Волны на воде

Вол ны на воде Кто из нас , сидя у воды и бросая в нее камешки , не любовался картиной разбегаю щихся волн ! Но мало кто задумывался , почем у высота волн быстро убывает с расстоянием r от места падения ка мня . Можно назвать сразу две гла вные причины , ведущие к такому ослаблению волн . Первая связана с расходимостью круговых волн : сохранение потока энергии ведет к падению амплитуды (высоты ) волны по закон у H~r-1/2. Другой эффект менее тривиален : скорость вол н на воде зависит от их длины (у более длинных волн и скорость больше ); в результате , как нам кажется , с расстоянием волны становятся более длинными . И хотя каждый , кто бросал камень в воду , наблюдал этот эффект , в школьных у чебниках его традиционно описыв а ют на примере разложения обычного света , проходя щего через призму , на его цветовые составл яющие (спектр ). И в том и в другом случае мы имеем дело с дисперсией волны , когда начальное возмущение , образуемое в месте бросания кам ня , "растаскивается " на спектр альные компоне нты . Каждая из волн бежит со своей ско ростью , и вперед выходят более длинные . Эт от эффект может быть пояснен на примере излюбленной школьной задачи , когда путешественн ики А и Б выходят из одного пункта с разными скоростями в одном направлени и и расстояние между ними возраст ает линейно со временем . Переходя теперь к большому числу таких путешественников , скоро сти которых различны , легко понять , что "пл отность " путешественников (число людей на 1 м ) падает с расстоянием от исходного пункта . Анал о гичные оценки для волн , исх одя из закона сохранения энергии , также пр иводят к зависимости H~r -1/2. Совместное воздействие этих двух причин ведет к суммарному ос лаблению высоты волны (вследствие дисперсии и расходимости ) по закону H~r-1. Благодаря быстром у ослаблению высоты волны происходит локализация возмущений на воде (иначе бы штормовые волны , зародившись в одном мест е , оставались опасными для всего океана ). Одна ко это упрощенная картина , в которую не вошло достаточно много исключений . Например , гигант ские морские волны , зародившиеся при землетрясении в Чили 22 мая 1960 г . (такие волны называют цунами ), пересекли весь Тихий океан (примерно 17 тыс . км ) и накатились на побережье Дальнего Востока , где высота их достигала 7 м . Об эффектах , которые приводят к ан омально долгому существованию волн на воде (и в воде ), и будет расск азано в этом реферате . Нел инейность и солитоны Каки е же факторы способны воспрепятствовать быстр ому ослаблению волнового поля ? Во-первых , огран ичение распространения волны только од ной пространственной координатой , чтобы ликвидироват ь ее расходимость в виде круговых волн . Простейший пример - распространение волны в реке . В открытом океане естественными каналам и (волноводами ) служат подводные хребты и течения струйного типа (например, Гольфстрим ). Роль таких волноводов была понята давно . Однако они не могут препятствовать эффек там дисперсии , и , следовательно , волна все равно ослабляется (хотя и не так быстро ) и ее длина возрастает . Друг им фактором , о котором здесь нужно сказать , являе тся нелинейность . Под этим понят ием мы будем подразумевать зависимость скорос ти распространения волны от ее амплитуды . Во всех линейных моделях скорость распростран ения определяется характеристиками среды (наприме р , для волн на воде максимальная скорость и х распространения , г лубиной водоёма ). Между тем глубина водоема под различными частями в олны различна : она увеличивается под гребнем и уменьшается под впадиной . Вооб ще говоря , скорость распространения волны зависит от локальной глубины . Но это означает , ч то греб ень волны должен двигаться быстрее ее впа дины и , следовательно , профиль волны будет искажаться : его передний фронт будет становит ься все более крутым и в конце концов волна должна опрокинуться (каждый , кто ку пался в море , знает , как обрушиваются во л ны вблизи берега ). Тепе рь уже можно понять совместное влияние не линейности и дисперсии на трансформацию волн . Рассмотрим , например , эволюцию гребня . Нелиней ность в чистом виде , как мы уже описал и , хочет , так сказать , привести к тому , чтобы передний фронт становился круче , и гребень стремится догнать подножие . Дисперси я же в чистом виде стремится растащить волну на ее спектральные компоненты , чтобы более короткие волны отставали от тех , которые длиннее . Следовательно , нелинейность , сп особствующая образован и ю более крутого фронта волны (с высокочастотными гармониками ), и дисперсия , стремящаяся утащить короткие волны с крутого фронта , действуют в про тивоположных