Зависимость расходов на косметику от личного дохода

Коэффициент Std. Error C 0 ,3372820 0,4569091 DPI 0,0079826 0,0005683 R 2 = 0,895613 Durbin-Watson = 0,145122 F - stat = 197,336 1) Составляем уравнение р егрессии: у^=0,3372820+0,0079826 Х (0 , 4569091) (0,00 0 5683) Цифры, указанные в скобках, являются стандартными ошибками. 2) Интерпретация уравне ния для dpi Коэффициент при dpi показыва ет, что если dpi увеличивается на одну единицу, то Y возрастает на 0,0079826 единицы. Так как dpi и Y измеряются в милл иардах долларов в постоянных ценах, то dpi (личный располагаемый доход) показывает , что если доход увеличивается на 1 млрд. долл., то расходы на косметику возр астают на 79826 дол. Другими словами, из каждого дополнительного дохода 7,9 цен та будут израсходованы на косметику. 3) Формулируем нулевую гипот езу о том, что величина в=0, и затем пытае мся опровергнуть ее. Соответствующая t -статистика выполняется по формуле: t = b -в 0 / с.о. ( b ) = 0,0079826/0,005683 = 14,05 Т.е. она есть оценк а коэффициента, деленная на ее стандартную ошибку. Т.к. в выборку включено 25 наблюдений (1959-1983гг.) и мы оцениваем два параметра Ј и в, то ч исло степеней свободы составляет 23. t кр при 5% уровне значимости с 23 степенями с вободы равняется 2,069. причем t -ст атистика не лежит между значениями -2,069 и 2,069. Следовательно, неравенство - t критич < b -в 0 / с . о .( b ) < t критич не выполняется и мы отвергаем нулевую гипотезу, сделав вывод о том, что величина в в действительности отли чается от нуля. Формируем аналогично и для Ј нулевую гипотезу: Ј=0 t = 0,3372820 / 0,4569091 = 0,74 При случае с Ј t - статистика лежит между значениями - 2 ,069 и 2,069. Сл едовательно неравенство - t критич < a -Ј 0 / с . о .( a ) < t критич выполняется и мы принимаем нулеву ю гипотезу. 4) Построим доверительный интервал : Соответствующий 95% доверительный интервал составляет: b - с.о. ( b )Х t критич <в< b + с.о. ( b )Х t критич 0,0079826- 0,0005683 Х 2,069 < в < 0,0079826 + 0,0005683 Х 2,069 Иными словами, 0,0068 < в < 0,0092 Поэтому мы отвер гаем гипотетические значения только свыше 0,0092 и не ниже 0,0068. Любые гипотезы, не входящие за рамки этих пределов, не будут опровергаться полученным ре зультатом оценивания регрессии. Доверительный интервал для Ј: 0,3372820-0,4569091 Х 2,069 < Ј < 0,337282 + 0,4569091 Х 2,069 Иными словами, -0,608 < Ј < 1,283. Поэтому мы отвер гаем гипотетичес кие значения только свыше 1,283 и не ниже -0,608. Любые гипотезы, не входящие за рамки этих пределов, не будут опровергаться полученным результатом оценивания регрессии. 5) F -тест на качество оценивания: Определим критическое значение коэффициента R 2 при любом уровне значимости. Традиционная процедура состо ит в использовании косвенного подхода и выполнения F -теста, основанного на анализе дисперсии : F = 0,895613 / (1 – 0,895613) / 23 = 0,895613 / 0,0045985 = 197, 33678 Отыскиваем величину F крит – критическое значение F в соответствующей таблице. При 1% уровне з начимости F крит = 7,88. При 5% F крит = 4,28 . Так как F > F крит (197,33 > 7,88), то отклоняем нулевую гипотезу. Другими сло вами, полученное значение коэффициента R 2 столь высоко, что мы отклоняем предполож ение о том, что оно могло появится случайно. Уравнение при dpi плохое, так как t -статистика для коэффициента Ј составляет 0,74. Таким образом, коэффициент не значимо отличается от нуля . time | Коэффициент Std. Error C 3 , 77 0 ,374480 Time 0,2149231 0,0159725 R 2 = 0,887288 Durbin - Watson = 0,175585 F - stat = 181,0595 1) Составим уравне ние рег рессии: у^=3,77 + 0,2149231 time (0,2374480) (0,0159725) Цифры, указанные в с кобках, являются стандартными ошибками. 