Функциональные уравнения

Содержание

Введение

Функциональное уравнение - это уравнение, в котором неизвестными являются функции (одна или несколько). Например,

f(x)+xf(x+1) = 1

Некоторые функциональные уравнения знакомы нам еще из школьного курса это f(x) = f(-x), f(-x) = - f(x), f(x+T) = f(x), которые задают такие свойства функций, как чётность, нечётность, периодичность.

Задача решения функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом анализе. Они появились почти одновременно с зачатками теории функций. Первый настоящий расцвет этой дисциплины связан с проблемой параллелограмма сил. Ещё в 1769 году Даламбер свёл обоснование закона сложения сил к решению функционального уравнения

(1)

То же уравнение и с той же целью было рассмотрено Пуассоном в 1804 году при некотором предположении аналитичности, между тем как в 1821 году Коши (1789 – 1857) нашёл общие решения

этого уравнения, предполагая только непрерывность f(x).

Даже известная формула неевклидовой геометрии для угла параллельности

была получена Н. И. Лобачевским (1792 – 1856) из функционального уравнения

, (2)

которое он решил методом, аналогичным методу Коши. Это уравнение можно привести к уравнению

.

Ряд геометрических задач, приводящих к функциональным уравнениям, рассматривал английский математик Ч. Баббедж (1792—1871). Он изучал, например, периодические кривые второго порядка, определяемые следующим свойством для любой пары точек кривой: если абсцисса второй точки равна ординате первой, то ордината второй точки равна абсциссе первой. Пусть такая кривая является графиком функции у = f(х); (х, f(х)) — произвольная ее точка. Тогда, согласно условию, точка с абсциссой f(х) имеет ординату х. Следовательно,

(3)

Функциональному уравнению (3) удовлетворяют, в частности, функции:

,

Одними из простейших функциональных уравнений являются уравнения Коши

f(x+y) = f(x)+f(y), (4)

f(x+y) = f(x)·f(y), (5)

f(xy) = f(x)+f(y), (6)

f(xy) = f(x)·f(y), (7)

Эти уравнения Коши подробно изучил в своём (Курсе Анализа), изданном в 1821 году. Непрерывные решения этих четырёх основных уравнений имеют соответственно вид

, , ,

В классе разрывных функций могут быть и другие решения. Уравнение (4) ранее рассматривалось Лежандром и Гауссом при выводе основной теоремы проективной геометрии и при исследовании гауссовского закона распределения вероятностей.

Функциональное уравнение (4) было опять применено Г. Дарбу к проблеме параллелограмма сил и к основной теореме проективной геометрии; его главное достижение - значительное ослабление предположений. Мы знаем, что функциональное уравнение Коши (4) характеризует в классе непрерывных функций линейную однородную функцию f(x) = ax. Дарбу же показал, что всякое решение, непрерывное хотя бы в одной точке или же ограниченное сверху (или снизу) в произвольно малом интервале, также должно иметь вид f(x) = ax. Дальнейшие результаты по ослаблению предположений следовали быстро один за другим (интегрируемость, измеримость на множестве положительной меры и даже мажорируемость измеримой функцией). Возникает вопрос: существует ли хоть одна какая-нибудь аддитивная функция (т. е. удовлетворяющая (4)), отличная от линейной однородной. Найти такую функцию действительно нелегко! В ходе работы мы покажем, что при рациональных x значения любой аддитивной функции должны совпадать со значениями некоторой линейной однородной функции, т. е. f(x) = ax для x Q. Казалось бы, что тогда f(x) = ax для всех действительных x. Если f(x) - непрерывна, то это действительно так, если же данное предположение отбросить - то нет. Первый пример отличного от f(x) = ax разрывного решения функционального уравнения (4) построил в 1905 году немецкий математик Г. Гамель с помощью введённого им базиса действительных чисел.

Многие функциональные уравнения не определяют конкретную функцию, а задают широкий класс функций, т. е. выражают свойство, характеризующее тот или иной класс функций. Например, функциональное уравнение f(x+1) = f(x) характеризует класс функций, имеющих период 1, а уравнение f(1+x) = f(1-x) - класс функций, симметричных относительно прямой x = 1, и т. д.

Вообще, для функциональных уравнений, не сводящихся к дифференциальным или интегральным, известно мало общих методов решения. Далее будут рассмотрены некоторые приёмы, позволяющие решать функциональные уравнения.

§1. Уравнения Коши

п. 1.1. Функциональное уравнение линейной однородной функции

Одним из наиболее исследованных в математике является функциональное уравнение Коши

f(x+y) = f(x) +f(y), D (f) =R (4)

Нетрудно заметить, что линейные однородные функции вида

f(x) = ax (a = const)

удовлетворяют этому уравнению:

f(x+y ) = a(x+y) = ax + ay = f(x) + f(y)

Вопрос состоит в том, будут ли эти функции единственными.

Прежде всего, выведем несколько общих фактов, не накладывая никаких ограничений на функцию f (т. е. без всяких предположений о непрерывности, ограниченности и т. п.).

Положим в уравнении y = x, получим:

f(2x) = 2f(x).

