Возможности систем компьютерной математики MathCAD для решения задач математической статистики

1. Функция hist

Mathcad включает одну функцию, hist, для вычисления частотного рас­пределения, применяемого для построения гистограмм:

hist(int,А) Возвращает вектор, представляющий частоты, с которыми вели­чины, содержащиеся в векторе А, попадают в интервалы, пред­ставляемые вектором int. Элементы в А и int и должны быть вещественными. Кроме того, элементы int должны быть распо­ложены в порядке возрастания. Возвращаемый результат – вектор, содержащий на один элемент меньше, чем int.

Mathcad интерпретирует int как набор точек, определяющих последова­тельность интервалов в гистограмме. Значения в int должны быть рас­положены в порядке возрастания. Результатом этой функции является вектор f, в котором f_i есть число значений в А, удовлетворяющих усло­вию:

Mathcad игнорирует данные, меньшие, чем первое значение в int, или большие, чем последнее значение в int.

1. Случайные числа

Mathcad поставляется с рядом функций для генерирования случайных чи­сел, имеющих разнообразные распределения вероятностей. Функциональ­ные формы распределений, связанных с приведенными ниже функциями даны в подразделе "Плотности распределения вероятности.

rbeta(m,s₁,s₂) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих бэта-распределение. s₁,s₂>0 есть параметры формы.

rbinom(m,n,р) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих биномиальное распределение. 0?р?1. n есть натуральное число.

rcauchy(m,l,s) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих распре­деление Коши. s>0 есть параметр масштаба. l – пара­метр расположения.

rchisq(m,d) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих распре­деление хи-квадрат. d>0 есть число степеней свободы.

rехр(m,r) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих экспоненциальное распределение. r>0 — параметр распреде­ления.

rF(m,d₁,d₂) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих F-pacпределение. d₁,d2 >0 есть числа степеней свободы.

rgamma(m,s) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих гамма-распределение, s>0 есть параметр формы.

rgeom(m,p) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих геометрическое распределение. 0<р>

rlnorm (m,?,?) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих логнормальное распределение, в котором ? является натураль­ным логарифмом среднего значения, а ?>0 есть натуральный логарифм среднеквадратичного отклонения.

rlogis(m,l,s) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих логистическое распределение, в котором l является параметром расположения, a s>0 есть параметр масштаба.

rnbinom(m,n,р) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих отрица­тельное биномиальное распределение. 0<р?1. n есть на­туральное число.

rnorm(m,?,?) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих нормальное распределение. ?>0.

rpois(m,?) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих распределение Пуассона. ?>0.

rt(m,d) Возвращает вектор т случайных чисел, имеющих t-pacпределение Стьюдента. d>0.

runif(m,a,b) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих равномерное распределение, в котором b и а являются гранич­ными точками интервала, а

rnd(х) Возвращает равномерно распределенное случайное число между 0 и х. Эквивалент runif(1,0,х).

rweibull(m,s) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих распределение Вейбулла, в котором s>0 является парамет­ром формы.

Каждый раз, когда повторно вычисляется выражение, содержащее одну из этих функций, Mathcad генерирует новые случайные числа. Чтобы заставить Mathcad генерировать новые случайные числа, щёлкните мышью на выражении, содержащем функцию, и нажмите [F9].

Каждая из этих функций в действительности создаёт последователь­ность псевдослучайных чисел, связанную с некоторым задаваемым стартовым значением. Каждое нажатие [F9] заставляет функцию вы­дать новое значение из этой последовательности. Одно и то же стартовое значение производит одинаковые последовательности чисел. Изменение стартового значения приводит к смене последовательности случайных чисел, выдаваемых функцией.

Чтобы изменить стартовое значение, выберите Генератор случайных чисел... из меню Математика и измените стартовое значение в диало­говом окне. Убедитесь, что введено целое число.

Чтобы перезапустить генератор случайных чисел Mathcad, не изменяя стартового значения, выберите Генератор случайных чисел... из меню Математика и нажмите "ОК", чтобы принять текущее значение. За­тем щёлкните мышью на выражении с функцией, генерирующей слу­чайное число, и нажмите [F9].

