Вход

Соотношение интуитивного и логического в математике

Реферат по философии
Дата добавления: 04 июня 1998
Язык реферата: Русский
Word, rtf, 477 кб
Реферат можно скачать бесплатно
Скачать
Данная работа не подходит - план Б:
Создаете заказ
Выбираете исполнителя
Готовый результат
Исполнители предлагают свои условия
Автор работает
Заказать
Не подходит данная работа?
Вы можете заказать написание любой учебной работы на любую тему.
Заказать новую работу
Вопрос о взаимос вязи математики и философии вперв ые б ыл задан довольно давно . Аристотель , Бэкон , Леонардо да Винчи - многие великие умы человечества занимались этим вопросом и достигали выдающихся результатов . Это не удивительно : ведь о снову взаимодействия философии с какой-либо из наук составляет пот ребность использования аппарата философии для проведения исследований в данной области ; математика же, несомненно , более всего среди точных н аук поддается философскому анализу (в силу своей абстрактности ). Наряду с этим прогрессирующая математизация нау ки оказывает активное воздействие на философское мышление. Если пытаться некоторым образом класси фицировать различные науки , то неизбежно приходишь к выводу , что и математика , и философия занимают некоторое особое место в этой классифи кации . Необход имо замечаешь , что между ними много общего . Рассмотрим эт от вопрос поподробнее. Во времена античности и средневековья вообще нельзя было отделить математику и философию . Примером тому являются Аристотель и Декарт, которым математики обязаны новыми взгля дами на логику и на геометрию . В то же время эти ученые создали собственны е философские учения , тесно связанные , лучше даже сказать , неотделимые от их исследований в области математики . И обратно , их математические результаты базируются на их философских в зглядах и в то же время следуют из них . Такое положение продолжалось вплоть до XVII веков . Даже фундаментальный труд Исаака Ньютона , полож ивший начало всему дифференциально-интегральному исчислению и мех анике , был озаглавлен "Математические начала натурал ьной фи лософии ". Надо сказать , что и в дальнейшем все настоящие великие математи ки являлись и мыслителями-философами . К их числу можно отнести , кроме вышеперечисленных, Лобачевского , Римана , Брауэра , Гильберта , Пу анкаре , Геделя. Затем философия выделяется в отдельную область человеческого знания , пр ичем очень специфическую область . Если различные естественные науки имеют дело с материальными объектами , изучая их с некоторой , вполн е определенной точки зрения (биология - с живыми организмами , физика - с про странством , временем, телами и т . д .), общественные и социа льные науки имеют дело с такими понятиями , как государство , революция и эволюция и т . д ., гуманитарные науки - со словом , текстом , музыкой , псих ология имеет дело с мозгом и поведением человека и т. д ., то философия делает предметом своего анализа обобщения частных наук . Если учесть , что каждая частная наука как раз и характеризуетс я тем , что обобщает и классифицирует знания , то философия имеет дело с б олее высоким , вторичным уровнем обобщения. То же самое можно сказать и п ро математику . Ни один математический объект не встречается в реальной жизни . При этом если для некоторых объектов , как то точка , пряма я , натуральное число , мы можем увидеть и осознать их грубую модель в природе , то для подавляющего большинства математических понятий таких моделей нет и быть не может. Они возникли как чисто умозрительные п остроения и обобщения уже построенных объектов . Парадокс состоит в том , что при всем своем отрыве от действительности они помогают познавать п рирод у . Надо заметить , что это происходит не напрямую , а с помощью привлечения еще какой-либо науки из области естествознания , а последнее время и общественные науки стали серьезно использовать математические методы в своих исследованиях . Таким образом , матема тика тоже имеет дело со вторичным уровнем обобщения. Особняком ко всем наукам стоит логика . Все науки , в том числе философия и математика ) подчиняются формально-логическим законам (иначе они тер яют право называться наукой ), в то же время логика - наука об н аиболее общих законах мышления , поэтому ее можно рассматривать как часть философии или близкую к ней науку . Не случайно Гедель рассматривал философию пр ежде всего с точки зрения "науки логики ".\footnote Философия . Под ред . В.Н Лаври ненко . М .,1996. С .25 В то же время лог ика рассматривается как часть математики , так как логические законы могут быть отображены в формализованные языки (логические исчисления ) и исследованы с помощью математических методов. Именно в математике обращается наибольшее внимание на логическую строгость доказательств , и именно в св язи с проблемой обоснования математики были разработаны неклассические логики . Их создание и развитие, в свою очередь , сильно повлияло на развитие математики , в частности, общей алгебры , топологии , тео рии множеств , теории рекурсивных функций и многих других областей математики . Ни с одной другой наукой логика не находится в таком тесном взаимопроникно вении , как с математикой и философией . Знаменательно , что законы ло гики заложил Аристотель - филосо ф и математик. Кроме того , и математика , и философия характеризуются одной важной особенностью , которой в такой мере н е обладает ни одна другая наука . Эта особенность напрямую вытекает из того , что обе науки имеют дело со вторичным уровнем абстракции. Ни математик , ни философ не имеют возможности воспользоваться напрямую таким действенным методом познания , как практический эксперимент и ли опыт . Ни математику , ни философу не нужно дорогостоящее оборудование или статистические данные . Они довольствую тся умозрительными экспериме нтами и данными других наук. Для работы им необходимо иметь толь ко ручку и лист бумаги (или другое средство для записи мыслей и резуль татов ). Таким образом , если чувственное познание отходит на второй план , воз растает роль ло гического познания. Как ни парадоксально , при этом в творческом процессе возрастает роль интуиции , озарения , которую зачастую про тивопоставляют логике и не всегда признают в качестве спосо ба достижения новых результатов , представляя движение мысли как ряд непрерывных строго обоснованных логических звеньев цепи си ллогизмов . Именно роли и месту интуиции и логики в математике и математическом творчестве посвящен данный реферат . \ newpage \ begin center \ bf История вопроса \ footnote Основные факты , исп ользуемые в этой части, взяты из книг [3] и [4] \ end center Сейчас в математике , как ни в од ной другой науке , особое внимание обращается на строгость и логическую последовательность доказательств. При этом те рассуждения , которые при менялись еще срав нительно недавно и рассматривались как строгие , на нынешнем этапе уже не являются доказательствами и требуют дополнительного обоснования . Например, допускали , что непрерывная функция не может изменить знак , не проходя через нуль . Теперь это доказывают. Первым особое внимание логической строй ности рассуждений уделил Аристотель . Именно его понятие силлогизм а и группа выделенных им законов (тождества , противоречия и исклю ченного третьего ), по которым должно строится любое до казательство , надолго опред елили развитие логики . Группа работ Аристотеля была объединена под названием "Органон ", то есть инструмент для пол учения истинного знания . В Новое время вопросами теории познания (в т о время еще не отделившейся от логики ) занимались Фрэнсис Бэкон и Рен е Декарт . В частности , был поставлен вопрос о формировании исходных понятий (определений и аксиом ). У Бэкона основным инструментом познания служила индукция , а у Декарта --- дедукция . Декарт , как истинный геометр , призывал допускать в качестве истинных только очевидные утверждения. Таким образом , аксиомы постигаются интуи тивно , а все остальные знания выводятся из них с помощью дедукции без пропуска логических звеньев . В "Рассуждении о методе " Декарт предлагает следующие правила познания : 1) допускат ь в качестве истины тол ько такие утверждения , которые ясно и отчетливо представлены уму и не мог ут вызывать никаких сомнений ; 2) расчленять сложные за дачи на более простые и доступные для решения ; 3) последовательно переходить от известного и доказанно го к неизвестному и нед оказанному ; 4) не допускать пропуска звеньев в цепи логических доказательств. Родоначальником современной математической логики явился Готфрид Лейбниц, развивший аристотелевскую силлогистику и учение Декарта о врожденных идеях. Именно он выдвинул идею создания алфавита мыслей , или универсального языка . Если создать систе му знаков для высказываний, подобную системе цифр в арифметике , и создать некую формальную комбинаторику , которая может определять истинность или ложность нек оторой мысли или утверждения , то можно полу чить общий метод и с помощью формально логических законов получать в се возможные истины или определять случаи , когда высказывание неизбежно ока жется ложным. Противоположных взглядов на математику придерживал ся философ Иммануил Кант . Если , по Лейбницу , все математические науки можно воплотить в некотором универсальном