Вход

Корреляция по времени

Реферат по экономико-математическому моделированию
Дата добавления: 23 мая 2006
Язык реферата: Русский
Word, rtf, 1.5 Мб
Реферат можно скачать бесплатно
Скачать
Данная работа не подходит - план Б:
Создаете заказ
Выбираете исполнителя
Готовый результат
Исполнители предлагают свои условия
Автор работает
Заказать
Не подходит данная работа?
Вы можете заказать написание любой учебной работы на любую тему.
Заказать новую работу

План 1. Авторегрессионный процесс первого порядка 2. Оценивание в модели с авторегрессией 3. Процедура Кохрейна-Оркатта ( Cochrane - Orcutt ) 4. Процедура Хилдрета-Лу ( Hildreth - Lu ) 5. Процедура Дарбина ( Durbin ) 6. Тест Дарбина-Уотсона на наличие или отсутствие корреляции по времени 7. Список используемой литературы Корреляция по времени Авторегрессионный процесс первого порядка При анализе временных рядов часто приходится учитывать ста тистическую зависимость наблюдений в разные моменты вре мени. Иными словами, для многих временных рядов предположе ние о некоррелированности ошибок не выполняется. В этом раз деле мы рассмотрим наиболее простую модель, в которой ошибки образуют так называемый авторегрессионный процесс первого порядка (точное определение будет дано ниже). Применение обычного метода наимень ших квадратов к этой системе дает несмещенные и состоятель ные оценки параметров, однако можно показать (см., например, Johnston and DiNardo , 1997), что получаемая при этом оценка дисперсии оказывается смещенной вниз, что может отрицательно сказаться при проверке гипотез о значимости коэффициентов. Образно говоря, МНК рисует более оптимистичную картину ре грессии, чем есть на самом деле. Рассмотрим модель ( Фо рмула 1) где t -я компонента вектора y представляет значение зависимой переменной в момент времени t , t = l ,..., n . Будем для опре деленности считать, что первым регрессором в X является кон станта. Запишем подробнее уравнение для наблюдения в момент времени t : ( Формула 2) где x ' t = (1, x t 2 ,..., x t k ) — t -я строка матрицы Х . Один из наиболее простых способов учета коррелированности ошибок (в разные моменты времени) состоит в предположении, что случайная последовательность t , t = 1,…, n о бразует ав торегрессионный процесс первого порядка. Это означает, что ошибки удовлетворяют рекуррентному соотношению ( Формула 3 ) где , t — l ,..., n — последовательность независимых нор мально распределенных случайных величин с нулевым средним и постоянной дисперсией , а p — некоторый параметр, назы ваемый коэффициентом авторегрессии (| p | < 1) . Строго говоря, для полного описания модели надо определить - Будем считать, что — нормальная случайная величина с нулевым средним и дисперсией , не зависящая от , t = 1,..., n . Из дальнейшего станет ясно, почему у именно такие параметры. Взяв математическое ожидание от обеих частей ( Ф ормула 3 ), получим E = p E , откуда следует, что E = 0 , t = l ,..., n . По скольку выражается через ( формула 3 ), то и независимы. Поэтому Легко проверяется, что если , то , t =1,…, n . ( Формула 4) Умножая ( Формула 4 ) на и вновь пользуясь независимостью и , получим (Формула 5) Аналогично и вообще (Формула 6) Таким образом, последовательность образует стационар ный случайный процесс. Именно этим обстоятельством дикто вался выбор параметров начальной величины . На самом деле, с течением времени зависимость от быстро уменьшается, по этому в большинстве книг по эконометрике проблему начальных условий для просто не рассматривают, неявно подразумевая, что процесс ( Формула 3 ) при любом начальном значении быстро сходится к стационарному. Отме чу также, что условие | p | < 1 является необходимым для стационарности. Из ( Формула 5 ) следует, что , т. е. p есть в точности коэффициент корреляции между двумя соседними ошибками. Пользуясь ( Формула 6 ), можно выписать ковари ационную матрицу случайного вектора : Оценивание в модели с авторегрессией Проблему оценивания системы ( Формула 1 ) рассмотрим отдельно для случая, когда коэффициент p известен, и отдельно — когда не известен. 