Геометрические задачи на олимпиадах по информатике

Реферат

Геометрические задачи на олимпиадах по информатике

Содержание

Введение

1. Основные формулы и алгоритмы

2. Численное решение геометрических задач

3. Различные задачи

Заключение

Литература

Введение

На большинстве многих областных олимпиадах по информатике по крайней мере одна из задач связана с геометрическими понятиями. Причем сформулированы они чаще всего в терминах вычислительной геометрии и описание таких объектов как прямая, отрезок, окружность, треугольник и т.д. производится путем задания координат точек, характеризующих эти объекты, в той или иной системе координат. Прежде, чем мы перейдем к рассмотрению этого класса олимпиадных задач, перечислим элементарные подзадачи (иногда это просто формулы из курса математики), на решение которых обычно опираются решения задач вычислительной геометрии.

1. Основные формулы и алгоритмы

Большинство из перечисленных задач либо не требуют пояснений, либо приведены в [1-4]. Напомним лишь наиболее важные из них. Причем основным инструментом для построения наиболее простых формул во многих задачах вычислительной геометрии является векторное произведение. Поэтому рассмотрение начнем с вопросов, с ним связанных.

Косое произведение в задачах вычислительной геометрии

Под косым произведением векторов p₁ и p₂ с декартовыми координатами (x₁, y₁) и (x₂, y₂) можно понимать ориентированную площадь параллелограмма, образованного точками (0,0), (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₁ + x₂, y₁ + y₂), которая равна p_1p₂ = –p_2p₁= x₁y₂ – x₂y₁ (задача 5.5)_. Косое произведение напрямую связано с понятием векторного произведения (но в отличие от последнего это скаляр). Поэтому в литературе по вычислительной геометрии иногда используется именно ито понятие. По-другому косое произведение как и векторное обозначается [p₁,p₂]. Если два вектора провести из общей начальной точки, то их косое произведение больше нуля, если угол между первым и вторым вектором ориентирован также как угол между первым и вторым базисными векторами и меньше нуля — в противном случае. Косое произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они коллинеарны (сонаправлены или противоположно направлены).

В задаче 3.2 проверить наличие пересечения у двух отрезков (а зачастую нас интересует лишь сам факт пересечения) несложно именно с использованием косого произведения. Пусть первый отрезок задан точками p₁ и p₂, а второй — p₃ и p₄ (также обозначаются вектора с соответствующими координатами). Обозначим x_max1 и x_min1 — максимальную и минимальную из первых координат первого отрезка, x_max2 и x_min2 — то же для второго отрезка. Для второй координаты аналогично имеем y_max1, y_min1, y_max2 и y_min2. Упомянутые отрезки пересекаются тогда, когда

а) пересекаются ограничивающие их прямоугольники, т.е. x_max1  x_min2, x_max2  x_min1, y_max1  y_min2 и y_max2  y_min1;

б) косые произведения (p₃ – p₁)(p₂ – p₁) и (p₄ – p₁)(p₂ – p₁) имеют разный знак, точнее

[(p₃ – p₁),(p₂ – p₁)][(p₄ – p₁),(p₂ – p₁)]  0;

в) [(p₁ – p₃),(p₄ – p₄)][(p₂ – p₃),(p₄ – p₃)]  0.

Последние два условия означают, что концы одного отрезка лежат по разные стороны от прямой, которой принадлежит другой отрезок. Первое же условие исключает из специального рассмотрения случай равенства нулю всех четырех косых произведений, при котором отрезки лежат на одной прямой и могут как пересекаться, так и нет.

Площадь треугольника (задача 6.3) равна половине модуля косого произведения двух векторов, образованных любыми двумя его сторонами.

Тогда расстояние от точки C до прямой, заданной координатами точек A и B (задача 4.2), можно подсчитать как отношение модуля косого произведения векторов CA и CB к длине отрезка AB (данная формула следует из двух способов вычисления площади треугольника).

Площадь произвольного многоугольника с вершинами p₀, p₁, …, p_n-1, перечисленными в порядке его обхода против часовой стрелки, (задача 6.4) можно вычислить как сумму ориентированных площадей треугольников, образованных векторами p_i и p_i+1, i = 0, …, n – 1; i + 1 вычисляется по модулю n.

