Методы познания

План 1. По знание 2. Методология научного позн ания : а ) наблюдения б ) описания в ) измерения г ) эксперименты 3. Логические методы познания : а ) Анализ и синтез б ) Сравнение и аналоги я в ) Обобщение , абстрагирован ие и конкретизация Список ли тературы : 1. Познане Познание - высшая форма отражения объективной реальности. По знание не существует отдельно от познавательной деятельности отдельны х индивидов, однако последние могут познавать лишь постольку, поскольку овладевают коллективно выработанной, объективизированной системой зн аний, передаваемых от одного поколения к другому. Существуют различные у ровни познания: я чувственное познание я мышление я эмпирическое познание я теоретическое познание. Выделяют также различные формы познания: я познание, направленное на получение знания, неотделим ого от индивидуального субъекта (восприятие, представление) я познание, напр авленное на получение объективизированного знания, существующего вне отдельного индивида (например в виде научных текстов или в форме созданн ых человеком вещей). Объективизированное познание осуществляется коллективным субъектом по законам несводимым к индивидуальному процессу познания, и выступает как часть духовного производства. Различают также такие типы познания как: я обыденное я художественно е я научное естественно-научное общественно-научное 2. Методология научного познания Метод – способ познания , исследования явлений природы и общественной жизни ; прием , способ или образ действия. Методология науки исследует структуру и развитие научного знания , средства и мето ды научного исследован ия , способы обоснов ания его результатов , механизмы и формы ре ализации знания в практике [2, 44-50]. В современной науке вполне успешно ра ботает многоуровневая концепция методологического знания . В этом плане все методы научног о познания могут быть разделен ы на пять основных групп : 1) Философские методы . Сюда относятся : диалектика (античная , немецкая и материалистическая ) и метафизика. 2) Общенаучные подходы и методы исследования. 3) Частно-научные методы. 4) Дисциплинарные методы. 5) Методы меж дисципли нарного исследования. Диалектическим методом мы часто пользуемся . Он исходит из того , что если в объективном мире происходит постоянное возникновение и уничто жение всего , взаимопереходы явлений , то поняти я , категории и другие формы мышления должн ы быть гиб ки , подвижны , взаимосвязаны , едины в противоположностях , чтобы правильно о тразить развивающуюся реальную действительность . Одним из основных принципов диалектического подхода к познанию является признание конкрет ности истины , что предполагает точный учет всех условий , в которых находитс я объект познания , выделение главных , существе нных свойств , связей , тенденций его развития . Принцип конкретности истины требует подходи ть к фактам не с общими формулами и схемами , а с учетом реальных условий , ко н кретной обстановки. Так , например , научными методами эмпиричес кого исследования являются наблюдения , описания , измерения , эксперименты . Определим эти понятия . Наблюдение – целенаправленное восприятие явлений объективной действительности . Описание – фикса ция средствами е стественного или искусственного языка сведений об объекте. Измерение – сравнение объекта по как им-либо сходным свойствам или сторонам. Эксперимент – наблюдение в специально создаваемых и контролируемых условиях , что позволяет восстановить х од явления при повторении условий. Существует шесть видов эксперимента : 1) исследовательс кий ; 2) проверочный ; 3) воспроизводящи й ; 4) изолирующий ; 5) количественный ; 6) физический , химический и др [2, 254-259]. Среди научн ых методов теоретического исс ледования вы деляют : 1) формализацию ; 2) аксиоматически й метод ; 3) гипотетико-дед уктивный метод. Научным исс ледованием широко используются общенаучные метод ы исследования : 1) анализ и синтез ; 2) абстрагировани е ; 3) обобщение ; 4) индукция и дедукция ; 5) аналогия и моделирование ; 6) идеализация ; 7) классификация ; 8) системный подход [1, 251-254]. 3. Логические методы познания К логическим методам познания относятся : анализ , синтез , индукция , дедукция , сравнение , аналогия , абстра-гирование , о бобще ние , конкретизация , классификация и др. · Анализ и синтез · Сравнение и аналоги я · Обоб щение , абст рагирование и конкретизация Анализ и син тез Логические методы познания осо бенно необходимы при отыскании решения задач . Рассмотрим , например , следующую задачу : "Опред елить площадь четырехугольника , диагонали которог о взаимно перпендикулярны и равны 6 и 8 см ". Поиск ее решения целесообразно начать , пользуясь методами анализа и синтеза . В процессе анализа задачи выделяются все е е утверждения : 1) необходимо вычислить площадь ч етырехугольника ; 2) четырехугольник имеет взаимно п ерпендикулярные ди а гонали ; 3) диагонали четырехугольника равны 6 и 8 см . Выделение этих утверждений из "целого " (задачи ) - результат проведения анализа . Анализ направляется вопросами : "Что дано в задаче ?", "Что еще дано в задаче ?", "О