Вход

Введение в аксиоматику квантовой механики

Реферат по физике
Дата добавления: 25 августа 2009
Язык реферата: Русский
Word, rtf, 644 кб
Реферат можно скачать бесплатно
Скачать
Данная работа не подходит - план Б:
Создаете заказ
Выбираете исполнителя
Готовый результат
Исполнители предлагают свои условия
Автор работает
Заказать
Не подходит данная работа?
Вы можете заказать написание любой учебной работы на любую тему.
Заказать новую работу
Введение в аксиомат ику квантовой механики Происхождение опер а торов динамических в еличин Содержание: Уравн ение плоской бегущей волны материи. Операторы импульса и энергии. Общая схема вычислений физических наблюдаемых в квантовой мех а нике. Уравнение плоской бегущей волны материи Для построения математической схемы кван товой механики необходимо расширить представления о волнах материи. Во лны Де Бройля позволяет наиболее экономно показать, как появляются на св ет Божий операторы импульса ( p ) и полной энергии ( H ), поясняя, что же это такое - операторные уравнения на собственные значения и их смысл. О днако показать – вовсе не означает доказать! ... Обратимся к цепочке рассу жд е ни й... Пл оская световая волна (эл екромагнитное поле) описывается уравнениями: Плоская вол на материи: A) Подстановки E = ћ = mc 2 ; = mc 2 /ћ = pc /ћ; = E /ћ приводят к формуле пло ской волны материи: Это выражение называется волновой функци ей системы (плоской волны материи). Она зависит от двух переменных - времен и и координаты. Волновая функция считается ун и версальным исто чником динамической информации о системе. Это напоминает термодинамику. Посредством определённых преобразовани й и дейс т вий над термодинамическими функциями состояния мож но вычислить прочие термодин а мические свойства. Аналогично в квантовой механ ике из волновой функции системы мо ж но определёнными действиями можно извлеч ь все её динамические характеристики. Во л новая функция яв ляется функцией квантово - механического состояния си с темы. Энергия и импульс получаются из волновой функции с п омощью дифференциров а ния по разным переменным – времени и координате. Общ ая схема вычисления представлена фо р мулой 4.2. Слева от знака равенства волновая функция подвергается совокупности преобр а зований. Вся сово купность действий, извлекающих эту физическую величину, сгруппир о вана в оди н оператор, его символ . Справа от знака равенства результатом преобразований является она же ( ) с точностью до численного множителя я; он-то и представляет собой числен ное значение искомой физической велич и ны. Рез юме. Выражения 4.3 и 4.4 настолько важны, что бе з них было бы затруднительно п о строить математический аппарат квантовой ме ханики. О с труктуре операторного уравнения Способ расчёта динамических переменных и з волновой функции оказывается настолько общей, что затрагивает самые в ажные вопросы о способах человеческого познания. Итак предмет нашего ис следования - операторное уравнение (4.2). Перечислим то, что предста в ляется особо важным. Содержание: Общая схема расчётов динамических переменных и структура операторных уравнений квантовой механики. Эксперимент и теория. Измерения и уравнен ия. Объекты и образы. Система и прибор, волновая функция и оператор. Микрос истема и макроприбор, структ у ра операторов. Опыт и теория: информация и организ ация. Идеальный опыт и операто р ное уравнение. Бросается в глаза, что весь алгоритм вычисления динамической переменно й раздел я ется знаком равенства на две части. Такое имеет место в любых вычислениях, знак равенс т ва обязателен при записи уравнений, но здесь а ктивную роль играет само понятие преобр а зования – понят ие оператора. Все действия слева от знака равенства сгруппированы в один-единственны й оператор. Он определяет всю программу действий для достижения р е зультата. Сам же результат представлен численным множителем справа от знака раве нства. В обеих частях равенства присутствует волновая функция. Слева она объек т прео б разования, справа - неизменный объект, не претерпевший изменений. Все эти признаки допускают очень простую и наглядную интерпретацию, сам ым тесным образом отражающую способы познания человеком окружающего м ира. Главное в ней понятие объекта и образа-отображения. В таком случае в н ашем понимании важную роль играет каждая деталь... Ра ссмотрим операторное уравнение как образ идеального эк с перимента Вол новая функция это образ исследуемой микросистемы. Оператор, действием которого извлекается искомая величина, есть образ м акроск о пического прибора, настроенного на измерение конкр етной искомой физической велич и ны. Знак равенства разделяет эксперимент на два качественно разных этапа. И сходный, стартовый этап, предшествующий измерению, изображён выражение м слева от знака р а венства. На завершающем этапе достигается количест венная информация о системе, пол у чено численное значение измеренной величины ( справа от знака равенства). Волновая функция в эксперименте остаётся неизменной, и это отражает про стейшее обязательное качество идеального опыта – измерение не должно изменять систему. Иначе невозможно идентифицировать итоги опыта, резул ьтат измерения нельзя отнести ни какой-либо конкретной ситуации, ни к ка кому-либо состоянию, и нельзя вообще сказать, к той ли системе вообще данн ый результат относится. При такой