2) Интерпретация уравнения : Коэффициент наклона показывает, что если время увеличи лось на 1 год, то расходы на косметику возрастают на 21 млн дол. 3) Гипотеза H 0 : в=0; t = 0 ,214923 / 0,0159725 = 13,45 H 0 : Ј = 0; t = 3,77 / 0,2374480 = 15,9 t кр при 5% уровне значимости с 23 степенями свободы равняется 2,069. при чем t -статистика не лежит между значениями 2,069 и -2,069. Следовательно, неравенство - t к ритич < b -в 0 / с . о .( b ) < t критич -2,069 < 13 ,45 < 2,069 не выполняетс я и мы отвергаем нулевую гипотезу, сделав вывод о том, что величина в в действительнос ти отличается от нуля. Такой же результат и при Ј: -2,069 < 15,9 < 2,069. в обоих с лучаях t -статистика значима, и и з этого следует, что категории наблюдений значимо различаются. 4 ) Доверительные интервалы: 0,18 < в < 0 ,25 3,28 < Ј < 4,26 Лю бое гипотетическое значения в, Ј, которые удовлетворят интервалам буд ут автоматически совместимы с оценками b , a , т. е. не будут опровергаться ею. 5) F -тест: R 2 = 0,887288 F = 181 , 0595 При 1% F крит = 7 , 88 ; 181,0595 > 7,88. Н ет необходимости представлять результаты каждой проверки 1% и 5%. Так как величина b должна быть более «экстремальной» для гипотезы, отвер гаемой при 1% уровне значимости, но не при 5%, и если мы отклоняем ее при 1% уровне, то отклоняем из этого автоматически следует, что отклоня ем е е и при уровне значимости в 5%. 1% урове нь значимости описывается как «более высокий» в сравнении с 5% уровнем. Прологарифмируем Std. Error С - 5 , 2037338 0,4845714 Lg dpi 1,0634715 0,0730729 R 2 = 0,902047 Durbin-Watson = 0,160563 F - stat = 2 11,8064 L dpi | log ^ y = - 5 ,2037338 + 1,0634715 logx (0,48457154) (0,0730729) Выполнив обратные преобразования, получим: y ^ = e – 5,2037338 х 1,0634715 = 0,0055Х 1,0634715 Полученный результат предполагает, чт о эластичность спроса на косметику по доходу составляет 1,063, что означает, что увеличение личного располагаемого дохода на 1% приведет к увеличению расходов на косметику на 1,063%. Коэффициент 0,0055 не имеет простого толкования. Он помогает прогнозировать значения у при заданных значения х , приводя их к единому масштабу. Построим t -статистику для в: t = 1,063 / 0,073 = 14,56 для Ј: t = - 5, 2 037338 / 0 , 48 45714 = -10,74 t кр при 5% уровне значимости с 23 степенями свободы = 2,069. Следователь но, неравенство - t критич < b -в 0 / с . о .( b ) < t критич - 2,069 < 14,56 < 2,069 не выполняется. Аналогично и для Ј: – 2,069 < - 10,74 < 2,069 Построим доверительные интервалы: 1,0 63 – 0,073 Х 2,069 < в < 1,063 + 0,073 Х 2,069 0,91 < в < 1,21 - 5,2 – 0,48 Х 2,069 < Ј < - 5,2 + 0,48 Х 2,069 - 6,19 < Ј < 4,2 F – тест F = 211,8064. F крит = 7,88 при 1% уровне значимости. 