направлениях . Но тогда возможна их взаимная компенсация , и форма волны в процессе распространения б удет неизм еняющейся (стационарной ). В олна представляет собой движущийс я одиночный гребень , скорость и длина кото рого зависят от высоты волны . Н . Забуски и М . Крускал в 1965 г . назвали его солит оном (от англ . solitary wave - уединенная волна ). Главная особ енность солитонов заключается в неи зменности их формы в процессе распространения , и , следовательно , такие волны могут распр остраняться на очень большие расстояния без потери своей энергии . Роль представлений о солитонах резко возросла , когда стало яс но , ч т о если начальное возмущение имеет другую форму , то оно сбрасывает в се лишнее в хвост и трансформируется в солитоны , число которых определяется законами сохранения (массы , энергии ). Кроме того , сол итоны сохраняют свою форму при взаимодействии с себе подобн ы ми. Выше мы рассказали о солитонах на воде . Но в океане волны бегают не толь ко на его поверхности . Океан не является однородным по вертикали , его температура и соленость зависят от глубины , а значит , и плотность морской воды не остается постоянной . Отсюда следует , что океан м ожно представить как совокупность многих пове рхностей , разделяющих слои с разными плотност ями . Каждая такая поверхность в принципе п охожа на водную поверхность , где также про исходит скачок плотности (от воды к воздух у ), и , следовательн о , по этим поверх ностям могут также распространяться волны , по лучившие название внутренних . Поскольку скачок плотности внутри океана мал (по сравнению с морской поверхностью ), то мала и архим едова сила , двигающая частицы воды в волне . В результате амплитуд ы волн могу т достигать очень больших значений , отмечалис ь волны в 100 м . Во внутренних волнах так же должны быть солитоны , и мы активно занимаемся их исследованием и прогнозом . Воз буждение солитонов бегущими внешними волнами Важн ым фактором поддержания э нергии волн с лужат внешние воздействия . Простейший пример - появление волн на воде , как только подует ветер . Картинка стационарных волн за кора блем в его следе также общеизвестна . Прини мая во внимание постоянство скорости корабля , естественно было изучать сразу ста ционарную картину волн . К сожалению , это п риводило к сложным численным расчетам и н ичего не говорило об устойчивости получаемых картинок . Между тем солитон на воде б ыл открыт Д . Рассел ом в 1834 году . Он занимался исследованием перемещ ения по канал у баржи , которую тянула пара лошадей . Неожиданно баржа остановилась , но масса воды , которую баржа привела в движение , не остановилась , а собралась у носа судна , а затем оторвалась от нег о . Далее эта масса воды покатилась по каналу с большой скоростью в ви д е уединенного возвышения , не меняя сво ей формы и не снижая скорости . На протяжении всей жизни Рассел неодно кратно возвращался к наблюдению за этой в олной , поскольку верил , что открытая им уе диненная волна играет важную роль во мног их явлениях в природе . О н установил некоторые свойства этой волны . Во-первых , за метил , что она движется с постоянной скоро стью и без изменения формы . Во-вторых , наше л зависимость скорости этой волны от глуб ины канала и высоты волны . В-третьих , Рассел обнаружил , что возможен рас пад одной большой волны на несколько волн . В-четвертых , он отметил , что в экспериментах наблюдаются только в олны возвышения . Однажды он также обратил внимание , что открытые им уединенные волны проходят друг через друга без каких-либо изменений , как и мал ы е волны , образованные на поверхности воды . Однако на последнее очень важное свойство он не обратил существенного внимания . Работа Рассела , опубликованная в 1844 году как "Доклад о волнах ", вызвала осторожную реакцию в среде ученых . На континенте е е не зам етили совсем , а в самой Англии на нее обратили внимание Г.Р . Эйр и и Дж.Г . Стоке . Эйри подверг критике р езультаты экспериментов , которые наблюдал Рассел . Он отмечал , что из теории длинных вол н на мелкой воде выводы Рассела не по лучаются , и утверждал , что д л инные волны не могут сохранять неизменную форму . И в конечном итоге подверг сомнению правильность наблюдений Рассела . Один из осно вателей современной гидродинамики , Джордж Габриэл ь Стоке , также не согласился с результатам и наблюдений , полученными Расселом, и кри тически отнесся к факту существования уединен ной волны . После столь негативного отношения к от крытию уединенной волны долгое время о не й просто не вспоминали . Определенную ясность в наблюдения Рассела внесли Дж . Буссинеск (1872 год ) и Дж.