Проявление симметрии в различных формах материи

1. Содержание 1. Содержание 2 2. Введение 3 3. Виды симметрий 5 4. Наука кристаллография 7 5. Симметрия физических явлений 9 5.1 Симметрия в механике 9 5.1.1 Однородност ь пространства 10 5.1.2 Изотропия пространства 11 5.1.3 Однородность времени 12 6. Симметрия в живой природе 14 6.1 Биологически е дроби 15 7. Заключение 17 8. Литература 18 2. Введение Симметрия является фундаментальным свойством природы , представление о котором , как отмечал академик В . И . Вернадский (1863 — 1945), «слагалось в те чение дес ятков , сотен , тысяч поколений ". «Изучение археологических памятников показывает , что человечество на заре своей культуры уже имело предст авление о симметрии и осуществляло ее в рисунке и в предметах быта . Надо полага ть , что применение симметрии в первобытн ом производстве определялось не только эстетическими мотивами , но в известной мери и уверенностью человека в большей пригод ности для практики правильных форм ". Это с лова другого нашего замечательного соотечественн ика , посвятившего изучению симметрии всю с в ою долгую жизнь , академика А . В . Шубникова (1887 — 1970). - Первоначальное понятие о геометрической симметрии как о гармонии пропорций , как о «соразмерности» , что и оз начает в переводе с греческого слово «сим метрия» , с течением времени приобрело универс аль н ый характер и было осознано как всеобщая идея инвариантно сти (т . е. неизменности ) относит ельно некоторых преобразований . Таким образом , геометрический объект или физическое явление считаются симметричными , если с ними можно сделать что-то такое , после чего они останутся неизменными . Например , пятиконечная звезда , будучи повернута на 72° (360° : 5), займ ет первоначальное положение , а ваш будильник одинаково звенит в любом углу комнаты . Первый пример дает понятие об одном из видов геометрической симметрии — п оворотной , а второй иллюстрирует важную физическую симметрию — однородность и изо тропность (равнозначность всех направлений ) простр анства . Благодаря последней симметрии все физ ические приборы (в том числе и будильник ) одинаково работают в разных точках пр о странства , если , конечно , не измен яются окружающие физические условия . Легко во образить , какая бы царила на Земле неразбе риха , если бы эта симметрия была нарушена ! Таким образом , не только симметричные формы окружают нас повсюду , но и сами многообразные ф изические и биологические законы гравитации , электричества и магнетизма , ядерных взаимодействий , наследственности прониза ны общим для всех них принципом симметрии . «Новым в науке явилось не выявление принципа симметрии , а выявление его всеобщнос ти»,— писа л Вернадский . Действительно , еще Платон мыслил атомы четырех стихий — земли , воды , огня и воздуха — ге ометрически симметричными в виде правильных м ногогранников . И хотя сегодня «атомная физика » Платона кажется наивной , принцип симметрии и через два тысячел е тия оста ется основополагающим принципом современной физи ки атома . За это время наука прошла пу ть от осознания симметрии геометрических тел к пониманию симметрии физических явлений. Итак , в современном понимании симметрия — это общ енаучная философская катег ория , характеризующ ая структуру организации систем . Важнейшим св ойством симметрии является сохранение (инвариантн ость ) тех или иных признаков (геометрических , физических , биологических и т . д .) по отн ошению к вполне определенным преобразованиям . Математич е ским аппаратом изучения си мметрии сегодня является теория групп и т еория инвариантов. 3. Виды симметрий В отличие от искусства или техники , красота в п рироде не создаётся , а лишь фиксируется , в ыражается . Сред и бесконечного разнообразия форм живой и неживой природы в изобили и встречаются такие совершенные образы , чей вид неизменно привлекает наше внимание . К числу таких образов относятся некоторые кр исталлы , многие растения . В конформной (круговой ) сим метрии г лавным преобразованием является инверсия относительно сферы . Для простоты возьмём круг радиуса R с центром в точке O. Инверсия этого круга определяется как такое преобразование симметрии , которое любую точку P переводит в точку P', лежащую на продолжении р