логическом исчислении , то Кант утверждал , что вс е математические положения могут доказываться только путем обращения к наглядному представлен ию , которое дается только априорными формами чувств енности. Но в прошлом веке положение начало резко меняться. Начало этому положила геометрия Лобачев ского , в которой только один постулат (аксиома ) отличался от традиционной евклидовой геометрии . Эта геометрия уже не соответствовала привычным представлениям людей , но в то же время была логически безупречна и непротиворечива. Дальнейшие работа немецкого математика Римана , создавшего систему различных геометрий , наиболее известна и з которых сферическа я геометрия Римана , итальянского математика Бельтрами показали , что геометрии можно строить на различных системах аксиом и получать при этом непротиворечивые теории . Матема тика перешла на новый уровень абстракции. Что же послужило толчком для подобног о события ? Основу классической геометрии составляли пять постулатов Евкл ида , из которых первые четыре казались очевидными , и только пятый бы л достаточно сложным и казался более похожим на теорему . На протяжени и почти двух тысячелетий многие математики пыта лись вывести его из других аксиом , но это не удавалось. Тем не менее , на геометрию смотрели как на идеал научного знания , и вопрос о единственности геометрии был не просто математическим вопросом , а имел мировоззренческий , философ ский характер . У Канта, на пример , идея единственности геометрии была органичной частью его философской системы . Иначе говоря , в то время математики рассуждали так : геометрия Евклида является великолепн о выстроенным зданием, правда , в нем есть некоторая неясность , связанная с 5 пост улатом, однако , в конце концов , все выясниться и неясность будет устранена. Однако в начале XIX века вдруг наступил кризис в отношении пятого постулата , и сразу трое человек (Н . Лобачевский , Ф . Гаусс и Я . Больяи ) решают этот кризис методом построения ново й геометрии . Почему же именно в этот момент произошел перелом ? Вряд ли можно предполагать , что одновременно появились три гения , которых не было на протяжении многих веков. Дело в том , что проблема пятого пос тулата предстала перед математиками в новом све те , уже не как до садная неясность , а как проблема, порождающая ряд фундаментальных вопросов : как вообще должна быть построена математика ? Может ли она быт ь построена на действительно прочных основаниях ? Является ли она до стоверным знанием ? Является ли она логически точным знанием ? Эти вопросы возникли не в связи с постановкой проблемы пятого постулата , а были определены общим состоянием математики в тот исторический момент. Вплоть до XVII века математика находилась как бы в зачаточном состоянии . Наиболее разработана была геометрия , известны начала алгебры и тригонометрии . Но с XVII века математика начала бурно развиваться , и к началу XIX века она представляла собой довольно сложную и развитую систему знаний . Для нужд механики было создано и развивалось диф ференциальное и интегральное исчисл ение ; значительное развитие получила алгебра , появилось понятие функци и ; появилась теория вероятностей и теория рядов . Математическо е знание выросло не только количественно , но и качественно . С этим развитием появилось мн ожество новых понятий , которые математики не м огли истолковать . Например, алгебра несла с собой понятие числа . Положительные , отрицательные и мнимые величины были в равной степени ее объектами , но что это такое, никто толком не знал до XIX века . Не было от вета даже на более общий вопрос --- что такое число ? Что такое бесконечно малая величина, которая уже широко использовалась в ди фференциальном и интегральном исчислениях ? Как можно обосновать дифферен цирование , интегрирование, суммирование рядов , то есть о пераци и , требующие предельного перехода ? Что представляет собой вероятность ? В итоге именно в XIX веке сложилась к ризисная ситуация в математике. Но трудности истолкований новых понятий еще можно было понять : то, что неясно сегодня , станет ясно завтра , к огда соответствующая область получит должное развитие , когда там бу дет сосредоточено достаточное количество интеллектуальных усилий . Иначе дело обстояло с проблемой пятого постулата --- она стояла уже около двух тысячелетий , и многие люди ей занимались , но решения не было . Может быть , что эта проблема устанавливала некий эталон для истолкован ия тогдашнего состояния математики и уяснения того , что есть математика вообще . Возможно, математика не является точным знанием . В свете этих вопросов проблема пятого постулата перестала быть частн ой задачей , а стала фундаментальной проблемой и была решена путем построения новых геометрий . Параллельно на основе нового взгляда на метематику развивались и другие области. Алгебра логики возникла в работах а нгличанина Джо на Буля , который предложил рассматривать логику как алге бру , где переменные принимают только два значения - 0 и 1, и применять к высказываниям методы алгебры. Буль полагал , что есть некие общие принципы мышления , что дает основания для аналогий между л огикой и алгеброй . Эта идея блестяще подтвердилась, кроме того , булевозначные алгебры , как оказалось , являются моделями классической теории множеств. На этом подходе ныне базируется вся электронно-вычислительная техника. Дальнейшее развитие этот подход по лучил в работах математика Готлоба Фреге , который осуществил дедуктивно-аксиоматич еское построение логики высказываний и логики предикатов . Он построил систему формализованной арифметики , тем самым пытаясь обосновать идею сводимост и значительной част и математики к чистой логике . Это направление получило название логицизм , который был развит в работе "Принципы математики " англичанами Бертраном Расселом и Альфредом Уайтхедом . В этом же напра влении работали гениальные математики Пеано (им создана зна менитая сист ема аксиом Пеано для определения базового понятия математики - натурального числа и принципа математической индукции ) и Гильберт , стр ого аксиоматически изложивший евклидову геометрию в своем труде "О снования геометрии "(1889). Надо сказать , что она была достаточно далека от той геометрии , которую до сих пор преподают в школах. Однако с углублением формализации матем атики начали натыкаться на различные парадоксы , связанные с определениями абс трактных понятий , из которых наиболее известен парадокс Рассела в теории множеств . Возникла ситуация , похожая на ситуацию с евклид овой геометрией . Опять еще более остро стали философские вопросы обоснов ания математики и возможности ее построения на чисто логико-аксиоматич еской основе. В 1931 году австрийский математик Курт Гедель доказ ал неполноту достаточно богатых формальных систем , что и означало , чт о лейбницева программа полной формализации мышления невозможна . Иначе говоря , существуют предложения , которые формулируются в тер минах данной т еории , но недоказуемы и неопровержимы в рамках этой теории . Эти исследования наряду с исследованиями поляка Тарского и голландца Чёрча определили современное состояние математической логики . На сегодняшний день ситуация с классической логикой повтори л а ситуацию с евклидовой геометрией . Созданы и развиваются интуиц ионистская и конструктивная логики , основанные на отбрасывании или замене классических аристотелевских законов логики . Ведутся исследования в области многозначных , релевантных и модальных логик. Итак , можно сказать , что в ходе р азвития математики все большее внимание уделялось строгости логики . Надо сказат ь , что это не является какой-то особенностью именно математики . Для при мера можно взять юриспруденцию и сравнить законы , которы е использовал ись в средние века , в Новое время и сегодняшний свод законов . Можно увидеть , что при сохранении основных идей (записанных еще в Библии --- не убий , не укради и т.