Прикладная математика

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

ИНСТИТУТ ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ

Контрольная работа

по дисциплине «Прикладная математика»

Специальность Бухгалтерский учет и аудит

Курс 2-й

Группа БуиА-6-99/2

Студент

Студенческий билет №

ВАРИАНТ №25

Адрес

« » мая 2001г.

Проверил:

____________________/ /

«___»_______________2001г.

Москва 2001г.

Задача №1. Линейная производственная задача.

Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известны технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли

4 0 8 7 316

А= 3 2 5 1 В= 216 С=(31, 10, 41, 29)

5 6 3 2 199

Найти производственную программу (х1, х2, х3, х4), максимизирующую прибыль

z=31х₁+10х₂+41х₃+29х₄

Затраты ресурсов 1-го вида на производственную программу

4х₁+0х₂+8х₃+7х₄?316

Затраты ресурсов 2-го вида на производственную программу

3х₁+2х₂+5х₃+х₄?216

Затраты ресурсов 3-го вида на производственную программу

5х₁+6х₂+3х₃+2х₄?199

Имеем

4х₁+0х₂+8х₃+7х₄?316

3х₁+2х₂+5х₃+х₄?216 (1)

5х₁+6х₂+3х₃+2х₄?199

где по смыслу задачи

х₁?0, х₂?0, х₃?0, х₄?0. (2)

Получена задача на нахождение условного экстремума. Для ее решения систему неравенств (1) при помощи дополнительных неизвестных х5, х6, х7 заменим системой линейных алгебраических уравнений

4х₁+0х₂+8х₃+7х₄+х₅=316 (I)

3х₁+2х₂+5х₃+ х₄+х₆=216 (II) (3)

5х₁+6х₂+3х₃+2х₄+х₇₌199 (III)

где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов, а именно

х₅ – остаток сырья 1-го вида,

х₆ – остаток сырья 2-го вида,

х₇ – остаток сырья 3-го вида.

Среди всех решений системы уравнений (3), удовлетворяющих условию неотрицательности

х₁?0, х₂?0, х₃?0, х₄?0, х₅?0, х₆?0, х₇?0 (4)

надо найти то решение, при котором функция

z=31х₁+10х₂+41х₃+29х₄

будет иметь наибольшее значение

Организуем направленный перебор базисных решений при помощи симплекс метода.

Из функции z(x) видно, что наиболее выгодно начать производство с 3-го ресурса.

Найдем ведущее уравнение:

b_i 316 216 199 316

min ------- = ----- ----- ----- = -----

a_i3>0 8 5 3 8

Примем I-е уравнение за ведущее. Решаем симплекс методом:

С	Базис	Н	31	10	41	29	0	0	0	Поясне-ния
х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7
0	х5	316	4	0	8	7	1	0	0
0	х6	216	3	2	5	1	0	1	0
0	х7	199	5	6	3	2	0	0	1
?	z0-z	0-z	-31	-10	-41	-29	0	0	0
41	х3	39,5	1/2	0	1	7/8	1/8	0	0
0	х6	18,5	1/2	2	0	-27/8	-5/8	1	0
0	х7	80,5	7/2	6	0	-5/8	-3/8	0	1
?	z0-z	1619,5	-21/2	-10	0	55/8	41/8	0	0
41	х3	28	0	-6/7	1	54/56	10/56	0	-1/7	Все ?j?0
0	х6	7	0	8/7	0	-23/7	-4/7	1	-1/7
31	х1	23	1	12/7	0	-10/56	-6/56	0	2/7
?	z0-z	1861	0	8	0	5	4	0	3

Оптимальная производственная программа:

х₁=23, х₂=0, х₃=28, х₄=0

Остатки ресурсов:

Первого вида – х₅=0;

Второго вида – х₆=7;

Третьего вида – х₇=0

Максимальная прибыль z_max=1861

Обращенный базис Q^-1

10/56 0 -1/7

Q^-1= -4/7 1 -1/7

-6/56 0 2/7

х₅ х₆ х₇

Базис Q

8 0 4

Q= 5 1 3

3 0 5

х₃ х₆ х₁

Самопроверка.