1. Значение p известно . В этом случае для оценивания си стемы ( Формула 1 ) можно применить обобщенный метод наименьших квадратов. В данном случае нетрудно найти матрицу P , для которой . Здесь весьма просто догадаться, какое линейное преобразование исходной системы ( Формула 1 ) надо про вести, чтобы получить классическую модель. Напишем ( Формула 2 ) для момента времени умножим обе части на p и вычтем почленно из ( Формула 2 ) . Тогда с учетом ( Формула 3 ) получим (Формула 7 ) П ри t =1 достаточно обе части уравнения ( Формула 3 ) умножить на : (Формула 8) В системе ( Формула 7 ), ( Формула 8 ) ошибки удовлетворяют условиям уже обычной регрессионной модели. Действительно, в ( Формула 7 ) случай ные величины t =2, … , n независимы и имеют постоян ную дисперсию , а в ( Формула 8 ) ошибка не зависит от t =2, … , n и, согласно ( Формула 4 ), также имеет дисперсию . На практике часто опускают преобразование ( Формула 8 ), игнори руя тем самым первое наблюдение. С одной стороны, благодаря этому, преобразование исходной модели ( Формула 1 ) становится едино образным. В частности, для получения оценки параметра до статочно оценку свободного члена в ( Формула 7 ) разделить на (1 — p ) . С другой стороны, отбрасывание первого наблюдения может при вести к потере важной информации, особенно в выборках неболь шого размера. 2. Значение p неизвестно . Ситуации, когда параметр ав торегрессии р известен, встречаются крайне редко. Поэтому воз никает необходимость в процедурах оценивания при неизвестном р . Как правило, они имеют итеративный характер. Опишем три наиболее употребительные. Мы не будем устанавливать сходи мость этих процедур, практика их применения показала, что они достаточно эффективны. Процедура Кохрейна-Оркатта ( Cochrane - Orcutt ). На чальным шагом этой процедуры является применение обычного метода наименьших квадратов к исходной системе ( Формула 1 ) и полу чение соответствующих остатков . Далее, 1) в качестве приближенного значения p берется его МНК- оценка r в регрессии 2) проводится преобразование ( Формула7 ) (или ( Формула 7 ), ( Формула8 ))при p = r и находятся МНК-оценки вектора параметров ; 3) строится новый вектор остатков е = у — X /3; 4) процедура повторяется, начиная c п ункта 1). Процесс обычно заканчивается, когда очередное приближение p мало отличается от предыдущего. Иногда просто фиксируется количество итераций. Процедура Кохрейна-Оркатта реализо вана в большинстве эконометрических компьютерных программ. Процедура Хилдрета-Лу ( Hildreth - Lu ) . Суть процедуры достаточно проста. Из интервала (— 1,1) возможного измене ния коэффициента p берутся последовательно некоторые значе ния (например, числа с постоянным шагом 0.1 или 0.05) и для каждого из них проводится оценивание преобразованной системы ( Формула7 ). Определяется то значение этого параметра, для которого сумма квадратов отклонений в ( Формула7 ) минимальна. Затем в не которой окрестности этого значения устраивается более мелкая сетка и процесс повторяется. Итерации заканчиваются, когда будет достигнута желаемая точность. Время работы процедуры, очевидно, сокращается, если есть априорная информация об обла сти изменения параметра p . Процедура Дарбина ( Durbin ). Преобразованная система ( Формула 7 ) переписывается в следующем виде: , т.