Вход

Методы познания

Реферат по философии
Дата добавления: 08 августа 2004
Язык реферата: Русский
Word, rtf, 337 кб
Реферат можно скачать бесплатно
Скачать
Данная работа не подходит - план Б:
Создаете заказ
Выбираете исполнителя
Готовый результат
Исполнители предлагают свои условия
Автор работает
Заказать
Не подходит данная работа?
Вы можете заказать написание любой учебной работы на любую тему.
Заказать новую работу
План 1. По знание 2. Методология научного позн ания : а ) наблюдения б ) описания в ) измерения г ) эксперименты 3. Логические методы познания : а ) Анализ и синтез б ) Сравнение и аналоги я в ) Обобщение , абстрагирован ие и конкретизация Список ли тературы : 1. Познане Познание - высшая форма отражения объективной реальности. По знание не существует отдельно от познавательной деятельности отдельны х индивидов, однако последние могут познавать лишь постольку, поскольку овладевают коллективно выработанной, объективизированной системой зн аний, передаваемых от одного поколения к другому. Существуют различные у ровни познания: я чувственное познание я мышление я эмпирическое познание я теоретическое познание. Выделяют также различные формы познания: я познание, направленное на получение знания, неотделим ого от индивидуального субъекта (восприятие, представление) я познание, напр авленное на получение объективизированного знания, существующего вне отдельного индивида (например в виде научных текстов или в форме созданн ых человеком вещей). Объективизированное познание осуществляется коллективным субъектом по законам несводимым к индивидуальному процессу познания, и выступает как часть духовного производства. Различают также такие типы познания как: я обыденное я художественно е я научное естественно-научное общественно-научное 2. Методология научного познания Метод – способ познания , исследования явлений природы и общественной жизни ; прием , способ или образ действия. Методология науки исследует структуру и развитие научного знания , средства и мето ды научного исследован ия , способы обоснов ания его результатов , механизмы и формы ре ализации знания в практике [2, 44-50]. В современной науке вполне успешно ра ботает многоуровневая концепция методологического знания . В этом плане все методы научног о познания могут быть разделен ы на пять основных групп : 1) Философские методы . Сюда относятся : диалектика (античная , немецкая и материалистическая ) и метафизика. 2) Общенаучные подходы и методы исследования. 3) Частно-научные методы. 4) Дисциплинарные методы. 5) Методы меж дисципли нарного исследования. Диалектическим методом мы часто пользуемся . Он исходит из того , что если в объективном мире происходит постоянное возникновение и уничто жение всего , взаимопереходы явлений , то поняти я , категории и другие формы мышления должн ы быть гиб ки , подвижны , взаимосвязаны , едины в противоположностях , чтобы правильно о тразить развивающуюся реальную действительность . Одним из основных принципов диалектического подхода к познанию является признание конкрет ности истины , что предполагает точный учет всех условий , в которых находитс я объект познания , выделение главных , существе нных свойств , связей , тенденций его развития . Принцип конкретности истины требует подходи ть к фактам не с общими формулами и схемами , а с учетом реальных условий , ко н кретной обстановки. Так , например , научными методами эмпиричес кого исследования являются наблюдения , описания , измерения , эксперименты . Определим эти понятия . Наблюдение – целенаправленное восприятие явлений объективной действительности . Описание – фикса ция средствами е стественного или искусственного языка сведений об объекте. Измерение – сравнение объекта по как им-либо сходным свойствам или сторонам. Эксперимент – наблюдение в специально создаваемых и контролируемых условиях , что позволяет восстановить х од явления при повторении условий. Существует шесть видов эксперимента : 1) исследовательс кий ; 2) проверочный ; 3) воспроизводящи й ; 4) изолирующий ; 5) количественный ; 6) физический , химический и др [2, 254-259]. Среди научн ых методов теоретического исс ледования вы деляют : 1) формализацию ; 2) аксиоматически й метод ; 3) гипотетико-дед уктивный метод. Научным исс ледованием широко используются общенаучные метод ы исследования : 1) анализ и синтез ; 2) абстрагировани е ; 3) обобщение ; 4) индукция и дедукция ; 5) аналогия и моделирование ; 6) идеализация ; 7) классификация ; 8) системный подход [1, 251-254]. 