Задача № 1 Имеются следующие выборочные данные (выборка 10 % - тная, механическая) о выпуске продукции и сумме прибыли, млн. руб: № предприятия Выпуск продукции Прибыль № предприятия Выпуск продукции Прибыль 1 65 15.7 16 52 14,6 2 78 18 17 62 14,8 3 41 12.1 18 69 16,1 4 54 13.8 19 85 16,7 5 66 15.5 20 70 15,8 6 80 17.9 21 71 16,4 7 45 12.8 22 64 15 8 57 14.2 23 72 16,5 9 67 15.9 24 88 18,5 10 81 17.6 25 73 16,4 11 92 18.2 26 74 16 12 48 13 27 96 19,1 13 59 16.5 28 75 16,3 14 68 16.2 29 101 19,6 15 83 16.7 30 76 17,2 По исходным данным: 1. Постройте статистический ряд распределения предприятий по сумме прибыли, образовав пять групп с равными интервалами. Постройте график ряда распределения. 2. Рассчитайте характеристики ряда распределения предприятий по сумме прибыли: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации. 3. С вероятностью 0,954 определите ошибку выборки для средней суммы прибыли на одно предприятие и границы, в которых будет находиться средняя сумма прибыли одного предприятия в генеральной совокупности. 4. С вероятностью 0,954 определите ошибку выборки для доли предприятий со средней прибылью свыше 16,6 млн. руб. и границы, в которых будет находиться генеральная доля. Решение: 1. Сначала определяем длину интервала по формуле: е= (х max – x min ) /k, где k – число выделенных интервалов. е = (19,6 – 12,1) /5=1,5 млн. руб . 12,1-13,6; 13,6-15,1; 15,1-16,6; 16,6-18,1; 18,1-19,6. Распределение предприятий по сумме прибыли. № группы Группировка предприятий по сумме прибыли № предприятия Прибыль I 12,1-13,6 3 12,1 7 12,8 12 13 II 13,6-15,1 4 13,8 8 14,2 16 14,6 17 14,8 22 15 III 15,1-16,6 1 15,7 5 15,5 9 15,9 13 16,5 14 16,2 18 16,1 20 15,8 21 16,4 23 16,5 25 16,4 26 16 28 16,3 IV 16,6-18,1 2 18 6 17,9 10 17,6 15 16,7 19 16,7 30 17,2 V 18,1 -19,6 11 18,2 24 18,5 27 19,1 29 19,6 Рассчитываем характеристику ряда распределения предприятий по сумме прибыли, для этого составим расчетную таблицу: Группы предприятий по сумме прибыли; млн. руб Число предприятий f Середина интервала Х xf X 2 f 12,1 – 13,6 3 12,9 38,7 499,23 13,6 – 15,1 5 14,4 72 1036,8 15,1 – 16,6 12 15,9 190,8 3033,72 16,6 – 18,1 6 17,4 104,4 1816,56 18,1 – 19,6 4 18,9 75,6 1428,84 е 30 ------ 481,5 7815,15 xf / Средняя арифметическая: = е f получаем: = 481,5: 30 = 16,05 млн. руб. е Среднее квадратическое отклонение: получаем: Определяем среднее квадратическое отклонение для определения коэффициента вариации) Коэффициент вариации: u х = ( d х * 100%) / x получаем: u х =1,7 * 100%: 16,05 = 10,5% так как u х = 10,5% < 33% то можно сделать вывод, что совокупность однородная, а средняя величина типичная ее характеристика. Определяем ошибку выборки (выборка механическая) для средней суммы прибыли на одно предприятие по следующей формуле: если Р=0,954 то t=2 ошибка выборки для средней суммы прибыли на одно предприятие Dх = 0,6 Средняя сумма прибыли будет находиться в границах которые мы находим по формуле: получаем: 15,45Ј X Ј16,65 С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя сумма прибыли одного предприятия заключается в пределах: Доля предприятий со средней прибылью свыше 16,6 млн. руб. находится в пределах: Выборочная доля составит: Ошибку выборки определяем по формуле:, где N – объем генеральной совокупности. Также объем генеральной совокупности можно определить из условия задачи, так как выборка 10% -тная и в выборку вошло 30 предприятий: 30 предприятий – 10% Х – 100% 10х=3000 х=300 предприятий, следовательно N=300 подставляем данные в формулу: Следовательно с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля предприятий со средней прибылью > 16,6 млн. руб будет находиться в следующих пределах: 33% ± 16,3% или 16,7 Ј w Ј 49,3% Задача № 2 по данным задачи №1 1. Методом аналитической группировки установите наличие и характер корреляционной связи между стоимостью произведенной продукции и суммой прибыли на одно предприятие. (результаты оформите рабочей и аналитической таблицами.) 2. Измерьте тесноту корреляционной связи между стоимостью произведенной продукции и суммой прибыли эмпирическим корреляционным отношением. Сделайте выводы. Решение: 1. Поскольку прибыль предприятия напрямую зависит от объема производимой продукции, то мы обозначим выпуск продукции независимой переменной Х, тогда прибыль зависимой переменной У. Поскольку в каждом отдельном случае рассматривается одно предприятие а на прибыль предприятия, кроме выпуска продукции, может влиять множество факторов в том числе и неучтенных, следовательно можно определенно сказать что связь в данном случае корреляционная. Ее можно выявить при помощи аналитической группировки. Для этого сгруппируем предприятия по выпуску продукции, интервал высчитываем