Задача 1. В таблице 1 приведена информация о доходности акций по двум ценным бумагам и индекс рынка на протяжении пятнадцати кварталов.
Требуется:
1.определить характеристики каждой ценной бумаги:?о , ? рыночный (или систематический) риск, собственный (или несистематический) риск, R кв.,?;
2.сформировать портфель минимального риска из двух видов ценных бумаг при условии, что обеспечивается доходность портфеля (mp) не менее, чем по безрисковым ценным бумагам (облигациям) с учетом индекса рынка;
3.построить линию рынка капитала (CML);
4.построить линию рынка ценных бумаг (SML).
ТАБЛИЦА 1.
|
Время |
Индекс,мr |
Облигации |
ВБМ |
ТЕКОМ |
|
1 |
5 |
0,1 |
8,1 |
5 |
|
2 |
0 |
1,8 |
3 |
4 |
|
3 |
12 |
1 |
5,3 |
7 |
|
4 |
5 |
4 |
9 |
12 |
|
5 |
-4,6 |
3 |
-3,1 |
-2 |
|
6 |
-8,9 |
2,1 |
-12 |
-5 |
|
7 |
12 |
3,50 |
5 |
8 |
|
8 |
5 |
4 |
3,2 |
7 |
|
9 |
6 |
3,2 |
8 |
9 |
|
10 |
4 |
3 |
1,3 |
1 |
|
11 |
-3 |
1,9 |
5 |
5 |
|
12 |
-7 |
3,2 |
45 |
-8 |
|
13 |
4 |
1,6 |
-6 |
6 |
|
14 |
6,5 |
3 |
5 |
-5 |
|
15 |
9 |
2,9 |
9 |
4 |
РЕШЕНИЕ. Характеристики каждой ценной бумаги находим с помощью инструмента «Регрессия», входящего в пакет анализа Excel.
Вводим данные:
Таблица 2.
|
время |
индекс,мr |
облигации |
ВБМ |
ТЕКОМ |
|
1 |
5 |
0,1 |
8,1 |
5 |
|
2 |
0 |
1,8 |
3 |
4 |
|
3 |
12 |
1 |
5,3 |
7 |
|
4 |
5 |
4 |
9 |
12 |
|
5 |
-4,6 |
3 |
-3,1 |
-2 |
|
6 |
-8,9 |
2,1 |
-12 |
-5 |
|
7 |
12 |
3,50 |
5 |
8 |
|
8 |
5 |
4 |
3,2 |
7 |
|
9 |
6 |
3,2 |
8 |
9 |
|
10 |
4 |
3 |
1,3 |
1 |
|
11 |
-3 |
1,9 |
5 |
5 |
|
12 |
-7 |
3,2 |
45 |
-8 |
|
13 |
4 |
1,6 |
-6 |
6 |
|
14 |
6,5 |
3 |
5 |
-5 |
|
15 |
9 |
2,9 |
9 |
4 |
|
Средние значения |
3 |
2,553333 |
5,72 |
3,2 |
По акциям ВБМ:
Результаты расчетов отражены в Таблицах 3-6.
Таблица 3
|
Регрессионная статистика |
|
|
Множественный R |
0,088641879 |
|
R-квадрат |
0,007857383 |
|
Нормированный R-квадрат |
-0,06846128 |
|
Стандартная ошибка |
12,77814665 |
|
Наблюдения |
15 |
Таблица 4
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
df |
SS |
|
Регрессия |
1 |
16,81059 |
|
Остаток |
13 |
2122,653 |
|
Итого |
14 |
2139,464 |
Таблица 5
|
|
Коэффициенты |
|
Y-пересечение |
6,231789758 |
|
индекс,мr |
-0,170596586 |
Таблица 6
|
ВЫВОД ОСТАТКА |
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдение |
Предсказанное м ВБМ |
Остатки |
|
1 |
5,378806828 |
2,721193 |
|
2 |
6,231789758 |
-3,23179 |
|
3 |
4,184630726 |
1,115369 |
|
4 |
5,378806828 |
3,621193 |
|
5 |
7,016534054 |
-10,1165 |
|
6 |
7,750099373 |
-19,7501 |
|
7 |
4,184630726 |
0,815369 |
|
8 |
5,378806828 |
-2,17881 |
|
9 |
5,208210242 |
2,79179 |
|
10 |
5,549403414 |
-4,2494 |
|
11 |
6,743579516 |
-1,74358 |
|
12 |
7,42596586 |
37,57403 |
|
13 |
5,549403414 |
-11,5494 |
|
14 |
5,122911949 |
-0,12291 |
|
15 |
4,696420484 |
4,30358 |
Используя данные Таблицы 5, получаем значения ?о – коэффициент смещения и ? – коэффициент наклона акции ВБМ.