Выпуклость многоугольника (задача 6.2) с вершинами p₀, p₁, …, p_n-1, перечисленными в порядке его обхода, легко проверить с помощью сравнения знаков косого произведения пар векторов (p_i+1 – p_i) и (p_i+2 – p_i+1), i = 0, …, n – 1; i + 1 и i + 2 вычисляются по модулю n. В случае выпуклого многоугольника знаки у всех указанных произведений совпадают (если мы знаем направление обхода, то знак косых произведений для выпуклого многоугольника определен: при обходе по часовой стрелке произведения отрицательны, а против часовой стрелки — положительны).

На этом способы полезного применения косого произведения отнюдь не исчерпаны.

Выпуклая оболочка множества N точек плоскости

Задача состоит в том, чтобы перечислить все точки, принадлежащие границе выпуклой оболочки заданного множества точек, в порядке ее обхода, например, против часовой стрелки (в некоторых задачах требуется перечислить только угловые точки). Для эффективного решения этой задачи существует несколько различных алгоритмов (см. [1]-[4]). Приведем наиболее простую реализацию одного из них — алгоритма Джарвиса.

{следующий абзац проиллюстрировать рисунком из номера 16/2000, стр. 11}

Перечисление точек искомой границы выпуклого многоугольника начнем с правой нижней точки, которая заведомо принадлежит границе выпуклой оболочки. Обозначим ее координаты (x₀, y₀). Следующей, при указанном порядке обхода, будет точка (x₁, y₁), для которой угол между осью OX и вектором (x₀, y₀)?(x₁, y₁) минимален. Если таких точек несколько, то угловой в многоугольнике станет точка, для которой длина вектора (x₀, y₀)?(x₁, y₁) максимальна, а следующей точкой, принадлежащей выпуклой оболочке — та, длина вектора у которой минимальна (таким образом наш выбор будет зависеть от конкретной постановки задачи). Для нахождения следующей точки значения углов между векторами вычислять необязательно. Мы опять можем воспользоваться понятием знака векторного произведения. Пусть, далее, мы уже нашли i?ю вершину выпуклой оболочки (x_i, y_i). Тогда, (i + 1)-я точка есть такая точка, еще не вошедшая в выпуклую оболочку, для которой угол между вектором (x_i?1, y_i?1)?(x_i, y_i) и вектором (x_i, y_i)?(x_i+1, y_i+1) минимален, при минимальной длине вектора (x_i, y_i)?(x_i+1, y_i+1) среди всех векторов с таким углом. Заметим, что для всех остальных точек (x, y), вектор (x_i, y_i)?(x, y) будет лежать вне угла, образованного указанными векторами, левее него. Тогда векторное произведение (x_i+1 – x_i)(y – y_i) – (y_i+1 – y_i)(x – x_i)  0, для любой точки (x, y), еще не вошедшей в границу выпуклой оболочки. Следовательно, мы можем сначала считать следующей, (i + 1)?ой, любую, еще не вошедшую в выпуклую оболочку, точку, а затем, вычисляем указанное выражение для остальных “свободных” точек (х, y). Если для одной из них (x_i+1 – x_i)(y – y_i) – (y_i+1 – y_i)(x – x_i) < 0, считаем следующей ее и продолжаем проверку остальных точек (аналогично алгоритму поиска минимального элемента в массиве). Если же значение выражения равно 0, то сравниваем квадраты длин векторов, а именно (x_i+1 – x_i)² + (y_i+1 – y_i)² и (x – x_i)² + (y – y_i)².

Таким образом, при решении данной задачи в случае изначально целочисленных координат мы полностью можем избежать применения вещественной арифметики, а, следовательно, избавиться от потери точности вычислений. В противном случае, в решение могут быть включены “лишние” точки, близкие к границе выпуклой оболочки или не учтены некоторые из “нужных” точек. Сложность данного алгоритма составит O(kN), где k — количество точек в выпуклой оболочке, в худшем случае равное N. Существуют алгоритмы решения этой задачи, основанные на предварительной сортировке точек исходного множества, например, по значению угла в полярной системе координат с центром в одной из точек выпуклой оболочки, с вычислительной сложностью O(NlogN) (алгоритм Грехема). То есть наиболее трудоемкой задачей оказывается именно сортировка исходных точек.