3. Логические методы познания К логическим методам познания относятся : анализ , синтез , индукция , дедукция , сравнение , аналогия , абстра-гирование , о бобще ние , конкретизация , классификация и др. · Анализ и синтез · Сравнение и аналоги я · Обоб щение , абст рагирование и конкретизация Анализ и син тез Логические методы познания осо бенно необходимы при отыскании решения задач . Рассмотрим , например , следующую задачу : "Опред елить площадь четырехугольника , диагонали которог о взаимно перпендикулярны и равны 6 и 8 см ". Поиск ее решения целесообразно начать , пользуясь методами анализа и синтеза . В процессе анализа задачи выделяются все е е утверждения : 1) необходимо вычислить площадь ч етырехугольника ; 2) четырехугольник имеет взаимно п ерпендикулярные ди а гонали ; 3) диагонали четырехугольника равны 6 и 8 см . Выделение этих утверждений из "целого " (задачи ) - результат проведения анализа . Анализ направляется вопросами : "Что дано в задаче ?", "Что еще дано в задаче ?", "О чем еще говорится в задач е ?", "Что в за д аче требуется най ти ?". Важно иметь в виду , что при решени и задачи анализ проводится не один раз : возможен повторный анализ , ан ализ с новой целью , с ино й точки зрения и т . п . Так , для выпо лнения чертежа необходим дополнительный анализ , устанавливающий поряд ок использования данн ых задачи для построения чертежа . Выполнение чертежа предполагает уже другой метод по знания - метод синтеза . Ошибки в выполнении чертежа являются поводом для проведения ан ализа с более конкретной целью , т . е . б олее углубленного анализ а . Например , при решении рассматриваемой задачи учащиеся и ногда четырехугольник изображают в виде парал лелограмма . Избежать ошибки в выполнении черт ежа можно , если начать построения не с четырехугольника , а с его диагоналей , изобра жая их произвольными взаи м но перп ендикулярными отрезками . В итоге дополнительного анализа на первый план выдвигается услов ие перпендикулярности диагоналей , которое являетс я основным в отыскании общей идеи решения задачи , необходимых вычислений . Возможны разл ичные решения задачи (в зависимости от того , в каком направле нии будет вестись анализ , на какие треугольники будет разбит данный ч етырехугольник ). Например , нетрудно заметить , что данный четырехугольник состоит из четырех ( или двух ) треугольников и задача тем самым сводится к нах ождению суммы площадей этих треугольников . Анализ - логический прием , метод исследован ия , состоящий в том , что изучаемый объект мысленно (или практически ) расчленяется на составные элементы (признаки , свойства , отношени я ), каждый из которых исследуется в о тдельности как часть расчлененного целого . Синтез - логический прием , с помощью ко торого отдельные элементы соединяются в целое . Очень часто умение мыслить связывают с умением анализировать . Это вполне правомерн о , так как вывод следствий , выражающих но вые свойства изучаемого объекта , очень часто требует анализа того , что уже изв естно о нем . В математике , чаще всего , под анализом понимают рассуждение в "обратном направлении ", т . е . от неизвестного , от того , что необходимо найти , к известному , к тому , чт о уже найдено или д ано , от того , что необходимо доказать , к тому , что уже доказано или принято за истинное . В таком понимании , наиболее важном для обучения , анализ является средством п оиска решения , доказательства , хотя в большинс тве случаев сам по себе ре ш ен ием , доказательством еще не является . Синтез , опираясь на данные , полученные в ходе анализа , дает решение задачи или доказательство теоремы . Анализ лежит в осно ве весьма общего подхода к решению задач (имеется в виду нестандартных задач , для которых нет соответствующего алгоритма ), известного под названием сведения (редукции ) задачи к совокупности подзадач . Идея такого подхода состоит именно в свойственном дл я анализа "размышлении в обратном направлении " от задачи , которую предстоит решить , к подзадачам, затем от этих подзадач к подподзадачам и т . д ., пока исходная з адача не будет сведена к набору элементар ных задач . Что же понимают под "элементарн ыми задачами "? Это , во-первых , задачи , решаемые за один шаг поиска , во-вторых , более слож ные задачи (т . е . н е решаемые за один шаг поиска ), решение которых уже известно из имеющегося опыта решения задач . Из такого понимания элементарной задачи следует , что чем больший опыт решения задач , тем больше задач становятся для нас "элементарными " в упомянутом выше смысл е , а следовательно , тем меньше объем поиска при решении новых задач , их свед ения к элементарным , так как цель поиска состоит в получении элементарных задач , о станавливающих процесс поиска . Подход к решению задач , состоящий в сведении задач к совокупности подзадач , находит широкое применение в практике реше ния не только задач на доказательство . Приведем в качестве примера арифметическу ю задачу для IV класса : "В двух бригадах совхоза участки под зерновые составляли 2000 га и 3000 га соответственно . Первая б ригада собрала по 30 ц , вторая по 26 ц с гект ара . Продано государству 5500 т с первого уча стка и 7000 т со второго . Остальное зерно засыпано в семенной фонд . Сколько зерна за сыпал совхоз в семенной фонд ?" Обычно анализ задачи по существу пред ставляет собо й процесс сведения данной задачи к совокупности подзадач , доведенный до элементарных задач . Здесь элементарной счи тается задача , решаемая с помощью не более одного действия над данными задачи (т . е . элементарной считается и задача , решение которой находит с я среди данных , например : "Сколько зерна продано государству с первого участка ?"). Возможен и иной путь поиска . Построени е самого процесса решения (синтез ) осуществляе тся последовательным решением подзадач в обра тном порядке . Наряду с анализом и синтезом в обучении математике часто используются анало гия , обобщение и конкретизация . Принцип сознательности обучения ориентирует учащихся на осознание путей получения но вых знаний . Это осознание формируется на о снове практики целенаправленного применения мето до в научного познания . Полезным является также краткий методологический комментарий процесса поиска решения математи ческих задач . Сравнение и аналогия Сравнение и аналогия-логические приемы мышления , используемые как в научных исследованиях , так и в обучени и . С помощью сравнения выявляется сходство и различие сравниваемых предметов , т . е . наличие у них общих и необщих (различны х ) свойств . Например , сравнение треугольника и четыре хугольника раскрывает их общие свойства : нали чие сторон , вершин , углов , стольк о же вершин и углов , сколько сторон , а также различие : у треугольника три вершины (сто роны ), у четырехугольника - четыре . Сравнение па раллелограмма и трапеции позволяет выявить их общие свойства : они оба четырехугольники , оба имеют параллельные стороны , - и различие : в одном - две пары параллельных сторон , в другом - одна . Сравнение обыкновенн ых и алгебраических дробей выявляет их сх одство : наличие числителя и знаменателя , отсут ствие значения , когда знаменатель обращается в нуль , и т.д ., - и различие : в од н ом случае числитель и знаменатель - чи сла , в другом - алгебраические выражения . Сравнение приводит к правильному выводу , если выполняются следующие условия : 1) сравниваемые понятия однородны и 2) срав нение осуществляется по таким признакам , кото рые имеют существенное значение . Эти два условия выполняются в приведе нных выше сравнениях : треугольник и четырехуг ольник - однородные понятия (многоугольники ), паралл елограмм и трапеция - четырехугольники , обыкновенны е и алгебраические дроби - выражения . Во вс ех трех случаях сравнение осуществлено по существенным признакам (если , например , вклю чили бы в общие свойства параллелограмма и трапеции тот факт , что они оба обозн ачены одними и теми же буквами АВСД , и ли считали бы различием обозначение их ра зличными буква м и , то это было бы ошибочным подходом к сравнению ). Сравнение подготавливает почву для применения аналогии . С помощью аналогии сходство предметов , в ыявленное в результате их сравнения , распрост раняется на новое свойство (или новые свой ства ). Рассуждение по аналогии имеет следу ющую общую схему : А обладает свойствами А , В , С , Д , В обладает свойствами А , В , С , Вероятно (возможно ) В обладает и свойс твом Д . Как видим , заключение по аналогии явля ется лишь вероятным (правдоподобным ), а не достоверным . Поэтому аналогия , как правило , не является доказательным рассуждением , т . е . рассуждением , которое может служить доказат ельством . ("Как правило " потому , что имеется исключение , связанное с особым видом аналогии , о котором речь пойдет дальше .) Однако в обучении , к а к , впрочем , и в науке , аналогия часто полезна тем , что о на наводит нас на догадки , т . е . служит эвристическим методом . В обучении же мате матике не менее важно , чем учить доказыват ь , это учить догадываться , что именно подл ежит доказательству и как найти эт о доказательство . В приведенном выше разъяснении того , ч то такое аналогия , используется понятие "сходс тво ", которое само нуждается в разъяснении . Когда говорят , например , о сходстве между людьми , между человеком и его изображением на фотоснимке или картине и т . п ., интуитивно понимают , что означает сходство . Но можно ли в таком же смысле гово рить , например , о сходстве между множеством учащихся класса и множеством А = 1,2,3, ..., 30 , или между множеством точек прямой и множеством действительных чисел , или между м ножеством объектов на некотором участке и планом этого участка ? Применение же аналоги и в математическом исследовании , а поэтому и в обучении математике , часто характеризуе тся именно тем , что оно основано на гл убоком , внутреннем "сходстве ", а по сущ е ству на одинаковости структуры множеств предметов различной природы с отношениями , имеющими совершенно различный смысл , при от сутствии всякого внешнего "сходства " (в обычном смысле ) между этими множествами . Это "стру ктурное сходство ", получившее точное ма т ематическое описание с помощью понятия изоморфизма , лежит в основе особого вида аналогии , приводящей в отличие от обычной аналогии к достоверным заключениям . Например , в основе координатного метода лежит идея взаимно однозначного соответствия между множес твом точек прямой (плоскост и или пространства ) и множеством действительн ых чисел (пар или троек чисел ), переводящег о некоторые отношения между точками в отн ошения между числами (парами или тройками чисел ). Это взаимно однозначное соответствие я вляется изо м орфизмом , позволяющим осу ществить однозначный перевод свойств с языка , описывающего структуру множества точек прям ой (плоскости или пространства ), на язык , оп исывающий структуру множества Я (^ или ^), и о братно . Возможность применения аналогии , казалось б ы , к совершенно различным объектам о снована на совпадении математических моделей этих объектов или принадлежности этих моделей к одному классу . Вспомним слова В . И . Ленина : "Единство природы обнаруживается в "поразительной аналоги чности " дифференциальных уравнений , относящихся к разным областям явлений ". Простейшее ди фференциальное уравнение y' = -ky (1) и его решение y = y o e -kt (2) могут описать процесс распада радия (в этом случае формула (2) дает массу у ра дия в момент х , если y - масса радия в момент времени x ), и процесс изменения атмосферного давления в зависимости от высоты х над уровнем океана (в этом случае (2) - барометрическая формула ), и процесс изменения народонаселения (если прирост населения в данный момент пропорционален численности насел ения в этот момент ), и процесс о х лаждения тела при постоянной температуре окружающей среды (поскольку скорость остыван ия тела пропорциональна разности температур т ела и окружающей среды ), и , вообще , всякий процесс показательного роста или спада (при k < 0 или k > 0), характеризующийся те м , что скорость изменения величины пропорциональна самой изменяющейся величине в данный момент , что и выражено в дифференциальном уравне нии (1). Все перечисленные явления и процессы обладают глубоким сходством при всем внешнем различии , выражающемся тем , ч то их математические модели принадлежат одному класс у моделей (1). Это и позволяет переносить по аналогии свойства одного из этих процесс ов на другой (если только эти свойства