Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла

План работы и содержание

1. Введение

Математика - одна из самых древних наук. Труды многих ученых вошли в мировой фонд и стали основой современных алгебры и геометрии. В конце XVII в., когда развитие науки шло быстрыми темпами, появились понятия дифференцирование, а вслед за ним и интегрирование.

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача.

Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые–математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений. Поэтому, я и решил исследовать интеграл и его применение.

2. История интегрального исчисления

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как “придание квадратной формы”. Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античнoe время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача “о квадратуре круга”

круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.)

Символ  введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa). Само слово интеграл придумал Я. Б е р н у л л и (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики—интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Другие известные ермины, относящиеся к интегральному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: F(x) =  f(x)dx ­— начальная (или первоначальная, или первообразная) для f(x), которая получается из F(x) дифференцированием.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную.

_b

А  f(x)dx

^a

- называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768—1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа  (3.10/71<<3.1/7), нашел объемы шара и эллипсоида, площадь сегмента параболы и т. д. Сам Архимед высоко ценил эти результаты: согласно его желанию на могиле Архимеда высечен шар, вписанный в цилиндр (Архимед показал, что объем такого шара равен 2/3 объема цилиндра).

Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод — метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 1, а) они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(х), которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(х)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме

S =  f(x)dx

^a<x<b

- бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме — нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571—1630) в своих сочинениях “Новая астрономия”.

Рис 1.

(1609 г.) и «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры ограниченной эллипсом) и объемов (тело разрезалось на 6ecконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598—1647) и Э.Торричелли (1608—1647). Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип, введенный им при некоторых дополнительных предположениях.

Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной на рисунке 1,б, где кривые, ограничивающие фигуру сверху и снизу, имеют уравнения y = f(x) и y=f(x)+c.

Представляя фигуру составленной из «неделимых», по терминологии Кавальери, бесконечно тонких столбиков, замечаем, что все они имеют общую длину с. Передвигая их в вертикальном направлении, можем составить из них прямоугольник с основанием b—а и высотой с. Поэтому искомая площадь равна площади полученного прямоугольника, т.е.

S = S₁ = c ( b – а ).

Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур формулируется так: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф₁ и Ф₂ по отрезкам равной длины (рис. 1,в). Тогда площади фигур Ф₁ и Ф₂ равны.

Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезным при нахождении объемов.

В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П.Ферма уже в 1629 г. задачу квадратуры любой кривой у = хⁿ, где п — целое (т.е по существу вывел формулу  хⁿdx = (1/n+1)хⁿ⁺¹), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630—1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известным под названием формулы Ньютона — Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научится находить первообразные многих функций, дать логические нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В.Остроградский (1801—1862), В.Я.Буняковский (1804—1889), П.Л.Чебышев (1821—1894). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О.Коши, одного из крупнейших математиков, немецкого ученого Б.Римана (1826—1866), французского математика Г.Дарбу (1842—1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1838—1922) теории меры.

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875—1941) и А. Данжуа (1884—1974), советским математиком А. Я. Хинчинчиным (1894—1959).

3. Первообразная и неопределенный интеграл

Рассмотрим задачу: Дана функция f(x);требуется найти такую функцию F(x),производная которой равна f(x),т.е. F^? (x)= f(x).

Определение:1.Функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на отрезке [a,b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство F^? (x)= f(x).

Пример. Найти первообразную от функции f(x)=x².Из определения первообразной следует, что функция F(x)=х³/3 является первообразной, так как (х³/3)?= x² .

Легко видеть, что если для данной функции f(x) существует первообразная , то эта первообразная не является единственной. Так, в предыдущем примере можно было взять в качестве первообразных следующие функции:

, или вообще (где С- произвольная постоянная), так как . С другой стороны, можно доказать, что функциями вида исчерпываются все первообразные от функции x² . Это вытекает из следующей теоремы.

Теорема. Если F₁ (x) и F₂ (х)- две первообразные от функции f(x) на отрезке [a,b], то разность между ними равна постоянному числу.

Доказательство. В силу определения первообразной имеем

F₁ ?(х)= f(x), F₂ ?(х)= f(x) (1)

При любом значении х на отрезке [a,b].