адиуса , проходящего через точку P на расстоянии от центра : OP'=R 2 / OP Конформная симметрия обладает большой общ ностью . Все известные преобразования симметрии : зеркальные отражения , повороты , параллельные сд виги представляют собой лишь частные случаи конф ормной симметрии . Главная особенность конформного преобразован ия состоит в том , что оно всегда сохра няет углы фигуры и сферу и всегда пер еходит в сферу другого радиуса . Известно , что кристаллы какого-либо вещест ва могут иметь самый разный вид , но уг лы ме жду гранями всегда постоянны . Порассуждаем о зеркальной симметрии . Легко установить , что каждая симметричная плоская фигура может быт ь с помощью зеркала совмещена сама с собой . Достойно удивления , что такие сложные фигуры , как пятиконечная звезда или равн осторонний пятиугольник , тоже симметричны . Как это вытекает из числа осей , они о тличаются именно высокой симметрией . И наобор от : не так просто понять , почему такая , казалось бы , правильная фигура , как косоугольн ый параллелограмм , несимметрична . Сначала пр е дставляется , что параллельно одной из его сторон могла бы проходить ось симметрии . Но стоит мысленно попробовать во спользоваться ею , как сразу убеждаешься , что это не так . Несимметрична и спираль. В то время как симметричные фигуры полностью соответствуют своему отражению , несимметричные отличны от него : из спирали , закручивающейся справа налево , в зеркале по лучится спираль , закручивающаяся слева направо. Если вы поместите буквы перед зеркало м , расположив его параллельно строке , то з аметите , что те из них , у которых ось симметрии проходит горизонтально , можно прочесть и в зеркале . А вот те , у которых ось расположена вертикально или от сутствует вовсе , становятся «нечитабельными». Существуют языки , в которых начертание знаков опирается на наличие симметрии . Та к , в китайской письменности иероглиф означает именно истинную середину. В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысл а . В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там , где требу ется оцени ть отклонение от нулевого положения , например на руле грузовика или на штурвале ко рабля. Симметрия проявляется в многообразных стр уктурах и явлениях неорганического мира и живой природы . В мир неживой природы оч арование симметрии вносят кристаллы . Каждая снежинка - это маленький кристалл замерзшей воды . Форма снежинок может быть очень р азнообразной , но все они обладают симметрией - поворотной симметрией 6-го порядка и , кром е того , зеркальной симметрией . А что такое кристалл ? Твердое тело , имеющие естественную форму многогранника . Характерная особенность того или иного вещ ества состоит в постоянстве углов между с оответственными гранями и ребрами для всех образов кристаллов одного и того же ве щества. Винтовая симметрия . В пространств е существуют те ла , обладающие винтовой симметрией , т.е . совмещаемые со своим первон ачальным положением после поворота на какой-л ибо угол вокруг оси , дополненного сдвигом вдоль той же оси . Если данный угол под елить на 360 градусов - рациональное число , то поворотная ось о казывается также осью переноса. 4. Наука кристаллогра фия К середине XVII века в изучении внешней формы кристаллов кончился период накопления экспериментальных данных . Была изучена форма многих конкретных минерало в и фо рмулирован закон постоянства уг лов между гранями . Этот закон имел очень важное значение для распространения на к ристаллы идеи симметрии . Действительно в мире существует огромное количество кристаллов ка ждого вида минералов . Внешний вид их разли чен : у одни х кристаллов грани хо рошо развиты , у других некоторые грани отс утствуют вовсе , у третьих одни грани разви ты , другие – нет . Как же тогда узнать одинаковы эти кристаллы по своей природе или нет ? Вот тут-то и помогает закон постоянства гранных углов . Необходи м о измерить углы между всеми гранями кристаллов , как между хорошо развитыми , так и между не очень развитыми , и если они окажутся одинаковыми , то эти кристаллы принадлежат одному минералу. Углы между гранями кристаллов минерала как бы его паспорт , некие конс танты . Пользуясь ими , можно построить идеальный кристалл данного минерала , у которого все