д .) увеличивается детальность и логическая последовательность законов . Те м более это видно в естественных наук ах . Был момент , когда казалось , что все в математике можно свести к формальным правилам вычислений . Иначе говоря , можно было бы сконструировать некую машину , которая могла бы генерировать все теоремы и их доказ а тельства , а нужда в математике-человеке с его интуицией бы отпала . Только в 30-х годах XX века вновь появилось понимание , что машина не может заменить человека в этой области знаний (и , по-видимому , н и в какой другой ). \ begin center \ bf О природе математического умозаключения \ end center Сама возможность математического познания при рассмотрении ее с точки зрения логицизма кажется неразрешимым п ротиворечием . Если все предложения в математике выведены одно из другого по правилам формальной ло гики , то верно ли , что вся математика сводитс я к бесконечному повторению и тавтологии ? Ведь силлогизм Аристотеля не может научить ничему новому , и если все теоремы вытекают из закона тождества , то все должно к сводится к нему и к нескольким аксиомам , лежащим в основе математики . Правда , надо предположить или проверить , что эта система аксиом не сводится к закону противоречия. Получается , что ни одна теорема не могла бы дать никаких новых знаний, если бы в ее доказательство не входила бы новая ак сиома . Ведь сам силлогизм ничего не добавляет к тем данным , которые даются в посылке. Иначе говоря , вся математика сводилась бы к нескольким аксиомам и скрытому способу говорить , что А ест ь А . Кроме того , если математика имеет дедуктивный характер , то как объяснить тот факт , что 90 процентов математических статей связаны с обобщением уже известных результатов . Чтобы объяснить смысл этих противоречий , надо признать, что математическое умозаключение само п о себе имеет род творческой силы , и этим отл ичается от си ллогизма. Рассмотрим один из важнейших , если н е самый важный , тип математических умозаключений , причем сделаем это на простейшем примере , на примере арифметике . Выражение "дважды два равно четырем " используется , когда говорят о чем-то оче нь простом , элементарном . Это вроде бы ясно , и доказывать тут нечего . Первым пытался доказать это Лейбниц . Для этого необходимо ввести некие понятия (по сути - аксиомы ), а именно понятие числа 1 и операции прибавления к неко торому числу х числа 1. Далее определяем числа 2, 3 и 4 следующими равенст вами 2=1+1, 3=2+1, 4=3+1. Теперь определим операцию прибавления 2 следующим образом х +2=(х +1)+1. Заметим , что пока ничего содержательного не появилось , но при этом в определении новой операции неявно исполь зуется аксиома ассоциативности сложения . Иначе говоря , либо вводится эта аксиома , и тогда новая операция определяется однозначно, либо сначала определяется новая операци я прибавления 2, и из нее получается ассоциативность сложения как свойство (а не как аксиома ). Далее имеем цепочку равенств 2+2=(2+1)+1=3+1=4. Откуд а и получим , что 2+2=4. Таким образом , на основе формально введенных понятий мы доказали формальное (!) равенство . Вроде бы эти рассуждения может проделать и машина , с этим никто не спорит. Но если спросить любого математика об этом доказательстве , то он скажет, что это рассуждение доказательством не является , это просто проверка. Грань между доказательством и проверкой очень тонкая , и если все математики ее чувствуют интуитивно , то да леко не все смогут ее точно определить . На самом деле проверка - это некое бесплодное рассуждение, где фактически мы просто проверили закон тождества , перевели предпосылки на другой язык . Истинное доказательство должно быть плодотворным , и вывод должен заключать в себе некое новое знание , чем посылка , которое берется не из новых введенных аксиом , а из самой творческой силы умозаключения. Рассмотрим другое рассуждение , которое , по-видимому , лежит в самой основе математики . Пусть у нас есть некотор ое высказывание , зависящее от n, например , что существует n-угольник , у которого 3 острых угла . Ряд силлогизмов будет выглядеть следующим о бразом Это верно для n=3. Если это верно для n=3, то это верн о для n=4. Следовательно , это верно для n=4. Есл и это верно для n=4, то это верно для n=5. Следовательно , это верно для n=5. и т.д. Таким образом , мы получаем бесконечный ряд силлогизмов . Если мы хотим проверить наше утверждение для 10-угольни ка , то нам необходимо пройти все предыдущие этапы , и о босновать 7 с иллогизмов . Для 100-угольника потребуется немного больше времени --- 97 си ллогизмов . Тем не менее это время конечное . А вот если потребует ся узнать , верна ли теорема для многоугольника с миллиардом углов , то жизни одного человека уже не хва тит. Однако , как бы далеко мы не шли , мы никогда не дойдем до применимой к о всем числам теоремы , которая и есть предмет науки математика . Чтобы ее достигнуть , необходимо пройти бесконечный ряд силлогизмов , то есть надо перескочить бездну , сделать шаг , на который не способна формальная логика, и , следовательно , на этот шаг неспосо бна машина. Орудием , которое позволяет переходить от конечного к бесконечному , является математическая индукция , которая избавляет нас от р яда долгих и однообразных проверо к, позволяя получить общую теорему . Надо сказать , что метод математической индукции для натуральных , а в послед нее время и для трансфинитных чисел, включен в систему аксиом Пеано . Если задуматься , то это очень странный факт - ведь МЕТОД мышления включе н в систему аксиом , он не может быть выведен из других аксиом - понятий пр и помощи логических законов . Причем еще в начале нашего века множество математиков пыталось создать систему аксиом без индукции (кстати , это же пытался сделать и сам Пеано , и вели кий Гильберт ), но так или иначе , индукция возникала в скрытой , неявной форме. Вторая странность заключается вот в чем . Если аксиома - это то , что нам очевидно , то надо сказать , что метод математической индукции имеет дело с бесконечностью , перед к ото рой бессилен любой человеческий опыт . Это правило не доступно для аналитического или опытного доказательства или проверки . Но тем не менее , этот метод достаточно очевиден для мало-мальски образованного и подготовленного ума. Доказательством тому являет ся тот факт , что в последние годы он входит в школьную программу для 10-11 классов , а наиболее подготовленные ученики осваивают его в 7-8 классе , причем инту итивно они начинают его применять примерно с 6 класса , и поэт ому его логическую формулировку во спринимают достаточно легко . Здесь , по-видимому , сказывается только утверждение могущества человеческого разума , который способен постичь общность бесконечного повторения одного и того же акта , даже в различных его вариациях . В силу этого могущест ва ра зум обладает непосредственной интуицией бесконечного и интуицией обоб щения. Еще один аспект проблемы индукции в математике связан с процессом конструирования . Имея простые понятия , м атематики строят более сложные совокупности или конструкции . Затем пу тем анализа этих сочетаний они возвращаются к первоначальным объектам , раскрывая соотношение этих элементов и выводя отсюда отношение самих совокупностей . В этом процессе конструирования , которому всегда совершенно справедливо придавалось большое знач ение , некоторые хотели видеть необходимое и достаточное условие прогресса математики и вообще точных наук . Необходимость очевидна . А вот достаточность ? Ведь для того , чтобы п роцесс конструирования был полезен, необходимо , чтобы конструкция несла в себе что-то новое по сравнению с составляющими ее элементами . Например , д ля чего изучать многоугольники , с которыми несомненно , дело иметь гораздо труднее , вместо того , чтобы ограничиться изучением только треугольников ? Ведь любой многоугольник может быть составлен из треугольни ков. Делается это для того , чтобы получат ь и доказывать общие свойства многоугольников с любым числом сторон (например , оценка периметра через сумму диагоналей ), которые можно применя ть затем в любом частном случае. Если же расс матривать многоугольник только как фигуру , состоящую из элементарных треугольников , то увидеть э ти свойства удается только ценой значительных умственных усилий или инту иции , или не удается вообще. Отсюда получается , что конструирование с тановится плодот ворным тогда, когда его можно сравнивать с аналог ичными конструкциями того же родового понятия и когда есть возмо жность доказывать некоторые родовые свойства , не прибегая к проверке эти х свойств для каждой конструкции. Для этого опять необходимо подня ться от частного к общему , а это делае тся с помощью математической индукции. \ begin center \ bf Два типа математического мышления \ end center Если ознакомится с работами различных математиков , то легко заметить , что существуют два сильно отличающих ся типа математического мышления . Один из них можно условно называют геометрическ им или европейским тип , а другой - алгебраическим или азиатским (ны не его также называют аналитическим стилем мышления ). Конечно , подобные названия сильно условны , и появи лись , по-видимому , в связи с тем , что геометрия как школа и наука развилась в Европе (Пифагор , Евклид , Декарт , Лобачевский ), а начало алгебре , уравнениям и т.