чем еще говорится в задач е ?", "Что в за д аче требуется най ти ?". Важно иметь в виду , что при решени и задачи анализ проводится не один раз : возможен повторный анализ , ан ализ с новой целью , с ино й точки зрения и т . п . Так , для выпо лнения чертежа необходим дополнительный анализ , устанавливающий поряд ок использования данн ых задачи для построения чертежа . Выполнение чертежа предполагает уже другой метод по знания - метод синтеза . Ошибки в выполнении чертежа являются поводом для проведения ан ализа с более конкретной целью , т . е . б олее углубленного анализ а . Например , при решении рассматриваемой задачи учащиеся и ногда четырехугольник изображают в виде парал лелограмма . Избежать ошибки в выполнении черт ежа можно , если начать построения не с четырехугольника , а с его диагоналей , изобра жая их произвольными взаи м но перп ендикулярными отрезками . В итоге дополнительного анализа на первый план выдвигается услов ие перпендикулярности диагоналей , которое являетс я основным в отыскании общей идеи решения задачи , необходимых вычислений . Возможны разл ичные решения задачи (в зависимости от того , в каком направле нии будет вестись анализ , на какие треугольники будет разбит данный ч етырехугольник ). Например , нетрудно заметить , что данный четырехугольник состоит из четырех ( или двух ) треугольников и задача тем самым сводится к нах ождению суммы площадей этих треугольников . Анализ - логический прием , метод исследован ия , состоящий в том , что изучаемый объект мысленно (или практически ) расчленяется на составные элементы (признаки , свойства , отношени я ), каждый из которых исследуется в о тдельности как часть расчлененного целого . Синтез - логический прием , с помощью ко торого отдельные элементы соединяются в целое . Очень часто умение мыслить связывают с умением анализировать . Это вполне правомерн о , так как вывод следствий , выражающих но вые свойства изучаемого объекта , очень часто требует анализа того , что уже изв естно о нем . В математике , чаще всего , под анализом понимают рассуждение в "обратном направлении ", т . е . от неизвестного , от того , что необходимо найти , к известному , к тому , чт о уже найдено или д ано , от того , что необходимо доказать , к тому , что уже доказано или принято за истинное . В таком понимании , наиболее важном для обучения , анализ является средством п оиска решения , доказательства , хотя в большинс тве случаев сам по себе ре ш ен ием , доказательством еще не является . Синтез , опираясь на данные , полученные в ходе анализа , дает решение задачи или доказательство теоремы . Анализ лежит в осно ве весьма общего подхода к решению задач (имеется в виду нестандартных задач , для которых нет соответствующего алгоритма ), известного под названием сведения (редукции ) задачи к совокупности подзадач . Идея такого подхода состоит именно в свойственном дл я анализа "размышлении в обратном направлении " от задачи , которую предстоит решить , к подзадачам, затем от этих подзадач к подподзадачам и т . д ., пока исходная з адача не будет сведена к набору элементар ных задач . Что же понимают под "элементарн ыми задачами "? Это , во-первых , задачи , решаемые за один шаг поиска , во-вторых , более слож ные задачи (т . е . н е решаемые за один шаг поиска ), решение которых уже известно из имеющегося опыта решения задач . Из такого понимания элементарной задачи следует , что чем больший опыт решения задач , тем больше задач становятся для нас "элементарными " в упомянутом выше смысл е , а следовательно , тем меньше объем поиска при решении новых задач , их свед ения к элементарным , так как цель поиска состоит в получении элементарных задач , о станавливающих процесс поиска . Подход к решению задач , состоящий в сведении задач к совокупности подзадач , находит широкое применение в практике реше ния не только задач на доказательство . Приведем в качестве примера арифметическу ю задачу для IV класса : "В двух бригадах совхоза участки под зерновые составляли 2000 га и 3000 га соответственно . Первая б ригада собрала по 30 ц , вторая по 26 ц с гект ара . Продано государству 5500 т с первого уча стка и 7000 т со второго . Остальное зерно засыпано в семенной фонд . Сколько зерна за сыпал совхоз в семенной фонд ?" Обычно анализ задачи по существу пред ставляет собо й процесс сведения данной задачи к совокупности подзадач , доведенный до элементарных задач . Здесь элементарной счи тается задача , решаемая с помощью не более одного действия над данными задачи (т . е . элементарной считается и задача , решение которой находит с я среди данных , например : "Сколько зерна продано государству с первого участка ?"). Возможен и иной путь поиска . Построени е самого процесса решения (синтез ) осуществляе тся последовательным решением подзадач в обра тном порядке . Наряду с анализом и синтезом в обучении математике часто используются анало гия , обобщение и конкретизация . Принцип сознательности обучения ориентирует учащихся на осознание путей получения но вых знаний . Это осознание формируется на о снове практики целенаправленного применения