Линейная зависимость векторов

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.

Пусть задана система векторов а ₁ , а ₂ , а ₃ ,…,а _л (1) одной размерности.

Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство a ₁ а ₁ + a ₂ а ₂ +…+ a _л а _л =0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа a ₁ , a ₂ ,…, a _л =0 и ? R

Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном a _{i ?} 0 (i=1,…,k)

Свойства

1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима

2. Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.

3. Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.

4. Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.

Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.

Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а ? 0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число g , что b= g a.

Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллениарны.

Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b= g a. Будем считать, что а,b ? 0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1b- g a=0. Т.к. коэфф. При b ? 0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. a а+ b b=0, a ? 0. а= -b/ a *b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число.

Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.

Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то a а+ b b+ g c=0, g ? 0. с= - a / g *а - b / g *b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.

БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы.

В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.

В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару.

В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов.

2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.

(а,b)=|a| |b| cos u, u<90>90, пр-е отриц.

Свойства:

1. (а,b)= (b,а)

2. ( a а,b)= a (а,b)

3. (а+b,с)= (а,с)+ (b,с)

4. (а,а)=|a| ² – скал.квадрат.

Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0.

Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.

Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован.

Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.

Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произведения. cos u=a,b/|a||b|=x ₁ x ₂ +y ₁ y ₂ +z ₁ z ₂ /sqrt(x ₁ ² +y ₁ ² +z ₁ ² )*sqrt(x ₂ ² +y ₂ ² +z ₂ ² )

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.

Свойства:

1. [a,b]= - [b,a]

2. [ a а,b]= a [а,b]

3. [a+b,c]=[a,c]+[b,c]

4. [a,a]=0

Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах.

Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения.

Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй – координаты первого вектора, в третьей – координаты второго.

Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. e _a =a/|a|

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.

1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол между пр.

1. Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю.

Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).

Доказательство: подставим коорд. т.М ₀ в ур-е (1) и получим Ах ₀ +By ₀ +C=0 (1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х ₀ )+B(y-y ₀ )=0, n(A,B), М ₀ М(х-х ₀ , y-y ₀ ). Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M ₀ M ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой. Вектор n(A,B) называется нормальным вектором прямой.

Замечание: пусть ур-я А ₁ х+B ₁ y+C ₁ =0 и А ₂ х+B ₂ y+C ₂ =0 определяют одну и ту же прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А ₁ =t*А ₂ и т.д.

Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е называется неполным.

1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)

2. С=0, А=0, By=0, значит у=0

3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0

4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ

5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY

1. x/a+y/b=1.

Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b

1. x-x ₁ /e=y-y ₁ /m

Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой (паралл.пр.). Возьмем на прямой произв. точки. q и M ₁ М(х-х ₁ ; y-y ₁ )

1. x-x ₁ /x ₂ -x ₁ =y-y ₁ /y ₂ -y ₁

Пусть на прямой даны две точки М ₁ (x ₁ ;y ₁ ) и М ₂ (x ₂ ;y ₂ ). Т.к. на прямой заданы две точки, то задан направляющий вектор q(x ₂ -x ₁ ; y ₂ -y ₁ )

1. y=kb+b.

u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u

Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x ₁ /e/e=y-y ₁ /m/e. y-y ₁ =k(x-x ₁ ) при y ₁ -kx ₁ =b, y=kx+b

1. xcos q +ysin q -P=0

q - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q

Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos q , sin q ). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cos q x+sin q y. Приравняем правые части.

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcos q +ysin q -P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos ^{2 q} =(A*t) ²

Sin ^{2 q} =(B*t) ²

-p=C*t

cos ^{2 q} +sin ^{2 q} =t ² (A ² +B ² ), t ² =1/A ² +B ² , t= ± sqrt(1/ A ² +B ² ). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

7. Система: x=et+x ₁ и y=mt+y ₁

НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.

1. xcos q +ysin q -P=0

q - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q

Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos q , sin q ). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cos q x+sin q y. Приравняем правые части.

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcos q +ysin q -P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos ^{2 q} =(A*t) ²

Sin ^{2 q} =(B*t) ²

-p=C*t

cos ^{2 q} +sin ^{2 q} =t ² (A ² +B ² ), t ² =1/A ² +B ² , t= ± sqrt(1/ A ² +B ² ). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = - d, если нач.коорд. и точка по одну сторону.

Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcos q +ysin q -P=0 и М ₁ (x ₁ ;y ₁ ), тогда отклонение точки М ₁ = x ₁ cos q +y ₁ sin q -P=0

Задача: найти расстояние от точки М ₀ (x ₀ ;y ₀ ) до прямой Ах+By+C=0. Т.к. d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=| x ₀ cos q +y ₀ sin q -P|. d=|Ах ₀ +By ₀ +C|/sqrt(A ² +B ² )

ГИПЕРБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная

Каноническое уравнение:

Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. |F ₁ F ₂ |=2c, М – произвольная точка гиперболы. r ₁ , r2 – расстояния от М до фокусов;
|r ₂ -r ₁ |=2a; a

, 









x ² c ² -2a ² xc+a ² =a ² (x ² -2xc+c ² +y ² )

x ² (c ² -a ² )-a ² y ² =a ² (c ² -a ² )

c ² -a ² =b ²

x ² b ² -a ² y ² =a ² b ²

- каноническое ур-е гиперболы

ПАРАБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости расстояние от которых до фиксированной точки на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой этой плоскости называемой директрисой.