по формуле: Где К – число выделенных интервалов. Получаем: В итоге у нас получаются следующие интервалы: 41 – 53; 53 – 65; 65 – 77; 77 – 89; 89 – 101 Строим рабочую таблицу. № группы Группировка предприятий по объему продукции, млн. руб. № предприятия Выпуск продукции млн. руб Х Прибыль млн. руб. У У 2 I 41-53 3 41 12,1 146,41 7 45 12,8 163,84 12 48 13 169 16 52 14,6 213,16 S 4 186 52,5 692,41 В среднем на 1 предприятие 46,5 13,1 II 53-65 1 65 15.7 264.49 4 54 13.8 190,44 8 57 14.2 201,64 13 59 16.5 272,25 17 62 14.8 219,04 22 64 15 225 S 6 361 90 1372,86 В среднем на 1 предприятие 60,1 15 III 65-77 5 66 15,5 240,25 9 67 15,9 252,81 14 68 16,2 262,44 18 69 16,1 259,21 20 70 15,8 249,64 21 71 16,4 268,96 23 72 16,5 272,25 25 73 16,4 268,96 26 74 16 256 28 75 16,3 265,69 30 76 17,2 295,84 S 11 781 178,3 2892,05 В среднем на 1 предприятие 71 16,2 IV 77-89 2 78 18 324 6 80 17,9 320,41 10 81 17,6 309,76 15 83 16,7 278,89 19 85 16,7 278,89 24 88 18,5 342,25 S 6 495 105,4 1854,2 В среднем на 1 предприятие 82,5 17,6 V 89-101 11 92 18,2 331,24 27 96 19,1 364,81 29 101 19,6 384,16 S 3 289 56,9 1080,21 В среднем на 1 предприятие 96,3 18,9 S ИТОГО 2112 483,1 В среднем 71,28 16,16 Теперь по данным рабочей таблицы строим итоговую аналитическую таблицу: Группы предприятий по объему продукции, млн. руб Число пр-тий Выпуск продукции, млн. руб. Прибыль, млн. руб Всего В среднем на одно пр-тие Всего В среднем на одно пр-тие 41-53 4 186 46,5 52,5 13,1 53-65 6 361 60,1 90 15 65-77 11 781 71 178,3 16,2 77,89 6 495 82,5 105,4 17,6 89-101 3 289 96,3 56,9 18,9 S 30 2112 356,4 483,1 80,8 По данным аналитической таблицы мы видим, что с приростом объема продукции, средняя прибыль на одно предприятие возрастает. Значит, между исследуемыми признаками существует прямая корреляционная зависимость. 2. Строим расчетную таблицу: Группы предприятий по объему продукции, млн. руб Число пр-тий f k Прибыль, млн. руб (у k -у) 2 f k у 2 Всего В среднем на одно пр-тие Y k 41-53 4 52,5 13,1 36 692,41 53-65 6 90 15 7,3 1372,86 65-77 11 178,3 16,2 0,11 2892,05 77,89 6 105,4 17,6 13,5 1854,2 89-101 3 56,9 18,9 23,5 1080,21 S 30 483,1 80,8 80,41 7891,73 Вычисляем коэффициент детерминации по формуле: Где - межгрупповая дисперсия находящаяся по формуле: · общая дисперсия результативного признака, находится по формуле: Теперь находим Для каждой группы предприятий рассчитаем значение и вносим в таблицу. Находим межгрупповую дисперсию: Для нахождения общей дисперсии, нужно рассчитать: где p - количество предприятий и получаем: Рассчитываем общую дисперсию: получаем: Вычисляем коэффициент детерминации: получаем:, или 70,3 % Следовательно, на 70,3 % вариация прибыли предприятия зависит от вариации выпуска продукции и на 29,7 % зависит от неучтенных факторов. Эмпирическое корреляционное отношение составляет: Это говорит о том, что корреляционная связь играет существенную роль между стоимостью произведенной продукции и суммой прибыли. Задача № 3 Динамика капитальных вложений характеризуется следующими данными, в сопоставимых ценах, млрд. руб.: Год. Показатель. 1-й 2-й 3-й 4-й 5-й Капитальные вложения всего: В том числе 136,95 112,05 84,66 74,7 62,3 производственного назначения 97,35 79,65 60,18 53,10 41,40 непроизводственного назначения 39,6 32,4 24,48 21,6 20,9 Для изучения интенсивности изменения объема капитальных вложений вычислите: 1. Абсолютные приросты, темпы роста и прироста (цепные и базисные) общего объема капитальных вложений. Результаты представьте в таблице. 2. Для общего объема капитальных вложений, в том числе производственного и непроизводственного назначения: а) средний уровень ряда динамики; б) среднегодовой темп роста и прироста. 3. Осуществите прогноз капитальных вложений на ближайший год с помощью среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста. 4. Определите основную тенденцию развития общего объема капитальных вложений методом аналитического выравнивания, осуществите прогноз на ближайший год. 5. Изобразите динамику капитальных вложений на графике. Сделайте выводы. Решение: Поскольку в данном нам динамическом ряду каждый уровень характеризует явление за определенный отрезок времени, то этот ряд будет интервальным. 1. Для расчета абсолютного прироста цепной используем формулу: Для расчета базисного прироста используем формулу: Для расчета темпа роста цепной используем формулу: Для расчета темпа роста базисной используем формулу: Для расчета темпа прироста цепной используем формулу: Для расчета темпа прироста базисной используем формулу: Теперь представим в таблице выше рассчитанные показатели: Абсолютные приросты, темпы роста и прироста (цепные и базисные) общего объема капитальных вложений. Показатели Год Dу ц млрд. руб Dу б млрд. руб Т ц млрд. руб Т б млрд. руб DТ ц % DТ б % 1-й ----- ----- ----- 1 ----- ----- 2-й -24,9 -24,9 0,81 0,81 -19% -19% 3-й -27,39 -52,29 0,75 0,62 -25% -38% 4-й -9,96 -62,25 0,88 0,54 -12% -46% 5-й -12,4 -74,65 0,83 0,45 -17% -55% По данным таблицы можно сделать вывод, что общий объем капитальных вложений имеет тенденцию к снижению. 