Далее, последовательно полагая y = 2x, y = 3x, y = 4x и т. д., имеем:

f(3x) = f(x+2x) = f(x)+f(2x) = f(x)+2f(x) = 3f(x);

f(4x) = f(x)+f(3x) = 4f(x);

f(5x) = f(x)+f(4x) = 5f(x),

и вообще, для любого натурального n

f(nx) = n·f(x) (1.1)

(это легко проверяется по индукции). Заменив здесь x на , мы получим

,

а затем, если подставить mx (m - натуральное) вместо x и использовать предыдущее равенство, придём к соотношению

, (1.2)

Положим теперь в основном уравнении (4) x = y = 0; получим

f(0) = 2f(0), так что f(0) = 0. (1.3)

Если же взять y = -x, то:

0 = f(x - x) = f(x) + f(-x)

f(-x) = -f(x),

так что функция f(x) является нечётной. А тогда из (1.1) легко вывести:

(1.4)

Полученные соотношения (1.2) – (1.4) могут быть объединены в равенстве

f(rx) = r·f(x),

справедливом для любого вещественного значения x, каково бы ни было рациональное число r.

Если взять здесь x = 1, то получим

f(r) = r·f(1) (1.5)

или, если обозначить f(1) через a, f(r) = ar.

Таким образом, мы, собственно говоря, установили уже вид функции f, но пока лишь для рациональных значений аргумента. При этом мы использовали только тот факт, что функция удовлетворяет основному уравнению Коши (4). Далее в решении мы будем уже опираться на конкретный класс функций, в котором ищется решение. Рассмотрим некоторые наиболее общие классы функций.

п. 1.1.1 Класс непрерывных функций

Для рациональных x мы установили, что f(x) = ax. Осталось показать, что это соотношение справедливо и для иррациональных x. Пусть x будет любое иррациональное число. Тогда существует последовательность рациональных чисел

,

сходящаяся к этому числу x (это известный факт; можно, например, взять отрезки соответствующей бесконечной десятичной дроби). По доказанному

f(r_n) = ar_n (n = 1,2,3, . . .).

Перейдём здесь к пределу при

Справа мы получим ax, слева же, именно ввиду предположенной непрерывности функции f, получится

так что, окончательно,

f(x) = ax.

Таким образом, действительно, все непрерывные аддитивные функции являются линейными однородными. Последняя формула даёт самое общее решение функционального уравнения (4).

п. 1.1.2 Класс монотонных функций.

Здесь мы будем предполагать, что функция f не убывает на всей действительной оси (случай невозрастания функции рассматривается аналогично). Значит для любых x₁ < x₂.

Для рациональных x доказано f(x) = x·f(1). Возьмём произвольное иррациональное x. Известно, что любое иррациональное число можно сколь угодно точно приблизить рациональными числами, поэтому для любого натурально q существует целое p такое, что

(1.6)

и при достаточно больших q число x расположено между двумя очень близкими рациональными числами, разность между которыми равна . Используя монотонность функции f, находим

откуда (воспользовавшись соотношением для рациональных значений функции f)

, a = f(1). (1.7)

Так как из (1.3) f(0) = 0, то, ведь функция f не убывает, значит,.

Если a = 0, то из неравенств имеем .

Если a = 0, то из (1.7)

. (1.8)

Сравнивая эти неравенства с (1.6), получим

Покажем это. Предположим, что это неверно, например,

для выбранного иррационального x. Подберём q настолько большим, чтобы дробь попала между и x

что противоречиво с (1.8). Полученное противоречие показывает, что

для любого заданного иррационального x, поэтому f(x) = ax для всех x.

п. 1.1.3 Класс ограниченных функций.

Пусть теперь функция f(x) ограничена с одной стороны (т. е. ограничена либо сверху, либо снизу) на каком-либо интервале (a, b). Нам нужно доказать, что линейными однородными функциями исчерпываются все решения (4) в данном классе. Мы исследуем решение уравнения (4), предполагая f ограниченной сверху (случай, когда f ограничена снизу, сводится к рассматриваемому случаю заменой f на -f).

Будем считать, что функция f ограничена сверху константой M, т. е. для всех . Рассмотрим вспомогательную функцию

g(x) = f(x) - x·f(1).

По доказанному выше g(x) = 0 при любом рациональном x. Кроме того, функция g(x) также является аддитивной. Действительно,

g(x + y) = f(x + y) - (x + y)·f(1) = f(x) + f(y) - xf(1) - yf(1) = g(x) + g(y).

Подставим y = r (r - рациональное) в равенство

g(x+y) = g(x)+g(y),

получим, учитывая g(r) = 0,

g(x+r) = g(x)+g(r) = g(x).

Значит, любое рациональное число r является периодом функции g(x).

Покажем теперь, что g(x) ограничена на интервале (a, b). Имеем

где , поскольку при .

Отсюда тогда следует, что g(x) ограничена сверху на всей вещественной оси. В самом деле, для любого действительного x существует рациональное число r такое, что r (a-x, b-x), т. е. a < x+r < b. Поэтому

g(x) = g(x+r) < M1,

так как x + r (a, b), а на интервале (a, b) функция g ограничена числом M₁.

Сейчас уже можно утверждать, что g(x) = 0 для любого действительного x. Допустим это не так, т. е. для некоторого x₀

g(x₀) = A, A 0.