грани на мес те и одинаково хорошо развиты . Это тоже некий эталон данного минерала , а реальные кристаллы будут в той или иной степени приближаться к нему . Форма крист а лла-эталона – это форма некоего геоме трического тела , многогранника , и её уже м ожно изучать , не боясь , что каких-то граней будет недоставать , а какие-то грани окажу тся лишними . Здесь форма кристалла выступает как бы в идеализированном виде , она о чищена от всего случайного и привх одящего. Всё это сдел ало возможным приступить к первым серьёзным обобщениям , что привело к возникновению с амостоятельной науки – кристаллографии , изучающе й образование , свойства и внешнюю форму кр исталлов . Создание кристаллографии с вязано с именем француза Жана-Батиста Ромэ-Делиля (1736-1790). Прежде всего Ромэ-Делиль подчёркивал прав ильную геометрическую форму кристаллов исходя из закона постоянства углов между их г ранями . Он писал : «К разряду кристаллов ст али относить все тела мине рального ца рства , для которых находили фигуру геометриче ского многогранника…» Правильная форма кристалло в возникает по двум причинам . Во-первых , кр исталлы состоят из элементарных частичек - мол екул , которые сами имеют правильную полиэдрич ескую форму . Во-в т орых , «такие моле кулы имеют замеча тельное свойство соединяться между собой в сим метричном порядке». Последняя фраза для нас очень важна . Ведь это фактически первое по времени применение идеи сим метрии к кристаллам . Правд а , оно касается не сим метрии вне шней формы , о которой мы сейчас говорим , а относится к расположению полиэдрических моле кул в кристалле . Но от этого важность обобщения Ромэ-Делиля отнюдь не уменьшается . Н аоборот , опи сывая расположение молекул в крис талле как сим метричное . Ромэ-Делиль т ем самым молчаливо по лагал , что и внешняя форма кристалла - следствие такого рас положения - тоже симметрична . При этом под симметрией внешней формы кристалла следовало понимать закономерное расположение его одинаковы х граней , ребер и вершин в пространств е. Изучая законы в нешней формы кристаллов , Ромэ-Делиль выделил в качестве основных пять форм : тет раэдр , ку б , октаэдр , ромбоэдр и гексагональную ди-пирами ду . Он ошибочно полагал , что формы всех осталь ных кристаллов можно получить из эти х основных форм. 5. Симметрия физическ их явлений «Я думаю , что было бы интересно ввести в изучени е физических явлений также и рассмотрение свойств симметрии , столь знакомое кристаллограф ам». Так начиналась небольшая статья Пьера Кюри «О симметрии в физических явл ениях : симметрия электрического и магнитного полей» , опубликованная в 1894 году во французском «Физическом журнале». До Кюри физики часто использовали соо бражения , вытекающие из условий симметрии . Дос таточно сказать , что многие задачи механ ики , и особенно статики , решались только и сходя из условий симметрии . Но обычно эти условия достаточно простые и наглядные и не требуют детального рассмотрения . Впервые физики столкнулись с нетривиальным проявлени ем симметрии физических свойств при изучении кристаллов. Впервые четкое определение симметрии физи ческих явлений дал Кюри в своей статье . «Характеристическая симметрия некоторого явления , - писал он , - есть максимальная симметрия , с овместимая с существованием явления» . Всеобщий п одход к симметрии физиче ских явлений , развитый им , очень точно разъяснила Мари я Кюри в биографическом очерке о своем муже : «П . Кю ри безгранично расширил понятие о симметрии , рас сматривая последнюю как состояние пространства , в ко тором происходит данно е явление . Для определения этог о состояния надо знать не только строение среды , но и учесть характер движения изучаемого объекта , а также действующие на него физические факторы . При характеристике симметрии среды важно помнить сле дующие ид еи Кюри : нужно о п ределить особую симмет рию каждого явления и ввести клас сификацию , позво ляющую ясно видеть основные г руппы симметрии . Мас са , электрический заряд , т емпература имеют один и тот же тип си мметрии , называемый скалярным ; это есть , иначе говоря , симметрия сфер ы . Поток в оды и постоян ный электрический ток имеют симметрию стрелы типа полярного вектора . Симм етрия прямого кругового ци линдра принадлежит к типу тензора». 