2. а) Поскольку ряд динамический и интервальный, то для расчета среднего уровня ряда динамики мы будем использовать следующую формулу: Для общего объема капитальных вложений: Производственного назначения: Непроизводственного назначения: б) Рассчитываем среднегодовые темп роста и темп прироста по формулам: Среднегодовой темп роста: для общего объема капитальных вложений: производственного назначения: непроизводственного назначения: Среднегодовой темп прироста: для общего объема капитальных вложений: (следовательно в среднем общий объем капитальных вложений за 5 лет снизился на 18%.) производственного назначения: (следовательно в среднем объем капитальных вложений производственного назначения снизился на 20%) непроизводственного назначения: (следовательно в среднем объем капитальных вложений непроизводственного назначения снизился на 15%) 3. Для расчета прогноза капитальных вложений с помощью среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста мы будем использовать следующие формулы: Подставив соответствующие значения получим: Следовательно в ближайший год в среднем общий объем капитальных вложений сократится на 18,66 млрд. руб. и составит сумму от43,6 млрд. руб. до 51 млрд. руб. 4. А теперь мы при помощи метода аналитического выравнивания заменим эмпирический динамический ряд условным теоретическим динамическим рядом, так как он наиболее подходяще выглядит к формулам на основе прямой. Показатель теоретического ряда рассчитывается при помощи метода наименьших квадратов. Показатели 1-й 2-й 3-й 4-й 5-й е Кап. вложения 136,95 112,05 84,66 74,7 62,3 470,66 t -2 -1 0 1 2 0 y*t -273,9 -112,05 0 74,7 124,6 -186,65 t 2 4 1 0 1 4 10 Уравнение прямой имеет вид: y (t) =a+bt, а = 470,66: 5 = 94,1 b = -186,65: 10 = -18,7 уравнение имеет вид: y (t) = 94,1 – 18,7 t По данным графика можно сделать вывод, что общий объем капиталовложений имеет тенденцию к снижению. Расчет прогноза проведен с помощью следующих этапов: · значение верхней границы подсчитан по формуле среднего темпа роста. · значение нижней границы выявлено следующим образом: в уравнение прямой y (t) = 94,1 - 18,7t подставили значение t =3 потому что прогноз выполнялся на год вперед, значит t усл = 3 · прогнозируемое значение рассчитали по формуле среднего абсолютного прироста. Задача № 4 Имеются следующие данные по двум предприятиям отрасли: Предприятие Реализовано продукции тыс. руб. Среднесписочная численность рабочих, чел. 1 квартал 2 квартал 1 квартал 2 квартал I 540 544 100 80 II 450 672 100 120 Определите: 1. Уровни и динамику производительности труда рабочих каждого предприятия. 2. Для двух предприятий вместе: индекс производительности труда переменного состава; индекс производительности труда фиксированного состава; индекс влияния структурных изменений в численности рабочих на динамику средней производительности труда; абсолютное и относительное изменение объема реализации продукции во 2 квартале (на одном из предприятий) в результате изменения: 1. численности рабочих; 2. уровня производительности труда; 3. двух факторов вместе. Покажите взаимосвязь между исчисленными показателями. Решение: 1. Построим расчетную таблицу, где реализованную продукцию в первом квартале обозначим V 0 , а во втором как V 1 и среднесписочную численность как S 0 и S 1 . Предприятие V0=W0*S0 Тыс. руб. V1=W1*S1 Тыс. руб. S0 Чел. S1 Чел. W0=V0: S0 Руб. W1=V1: S1 Руб. Iw=W1: Wo Руб. W0S0 D0=S0: еT0 Чел D1=S1: еT1 Чел W0D0 W1D1 W0D1 I 540 544 100 80 5,4 6,8 1,3 432 0,5 0,4 2,7 2,72 2,16 II 450 672 100 120 4,5 5,6 1,2 540 0,5 0,6 2,25 3,36 2,7 е 990 1216 200 200 972 1 1 4,95 6,08 4,86 2. (а) Для расчета индекса производительности труда переменного состава используем следующую формулу: получаем: J w =6,08: 4,95=1,22 Индекс показывает изменение среднего уровня производительности труда в однородной совокупности под влиянием двух факторов: 1. изменение качественного показателя W (производительности труда) у отдельных предприятий; 2. изменение доли, с которой каждое значение W входит в общий объем совокупности. (б) Для расчета индекса производительности труда фиксированного состава используем следующую формулу: получаем: Индекс показывает изменение среднего уровня только под влиянием изменения индивидуальных значений качественного показателя в постоянной структуре. (в) Для расчета индекса влияния структурных