Так как генератор случайных чисел был сброшен, Mathcad будет производить те же самые случайные числа, которые производились бы после перезапуска Mathcad.

Если нужно несколько раз использовать одну и ту же последователь­ность случайных чисел, сбросьте генератор случайных чисел между вычислениями, как описано выше.

Чтобы получить новый набор случайных чисел, измените стартовое значение, как описано выше. Это заставит Mathcad генерировать на­бор случайных чисел, отличный от того, который создаётся после пе­резапуска Mathcad. Каждый раз при необходимости получить новую последовательность случайных чисел следует переустанавливать стар­товое значение, как описано выше.

1. Интерполяция и функции предсказания

Интерполяция использует значения некоторой функции, заданные в ряде точек, чтобы предсказать значения функции между ними. В Mathcad: можно или соединять точки данных прямыми линиями (линейная интерполяция) или соединять их отрезками кубического полинома (кубическая сплайн-интерполяция).

В отличие от функций регрессии, обсуждаемых в следующем разделе, функции интерполяции определяют кривую, точно проходящую через за­данные точки. Из-за этого результат очень чувствителен к ошибкам данных. Если данные зашумлены, следует рассмотреть возможность использования регрессии вместо интерполяции.

Линейное предсказание заключается в использовании существующих значений данных, чтобы предсказать значения за их пределами. В Mathcad есть функция, которая позволяет предсказывать будущие значе­ния данных на основе уже имеющихся данных.

Всякий раз, когда массивы используются в любой из функций, описан­ных в этом разделе, убедитесь, что каждый элемент массива содер­жит определённое значение, так как Mathcad присваивает значение 0 любым элементам, которые явно не определены.

1. Линейная интерполяция

При линейной интерполяции Mathcad соединяет существующие точки данных прямыми линиями. Это выполняется функцией linterp, описанной ниже.

linterp(vx,vy,x) Использует векторы данных vx и vy, чтобы возвратить линейно интерполируемое значение у, соответствующее третьему аргументу х. Аргументы vx и vy должны быть векторами одинаковой длины. Вектор vx должен содер­жать вещественные значения, расположенные в порядке возрастания.

Эта функция соединяет точки данных отрезками прямых, создавая таким образом ломаную. Интерполируемое значение для конкретного х есть ордината у соответствующей точки ломаной.

Для значений х, расположенных перед первой точкой в vx, Mathcad продолжает ломаную прямой линией, проходящей через первые две точ­ки данных. Для значений х, расположенных за последней точкой в vx, Mathcad продолжает ломаную прямой линией, проходящей через последние две точки данных.

Для получения наилучших результатов значение х должно находиться между самым большим и самым маленьким значениями в векторе vx – маловероятно, что будут полезны значения, вычисленные для х вне этого диапазона. Функция linterp предназначена для интерполяции, а не экстраполяции.

1. Кубическая сплайн-интерполяция

Кубическая сплайн-интерполяция позволяет провести кривую через набор точек таким образом, что первые и вторые производные кривой непрерывны в каждой точке. Эта кривая образуется путем создания ряда кубических полиномов, проходящих через наборы из трёх смежных то­чек. Кубические полиномы затем состыковываются друг с другом, что­бы образовать одну кривую.

Чтобы провести кубический сплайн через набор точек:

• Создайте векторы vx и vy, содержащие координаты х и у, через ко­торые нужно провести кубический сплайн. Элементы vx должны быть расположены в порядке возрастания. (Хотя мы используем имена vx, vy и vs, нет никаких ограничений на имена этих переменных; можно использовать любые имена.)

• Вычислите вектор vs:=cspline(vx,vy). Вектор vs содержит вторые производные интерполяционной кривой в рассматриваемых точках.

• Чтобы найти интерполируемое значение в произвольной точке, ска­жем х0, вычислите interp(vs, vx, vy, x0), где vs, vx и vy – векторы, описанные ранее.