5.1 Симметрия в ме ханике Пьер Кюри пришел к симметрии физических явлен и й от симметрии кристаллов (геометрических фиг ур ) через симметрию материальных фигур . Это принесло важные результаты при описании фи зических свойств кристал лов и обещает больши е успехи в других областях фи зики. Но работы Пьера Кюри не оказали в лияния на раз витие идеи симметрии в физике . Причины этого стран ного парадокса , кроме указанных ранее (кристаллографичность работ Кюри , краткость , если не конспектив ность их изложения ), состоит еще и в том , что они поя вились слишком поздно , тогда , когд а физика у ж е нако пила большой опыт несколько иного подхода к симмет рии физических явлений , который связан с разв итием механики в XVII — XIX веках. В то время механика была фактически всей физикой . Самым главным считалось изуче ние движения и взаимо действия тел . Соотв етствующие законы , кажущиеся нам сейчас такими очевидными , потребовали колоссального тр уда нескольких поколений выдающихся ученых . К о перник , Кеплер , Галилей , Декарт , Гюйгенс шаг за ша гом двигались к пониманию истинных законов , управля ющих движением мат е риальных тел. Окончательно эти законы были сформулирова ны Исааком Ньютоном (1643 — 1727). Но поскольку дв иже ние совершается в пространстве и во в ремени , ему приш лось обобщить и сформулироват ь некие положения , пос тулирующие их свойства. Ньютон считал , что существует абсолю тное пространство , свободное и независимое от каких-либо тел . Это абсолютное пространство изотропно , то есть любые направления в нем одинаковы . Кроме того , оно однород но , т ак как любые две точки пространства ничем не от личаются друг от д руга . Существует также абсолютное время , независимое от каких-либо процессов , текущее вечно и равномерно . Равномерность течения времени пр едполагает его однородность : скорость течения време ни со временем не меняется. 5.1.1 Однородность прост р анства Чтобы поня ть , какое от ношение она имеет к механике , начнем с простого вопроса : почему камень падает вниз ? Ответ : потому что на него действует сила тяжести . Иными словами , пр остранство вблизи земной поверхности физически неоднородно : в се тела стремятся занять самые низкие положения , поближе к Земле. Столь же неоднородно пространство вблизи Солнца : орбиты всех тел солнечной системы искривлены . Но вся Солнечная система как целое движется прямолинейно , по крайней м ере , в течение миллионов лет отклонения от прямолинейности в ее движении не было. Пространство , в котором она движется , свободно от тяготеющих тел , и здесь можно говорить об однородности . Иными словами , на солнечную систему как целое не дей ств уют внешние силы Согласно второму зак ону Ньюто на внешняя сила равна изменению импульса тела за еди ницу времени . (Импульсом системы тел называется их суммарная масс а , умноженная да скорость центра инер ции . Он равен также векторной сумме импульсов всех тел системы . Вместо «импульс» часто г о в орят «количество движения» , номы не будем пользоваться этим термином .) Когда результирующая внешняя сила , действующая на систему , равна нулю , импульс системы не изменяется со временем , т . е . сохраняется. Мы не попытаемся подменить второй зак он Ньютона расс уждением об однородности пространства . Наоборот , утверждается , что из второго закона Ньютона следует прямолинейность и равномерно сть движения центра инер ции системы тел в однородном пространстве. Никакие внутренние силы в системе не наруша ют однородности пространства по отношению к системе как целому . Поэтому действие внутренних сил оставляет импульс системы неизменным. 