Каноническое уравнение:

Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.

|DF|=p, М – произвольная точка параболы; К – точка на директрисе; МF=r; MK=d;

r=sqrt((x-p/2) ² +y ² ); d=p/2+x

Приравниваем и получаем:

y ² =2px - каноническое уравнение параболы

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.

1. Определение: эксцентриситет – величина равная отношению с к а.

е=с/а

е эллипсв <1>c)

е гиперболы >1 (т.к. с>a)

Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.

Выразим эксцентриситеты через а и b:





е эллипса является мерой его “вытянутости”

е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами

2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскости a перпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е

D ₁ : x= - a/e

D ₂ : x= a/e

р=а(1-е ² )/е – для эллипса

р=а(е ² -1)/е – для гиперболы

ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Теорема: Отношение расстояния любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная е эллипса (гиперболы).

Доказательство: для эллипса.

r ₁ /d ₁ =e

x ? |a|, xe+a>0

r ₁ =xe+a

d ₁ – расстояние от М(x,y) до прямой D ₁

xcos180+ysin180-p=0

x=-p

x=-a/e

б _м =-x-a/e

d ₁ =-б _м (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)



Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если <1>1, параболу, если =1.

ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.

Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус.

r= r

d=p+ r cos j

e= r /p+ r cos j

- полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М ₀ (x ₀ ;y ₀ ) – точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо:



у-у ₀ =y’(x ₀ )(x-x ₀ )



Рассмотрим касательную к кривой следовательно 







ya ² y ₀ -a ² y ₀ ² +b ² x ₀ x-b ² x ₀ ² =0





- уравнение касательной к эллипсу.

- уравнение касательной к гиперболе.

- уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.

Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:

(е ₁ ;е ₁ ’)=cos u

(е ₁ ;е ₂ ’)=cos (90+u)= -sin u

(е ₂ ;е ₁ ’)=cos (90-u)=sin u

(е ₂ ;е ₂ ’)=cos u

Базис рассматривается ортонормированный:

(е ₁ ;е ₁ ’)=(е ₁ , a ₁₁ е ₁ + a ₁₂ е ₂ )= a ₁₁

(е ₁ ;е ₂ ’)= (е ₁ , a ₂₁ е ₁ + a ₂₂ е ₂ )= a ₂₁

(е ₂ ;е ₁ ’)= a ₁₂

(е ₂ ;е ₂ ’)= a ₂₂

Приравниваем:

a ₁₁ =cos u

a ₂₁ = - sin u

a ₁₂ =sin u

a ₂₂ =cos u

Получаем:

x=a+x’cos u – y’sin u

y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.

------------

x=a+x’

y=b+y’ - формулы параллельного переноса

ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.

Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I ₁ ; I ₂ ; I ₃

Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.

Определение:

I ₂ >0 – элиптический тип

I ₂ <0 – гиперболический тип

I ₂ =0 – параболический тип

ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).

Параллельный перенос:

Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т.о. что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого:

a ₁₁ x’ ² +2a ₁₂ x’y’+a ₂₂ y’ ² +a’ ₃₃ =0 (2)

точка О’ находится из условия: a ₁₃ ’=0 и a ₂₃ ’=0.

Получается система a ₁₁ x ₀ +a ₁₂ y ₀ +a ₁₃ =0 и a ₁₂ x ₀ +a ₂₂ y ₀ +a ₂₃ =0

Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’)

Но точка О’ существует если знаменатели у x ₀ и y ₀ отличны от нуля.

Точка O’ – единственная точка.

Центр симметрии кривой существует если I _{2 ?} 0 т.е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа

Поворот:

Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а ₁₂ =0. a ₁₂ ’= -0,5(a ₁₁ -a ₂₂ )sin2u+a ₁₂ cos2u=0 (разделим на sin2u), получим:

, после такого преобразования уравнение принимает вид

a ₁₁ ’x’ ² +a ₂₂ ’y’ ² +2a ₁₃ ’x’+2a ₂₃ ’y’+a ₃₃ ’=0 (3)

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть задана линия элиптического типа т.е. I ₂ >0 и пусть I ₁ >0 следовательно уравнение (1) определяет: 1. I ₃ <0 – эллипс; 2. I ₃ =0 – точка; 3. I ₃ >0 – ур-е (1) не определяет. Если I ₃ =0 говорят, что эллипс вырождается в точку. Если I ₃ >0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*).