Обратите внимание, что можно сделать то же самое, вычисляя: interp(cspline(vx,vy), vx, vy, x0)

На практике, возможно, придётся вычислять inlerp во многих различ­ных точках. Так как обращение к cspline может требовать много вре­мени, и так как возвращаемый ею результат не зависит от рассматриваемой точки, имеет смысл сделать это один раз, сохра­нить результат и многократно использовать, как описано выше.

Выражение с функцией cspline вычисляет массив вторых производных vs для сплайна, используемого для интерполяции данных из vx и vy.

Как только массив vs найден, функция interp вычисляет интерполируе­мые значения.

Обратите внимание, что массив vs должен вычисляться только один раз, даже для множественных интерполяций. Так как вычисление vs требует много времени, лучше сохранять промежуточные результаты в виде вектора, чем повторно вычислять их по мере необходимости.

В дополнение к cspline MathCAD поставляется с двумя другими кубически­ми сплайн-функциями. Три сплайн-функции: cspline(vx,vy), pspline(vx,vy), lspline(vx,vy). Они все возвращают вектор коэффициентов вторых производных, который мы будем называть vs. Этот вектор, vs, обычно используется в функции interp, описанной ниже. Аргументы vx и vy должны быть вещественнозначными векторами одинаковой длины. Значения в vx должны быть вещественны и расположены в порядке возрастания.

Эти три функции отличаются только граничными условиями:

• функция lspline генерирует кривую сплайна, которая приближается к прямой линии в граничных точках.

• функция pspline генерирует кривую сплайна, которая приближается к параболе в граничных точках.

• функция cspline генерирует кривую сплайна, которая может быть кубическим полиномом в граничных точках.

interp(vs,vx,vy,x) Возвращает интерполируемое значение у, соответствующее аргументу x. Вектор vs вычисляет­ся на основе векторов данных vx и vy одной из функций lspline, pspline или cspline.

Интерполируемое значение для конкретного х есть ордината у соответствующей точки сплайна. Для значений х, расположенных перед первой точкой в vx, Mathcad продолжает сплайн первой из составляю­щих его кубических парабол. Для значений х, расположенных за пос­ледней точкой в vx, Mathcad продолжает сплайн последней из составляющих его кубических парабол.

Для получения наилучших результатов значение х должно находиться между самым большим и самым маленьким значениями в векторе vx – маловероятно, что будут полезны значения, вычисленные для х вне этого диапазона. Сплайны предназначены для интерполяции, а не экстраполяции.

1. Интерполяция сплайнами функций нескольких переменных

MathCAD выполняет интерполяцию кубическими сплайнами функции двух переменных тем же самым образом, как и в одномерном слу­чае, обсужденном ранее. MathCAD проводит через сетку узлов поверх­ность, составленную из кубических полиномов от х и у, таким образом, что первые и вторые частные производные являются непрерыв­ными в каждом узле сетки.

Первый шаг в двумерной сплайн-интерполяции — точно такой же, как и в одномерном случае: определить узлы, через которые поверх­ность должна пройти. Однако это потребует больше усилий, потому что теперь нужно определить сетку узлов:

• Создайте матрицу Мху, чьи элементы, Mxy_i,0 и Мху_i,1 опреде­ляют х и у координаты по диагонали прямоугольной сетки. Эта мат­рица играет ту же самую роль, что и vx в одномерном случае, описанном ранее. Так как эти узлы описывают диагональ, элементы в каждом столбце Мху должны быть расположены в порядке возрас­тания (Mxy_i,k< Мху_j,k всякий раз, когда i<j).

• Создайте матрицу Mz, чей (ij) – элемент есть координата z со­ответствующая точке х=Mxy_i,0 и y = Mxy_i,j. Она играет ту же самую роль, что и vy в одномерном случае, описанном ранее.

• Вычислите вектор vs:=cspline(Mxy,Mz). Вектор vs содержит вторые производные приближающей поверхности в узлах, определенных Мху и Mz.

• Чтобы найти интерполируемое значение в произвольной точке, ска­жем (х0,у0), вычислите interp где vs, Мху и Mz – массивы, описанные ранее. Результатом являет­ся значение интерполирующей функции, соответствующее точке (х0,у0).