211,8064 > 7,88. Следовательно, отклоняем нул евую гипотезу. F крит = 4,28 при 5% . Отклоняем гипотезу и при 5%. L time | Те же данные о расхо дах на косметику были использованы для оценивания экспоненциального в ременного тренда, также приведенного к минимальному виду путем взятия л огарифмов. Оцененная зависимость имеет вид: time | log ^ y = 1 , 3618819 + 0 , 0370104 log t (0,0519801) (0,0034966) y ^ = е 1,3618819 е 0,0370104 t = 3,9е 0,0370104 t У равнение показывает, что расходы на ко сметику в течение выборочного периода росли с темпом 3,7% в год. В этом случа е постоянный множитель имеет толкование, так как он «прогнозирует», что в момент t = 0, т.е. в 1958г. общие рас ходы на косметику составили 3,9 млрд. долл. Такой прогноз, безусловно, не имеет важного значения, так как мы легко мож ем найти в справочниках действительные расходы на косметику в 1958г. Найдем t для в: для Ј: t = 0 , 037 / 0,0034966 = 10,58 1,36 / 0,05 = 27,2 Неравенство - t критич < b -в 0 / с . о .( b ) < t критич не в ыполняется и мы отвергаем нулевую гипотезу. Аналогично и для Ј. Построим доверительные интервалы: 0, 03 7 – 0,034966 Х 2,069 < в < 0,037 + 0,034966 Х 2,069 - 0,035 < в < 0,11 1,36 – 0,05 Х 2,069 < Ј < 1,3 6 + 0,05 Х 2,069 1,26 < Ј < 1,46 F -тест: F = 112,0380 > 7,88, следовательно отклоняем нулевую гипотезу. Аналогично и п ри 5% уровне значимости. Уравнение хорошее, так как t -статистика и F . Автокорреляц ия Данные из табл. А5: n = 25, k = 1 d L =1 , 29 d u = 1,45 при 5 % d L = 1,05 d u = 1,21 при 1% значения Дарбина Уотсона: 1) dpi | 0,145122 2) time| 0 , 175585 3) Lgdpi| 0 , 160563 4) Lgtime| 0 , 126070 Величина d меньше, чем d L . В этом случае она будет такж е меньше, чем d крит , и поэтому мы сделаем вывод о наличии положительной автокорреляц ии. Множественны й регрессионный анализ Уравнение регрессии: dpi | y ^ = 18,25337 + 0,0040525х – 0,1407723 p (с.о.) (1,0173551) (0,0002668) (0,0079384) R 2 = 0,993175 Где y – общая величина расходов н а косметику (долл. США); x – располагаемый личный до ход (долл. США); p – цена косметики 1) Интерпретация : При каждом увеличении располагаемого дохода на 1млрд. долл. (при сохранен ии постоянных цен) расходы на косметику увеличиваются на 4 млн. долл. На ка ждую единицу увеличения индекса цен (при сохранении пос тоянных доходов) эти расходы уменьшаются на 140,7723 млн. долл. Чистый эффект в л юбой момент времени будет зависеть не только от этих коэффициентов , но также от размеров изменений х и р . 2) t -тест Выполним соответствующий t -тесты: t -тест для коэффициентов множе ственной регрессии выполняются так же, как это делается в парном регресс ионном анализе. Отметим, что критический уровень t при любом уровне значимости зависят от числа степеней свободы, которое равно ( n – k -1 ) = 25 – 2 – 1 = 22. t = 0,0040525 / 0,0002668 = 15,18 Критическое значение для t при 5% уровне значимости с 22 степенями свободы равняется 2,074. Пр ичем t – статистика не лежит ме жду значениями 2,074 и – 2,074. Следовательно, неравенство -2,074 < 15,18 < 2,074 не выполняется и мы отвергаем нулевую гипотезу, сделав вывод о том, что величина в в действительности отличатся от нуля, и следов ательно размер дохода влияет на уровень расходов на кос метику. Конечно, в том, что мы используем уровень значимости 5% в к ачестве основы для проверки гипотезы, существует 5% риск допущения ошибк и I рода. В этом случае мы могли б ы снизить риск до 1% за счет применения уровня значимости в 1%. Критическое з начение для t при 1% уровне значимости с 22 степенями свободы сост авляет 2,819. Используя это число в соотношении - 2,819 < 15,18 < 2,819 Мы видим, что можно легко отказаться от нулевой гипотезы также и при этом уровне значимости. Выполним t -тест для Ј : t = а - Ј 0 / с.