Приведем программу решения данной задачи алгоритмом Джарвиса:

var a, b: array[1..100] of record

x,y:integer;

f:boolean

end;

min, m, j, k, n: integer;

begin

readln(n);

for i:=1 to n do

begin

read(a[i].x, a[i].y);

a[i].f:=false

end;

{ищем нижнюю правую точку}

m:=1;

for i:=2 to n do

if a[i].y < a[m].y then m:=i else

if (a[i].y = a[m].y) and

(a[i].x > a[m].x) then m:=i;

b[1]:=a[m];

a[m].f:=true;

k:=1;

repeat

min:=1;

{ищем первую еще свободную точку}

while a[min].f do inc(min);

{ищем очередную вершину выпуклой оболочки}

for j:=1 to n do

if (not a[j].f) and

((a[min].x-b[k].x)*(a[j].y-b[k].y)-

(a[j].x-b[k].x)*(a[min].y-b[k].y)<0>

then min:=j else

if (not a[j].f) and

((a[min].x-b[k].x)*(a[j].y-b[k].y)-

(a[j].x-b[k].x)*(a[min].y-b[k].y)=0) and

(sqr(a[min].x-b[k].x)+sqr(a[min].y-b[k].y) >

sqr(a[j].x-b[k].x)+sqr(a[j].y-b[k].y))

then min:=j;

k:=k+1;

a[min].f:=true;

b[k]:=a[min] {записана очередная вершина}

until min=m; {пока ломаная не замкнется}

for j:=1 to k do {печать результата}

writeln(b[j].x,' ',b[j].y);

end.

Приведем примеры задач, при решении которых используется построение выпуклой оболочки.

Задача 1. Стена. (В англоязычном варианте задача предлагалась на студенческих командных соревнованиях по программированию в Санкт-Петербурге в 2001 г.)

Однажды жадный король приказал своему архитектору построить стену вокруг дворца. Король был настолько жадный, что не стал слушать предложения архитектора о построении стены совершенной формы. Вместо этого король приказал потратить на строительство стены определенной высоты и произвольной формы (не обязательно в виде ломаной!!!) как можно меньше кирпичей, но потребовал, чтобы стена отстояла от дворца не меньше, чем на L футов. В случае невыполнения условия или перерасхода средств архитектор может лишиться головы.

Ваша задача помочь бедному архитектору. Ваша задача написать программу, которая определит минимально возможную длину стены, которой можно окружить дворец и при этом выполнить все требования короля.

Первая строка входного файла содержит 2 числа N (3  N  1000) — количество углов в здании дворца и L (1  L  1000) минимальное расстояние на которое стена может приближаться ко дворцу. Следующие N строк описывают координаты на поверхности земли углов дворца, в порядке их обхода по часовой стрелке. Каждая строка содержит два целых числа — X_i и Y_i, разделенных пробелом (-10000  X_i, Y_i  10000), которые описываю координаты углов дворца в футах. Все углы дворца различны, а стороны не имеют других общих точек, кроме угловых.

Запишите в выходной файл одно число, определяющее минимальную длину дворца в футах, удовлетворяющую условию задачи. Ответ должен быть записан в виде целого числа, так как с вещественными числами король не знаком, однако округлять его следует так, чтобы целое число футов отличалось от настоящего ответа менее, чем на 8 дюймов (в 1 футе 12 дюймов).

Решение. Ответом на данную задачу будет длина выпуклой оболочки, увеличенная на длину окружности с радиусом L и округленная до ближайшего целого.

Задача 2. На плоскости заданы N точек. Построить замкнутую ломаную без самопересечений и самокасаний, вершинами которой должны стать все заданные точки. (См., например, [5], аналогичная задача предлагалась на кировской областной олимпиаде 2002г.).

Решение. Следующий рисунок проиллюстрирует идею одного из возможных способов решения данной задачи:

2. Численное решение геометрических задач

В ряде случаев при решении геометрических задач формулы из вычислительной геометрии могут оказаться слишком громоздкими и приводят к решению нелинейных уравнений. Тогда на помощь могут прийти численные (приближенные) методы, позволяющие решить задачу за требуемое время и с нужной точностью. Такой подход был продемонстрирован в [6] при рассмотрении задачи “Фонтан” (ее не следует путать с задачей 6, приведенной ниже).