д . был о положено в трудах арабов Аль-Хорезми , Омара Хайяма и других . С амо слово алгебра происхо дит от арабского слова аль-джебр. Аналитики придерживаются в своих работа х логической стройности , двигаясь вперед шаг за шагом . Обычно они не пропускают без доказательства ни одной мелочи , аккуратно обосновывая каждый шаг . При этом общая идея доказа тельства может потонуть за нагромождением разного рода деталей. Чертежи или иного рода наглядные пр едставления используются в работах аналитиков чрезвычайно редко. Совершенно иная ситуация у математиков с геометрическим стилем мышления . Их работ ы изо билуют рисунками , если это вообще возможно . Если нет , то по крайней мере они на словах пытаются объяснить то , что представляется их внутреннему взору . При этом общие идеи доказательств обычно выписываются до строгой формулировки теорем , а иногда и вмес то нее . Они не затрудняют себя доказательством мелких деталей. Надо сказать , что условное деление н а геометров и аналитиков вовсе не означает , что они занимаются именно той областью математики , которая вынесена в название соответствующего ти па мышления . Это просто условное название того типа мышления , который присущ данным людям. Причем , видимо , эта склонность дается от рождения , а не формируется в результате воспитания или обучения , хотя в ходе этих процессов можно развить или подкорректировать эти склонности . Чтобы проиллюстрировать все вышесказанное примерами , обратимся к свидетельству французского математика Анри Пуанкаре , записанной в его книге "Ценность науки ". Я позволю себе процитировать довольно бол ьшой кусок , потому что он дает яркие п римеры двух типов математ иков , с которыми Пуанкаре был знаком лично. "Так , Мере хочет доказать , что двучле нное уравнение всегда имеет корень, или , говоря просто , что всегда можно разделить угол на части . Если есть истина , которую мы могли бы узнать не посредственной интуицией , то она здесь . Кто станет сомневаться , что уг ол всегда можно разделить на какое угодно количество равных частей , и ч тобы доказать это , ему нужно несколько страниц . Напротив , посмотрите на Клейна : он изучает один из самых абстра ктных вопросов теории функций ; требуется узнать , всегда ли существует на данной поверхности Римана функция , допускающая данные сингулярности . Что делает знаменитый нем ецкий геометр ? Он заменяет поверхность Римана металлической поверхност ью , электропрово дность которой меняется по известным законам , и сое диняет две точки ее с двумя полюсами элемента . Ток , говорит он , непременно пройдет , и распределение этого тока по поверхности определит функцию , особым и свойствами которой будут именно те , которые пред усмотрены условием . Без сомнения , Клейн знает , что он дал здесь лишь наглядный очерк ; и все-так и он не задумался опубликовать его ; вероятно , он надеялся найти здесь ес ли не строгое доказательство , то по крайней мере как бы нравственную ув еренность . Логи к с ужасом отбросил бы подобную концепцию или --- вернее --- ему и не нужно было бы ее отбрасывать , потому что она никогда не могла бы возникнуть в его уме ." Аналогичная , даже еще более характерная ситуация сложилась в общей теории функций , особенно ф ункций комплексно го переменного . Основа этого направления заложена в работах двух немецких математиков , Вейерштрасса и Римана . Они жили примерно в од но время , и получили примерно одинаковое образования . Математическая одар енность каждого из них не вызы вает никаких сомнений . Работали они примерно в одной области , но насколько разительно их подходы отличаю тся друг от друга ! Если Вейерштрасс сводил все функции к ан алитическим рядам и рассматривал далее операции и свойства числовых и функциональных рядов , то есть как будто сводил всю теорию функций к алгебре или даже арифметике , то Риман прибегал к помощи геометрии и особенно топологии . Особенно интересно затронуть этот вопрос в с вете того , что сама я лично была свидетелем очень яркого примера подобно й классификации умов , и именно в этой области . Во время моего о бучения в университете теорию функций комплексного переменного нам одновременно читали два преподавателя : Леонид Эммануилович Медников и Александ р Борисович Воронецкий. Естественно , они ра зделили темы , и каждый читал эту теорию с той точки зрения , которая ему ближе . Если Ворон ецкий имеет ярко выраженные черты аналитического склада мышления , то Медни ков , наоборот , ярко выраженный геометр и , естественно , читал топологиче скую часть , связанн ую с римановыми многообразиями . Воронецкий же читал часть , связанную с оценками , неравенствами , разложениями в ряды и т.д . В чем же еще было отличие ? Всем моим одногруппникам нравил ись лекции Воронецкого , потому что он не пропускал ни одной де тали , все у него было логически прави льно построено , при этом записано на бума ге , весь текст он полностью переносил на доску . Отдельно были выделены опр еделения , затем теоремы, доказательства и примеры . Лекции же Медникова , по общему мнению, слушать было еще мо жно , а вот запоминать или записывать - нет . Он не записывал на доске практически ни о дной формулы , а рисовал множество картинок , поясняя общую идею доказательс тва и не вдаваясь в детали . При этом в принципе было невозможно пон ять , где доказательство тео ремы , а где пример . На мой взгляд , он как бы моделировал творческую работу математика, процесс его размышлений над теоремами . Причем надо заметить и неоднозначную оценку студентами методов того и другого . Если мои одногруппники считали , что лекции Медн икова не понятны и поэтому скучны, то для меня , наоборот , лекции Воронец кого казались загруженными ненужными деталями и поэтому скучными и сложн ыми для понимания , а идеи доказательства , выраженные в картинках , я помню до сих пор , и до сих пор именно кр асота интуитивных и дей делает для меня эти рассуждения простыми . Иначе говоря , эти два отли чия присущи не только великим умам , но и встречаются повсюду . Если аналитики не способны представлять в пространстве (а у мы , будучи студентами , подозревали, что Медников может представить чет ырехмерное пространство ), то геометры не способны к длительным в ычислениям и скоро в них путаются (именно сейчас , в ходе работы над диссертацией , у меня возникают серьезные проблемы со строгой записью доказательств . Надо л и говорить, что я считаю свой стиль мышления более геометрическим , чем аналитическим ). Оба рода умов одинаково необходимы для развития науки , оба делают те открытия и шаги , на которые неспособны другие. \ begin center \ bf Роль интуиции в математике \ end center Но , раз уж мы говорим , что матема тические рассуждения ученых античности и нового времени грешат отсутствием логич еской строгости , там не доказаны казавшиеся очевидными факты , то означает ли это , что все эти ученые были по своему складу ум а геометрами ? Конечно , это не так. Иначе пришлось бы заключить , что в древности природа создавала только геометров , зато в 19 веке и на руб еже 20 вдруг перевыполнила план по аналитикам . Например , если взять Евклида , про которого неизвестно ничего , кро ме одного сочинения , в котором и излагается система его аксиом , то можно с уверенностью закл ючить , что этот человек --- аналитик . Только логик мог в античны е времена вообще принять необходимость выделения в геометрии неи збыточной системы непротиворечив ых аксиом . С большой вероятностью можно утверждать , что сами аксиомы , принимаемые интуитивно , бы ли высказаны другими учеными, тем более другими людьми доказаны т еоремы геометрии . Но тем не менее эту геометрию мы называем евклидовой , потому что именно Е вклид взял на себя труд обобщить и систематизировать разрозненные знания. На сегодняшний день изменились не у мы , а идеи . Сейчас от математиков, руководствуются они интуицией или логик ой , требуется некий необходимый уровень строгости , и эта необходимос ть признана всеми . Какова же причина этого негласного соглашения ? Она лежит на поверхности . Мало того , что интуиция , при всей ее творческой сил е , не может дать нам строгости . Это еще полбеды . К сожалению , она не может дать достоверности знания, получен ного с ее помощью. Например , все мы имеем интуитивное п онятие о непрерывной функции как о функции , г рафик которой представляется непрерывной линией . В то же время строгое определение непрерывности , на каком языке (топологическом , языке после довательн остей, $\ve-\ dl$-окрестностей ) его не формулируй , не может не содержать менее 5 предикатов , а нормальный , не занимавшийс я математикой человек может понять сходу фразу , содержащую не бо лее двух вложенных предикатов . Зачем тогда вообще нужно это строгое логическое определение ? Но с помощью т ого интуитивного представления , которое мы и меем , представляя непрерывную кривую , мы получаем такое "доказательств о ": любая непрерывная функция имеет производную , так как любая кри вая имеет касательную . В то же врем я известно , что далеко не всегда непре рывность функции обеспечивает ее гладкость. Интуиция нас "обманывает " ровно в сил у того , что в математике мы имеем дело не с реальными объектами , а с идеальными . Мы не можем представить себе кривую , не имеющую толщины . В лучшем случае мы представляем не канат , а очень тонкую линию , но т ем не менее предельного перехода чувственная интуиция совершить не может . Это необходимо остается на долю логиков. Таким образом , необходима логическая стр огость , а она нево зможна в рассуждениях , если е е нет в определениях . Таким образом, усилия логиков были направлены на с ами начальные определения . Так, интуитивное понятие непрерывности сложилось в сложную систему неравенств. Понятие вещественного числа строго было опреде лено только в 19 веке Дедекиндом , причем пришлось столкнуться с такими сложностями , что подобное определение изучают только ПРИ ПОЛУЧЕНИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ , и то только технические специальности . Очевидное интуит ивное понятие натурального числа тоже формализовано только в 19 веке , и тоже с большими трудностями. Естественно возникает вопрос : а закончил ась ли эта эволюция строгости ? Ведь не из лени и не из-за о тсутствия внимательности предыдущие поколения математиков не добивались требуемой нын ешни м временем строгости. Кстати , физики до сих пор оперируют в своих рассуждениях уровнем строгости такого сорта , что вызывают ужас у математиков . Результаты экспериментов экстраполируются некоторой фо рмулой , и если результаты