о. (а) = 18,25337 / 1,0173551 = 17,9419 Неравенство - 2,074 < 17,9419 < 2,074 не выполняется, и мы отвергае м нулевую гипотезу. Выполним t -тест для в: t = 0,004025 / 0,0002668 = 15,086 Неравенство - 2,074 < 15,086 < 2,074 не выполняется, и мы отвергаем нулевую гипотезу. Выполним t -тест для P : t = - 0 , 1407723 / 0 , 0079384 = - 17 ,733 - 2,074 < - 17,733 < 2,074 не выполняется , отвергаем нулевую гипотезу. 3) Доверительные интервалы Соответствующий 95% доверительный интервал для в : b - с.о. ( b )Х t критич < в < b + с.о. ( b )Х t критич 0,0040525 – 0,0002668 Х 2,074 < в < 0,0040525 + 0,0002668 Х 2,074 0,0035 < в < 0,04605 Доверительны й интервал для Ј: а – с.о.(а) Х t критич < Ј < a + c . о. (а) Х t критич 18,25337 – 1,0173551 Х 2,074 < Ј < 18,25337 + 1,0173551 Х 2,074 16,15 < Ј < 20,36 Доверительный интервал для P : р – с.о. (р) Х t критич < р < р + с.о. (р) Х t критич - 0,1407723 – 0,0079384 Х 2,074 < р < - 0,1407723 + 0,0079384 Х 2,074 - 0,157236 < р < 0,002387 Из полученных интер валов следует. Что мы отвергаем гипотетические значения для в только свыше 0,04605 и ниже 16,15; для Ј: свыше 20,36 и ниже 16,15; для Р: свыше 0,002387 и ниже – 0,157236. Любые гипотезы, не входящие за рамки этих пределов не будут опровергатьс я полученным результатом оценивания регрессии. 4) F -тесты F = 1600,611 С помощью этой статистики можно вып олнить F -тест для определения то го, действительно ли объясненная переменная сумма квадратов ( ESS ) больше той, которая может иметь случайно . Для этого найдем F крит. В колонке, соответствующей « k » степенями свободы и в ряду, соответствующем ( n – k - 1) степенями свободы в таблице А3. k = 2, n – k – 1 = 22 При 5% уровне значимости F крит = 3,44. При 1% F крит = 5,72 Чаще всего F -тест используется для оценки того, значимо ли объяснение даваемое уравнением в целом. След овательно, сделаем вывод о том, что уравнение в целом значимо. Log Оценим логарифмическую регрессию между расходами на косметику и располагаемым личным доходом для США. Пол учим следующий результат: 1) dpi | log^y = - 12 , 473714 + 1 , 1554596 logx + 1 , 4705783 logp с.о.(0,6676809) (0,0296559) (0,1295246) R 2 = 0,98572; F = 759,2965 2) Уравнение регре ссии показывает, что эластичность спроса по доходу составляет 1,15, а эласт ичность спроса по цене 1,47 и оба они отличны от нуля при 1% ур овне значимости. Данное уравнение плохое, так как п олученное условие противоречит тому, что при возрастании це ны расходы снижаются. 3) t – с татистика для Lg C = - 18,682150 ; для Lg DPI = 38,962156; L g P = 11,353667. Во всех случаях отклоняем нулевую гипотезу. 