Обозначим

F₁ (х)- F₂ (х) =?(х). (2)

Тогда на основании равенств (1) будет F?₁ (х)- F?₂ (х)= f(x)- f(x)=0 или ??(х)=[ F?₁ (х)- F?₂ (х)]??0 при любом значении х на отрезке [a,b]. Но из равенства ??(х)=0 следует, что ?(х) есть постоянная. Действительно, применим теорему Лагранжа к функции ?(х), которая, очевидно, непрерывна и дифференцируема на отрезке [a,b]. Какова бы ни была точка х на отрезке [a,b], мы имеем в силу теоремы Лагранжа ?(х)- ?(а)= (х-а) ??(z), где а < z < x.Так как ??(z)=0, то ?(х)- ?(а)=0, или ?(х)= ?(а). (3)

Таким образом, функция ?(х) в любой точке х отрезка [a,b] сохраняет значение ?(а), а это значит, что функция ?(х) является постоянной на отрезке [a,b]. Обозначая постоянную ?(а) через С, из равенств (2) и (3) получаем F₁ (х)- F₂ (х) = С.

Из доказанной теоремы следует, что если для данной функции f(x) найдена какая- нибудь одна первообразная F(x), то любая другая первообразная для f(x) имеет вид F(x)+ С, где С = const/

Определение 2. Если функция F(x) является первообразной для f(x), то выражение F(x)+ С называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается ?f(x)dx.Таким образом по определению, ? f(x)dx= F(x)+ С, если F^? (x)= f(x). При этом функцию f(x) называют подынтегральной функцией, f(x)dx- подынтегральным выражением, знак ?- знаком интеграла.

Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой семейство функций y= F(x)+ С.

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет совокупность (семейство) кривых, каждая из которых получается путем сдвига одной из кривых параллельно самой себе вверх или вниз, т. е. вдоль оси Оу.

Естественно возникает вопрос: для всякой ли функции f(x) существуют первообразные( а значит, и неопределенный интеграл)? Оказывается, что на для всякой. Заметим, однако, без доказательства, что если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b],то для этой функции существует первообразная ( а значит, и неопределенный интеграл).

Нахождение первообразной для данной функции f(x) называется интегрированием функции f(x).

Заметим следующее: если производная от элементарной функции всегда является элементарной функцией, то первообразная от элементарной функции может оказаться и не представимой с помощью конечного числа элементарных функций. Из определения 2 следует:

1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.если F^? (x)= f(x), то и

(? f(x)dx)?= (F(x)+C)?=f(x). (4)

Последнее равенство нужно понимать в том смысле, что производная от любой первообразной равна подынтегральной функции.

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

d(?f(x)dx)= f(x)dx. (5)

Это получается на основании формулы (4).

3. Неопределенного интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

?dF(x)= F(x)+C.

Справедливость последнего равенства легко проверить дифференцированием (дифференциалы от обеих частей равенства равны dF(x)).

4. Таблица интегралов

Прежде чем приступить к изложению методов интегрирования, приведем таблицу интегралов от простейших функций.

1. =.(Здесь и в последующих формулах под С понимается

произвольная постоянная.).

2. =.

3. =

4. =

5. =.

6. =.

7. =.

8. =.

9. =.

10. =

11. =.

11?. =.

12. =.

13. =.

13?=.

14. =.

Справедливость формул 7,8,11?,12,13?и 14 легко устанавливается с помощью дифференцирования.

В случае формулы 7 имеем ?=,

следовательно, .

В случае формулы 8

?=,

следовательно, =.

В случае формулы 12

?=,

следовательно, =.

В случае формулы 14

следовательно, =.

5. Некоторые свойства неопределенного интеграла

Теорема 1.Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов:

(1)

Из доказательства найдем производные от левой и правой частей этого равенства. На основании равенства (4) пункта №1 находим

Таким образом, производные от левой и правой частей равенства (1) равны между собой, т. е. производная от любой первообразной, стоящая в левой части, равняется производной от любой функции, стоящей в правой части равенства. Следовательно по теореме из пункта №1 любая функция, стоящая в левой части равенства (1), отличается от любой функции, стоящей в правой части равенства(1), на постоянное слагаемое. В этом смысле и нужно понимать равенство (1).

Теорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е. если a=const, то

(2)

Для доказательства равенства (2) найдем производные от левой и правой его частей:

Производные от правой и левой частей равны, следовательно, как и в равенстве (1), разность двух любых функций, стоящих слева и справа, есть постоянная. В этом смысле и следует понимать равенство (2).

При вычислении неопределенных интегралов бывает полезно иметь в виду следующие правила.

1).Если

то

(3)

Действительно, дифференцируя левую и правую части равенства (3) получим

Производные от правой и левой частей равны, что и требовалось доказать.

2). Если

то

(4)

3. Если

то

. (5)

Равенства (4) и (5) доказываются дифференцированием правой и левой частей равенств.

Пример 1.

=

Пример 2.

=

=

Пример 3.

.

Пример 4.

Пример 5.

4)Интегрирование методом замены переменой или способом подстановки

Пусть требуется найти интеграл , причем непосредственно подобрать первообразную для f(x) мы не сможем , но нам известно, что она существует.

Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив

x=?(t), (1)

где ?(t)-непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию. Тогда dx= ??(t)dt;докажем, что в этом случае имеет место следующее равенство:

(2)

Здесь подразумевается, что после интегрирования в правой части равенства вместо t будет подставлено его выражение через х на основании равенства (1).

Для того чтобы установить, что выражения, стоящие справа и слева, одинаковы в указанном выше смысле, нужно доказать, что их производные по х равны между собой . Находим производную от левой части : Правую часть равенства (2) будем дифференцировать по х как сложную функцию, где t-промежуточный аргумент. Зависимость t от х выражается равенством (1), при этом и по правилу дифференцирования обратной функции .

Таким образом, имеем

Следовательно, производные от х от право й и левой частей равенства (2) равны, что и требовалось доказать.

Функцию следует выбирать так, чтобы можно было вычислить неопределенный интеграл, стоящий в правой части равенства (2).

Замечание. При интегрировании иногда целесообразнее подбирать замену переменной не в виде , а в виде Проиллюстрируем это на примере. Пусть нужно вычислить интеграл, имеющий вид

.

Здесь удобно положить

,

тогда

.

Приведем несколько примеров на интегрирование с помощью замены переменных.

Пример 1.

Сделаем подстановку t=sin x; тогда dt= cosx dx и, следовательно,

Пример 2.

Полагаем t=1+x² ;тогда dt=2xdx и

Пример 3.

Полагаем ; тогда dx=a dt,

Пример 4. . Полагаем ; тогда dx=a dt,

(предполагается, что a>0).

В примерах 3 и 4 выделены формулы ,приведенные в таблице интегралов под номерами 11?и 13?(см. выше,пункт №2).

Пример 5. Полагаем t=lnx; тогда

.

Пример 6. ? Полагаем ;тогда dt= 2xdx,

Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Даже в тех случаях, когда мы интегрируем каким -либо другим методом, нам часто приходится в промежуточных вычислениях прибегать к замене переменных. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, которая упростила бы данный интеграл. По существу говоря изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтегрального выражения. Этому посвящены большая часть настоящего пункта.

6. Интегрирование по частям

Пусть u и v две дифференцируемые функции от х. Тогда, как известно, дифференциал произведения uv вычисляется по следующей формуле :d(uv)=udv+vdu.Отсюда, интегрируя, получаем или

. (1)

Последняя формула называется формула интегрирования по частям. Эта формула чаще всего применяется к интегрированию выражений которые можно так представить в виде произведения двух сомножителей u и dv, чтобы отыскать функцию v по её дифференциалу dv и вычисления интеграла составляли в совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление интеграла. Умение разбивать разумным образом данное подынтегральное выражение на множители u и dv вырабатывается в процессе решения задачи , и мы покажем на ряде примеров, как это делается.

Пример 1. ? Положим u=x,dv=sinxdx;тогда du=dx,v= -cosx.Следовательно,

.