мето до в научного познания . Полезным является также краткий методологический комментарий процесса поиска решения математи ческих задач . Сравнение и аналогия Сравнение и аналогия-логические приемы мышления , используемые как в научных исследованиях , так и в обучени и . С помощью сравнения выявляется сходство и различие сравниваемых предметов , т . е . наличие у них общих и необщих (различны х ) свойств . Например , сравнение треугольника и четыре хугольника раскрывает их общие свойства : нали чие сторон , вершин , углов , стольк о же вершин и углов , сколько сторон , а также различие : у треугольника три вершины (сто роны ), у четырехугольника - четыре . Сравнение па раллелограмма и трапеции позволяет выявить их общие свойства : они оба четырехугольники , оба имеют параллельные стороны , - и различие : в одном - две пары параллельных сторон , в другом - одна . Сравнение обыкновенн ых и алгебраических дробей выявляет их сх одство : наличие числителя и знаменателя , отсут ствие значения , когда знаменатель обращается в нуль , и т.д ., - и различие : в од н ом случае числитель и знаменатель - чи сла , в другом - алгебраические выражения . Сравнение приводит к правильному выводу , если выполняются следующие условия : 1) сравниваемые понятия однородны и 2) срав нение осуществляется по таким признакам , кото рые имеют существенное значение . Эти два условия выполняются в приведе нных выше сравнениях : треугольник и четырехуг ольник - однородные понятия (многоугольники ), паралл елограмм и трапеция - четырехугольники , обыкновенны е и алгебраические дроби - выражения . Во вс ех трех случаях сравнение осуществлено по существенным признакам (если , например , вклю чили бы в общие свойства параллелограмма и трапеции тот факт , что они оба обозн ачены одними и теми же буквами АВСД , и ли считали бы различием обозначение их ра зличными буква м и , то это было бы ошибочным подходом к сравнению ). Сравнение подготавливает почву для применения аналогии . С помощью аналогии сходство предметов , в ыявленное в результате их сравнения , распрост раняется на новое свойство (или новые свой ства ). Рассуждение по аналогии имеет следу ющую общую схему : А обладает свойствами А , В , С , Д , В обладает свойствами А , В , С , Вероятно (возможно ) В обладает и свойс твом Д . Как видим , заключение по аналогии явля ется лишь вероятным (правдоподобным ), а не достоверным . Поэтому аналогия , как правило , не является доказательным рассуждением , т . е . рассуждением , которое может служить доказат ельством . ("Как правило " потому , что имеется исключение , связанное с особым видом аналогии , о котором речь пойдет дальше .) Однако в обучении , к а к , впрочем , и в науке , аналогия часто полезна тем , что о на наводит нас на догадки , т . е . служит эвристическим методом . В обучении же мате матике не менее важно , чем учить доказыват ь , это учить догадываться , что именно подл ежит доказательству и как найти эт о доказательство . В приведенном выше разъяснении того , ч то такое аналогия , используется понятие "сходс тво ", которое само нуждается в разъяснении . Когда говорят , например , о сходстве между людьми , между человеком и его изображением на фотоснимке или картине и т . п ., интуитивно понимают , что означает сходство . Но можно ли в таком же смысле гово рить , например , о сходстве между множеством учащихся класса и множеством А = 1,2,3, ..., 30 , или между множеством точек прямой и множеством действительных чисел , или между м ножеством объектов на некотором участке и планом этого участка ? Применение же аналоги и в математическом исследовании , а поэтому и в обучении математике , часто характеризуе тся именно тем , что оно основано на гл убоком , внутреннем "сходстве ", а по сущ е ству на одинаковости структуры множеств предметов различной природы с отношениями , имеющими совершенно различный смысл , при от сутствии всякого внешнего "сходства " (в обычном смысле ) между этими множествами . Это "стру ктурное сходство ", получившее точное ма т ематическое описание с помощью понятия изоморфизма , лежит в основе особого вида аналогии , приводящей в отличие от обычной аналогии к достоверным заключениям . Например , в основе координатного метода лежит идея взаимно однозначного соответствия между множес твом точек прямой (плоскост и или пространства ) и множеством действительн ых чисел (пар или троек чисел ), переводящег о некоторые отношения между точками в отн ошения между числами (парами или тройками чисел ). Это взаимно однозначное соответствие я вляется изо м орфизмом , позволяющим осу ществить однозначный перевод свойств с языка , описывающего структуру множества точек прям ой (плоскости или пространства ), на язык , оп исывающий структуру множества Я (^ или ^), и о братно . Возможность применения аналогии , казалось б ы , к совершенно различным объектам о снована на совпадении математических моделей этих объектов или принадлежности этих моделей к одному классу . Вспомним слова В . И . Ленина : "Единство природы обнаруживается в "поразительной аналоги чности " дифференциальных уравнений , относящихся к разным областям явлений ". Простейшее ди фференциальное уравнение y' = -ky (1) и его решение y = y o e -kt (2) могут описать процесс распада радия (в этом случае формула (2) дает массу у ра дия в момент х , если y - масса радия в момент времени x ), и процесс изменения атмосферного давления в зависимости от высоты х над уровнем океана (в этом случае (2) - барометрическая формула ), и процесс изменения народонаселения (если прирост населения в данный момент пропорционален численности насел ения в этот момент ), и процесс о х лаждения тела при постоянной температуре окружающей среды (поскольку скорость остыван ия тела пропорциональна разности температур т ела и окружающей среды ), и , вообще , всякий процесс показательного роста или спада (при k < 0 или k > 0), характеризующийся те м , что скорость изменения величины пропорциональна самой изменяющейся величине в данный момент , что и выражено в дифференциальном уравне нии (1). Все перечисленные явления и процессы обладают глубоким сходством при всем внешнем различии , выражающемся тем , ч то их математические модели принадлежат одному класс у моделей (1). Это и позволяет переносить по аналогии свойства одного из этих процесс ов на другой (если только эти свойства выводимы из построенной модели ). Часто та или иная последовательность в изучени и учебного материала обосновывае тся возможностью использования аналогии в обу чении . Например , изучение десятичных дробей ра ньше обыкновенных объясняется не только тем , что именно десятичные дроби широко приме няются в практике , но и возможностью испол ьзова н ия при изучении арифметики десятичных дробей аналогии с арифметикой нату ральных чисел . При изучении свойств алгебраич еских дробей можно использовать аналогию с обыкновенными дробями . Аналогия может служить базой для одновременного изучения арифметиче ской и геометрической прогрессий . Однако в установившейся практике обучения математике аналогия используется недостаточно . Иногда высказываются опасения , что с помощь ю аналогии мы можем прийти к ложным з аключениям . Например , исходя из того , что п редложение а | | b и а с b с (1) верно (является теоремой ) и на пл оскости и в пространстве , а обратное предл ожение а || c и b с a с (2) верно на плоскости (является теоремой планиметрии ), по аналогии утверждают , что предл ожение (2) верн о и в пространстве , и приходят , таким образом , к ложному заключению . Надо , однако , помнить , что в этом с лучае заключение по аналогии лишь правдоподоб ия и поэтому подлежит еще доказательству ( или опровержению ). Следует отметить как недостаток , что ( в прак тике обучения ) опровержению мы п очти не учим . Это является и серьезным упущением в общеобразовательном и воспитательн ом отношении , так как в жизни нередко возникает необходимость опровергать . Исходя из истинности предложения (2) на плоскости , необходимо в ыяснить , имеет ли место аналогичное свойство в пространстве . Так как это предложение является общим (кв анторы общности "для любых а , b, c подразумеваются ), то для его опровержения достаточно найт и такие прямые а , b, с , чтобы условие (а c и b с ) выполнялось , а закл ючение а || b) не выполнялось . Мы не должны опасаться возникновения ложных заключений по аналогии . Необходимо лиш ь считать их гипотезами (предположениями ). Ошиб ки , допускаемые в процессе поиска , исследовани я , вполне правомерны , так как чаще всего поиск в едется способом "проб и ошиб ок ". В установившейся практике обучения , как правило , мы не даем учащимся , отвечающим на вопросы учителя , ошибаться . В этом от ражается тот факт , что учебная деятельность учащихся является в основном лишь репродук тивной , а в так о й деятельности ошибки недопустимы . Воспроизводить необходимо б езошибочно . В продуктивной же , творческой деят ельности ошибки неизбежны . Такого рода ошибка ми являются и те , которые появляются в результате применения аналогии в процессе поиска . Они являются с оставной часть ю метода проб и ошибок . Важно , чтобы уч ащиеся в поиске правильных ответов сами м огли находить ошибочность возникающих в этом процессе предположений . Этому , разумеется , над о их учить . Находить сходство , которое могло бы сл ужить источником пло дотворных рассуждений по аналогии , бывает нелегко даже в том случае , когда природа сравниваемых объектов одинакова . Возьмем для примера две геометрические фигуры : треугольник и тетраэдр . В чем со стоит сходство между этими фигурами ? Треуголь ник - плоская ф игура , тетраэдр - пространств енная . Может быть , сходство в том , что грани тетраэдра - треугольники ? Если даже приня ть , что в этом есть какое-то сходство ( а пока не уточнено , что такое "сходство ": можно понимать под этим что угодно ), то вряд ли оно может б ы ть и сточником для рассуждений по аналогии . Более глубокое исследование этих двух объектов позволяет обнаружить такое структурное сходств о , которое является источником аналогии , ведущ ей к открытиям . Действительно , треугольник и тетраэдр - ограниченные выпу к лые мно жества точек . .