последующих экспериментов хорошо ложат ся в эту формулу , то она признается верной . Кроме того , их не интересуют такие тонкие случаи, как поведение решений на границах и других множествах меры нуль , так как вероятность попадания туда равна нулю . В то же время математик не сочтет задачу решенной , пока не исследует поведение решения во всех точках , и , как правило , его интересую т именно тонкие случаи. Древние считали свой уровень строгости достаточным . Не потребуют ли наши потомки еще большего господ ства логики ? Конечно , одной л огикой обойтись нельзя , так как она сводит все к чистой тавтологии . Необходима интуиция . А что же вообще может пониматься под словом интуиция ? Рассмотрим следующие утверждения : 1) Две величины , равные третьей , равны между собой ; 2) Пусть теорема рав на для n=1, и верно , что если она верна для n, то верна и для n+1. Тогда теорема верна для всех целых чисел ; 3) Если точка С лежит на прямой ме жду А и В , а точка D лежит между А и С , то точка D лежит между А и В ; 4) Через две точки можно провести тол ь ко одну прямую. Все четыре высказывания являются аксиомам и и должны быть приписаны интуиции . Тем не менее первое есть выражение формального логического закона (если заранее определено понятие равенства ), второе есть выражение метода , называемого математич еской индукцией , третье есть апелляция к геометрической или пространст венной интуиции и к интуитивно понимаемому отношению "между ", а четвертое утверждение есть фактически скрытое определение прямой . Ина че говоря , интуиция не есть обязательно свидетельств о чувств челов ека . Есть несколько видов интуиции --- обращение к чувствам или воо бражению , интуиция обобщения, и , наконец , интуиция чистого числа , поро дившая арифметику и в дальнейшем всю математику . Первые две не могут дать достоверности , но третья являе тся основой математики , иначе говоря , сомневаться в ней означает сомневаться в арифметике . Сейчас в математике окончательно изгнана из доказательств интуиция первого рода , строго формализована интуиция второго рода . Остальное составляю т силлогизмы и интуиц ия чистого числа . На современном уровне р азвития философии можно сказать, что в математике достигнута абсолютная строгость. \begin center \ bf Интуиция ученого \ end center Если мы говорим , что логика дает т олько чистую тавтологию , то в чем же заключ ается процесс творчества ученого ? Этот вопрос особенно интересен для математического творчества , потому что в этом акте человеческий ум заимствует из внешнего мира меньше все го , и орудием , и объектом воздействия является он сам . Поэтому , и зучая процесс мат ематического творчества , можно надеяться проникнуть в саму сущность человеческого ума. На самом деле удивителен тот факт , что некоторые люди совершенно не понимают математических рассуждений . При э том они могут быть талантливы, умны , но не понимать матема тику . На самом деле , ведь если математика есть цепь силлогизмов , построенных по общим нормальным законам логики, которые понятны каждому нормальному челов еку , и основанных на некоторых принципах , называемых аксиомами , которые об щи для всех и никто не собир ается их отрицать , то почему большое количество людей не понимает эти построения ? Понятно , что не каждый способен на творчество , понятно также , что не каждый может запомнить однажды услышанное доказательство. Но каким образом такое количество люде й не мог ут понять доказательство в тот момент , когда его излагают ? Э то подтверждает даже тот факт , что математика , преподаваемая в школе и не имеющая самого элементарного уровня строгости , считается одним из н аиболее трудных предметов и усваивается далеко не всеми . Кроме того , как могут возникать ошибки в математических доказательствах ? Ведь это п росто цепь предложений, построенных по очень простым правилам . Но , тем не менее , ошибки допускали даже великие умы , причем быв ало , что ошибки в их доказательствах были найдены через ст олетия после опубликования работ (яркий пример тому - метод множителей Лагранжа ). Ответ на этот вопрос можно дать сл едующий . Если доказательство являет собой длинную цепь силлогизмов , заключение каждого из которых является посылкой следующ его , то вряд ли хоть кто-то совершит ошибку или не поймет такое доказательство . Но настоящее математ ическое доказательство не есть прямая цепочка . Иногда некоторый вывод , полученный в заключении некоторого элементарного силлогизма , используе тся в качестве посылки спустя длительное время , при этом пара ллельно развертывается несколько логических цепей . Когда мы возвращаемся к нашему предложению , мы можем забыть или исказить его смысл . Кроме того , одно и то же рассуждение, применяемое несколько раз , кажется н астолько очевидным , что через некоторое время можно начать применять его без достаточного обоснования , и при этом допустить ошибку . Таким образ ом получается , что способности к математике определяются хорошей памятью и аккуратностью . Но тогда все математики были бы людьми собранными , ни в коем случае не рассеянными, имеющими большие способности к вычисления м , например . Но это не так , и много есть примеров гениальных математико в , которые были страшно рассеянными или не могли без ошибок провести п ростейшие опе рации . Почему же плохая память не мешала им при проведении математических рассуждений ? На самом деле математическое доказательст во не есть нагромождение неких аксиом и силлогизмов , пусть даже и связанных друг с другом (кстати , те люди , которые не понимаю т доказател ьств , отзываются о них как о куче или нагромождении непонятных фактов ). Все выводы в доказательстве расположены в известном порядке , причем порядок здесь более важен , чем сами элементы . Именно об это и гов орят те математики , которые сначала об озревают общий ход решения , не задерживаясь на деталях , затем формулируют теорему и строго ее доказы вают , отдавая дань необходимости соблюдения всех логических законов . Если же человек обладает интуицией такого порядка расположения фактов и с иллогизмов , то , по всей видимости , это и называется математическим дарованием . Память здесь играет не такую важную роль , так ка к в случае интуиции такого рода все силлогизмы без больших усилий зани мают отведенные им места . И в силу этого отпадает необходимость зубрить доказательство , так как достаточно понять его один раз , и п ри желании или необходимости его можно воспроизводить самостоятельно . Понятно , что все люди не могут обладать одновременно и хорошей памятью , и математической интуицией , и достаточным вниманием для концентрирован ия именно на этой области. Таким образом , математическое дарование не может быть всеобщим. Математическое творчество состоит не толь ко в конструировании некоторых объектов , оно со стоит также в том , чтобы выбрать из множества возможных объек тов и комбинаций полезные и плодотворные. Очевидно , что машину , генерирующие некоторы е истины по строгим логическим законам , можно сравнить с той знаменит ой обезьяной с пишущей машинкой, которая бьет по клавишам в случайном порядке . Конечно , она может случ айно напечатать роман Толстого "Война и мир " или какое-то другое литературное произведение , но произойдет это с нуле вой вероятностью . Чтобы появилось подобное литературное произведение , мало п роверять все комбинации , как ученый из "Путешествия Гулливера ", а необходим еще акт творчества . Именно так обстоит дело и с математическим творчеством. Но творить , изобретать не значит уметь выбирать из большого множества вариантов . На самом деле практически в се бесплодные варианты даже не представляются уму изобретат еля , а перед ним возникают только полезные комбинации или комбинации , которые впослед ствии будут отброшены с помощью логического анализа , но они не лишены черт полезных . Именно это и можно назвать математической интуицией. Феномен интуиции чрезвычайно шир ок и не всегда то , что считают интуитивным , действительно заслуживает такого названия . Нередко можно встретить умозаключения , посылки которых н е формулируются в явном виде, и результаты кажутся неожиданными , но они вовсе не интуитивны , как можно предположи ть . Для того , чтобы таких случаев было как можно меньше , в математике добиваются возможно большей , на современном этапе абсолютной строгости . При этом посылки силлогизмов должны быть выписаны явным образом . Слово интуиция применяется также к сенсорно-чувс твенной интуиции , но матема тическая интуиция по своей сути есть интуиция интеллектуальная. И еще одна чрезвычайно важная черта свойственна интуиции --- ее непосредственность . Непосредственным знанием (в отличие от опосредованного ) принято называть такое , которое не опирается на логическое доказательство . Интуиция является непосредственным знанием только в том отношении , что в момен т выдвижения нового положения оно не следует с логической необходимостью из существующего чувственного опыта и теоретических по строений.\ footnote Копнин П.В . "Гносеологические и теоретические основы науки ". С .190 Иначе говоря , интуиция --- это способность постижения истины путем прямо го ее усмотрения без обоснования с помощью доказательства.