выводимы из построенной модели ). Часто та или иная последовательность в изучени и учебного материала обосновывае тся возможностью использования аналогии в обу чении . Например , изучение десятичных дробей ра ньше обыкновенных объясняется не только тем , что именно десятичные дроби широко приме няются в практике , но и возможностью испол ьзова н ия при изучении арифметики десятичных дробей аналогии с арифметикой нату ральных чисел . При изучении свойств алгебраич еских дробей можно использовать аналогию с обыкновенными дробями . Аналогия может служить базой для одновременного изучения арифметиче ской и геометрической прогрессий . Однако в установившейся практике обучения математике аналогия используется недостаточно . Иногда высказываются опасения , что с помощь ю аналогии мы можем прийти к ложным з аключениям . Например , исходя из того , что п редложение а | | b и а с b с (1) верно (является теоремой ) и на пл оскости и в пространстве , а обратное предл ожение а || c и b с a с (2) верно на плоскости (является теоремой планиметрии ), по аналогии утверждают , что предл ожение (2) верн о и в пространстве , и приходят , таким образом , к ложному заключению . Надо , однако , помнить , что в этом с лучае заключение по аналогии лишь правдоподоб ия и поэтому подлежит еще доказательству ( или опровержению ). Следует отметить как недостаток , что ( в прак тике обучения ) опровержению мы п очти не учим . Это является и серьезным упущением в общеобразовательном и воспитательн ом отношении , так как в жизни нередко возникает необходимость опровергать . Исходя из истинности предложения (2) на плоскости , необходимо в ыяснить , имеет ли место аналогичное свойство в пространстве . Так как это предложение является общим (кв анторы общности "для любых а , b, c подразумеваются ), то для его опровержения достаточно найт и такие прямые а , b, с , чтобы условие (а c и b с ) выполнялось , а закл ючение а || b) не выполнялось . Мы не должны опасаться возникновения ложных заключений по аналогии . Необходимо лиш ь считать их гипотезами (предположениями ). Ошиб ки , допускаемые в процессе поиска , исследовани я , вполне правомерны , так как чаще всего поиск в едется способом "проб и ошиб ок ". В установившейся практике обучения , как правило , мы не даем учащимся , отвечающим на вопросы учителя , ошибаться . В этом от ражается тот факт , что учебная деятельность учащихся является в основном лишь репродук тивной , а в так о й деятельности ошибки недопустимы . Воспроизводить необходимо б езошибочно . В продуктивной же , творческой деят ельности ошибки неизбежны . Такого рода ошибка ми являются и те , которые появляются в результате применения аналогии в процессе поиска . Они являются с оставной часть ю метода проб и ошибок . Важно , чтобы уч ащиеся в поиске правильных ответов сами м огли находить ошибочность возникающих в этом процессе предположений . Этому , разумеется , над о их учить . Находить сходство , которое могло бы сл ужить источником пло дотворных рассуждений по аналогии , бывает нелегко даже в том случае , когда природа сравниваемых объектов одинакова . Возьмем для примера две геометрические фигуры : треугольник и тетраэдр . В чем со стоит сходство между этими фигурами ? Треуголь ник - плоская ф игура , тетраэдр - пространств енная . Может быть , сходство в том , что грани тетраэдра - треугольники ? Если даже приня ть , что в этом есть какое-то сходство ( а пока не уточнено , что такое "сходство ": можно понимать под этим что угодно ), то вряд ли оно может б ы ть и сточником для рассуждений по аналогии . Более глубокое исследование этих двух объектов позволяет обнаружить такое структурное сходств о , которое является источником аналогии , ведущ ей к открытиям . Действительно , треугольник и тетраэдр - ограниченные выпу к лые мно жества точек . .