точке зрения следует постулировать некоторый минимальный на бор оп е раторов и далее определить правило составления оператора любой сколь-у годно более сложной велич и ны. Основные поня тия и постулаты квантовой механики Сод ержание: Сис тема постулатов квантовой механики. Понятие о конфигурацион ном пространстве системы частиц При описании механических движений в сис теме частиц с номерами : 1,2, 3, ... n могут быть использованы различные прост ранственные переменные (прямоугольные-декартовы, косоугольные, полярн ые (шаровые, цилиндрические или эллиптические). Их полная совокупность, достато чная для составления исчерпывающих уравнений механики в конкретной за даче, называется конфигурационным пространством K . Координаты могут быть декартовы x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 , x 3 , y 3 , z 3 , ... x n , y n , z n , или полярные, например, шаровые r 1 , 1 , 1 , r 2 , 2 , 2 , r 3 , 3 , 3 , ... r n , n , n , или любые другие - в общем виде: . Макс имальная размерность конфигурационного пространства K ра в на 3 n - утроенному числу частиц в системе. Принадлежность переменных к конфигурац и онному пространству можно указать с помощью символ ов - кванторов включения, напр и мер, в виде: . По стулат 1. Во лновая функция и её свойства (конечность, о днозначность, непрерывность и нормировка). Фо рмулировка : Всякое состояние квантово-механической системы описывается функцией со-стояния - волновой функцией, заданной на многообразии всех переменных конфи-гурационного пространства системы, и также време ни: Волновые функции обязаны удовлетворять нескольким математическим требованиям. Они должны быть: 1) конечны , 2) однозначны , 3) непрерывны , 4) нормированны , т.е.: ; (5.1) Область интегри рования охватывает весь возможный диапазон значений каждой переменной во всём пространстве K . Вероятностный смысл волновой функции: . (5.2) Нормировка оказывается условием суммирования плотности вероятности в о всём конфигурационном пространстве. Квадрат модуля волновой функции является плотностью вероятности, с которой физическая система, пребыва я в том физическом состоянии, кот о рое описывается волновой функцией , ра спределена по конфигурационному пространству. Функции, отвечающие усл овиям 1, 2, 3 называются регулярными. Волновая функция это математический обр аз квантово-механического состояния физической системы. Конечно же, это функция механического состояния системы. Постулат 2. Измерения физических величин и оп ераторные уравнения на собст-венные знач ения эрмитовых операторов Фо рмулировка : Разрешёнными значениями динамической п еременной являются те, что являются собственными значениями эрмитова о ператора данной динамической переме н ной: . (5.3) Операторные уравнения являются математическими образами измерений. Оп ераторы удобно рассматривать в качестве образов макроскопических приб оров. Выражения для операторов основных динамических переменных. Опера тор импульса и его rомпоненты (из формулы бегущей волны де Бройля). Операто ры координат и оператор потенциальной энергии совпадают с самими этими переменными. Взаимосвязь операторов различных динамических переменны х определяется тем, что они отображают макроскопическое устройство при боров. Операторы момента импульса одной частицы и его компонент имеют ви д , оператор кинетической энергии единстве н ной частицы равен , а для сист емы нескольких частиц представляет собою сумму вида . Радиус-ве ктор частицы , и его оп е ратор представл яет собой просто множитель перед волновой функцией, т.е. имеет вид: . Оператор потенциальной энергии это также просто множитель перед волновой функц ией U ( r ) , о ператор полной энергии – гамильтониан складывается из операторов к и нетиче ской и потенциальной энергии: . (5.4) Принимаетс я, что и операто ры всех прочих динамических переменных построены из этих двух по формул ам классической м е ханики. Причина классической схемы взаимосвязи кроется в том, что операторы явл яются образами макроскопически устроенных приборов, а конструкционные компоненты которых подчиняются законам классической (макроскопическо й ) физ и к и. Состояния и во лновые функции, соответствующие определённым квантованным зн а чениям физи чески наблюдаемой величины, - тем, которые непосредственно проявляются в и з мер ениях, называются чистыми. По стулат 3. Ур авнения Шрёдингера (временн е и стационарное) Фо рмулировка : Волновые функции, описывающие возможные состояния изменяющейся во вре мени физической системы, являются решени ями временного уравнения Шрёдинг е ра : . (5.5) Для стационарной системы уравнение Шрёдингера принимает вид операторн ого уравнения на собственные значения гамильтониана: (5.6) Обратимся к стационарным систем ам. Введём гамильтониан, не зависящий от времени, и получится стационарн ое уравнение Шрёдингера. Выявим смысл комплексного сопряжения волновы х функций как признак механической обратимости во времени р е ше ний уравнения Шрёдингера: Результат (5.9) это стационарное уравнение Шрёдингера. Оно представля ет собой оп е раторное выражение закона сохранения энергии стационарной системы. Это чисто простран ственная часть общего решения. Временна я часть описывает периодический процесс. Внимание! Операция комплексного сопряжения временной компоненты волновой функц ии состоит в замене знака перед аргументом - временем в показателе компл ексной экспоненты. Эта простая алгебраическая операция совершенно иде нтична простой замене знака перед переменной времени. Получается, что пр и изменении о т счёта времени на об ратное, не изменяются законы, кот орым починяется физическая система. Это важнейший результат, состоящий в том, что уравнение Шрёдингера описывает процессы, обратимые во времени. По стулат 4. Суперп озиция состояний Состояния чистые и смешанные. Математиче ские и физические основания принципа суперпозиции Формулировка 1 (скорее математическая) : Если две волно вые функции p и q являются решениями операторного уравнения на собственные значения, то их линейная комбинация = c p p + c q q также является его решением. Истоки этой формулировки лежат в теории д ифференциальных уравнений. Формулировка 2 (скорее физическая) : Если система может находиться в состоян иях с волновыми функциями p и q , то она может находиться и в сос тоянии с волновой функцией = c p p + c q q . Истоки этой формулировки происходят из у беждения, что до опыта нельзя предск а зать, в каком состоянии находится система, а потому приходится допустить для неё сразу все возможности. Речь о тех функциях, что совокупность кото рых образует спектр собственных фун к ций эрмитова оператора (оператора динамической перемен ной). Эта ситуация может быть распространена на любое число собственных функций линейного самосопряжённого опер а тора: Этот постулат называется принципом супе рпозиции состояний и допускает обобщение на любое число собственных функций, образующих спектр эрмитова операто ра. Функции k отвечают так называемым чистым состояниям, а их суперпозиция - см е шанному состоянию. По стулат 5. Средние значения динамических переменных. Математические ож и дания для динамических характеристик состояний чистых и смешанных Формулировка : Среднее значение динамической переменн ой, полученное в результате серии ис-пытаний (измерений) совпадает с мате матическим ожиданием динамического опер а тора этой пере менной, которое вычисляется по формуле: ; (5.11) Для чистых состояний это уравнение является формальным следствием 2-го по стулата, но для случая смешанных состояни й эта формула постулируется и тем самым во з водитс я в ранг физического закона. Постула т 6. Принцип Паули Формулировка : Полная волновая функция, коллектива иде нтичных фермионов антисимметрична относительно перестановки любой па ры частиц между их индивидуальными одночастичными состояни я ми. Это свойство можно записать в виде . (5.12) О п ерестановоч ной симметрии коллектива частиц Удобно ввести оператор перестановки , действие которого состоит в том, что он меняет местами идентичные частицы с номерами k и l между их одночастич ными состояниями или что совершенно одно и то же – меняет состояния этих д вух частиц м е жду собой. Если заранее оговорить, что всегда номера идентичных частиц в колективе опред е ляются просто порядковым номером в цепочке-перечислении, то номер можно и не запис ы вать в явной форме. В таком случае записывая в позици и частицы символ какой-то волн о вой функции, удобно считать её символом состояни я, в которое частица попадает. Действуя на волновую функцию, оператор перестановки исторгает из неё со бстве н ное значение, но при этом умудряется её самоё не изменять. Перед нею прост о возникает некоторое число - собственное значение этого оператора. Если же оператор перестановки применить к волновой функции коллектива повт орно, то обе переставляемые частицы во з вращаются на исходные позиции – в исход ные состояния, и волновая функция обязана о б ратиться вновь с ама в себя. Система возвращается в исходную ситуацию, и поэтому собс т венное зна чение квадрата оператора перестановки равно единице. Получаем равенс т ва: Необходимая информация. Фермио ны Поясним, что обязательный комплект перем енных многофермионного ко л лектива включает не только пространственные пер еменные и время, но для каждой частицы вводится дополнительная степень с вободы, называемая спиновой переменной, так что пр о странство перем енных существенно расширяется. Этот вопрос рассмотрим позднее, а сейчас его на время оставим... Фермионами являются все частицы со спино м, равным или кратным 1/2 (также возможно и 3/2, 5/2,...-это у некоторых ядер) . Электроны и протоны суть фермионы. Их спин равен 1/2. Соответственно для электронного коллектива в молекуле должна быть по строена электронная , а для коллектива ид ентичных протонов – уже своя - протонная в о л нова я функция. Уравнение Шрёдингера для п ростейших стационарных движений Од номерный "потенциальный ящик" и последовательный квантово-механически й анализ свойств стационарной системы удобно проследить на примере про стейшего поступательного движения, на ограниченном интервале. Волновые функции одной частицы называют орбиталями. Решение уравнения Шрёдингера превр ащаются в орбитали только после подчинения их условиям регулярности , предъя вляемым к волновым функциям, а также после обязательной нормировки. Прав ило квантования энергии (энергетический спектр) вытекает из последоват ельного наложения граничных условий на решения уравн е ния Шрёдингера. Э нергетический спектр не отличается от полученного для простой модели л инейно ограниченной волны Де-Бройля. Энергетическ ую диаграмм у и графики волновых
© Рефератбанк, 2002 - 2017