10/56•8+0•5-1/7•3 10/56•0+0•1-1/7•0 10/56•4+0•3-1/7•5 1 0 0

Q^-1 •Q= -4/7•8+1•5-1/7•3 -4/7•0+1•1-1/7•0 -4/7•4+1•3-1/7•5 = 0 1 0

-6/56•8+0•5+2/7•3 -6/56•0+0•1+2/7•0 -6/56•4+0•3+2/7•5 0 0 1

10/56•316+0•216-1/7•199 28

Q^-1 •B= -4/7•316+1•216-1/7•199 = 7

-6/56•316+0•216+2/7•199 23

Задача №2. Двойственная задача.

Предприниматель Петров, занимающийся производством других видов продукции, но с использованием 3-х таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам продать ему по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает заплатить у₁ за каждую единицу 1-го ресурса

у₂ за каждую единицу 2-го ресурса

у₃ за каждую единицу 3-го ресурса.

В нашей задаче технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С имеют вид

4 0 8 7 316

А= 3 2 5 1 В= 216 С=(31, 10, 41, 29)

5 6 3 2 199

для производства единицы продукции 1-го вида мы должны затратить, как видно из матрицы А 4 единицы ресурса 1-го вида, 3 единицы ресурса 2-го вида, 5 единиц ресурса 3-го вида.

В ценах у₁, у₂, у₃ наши затраты составят

4у₁+3у₂+5у₃?31

Аналогично, во 2-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 2-го вида

2у₂+6у₃?10

Аналогично, в 3-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 3-го вида

8у₁+5у₂+3у₃?41

Аналогично, в 4-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 4-го вида

7у₁+у₂+2у₃?29

Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить

316у₁+216у₂+199у₃

Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок

У=(у₁, у₂, у₃)

Минимизирующий общую оценку всех ресурсов

f=316у₁+216у₂+199у₃

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции:

4у₁+3у₂+5у₃?31

2у₂+6у₃?10

8у₁+5у₂+3у₃?41

7у₁+у₂+2у₃?29

При этом оценки ресурсов не могут быть отрицательными

у₁?0, у₂?0, у₃?0

На основании 2-й основной теоремы двойственности

Х=(х₁, х₂, х₃, х₄) и у=(у₁, у₂, у₃)

Необходимо и достаточно выполнения условий

х₁(4у₁+3у₂+5у₃-31)=0

х₂(2у₂+6у₃-10)=0

х₃(8у₁+5у₂+3у₃-41)=0

х₄(7у₁+у₂+2у₃-29)=0

Учитывая, что в решении исходной задачи х₁>0, x₃>0

Поэтому

4у₁+3у₂+5у₃-31=0

8у₁+5у₂+3у₃-41=0

Учтем, что 2-й ресурс был избыточным и, согласно теореме двойственности, его двойственная оценка равна нулю у₂=0

Имеем систему уравнений

4у₁+3у₂+5у₃-31=0

8у₁+5у₂+3у₃-41=0

Решим систему:

4у₁+5у₃=31

у₁=(31-5у₃)/4

8((31-5у₃)/4)+3у₃=41

-7у₃=-21

у₁=(31-15)/4

откуда следует

у₁=4, у₃=3

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов

у₁=4, у₂=0, у₃=3

Общая оценка всех ресурсов

f=316у₁+216у₂+199у₃

f=1264+0+597=1861

Задача №2.1. Задача о «расшивке узких мест производства».

При выполнении оптимальной производственной программы 1-й и 3-й ресурсы используются полностью, образуя «узкие места производства». Их необходимо заказать дополнительно.

Пусть Т=(t₁, 0, t₃) – вектор дополнительных объемов ресурсов.