Замечание. При определении функции v по дифференциалу dv мы можем брать любую произвольную постоянную, так как в конечный результат она не входит (что легко проверить, подставив в равенство(1) вместо v выражение v+C). Поэтому удобно считать эту постоянную равной нулю.

Правило интегрирования по частям применяется во многих случаях. Так, например, интегралы вида

некоторые интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции, вычисляются с помощью интегрирования по частям.

Пример 2. Требуется вычислить . Положим u= arctg x, dv=dx;тогда . Следовательно,

Пример 3. Требуется вычислить . Положим тогда

.

Последний интеграл снова интегрируем по частям, полагая

Тогда

. Окончательно будем иметь

.

Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

Как мы увидим ниже, далеко не всякая элементарная функция имеет интеграл, выражающийся в элементарных функциях. Поэтому очень важно выделить такие классы функций , интегралы которых выражаются через элементарные функции. Простейшим из этих классов является класс рациональных функций.

Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т. е. в виде отношения двух многочленов:

Не ограничивая общности рассуждения, будем предполагать, что эти многочлены не имеют общих корней.

Если степень числителя ниже степени знаменателя, то дробь называется правильной, в противном случае дробь называется неправильной.

Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби:

;

здесь М(х)-многочлен, а - правильная дробь.

Пример. Пусть дана неправильная рациональная дробь

Разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), получим

.

Так как интегрирование многочленов не представляет затруднений, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.

Определение. Правильные рациональные дроби вида

(1).

(2). (k-целое положительное число

(3) (корни знаменателя комплексные, т.е. ).

(4) (k-целое положительное число ;корни знаменателя комплексные), называются простейшими дробями (1),(2),(3) и (4) типов.

Интегрирование простейших дробей типа (1),(2) и (3) не составляет большой трудности, поэтому мы приведем их интегрирование без каких-либо дополнительных пояснений:

(1)

(2)

(3)

=

Более сложных вычислений требует интегрирование простейших дробей (4) типа. Пусть нам дан интеграл такого типа:

(4)

Произведем преобразования:

Первый интеграл берется подстановкой :

Второй интеграл- обозначим его через I_k-запишем в виде

,

полагая

(по предположению корни знаменателя комплексные, а следовательно, ). Далее поступаем следующим образом:

.

Преобразуем интеграл:

Интегрируя по частям ,будем иметь

.

Подставляя это выражение в равенство (1), получим

=

=.

В правой части содержится интеграл того же типа, что , но показатель степени знаменателя подынтегральной функции на единицу ниже ;таким образом, мы выразили через Продолжая идти тем же путем, дойдем до известного интеграла:

Подставляя затем всюду вместо t и m их значения, получим выражение интеграла (4) через х и заданные числа А, B, p,q.

Интегрирование рациональных дробей

Пусть требуется вычислить интеграл от рациональной дроби Если данная дробь неправильная, то мы представляем ее в виде суммы многочлена M(x) и правильной рациональной дроби . Последнюю же представляем по формуле в виде суммы простейших дробей. Таким образом, интегрирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и нескольких простейших дробей.

Вид простейших дробей определяется корнями знаменателя f(x). Здесь возможны следующие случаи.

1.Случай.

Корни знаменателя действительны и различны, т. е.

F(x)=(x-a)(x-b)…(x-d).

В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби 1типа:

и тогда

2. Случай.

Корни знаменателя действительные, причем некоторые из них кратные:

В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби 1и 2 типов.

Пример 1.

3. Случай.

Среди корней знаменателя есть комплексные неповторяющиеся(т.е. различные):

В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби 1,2 и 3 типов.

Пример 2.Требуется вычислить интеграл

.

Разложим подынтегральную дробь на простейшие:

Следовательно,

.

Полагая х=1, получим 1=2С, С= ?; полагая х=0, получим 0= -B+C, B=1/2.

Приравнивая коэффициенты при , получим 0=А+С, откуда А= - ?. Таким образом ,

4. Случай.

Среди корней знаменателя есть комплексные кратные:

В этом случае разложение дроби будет содержать и простейшие дроби 4 типа.

Пример 3. Требуется вычислить интеграл

.

Решение. Разлагаем дробь на простейшие:

откуда

Комбинируя указанные выше методы определения коэффициентов, находим А=1, В= - 1, С=0, D=0, Е=1.