Первое образовано минимальным ч ислом прямых на плоскости (нет многоугольника с меньшим , чем три , числом сторон ), вто рое - минимальным числом плоскостей в простран стве . Отсюда , разумеется , не следует , что вс е свойства этих фигур одина к овы . Но если мы уже изучили свойства треуго льника и приступаем к изучению свойств те траэдра , то установленное сходство в одних свойствах дает нам право предполагать (толь ко предполагать ), что и некоторые другие с войства треугольника "переводятся " аналогич н ым образом в свойства тетраэдра . Так , например , исходя из установленного сходства и из того , что "в треугольнике биссект рисы углов пересекаются в одной точке и эта точка - центр вписанной окружности ", мы приходим к предположению , что "в тетраэдре биссекто р ные плоскости двугранных углов пересекаются в одной точке и эта точка - центр вписанной сферы ", и т . д . Мы открываем новые свойства тетраэдра , расс уждая по аналогии . Эти свойства , разумеется , подлежат доказательству . Другой пример . Параллелепипед - простр а нственный аналог параллелограмма : в параллелограм ме противоположные стороны параллельны , в пар аллелепипеде противоположные грани параллельны . Р ассуждая по аналогии , можно прийти к гипот езе , что в параллелепипеде , так же как и в параллелограмме , диагонали, пересекаясь , делятся точкой пересечения пополам . Но е сли видеть только сходство и не замечать различия , в частности , что в параллелогра мме всего две диагонали , а в параллелепипе де - четыре , то мы упустим важное свойство , подлежащее доказательству , а имен н о , что все диагонали параллелепипеда п ересекаются в одной точке . Как видим ,. прим енению аналогии должно предшествовать сравнение , с помощью которого выявляется как сходст во , так и различие . Сфера - пространственный аналог окружности . Эти две фигуры опреде ляются как мн ожества точек плоскости и пространства соотве тственно , характеризуемые одним и тем же с войством : X || OX| = r (множество всех точек плоскости (простра нства ), расстояние которых от данной точки О равно данному числу r). Это наводит на догад ку , что сф ера обладает некоторыми свойствами , аналогичными свойствам окружности . Например , что свойства взаимного расположения прямой и окружности переводятся в свойства взаимного расположени я плоскости и сферы : 1) Если расстояние от центра сферы до плоск о сти боль ше радиуса сферы , то плоскость и сфера не имеют общих точек . 2) Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиус у сферы , то плоскость и сфера имеют од ну и только одну общую точку . 3) Если ра сстояние от центра сферы до плоскости мен ьше рад и уса сферы , то плоскость и сфера пересекаются по окружности (т . е . имеют бесконечное множество общих точек , лежащих на окружности ). Как видно , лишь в третьем случае проявляется различие между окружностью и сферой , которое должно учитыв аться при формулировк е аналогичных свойств . Свойство касательной плоскости тоже может быть найдено с помощью аналогии . Обобщение , абстр агирование и конкретизация Обобщение и абстрагирование - дв а логических приема , применяемые почти всегда совместно в процессе познания . Обобщ ение - это мысленное выделение , фиксирование каких-ни-будь общих существенных с войств , принадлежащих только данному классу п редметов или отношений . Абстрагирование - это м ысленное отвлечение , отделение общих , существенных свойств , выделенных в результате о бобщения , от прочих несущественных или необщих свойств рассматриваемых предметов или отношений и отбрасывание (в рамках нашего изучения ) последних . Когда мы говорим "несущественные свойства ", то имеется в виду несущественные с м атематической точки зрения. Один и тот же предмет может изучаться , например , и физикой , и математикой . Для физики существенны одни его свойства (твердость , теплопроводимос ть , электропроводимость и другие физические с войства ), для математики эти свойства несущест венны , она изучает л и шь форму , размеры , расположение предмета . Из приведенного краткого разъяснения видн о , что абстрагирование не может осуществлятьс я без обобщения , без выделения того общего , существенного , что подлежит абстрагированию . Обобщение и абстрагирование неизменно применяются в процессе формирования понятий , при переход от представлений к понятиям и , вместе с индукцией , как эвристический метод . Под обобщением понимают также переход от единичного к общему , от менее общего к более общему . Под конкретизацией понимаю т обратный переход - от более общего к менее обще му , от общего к единичному . Если обобщение используется при формирова нии понятий , то конкретизация