Обратите внимание, то же самое можно сделать, вычисляя

interp(cspline(Mxy,Mz),Мху,Mz,)

На практике, возможно, придётся вычислять interp во многих различ­ных точках. Так как обращение к cspline может требовать много вре­мени, и так как возвращаемый ею результат не зависит от рассматриваемой точки, имеет смысл сделать это один раз, сохра­нить результат и многократно использовать, как описано выше.

В дополнение к cspline MathCAD поставляется с двумя другими функциями сплайн-интерполяции. Функции сплайн-интерполяции MathCAD: cspline(Mxy,Mz), lspline(Mxy,Mz), pspline(Mxy,Mz). Они все возвращают вектор коэффициентов вторых производных, который мы будем называть vs. Этот вектор, vs, обычно используется в функции interp, описанной ниже. Мху – матрица, чьи элементы Mxy_i,0 и Мху_i,i опреде­ляют точки на диагонали сетки. (ij) – элемент матрицы Mz определяет значение интерполирующей функции в (Mxy_i,0,Мху_i,j).

Эти три функции отличаются только граничными условиями:

• функция lspline генерирует сплайн, который приближается к плоско­сти на краях сетки.

• функция pspline генерирует сплайн, который представляет полином второй степени от x и у на краях сетки.

• функция cspline генерирует сплайн, который представляет полином третьей степени от х и у на краях сетки.

interp(vs,Мху,Mz,v) Возвращает интерполируемое значение z, соот­ветствующее точкам x=v_­0 и у=v₁. Вектор vs вычисляется lspline, pspline, или cspline на осно­ве данных из Мху и Mz.

Для получения наилучших результатов не используйте функцию interp для значений x и у, удалённых от узлов сетки. Сплайны предназначе­ны для интерполяции, а не экстраполяции, поэтому маловероятно, что значения, вычисленные для таких х и у, будут полезны.

1. Линейное предсказание

Функции интерполяции, описанные в этом разделе до сих пор, позволя­ют по заданным значениям некоторой функции в ряде точек оценить её значения в промежуточных точках. Иногда необходимо оценить значения функции в точках, находящихся вне области расположения сет­ки, на которой заданы значения функции. В MathCAD есть функция pre­dict, которая позволяет это сделать. Эта функция использует линейный алгоритм предсказания, который является полезным, когда экстраполируе­мая функция является гладкой и осциллирующей, хотя не обязательно перио­дической. Линейное предсказание можно рассматривать как разновид­ность экстраполяции, но его нельзя путать с линейной или полиноми­альной экстраполяцией.

predict(v,m,n) Возвращает n предсказанных значений, осно­ванных на n последовательных значениях векто­ра данных v. Элементы в v должны представлять собой значения, взятые через рав­ные интервалы.

Функция predict использует последние n исходных значений данных, чтобы вычислить коэффициенты предсказания. Как только это сдела­но, она использует последние n точек, чтобы предсказать координа­ты (m+1)-ой точки, фактически создавая скользящее окно шириной в m точек.

1. Функции регрессии

MathCAD включает ряд функций для вычисления регрессии. Обычно эти функции создают кривую или поверхность определенного типа, кото­рая в некотором смысле минимизирует ошибку между собой и имею­щимися данными. Функции отличаются, прежде всего, типом кривой или поверхности, которую они используют, чтобы аппроксимировать данные.

В отличие от функций интерполяции, обсужденных в предыдущем раз­деле, эти функции не требуют, чтобы аппроксимирующая кривая или поверхность проходила через точки данных. Функции регрессии, рас­смотренные в этом разделе, следовательно, гораздо менее чувствитель­ны к ошибкам данных, чем функции интерполяции. В отличие от функций сглаживания, рассматриваемых в следующем разделе, конеч­ный результат регрессии – функция, с помощью которой можно оце­нить значения в промежутках между заданными точками.