У . Рэлей (1 876 год ), которые независимо друг от друга нашли аналитиче скую формулу для возвышения свободной поверхн ости на воде в виде квадрата гиперболичес кого секанса и вычислили скорость распростран ения уединенной волны на воде . Позже опыты Рассела были повторены другими исследователями и получили подтве рждение . Австралийскому физику Р . Гр имшоу и мне показалось интересным рассмотреть взаимодействие свободного солитона с внешним бегущим возмущением (баржей ) во времени . П ри этом мы рассчитывали убить двух зайцев : во -первых , корабельные волны должны бы ли получаться как некоторые стационарные сост ояния в математической модели и , во - вторы х , проблема устойчивости волнового следа реша лась бы автоматически в рамках более обще й нестационарной теории . Сделанные оценки был и перспективными , и мы активно пораб отали вместе над этой задачей , придумав уп рощенную модель явления и получив ряд при ближенных решений . Именно этой проблемой я и мои коллеги занялись в рамках еще первых поддержек от Фонда Сороса и про должили в рамках гран т а от Межд ународного научного фонда . Главная наша идея состоит в учете солитонного характера нелинейной волны . В это м случае волна описывается всего двумя па раметрами : амплитудой (или скоростью ) и координ атой (местоположением ), так что солитон , по существу , очень похож на классическую дви жущуюся частицу . Уравнение для такой частицы хорошо известно еще со средней школы и представляет собой второй закон Ньютона : ускорение частицы , умноженное на ее масс у , равно внешней силе , действующей на част ицу . В таких за д ачах , как извест но , очень удобно описывать внешние воздействи я в рамках потенциальных полей , и наглядны м примером здесь служит движение шарика п о криволинейной поверхности : частица колеблется в потенциальной яме . Остается понять , что происходит в на шем с лучае . Движущийся корабль выдавливает из-под себя воду - так образуется потенциа льная яма , в которую "сваливается " солитон . Если солитон имеет ту же скорость , что и корабль , и находится непосредственно в яме , то он является стационарным и пред ставляет соб о й нелинейную корабельную волну . Но это возможно только для сол итона одной-единственной амплитуды . Если скорость солитона больше скорости корабля , то возм ожны два режима . При очень большой разнице в скоростях солитон обгонит корабль , прак тически не испытав взаимодействия . Когда же скорости близки , солитон сначала ускор яется , сваливаясь в яму , а затем опять тормозится , пытаясь выбраться из нее . Теперь понятно , почему солитон , который движется почти синхронно с кораблем (резона нсный солитон ), колеблется около него . Есл и же солитон имеет малую амплитуду и находится впереди корабля , то он может уси литься , пока его догоняет корабль , а потом затухнуть , когда корабль его обгонит . В результате возможно появление солитонов , живущи х короткое время . Существование тако г о нестационарного волнового следа , меняюще го сопротивление движению корабля , требует до полнительной его мощности , и переменная нагру зка на двигатель возрастает . Трудности управл ения кораблем в условиях резонансного возбужд ения известны . Развитая теория да е т одно из возможных объяснений этого эффек та . Мы всюду говорили о корабельных волнах , испо льзуя для простоты изложения их наглядность . В результате наша задача стала казаться уж очень технической . В океанологии роль движущегося корабля играют перемещающие с я области давления , в частности , при шторм ах и ураганах . Такие крупномасштабные атмосфе рные воздействия приводят к возникновению бол ьших волн в океане . На метеорологических к артах , которые показывают по телевидению , можн о увидеть области как высокого , та к и низкого давления . Увеличение давления вызывает понижение уровня океана , а его уменьшение ведет к повышению уровня (эта связь получила название закона обратного барометра ). Первый случай похож на движущийся кора бль и может приводить к захвату солитона в поле давления . Уменьшение давления над водой , сопровождающееся повышением уровня океана , приводит к новым эффектам . Так , если солитон , имея скорость , близкую к с корости перемещающего давления , пытается догнать эту область , то ему не хватает энерги и , чтоб ы влезть на потенциальную г орку , и , потеряв энергию (а следовательно , и скорость ), солитон будет отставать от обл асти возмущения . В системе координат , связанно й с внешним возмущением , солитон отражается от него . Формально и здесь , конечно , суще ствует стаци о нарное решение , когда солитон сидит на вершине горы и распростр аняется вместе с ней , однако ясно , что такое решение является неустойчивым , и при малейшем смещении солитон скатится с верши ны горы . Друг им важным приложением развитой теории служат волны в по токах воды над неровным дном (например , над подводной банкой ). Очев идно , что в системе координат , связанной с потоком , такая банка движется и играет роль корабля , так что здесь возможны вс е те эффекты , которые описаны выше . Однако смысл таких решений здес ь сущест венно другой : солитоны стоят в потоке над изолированной неровностью дна и не смеща ются относительно нее . Такие стоячие структур ы в потоках , наблюдаемые в океанических те чениях типа Куросио , относительно легко измер ять в силу их долгоживучести . Отме т им также атмосферный аспект проблемы : стоячая структура в воздушном потоке над городом блокирует процессы обмена и способств ует образованию смога . Эти процессы сейчас активно изучаются . Получив объяснение эффекта в простой с итуации , захотелось , как это об ычно быв ает , немедленно рассмотреть более общие случа и , чтобы оценить реальность развитой теории . В частности , предположение о постоянстве ск орости движения внешнего возмущения представляет ся слишком сильным для океанологии . И мы рассмотрели ряд других во з можных движений . Здесь мне бы хотелось остановит ься на равноускоренном движении . Первый вопро с : существует ли резонансно движущийся солито н - решается тривиально . Такой солитон , конечно же , имеется , но его скорость должна сл едовать за скоростью внешнего в о зм ущения , значит , амплитуда солитона неограниченно нарастает . Вопрос об устойчивости такого со литона оказался еще более простым , чем в случае равномерного движения . Так , ускорение ведет к наклону потенциальной поверхности , поэтому если на ней была ямка , т о она и останется , при условии , конечн о , что перекос невелик . Если же была го рка , то из-за наклона на поверхности также образуется ямка . В результате солитон мож ет захватываться внешним возмущением любого з нака , и это явление должно быть широко распростран е но . Коне чно , для простоты изложения мы очень загру били модель : на самом деле солитон при взаимодействии не остается неизменным , часть его энергии излучается , теряется также масс а солитона (эти эффекты , естественно , учтены в нашей теории ). Число определяющ их п араметров на самом деле велико (как миниму м два - для возмущения и два - для солит она ), так что возможны более разнообразные , чем описанные здесь , режимы взаимодействия со литона с внешним возмущением . Учитывая прибли женность теории , мы специально пров е ли численное моделирование такого воздейс твия в рамках более полных уравнений , подт вердившее правомочность первоначальных оценок . На рис .4 показан результат расчета захвата с олитона ускоренно движущейся силой. Выше мы описали простейшие режимы взаи модейств ия солитона с внешним возмущением . Подход , при котором нелинейная волна рас сматривается как частица , оказался весьма пер спективным . Мы поняли , когда солитон может быть захвачен внешним полем , а когда отто ргнут им . Сразу стало ясно , куда надо д вигаться дал ь ше в решении этой проблемы . Например , внешнее возмущение может з ахватить несколько солитонов . Такие примеры м ы уже получали в численных экспериментах . Ответа на вопрос , сколько таких солитонов может быть захвачено одновременно , пока еще нет . Хоче тся также более внимательно рассмотреть геофизические аспекты этой проблемы , связанные с существованием стоячих структур в течени ях (данные наблюдений за биопродуктивностью о кеана выявляют корреляцию между интенсивностью этого процесса и местоположением таких стр у к тур ) и в атмосферных потоках над городами (в связи с проблемой смога ). Большинство таких процессов принципиально свя зано с внутренними волнами , скорость которых мала (1 м /с ), и им легко затормозиться на препятствиях . К сожалению , поле внутренни х волн оказ а лось весьма чувствител ьным к деталям стратификации плотности океана . Друг ой важный аспект - анализ солитонов с точк и зрения морских природных катастроф (цунами , ураганы ), поскольку они могут распространятьс я на большие расстояния . Но здесь пока еще многое остается только на уровне оценок. Лит ература о волнах : П . Ле Блон , Л . Майсек "Волны в океане ". В двух частях . М .: Мир , 1981. И.Т.Селезнев , В.Н.Сидорчук "Трансформация волн в прибрежной зоне шельфа ". Киев : Наукова думка , 1983. Н.Е.Вольцинг ер "Длинные волны на мелк ой воде ". Л .: Гидрометеоиздат , 1985. Кадомцев Б.Б ., Рыдник В.И . Волны вокруг нас . – М .. 1981 Кок У . Звуковые и световые волны . – М ., 1966 Трофимова К.И . Курс физики . – М ., 1990