Так как мы предполагаем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие

Н+ Q^-1Т?0

Необходимо найти вектор

Т=(t₁, 0, t₃)

максимизирующий суммарный прирост прибыли

w=4t₁+3t₃

28 10/56 0 -1/7 t₁ 0

7 + -4/7 1 -1/7 · 0 ? 0

23 -6/56 0 2/7 t₃ 0

Предполагаем, что дополнительно можно получить не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида

t₁ 316

0 ? 1/3 216

t₃ 199

где t₁?0, t₃?0

10/56t₁-1/7t₃?-28

-4/7t₁-1/7t₃?-7

-6/56t₁+2/7t₃?-23

-10/56t₁+1/7t₃?28

4/7t₁+1/7t₃?7

6/56t₁-2/7t₃?23

t₁?316/3, t₃?199/3

t₁?0, t₃?0

	t1	t3
I	-156,8	0
I	0	196
II	12,25	0
II	0	49
III	214,66	0
III	0	-80,5
IV	105,33	0
V	0	66,33

Программа расшивки имеет вид

t₁=0, t₂=0, t₃=49

и прирост прибыли составляет

w=4t₁+3t₃=3?49=147

Сводка результатов приведена в таблице:

Сj	31	10	41	29	b	x4+i	yi	ti
aij	4	0	8	7	316	0	4	0
3	2	5	1	216	7	0	0
5	6	3	2	199	0	3	49
xj	23	0	28	0	1861			147
?j	0	8	0	5

Задача №3. Транспортная задача линейного программирования.

Исходные данные:

31 40 41 49

45 4 5 8 6

60 3 2 5 1

65 5 6 3 2

Общий объем производства ?аi=45+60+65=170 единиц продукции.

Потребителям требуется ?bi=31+40+41+49=161 единиц продукции.

Так как продукции производится больше на 9 единиц, чем требуется потребителям, то мы имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом 9 единиц. Для нахождения первого базисного допустимого решения используем правило «северо-западного угла».

	b1=31	b2=40	b3=41	b4=49	b5=9
a1=45	31	14			*	p1=0
a2=60		26	34			p2=-3
a3=65			7	49	9	p3=-5
	q1=4	q2=5	q3=8	q4=7	q5=5

?=9 z(x₁)=31·4+14·5+26·2+34·5+7·3+49·2+9·0=535

	b1=31	b2=40	b3=41	b4=49	b5=9
a1=45	31	5			9	p1=0
a2=60		35	25	*		p2=-3
a3=65			16	49	9	p3=-5
	q1=4	q2=5	q3=8	q4=7	q5=5

?=25 z(x₂)=31·4+5·5+35·2+25·5+16·3+49·2+9·0=490

	b1=31	b2=40	b3=41	b4=49	b5=9
a1=45	31	5			9	p1=0
a2=60		35		25		p2=-3
a3=65			41	24		p3=-2
	q1=4	q2=5	q3=5	q4=4	q5=

z(x₃)=31·4+5·5+35·2+25·1+41·3+24·2+9·0=415

Задача №4. Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений.

Исходные данные:

xj	0	100	200	300	400	500	600	700
f1(xj)	0	10	23	30	38	43	49	52
f2(xj)	0	13	25	37	48	55	61	66
f3(xj)	0	16	30	37	44	48	50	49
f4(xj)	0	10	17	23	29	34	38	41

Для решения используем метод «северо-восточной диагонали».