Первое образовано минимальным ч ислом прямых на плоскости (нет многоугольника с меньшим , чем три , числом сторон ), вто рое - минимальным числом плоскостей в простран стве . Отсюда , разумеется , не следует , что вс е свойства этих фигур одина к овы . Но если мы уже изучили свойства треуго льника и приступаем к изучению свойств те траэдра , то установленное сходство в одних свойствах дает нам право предполагать (толь ко предполагать ), что и некоторые другие с войства треугольника "переводятся " аналогич н ым образом в свойства тетраэдра . Так , например , исходя из установленного сходства и из того , что "в треугольнике биссект рисы углов пересекаются в одной точке и эта точка - центр вписанной окружности ", мы приходим к предположению , что "в тетраэдре биссекто р ные плоскости двугранных углов пересекаются в одной точке и эта точка - центр вписанной сферы ", и т . д . Мы открываем новые свойства тетраэдра , расс уждая по аналогии . Эти свойства , разумеется , подлежат доказательству . Другой пример . Параллелепипед - простр а нственный аналог параллелограмма : в параллелограм ме противоположные стороны параллельны , в пар аллелепипеде противоположные грани параллельны . Р ассуждая по аналогии , можно прийти к гипот езе , что в параллелепипеде , так же как и в параллелограмме , диагонали, пересекаясь , делятся точкой пересечения пополам . Но е сли видеть только сходство и не замечать различия , в частности , что в параллелогра мме всего две диагонали , а в параллелепипе де - четыре , то мы упустим важное свойство , подлежащее доказательству , а имен н о , что все диагонали параллелепипеда п ересекаются в одной точке . Как видим ,. прим енению аналогии должно предшествовать сравнение , с помощью которого выявляется как сходст во , так и различие . Сфера - пространственный аналог окружности . Эти две фигуры опреде ляются как мн ожества точек плоскости и пространства соотве тственно , характеризуемые одним и тем же с войством : X || OX| = r (множество всех точек плоскости (простра нства ), расстояние которых от данной точки О равно данному числу r). Это наводит на догад ку , что сф ера обладает некоторыми свойствами , аналогичными свойствам окружности . Например , что свойства взаимного расположения прямой и окружности переводятся в свойства взаимного расположени я плоскости и сферы : 1) Если расстояние от центра сферы до плоск о сти боль ше радиуса сферы , то плоскость и сфера не имеют общих точек . 2) Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиус у сферы , то плоскость и сфера имеют од ну и только одну общую точку . 3) Если ра сстояние от центра сферы до плоскости мен ьше рад и уса сферы , то плоскость и сфера пересекаются по окружности (т . е . имеют бесконечное множество общих точек , лежащих на окружности ). Как видно , лишь в третьем случае проявляется различие между окружностью и сферой , которое должно учитыв аться при формулировк е аналогичных свойств . Свойство касательной плоскости тоже может быть найдено с помощью аналогии . Обобщение , абстр агирование и конкретизация Обобщение и абстрагирование - дв а логических приема , применяемые почти всегда совместно в процессе познания . Обобщ ение - это мысленное выделение , фиксирование каких-ни-будь общих существенных с войств , принадлежащих только данному классу п редметов или отношений . Абстрагирование - это м ысленное отвлечение , отделение общих , существенных свойств , выделенных в результате о бобщения , от прочих несущественных или необщих свойств рассматриваемых предметов или отношений и отбрасывание (в рамках нашего изучения ) последних . Когда мы говорим "несущественные свойства ", то имеется в виду несущественные с м атематической точки зрения. Один и тот же предмет может изучаться , например , и физикой , и математикой . Для физики существенны одни его свойства (твердость , теплопроводимос ть , электропроводимость и другие физические с войства ), для математики эти свойства несущест венны , она изучает л и шь форму , размеры , расположение предмета . Из приведенного краткого разъяснения видн о , что абстрагирование не может осуществлятьс я без обобщения , без выделения того общего , существенного , что подлежит абстрагированию . Обобщение и абстрагирование неизменно применяются в процессе формирования понятий , при переход от представлений к понятиям и , вместе с индукцией , как эвристический метод . Под обобщением понимают также переход от единичного к общему , от менее общего к более общему . Под конкретизацией понимаю т обратный переход - от более общего к менее обще му , от общего к единичному . Если обобщение используется при формирова нии понятий , то конкретизация используется пр и описании конкретных ситуаций с помощью сформированных ранее понятий . Уточним переход от е диничного к общему , от менее общего к более общему и обратный переход . Например , формирование понятия "квадрат " на раннем этапе обучения начинается показом множества предметов , отличающихся друг от д руга формой , размерами , окраской , материалом , из которог о они сделаны . Дети , после того как им показывают на одну из эти х фигур и говорят , что это