Введем на плоскости (x1, x2) прямоугольную сетку с шагом h1 по направлению x1 и с шагом h2 по направлению x2, т.е. множество точек


h = {(xi1, xj2) | xi1 = ih1, xj2 = jh2; i, j = 0, 1, 2,…},


и обозначим


Из предыдущих рассуждений следует, что разностное выражение


(5)


аппроксимирует дифференциальное выражение (4) со вторым порядком, т.е. Lhuij – Lu(xi1, xj2) = O(h21) + O(h22). Более того, для функций u(x1, x2), обладающих непрерывными шестыми производными, справедливо разложение




Разностное выражение (5) называется пятиточечным разностным оператором Лапласа, так как оно содержит значения функции u(x1, x2) в пяти точках сетки, а именно в точках (x1i, x2j), (x1i1, x2j), (x1i, x2 j1). Указанное множество точек называется шаблоном разностного оператора. Возможны разностные аппроксимации оператора Лапласа и на шаблонах, содержащих большее число точек.


2. Исследование аппроксимации и сходимости

2.1. Аппроксимация дифференциального уравнения. Ранее рассматривалась краевая задача

(k(x) u’(x))’ – q(x) u(x) + f(x) = 0, 0 < x < l, (1)

k(0) u’(0) + u(0) = 1, u(l) = 2, (2)

k(x)  c1 > 0,   0,

для которой интегро-интерполяционным методом была построена разностная схема


(3)

(4)


где


(5)


(6)






Обозначим через Lu(x) левую часть уравнения (1) и через Lhyi – левую часть уравнения (3), т.е.



Пусть (x) – достаточно гладкая функция и (xi) – ее значение в точке xi сетки

h = {xi = ih, i = 0, 1, …,N, hN = l} (7)


Говорят, что разностный оператор Lh аппроксимирует дифференциальный оператор L в точке x=xi, если разность Lhi – Lh(xi) стремится к нулю при h0. В этом случае говорят также, что разностное уравнение (3) аппроксимирует дифференциальное уравнение (1).

Чтобы установить наличие аппроксимации, достаточно разложить по формуле Тейлора в точке x=xi значения i1 = (xi  h), входящие в разностное выражение Lhi. Большая часть этой работы проделана в предыдущей главе, где показано, что при условиях


(8)


выполняется соотношение



Если кроме того, докажем, что


di = q(xi) + O(h2), i = f(xi) + O(h2) (9)


то тем самым будет установлено, что оператор Lh аппроксимирует L со вторым порядком по h, т.е.


Lhi – L(xi) = O(h2), i = 1, 2,…, N–1 (10)


Итак, доказательство второго порядка аппроксимации сводится к проверке сводится к проверке условий (8), (9) для коэффициентов (5), (6). Проверим сначала выполнение условий (8). Обозначая p(x) = k-1(x), получим




следовательно,




Аналогично




Отсюда получим






т.е. условия (8) выполнены. Условия (9) выполнены в силу того, что замена интегралов (6) значениями qi, fi соответствует приближенному вычислению этих интегралов по формуле прямоугольников с узлом в середине отрезка интегрирования.


2.2. Аппроксимация граничного условия. Исследуем погрешность аппроксимации разностного граничного условия (4). Обозначим lh(0) = –a1x, 0 + 0. Если (x) – произвольная достаточно гладкая функция, то очевидно

lh(0) = –k(0) ’(0) + (0) + O(h),


т.е. имеет место аппроксимация первого порядка по h. Однако если =u(x) – решение задачи (1), (2), то разностное граничное условие (4) имеет второй порядок аппроксимации, т.е.



Докажем последнее утверждение. Используя разложение


ux, 0 = (u1 – u0)/h = u’(x1/2) + O(h2), x1/2 = 0,5h,

a1 = k1/2 + O(h2)

получим




Отсюда имеем