Из численных методов наиболее часто употребимым является метод дихотомии (деления пополам). Рассмотрим его на примере задачи XII Всероссийской олимпиады по информатике.

Задача 3. Раздел царства.

Царство царя Гороха представляет собой выпуклый N-угольник, внутри которого расположены K селений. Царь решил завещать двум своим сыновьям по полцарства, одинаковые по площади и с равным количеством селений. Для этого он требует разделить царство одной прямолинейной границей.

Напишите программу, строящую границу согласно царской воле. Если граница проходит через селение, то оно может быть либо отнесено к одному из полуцарств, либо разделено на два селения, которые будут отнесены к разным полуцарствам (при нечетном K граница, естественно, должна разделить какое-то из селений).

Первая строка входного файла содержит количество вершин многоугольника N (3 ??N ??50). В следующих N строках заданы координаты вершин многоугольника, перечисленные в порядке обхода контура по часовой стрелке. В (N+2)-ой строке указано количество селений K (0 ? K?? 100), а в последующих K строках заданы координаты селений. Все координаты — целые числа, не превосходящие по модулю 10⁶. Размерами селений следует пренебречь.

В выходной файл нужно вывести координаты любых двух различных точек, через которые следует провести границу. Координаты должны быть выведены с 6 знаками после десятичной точки.

Решение. Выберем произвольную точку на границе царства. Для поиска прямой, проходящей через эту точку и делящей царство на две равные пока только по площади части, зафиксируем две другие точки границы, так, что прямая проведенная через выбранную и первую из фиксированных точек делит царство на две неравные части, причем левая (или нижняя для горизонтальной прямой) часть меньше правой (верхней). Прямая же, проходящая через выбранную точку и вторую из фиксированных, делит царство в обратном соотношении. Тогда искомая точка находится между двумя фиксированными и ее можно искать методом деления пополам. Теперь следует подсчитать количество селений в каждой из уже равных по площади частей. Если оно различно, то на границе нужно выбрать еще одну точку, при делении царства с помощью которой количество селений в половинах также будет соотноситься по-иному. Теперь можно применить метод деления пополам для правильного выбора опорной точки.

Задача 4. Рандеву. (VII Всероссийская олимпиада по информатике.)

Локаторы дальней космической связи замечают летящий в плоскости орбиты земли неизвестный астероид с координатами (x, y). Астероид летит с постоянной скоростью, векторное значение которой равно (V_x, V_y). С земли из точки с координатами (0, 0) немедленно стартует ракета с радиусом действия R (R > 0). Ракета летит по прямой с постоянной скоростью в пределах от 0 до W.

Требуется определить, может ли ракета подлететь вплотную к астероиду в пределах радиуса ее действия и найти вектор скорости ракеты, при котором время встречи ракеты с астероидом минимальное.

Результат решения задачи должен быть вычислен с погрешностью не более 0.01. Влиянием земли и всех космических объектов пренебречь. Ракета и астероид двигаются в одной плоскости.

В начале входного файла содержится число N — количество наборов исходных данных (тестов). Далее расположены N наборов исходных данных; каждый набор — шесть вещественных чисел: X, Y, V_x, V_y, W, R. Все числа в исходном файле разделяются пробелами и (или) символами перевода строки.

Для каждого набора исходных данных вывести с новой строки вектор скорости (U_x, U_y) и минимальное время до встречи, либо сообщение “Встреча невозможна”.

Решение. Для решения этой задачи прежде всего необходимо уметь определять взаимное расположение прямой, вдоль которой движется астероид, и окружности с центром на Земле и радиусом R. Если они не пересекаются, то встреча невозможна, в противном случае требуется отыскать точки их пересечения. Затем для поиска точки встречи с минимальным временем можно опять же применить дихотомию.

3. Различные задачи

Задача 5. “Куда идем мы с Пятачком?” (Кировское открытое командное первенство по программированию, 2001 г.)