5.1.2 Изотропия простран ства Пространство обл адает еще одним видом симметрии — относи тельно поворотов координа тных систем . Эта идея давалась человечеству с большим тру дом ; ведь когда то думали , что Земля пл оская , и вертикальное направление абсолютно . Т о , что Земля — шар , стало известно обр азо ванным людям еще в древности . Для них вертикальное направление не было а бсолютным , а менялось на земной поверх ности от точки к точке . Но Земля в представлении большинства начитанных людей до эпохи Коперника была центром мироздания . Поэтому для них равноценными были не все направления в пространстве , а все прямые , проходящие ч е рез центр Земли . Там находилась особая , выделенная точка , це нтр симметрии Вселенной. Открытие Коперника лишило Землю ее преимущест венного положения . Центр Земли для мыслящих людей перестал быть центром Вселенной . Чем же он физ ически выделен для нас ? Очеви дно , тем , что к нему направлена сила притяжения Земли . Но достаточно далеко от всех тяг отеющих тел все точки пространства равноценны , равно как все прямые , проведенные через любую точку Вокруг любой прямой можно повернуть координатную систему на любой уг о л , и повернутая система будет в о всех отно шениях равноценна первоначальной. Таким образом , мы сформулировали еще о дно свойст во симметрии пространства . Условимся о терминологии . Симметрию относительно поворото в будем называть изо тропией , а относительно пе реносов — однородностью . 5.1.3 Однородность време ни Перейдем т еперь к конкретным свойствам симметрии времен и . Рассмотрим сначала симметрию относительно переноса вдоль любой прямой . Перенос в люб ом направлении можно разложить по т ре м взаимно перпендикулярным осям . Таким образо м , пространство имеет группу симметрии относи тельно произвольных пере носов по трем взаимн о перпендикулярным направлениям (см . выше ). Время задается одной величиной , а не тремя , как точ ка в пространстве . Наск олько можно считать , что симмет рия вр емени напоминает симметрию прямой относитель но переносов , т . е . что их абстрактная групп а симметрии одна и та же ? Ведь 12 часов дня вчера и сегодня , или завтра , совсе м не одно и то же для нас . Но симметрия — понятие о тносительное . Симмет рия времени уже , чем симметрия бесконеч ной прямой , если рассматривать время во вс ех его аспектах , но тем не менее не исключена возможность , что время симметрично по отношению к одному определенному классу законов природы. К этому класс у принадлежат законы механики , кото рым подчинены движения тел в пространстве и во време ни . Удобнее вс его выбрать пример чисто механического движен ия , не осложненного силами трения или каки м-ли бо иным трудно контролируемым влиянием вн ешней сре ды . Трени е всегда сопровож дается переходом движения к молекулам , состав ляющим тела , и поэтому сильно ос ложняет п роцесс механического движения. Без трения , или почти без трения , д вижутся небесные тела (небольшое трение при их движении происходит от приливных волн , н о мы отвлечемся от этого явления ). Именно небесные тела послужили моделью Ньютону , ког да он формулировал законы механик и , потому что в аст рономических явлениях они проявлялись в наименее ос ложненном виде . Обращение Земли вокруг Солнца совер шается один а ково в течение десятков т ысяч лет ; если бы не влияли другие пла неты и приливы и Солнце не теряло пос тепенно свою массу вследствие излучения , орби та Зем ли оставалась бы неизменной сколь угодно долго . Отсюда надо заключить , что в ремя однородно , т . е . все е г о момен ты равноценны , по крайней мере по отношению к чисто механическим явлениям. Год в нашу эпоху и на варе че ловеческой истории рав нялся Зб 51/4 дня . Следоват ельно , в качестве начальной даты летосчислени я может быть взята любая . Законы не бесной механик и совершенно симметричны по о тношению к любому выбору начального момента времени. Поскольку пространство изотропно и одноро дно , то уравнения движения не меняют своег о вида при изменении направления движения . Не меняют они своего вида и при см ещении точки о тсчёта начала движения в пространстве и во времени . Математически преобразования координат и времени , отвечающие таким изменениям , образуют группу . Эту гр уппу часто называют группой Галилея-Ньютона . П оэтому говорят , что уравнения движения класси ческой мех а ники инвариантны (не ме няют своей формы ) относительно группы Галилея- Ньютона. Таким образом , в классической механике симметрия утратила наглядный геометрический см ысл . Теперь она вступает в абстрактной фор ме как условие , при котором уравнение , опи сывающее тот или иной физический закон , не меняет своего вида . При этом сами условия должны образовывать группу в мат ематическом смысле. 