Всякий раз, когда массивы используются в любой из функций, описан­ных в этом разделе, убедитесь, что каждый элемент в массиве содер­жит определённое значение, поскольку MathCAD присваивает 0 любым элементам, которые явно не определены.

1. Линейная регрессия

Эти функции возвращают наклон и смещение линии, которая наилуч­шим образом приближает данные в смысле наименьших квадратов. Если поместить значения x в вектор vx и соответствующие значения у в vy, то линия определяется в виде

у=slope(vx,vy)x+intercept(vx,vy)

slope(vx,vy) Возвращает скаляр: наклон линии регрессии всмысле наименьших квадратов для данных из vx и vy.

intercept(vx,vy) Возвращает скаляр: смещение по оси ординат линии регрессии в смысле наименьших квадра­тов для данных из vx и vy.

Эти функции полезны не только, когда данные по существу должны представлять линейную зависимость, но и когда они представляют экспоненциальную зависимость. Например, если х и у связаны соотноше­нием вида

,

можно применить эти функции к логарифму данных и использовать тот факт, что

В этом случае

A=exp(intercept(vx,vy)) и k=slope(vx,vy)

Такое приближение взвешивает ошибки по-другому, нежели приближе­ние показательной функцией в смысле наименьших квадратов, но обычно это – хорошая аппроксимация.

1. Полиномиальная регрессия

Эти функции полезны, когда есть набор измеренных соответствующих значений у и х, между которыми ожидается полиномиальная зави­симость, и нужно приблизить эти значения с помощью полинома наилучшим в определённом смысле образом.

Используйте regress, когда нужно использовать единственный поли­ном, чтобы приблизить все данные. Функция regress допускает исполь­зование полинома любого порядка. Однако на практике не следует использовать степень полинома выше n=4.

Так как regress пытается приблизить все точки данных, используя один полином, это не даст хороший результат, когда данные не связа­ны единой полиномиальной зависимостью. Например, предположим, ожидается, что y_i зависят линейно от х в диапазоне от x₁ до х₁₀ и ве­дут себя подобно кубическому полиному в диапазоне от х₁₁ до x₂₀. Если используется regress с n=3, можно получить хорошее приближе­ние для второй половины, но ужасное – для первой. Функция loess облегчает эти проблемы, выполняя локальное приближение. Вместо со­здания одного полинома, как это делает regress, loess создаёт различ­ные полиномы второго порядка в зависимости от расположения на кривой.

Она делает это, исследуя данные в малой окрестности точки, представляющей интерес. Аргумент span управляет размером этой окрестности. По мере того как диапазон становится большим, loess становится эквивалентным regress с n=2. Хорошее значение по умолчанию – span=0.75.

regress(vx,vy,n) Возвращает вектор, требуемый interp, чтобы найти полином порядка n, который наилучшим образом приближает данные из vx и vy. vx есть m-мерный вектор, содержащий координа­ты x. vy есть m-мерный вектор, содержащий координаты у соответствующие m точкам, оп­ределенным в vx.

loess(vx,vy,span) Возвращает вектор, требуемый interp, чтобы найти набор полиномов второго порядка, кото­рые наилучшим образом приближают опре­делённые окрестности выборочных точек, определенных в векторах vx и vy. vx есть m-мерный вектор, содержащий координаты х. vy m-мерный вектор, содержащий координаты у, соответствующие т точкам, определенным в vx. Аргумент span (span>0) определяет, насколь­ко большие окрестности loess будет использо­вать при выполнении локального приближения.

interp(vs,vx,vy,x) Возвращает интерполируемое значение у, соответствующее х. Вектор vs вычисляется loess или regress на основе данных из vx и vy.

1. Многомерная полиномиальная регрессия

Функции loess и regress, обсужденные в предыдущем разделе, также полезны, когда имеется набор измеренных величин z, соответствую­щих значениям х и у, и необходимо приблизить полиномами поверх­ность, проходящую через эти значения z.