	-x2	0	100	200	300	400	500	600	700
x2		0	10	23	30	38	43	49	52
0	0	0	10	23	30	38	43	49	52
100	13	13	23	36	43	51	56	62
200	25	25	35	48	55	63	68
300	37	37	47	60	67	75
400	48	48	58	71	78
500	55	55	65	78
600	61	61	71
700	66	66

	0	100	200	300	400	500	600	700
F2( )	0	13	25	37	48	60	71	78
x2( )	0	100	200	300	200	300	400	500

	-x3	0	100	200	300	400	500	600	700
x3		0	13	25	37	48	60	71	78
0	0	0	13	25	37	48	60	71	78
100	16	16	29	41	53	64	76	87
200	30	30	43	55	67	78	90
300	37	37	50	62	74	85
400	44	44	57	69	81
500	48	48	61	73
600	50	50	63
700	49	49

	0	100	200	300	400	500	600	700
F3( )	0	16	30	43	55	67	78	90
x3( )	0	100	200	200	200	200	200	200

	-x4	0	100	200	300	400	500	600	700
x4		0	16	30	43	55	67	78	90
0	0	0							90
100	10							88
200	17						84
300	23					78
400	29				72
500	34			64
600	38		54
700	41	41

x₄^*=x₄(700)=0

x₃^*=x₃(700-x₄^*)=x₃(700)=200

x₂^*=x₂(700-x₄^*-x₃^*)=x₂(700-200)=x₂(500)=300

x₁^*=700-x₄^*-x₃^*-x₂^*=700-0-200-300=200

x₁=200

x₂=300

x₃=200

x₄=0

Задача №5. Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

Исходные данные:

m0	m1	m2	1	2
2	4	6	7	8

Требуется сформировать оптимальный портфель заданной эффективности из 3-х видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 6 и рисками 7 и 8. Необходимо узнать, как устроена рисковая часть оптимального портфеля и при какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции short sale и с какими ценными бумагами?

4 49 0

m₀=2, М= , V=

6 0 64

Зададимся эффективностью портфеля m_p

Найдем обратную матрицу к V

1/49 0

V^-1=

0 1/64

далее

4 1

M = I =

6 1

1/49 0 4 2 1/49 0 2 2/49

V^-1(M-m₀I)=  - =  =

0 1/64 6 2 0 1/64 4 1/16

2/49

(M-m₀I)^T V^-1(M-m₀I)=(2 4)  = 65/196

1/16

Рисковые доли:

x₁^*=(m_p-2) 8/65=(m_p-2) 0,12

x₂^*=(m_p-2) 49/260=(m_p-2) 0,19

Безрисковая доля:

x₀^*=1-(m_p-2) 0,31

Найдем значение m_p, при котором возникает необходимость в проведении операции short sale:

(m_p-2) 0,31=1

m_p-2=1/0,31

m_p=3,21+2

m_p=5,21

Следовательно, если m_p>5,21 то x₀^*<0 и необходимо провести операцию short sale.

Задача №6. Провести анализ доходности и риска финансовых операций.

Даны четыре операции Q₁, Q₂, Q₃, Q₄. Найти средние ожидаемые доходы Q_i и риски r_i операций. Нанести точки (Q_i, r_i) на плоскость, найти операции, оптимальные по Парето. С помощью взвешивающей формулы найти лучшую и худшую операции.

(0, 1/5), (2, 2/5), (10, 1/5), (28, 1/5)

(-6, 1/5), (-5, 2/5), (-1, 1/5), (8, 1/5)

(0, 1/2), (16, 1/8), (32, 1/8), (40, 1/4)

(-6, 1/2), (2, 1/8), (10, 1/8), (14, 1/4)

Q1	0	2	10	28
1/5	2/5	1/5	1/5
Q2	-6	-5	-1	8
1/5	2/5	1/5	1/5
Q3	0	16	32	40
1/2	1/8	1/8	1/4
Q4	-6	2	10	14
1/2	1/8	1/8	?

Q₁=8,4 r₁=10,4

Q₂=-1,8 r₂=4,7

Q₃=16 r₃=17,4

Q₄=2 r₄=8,7

(Q₁)=2 Q₁-r₁=6,4

(Q₂)=2 Q₂-r₂=-8,3

(Q₃)=2 Q₃-r₃=14,6

(Q₄)=2 Q₄-r₄=-4,7

Лучшей операцией является операция №3, худшей операцией является операция №2.

Оптимальной точки нет, так как нет ни одной точки, не доминируемой никакой другой.