6. Симметрия в жи вой природе Живой орга низм не имеет кристал лического строени я в том смысле , что даже отдельные его органы не обладают пространственной решеткой . Однако упорядоченные структуры в ней представлены очень широко . Если они жидкие , то их называют жид кими кристаллами . В этих структурах сильно вытяну тые молекулы ра сполож ены так , что их длинные оси в среднем ориентированы в одну сторону . В некоторых случаях образуются дополнительные сверхструктуры : возникает закручивание или слоист ые структуры. Жидкие кристаллы , как и твердые , облад ают анизо тропией физических свойств . Одн а ко пространственной решетки жидкие кристаллы не имеют. К жидким кристаллам относятся отдельные компо ненты желчи и крови , хрусталик глаз а , оболочки нер вов , серое вещество мозга , г оловка сперматозоида и т . д . Но особенно важное значение играет жидкокриста л лическ ая структура мембран клеток . Это та «кожиц а» , которая удерживает вещество клетки от растекания и служит ей как бы внешним органом . Мембрана — вяз кая жидкость , в которой молекулы фосфолипидов (жи ров ) имеют д линные оси , расположенные параллельно . П ри комнатной температуре молекулы фосфоли пидов свободно перемещаются вдоль плоскости м ембраны , пространственной решетки нет , и это состояние — нор мальное состояние живой кл етки . При понижении тем пературы мембрана «зам ерзает» , молекулы фосфолипи дов оста н а вливаются , образуется пространственная ре шетка . Л ишенная подвижности мембрана не может вы полн ять свои функции , и клетка гибнет . Наступи ла кристаллизация , клетка оказалась «пойманной» решет кой. Интересную попытку объяснить пятерную сим мет рию морского е жа предпринял профессор Оксфордско го университета Девид Никлз . Он считает , что все дело в прочности . Скеле т ежа составлен из десятков хруп ких , тонк их пятиугольных .пластинок , однако он надеж но служит своему хозяину . Самые слабые места скеле та — это шв ы , где одн а пластинка соединяется с дру гой . Если пе рвая пластинка — квадрат или шестиуголь ник , то на линии действия силы будут два продольных шва . Если же первая пластинка пятиугольная , то шов только один . Такая конструкция гораздо прочнее . Однако возник а ет законный вопрос : почему первая пластинка не семиугольная , девяти угольная и т . д .? Ответ может быть только один : при пятиугольнике число швов наименьшее и , следовательно , такой скелет прочнее . Но е ще меньше швов дает треугольник . Тогда поч ему не он ? Де л о в том , утве рж дает Никлз , что морские ежи почти кругл ые организ мы , а из треугольников труднее составить многоуголь ник , близкий к сфере. Представители другого класса обитателей г лубин— морские черви — имеют цилиндрическое тело , а в рото вой полости - ма ссу острых зубов . Зубы расположены так , что если соединить их прямыми .линиями , то п олу чится пятиугольник . Такой феномен Никлз об ъясняет следующим образом . Если бы число з убов было четным , то они мешали бы дру г другу . Минимальное нечетное число — три , но треугольник сильно отличается от кру га и не соответствует цилиндрическому телу червя . Семь , девять и больше зубо в - излишняя роскошь , ко торую природа не мо жет себе позволить . Поэтому реа лизуется оптим альный случай , наиболее соответствую щий круговому с е чению ротового отверстия , пяти угольник. Если рассматривать царство живого , то любому его представителю , от простейшей водор осли до эвкалипта , от крошечного жучка до кита , от червяка до человека , можно пр иписать одну из групп симметрии (точечных или простр анственных ), выведенных для мате риальных фигур. 6.1 Биологические дроб и Винтовые о си симметрии видны в расположениях чешуек шишек и укладке коры пальм , структуре к ост ной ткани и в побегах различных расте ний . На стебле подсолнечн ика явно видн а винтовая ось пятого порядка . Каждый внов ь выросший лист связан с пре дыдущим пово ротом на 72° , а при повороте та 360° л истья перемещаются на целую величину трансляц ии . По правилам , принятым в кристаллографии , такую ось следует обозначать 5 1 . Но в ботанике принято представлять винтовые оси в виде дроби , в зна менателе которой стоит число оборото в в листовом цикле (количество оборотов во круг стебля для перехода от нижнего листа к вышестоящему , расположенному над ним ), а в числителе — число л и стьев в этом