Поскольку для функции g(x), как для любой аддитивной функции, верно соотношение (1.1), то

g(nx₀) = ng(x₀) = nA

для любого целого n. Очевидно, что можно подобрать такое n (может быть, достаточно большое по абсолютной величине), что

nA > M₁, т.е. g(nx₀) > M₁.

Но функция g ограничена сверху константой M₁. Получаем противоречие. Значит, g(x) 0, откуда f(x) = x·f(1), что и требовалось.

п.1.1.4. Класс дифференцируемых функций.

Легко проверить, что если функция f (х) дифференцируема в точке х₀, то она непрерывна в этой точке, Как показывает пример функции f(x)=|x|, обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Поэтому класс дифференцируемых функций уже класса непрерывных функций. Следовательно, решением уравнения Коши в классе дифференцируемых функций является линейная однородная функция. Тем не менее, метод решения уравнения Коши в предположении дифференцируемости f(x) представляет интерес ввиду его простоты. При фиксированном у R f (х + у) и f(х) + f (у) являются функциями переменной х R. Ввиду их равенства, равны и их производные (по переменной x!). Продифференцировав обе части равенства (4), получим

(1.9)

(, как производная постоянной). Равенство (1.9) выполняется для любых х R, у R, так как у можно было выбрать произвольно, Положив в(1.9) х = 0, придем к тождеству

для всех у R. Итак, — постоянная функция. Поэто­му ее первообразная

f (х) = сх + b (1.10)

где b — некоторое действительное число. Проверка показы­вает, что (1.10) удовлетворяет (4) только при b = 0, с R.

Существуют и другие классы функций, в которых аддитивная функция неминуемо будет являться линейной однородной, однако найден пример аддитивной функции и в классе разрывных функций. Этот пример построил Гамель. Построенная функция обладает следующим свойством: на любом (произвольно выбранном) интервале (a, b), пусть даже сколь угодно малом, функция f(x) не ограничена, т. е. среди значений, которые данная функция принимает на этом интервале, имеется и такое, которое больше любого наперёд заданного положительного числа. Для построения такой функции Гамель ввёл множество G действительных чисел, называемое теперь базисом Гамеля, которое обладает свойством, что любое действительное число x представимо и при том единственным способом в виде

,

Произвольно задав значения f(x) в точках множества G, можно однозначно продолжить её на всю числовую прямую при помощи равенства

вытекающего из свойства аддитивной функции. Такими функциями исчерпываются все решения (4).

п.1.2. Функциональное уравнение показательной функции

Покажем, что все непрерывные на всей действительной прямой функции, удовлетворяющие функциональному уравнению

f(x+y) = f(x) ·f(y), (5)

задаются формулой

f(x) = a^x (a>0)

(если не считать функции, тождественно равной 0).

Итак, пусть f(x) - непрерывная и определённая при всех действительных x функция, удовлетворяющая (5). Исключим тривиальное решение f(x) 0. Тогда для некоторого значения x = x₀ эта функция отлична от нуля. Положим в (5) y = x₀ - x:

f(x) ·f(x₀-x) = f(x₀) 0;

отсюда ясно, что f(x) не равна нулю ни при каком x. Заменяя x и y в (5) на x/2, получим

так что f(x) строго больше 0 для всех x. Тогда равенство (5) можно прологарифмировать, например, по основанию e:

lnf(x+y) = lnf(x) + lnf(y).

Положив в этом соотношении ?(x = lnf(x)), придём к функциональному уравнению Коши (4):

?(x+y) = ?(x) + ?(y).

Учитывая, что ? - непрерывная функция (как суперпозиция непрерывных функций), имеем по доказанному:

?(x) = lnf(x) = cx (c = const),

откуда находим, что

f(x) = e^ix = a^x (если положить a = e^c).

Таким образом, единственной непрерывной функцией, удовлетворяющей уравнению Коши (5), является показательная функция (или тождественно нулевая функция).

В качестве класса функций, в котором искалось решение (2), мы рассмотрели лишь класс непрерывных функций. Как и в предыдущем пункте, можно было бы разобрать решения для монотонных и ограниченных функций, но этого мы делать не будем, потому что (5), как было подмечено, сводится к (4), а для него всё ясно.

п.1.3. Функциональное уравнение логарифмической функции

Все непрерывные решения функционального уравнения

f (xy) = f(x) + f(y), (6)

справедливого для всех положительных значений x и y, имеют вид

f(x) = log_a x (a > 0, a 1).

Докажем это. Для этого введём новую переменную ?, изменяющуюся в промежутке (-; + ), и положим

x = e? (ведь x > ?0), ?(?) = f(e^?),

откуда

? = lnx, f(x) = ?(lnx).

Тогда функция ? удовлетворяет функциональному уравнению (4):

а потому

и f(x) = clnx.

Если исключить случай c = 0 (тогда f(x) 0), то полученный результат может быть написан в виде

f(x) = log_a x, a = e^1/c.

п.1.4. Функциональное уравнение степенной функции

Функциональному уравнению

f(xy) = f(x)·f(y) (x > 0, y > 0) (7)

удовлетворяют в классе непрерывных функций только функции вида

f(x) = x^a.

