Вычисление интеграла с помощью метода трапеций на компьютере

рис. 1

Тогда площадь первой слева полоски будет приближенно выражаться числом

((f(x0)+f(x1))/2)*(x1-x0)=((y0+y1)/2)*((b-a)/n),

ибо основания трапеции, за которую мы принимаем полоску, равны f(x0)=y0 и f(x1)=y1, а высота её

x1-x0=(b-a)/n.

Аналогично площади дальнейших полосок выразятся числами

(y1+y2)*((b-a)/2*n), (y2+y3)*((b-a)/2*n), … , (yn-1+yn)*((b-a)/2*n).

Значит, для нашего интеграла получается формула

I((b-a)/2*n)*[y0+2*(y1+…+yn-1)+yn].

Пологая для краткости y0+yn=Yкр (крайние), y1+y2+…+yn-1=Yпром (промежуточные), получим

 ydx  ((b-a)/2* n)*(Yкр+2*Yпром)

Эту формулу можно записать в другом виде

(где h – длина одного из n равных отрезков, xi=a+i*h). Эта приближенная формула и называется формулой трапеций. Она оказывается тем более точной, чем больше взятое нами число n. Погрешность одного шага вычисляется по формуле: -(h^3)/12.

Задача. Пусть нужно проинтегрировать функцию f(x) = x? +2x?-3x-8  на отрезке [0, 6]. На этом отрезке функция непрерывна.

Для выполнения поставленной задачи составлена нижеописанная программа, приближенно вычисляющая определенный интеграл с помощью метода трапеций. Программа состоит из трех функций main, f и trap. Функция main позволяет ввести интервалы интегрирования и задать точность вычисления интеграла, а также вызывает функцию trap для вычисления интеграла и распечатывает на экране результат. Функция f принимает аргумент x типа float и возвращает значение интегрируемой функции в этой точке. Trap – основная функция программы: она выполняет все вычисления, связанные с нахождением определенного интеграла. Trap принимает четыре параметра: пределы интегрирования типа float (a и b), допустимую относительную ошибку типа float и указатель на интегрируемую функцию. Вычисления выполняются до тех пор, пока относительная ошибка, вычисляемая по формуле | S-Sn |, не будет меньше или равна требуемой. Функция реализована с экономией вычислений, т. е. учитывается, что S0 постоянная и S1=S1+f(a+(2*i+1)*h), поэтому эти значения вычисляются единожды. Метод трапеций обладает высокой скоростью вычисления, но меньшей точностью, чем метод Симпсона, поэтому его применение удобно там, где не требуется очень высокая точность.

Ниже предлагается блок-схема, листинг, спецификации, ручной счет и результат работы программы на примере поставленной выше задачи. Блок-схема позволяет отследить и понять особенности алгоритма программы, спецификации дают представление о назначении каждой переменной в основной функции trap, листинг - исходный код работающей программы с комментариями, а ручной счет предоставляет возможность проанализировать результаты выполнения программы.

1. Блок-схема программы:

ДА

НЕТ

i=1

i=n/2

1. Листинг:

#include

#include$$

#include

main()

{

double a,b,er,eps,f(double),s,trap(double,double,double,double(*)(double));

clrscr();

printf("\n Задайте пределы интегрирования и точность: ");

scanf ("%lf%lf%lf",&a,&b,&eps);

s=trap(a,b,eps,f);

printf("\n Интеграл от a=%3.2lf до b=%3.2lf равен %lf",a,b,s);

getch();

}

double f(double x)

{

return x*x*x+2*(x*x)-3*x-8;

}

double trap(double a,double b,double eps,double(*f)(double))

{

double h,s,s0,s1,sn;

int i,n;

s=1; sn=101;

n=4;

s0=(f(a)+f(b))/2;

s1=f((a+b)/2);

while(fabs(s-sn)>eps){

sn=s;

h=(b-a)/n;

for(i=0; i

s1+=f(a+(2*i+1)*h);

s=h*(s0+s1);

n*=2;

}

return s;

}

1. Спецификации:

1. Ручной счет:

1. Результат работы программы:

при eps = 0.1 при eps = 0.001

Введите a, b, eps: Введите a, b, eps:

0 0

6 6

.1 .001

Интеграл= 366.024170 Интеграл= 366.000094

т.е с помощью этой программы можно вычислить интеграл от функции с точностью до 1/10000.