квадрат , без ошибочно отбирают из множества фигур все те , которые имеют такую же форму , пренебре гая различиями , касающимися размеров , окраски , материала . Здесь выдел е ние из множ ества предметов подмножества производится по одному еще недостаточно проанализированному приз наку - по форме . Дети еще не знают свой ств квадрата , они распознают его только по форме . Такое распознавание встречается у детей 4-5 лет . Дальнейшая ра б ота по формированию понятия квадрата состоит в анализе этой формы с целью выявления ее свойств . Учащимся предлагается путем наблюдения найти , что есть общего у всех отобран ных фигур , имеющих форму квадрата , чем они отличаются от остальных . Устанавливается, что у всех квадратов 4 вершины и 4 сторон ы . Но у некоторых фигур , которые мы не отнесли к квадратам , тоже 4 вершины и 4 стороны . Оказывается , у квадрата все стороны равны и все углы прямые . Все отобранные фигуры , обладающие этими свойствами , мы о бъединяе м в один класс - квадраты (переход от единичного к общему ). В дальнейшем обучении этот класс вклю чается в более широкий класс прямоугольников (переход от общего к более общему ). Пр и этом переходе к более широкому классу происходит сужение характеристики кл асса , одно из свойств , характеризующих класс квад ратов (равенство всех сторон ), опускается . Так , если множество свойств , характеризующ их класс предметов А , обозначить через S(А ) (в традиционной формальной логике А назы вается объемом понятия , а S(А )-содерж ани ем понятия ), то имеет место следующее соот ношение : если А В , то S(В ) S(A). Обратный переход от более общего к менее общему , или выделение некоторого подк ласса А класса В , осуществляется с помощью некоторого свойства , которым обладают некото рые элементы В , другие же не облад ают им . Те элементы В , которые обладают этим новым свойством и образуют подкласс А класса В . Присоединив это новое свойство Р к множеству свойств , характеризующих класс В , получаем множество свойств , характеризующих подкл асс А , т . е . S(В ) Р = S(A), или S(В ) S(А ). В нашем примере , если к содержанию понятия "прямоугольник " (к множеству свойств , характеризующих класс прямоугольников ) добавить н овое свойство (равенство всех сторон ), мы п олучим содержание поня тия "квадрат " (множес тво свойств , характеризующих класс квадратов ). В математике обобщение и абстрагирование часто связаны с заменой постоянных перем енными (в переходе от записи отдельных фак тов к записи общих закономерностей ), а кон кретизация - с подстан овкой вместо перемен ных их значений (в обратном переходе ). Рассмотрим с точки зрения использования обобщения и абстрагирования открытие закона коммутативности сложения , который ранее мы изучили в ином аспекте . Исходным эмпирическим материалом здесь сл ужа т непересекающиеся множества А и В конкретных предметов (карандашей и ручек или черных и красных палочек ). Легко обнар уживается опытным путем , что , присоединяя к множеству А множество В или , наоборот , к множеству В множество А , получаем одно и то же множе с тво . Варьируя число элементов этих множеств , получаем ряд конкретных равенств : 2+3==3+2; 5+7==7+5; 4+8=8+4 и т . п. Внимательно присматриваемся к этим равенс твам с целью выявления содержащегося в ни х общего и отделения его от частного содержания . Замечаем : в левой части ка ждого из этих равенств записана сумма дву х чисел , в правой - сумма этих же чисел , но записанных в другом порядке . Как ж е сохранить только это общее , отвлекаясь о т конкретных чисел , входящих в эти равенст ва ? Если просто отбросить эти числа , мы получим форму с "пустыми местами ": "... + ... = ... + ...", которая не отражает выявленной общей закономерности , так как не отмечено , какие пустые места должны заполняться одними и теми же названиями чисел . Чтобы устранить этот недостаток полученной формы , изображают пустые места , которые должны заполняться именами одних и тех же чисел , в виде пустых "окошек " одинаковой формы . В результа те получаем : " x + о = о + x ". В дальнейшем разъясняется , что в матем атике для большего удобства вместо пустых "о кошек " различной формы применяются раз личные буквы и получается , например , а + b = b + а или х +у == у +х . Эти буквы , играющие роль пустых мест , и называются переменными , а числа , имена которых можно поставить вместо этих букв , - их значениями . Как видно, обобщение и абстрагирован ие привело к открытию закона коммутативности сложения и одновременно к важному поняти ю переменной . Переходом от имен конкретных чисел к числовым переменным и осуществляет ся обобщение и абстрагирование . Конкретизация основана на и звестном правиле вывода называемом правилом конкретизации . Смысл этого правила интуитивно ясен : и з того , что свойством Р обладают все э лементы некоторого множества , .