4 ) Доверите льные интервалы : 1,155 – 0,03 Х 2,074 < в < 1,155 + 0,03 Х 2,074 1,093 < в < 1,217 - 12,473714 – 0,6676809 Х 2,074 < Ј < 12,473714 + 0,6676809 Х 2,074 - 11,1 < Ј < 13,86 1,4705789 – 0,1295246 Х 2,074 < Р < 1,4705789 + 0,1295246 Х 2,074 1,2 < P < 1,7 F = 759,2965 Найдем F крит. При 5% уровне значимости F крит = 3,44. При 1% F крит = 5,72 Следовательно, сделаем вывод о том, что уравнение в целом значимо. Автокоррел яция множественной регрессии : n = 25 , к = 2 d L = 1,21 d u = 1,55 при 5% d L = 0,98 d u = 1,30 пр и 1% 1) dpi | 0,816527 2) lg dpi| 0 , 80260 Величина d меньше, чем d L . В этом случае она будет также меньше, чем d крит , и поэтому мы сделаем вывод о наличии положительной автокорреляци и. Гетероскед астичность RSS 1 = 0 , 207259 RSS 2 = 0,288058 Рассчитаем соотн ошение RSS 2 / RSS 1 , которое имеет F - распределение с ( n ґ – k - 1 ) и ( n ґ – k - 1 ) степенями свободы, где k – число объясняющих переменных в регр ессионном уравнении. Мощность критерия зависит от выбора n ґ по отношению к n . RSS 2 / RSS 1 = 0,288058 / 0,2017259 = 1,353765 Критическое знач ение F (6,6) = 8,47 при 1% ; F крит (6,6) = 4,28 при 5%. F крит < F – г етероскедастичность есть , так как : 1,353765 < 8,47 при 1% 1,353765 < 4,28 при 5% Часть II . Х - СОСТАВ ДЕНЕЖНЫХ ДОХОДОВ НАСЕЛЕНИЯ 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 Миллиардов рублей (1995-1997 гг. - трлн. руб.) Денежные доходы - всего 201,8 244,7 383,2 910,9 1357,1 1656,4 1776,0 2908,1 3983,9 5325,8 6831,0 8900,5 10930,0 У - ОСНОВНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ ЖИЛИЩНЫХ УСЛО ВИЙ НАСЕЛЕНИЯ 1) 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 19 89 19 90 199 1 199 2 Площадь жилищ, приходящаяся в сред нем на одного жителя (на конец года) - всего, м 2 13,4 14,9 16,4 18,0 18,2 18,5 18,7 18,9 19,2 19,5 19,8 20,2 20,5 Российский статистический ежегодник - 2005г. Copyright © Федеральная служба государственной статистики Проанализируем зависимость показ ателя жилищного условия населения, а именно площадь жилищ, приходящаяся в среднем на одного жителя на конец года и денежного дохода населения. Обозначим, Х – Площадь жилищ, приходящаяся в среднем на одного жителя (на конец года ) – всего, м 2 ; У – денежный доход населения – всего, миллиардов рублей. Полученные данные: Коэ ффициенты С. О. T - stat С 16,59 0,568581 29,18 Х 0,000451 0,0001170 3,85 R 2 = 0 ,58 D W = 0,32 F stat = 14,89 1) Составим уравнение ре грессии: у^= 16,59 + 0,00451 Х (0,5685881) (0,0001170) Цифры, указанные в скобках, являются стандартными о шибками. 2) Интерпретация уравне ния При увеличении доходов населения на 1 млрд руб. площадь жилищ на одного жителя увеличивается на 0,0045 м 2 . 3) Формулируем нулевую гипотезу о том, что величина в=0, и затем пытаемся опровергнуть ее. Соответствующая t -статистика ра вна: T - stat C = 29,18 T - stat Х = 3,85 Т.к. в выборку включено 13 наблюдений и мы оцениваем два па раметра Ј и в, то число степеней свободы составляет 11. t кр при 5% у ровне значимости с 11 степенями свободы равняется 2,201. причем t -статистика не лежит между значениями -2,201 и 2,201. Следовательно, неравенство - t критич < b -в 0 / с . о .( b ) < t критич - 2,201 < 3,85 < 2,201 не выполняется и мы отвергаем нулевую гипотезу, сделав вывод о том, что величина в в действительности отлич ается от нуля. Формируем аналогично и для Ј нулевую гипотезу: Ј=0 -2,201 < 29,18 < 2,201 При случае с Ј t - статистика также не лежит между значениями 2 ,201 и – 2,201. Следовательно неравенство - t критич < a -Ј 0 / с . о .( a ) < t критич не выполня ется и мы отвергаем нулевую гипотезу. 4) Построим доверительн ый интервал : Соответствующий 95% доверительный интервал составляет: b - с.