цик ле . В соответствии с этим расположение листьев у под солнечника задает ся дробью 5 / 1. У растений существуют только определенные , строго фиксированные оси , но в большинст ве своем не такие , как у кристаллов . Та к , если злаки , липа , бук , береза образ уют ось 2 1 (ботани ческая дробь 2/1), осока , тюль пан , орешник , виногра д и ольха — 3 1 (3/1), то дуб , виш ня смородина , слива име ют ось 5 2 (5/2), капуст а , ма лина , груша , тополь , редька , лен , барбар ис — 8 3 (8/3), а е ль , миндальник , облепиха и жасмин — 1З 5 (13/5). Для хвойных шишек типичны оси 21 8 (21/8), 34 13 (34/13) и 55 21 (55/21). Почему именно такие оси , а не друг ие — неизвестно . Но уже давно было по дмечено , что биологические дро би не произволь ны , а представляют собой члены двух послед овательностей, составленных из чисел Фибо на ччи . Их ввел в математику итальянский купе ц Леонардо из Пизы по прозвищу Фибоначчи , что озна чает сын Боначчо . В его «Кни ге абака» приведена оригинальная задача о кроликах , решение которой принадлежит самому Фибо наччи . В зад а че спрашивалось , сколько пар кроликов мо жет произойти от одной пары в течение года , если каж дая пара каждый месяц порождает новую пару , которая со второго месяца тоже становится производителем , и кролики не дохнут. Решение этой задачи сопряжено с появл ен ием числового ряда 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. ... Эти числа и называются числами Фибоначчи. Биологические дроби , описывающие винтовую сим метрию растений , составлены из членов двух рядов . В обоих рядах числители есть ч исла Фибоначчи , начиная с че твертого ч лена — двойки . Знаменатели рядов раз личны . В первом числа Фибоначчи начинаются с треть его числа , а во втором — со вто рого . Итак , первый ряд : 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13… Второй ряд : 2/1, 3/1, 5/2, 8/3, 13/5, 21/8… До сих пор совершенно неп онятно , почему сим метричное винтовое расположение лис тьев или чешуек в шишках точно связано с величиной определенного от ношения , присутств ующего в пространственных объек тах , производящих особое эстетическое впечатление ? Здесь можно высказать только сам о е общее утвержде ние , что формирование эстетических кри териев человека происходит под влиянием прост ранственных закономер ностей природных объектов . О днако это утверждение не дает конкретный ответ на поставленный вопрос. 7. Заключение Симметрия , проявляясь в самых различных объектах мате риального мира , несомненно , отражает наиболее общие , наиболее фундаментальные его свойства . Поэтому исследование симметрии разнообразных при родных объектов и сопоставление его результат ов я вляется удобным и надежным инстру ментом познания основных закономерностей существ ования материи . Можно надеяться , что на основе биологи ческих законов сохранения , разнообразных инвариан тов , симметрии законов живой природы относите льно тех или иных преобраз ований рано или поздно удастся глубже проникнуть в сущность живого , объяснить ход эволюции , её вершины , тупики , предсказать неизвестные сейч ас ветви , теоретически возможные и действител ьные числа типов , классов , семейств…организмов . И вообще нужно проанал и зировать вопрос о том , нельзя ли эволюцию матери и в целом и внутри отдельных её форм представить как групповые преобразования , на йти их инварианты и на основе последних определить все возможные варианты эволюции в цело и в частностях , предсказать возм ожны е её ветви – число , характе р и т.д . Таким образом , развитый здесь подход даёт возможность поставить вопрос о неединственности той картины развития , которую мы знаем. 8. Литература 1. Жёлудев И.С . симметрия и её пр иложения . – М .: Энергоатомиздат , 1983г. 2. Компанеец А.С . Симметрия в микро - и макромире . – М .: НАУКА , 1978г ., 206с. 3. Пидоу Дэн . Геометрия и искусство М .: Мир , 1979г. 4. Сонин А.С . Постижение совершенства : симметрия , асимметрия , диссимметрия , антисимм етрия . – М .: ЗНАНИЕ , 1987г ., 208с. 5. Трофимов В . Введение в геометрическом многообразии с симметриями М .: МГУ 1989г 6. Урманцев Ю.А . Симметрия природы и природа симметрии . – М .: МЫСЛЬ , 1974г ., 232с. 7. Шубников А.В . Избранные труды по кристаллографии . – М .: НАУКА , 1975г.