изменений в численности рабочих на динамику средней производительности труда используем следующую формулу: получаем: J w (d) =4,86: 4,95 = 0,98 Рассчитанные выше показатели взаимосвязаны между собой количественно, это определяется формулой: получаем: J w =6,08: 4,95=1,22 (г) Произошедшее абсолютное и относительное изменение объема продукции во 2-м квартале зависело от следующих факторов: · численность рабочих: Dq (S) = (S 1 -S 0 ) W 0 получаем: Dq (S) = (80 – 100) * 5,4 = -108 · уровень производительности труда: Dq (W) = (W 1 -W 0 ) S 1 получаем: Dq (W) = (6,8 – 5,4) * 80 = 112 · обоих факторов вместе: Dq = Dq (S) + Dq (W) получаем: Dq = -108 + 112 =4 Вывод: Поскольку индекс производительности труда переменного состава равен 1,22 или 122%, значит, средняя производительность труда по двум предприятиям возросла на 22%. Индекс производительности труда фиксированного состава равен 1,25 или 125%, значит, средняя производительность труда по двум предприятиям возросла на 25%. Индекс структурных сдвигов равен 0,98 или 98%, значит, средняя производительность труда по двум предприятиям снизилась на 2% за счет изменения структуры. При условии, что произошедшие изменения производительности труда не сопровождались бы структурными перераспределениями среднесписочной численности рабочих в 1-м и 2-м квартале, то средняя производительность труда по двум предприятиям возросла бы на 25%. Изменение численности рабочих привело к снижению производительности труда на 2%. Но одновременное воздействие двух факторов увеличило среднюю производительность труда по двум предприятиям на 22%. Задача № 5 Средние запасы материала на предприятии, составившие в первом квартале 200 м 2 , сократились во втором на 30%. При этом, если ранее расход материала в среднем за сутки составлял 40 м 2 , то теперь он снизился до 32 м 2 . Определите: 1. За каждый квартал: а) коэффициенты оборачиваемости производственных запасов; б) продолжительность одного оборота в днях; в) относительные уровни запасов (коэффициенты закрепления) 2. За второй квартал в сравнении с первым: а) ускорение (замедление) оборачиваемости запасов в днях; б) величину среднего запаса высвободившегося (осевшего, закрепившегося) в результате ускорения (замедления) его оборачиваемости. Решение: 1. (а) Для расчета коэффициента оборачиваемости производственных запасов используем формулу: Для нахождения средних запасов во втором квартале мы воспользуемся данными задачи: СЗ 0 = 200 i сз =1 - 0,3 = 0,7 СЗ 1 =? СЗ 1 = i сз * СЗ 0 =0,7 * 200 = 140 кв. м. Коэффициент оборачиваемости за I квартал: 40*90=3600 кв. м. – квартальный расход материалов. К обор = 3600: 200 = 18 оборотов. Коэффициент оборачиваемости за II квартал: 32*90=2880 кв. м. – квартальный расход материалов. = 2880: 140 = 20,6 оборотов. (б) Для расчета продолжительности одного оборота в днях используем формулу: Д = Период: К обор В 1-ом квартале: Д = 90: 18 = 5 дней. Во 2-ом квартале: Д = 90: 20,6 = 4,37 дней. (в) Для расчета относительных уровней запасов (коэффициент закрепления) воспользуемся формулой: К закреп = Средние запасы за период: Расход материала за период. В 1-ом квартале: К закреп = 200: 3600=0,055 кв. м. запасов на 1 руб расход. матер. Во 2-ом квартале: К закреп = 140: 2880=0,0486 кв. м. запасов на 1 руб расход. матер. 2. (а) Для расчета ускорения (замедления) оборачиваемости запасов в днях используем формулу: Д отч. - Д баз. =если знак “-” то произошло ускорение оборачиваемости. “+” то произошло замедление оборачиваемости. Произведем вычисления: 4,37 – 5 = -0,63 дня, следовательно произошло ускорение оборачиваемости. (б) Для расчета величины среднего запаса высвободившегося (осевшего, закрепившегося) в результате ускорения (замедления) его оборачиваемости используем следующие формулы: Произведем вычисления: Аналитическая таблица. Средние запасы материала на предпр. Расход матер. в среднем за сутки. Коэф. оборач запасов. Продолж. одного оборота в днях. Коэф. закр. запасов Ускор. Или замедл обор вдня Величина среднего запаса. I кв. 200 40 18 5 0,055 -0,63 -20 кв. м. II кв. 140 32 20,6 4,37 0,0486 Вывод: При условии что оборачиваемость производственных запасов не изменится, то во 2-ом квартале расход материалов составит 2880 кв. м., но в следствие того, что оборачиваемость возросла (20,6: 18 = 1,144) на 14,4% то производственных запасов понадобилось на 20 кв. м. меньше. Список использованной литературы. · “Общая теория статистики” Учебник М. Р. Ефимова, Е. В. Петрова, В. Н. Румянцев. Москва “Инфра-М” 1998г. · “Теория статистики” В. М. Гусаров. Москва “Аудит” “ЮНИТИ” 1998г. · “Теория статистики” Учебник под редакцией профессора Р. А. Шамойловой. Москва “Финансы и статистика” 1998г. Контрольная