Доказательство:

1. пусть I ₂ >0, I ₁ >0, I ₃ <0, тогда

а ₁₁ ’’x’’ ² +a ₂₂ ’’ y’’ ² = -I ₃ /I ₂



I ₂ =a ₁₁ ’’a ₂₂ ’’ > 0

I ₁ = a ₁₁ ’’+a ₂₂ ’’ > 0

a ₁₁ ’’ > 0; a ₂₂ ’’ > 0



Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса.

2. I ₃ >0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет действительного геометрического образа.

3. I ₃ =0 в данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса.

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа. Т.е. I ₂ <0, I _{3 ?} 0 - ур-е (1) определяет гиперболу; I ₃ =0 – пару пересекающихся прямых.

Доказательство: I ₂ <0; I ₂ = a ₁₁ ’’a ₂₂ ’’ < 0. Пусть a ₁₁ ’’>0; a ₂₂ ’’<0

Пусть I ₃ >0



В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ.

Пусть I ₃ <0

-(-а ₁₁ ’’)x’’ ² +a ₂₂ ’’ y’’ ² = -I ₃ /I ₂



В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОY

Пусть I ₃ =0

а ₁₁ ’’x’’ ² -(-a ₂₂ ’’)y’’ ² =0





АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть крива второго порядка задана уравнением (1). Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u(x,y)= a ₁₁ x ² +2a ₁₂ xy+a ₂₂ y ²

Определение: ненулевой вектор ( a , b ) координаты которого обращают в ноль квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной кривой.

( a , b ) – вектор асимптотического направления.

a _{11 a} ² +2a _{12 a b} +a _{22 b} ² =0 (*)

Рассмотрим ( a ’, b ’) параллельный ( a , b ): следовательно . Дробь a / b характеризует вектор асимптотического направления.

Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го порядка.

Решение: положим, что b ? 0 и поделим на b ² , получим: a ₁₁ ( a / b ) ² +2a _{12 a} / b +a ₂₂ =0 из этого квадратного уравнения найдем a / b .



т.к. у линий гиперболического и параболического типов I _{2 ?} 0, то они имеют асимптотические направления. Т.к. у эллипса I ₂ >0 следовательно таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления).

Найдем асимптотические направления у гиперболы:



( a , b ) ₁ =(a,b)

( a , b ) ₂ =(-a,b)

Векторы асимптотического направления являются направляющими векторами для асимптот.

Итак: гипербола имеет два асимптотических направления, которые определяются асимптотами гиперболы.

Найдем асимптотические направления у параболы:

y ² =2px

y ² -2px=0

u(x,y)= y ² +0, y=0

( a , b )=(0,0)

Итак: вектор асимптотического направления параболы лежит на оси симметрии параболы, т.е. прямая асимптотического направления пересекает параболу в одной точке, след. асимптотой не является. Парабола имеет одно асимптотическое направление, но асимптот не имеет.

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.

Пусть задано трехмерное пространство.

Теорема: Плоскость в афинной системе координат задается уравнением первой степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C ? 0 одновреенно. Справедлива и обратная теорема.

Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой общим уравнением.

Вектор n – нормальный вектор плоскости.

2. Уравнение плоскости в отрезках: 

3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой.

Пусть n(A,B,C) и М(x ₀ ;y ₀ ;z ₀ ). Запишем ур-е пл-ти:

Ax+By+Cz+D=0

Ax ₀ +By ₀ +Cz ₀ =-D

A(x-x ₀ )+B(y-y ₀ )+C(z-z ₀ )=0

1. Уравнение плоскости ч/з 3 точки.

Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.

М ₁ (x ₁ ;y ₁ ;z ₁ ); М ₂ (x ₂ ;y ₂ ;z ₂ ); М ₃ (x ₃ ;y ₃ ;z ₃ )

Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной плоскости то векторы компланарны.

М ₁ М x-x ₁ y-y ₁ z-z ₁

М ₁ М ₂ x ₂ -x ₁ y ₂ -y ₁ z ₂ -z ₁ =0

М ₁ М ₃ x ₃ -x ₁ y ₃ -y ₁ z ₃ -z ₁

1. Параметрическое ур-е плоскости.

Пусть плоскость определена точкой и парой некомпланарных векторов. V(V ₁ ;V ₂ ;V ₃ ); U(U ₁ ;U ₂ ;U ₃ ); M ₀ (x ₀ ;y ₀ ;z ₀ ), тогда плостость имеет вид: система: x=x ₀ +V ₁ t+U ₁ s и y=y ₀ +V ₂ t+U ₂ s и z=z ₀ +V ₃ t+U ₃ s

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.

Ax+By+Cz+D=0; M ₀ (x ₀ ;y ₀ ;z ₀ )



ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости: A ₁ x+B ₁ y+C ₁ z+D ₁ =0; A ₂ x+B ₂ y+C ₂ z+D ₂ =0, поэтому n ₁ (A ₁ ;B ₁ ;C ₁ ); n ₂ (A ₂ ;B ₂ ;C ₂ ). Отыскание угла между плоскостями сводится к отысканию его между нормальными векторами.