Свойства этих функций описаны в предыдущем разделе. При использовании этих функций для приближения значений z, соответствующих двум независимым переменным х и у, толкования их аргументов долж­ны быть изменены. А именно:

• Аргумент vx, который был m-мерным вектором значений х, стано­вится матрицей, состоящей из т рядов и 2 столбцов, Мху. Каждая стро­ка Мху содержит x в первом столбце и соответствующее значение у во втором столбце.

• Аргумент х для функции interp становится двумерным вектором v, чьи элементы – значения х и у, в которых нужно найти значение полиномиальной функции, представляющей наилучшее приближение данных из Мху и уz.

regress(Мху,vz,k) Возвращает вектор, требуемый interp, чтобы найти полином k-oгo порядка, который наилуч­шим образом приближает данные из Мху и vz. Мху есть матрица, содержащая х-у ко­ординаты, vz есть m-мерный вектор, содержа­щий значения z, соответствующие точкам, определенным в Мху.

loess(Мху,vz,span) Возвращает вектор, требуемый interp, чтобы найти набор полиномов второго порядка, кото­рые наилучшим образом приближают опре­делённые окрестности выборочных точек, определенных в массивах Мху и vz. Мху – матрица, содержащая х-y координаты, vz – т-мерный вектор, содержащий координа­ты z, соответствующие т точкам, определен­ным в Мху. Аргумент span (span>0) определяет, насколько большую окрестность lo­ess будет рассматривать при выполнении ло­кального приближения.

interp(vs,Мху,vz,v) Возвращает интерполируемое значение z, соответствующее точке x=v₀ и y=v₁. Вектор vs вы­числяется loess или regress на основе данных из Мху и vz.

1. Обобщенная регрессия

К сожалению, линейная или полиномиальная функции не во всех слу­чаях подходят для описания зависимости данных. Бывает, что нужно ис­кать эту зависимость в виде линейных комбинаций произвольных функций, ни одна из которых не является полиномом. Например, в ря-.. дах Фурье следует аппроксимировать данные, используя линейную комбинацию комплексных экспонент. Или предполагается, что данные могут быть смоделированы в виде линейной комбинации полиномов Лежандра, но только неизвестно, какие необходимо взять коэффициенты.

Функция linfit разработана, чтобы решить эти виды проблем. Если предполагается, что данные могли бы быть смоделированы в виде ли­нейной комбинации произвольных функций

y=a₀f₀(x)+a₁f₁(x)+…+a_nf_n(x)

следует использовать linfit, чтобы вычислить a_i.

Всё-таки имеются случаи, когда гибкость linfit недостаточна – дан­ные должны быть смоделированы не линейной комбинацией данных, а некоторой функцией, чьи параметры должны быть выбраны. На­пример, если данные могут быть смоделированы в виде суммы

f(x)=a₁sin(2x)+a₂tanh(3x)

и всё, что нужно сделать – решить уравнение относительно неизве­стных коэффициентов а₁ и а₂, значит эта проблема решается с помо­щью linfit.

В противоположность этому, если данные должны быть смоделиро­ваны в виде суммы

f(x)=2sin(a₁x)+3tanh(a₂x)

и требуется найти неизвестные параметры а₁ и а₂, то это задача для функции genfit.

linfit(vx,vy,F) Возвращает вектор, содержащий коэффициенты, используемые, чтобы создать линейную комбинацию функций из F, дающую наилуч­шую аппроксимацию данных из векторов vx и vy. F — функция, которая возвращает вектор, состоящий из функций, которые нужно объединить в виде линейной комбинации.

genfit(vx,vy,vg,F) Возвращает вектор, содержащий п параметров u₀, u₁, …, u_n-1 которые обеспечивают наилучшее приближение данных из vx и vy функцией f за­висящей от х и параметров u₀, u₁, …, u_n-1. F – функция, которая возвращает n+1-мерный век­тор, содержащий f и ее частные производные относительно параметров. vg есть n-мерный вектор начальных значений для n параметров.

Всё, что можно делать с помощью linfit, можно также делать, хотя и менее удобно, с genfit. Различие между этими двумя функциями есть различие между решением системы линейных уравнений и решением системы нелинейных уравнений. Первая задача легко решается метода­ми линейной алгебры. Вторая задача гораздо более трудная и решается итеративными методами. Это объясняет, почему genfit нуждается в векто­ре начальных значений в качестве аргумента, a linfit в этом не нуж­дается.