следует , что эти м свойством обладает произвольный элемент а этого множеств а . Применяя , например , з акон ассоциативности сложения (*) к устному вычислению суммы 7+(93+15), мы прим еняем (неявно ) правило конкретизации : мысленно мы отбрасываем в записи закона ассоциативност и кванторы общности , подставляем вместо перем енных х , у , z постоянные "7", "93" и "15" соответстве нно и получаем равенство 7 + (93 + 15) = (7 +93) +15, следующее из (*) по правилу конкретизации . Как видно , с помощью этого правила мы осуществляем переход от общего к ед иничному . Обобщение , абстрагирование и конкретизац ия находят широкое применение в специальных методах обучения математике , о которых ре чь пойдет дальше . Если некоторая реальная ситуация или связанная с нею задача приводит к еще не изученной математической модели , то прих одится исследовать но вый класс моделей . Для осуществления перехода от конкретной модели к классу моделей такого типа используется обобщение и абстрагирование . Примене ние же результатов исследования к конкретной модели этого класса предполагает использован ие конкретизации . На пример , пусть некоторая задача о писывается с помощью квадратного уравнения 2x - 9х + 2 = 0, (1) когда учащиеся еще не умеют решать подобные урав нения . Это является стимулом для изучения со ответствующего класса уравнений (моделей ) а x + bх + с = 0. (2) Переход от конкретной модели (1) к к лассу моделей (2), т . е . от единичного к общему , осуществляется заменой коэффициентов , представляющих собой имена чисел , числовыми переменными . После исследования этого класса моделей (построения алгоритма для решения любого уравнения этого класса ) с помо щью конк ретизации (подстановки в формуле корней вмест о а , b, с конкретных коэффициентов ) решаем ис ходное и другие уравнения этого класса . Процесс - абстрагирования в математике во многом отличается от аналогичного процесса в других науках , поскольку способ ы абстрагирования зависят от природа изучаемых объектов , характера и целей их изучения . Поэтому естественно , что характеристические ос обенности абстрагирования в математике неизбежно должны находить некоторое отражение и в методах обучения математике . Наи более распространенные в математик е виды абстракций - обобщающая абстракция (или абстракция отождествления ), идеализация и раз личные абстракции осуществимости - используются и в школьном обучении математике . Однако ме тодически формирование этих абстракций не разработано . Поэтому часто эти и другие математические абстракции вызывают серь езные затруднения , с ними связаны и многие допускаемые учащимися ошибки . Основой абстракции отождествления является отношение эквивалентности . При установлении отн ошения экв ивалентности в исследуемом множ естве объектов эквивалентные объекты отождествля ются по какому-нибудь свойству , которое абстра гируется от остальных свойств этих объектов и становится самостоятельным абстрактным пон ятием , находящимся на более высокой ступен и абстракции , чем объекты , от кот орых оно было абстрагировано . Так , отношение равночисленности множеств объединяет в один класс все конечные множ ества , между которыми можно установить взаимн о однозначное соответствие (эквивалентные множест ва ). От множеств, принадлежащих одному и тому же классу эквивалентности , абстрагирует ся их общее свойство , характеризующее этот класс . Это свойство и является самостоятель ным понятием натурального числа , выражающего численность множеств (одна и та же для каждого множества ) из данного кла сса . Так формировалось понятие натурального чи сла в длительном историческом процессе , так оно формируется и в обучении дошкольников и младших школьников . Не надо думать , что усвоение детьми последовательности числительных-один , два , три , . .., десять , ... - является признаком сформированно сти у них понятия натурального числа . Форм ирование этого понятия у детей в какой-то мере имитирует исторический процесс формиров ания понятия натурального числа . Мы должны предоставить детям возможность сра внивать множества различных предметов по их численности , обнаруживать , что межд у некоторыми множествами удается установить в заимно однозначное соответствие , между другими не удается . Так возникают классы равночисле нных множеств , которым приписываются в ка ч естве характеристик определенные нат уральные числа . Как видно , понятие натурального числа , как и другие понятия , формируемые с помощ ью абстракции отождествления , представляют собой абстракцию от абстракции : от предмета мы переходим к классу эквивалентных (в каком-то отношении ) предметов , а от этого класса - к свойству , общему для всех о бъектов , ему принадлежащих , т . е . эти объект ы отождествляются по одному свойству , которое абстрагируется от прочих свойств . Абстрагирование в математике часто выступ ает как многоступенчатый процесс , результато м которого являются абстракции от абстракций . Рассмотрим еще несколько примеров . Отношение сонаправленности лучей (плоскости или пространства ) разбивает множество лучей на классы эквивалентности (классы сонаправленны х лучей ). Все лучи одного класса отож дествляются по свойству одинаковости направления (отношению сонаправленности ). По существу кажд ый класс сонаправленных лучей представляет со бой одно направление . Но это направление о пределяется любым лучом (представител е м ) этого класса . Отношение подобия фигур разбивает множест во всех фигур на классы эквивалентности (к лассы подобных фигур ). Все фигуры одного к ласса характеризуются одинаковостью формы . По существу каждый такой класс можно называть формой . Но эта форма опр еделяется л юбой фигурой (любым представителем ) этого клас са . В школьном обучении не всегда явно вычленяются все этапы абстрагирования . В ча стности , образование классов эквивалентности , как правило , протекает неявно . Наблюдается свойст во у некоторых предме тов данного рода или отношение между ними , которое затем абстрагируется от этих предметов и стано вится самостоятельным понятием . Часто , ничего не говоря о классах эквивалентности , мы ср азу же пользуемся представителями этих классо в . Проиллюстрируем это на примере . Рассмотрим множество всевозможных направленн ых отрезков или пар точек плоскости или пространства (пару точек (А , В ) можно изо бразить в виде направленного отрезка с на чалом А и концом В ). Установим в этом множестве отношение эквивалентности (*) т . е . два направленных отрезка эквивал ентны , если соответствующие лучи сонаправлены , а длины этих отрезков равны . Так как это отношение является отноше нием эквивалентности , то оно порождает разбие ние множества все х направленных отрезков на классы эквивалентности . Теперь возможны два методически различных продолжения : а ) каждый класс эквивалентности называть вектором (это по существу то же , что называть вектором параллельный пере нос , так как класс эквивалентных пар точек определяет параллельный перенос ); б )- н азывать вектором направленный отрезок , т . е . отождествить класс эквивалентности с любым его представителем . Такое отождествление вполне правомерно , т ак как практически в физических и других приложениях векторо в мы работаем не с классами эквивалентных направленных отрезк ов , а с теми или иными представителями этих классов , т . е . с направленными отрез ками , исходящими из определенных точек . Педагогический подход , состоящий в замене класса его представителем , напра влен на понижение уровня абстрактности понятий (на правленный отрезок - менее абстрактное понятие , чем класс таких отрезков ). Наряду с абстракцией отождествления при построении математических моделей действительно сти , а следовательно , и при обучении матем а тике используется и такой специфический прием абстрагирования , как идеализация . Под идеализацией имеется в виду образ ование понятий , наделенных не только свойства ми , отвлеченными от их реальных прообразов , но и некоторыми воображаемыми свойствами , о тсутст вующими у исходных объектов . Это делается для того , чтобы посредством изучен ия идеализированных образов облегчить в конеч ном счете изучение их реальных прообразов . Разъяснение этого в процессе обучения на конкретных примерах имеет важное воспит ательное зн ачение , раскрывая связь абстра ктных , идеализированных понятий с реальным ми ром . Оно способствует также пониманию способа математизации , построения математических моделей реальных ситуаций . Действительно , нигде в природе не встр ечается "геометрическая точк а " (не имеющая размеров ), но попытка построения геометрии , не использующей этой абстракции , не приводи т к успеху . Точно так же невозможно ра звивать геометрию без таких идеализированных понятий , как "прямая линия ", "плоскосгь ",. "шар " и т . д . Все реальные п рообразы шара имеют на своей поверхности выбоины и неровности , а некоторые несколько отклоня ются от "идеальной " формы шара (как , наприме р , земля ), но если бы геометры стали за ниматься такими выбоинами , неровностями и отк лонениями , они никогда не смогли бы получить формулу для объема шара . Поэт ому мы изучаем "идеализированную " форму шара и , хотя получаемая формула в применении к реальным фигурам , лишь похожим на шар , дает некоторую погрешность , полученный прибл иженный ответ достаточен для практических пот ре б ностей . Это должно быть доведен о до сознания учащихся . Особым видом идеализации является абстрак ция потенциальной осуществимости . Например , при построении натуральных чисел абстрагируются от того , что невозможно написать или назвать число , содержащее в де сятичной записи слишком много цифр (например , 10 ). Нам достат очно допустить возможность , как только дошло до некоторого числа п , написания и сл едующего за ним числа п + 1. Точно так же при изучении геометрии , пользуясь изображени ями лишь конечных участко в (отрезков ) прямой , мы допускаем возможность неограничен ного продолжения их в обе стороны или допускаем возможность безграничного деления от резка или других фигур . Список литературы : 1) П.В.Алек сеев , А.В.Панин . Теория познания и диалектика . – Москва : Высшая школа , 1991. – 383 с. 2) Х.-Г.Гада мер . Истина и метод : Основы философской ге рменевтики . – Москва : Прогресс , 1988. – 704 с. 3) В.В.Ильи н . Теория познания . Эпистемология . – Москва : Издательство МГУ , 1974. – 136 с. 4) С.Х.Карп енков . Основные концеп ции естествознания . – Москва : Культура и спорт , ЮНИТИ , 1998. – 208 с.