Прибегая к той же подстановке, что и в п. 1.3, мы приведём уравнение (7) к уравнению (4):

,

откуда

?(?) = c^? (c >0), и, значит, f(x) = c^lnx = x^a (a = lnc).

Метод последовательного анализа можно применить к решению других уравнений.

Пример 1. Функция f определена и непрерывна на множестве R, f(1) = 1 и для любых действительных x и y

Чему равно f(x)?

Решение. Из данного равенства при x = y = 0 получаем, что f(0) = 0, а при y = 0 имеем f(x) = f(|x|), так что функция f чётная и достаточно рассматривать только положительные значения аргумента.

По индукции легко получить равенство

;

в самом деле, по предположению индукции

Положив в доказанном равенстве

,

будем иметь

,

т.е.

.

Если теперь – положительное рациональное число, то

,

если же x - иррациональное число, то x является пределом последовательности рациональных чисел, , и в силу непрерывности f будем иметь

п.1.5. Одно обобщение уравнения Коши.

Пусть n — фиксированное натуральное число. Рассмотрим функциональное уравнение

(1.11)

где D (f) = R. При n = 1 оно обращается в уравнение Коши. Как было показано, в классе непрерывных функций единственным решением уравнения Коши является линейная однородная функция. Из результатов Гамеля следует, что и разрывные функции могут удовлетворять уравнению Коши. Покажем, что решение уравнения (1.11) при n > 1 является непрерывной функцией.

Полагая х = у = 0, получим f (0) = 0. Поэтому при х = 0 из (1.11) имеем f(уⁿ) = (f(y))ⁿ для всех у R. Каждое неотрицательное число z может быть записано в виде z = уⁿ. Отсюда

В частности, при х = -z

т. е. f(-z) = - f (z), z R. Если , то

Отсюда следует что f(х + w) = f(х) + f(w) для всех х R, w R, т. е. f(х) — аддитивная функция. Для аддитивной функции при рациональных t имеет место соотношение f(tw) = tf (w). Легко видеть, что

(1.12)

Воспользовавшись формулой Ньютона

,

и аддитивностью f(x), преобразуем отдельно левую и правую части (1.12) при рациональных t:

;

Правые части последних двух равенств представляют собой многочлены от t. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получим

, .

В частности, для k = 2 имеем

. (1.13)

Если (f(1))^n-2 > 0, то f(x) — неубывающая функция. Действительно, всякое у > 0 представимо в виде у = х², поэтому из (1.13) имеем f(у) = f(x²) ? 0. При х₁ > x₂, х₁ – x₂> 0, f(x₁ – x₂) ? 0, или, в силу аддитивности f(х), f (x₁) – f (х₂) ? 0. Если же (f(1))^{n -2} < 0, аналогично доказывается, что функция f(х) — невозрастающая.

Ранее было доказано, что если аддитивная функция монотонна, то она имеет вид f(х) = ах.

Полагая в (1.13) х = 1, получим, что f(1) равно 0 или 1 при четном n и f(1) равно 0, 1 или -1 при нечетном n > 1.

Итак, f (х) = х либо f(х) = 0 при четных n; f (x) = х, либо f (х) = -х, либо f(х) = 0 при нечетных n > 1.

Тем самым доказана не только непрерывность решения уравнения (1.11) при n > 1, но и получен его вид.

§ 2. Метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции

Рассмотрим определённые типы функциональных уравнений, которые можно свести к уравнениям, общие решения которых мы уже знаем. Как правило, такие уравнения сводятся к основным уравнениям Коши (4) – (7). Метод основан на введении вспомогательной функции, которую следует подобрать таким образом, чтобы после преобразований было ясно, что она удовлетворяет одному из известных функциональных уравнений.

Пример 2. Найти все непрерывные функции f (x), опреде­ленные на промежутке (0;?), для которых разность f (x₁y) – f(x₂y) при произвольных допустимых значениях х₁ и х₂ не зависит от у.

Решение. По условию, выражение f (ху) – f (у) (х_г = х, х₂ = 1) не зависит от у, Поэтому

f(xy) – f(y) = f(x) – f(1).

Положив g (х) = f (x) — f (1), получим функциональное урав­нение Коши

g(xy) = g(x) + g(y).

Известно, что в классе непрерывных функций g (x) = сlnх. Отсюда f (х) = cln x+b, где b = f(1). Проверка показывает, что условию задачи удовлетворяют
функции f (х) = сln х + b при произвольных b и с.

Рассмотрим пример, считая х₁ и х₂ различными фиксиро­ванными числами. Так как f (х₁y) – f (х₂у) не зависит от у, то f (х₁y) – f (х₂у) = с. Пусть х₂у = х, тогда f(ах) = f (x)+c, где, а > 0, с — постоянная. Заменив х на е^х, получим

Вычитая из обеих частей , получим

,

или g(x + lna) = g(x), (2.1)

где . Уравнению (2.1) удовлетворяют периодические с периодом lnа функции. Отсюда

При проверке убеждаемся, что функции вида f(х) = g(ln x) + ?lnx, где ? – произвольная константа, а g(х) – непрерывная периодическая с периодом функция, обладают требуемым свойством.