по статистике Задача № 1 Имеются следующие выборочные данные (выборка 10 % - тная, механическая) о выпуске продукции и сумме прибыли, млн. руб: № предприятия Выпуск продукции Прибыль № предприятия Выпуск продукции Прибыль 1 65 15.7 16 52 14,6 2 78 18 17 62 14,8 3 41 12.1 18 69 16,1 4 54 13.8 19 85 16,7 5 66 15.5 20 70 15,8 6 80 17.9 21 71 16,4 7 45 12.8 22 64 15 8 57 14.2 23 72 16,5 9 67 15.9 24 88 18,5 10 81 17.6 25 73 16,4 11 92 18.2 26 74 16 12 48 13 27 96 19,1 13 59 16.5 28 75 16,3 14 68 16.2 29 101 19,6 15 83 16.7 30 76 17,2 По исходным данным: 1. Постройте статистический ряд распределения предприятий по сумме прибыли, образовав пять групп с равными интервалами. Постройте график ряда распределения. 2. Рассчитайте характеристики ряда распределения предприятий по сумме прибыли: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации. 3. С вероятностью 0,954 определите ошибку выборки для средней суммы прибыли на одно предприятие и границы, в которых будет находиться средняя сумма прибыли одного предприятия в генеральной совокупности. 4. С вероятностью 0,954 определите ошибку выборки для доли предприятий со средней прибылью свыше 16,6 млн. руб. и границы, в которых будет находиться генеральная доля. Решение: 1. Сначала определяем длину интервала по формуле: е= (х max – x min ) /k, где k – число выделенных интервалов. е = (19,6 – 12,1) /5=1,5 млн. руб . 12,1-13,6; 13,6-15,1; 15,1-16,6; 16,6-18,1; 18,1-19,6. Распределение предприятий по сумме прибыли. № группы Группировка предприятий по сумме прибыли № предприятия Прибыль I 12,1-13,6 3 12,1 7 12,8 12 13 II 13,6-15,1 4 13,8 8 14,2 16 14,6 17 14,8 22 15 III 15,1-16,6 1 15,7 5 15,5 9 15,9 13 16,5 14 16,2 18 16,1 20 15,8 21 16,4 23 16,5 25 16,4 26 16 28 16,3 IV 16,6-18,1 2 18 6 17,9 10 17,6 15 16,7 19 16,7 30 17,2 V 18,1 -19,6 11 18,2 24 18,5 27 19,1 29 19,6 Рассчитываем характеристику ряда распределения предприятий по сумме прибыли, для этого составим расчетную таблицу: Группы предприятий по сумме прибыли; млн. руб Число предприятий f Середина интервала Х xf X 2 f 12,1 – 13,6 3 12,9 38,7 499,23 13,6 – 15,1 5 14,4 72 1036,8 15,1 – 16,6 12 15,9 190,8 3033,72 16,6 – 18,1 6 17,4 104,4 1816,56 18,1 – 19,6 4 18,9 75,6 1428,84 е 30 ------ 481,5 7815,15 xf / Средняя арифметическая: = е f получаем: = 481,5: 30 = 16,05 млн. руб. е Среднее квадратическое отклонение: получаем: Определяем среднее квадратическое отклонение для определения коэффициента вариации) Коэффициент вариации: u х = ( d х * 100%) / x получаем: u х =1,7 * 100%: 16,05 = 10,5% так как u х = 10,5% < 33% то можно сделать вывод, что совокупность однородная, а средняя величина типичная ее характеристика. Определяем ошибку выборки (выборка механическая) для средней суммы прибыли на одно предприятие по следующей формуле: если Р=0,954 то t=2 ошибка выборки для средней суммы прибыли на одно предприятие Dх = 0,6 Средняя сумма прибыли будет находиться в границах которые мы находим по формуле: получаем: 15,45Ј X Ј16,65 С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя сумма прибыли одного предприятия заключается в пределах: Доля предприятий со средней прибылью свыше 16,6 млн. руб. находится в пределах: Выборочная доля составит: Ошибку выборки определяем по формуле:, где N – объем генеральной совокупности. Также объем генеральной совокупности можно определить из условия задачи, так как выборка 10% -тная и в выборку вошло 30 предприятий: 30 предприятий – 10% Х – 100% 10х=3000 х=300 предприятий, следовательно N=300 подставляем данные в формулу: Следовательно с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля предприятий со средней прибылью > 16,6 млн. руб будет находиться в следующих пределах: 33% ± 16,3% или 16,7 Ј w Ј 49,3% Задача № 2 по данным задачи №1 1. Методом аналитической группировки установите наличие и характер корреляционной связи между стоимостью произведенной продукции и суммой прибыли на одно предприятие. (результаты оформите рабочей и аналитической таблицами.) 2. Измерьте тесноту корреляционной связи между стоимостью произведенной продукции и суммой прибыли эмпирическим корреляционным отношением. Сделайте выводы. Решение: 1. Поскольку прибыль предприятия напрямую зависит от объема производимой продукции, то мы обозначим выпуск продукции независимой переменной Х, тогда прибыль зависимой переменной У. Поскольку в каждом отдельном случае рассматривается одно предприятие а на прибыль предприятия, кроме выпуска продукции, может влиять множество факторов в том числе и неучтенных, следовательно можно определенно сказать что связь в данном случае корреляционная. Ее можно выявить при помощи аналитической группировки. Для этого сгруппируем предприятия по выпуску продукции, интервал