\ footnote "Ф илософский энциклопедиче ский словарь ", М .,1989. С .221 П риведем примеры . Свои ощущения и размышления излагает Анри П уанкаре в книге "Наука и метод ". "В течении двух недель я старался доказать , что невозможна никакая функция , которая была бы подобна тем , которым я впоследствии да л название фуксовых функций ; в то время я был еще весьма далек от того, что мне было нужно . Каждый день я усаживался за свой рабочий стол, проводил за ним один-два часа , перебира л большое число комбинаций и не приходил ни к какому результату . Однаж ды вечер ом я выпил , вопреки своему обыкновению , чашку черного кофе ; я не смог заснуть ; идеи возникали во множестве ; мне казалось , ч то я чувствую , как они сталкиваются между собой , пока , наконец , две из них , как бы сцепившись друг с другом , не образовали устойчиво г о соединения . Наутро я установил существование класса функций Фукса , а именно тех , которые получаются из гипергеометрического ряда ; мне оставалось лишь сформулировать результаты , что отняло у меня лишь несколько часов ." Далее он подробно описывает свои да льнейшие размышления над развитием теории фуксовых функций , и каждый новы й шаг характеризуется тем толчком , или озарением , а затем кропотл ивой работой по записи и логическому оформлению результатов. Бертран Рассел отмечал , что иногда его попытки протолкну ть силой воли ход творческой работы оказывались бесплод ными , и он убеждался в необходимости терпеливо ожидать подсознательн ого вызревания идей , что было результатом напряженных размышлений . " Когда я работаю над книгой, --- писал он , --- я вижу ее во сне по чти каждую ночь . Не знаю, возникают ли при этом новые идеи и ли оживляются старые , зачастую я вижу целые страницы и могу во сне проче сть их ."\footnote Цит . по "Интуиция и научное творчество ". Аналитический сборни к ИНИОН . М .,1981. С .17 Примеров тому можно привести много , и , конечно же , не только из области математики . Здесь вспоминается и Эйнштейн , и химик Кекуле , которому приснилась формула бензола , и Менделеев , которому приснилась его таблица. Но все изложенное выше демонстрирует п о крайней мере еще две черты, свойственные интуиции : внезапность и неосо знанность . Решение проблемы в этих примерах приходило всегда неожиданно , случайно , и казалось бы , в неподходящих для творчества условиях , так или иначе непохожих на условия целенаправленного научного поиск а. Интуитивное видение совершается не только случайно , но и без явной осознанности путей и средств , приводящих к данному результату . Причем иногда неосознанным остается и результат , а самой интуиции при таком исходе ее действия уготована лишь учас ть возмо жности , не становящейся действительностью . Человек может вообще не сохранить никаких воспоминаний о моменте озарения . Одно замечательное наблюдение было сделано американским математиком Леонардом Юджином Диксоном . Его мать и ее сестра , которые в школе были соперницами по геометрии , провели долгий и бесплодный вечер над решением какой-то задачи . Ночью матери приснилась эта задача , и она стала решать ее вслух громким и ясным голосом . Ее сестра , услышав это , встала и записала . На следующее утро в ее руках было правильное решение , неизвестное матери Диксона\ footnote Налчаджян А.А . "Некоторые психологические и философские проблемы интуитивного познания (интуиция в процессе научного творчества )". М .,1972. . Аналогичный пример , правда , не прин адлежащий области мат ематики , можно привести и с Владимиром Маяковским . По его словам , у него никак не складывались нужные стро чки , отражающие его чувства и обстановку в Петрограде времен гражданско й войны . Он промучился весь вечер и лег спать . Во сне ему п риснились наконец ну жные строчки , он вскочил и записал их на спичечном коробке , валявшемся на столе . С утра он очень долго не мог вспомнить , от куда они взялись. Таким образом , интуитивной способности чел овека свойственны следующие особенности : 1) неожиданность решения задач и ; 2) неосознанность путей и средств ее р ешения ; 3) непосредственность постижения истины на сущностном уровне объекта. С чем же связана такая быстрота и эффективность интуиции ? Рассмотрим вопрос с психофизиологической точки зрени я . Опыты показали , что три компонента речи --- понятийный , вербализационный и моторный --- локализуются относительно самостоятельно . Оцен ивая эти данные в плане интуиции , А.А.Налчаджян пишет :" Если принять эту схему , то можно заключить , что вполне возможно мышление бессловесное, с отсутствием или слабым моторным сопровождением . А это не что иное , как подсознательное или же осознанное , но образное мышление . Отсюда можно также заключить , что творческое мышление , процесс подсознательной инкубации , по всей вероятности , связано с отно сительно самостоятельной активностью идеационной части локализованных следов памяти . Каким образом конкретно осуществляется образование следов памяти и как достигается физиологически эта относительная самостоятельность регистрации различных компонентов , им ев ших языковое выражение и воспринятых слухом содержаний , нам пока что неизвестно . Вполне возможно , что это осуществляется вовлечени ем одних и тех же нервных клеток в различные многоклеточные узоры ." \footnote Налчаджян А.А . "Некоторые психологические и фи лософские проблемы интуитивного познания (интуиция в процессе научного творчества )". М .,1972. C.149 . Он приводит убедительные доводы в подтверждение того положения , что после прекращения сознатель ного анализа научной проблемы процесс ее решения продолжает ся в подсознательной сфере , что соответствующие электро-физиологические процессы также не прекращаются, а преобразуются , продолжают протекать , но лишь с измененными характеристиками. Поражает внезапность этого озарения , что , по всей видимости, свидетельст вует о длительной бессознат ельной работе . Это проявляется не только в таких ярких случаях , которые приведены выше , но и в житейской, повседневной жизни . Часто , когда раздумывае шь над какой-то задачей и кажется , что ты в тупике и мысль пошла по кругу , то во лей-неволей идеш ь отдыхать или отвлекаешься от задачи ка ким-то другим способом . Через некоторое время садишься за стол , прох одит еще час или около того , и вдруг в голове возникает решение . Можн о подумать , что сознательная работа стала эффективнее от того , что кле тки мозга получили отдых , к ним вернулась сила и свежесть . Но скорее всего от дых был занят подсознательной работой, и именно ее результаты сказались на том , что возникло решение . Иначе говоря , поскольку интуитивная работа мышле ния происходит в подсо знательной сфере , продолжается даже при "отключенности " субъекта от проблемы , то можно сделать вывод , что подобное временное отключение может оказаться полезным. Ж . Адамар , например , советовал после пер вой серьезной работы над проблемой откладывать ее реше ние на некоторо е время и заниматься другими проблемами . Ученый , по его словам , может параллельно работать над несколькими проблемами , время от времени переходя от одной к другой для активизации подсознательных механизмов мышлен ия . Хорошим дополнением к это й рекомендации может быть совет известного венгерского ученого и популяризатора математики , человека , организова вшего систему математических олимпиад для школьников Д . Пойа из его книги " Как решать задачу ": лучше не откладывать в сторону нерешенную за дачу без чувства хотя бы небольшого успеха ; хоть какая-нибудь маленькая деталь должна быть улажена ; нужно уяснить себе какую-нибудь сторону вопроса к моменту , когда мы прекращаем работать над решением. Кроме того , бессознательная работа возможн а или по крайне й мере плодотворна лишь в том случае , если ей предшест вует и за нею следует период сознательной работы . Никогда эти внезапные внушения не происходят иначе, как после некоторого времени волевых у силий , казалось бы , совершенно бесплодных . Но эти усилия стиму лиру ют , запускают машину бессознательного поиска и дают ей направление . Необходи мость второго периода сознательной работы тем более очевидна . Надо пустить в действие результаты вдохновения , привести их в логически стройный порядок, провести доказательства и прежде всег о проверить интуитивные догадки . К сожалению , они не всегда бывают правил ьными и достоверными . Случается , что интуиция обманывает человека. Можно сделать вывод , что к общим ус ловиям формирования интуиции относятся следующие\ footnote Алексеев П.В., Панин А.