Пример 3. Известно, что сложение действительных чисел обладает сочетательным свойством:

(х + у) + z = х + (у + z)

для любых х, y, z R. Требуется найти все непрерывные функции f(х), «сохраняющие» сочетательность, т. е.

f(х + у) + f(z) = f(х) + f(у + z) (2.2)

Решение. Перепишем (2.2) в виде

f(х + у) – f(x) = f(у + z) – f(z)

Легко видеть, что левая часть не зависит от х, т. е.

f(х + у) – f(x) = g(y)

При х = 0 имеем f(у) = g (у) + а, а = f(0). Пришли к функциональному уравнению Коши

.

Его непрерывным решением являются функции g(х) = сх. Таким образом, f (х) = сх + а, где а и с — произвольные константы.

Пример 4. Найти плоские кривые, обладающие следующим свойством: для произвольных двух точек сумма произведений абсциссы одной точки на ординату другой равна ординате точки, абсцисса которой равна произведению абсцисс данных точек.

Решение. Ограничимся отысканием кривых, являющихся графиками непрерывных функций, определенных при положительных значениях аргумента.

Задача сводится к решению функционального уравнения

Пусть . Тогда получим одно из уравнений Коши вида . Так как g (x) непрерывна при х > 0, то . Отсюда

с произвольной константой с.

Пример 5. Найти непрерывные решения функционального уравнения

Решение. В качестве вспомогательной функции здесь удобно считать следующую функцию:

Тогда подставляя в исходное уравнение f(x) = g(x) +x², получим

g(x+y) = g(x) + g(y)

Это уравнение Коши его решением является функция g(x) = ax.

Окончательно находим

f(x) = x² + g(x) = x² + ax

и все такие функции удовлетворяют условию.

Пример 6. Решить уравнение Йенсена в классе непрерывных функций

,

Решение. Положим в уравнении (x+y) вместо x и 0 вместо y, получим:

,

Сравнивая полученное соотношение с первоначальным функциональным уравнением, имеем:

f(x+y) + c = f(x) + f(y)

Это уравнение переходит в уравнение Коши (4) при подстановке

g(x) = f(x) - a,

тогда

g(x) = ax,        f(x) = ax + c,

а это решение действительно удовлетворяет уравнению Йенсена.

Пример 7. Найти все непрерывные функции f: (0, +?) ? R, удовлетворяющие тождеству

f(xy) ? xf(y) + yf(x).

Решение. Поделив тождество на xy, перепишем его так:

отсюда ясно, что в качестве вспомогательной нужно взять функцию:

Тогда функция g удовлетворяет (6). Поэтому находим f(x) = x logax.

§ 3. Метод подстановок

Заменяя некоторые переменные функционального уравнения либо конкретными значениями, либо какими-либо другими выражениями пытаемся либо упростить это уравнение, либо привести его к такому виду, что дальнейшее решение станет очевидным. Особенность применяемого метода как раз и состоит в том, что в ряде случаев он позволяет отыскать решения в классе всевозможных функций. Поясним метод на следующих примерах.

Пример 8. Найти все решения функционального уравнения

f(xy) = y^k f(x), k N.

Решение. Положим в уравнении x = 0: f(0) = y^k f(0). Так как y - произвольно, то f(0) = 0.

Пусть теперь x ? 0. Подставим в уравнение , получим:

или (a=f(1))

Функция f(x) = ax^k является решением исходного уравнения.

Пример 9. Пусть - некоторое действительное число. Найти функцию f(x), определённую для всех x ? 1 и удовлетворяющую уравнению

,

где g – заданная функция, определённая при x ? 1.

Решение. При замене

получаем систему

.

решением которой при a² ? 1 является функция

Пример 10. Найти все функции f(x), заданные на промежутке , для которых выполнено равенство

Решение. Выполнив последовательно две замены

приходим к системе функциональных уравнений:

Последнее уравнение есть сумма первых двух, умноженных на -1, т. е. из данной системы функция f(x) однозначно не определяется. Из первых двух уравнений находим

Мы можем определить f(x) произвольным образом на одном из интервалов и эти формулы дадут нам расширение f(x) на вcё множество I.

Пример 11. Найти решение системы функциональных уравнений относительно неизвестных функций f(x) и g(x):

Решение. В первом уравнении сделаем подстановку 2x = 1/z.

При этом

и первое уравнение принимает вид:

или

В результате получаем систему уравнений:

решение которой g(x) = 1/x, f(x) = x+1.

§ 4. Решение функциональных уравнений с применением теории групп

В уравнении под знаком неизвестной функции f(x) стоят функции g₁ = х и g₂ = а – х. В результате замены х на а – х получено еще одно уравнение, содержащее те же функции f (х) и f (а – х). Функции g₁ и g₂ образуют группу относительно композиции функций. Понятие группы позволяет в ряде случаев выбрать целесообразные подстановки для решения функциональных уравнений.

Пусть в функциональном уравнении

(4.1)

выражения f₀(x) = x, f₁(x), …, f_n-1(x), стоящие под знаком неизвестной функции g (x), являются элементами конечной группы порядка n относительно композиции функций. Коэффицненты уравнения (4.1) а₀, а₁ ..., а_n-1, b в общем случае зависят от x. Некоторые из них могут равняться 0. Предположим, что уравнение (4.1) имеет решение. Заменим х на f₁(x). Эта замена равносильна умножению справа всех элементов группы f₁. В результате последовательность функций f₀, f₁, …, f_n-1 перейдет в последовательность , состоящую из всех элементов группы.