используется пр и описании конкретных ситуаций с помощью сформированных ранее понятий . Уточним переход от е диничного к общему , от менее общего к более общему и обратный переход . Например , формирование понятия "квадрат " на раннем этапе обучения начинается показом множества предметов , отличающихся друг от д руга формой , размерами , окраской , материалом , из которог о они сделаны . Дети , после того как им показывают на одну из эти х фигур и говорят , что это квадрат , без ошибочно отбирают из множества фигур все те , которые имеют такую же форму , пренебре гая различиями , касающимися размеров , окраски , материала . Здесь выдел е ние из множ ества предметов подмножества производится по одному еще недостаточно проанализированному приз наку - по форме . Дети еще не знают свой ств квадрата , они распознают его только по форме . Такое распознавание встречается у детей 4-5 лет . Дальнейшая ра б ота по формированию понятия квадрата состоит в анализе этой формы с целью выявления ее свойств . Учащимся предлагается путем наблюдения найти , что есть общего у всех отобран ных фигур , имеющих форму квадрата , чем они отличаются от остальных . Устанавливается, что у всех квадратов 4 вершины и 4 сторон ы . Но у некоторых фигур , которые мы не отнесли к квадратам , тоже 4 вершины и 4 стороны . Оказывается , у квадрата все стороны равны и все углы прямые . Все отобранные фигуры , обладающие этими свойствами , мы о бъединяе м в один класс - квадраты (переход от единичного к общему ). В дальнейшем обучении этот класс вклю чается в более широкий класс прямоугольников (переход от общего к более общему ). Пр и этом переходе к более широкому классу происходит сужение характеристики кл асса , одно из свойств , характеризующих класс квад ратов (равенство всех сторон ), опускается . Так , если множество свойств , характеризующ их класс предметов А , обозначить через S(А ) (в традиционной формальной логике А назы вается объемом понятия , а S(А )-содерж ани ем понятия ), то имеет место следующее соот ношение : если А В , то S(В ) S(A). Обратный переход от более общего к менее общему , или выделение некоторого подк ласса А класса В , осуществляется с помощью некоторого свойства , которым обладают некото рые элементы В , другие же не облад ают им . Те элементы В , которые обладают этим новым свойством и образуют подкласс А класса В . Присоединив это новое свойство Р к множеству свойств , характеризующих класс В , получаем множество свойств , характеризующих подкл асс А , т . е . S(В ) Р = S(A), или S(В ) S(А ). В нашем примере , если к содержанию понятия "прямоугольник " (к множеству свойств , характеризующих класс прямоугольников ) добавить н овое свойство (равенство всех сторон ), мы п олучим содержание поня тия "квадрат " (множес тво свойств , характеризующих класс квадратов ). В математике обобщение и абстрагирование часто связаны с заменой постоянных перем енными (в переходе от записи отдельных фак тов к записи общих закономерностей ), а кон кретизация - с подстан овкой вместо перемен ных их значений (в обратном переходе ). Рассмотрим с точки зрения использования обобщения и абстрагирования открытие закона коммутативности сложения , который ранее мы изучили в ином аспекте . Исходным эмпирическим материалом здесь сл ужа т непересекающиеся множества А и В конкретных предметов (карандашей и ручек или черных и красных палочек ). Легко обнар уживается опытным путем , что , присоединяя к множеству А множество В или , наоборот , к множеству В множество А , получаем одно и то же множе с тво . Варьируя число элементов этих множеств , получаем ряд конкретных равенств : 2+3==3+2; 5+7==7+5; 4+8=8+4 и т . п. Внимательно присматриваемся к этим равенс твам с целью выявления содержащегося в ни х общего и отделения его от частного содержания . Замечаем : в левой части ка ждого из этих равенств записана сумма дву х чисел , в правой - сумма этих же чисел , но записанных в другом порядке . Как ж е сохранить только это общее , отвлекаясь о т конкретных чисел , входящих в эти равенст ва ? Если просто отбросить эти числа , мы получим форму с "пустыми местами ": "... + ... = ... + ...", которая не отражает выявленной общей закономерности , так как не отмечено , какие пустые места