е. включается в число регрессоров, а p — в число оцени ваемых параметров. Для этой системы строятся обычные МНК- оценки r и параметров p и p соответственно. В качестве оценки берут / r . Можно улучшить качество оценок , под ставив полученное значение r в систему ( Формула 7 ), и найти новые МНК-оценки параметров . Тест Дарбина-Уотсона на наличие или отсутствие корреляции по времени Большинство тестов на наличие корреляции по времени в ошиб ках системы ( Формула 1 ) используют следующую идею: если корреляция есть у ошибок , то она присутствует и в остатках , получаемых после применения к ( Формула 1 ) обычного метода наименьших квадра тов. Здесь мы рассмотрим только одну реализацию этого под хода. Пусть нулевая гипотеза состоит в отсутствии корреляции, т.е. : р=0 . В качестве альтернативной может выступать либо просто : « не », либо односторонняя гипотеза, напри мер, : p > 0 . Наиболее широко используется тест Дарбина-Уотсона ( Dur - bin - Watson ). Он основан на статистике (Формула 9) Будем считать, что постоянный член включен в число регрес соров. Тогда нетрудно проверить, что эта статистика тесно свя зана с выборочным коэффициентом корреляции между и . Действительно, проводя элементарные выкладки, имеем ( Формула 10 ) Предполагая число наблюдений достаточно большим, можно считать, что приближенно выполнены следующие равенства : и (поскольку выполнено точное равенство в силу нали чия постоянного регрессора). Поэтому выборочный коэффициент корреляции r между и можно приближенно представить в виде Наконец, пренебрегая в (6.14) слагаемыми и по сравне нию с общей суммой , окончательно получим (Формула 11) Понятен и содержательный смысл статистики DW : если между и имеется достаточно высокая положительная кор реляция, то в определенном смысле и близки друг к другу и величина статистики DW мала. Это согласуется с ( Формула 11 ): если коэффициент r близок к единице, то величина DW близка к нулю. Отсутствие корреляции означает, что DW близка к 2. Таким образом, если бы распределение статистики DW было известно, то для проверки гипотезы : p = 0 против альтернативы: : p >0 можно было бы для заданного уровня значимости (напри мер, для 5 % -уровня) найти такое критическое значение d * , что если DW > d *, то гипотеза не отвергается, в противном слу чае она отвергается в пользу . Проблема, однако, состоит в том, что распределение DW зависит не только от числа наблю дений n и количества регрессоров k , но и от всей матрицы X , и, значит, практическое применение этой процедуры невозможно, поскольку нельзя же составить таблицу критических значений d * для всех матриц X ! Тем не менее, Дарбин и Уотсон доказали ( Durbin , Watson , 1951), что существуют две границы, обычно обозначаемые и > ( u = upper — верхняя, l = low — нижняя), которые зависят лишь от n , k и уровня значимости (а следовательно, могут быть затабулированы) и обладают следую щим свойством: если DW > , то DW > d * и, значит, гипотеза не отвергается, а если DW < , то DW < d *, и гипотеза отвергается в пользу . В случае < DW < ситуация не определенна, т. е. нельзя высказаться в пользу той или иной гипо тезы. Если альтернативной является гипотеза об отрицательной корреляции : p <0 , то соответствующими верхними и ниж ними границами будут 4 — и 4 — . Целесообразно представить эти результаты в виде следующей таблицы. Значение статистики DW Вывод 4 - < DW < 4 Гипотеза отвергается, есть отрицательная корреляция 4 - < DW < 4 - Неопределенность < DW < 4 - Гипотеза не отвергается < DW < Неопределенность 0 < DW < Гипотеза отвергается, есть положительная корреляция . Наличие зоны неопределенности, конечно, представляет опре деленные трудности при использовании теста Дарбина-Уотсона. Ее ширина может быть довольно значительной. К примеру, при n = 19, k = 3 она образует интервал (0.97, 1.68). Поэтому многие дальнейшие исследования были направлены на построение таких тестов, которые сужают зону неопределенности . Список используемой литературы 1) Эконометрика “ Начальный курс ” Я.Р Магнус, П.К. Катышев, А.А Пересецкий

© Рефератбанк, 2002 - 2017