Произведенная замена перевела уравнение (4.1) —линейное относительно неизвестных g(f₀), g(f₁), …,g( f_n-1) — в новое линейное уравнение относительно тех же неизвестных. Заменяя далее x ? f₂(x), x ? f₃(x),…, x ? f_n(x) получим систему n линейных уравнений с n неизвестными.

Решая эту систему, находим неизвестную функцию g(f₀) = g(x), если, конечно, система имеет решение. Непосредственной проверкой следует убедиться, что полученная функция удовлетворяет исходному уравнению. Рассмотренный метод ограничивает область определения функции, так как приходится отбрасывать те значения аргумента, при которых элементы группы не имеют смысла.

Пример 12. Найти функцию f (х), определенную на множестве действительных чисел, отличных от 0, 1, –1, и удовлетворяющую уравнению

(4.2)

Решение. Выражения , стоящие под знаком неизвестной функции f, являются элементами группы, заданной таблицей:

Заменяя последовательно х на ,, , получим систему

Последовательно исключая неизвестные ,, , имеем

Рассуждения вытекали из предположения, что решение урав­нения (4.2) существует. Подставляя в (4.2) полученную функцию, убедимся, что она удовлетворяет уравнению.

Пример 13. Найти функцию f(x), х ? 0, х ? а, удовлетво­ряющую уравнению

где а — постоянная, отличная от 0.

Решение. Нетрудно проверить, что выражения х, , вместе с составляют группу с таблицей:

Здесь xR\{0, а}.

Рассуждая аналогично решению примера 12, получим систему

из нее находим . Проверка показывает, что эта функция удовлетворяет уравнению.

Иногда в функциональном уравнении выражения, стоящие под знаком неизвестной функции, являются значениями элементов некоторой группы от одной и той же функции g. После замены g(x) на x получаем уравнение, которое решается изложенным выше методом.

Рассмотрим функциональные уравнения, в которых под знаков неизвестной функции стоят, кроме выражений, зависящих от х, и константы.

Пример 14. Решить уравнение

(4.3)

Решение. На множестве {х, 1, –х, 1, 0} определена операция композиции, если рассматривать числа 1 и 0 как функции, тождественно равные константе. Таблица умножения здесь имеет вид:

Из таблицы видно, что для элементов 1 и 0 не существует обратных, т. е. данное множество функций не является группой. В алгебре множества с ассоциативной операцией называют полугруппами. Полугруппы в отдельных случаях можно применить к решению функциональных уравнений.

Делая в (4.3) последовательно замены х ? 1 – х, x ? 1, x ? 1 получим систему

Из двух последних уравнений имеем .

Теперь из первых двух уравнений найдем: . Проверка показывает, что найденная функция удовлетворяет уравнению (4.3).

§ 5. Применение теории матриц к решению функциональных уравнений

Под знаком неизвестной функции могут стоять дробно-линейные выражения вида . Такие дроби полностью определяются заданием матрицы , составленной из коэффициентов a, b, c, d.

Пример 15. Найти функцию f, определенную при

и удовлетворяющую уравнению

(5.1)

Решение. Отыщем подстановку, переводящую выражения, стоящие под знаком неизвестной функции f в уравнении (5.1), друг в друга.

Для этого положим . Отсюда

.

Кроме того, .

Следовательно, подстановка – искомая. Уравнение (5.1) примет вид

. (5.2)

В уравнении (5.1) Подстановка переводит точки соответственно в точки . Кроме того, из характера подстановки вытекает . Поэтому в уравнении (5.2) . Область допустимых значений х в системе, составленной из уравнений (5.1) и (5.2), является пересечением соответствующих областей каждого из уравнений (5.1) и (5.2), т. е. . Исключая из этой системы , получим

Обозначив , получим . Из условия получаем , а также , что определяется видом подстановки.

Подстановка дает . Итак, функция с областью определения является решением примера 15, что и подтверждается проверкой. Сужение области определения искомой функции удалением точек вызвано методом решения уравнения. Несложные вычисления показывают, что функция , , удовлетворяет исходному уравнению.

В самом деле, полагая в (5.1) , получим .

Значения функции , , в точках и 1 соответственно равны и удовлетворяют приведенному соотношению.

Более того, решение уравнения (5.1) в классе функций таких, что имеет вид

Уравнение (5.1) решено, так как найдена подстановка переводящая дробно-линейные функции и , получим друг в друга. На языке матриц это означает, что найдена матрица такая, что АХ = kB; BX =lA, где

.

Возникает вопрос, для любых ли дробно-линейных функций существует аналогичная подстановка; другими словами, для любых ли матриц А и В существует матрица X, удовлетворяющая уравнениям

АХ = kВ, (5.3)

ВХ = lА (5.4)

при некоторых k, l, отличных от нуля.