В . Философия : Учебник для ВУЗ ов --- М .:ТЕИС , 1996. C.242 : 1) основательная профессиональная подготовка человека , хорошее владение материалом , глубокое знание проблемы или задачи ; 2) поисковая ситуация , состояние проблемности ; 3) наличие у субъекта поисковой домин анты на основе непрерывных попыток решить проблему , длительные напряженные ус илия при решению проблемы ; 4) наличие "подсказки ". Под "подсказкой " понимается некий факт внешнего мира , напрямую не связанный с решаемой проблемой , н о наталкиваю щий субъекта на некие ассоциации, которые могут , в свою очередь , определи ть некий бессознательный выбор того или иного решения . Это может быть л юбой предмет . Классический пример "подсказки " --- яблоко , упавшее на голову Ньютону . На мой взгляд, хотя доказать свое утверждение я не могу, наличие подобной "подсказки " вовсе необязат ельно , и оно лишь иногда подталкивает подсознание не к правильному решению , которое уже выбрано на основе каких-либо принципов , о которых пойдет речь в следующей части , а подталкивает только выход этого решения из области подсознательного в область сознательного. Другое дело , если подсказка является с ущественной и исходит из той же области знаний , что и решаемая проблем а . На таких подсказках построен процесс обучения матем атике у тала нтливых педагогов . Ни один из них не рассказывает детям доказательства тех или иных фактов . Они основывают все на некоторых ключевых задачах , которые дети сами решают с помощью умело выстроенных подсказок , которые не ведут к решению задачи на п рямую , а подсказывают некие ассоциации с идеями решения и освобождают ум от шаблонов . К сожалению , в процессе позна ния никто заранее не может составить подобную систему подсказок , так как ее можно составить , только глубоко чувствуя ход и идеи доказательств а . Если в процессе обучения у учеников возникает как бы наведенная , запланированн ая преподавателем интуиция , то в процессе математического творчества она я вляется самопроизвольной. \ begin center \ bf Красота доказательства как критерий его правильности \ end center В процессе бессознательной деятельности з агадочно ускоряется сам ход мышления, наблюдается возможность переработки на бе ссознательном уровне $10^9$ бит информации в секунду , а на сознательном --- только 100 бит.\ footnote Алексеев П.В., Пан ин А.В . Философия : Учебник для ВУЗов --- М .:ТЕИС , 1996. C.242 . Все это является важной предпосылкой д ля развертывания быстрых мыслительных процессов , для оперирования о громной по своему объему информацией в подсознательной сфере . Подсо знание способно пров одить за короткое время огромную работу , которая не под силу сознанию за тот же короткий срок. Иначе говоря , подсознательное "я " играет в математическом творчестве роль первостепенной важности . Но это п одсознательное "я " считают совершенно автоматическим. Между тем мы видели , что математическая работа не есть простая механическая ра бота , в самом математическом умозаключении заложен акт творчества , мате матическую работу нельзя доверить машине . Ведь дело не в том , чтобы перебирать все комбинации, количество которых превышает все мысл имые пределы , а в том , чтобы сделать выбор между этими комбинациями , причем еще до их рассмотрения, дабы освободить себя от труда создават ь все бессмысленный сочетания . Но правила , руководящие таким априорным выбор ом , очень тонког о , почти неуловимого свойства . Они явственно чувств уются , но плохо поддаются формулировке словами . Поэтому невозможно п редставить себе некий механизм , который мог бы отсеивать вар ианты или целые направления априорно , до их построения и проверки. В таком с лучае представляется прав доподобной следующая гипотеза : "я " подсознательное нисколько не ниже , чем "я " сознательное , оно не имеет механического характера , а способно к распознаванию , обладает той самой математической интуицией , о которой говори лось выше . П ричем надо заметить , что зачастую оно справляется лучше , чем "я " сознательное , ему удается то , что в сознательном состоян ии оказывается недоступным . Верно ли , что подсознательное "я " является чем- то высшим , чем "я " сознательное ? По всей видимости , это все -таки не так . Так как подсознание действует эффективнее в плане объема информации , то оно может построить гораздо больше комбинаций , чем человек это дел ает в сознательном состоянии.Тем не менее , это число ограничено . Заметим также , что при проявлении интуи ции внутреннему взору человека предстает одна , и только одна комбинация, которая зачастую оказывается правильной . П олучается , что подсознание проводит выбор два раза --- когда априорн о выбирает те комбинации , которые будут построены , и когда из построенны х комбинаций выбирается та одна, которой и удается переступить порог со знания . Если бы первый выбор был случаен , то с очень маленькой вероятно стью среди произвольных комбинаций возникала бы правильная , гармоничная . Тем более не случаен второй выбор, так как он выбирает уже среди подходящих комбинаций наилучшую , а не произвольную . Но на основе каких принц ипов происходит этот выбор ? По всей видимости , первый выбор обусло влен как раз той предварительной сознательной работы , и именно в этом заключается ее роль . Математик начинает перебирать не произвольные возможные вари анты и пути решения , а совершает перебор именно в том направлении , где он ждет найти правильное решение. Выбор этого направления обусловлен опытом предыдущих решений . Если в этом направлении не находится необход имое решение , то мысль расширяет область поиска , уходит в сторону , но тем не менее имеется некоторый стержень , который позволяет априори отбрас ывать бесплодные комбинации. Таким образом , начальный период сознательн ой работы создает то нап равление , в котором начинает раб оту подсознание . В силу своей большей производительности оно имеет возможность охватить те области , которые сознание не успевает охватить в силу нехватки времени , усталости или других факторов. Но по какому принципу осущес твля ется выбор одной-единственной комбинации среди многих построенных ? Каков критерий прорыва этой версии в сознание или эта версия выбирается слу чайным образом ? Очевидно , нет , так как если бы дело обстояло именно так , то , учитывая примерный объем провере нных комбинаций (а его легко вычислить на основе цифр , характеризующих производительность подсо знания ), и считая , что версии выбираются с одинаковой вероятност ью , мы получим , что интуиция должна обманывать нас с вероятностью , близкой к единице . Тем не мене е , вс е совсем не так , и чем талантливее уч еный , тем больше можно доверять его интуиции , тем реже она обманывает. Второй этап выбора , по всей видимости , подчиняется общему закону человеческого восприятия . Среди всех раздр ажителей наших чувств наше внимание остановится только на самых интенсивных воздействиях , причем чем сильнее раздражитель , тем большую часть внимания он забирает . Недаром при сильном горе человек забывает обо всем , даже о еде . Здесь действует аналогичный механизм , только сигнал воспри нимают не органы слуха , зрения, обоняния и т.д ., а нечто другое , что можно назвать математической интуицией . Именно это может объяснить и тот факт , что ученые часто бывают рассеянными , но в то же врем я в своей области проявляют незаурядную память . Дело в том, что для на их интуицию интеллектуальный раздражитель действует с такой огромной силой , что забирает большую часть внимания, а внешние раздражители оказываются второс тепенными , более слабыми. Каждый математик не раз сталкивался с ситуацией , когда доказате льство некого факта вызывает чувство глубокого эстетического наслаждения , сродни наслаждению от искусства . При этом дру гой человек , понимая и видя то же самое доказательство , не может понять , как оно может вообще вызывать какие-то эмоции . Иначе говоря , он н е может отличить то , что математики называют красивым доказательством , от того , что математики называют техническим доказательством , или доказательств ом "в лоб ", "муторным " или "тупым " доказательством , доказательством , "где надо только работать руками ". Кроме этих , существует еще множество эпитетов . То есть математик способен получать чувство эстет ического наслаждения от самих рассуждений . Понятно , что эта способность , как и способность , например, к музыке и к наслаждению музыкой , н е может относится ко вс ем . Но если музыке радуются те , кто имеет слух (имеются в виду , конечно, музыкальные способности , а не просто о тсутствие глухоты ), то в математике дело обстоит точно так же , и математикой имеют счастье наслаждаться те , кто в какой-нибудь мер е наделен матем атической интуицией. Что же именно кажется прекрасным и изящным в математических предметах и доказательствах ? Это те конструкции , элемен ты которых расположены настолько гармонично , что ум без труда может охватить всю картину и не упустить деталей , причем эта гармония сложена из далеких , казалось бы, друг от друга элементов . Иначе говоря , изящным рассуждением в математике будет считаться то , которое позволяет за сложностью задачи увидеть гармонию различных ее частей . Эта картина не только удовлетворяет эсте тические потребности , но и позволяет легко ее запомнить , так как она как бы сама руководит умом . И в то же время, давая чувство правильно расположенного це лого , она дает предчувствие математического закона . А единственными за служивающими внимания математич ескими фактами служат как раз те , которые могут привести к открытию нового закона . Иногда новый з акон получался вследствие того, что был замечен некоторый КРАСИВЫЙ фак т , а затем математики пытались выяснить , что же скрывается за этим фактом или наблюдением , и примеров тому в математике множество . Таким обр азом , наиболее полезными оказываются как раз те комбинации , кот орые кажутся изящными с математической точки зрения. Теперь представим себе , что подсознание перебирает множество комбинаций , и чем комбинац