высчитываем по формуле: Где К – число выделенных интервалов. Получаем: В итоге у нас получаются следующие интервалы: 41 – 53; 53 – 65; 65 – 77; 77 – 89; 89 – 101 Строим рабочую таблицу. № группы Группировка предприятий по объему продукции, млн. руб. № предприятия Выпуск продукции млн. руб Х Прибыль млн. руб. У У 2 I 41-53 3 41 12,1 146,41 7 45 12,8 163,84 12 48 13 169 16 52 14,6 213,16 S 4 186 52,5 692,41 В среднем на 1 предприятие 46,5 13,1 II 53-65 1 65 15.7 264.49 4 54 13.8 190,44 8 57 14.2 201,64 13 59 16.5 272,25 17 62 14.8 219,04 22 64 15 225 S 6 361 90 1372,86 В среднем на 1 предприятие 60,1 15 III 65-77 5 66 15,5 240,25 9 67 15,9 252,81 14 68 16,2 262,44 18 69 16,1 259,21 20 70 15,8 249,64 21 71 16,4 268,96 23 72 16,5 272,25 25 73 16,4 268,96 26 74 16 256 28 75 16,3 265,69 30 76 17,2 295,84 S 11 781 178,3 2892,05 В среднем на 1 предприятие 71 16,2 IV 77-89 2 78 18 324 6 80 17,9 320,41 10 81 17,6 309,76 15 83 16,7 278,89 19 85 16,7 278,89 24 88 18,5 342,25 S 6 495 105,4 1854,2 В среднем на 1 предприятие 82,5 17,6 V 89-101 11 92 18,2 331,24 27 96 19,1 364,81 29 101 19,6 384,16 S 3 289 56,9 1080,21 В среднем на 1 предприятие 96,3 18,9 S ИТОГО 2112 483,1 В среднем 71,28 16,16 Теперь по данным рабочей таблицы строим итоговую аналитическую таблицу: Группы предприятий по объему продукции, млн. руб Число пр-тий Выпуск продукции, млн. руб. Прибыль, млн. руб Всего В среднем на одно пр-тие Всего В среднем на одно пр-тие 41-53 4 186 46,5 52,5 13,1 53-65 6 361 60,1 90 15 65-77 11 781 71 178,3 16,2 77,89 6 495 82,5 105,4 17,6 89-101 3 289 96,3 56,9 18,9 S 30 2112 356,4 483,1 80,8 По данным аналитической таблицы мы видим, что с приростом объема продукции, средняя прибыль на одно предприятие возрастает. Значит, между исследуемыми признаками существует прямая корреляционная зависимость. 2. Строим расчетную таблицу: Группы предприятий по объему продукции, млн. руб Число пр-тий f k Прибыль, млн. руб (у k -у) 2 f k у 2 Всего В среднем на одно пр-тие Y k 41-53 4 52,5 13,1 36 692,41 53-65 6 90 15 7,3 1372,86 65-77 11 178,3 16,2 0,11 2892,05 77,89 6 105,4 17,6 13,5 1854,2 89-101 3 56,9 18,9 23,5 1080,21 S 30 483,1 80,8 80,41 7891,73 Вычисляем коэффициент детерминации по формуле: Где - межгрупповая дисперсия находящаяся по формуле: · общая дисперсия результативного признака, находится по формуле: Теперь находим Для каждой группы предприятий рассчитаем значение и вносим в таблицу. Находим межгрупповую дисперсию: Для нахождения общей дисперсии, нужно рассчитать: где p - количество предприятий и получаем: Рассчитываем общую дисперсию: получаем: Вычисляем коэффициент детерминации: получаем:, или 70,3 % Следовательно, на 70,3 % вариация прибыли предприятия зависит от вариации выпуска продукции и на 29,7 % зависит от неучтенных факторов. Эмпирическое корреляционное отношение составляет: Это говорит о том, что корреляционная связь играет существенную роль между стоимостью произведенной продукции и суммой прибыли. Задача № 3 Динамика капитальных вложений характеризуется следующими данными, в сопоставимых ценах, млрд. руб.: Год. Показатель. 1-й 2-й 3-й 4-й 5-й Капитальные вложения всего: В том числе 136,95 112,05 84,66 74,7 62,3 производственного назначения 97,35 79,65 60,18 53,10 41,40 непроизводственного назначения 39,6 32,4 24,48 21,6 20,9 Для изучения интенсивности изменения объема капитальных вложений вычислите: 1. Абсолютные приросты, темпы роста и прироста (цепные и базисные) общего объема капитальных вложений. Результаты представьте в таблице. 2. Для общего объема капитальных вложений, в том числе производственного и непроизводственного назначения: а) средний уровень ряда динамики; б) среднегодовой темп роста и прироста. 3. Осуществите прогноз капитальных вложений на ближайший год с помощью среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста. 4. Определите основную тенденцию развития общего объема капитальных вложений методом аналитического выравнивания, осуществите прогноз на ближайший год. 5. Изобразите динамику капитальных вложений на графике. Сделайте выводы. Решение: Поскольку в данном нам динамическом ряду каждый уровень характеризует явление за определенный отрезок времени, то этот ряд будет интервальным. 1. Для расчета абсолютного прироста цепной используем формулу: Для расчета базисного прироста используем формулу: Для расчета темпа роста цепной используем формулу: Для расчета темпа роста базисной используем формулу: Для расчета темпа прироста цепной используем формулу: Для расчета темпа прироста базисной используем формулу: Теперь представим в таблице выше рассчитанные показатели: Абсолютные приросты, темпы роста и прироста (цепные и базисные) общего объема капитальных вложений. Показатели Год Dу ц млрд. руб Dу б млрд. руб Т ц млрд. руб Т б млрд. руб DТ ц % DТ б % 1-й ----- ----- ----- 1 ----- ----- 2-й -24,9 -24,9 0,81 0,81 -19% -19% 3-й -27,39 -52,29 0,75 0,62 -25% -38% 4-й -9,96 -62,25 0,88 0,54 -12% -46% 5-й -12,4 -74,65 0,83 0,45 -17% -55% По данным таблицы можно сделать вывод, что общий объем капитальных вложений имеет тенденцию к снижению. 