?о=6,23
?=-0,17
Находим
собственный (несистематический ) риск
:
,
где
(Таблица
4).
Вычисляем рыночный (систематический) риск. Для этого находим:
Итак,
Общий риск равен сумме рыночного и собственного риска, т.е.:
1,2+151,62=152,82
Коэффициент
детерминации, характеризующий долю
риска рынка,
(Таблица
3), т.е. поведение акций ВБМ предсказуемо
на 0,8% с помощью индекса рынка.
Вычисляем значение коэффициента ?.
,
где
-
доходность безрискового вклада.
=
6,23 + (-0,17-1) х 2,55 = 3,24
По акциям ТЕКОМ
Результаты расчетов отражены в таблицах 7-10.
Таблица 7.
|
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
Множественный R |
0,64497509 |
|
R-квадрат |
0,415992866 |
|
Нормированный R-квадрат |
0,37106924 |
|
Стандартная ошибка |
4,596963511 |
|
Наблюдения |
15 |
Таблица 8.
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
df |
SS |
|
Регрессия |
1 |
195,683 |
|
Остаток |
13 |
274,717 |
|
Итого |
14 |
470,4 |
Таблица 9.
|
|
Коэффициенты |
|
Y-пересечение |
1,453869326 |
|
индекс,мr |
0,582043558 |
Таблица 10.
|
ВЫВОД ОСТАТКА |
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдение |
Предсказанное мБ |
Остатки |
|
1 |
4,364087116 |
0,635913 |
|
2 |
1,453869326 |
2,546131 |
|
3 |
8,438392022 |
-1,43839 |
|
4 |
4,364087116 |
7,635913 |
|
5 |
-1,223531041 |
-0,77647 |
|
6 |
-3,726318341 |
-1,27368 |
|
7 |
8,438392022 |
-0,43839 |
|
8 |
4,364087116 |
2,635913 |
|
9 |
4,946130674 |
4,053869 |
|
10 |
3,782043558 |
-2,78204 |
|
11 |
-0,292261348 |
5,292261 |
|
12 |
-2,62043558 |
-5,37956 |
|
13 |
3,782043558 |
2,217956 |
|
14 |
5,237152453 |
-10,2372 |
|
15 |
6,692261348 |
-2,69226 |
Используя данные Таблицы 9, узнаем значения a – коэффициента смещения и ? – коэффициента акций ТЕКОМ.
а = 1,45
? = 0,58
Находим
собственный (несистематический ) риск
:
,
где
(Таблица
8).
Вычисляем рыночный (систематический) риск. Для этого находим:
Итак,
Общий риск равен сумме рыночного и собственного риска, т.е.:
19,62+13,98=33,6
Коэффициент
детерминации, характеризующий долю
риска рынка,
(Таблица
7), т.е. поведение акций ТЕКОМ предсказуемо
на 42% с помощью индекса рынка.
Вычисляем значение коэффициента ?.
,
где
-
доходность безрискового вклада.
=
1,45 +(0,58 -1)х 2,55 = 0,39
2.Используем
модель формирования оптимального
портфеля с учетом индекса рынка и
минимального риска – модель Марковица.
Найдем вектор Х=(
),
минимизирующий риск портфеля
:
Ограничения модели:
1)
2)
3)
,где
х1- доля в портфеле акций ВБМ;
х2 – доля акций ТЕКОМ;
mo – средняя доходность облигаций.
Решение задачи получаем с помощью надстройки «Поиск решения» в среде Excel.
|
х1 |
х2 |
|
цел. Ф-ция |
|
0,1936936 |
0,8063074 |
|
36,44515687 |
|
|
|
|
|
|
ограничения |
|
|
|
|
1,000001 |
= |
1 |
|
|
3,688111071 |
>= |
2,553333 |
|
Итак, минимальный риск нашего портфеля составит 36,4% при доходности 3,69%. При этом доля акций ВБМ составит 0,19, а доля акций ТЕКОМ соответственно -0,81.
3. Построим линию рынка капитала СML, отражающую зависимость риска и доходности:
,
где
mp – доходность портфеля акций;
mo – доходность облигаций;
mr – среднерыночная доходность;
?mr – СКО доходности рыночных ценных бумаг;
?p – СКО доходности акций портфеля.
4.Построим линию рынка ценных бумаг SML.