о. ( b )Х t критич < в < b + с. о. ( b )Х t критич 0,00451 – 0,0001170 Х 2,201 < в < 0,00451 – 0,0001170 Х 2,201 Иными словами, 0,0042 < в < 0,0048 Поэтому мы отверг аем гипотетические значения только свыше 0,0048 и не ниже 0,0042. Любые гипотезы, н е входящие за рамки этих пределов, не будут опровергаться полученным рез ультатом оценивания регрессии. Доверительный интервал для Ј: 16,59 – 0,5685881 Х 2,201 < Ј < 16,59 – 0,5685881 Х 2,201 Иными словами, 15,34 < Ј < 17,84 Поэтому мы отвергаем гипотетические значения только с выше 17,84 и не ниже 15,34. Любые гипотезы, не входящие за рамки этих пределов, не б удут опровергаться полученным результатом оценивания регрессии. Сдела ем вывод о том, что гипотетические значения в и Ј являются совместимыми с результатом оценивания регрессии. 5) F -тест на качество оценивания: Определим критическое значение коэффициента R 2 при любом уровне значимости. Традиционная процедура состои т в использовании косвенного подхода и выполнения F -теста, основанного на анализе дисперсии: F = 14,89 Отыскиваем величину F крит – критическое значение F в соответствующей таблице. При 1% уровне значимости F крит = 9,65. При 5% F крит = 4,84. При 1% 14,89 > 9,65, и при 5% 14,89 > 4,84. Уравнение значимо. Log Коэффиц иенты С.о. t - stat C 2,235 0,075 29,96 LgX 0,087 0,0098 8,954 R 2 = 0,89 D W = 0,598197 F stat = 80,18055 1) Составим уравнение log ^ y = 2 ,235 + 0,087 logx (0,075) (0,0098) Выполнив обратные преобразования, получим: y ^ = e 2,235 х 0,087 = 9,35 Х 0,087 2) При увеличении доходов населения на 1% площадь жилищ на одного жителя увеличивается на 0,087%. 3) t -статистик а для Ј равн а 29,96 t кр при 5% уровне значимости с 11 ст епенями свободы равняется 2,201. причем t -статистика не лежит между значениями -2,201 и 2,201. Следовательно, нераве нство - t критич < а- Ј 0 / с . о .( а ) < t крити ч - 2,201 < 29,96 < 2,201 не выполняется и мы отвергаем нулевую гипотезу, сделав вывод о том, что величина Ј в действительности отлич ается от нуля. Формируем аналогично и для в нулевую гипотезу: в=0 t = 8,954 t - статистика не лежит между значени ями 2 ,201 и – 2,201. Следовательно, нераве нство - t критич < b -в 0 / с . о .( b ) < t критич - 2,201 < 8,954 < 2,201 не выполняется и мы отвергаем нулевую гипотезу. 4) Построим доверительный интервал : Соответствующий 95% доверительный интервал составляет: b - с.о. ( b )Х t критич < в < b + с. о. ( b )Х t критич 0,087 – 0,0098 Х 2,201 < в < 0,087 + 0,0098 Х 2,201 Иными словами, 0,06 < в < 0,11 Поэтому мы отверг аем гипотетические значения только свыше 0,11 и не ниже 0,06. Любые гипотезы, не входящие за рамки этих пределов, не будут опровергаться полученным резу льтатом оценивания регрессии. Доверительный интервал для Ј: 2,235 – 0,075 Х 2,201 < Ј < 2,235 + 0,075 Х 2,201 Иными словами, 2,07 < Ј < 2,4 Поэтому мы отвергаем гипотетические значения только с выше 2,4 и не ниже 2,07. Любые гипотезы, не входящие за рамки этих пределов, не бу дут опровергаться полученным результатом оценивания регрессии. Сделае м вывод о том, что гипотетические значения в и Ј являются совместимыми с рез ультатом оценивания регрессии. 5) F -тест на качество оценивания: F = 80,18055 Отыскиваем величину F крит – критическое значение F в соответствующей таблице. При 1% уровне з начимости F крит = 9,65. При 5% F крит = 4,84. При 1% 80,18055 > 9,65, и при 5% 80,18055 > 4,84. Уравнение значимо.