ия изящней и чем бо лее развито математическое чувство эстетики, тем большее влияние окажет комбинация на внимание человека . Некоторые из вариантов оказываются столь гармоничны ми и прекрасными , что очень сильно воздействовуют на эту специальную восприимчиво сть математика , и это позволит им перешагнуть порог созн ания. Это подтверждается так же и тем фактом , что те интуитивные гипотез ы , которые не выдерживают логической проверки , тем не менее в полной мере обладают гармонией . В этом случае часто говорят :"Жаль , ч то это неверно ." Эта фраза означает не то , что математику жалко потраченно го на проверку неправильной гипотезы времени , а именно то , что если бы это интуитивное утверждение было бы верным , то оно удовлетворяло бы эстетическому чувству этого человека . О тсюда можно получить , что это тонкое чувство математической эстетики и является содержанием математич еской интуиции , и человек, лишенный этого чувства , не имеет возмо жности стать творцом в области математики. \ begin center \ bf Роль логики при проверке интуитивных гипотез \ end center После периода бессознательной работы мозг а обязательно должен следовать период сознательного труда . Чем же это вызвано ? Исследователи отмечают, что интуитивная способность образовалась , по-видимому , в результате длительно го развития живых организмов вследствие необходимости принимать решения при неполной информации о собы тиях , и способность интуитивно познавать можно расценивать как вероятнос тный ответ на вероятностные условия среды . \footnote Алексеев П.В ., Панин А.В . Фи лософия : Учебник для ВУЗов. С . 246 Так как ученому для совершения открытия даны не все посылки и средства , то он осуществляет именно ве роятностный выбор на основе интуиции . Получается , что интуиция носит вероятностный характер , и для человека это означает , что на осно ве интуиции есть возможность получить как истинное знание , так и ошибочное. "Интуиции бывает достаточно для усмотрен ия истины , но ее недостаточно, чтобы убедить в этой истине других и самого себя . Для этого необходимо доказательство ."\ footnote Философский энциклопеди ческий словарь. М .,1989. С .222 А само доказательство должно быть проведено на строгом логическом уровне , и без этого доказат ельства никто не сможет оценить правильность интуитивной гипотезы . Надо за метить , что вдохновение и интуицию сопровождает чувство абсолютной достоверности , и тем труднее заставить себя провести строгое доказател ьство . Это кажется скучным и ненужным , и только воспоминание об обм анах интуиции заставляют проделывать эту работу . Хотя , возможно , я говорю с точки зрения геометрического мышления , потому что на этом этапе наступает та часть , в которой именно аналитики-логики чувствуют себя как рыба в воде и могут довольно продолжительное время тратить на обоснование всех мелочей. Другое замечание . Никогда не б ывает так , чтобы бессознательная работа доставила вполне готовым результат скольк о-нибудь продолжительного вычисления , состоящего только в многократн ом применении простых правил. Казалось бы , если наше подсознание раб отает механически , то уж к такой работе , которую выполнит любая машина , оно должно быть способно . Но сколько ни думай с веч ера о каком-либо интеграле , к утру не получишь его первообразную . Или еще бо лее механическая работа состоит в проверке того , что производная данной первообразной является и нтегральной функцией . Здесь та же ситуация , сколько ни размышляй об этом , достоверного ответа с помощью интуиции не получишь , а если первообразная хоть сколько-нибудь сложна , то не получишь в ообще никакого ответа . Все придется проверять либо вручную , либо с пом ощью специальных программ. Иначе говоря , от интуитивных внушений приходится ждать не ответа , а только исходной точки для подобных вычислений , а сами вычисления приходится проводить во время второго периода соз нательной деятельности . Именно в этот пер иод проверятся интуитивные идеи и делаются из них выводы . Этот процесс происходит на основе современной логики , поэтому он достаточно сложен и требует дисциплины , повышенного внимания , участия воли , а следовательно , может происходить только пр и участии соз нания . Если перерыв в работе требовался для того , чтобы освободить внимание и позволить подсознанию отвлечь на себя ресурсы мо зга , создать некоторую свободу для составления различных комбинаций , то тепер ь вся работа должна направлена на обоснование одной-е динственной комби нации , и все сосредоточено именно на одной точке , а это уже может произо йти только при включенном сознании. В этом периоде математического творчества опять должна превалировать работа аналитическо-логического мышления , и это даже более важ но , чем в первом периоде , где абсолютная строгость не обязательна , и , даже более того , не может быть достигнута. \ begin center \ bf Заключение \ end center Говоря о двух различных типах математи ческого мышления , можно заметить, что первый геометрически й тип можн о назвать также интуитивным типом. Эти математики обладают чувственной интуи цией , которая позволяет им наглядно представлять те объекты , которые получены путем комбинирования других абстрактных объектов . Эта чувственн ая интуиция в сочетании с мат ематической интуицией , дает возможно сть "видеть " математическое пространство , оттого этот тип изначально более тяготел к геометрии. Кроме того , этот тип мышления более полезен при выдвижении гипотез, каких-то общих положений , потому что пр и таком способе м ышления легче подняться над частностями и обозреть о бщее . Иначе говоря, геометрическому типу мышления более свойс твенна индукция . К сожалению, "большое видится на расстоянии ", но пр и этом ускользают детали . Иначе говоря , математики этого типа получают наиб ольшее эстетическоле наслаждение от наглядного доказательства , допускающего какие-то другие интерпретации в других , неожиданных област ях , то есть от гармонии "содержания ". Их более интересует сама идея , чем ее реализация. Второму аналитическому типу более сво йственна интуиция числа , формы, что при работе выражается в чувстве удовлетворенности от стройности и системности изложения решения . Этому типу мышления более свойственна дедукция . Иначе говоря , чувство эстетического наслаждения они получают от заверш енности и полной доказанности утверждений , от гармонии "связи ", то есть следования все м логическим законам и неизбыточности содержания . При этом все не упускаются из виду все мелкие детали , но общая идея может быть упущена , если при ее доказательстве логик задержится на пе рвом или втором шаге , и в дальнейшем сочтет невыполнимой всю идею . На самом деле , этот тип мышления более полезен при проверке и строгом оформлении гипотез и идей , выдвинутых заранее . Он делает то , в чем затрудняется человек геометрическо го стиля мышления . Он способен длительно концентрировать внимание на кропотливой работе , в то время как человек , руководимый интуицией , предпочитает работать на подсоз нательном уровне , и в силу этого не любит концентрировать внимание на монотонных деталях. Надо заметить , что оба стиля одинаково необходимы в математике и присутствовали , по всей видимости , всегда . Победа какого-то стиля оказывалась временной и даже вредной . Математика может развиваться только при условии единства интуитивного и логического, и в каждом математике присутствуют в той или иной мере оба направления . Но именно преобладание одного из направлений эстети чекого чувства делает мышление ученого принадлежащим к какому-то типу . При этом невозможно представить математика , имеющего чисто ге ометрическ ий или аналитический стиль мышления . Ведь даже интуиция может быт ь основана только на логике , и без первого этапа сознательной ЛОГИЧЕСКОЙ деятельности не состоится акт интиуции , в то же время чистый логи к не смог бы ничего творить в силу отсутст вия в его выкладках творчес кой силы , без которой они сводятся к тавтологии . Единство логического и интуити вного --- единственный путь развития математики и любой другой нау ки. \ newpage \ begin center \ bf Список литературы \ end center 1. Алексеев П. В ., Панин А.В . Филосо фия : Учебник для ВУЗов --- М .:ТЕИС, 1996. 2. Налчаджян А.А . Некоторые психологические и философские проблемы интуитивного познания (интуиция в процес се научного творчества ).--- М . : Мысль , 1972 (глава 2: Проблема интуитивного "оз арения " в научном творчестве , с .60--86) 3. Философия / Под ред . проф . В.Н . Лаврине нко .--- М . : "Юристъ ", 1996. 4. Философский словарь / Под ред . И.Т . Фр олова . --- 6-е изд ., перераб . и доп .--- М . : Политиздат , 1991. 5. Философский энциклопедический слов арь / Гл . ред . Л.Ф . Ильичев и др. --- М . : Советская энциклопедия , 1983. 6. Анри Пуанкаре . О науке : Пер с фр анц .--- М . : Наука . Главная редакция физико-математической литературы , 1983. 7. Д . Пойа . Как решать задачу .--- М . : Уч педгиз , 1961. 8. Копнин П.В . Гипотеза и ее роль в познании . --- М . : Знание , 1958. 9. Интуиция и научное творчество . Аналитич еский сборник ИНИОН.--- М ., 1981. 10. Философия и методология науки : Учеб . пособие / Под ред . В.И. Купцова .--- М .: Аспект Пресс , 1996. \ end document
© Рефератбанк, 2002 - 2018