Пятачок и Винни-Пух каждое утро ходят пить чай в гости к Кролику. Естественно, самым коротким путем. К сожалению, однажды Винни-Пуху пришла в голову идея вырыть ловушку для Слонопотама. Самое обидное, что они с Пятачком ее даже вырыли. Поэтому теперь каждое утро, идя в гости к Кролику, они боятся в нее провалиться.

Напишите программу, которая посчитает длину самого короткого безопасного пути от домика Винни-Пуха до домика Кролика.

Ловушка для Слонопотама представляет собой яму абсолютно круглой формы. Путь является безопасным, если он не проходит по ловушке (но может проходить по ее границе).

Во входном файле записаны сначала координаты домика Винни-Пуха X_В Y_В, затем — координаты домика Кролика X_К Y_К, а затем — координаты центра и радиус ловушки X_Л Y_Л R_Л. Все координаты — целые числа из диапазона от –32000 до 32000. Радиус ловушки — натуральное число, не превышающее 32000.

Домики Винни-Пуха и Кролика не могут находиться внутри ловушки, но могут находиться на ее границе.

Выведите в выходной файл одно число — длину самого короткого безопасного пути от домика Винни-Пуха до домика Кролика с тремя знаками после точки.

Решение. Для решения этой задачи необходимо определять взаимное расположение окружности и отрезка (а не прямой!!!) и правильно вычислять длину дуги окружности, ограниченной двумя заданными точками.

Задача 6. Подсветка фонтана. (IX Всероссийская олимпиада по информатике)

Плоское дно фонтана описывается замкнутой ломаной линией без самопересечений, причем никакие три вершины ломаной не лежат на одной прямой. Для организации подсветки фонтана между двумя заданными углами (вершинами) по дну проложен гибкий натянутый кабель (см. рис.). Требуется написать программу, вычисляющую длину этого кабеля.

Исходные данные записаны в файле в следующей последовательности:

• в 1-ой строке — число вершин N (N  100);

• в каждой из последующих N строк — пара чисел через пробел, являющихся координатами вершин x₁ y₁ x₂ y_{2 } x_N y_N в порядке обхода ломаной против часовой стрелки, где 1, 2,..., N - номера вершин;

• в последней строке — номера соединяемых вершин k и l (1  k  l  N).

Координаты вершин являются вещественными числами.

Результат вывести в виде числа. Результат проверяется с точностью до шести значащих цифр. Результирующее число может быть как с фиксированной точкой, так и в нормализованном виде.

Решение. Возможно несколько различных подходов к решению данной задачи. Один из них — поиск кратчайшего пути в графе (см. лекцию 8), в матрице смежности которого записаны расстояния между вершинами границы фонтана, если их можно напрямую соединить шлангом и , если этого сделать нельзя. Для построения такой матрицы необходимо уметь проверять наличие пересечения двух отрезков и в случае отсутствия пересечений — местоположение отрезка относительно границы фонтана (внутри или снаружи он находится). В последней подзадаче достаточно определить местонахождение одной из внутренних точек этого отрезка.

Знание различных геометрических формул было необходимо и при решении задачи XIII Всероссийской олимпиады по информатике “Пожар” (см. [7]).

Заключение

Т.о., в данной работе мы рассмотрели элементарные подзадачи, на решение которых обычно опираются решения задач вычислительной геометрии, а также олимпиадные задачи, связанные с геометрическими понятиями. В работе приводятся подробные решения задач с комментариями и пояснениями.

Литература

1. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: введение. — М.: Мир, 1989.

2. Окулов С.М. Геометрические алгоритмы. “Информатика”, №15, 16, 17, 2000.

3. Окулов С.М. 100 задач по информатике. Киров: изд-во ВГПУ, 2000.

4. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы. Построение и анализ. М.: МЦНМО, 2000.

5. Андреева Е., Фалина И. Турбо-Паскаль в школе. М.: Изд-во Бочкаревой Н.Ф., 1998.

6. Станкевич А.С. Решение задач I Всероссийской командной олимпиады по программированию. “Информатика”, №12, 2001.

7. Андреева Е.В. Решение задач XIII Всероссийской олимпиады по информатике. “Информатика”, №19, 2001.