Таким образом, получаем

Из всего изложенного следует, что интеграл от любой рациональной функции может быть выражен через элементарные функции в конечном виде, а именно:

через логарифмы - в случаях простейших дробей 1 типа;

через рациональные функции - в случае простейших дробей 2 типа

через логарифмы и арктангенсы - в случае простейших дробей 3 типа

через рациональные функции и арктангенсы - в случае простейших дробей 4 типа.

Интегралы от иррациональных функций

Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции. Сейчас мы рассмотрим те иррациональные функции, интегралы от которых с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций и, следовательно, до конца интегрируются.

1.Рассмотрим интеграл , где R-рациональная функция своих аргументов ¹).

Пусть R-общий знаменатель дробей m/n,…r/s.Сделаем подстановку .Тогда каждая дробная степень х выразится через целую степень t и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t.

Пример 1. Требуется вычислить интеграл

.

Решение. Общий знаменатель дробей 1/2,3/4, есть 4; поэтому делаем подстановку ; тогда

=.

2.Рассмотрим теперь интеграл вида

Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки

где - общий знаменатель дробей m/n,…r/s.

Пример 2. Требуется вычислить интеграл

.

Решение. Делаем подстановку тогда

=

7. Заключение

Интеграл используется в таких науках как физика, геометрия, математика и других науках. При помощи интеграла вычисляют работу силы, находят координаты центр масс, путь пройденный материальной точкой. В геометрии используется для вычисления объема тела, нахождение длины дуги кривой и др.

8. Список литературы

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. / Под ред. Н.Ш. Кремера – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2006.

2. Высшая математика: Учебник / Ильин В.А. - ПРОСПЕКТ, 2002.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учеб пособ. / Под ред. В.И. Ермакова – М.: ИНФРА-М,2004.

4. Математика для менеджеров и экономистов:Учебник. /Абчук В.А. – СПб.: Изд-во Михайлова В.А., 2002.

5. Основы высшей математики: Учеб. Пос. / В.С. Шипачев -М.: Выс. Шк., 2004,

6. Математика и информатика для гуманитариев: Учебник./Жолков С.Ю. – М: Альфа-М, Инфра-М, 2005.

Дополнительная литература

7. Агафонов С.А. Дифференциальные уравнения.- М.: МГТУ, 2000.

8. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник.- М.: ЮНИТИ, 1998.

9. Афанасьев В.Н. Анализ временных рядов и прогнозирование.- М.: Финансы и статистика, 2000.

10. Башарин Г.П. Начало финансовой математики. М.: ИНФРА-М, 1998.

11. Валенкин И.В., Гробер В.М. Высшая математика: Учеб. пособие.- Ростов Н/Д: Феникс, 2002.

12. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учеб. пособие.- М.: Высшая школа, 2002.

13. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике.- М.: Астрель-АСТ, 2002.

14. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре.- М.: Добросвет, МЦНМО, 1998.

15. Гриб А.А. Математический анализ для экономиста. М.: Филинъ, 2001.

16. Ефремова М.Р., Петрова Е.В., Нуменцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник.- М.: ИНФРА-М, 2000.

17. Жуленев С.В. Финансовая математика.- М.: МГУ, 2001.

18. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учеб. пособие.- М.: Физматгиз, 2001.

19. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: Учебник.- М.: Физматгиз, 2001.

20. Калинина В.Н. Математическая статистика.- М.: Высшая школа, 2001.

21. Кочович Е. Финансовая математика. Теория и практика финансово-банковских расчетов. Пер. с сербского. М.: Финансы и статистика, 1994.

22. Крищенко А.П., Канатников А.Н. Линейная алгебра. М: МГТУ, 2001.

23. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. М.: Айрис-пресс, 2003.

24. Матросов В.Л. Основы курса высшей математики: Учебник. - М.: ВЛАДОС, 2002.

25. Мусхелашвили Н.И. Курс аналитической геометрии. - СПб.: Лань, 2002.

26. Солодовников А.С. Математика в экономике. - М.: Финансы и статистика, 2001.

27. Эмсгольц Л.Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - СПб.: Лань, 2002.