Предполагая, что такая матрица существует, из уравнений (5.3) и (5.4) получим: (lА)X = (lk)В, (ВХ)X = (lk)В,

BX² = (lk)B (5.5)

Предположим, что функции, соответствующие матрицам А и В, отличны от констант. Тогда, как показано выше, для А и В существуют обратные матрицы. Умножим обе части равенства (5.5) слева на В^-1. Получим

B^-1BX²= B^-1lkB; EX² = (lk)E; X² = mE, где m=lk

Найдем общий вид матрицы такой, что , т.е.

,

при некотором m ? 0. Заметим, что х₁x₄ – х₂х₃ ? 0. Из правила умножения и условия равенства матриц имеем:

Вычитая из первого уравнения четвертое, получим т. е. , либо .

Если , то = 0 и = 0, что приводит к матрицам вида или . Если же то придем к матрице

Проверкой убеждаемся, что матрицы Х₂ и Х₃ удовлетворяют уравнению X²=mЕ при некотором m. Матрица Х₃ при х₁ = 0 дает X₁.

Итак, матрицы вида и и только они удовлетворяют уравнению X² = mE, m ? 0. Из (5.4) имеем X = lВ^-1А. Поэтому, если матрица В^-1А имеет вид Х₂ или Х₃, то она удовлетворяет каждому из уравнений (5.3), (5.4).

Теперь изложим один из способов решения функционального уравнения вида

(5.6)

где s(x), t(x), р (х) — некоторые данные функции,

Решая матричное уравнение вида А = ВХ, где , , получим X = В^-1А,

Если матрица X имеет вид , то подстановка в (5.6) даст второе уравнение относительно неизвестных

,

Если полученная система имеет решение, то из нее найдем выражение для . Последнее дает возможность найти f(x). Как обычно, обязательной частью решения является проверка. Случай тривиален, А = х₁В, т. е. выражения, стоящие в (5.6) под знаком f, совпадают.

Пример 16. Найти функцию f, определенную при , удовлетворяющую уравнению

(5.7)

Решение. Решаем матричное уравнение AХ = В, где ; . Для матрицы A обратной является матрица . Тогда . Матрица X имеет вид , поэтому применим к уравнению (5.7) подстановку . Последнюю удобно выполнять с помощью матриц. Правой части уравнения (5.7) соответствует матрица . Применение к ней подстановки равносильно умножению справа на . В результате получим . Таким образом, из уравнения (5.7) находим

(5.8)

Исключив из системы, составленной из уравнений (5.7) и (5.8) имеем

(5.9)

Из (5.7) видим, что . Подстановка сохранила эти ограничения. Кроме того, .

Положим . Так как , то . Отсюда . Заменяя , из (5.9) получим

.

Проверка показывает, что эта функция удовлетворяет условию задачи:

§ 6. Применение элементов математического анализа к решению функциональных уравнений

п. 6.1. Предельный переход

Идею предельного перехода проиллюстрируем на следующих примерах.

Пример 17. Решить в классе непрерывных функций уравнение

(6.1)

где х R.

Решение. Заменив х на , получим

(6.2)

Используя ту же замену, из уравнения (6.2) последовательно получим

,

,

……………………………………..

Методом математической индукции можно доказать, что

(6.3)

Сложив все уравнения, начиная с (6.2), получим

(6.4)

Так как функция f(х) непрерывна, то при любом фиксированном х

Здесь . Из (6.1) . Тогда

Левая часть равенства (6.4) не зависит от n, поэтому существует ее предел при n ? ?. Переходя к пределу в равенстве (6.4), при n ? ? имеем

(6.5)

Правая часть (6.5) является суммой трех бесконечно убывающих прогрессий

Итак, , что и подтверждается проверкой.

Пример 18. Функция f: R?R непрерывна в точке 0 и для любого x R выполнено равенство

2f(2x) = f(x)+x.

Найти все такие f.

Решение. Пусть функция f удовлетворяет условию. Тогда

Тривиальная проверка показывает, что функция x/3 действительно является искомой.

Пример 19. Доказать, что уравнение

, (6.6)

не имеет непрерывных решений.

Решение. Допустим, что существует непрерывное решение функционального уравнения (6.6). Подставим в исходное уравнения вместо x выражение

ведь если x ? 0, то и

получим:

(6.7)

Теперь сделаем такую же замену

в соотношении (6.7):

(6.8)

Описанную операцию проделаем ещё несколько pаз. На n-ом шаге имеем:

Сложим все получившиеся выражения, начиная с (6.6) (всего будет n выражений), и приведем подобные слагаемые:

(6.9)

Равенство (6.9) верно для любого натурального n. Зафиксируем x, а n устремим к ?. Ввиду непрерывности f(x) в точке x = 0, находим

(6.10)

где

В левой части (6.10) при конкретном (фиксированном) x стоит некоторая константа, т.е. при данном x ряд в правой части (6.10) сходится к этой константе. Мы же покажем, что этот ряд расходится для любого значения x > 0, таким образом, придём к противоречию.

Для любого натурального k и x > 0 верно неравенство

так что

Гармонический ряд

неограниченно возрастает при увеличении n (известный факт), следовательно,

расходится к ?. Что и требовалось доказать.

Пример 20. Найти f(x), ограниченную на любом конечном интервале, удовлетворяющую функциональному уравнению:

Решение. x = 0 f(0) = 0;

…………………………………………

переходя к lim при x ? ? используя непрерывность f(x) и f(0) = 0 получаем, что

.