1. Функции сглаживания

Сглаживание предполагает использование набора значений у (и воз­можно х) и возвращение нового набора значений у, который являет­ся более гладким, чем исходный набор. В отличие от регрессии и ин­терполяции, обсужденных ранее, сглаживание приводит к новому набору значений у, а не к функции, которая может оценивать значе­ния между заданными точками данных. Таким образом, если вас инте­ресуют значения у между заданными значениями у, необходимо исполь­зовать интерполяцию или регрессию.

Всякий раз, когда в любой из функций, описанных в этом разделе, используются векторы, убедитесь, что каждый элемент в векторе опре­делён. Так как каждый элемент в векторе должен иметь значение, MathCAD присваивает значение 0 любым элементам, которые явно не определены.

Функция medsmooth – наиболее устойчивая из трех, так как в мень­шей степени подвержена влиянию зашумленных данных. Эта функция использует сглаживание с помощью скользящей медианы, вычисляет ос­татки, сглаживает остатки тем же самым образом и суммирует эти два сглаженных вектора вместе. Более подробно:

• Вычисление medsnrooth(vy,mf) начинается со сглаживания скользящей медианой исходного вектора vy. Сглаженный вектор мы будем назы­вать vy'. Его i-ый элемент дается выражением:

.

• Затем вычисляются остатки: vr=vy-vy'.

• Вектор остатков, vr, сглаживается с использованием процедуры, опи­санной на шаге 1. Это дает сглаженный вектор остатков vr'.

• Функция medsmooth возвращает сумму из этих двух сглаженных век­торов: medsmooth(vy,n)=vy'+vr'.

Обратите внимание, что medsmooth будет оставлять первые и после­дние (n-1)/2 точки неизменяемыми. На практике длина окна сглажи­вания п должна быть мала по сравнению с длиной набора данных.

Функция ksmooth использует гауссово ядро, чтобы вычислить локаль­но взвешенные средние значения исходного вектора vy. Это сглажива­ние наиболее полезно, когда данные взяты в точках, отделяемых друг от друга интервалами приблизительно равной ширины. Если длина интервалов существенно изменяется, следует использовать адаптивное сглаживание подобное supsmooth.

Для каждого vy_i в n-мерном векторе vy функция ksmooth возвращает новый vy'_i, даваемый формулой

где

и b – параметр сглаживания. Его величина обычно устанавливается в несколько раз больше величины интервала между точками данных на оси х и определяется тем, насколько большое окно желательно ис­пользовать при сглаживании.

Функция supsmooth использует симметричную линейную процедуру сглаживания методом наименьших квадратов по правилу k-ближайших соседей, чтобы выполнить локальную линейную аппроксимацию ис­ходных данных. В отличие от ksmooth, который использует фиксиро­ванную ширину полосы сглаживания для всех исходных данных, supsmooth адаптивно выбирает различную ширину полосы сглажива­ния для различных частей данных.

medsmooth(vy,n) Возвращает m-мерный вектор, созданный сглаживанием vy с помощью скользящей медианы. vy есть m-мерный вектор вещественных чисел. n – ширина окна, по которому происходит сглаживание, n должно быть нечетным чис­лом, меньшим, чем число элементов в vy.

ksmooth(vx,vy,b) Возвращает n-мерный вектор, созданный сгла­живанием при помощи гауссова ядра данных из vy, vy и vx – n-мерные векторы веществен­ных чисел. Параметр b управляет окном сглажи­вания и должен быть установлен в несколько раз больше величины интервала между точками х.

supsmooth(vx,vy) Возвращает n-мерный вектор, созданный ло­кальным использованием симметричной линей­ной процедуры сглаживания методом наименьших квадратов по правилу k-ближайших соседей, в которой к выбирается адаптив­но, vy и vx – n-мерные векторы вещественных чисел. Элементы vx должны быть расположены в порядке возрастания.