2. а) Поскольку ряд динамический и интервальный, то для расчета среднего уровня ряда динамики мы будем использовать следующую формулу: Для общего объема капитальных вложений: Производственного назначения: Непроизводственного назначения: б) Рассчитываем среднегодовые темп роста и темп прироста по формулам: Среднегодовой темп роста: для общего объема капитальных вложений: производственного назначения: непроизводственного назначения: Среднегодовой темп прироста: для общего объема капитальных вложений: (следовательно в среднем общий объем капитальных вложений за 5 лет снизился на 18%.) производственного назначения: (следовательно в среднем объем капитальных вложений производственного назначения снизился на 20%) непроизводственного назначения: (следовательно в среднем объем капитальных вложений непроизводственного назначения снизился на 15%) 3. Для расчета прогноза капитальных вложений с помощью среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста мы будем использовать следующие формулы: Подставив соответствующие значения получим: Следовательно в ближайший год в среднем общий объем капитальных вложений сократится на 18,66 млрд. руб. и составит сумму от43,6 млрд. руб. до 51 млрд. руб. 4. А теперь мы при помощи метода аналитического выравнивания заменим эмпирический динамический ряд условным теоретическим динамическим рядом, так как он наиболее подходяще выглядит к формулам на основе прямой. Показатель теоретического ряда рассчитывается при помощи метода наименьших квадратов. Показатели 1-й 2-й 3-й 4-й 5-й е Кап. вложения 136,95 112,05 84,66 74,7 62,3 470,66 t -2 -1 0 1 2 0 y*t -273,9 -112,05 0 74,7 124,6 -186,65 t 2 4 1 0 1 4 10 Уравнение прямой имеет вид: y (t) =a+bt, а = 470,66: 5 = 94,1 b = -186,65: 10 = -18,7 уравнение имеет вид: y (t) = 94,1 – 18,7 t По данным графика можно сделать вывод, что общий объем капиталовложений имеет тенденцию к снижению. Расчет прогноза проведен с помощью следующих этапов: · значение верхней границы подсчитан по формуле среднего темпа роста. · значение нижней границы выявлено следующим образом: в уравнение прямой y (t) = 94,1 - 18,7t подставили значение t =3 потому что прогноз выполнялся на год вперед, значит t усл = 3 · прогнозируемое значение рассчитали по формуле среднего абсолютного прироста. Задача № 4 Имеются следующие данные по двум предприятиям отрасли: Предприятие Реализовано продукции тыс. руб. Среднесписочная численность рабочих, чел. 1 квартал 2 квартал 1 квартал 2 квартал I 540 544 100 80 II 450 672 100 120 Определите: 1. Уровни и динамику производительности труда рабочих каждого предприятия. 2. Для двух предприятий вместе: индекс производительности труда переменного состава; индекс производительности труда фиксированного состава; индекс влияния структурных изменений в численности рабочих на динамику средней производительности труда; абсолютное и относительное изменение объема реализации продукции во 2 квартале (на одном из предприятий) в результате изменения: 1. численности рабочих; 2. уровня производительности труда; 3. двух факторов вместе. Покажите взаимосвязь между исчисленными показателями. Решение: 1. Построим расчетную таблицу, где реализованную продукцию в первом квартале обозначим V 0 , а во втором как V 1 и среднесписочную численность как S 0 и S 1 . Предприятие V0=W0*S0 Тыс. руб. V1=W1*S1 Тыс. руб. S0 Чел. S1 Чел. W0=V0: S0 Руб. W1=V1: S1 Руб. Iw=W1: Wo Руб. W0S0 D0=S0: еT0 Чел D1=S1: еT1 Чел W0D0 W1D1 W0D1 I 540 544 100 80 5,4 6,8 1,3 432 0,5 0,4 2,7 2,72 2,16 II 450 672 100 120 4,5 5,6 1,2 540 0,5 0,6 2,25 3,36 2,7 е 990 1216 200 200 972 1 1 4,95 6,08 4,86 2. (а) Для расчета индекса производительности труда переменного состава используем следующую формулу: получаем: J w =6,08: 4,95=1,22 Индекс показывает изменение среднего уровня производительности труда в однородной совокупности под влиянием двух факторов: 1. изменение качественного показателя W (производительности труда) у отдельных предприятий; 2. изменение доли, с которой каждое значение W входит в общий объем совокупности. (б) Для расчета индекса производительности труда фиксированного состава используем следующую формулу: получаем: Индекс показывает изменение среднего уровня только под влиянием изменения индивидуальных значений качественного показателя в постоянной структуре. (в) Для расчета индекса