Пример 21. Решить функциональное уравнение

(6.11)

в классе непрерывных функций.

Решение. Выполнив замену , получим

(6.12)

Складывая (6.11) с уравнением (6.12), умноженным на , получим

Это уравнение решается аналогично уравнению (6.1). Найдем подстановку, переводящую в . Для этого положим . Отсюда . Выполнив n раз подстановку , получим систему уравнений, из которой находим

Отсюда при n ? ?

, или ,

что и подтверждается проверкой.

\

п. 6.2. Дифференцирование

В некоторых случаях для нахождения решения функционального уравнения целесообразно продифференцировать обе части уравнения, если, конечно, производная существует. В результате получим функциональное уравнение, которое содержит и производную неизвестной функции. Решим это уравнение относительно производной. Тогда неизвестная функция является одной из первообразных для найденной производной. Этот метод уже применялся при решении уравнения Коши в классе дифференцируемых функций.

Пример 22. Найти в классе функций, имеющих непрерывные производные, решение уравнения

f(3x+2) = 3f(x), x R. (6.13)

Решение. Попытки решить уравнение методом предельного перехода не приводят к желаемому результату. Левая и правая части (6.13) являются функциями от х. Они равны, следовательно, равны их производные по х. Продифференцируем (6.13) и после сокращения получим

f?(3x+2) = 3f?(x)

Это уравнение уже можно решить методом предельного перехода. Выполнив подстановку , получим цепочку равенств

Ввиду непрерывности , при n ? ?, имеем

Итак, = k, где k === . Первообразная функция f(х) == kx + b. Подставив в (6.13) х = –1, получим f(—1) = 0. Кроме того, f(–1) = – k + b, т. е. k = b.

Легко проверить, что f (х) = k (х + 1) удовлетворяет условию при произвольном k.

Пример 23. Найти все действительные дифференцируемые функции, удовлетворяющие функциональному уравнению

(6.14)

Решение. Пусть f удовлетворяет данному уравнению. Тогда

т.е. f(0)[1+f ²(x)] = 0, и, следовательно, f(0) = 0.

После преобразований имеем

, (6.15)

откуда, с учётом

следует, что

f(x) = C (1+f ²(x)), (6.16)

где C = f?(0). Значит,

,

Условие f(0) = 0 означает, что C₁ = 0, т.е. f(x) = tg Cx. Очевидно, все функции вида tg Cx подходят под условие задачи.

Пример 24. Найти функцию f(x), удовлетворяющую уравнению

f?(x) +xf (-x) = ax x R, a = const.

Решение. f?(-x)-xf(x) = -ax. Введём новые функции

Ясно, что функция F(x) - чётная, а G(x) - нечётная функции, причём f(x) = F(x)+G(x). Получим уравнение относительно новых функций F(x) и G(x):

G?(x)-xG(x) = 0, F?(x) +xF(x) = ax,

Так как G(-x) = -G(x), то G(x) ? 0 и

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что при любых числах a, A функция f(x) является решением исходного уравнения.

Заключение

В данной работе были рассмотрены функциональные уравнения и некоторые способы их решения. В ходе работы мы убедились, что функциональные уравнения – это общий класс уравнений, в которых искомой является некоторая функция. К функциональным уравнениям по существу относятся дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, уравнения в конечных разностях. Под функциональным уравнением в узком смысле слова понимают уравнения, в которых искомые функции связаны с известными функциями одного или нескольких переменных при помощи операции образования сложной функции. Функциональное уравнение можно также рассматривать как выражение свойства, характеризующего тот или иной класс функций.

Функциональные уравнения имеют большое применение. Так, например, в теории аналитических функций часто применяются для введения новых классов функций. Например, двоякопериодические функции характеризуются функциональными уравнениями f(z + а) = f(z) и f(z + b) = f(z). Если функция известна в некоторой области, то знание для неё функционального уравнения позволяет расширить область определения этой функции. Например, функциональное уравнение f (x + 1) = f (x) для периодических функций позволяет определить их значение в любой точке по значениям на отрезке [0, 1]. Этим часто пользуются для аналитического продолжения функций комплексного переменного. Например, пользуясь функциональным уравнением Г (z + 1) = zГ (z) и зная значения функции Г (z) (Г (z) – Гамма-функция) в полосе 0 Rez 1, можно продолжить её на всю плоскость z.

Условия симметрии, имеющиеся в какой-либо физической задаче, обусловливают определённые законы преобразования решений этой задачи при тех или иных преобразованиях координат. Этим определяются функциональные уравнения, которым должно удовлетворять решение данной задачи. Значение соответствующих функциональных уравнений во многих случаях облегчает нахождение решений.

Список литературы

1. Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н.., Савин А.Н., Саушкин И.Н. Функциональные уравнения. – Самара: В мире науки, 1999

2. Бродский Я. С., Слипенко А. К. Функциональные уравнения. – К.: Вища школа. Головное издательство, 1983. – 96 с

3. Ильин В.А. Методы решения функциональных уравнений // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 2, с. 116 – 120

4. Лихтарников Л.М. Элементарное введение в функциональные уравнения.– СПб.: Лань, 1997. – 160 с

5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах: том 1. – М.: Наука, 1968, c. 157 – 162