влияния структурных изменений в численности рабочих на динамику средней производительности труда используем следующую формулу: получаем: J w (d) =4,86: 4,95 = 0,98 Рассчитанные выше показатели взаимосвязаны между собой количественно, это определяется формулой: получаем: J w =6,08: 4,95=1,22 (г) Произошедшее абсолютное и относительное изменение объема продукции во 2-м квартале зависело от следующих факторов: · численность рабочих: Dq (S) = (S 1 -S 0 ) W 0 получаем: Dq (S) = (80 – 100) * 5,4 = -108 · уровень производительности труда: Dq (W) = (W 1 -W 0 ) S 1 получаем: Dq (W) = (6,8 – 5,4) * 80 = 112 · обоих факторов вместе: Dq = Dq (S) + Dq (W) получаем: Dq = -108 + 112 =4 Вывод: Поскольку индекс производительности труда переменного состава равен 1,22 или 122%, значит, средняя производительность труда по двум предприятиям возросла на 22%. Индекс производительности труда фиксированного состава равен 1,25 или 125%, значит, средняя производительность труда по двум предприятиям возросла на 25%. Индекс структурных сдвигов равен 0,98 или 98%, значит, средняя производительность труда по двум предприятиям снизилась на 2% за счет изменения структуры. При условии, что произошедшие изменения производительности труда не сопровождались бы структурными перераспределениями среднесписочной численности рабочих в 1-м и 2-м квартале, то средняя производительность труда по двум предприятиям возросла бы на 25%. Изменение численности рабочих привело к снижению производительности труда на 2%. Но одновременное воздействие двух факторов увеличило среднюю производительность труда по двум предприятиям на 22%. Задача № 5 Средние запасы материала на предприятии, составившие в первом квартале 200 м 2 , сократились во втором на 30%. При этом, если ранее расход материала в среднем за сутки составлял 40 м 2 , то теперь он снизился до 32 м 2 . Определите: 1. За каждый квартал: а) коэффициенты оборачиваемости производственных запасов; б) продолжительность одного оборота в днях; в) относительные уровни запасов (коэффициенты закрепления) 2. За второй квартал в сравнении с первым: а) ускорение (замедление) оборачиваемости запасов в днях; б) величину среднего запаса высвободившегося (осевшего, закрепившегося) в результате ускорения (замедления) его оборачиваемости. Решение: 1. (а) Для расчета коэффициента оборачиваемости производственных запасов используем формулу: Для нахождения средних запасов во втором квартале мы воспользуемся данными задачи: СЗ 0 = 200 i сз =1 - 0,3 = 0,7 СЗ 1 =? СЗ 1 = i сз * СЗ 0 =0,7 * 200 = 140 кв. м. Коэффициент оборачиваемости за I квартал: 40*90=3600 кв. м. – квартальный расход материалов. К обор = 3600: 200 = 18 оборотов. Коэффициент оборачиваемости за II квартал: 32*90=2880 кв. м. – квартальный расход материалов. = 2880: 140 = 20,6 оборотов. (б) Для расчета продолжительности одного оборота в днях используем формулу: Д = Период: К обор В 1-ом квартале: Д = 90: 18 = 5 дней. Во 2-ом квартале: Д = 90: 20,6 = 4,37 дней. (в) Для расчета относительных уровней запасов (коэффициент закрепления) воспользуемся формулой: К закреп = Средние запасы за период: Расход материала за период. В 1-ом квартале: К закреп = 200: 3600=0,055 кв. м. запасов на 1 руб расход. матер. Во 2-ом квартале: К закреп = 140: 2880=0,0486 кв. м. запасов на 1 руб расход. матер. 2. (а) Для расчета ускорения (замедления) оборачиваемости запасов в днях используем формулу: Д отч. - Д баз. =если знак “-” то произошло ускорение оборачиваемости. “+” то произошло замедление оборачиваемости. Произведем вычисления: 4,37 – 5 = -0,63 дня, следовательно произошло ускорение оборачиваемости. (б) Для расчета величины среднего запаса высвободившегося (осевшего, закрепившегося) в результате ускорения (замедления) его оборачиваемости используем следующие формулы: Произведем вычисления: Аналитическая таблица. Средние запасы материала на предпр. Расход матер. в среднем за сутки. Коэф. оборач запасов. Продолж. одного оборота в днях. Коэф. закр. запасов Ускор. Или замедл обор вдня Величина среднего запаса. I кв. 200 40 18 5 0,055 -0,63 -20 кв. м. II кв. 140 32 20,6 4,37 0,0486 Вывод: При условии что оборачиваемость производственных запасов не изменится, то во 2-ом квартале расход материалов составит 2880 кв. м., но в следствие того, что оборачиваемость возросла (20,6: 18 = 1,144) на 14,4% то производственных запасов понадобилось на 20 кв. м. меньше. Список использованной литературы. · “Общая теория статистики” Учебник М. Р. Ефимова, Е. В. Петрова, В. Н. Румянцев. Москва “Инфра-М” 1998г. · “Теория статистики” В. М. Гусаров. Москва “Аудит” “ЮНИТИ” 1998г. · “Теория статистики” Учебник под редакцией профессора Р. А. Шамойловой. Москва “Финансы и статистика” 1998г.