должны заполняться одними и теми же названиями чисел . Чтобы устранить этот недостаток полученной формы , изображают пустые места , которые должны заполняться именами одних и тех же чисел , в виде пустых "окошек " одинаковой формы . В результа те получаем : " x + о = о + x ". В дальнейшем разъясняется , что в матем атике для большего удобства вместо пустых "о кошек " различной формы применяются раз личные буквы и получается , например , а + b = b + а или х +у == у +х . Эти буквы , играющие роль пустых мест , и называются переменными , а числа , имена которых можно поставить вместо этих букв , - их значениями . Как видно, обобщение и абстрагирован ие привело к открытию закона коммутативности сложения и одновременно к важному поняти ю переменной . Переходом от имен конкретных чисел к числовым переменным и осуществляет ся обобщение и абстрагирование . Конкретизация основана на и звестном правиле вывода называемом правилом конкретизации . Смысл этого правила интуитивно ясен : и з того , что свойством Р обладают все э лементы некоторого множества , .следует , что эти м свойством обладает произвольный элемент а этого множеств а . Применяя , например , з акон ассоциативности сложения (*) к устному вычислению суммы 7+(93+15), мы прим еняем (неявно ) правило конкретизации : мысленно мы отбрасываем в записи закона ассоциативност и кванторы общности , подставляем вместо перем енных х , у , z постоянные "7", "93" и "15" соответстве нно и получаем равенство 7 + (93 + 15) = (7 +93) +15, следующее из (*) по правилу конкретизации . Как видно , с помощью этого правила мы осуществляем переход от общего к ед иничному . Обобщение , абстрагирование и конкретизац ия находят широкое применение в специальных методах обучения математике , о которых ре чь пойдет дальше . Если некоторая реальная ситуация или связанная с нею задача приводит к еще не изученной математической модели , то прих одится исследовать но вый класс моделей . Для осуществления перехода от конкретной модели к классу моделей такого типа используется обобщение и абстрагирование . Примене ние же результатов исследования к конкретной модели этого класса предполагает использован ие конкретизации . На пример , пусть некоторая задача о писывается с помощью квадратного уравнения 2x - 9х + 2 = 0, (1) когда учащиеся еще не умеют решать подобные урав нения . Это является стимулом для изучения со ответствующего класса уравнений (моделей ) а x + bх + с = 0. (2) Переход от конкретной модели (1) к к лассу моделей (2), т . е . от единичного к общему , осуществляется заменой коэффициентов , представляющих собой имена чисел , числовыми переменными . После исследования этого класса моделей (построения алгоритма для решения любого уравнения этого класса ) с помо щью конк ретизации (подстановки в формуле корней вмест о а , b, с конкретных коэффициентов ) решаем ис ходное и другие уравнения этого класса . Процесс - абстрагирования в математике во многом отличается от аналогичного процесса в других науках , поскольку способ ы абстрагирования зависят от природа изучаемых объектов , характера и целей их изучения . Поэтому естественно , что характеристические ос обенности абстрагирования в математике неизбежно должны находить некоторое отражение и в методах обучения математике . Наи более распространенные в математик е виды абстракций - обобщающая абстракция (или абстракция отождествления ), идеализация и раз личные абстракции осуществимости - используются и в школьном обучении математике . Однако ме тодически формирование этих абстракций не разработано . Поэтому часто эти и другие математические абстракции вызывают серь езные затруднения , с ними связаны и многие допускаемые учащимися ошибки . Основой абстракции отождествления является отношение эквивалентности . При установлении отн ошения экв ивалентности в исследуемом множ естве объектов эквивалентные объекты отождествля ются по какому-нибудь свойству , которое абстра гируется от остальных свойств этих объектов и становится самостоятельным абстрактным пон ятием , находящимся на более высокой ступен и абстракции , чем объекты , от кот орых оно было абстрагировано . Так , отношение равночисленности множеств объединяет в один класс все конечные множ ества , между которыми можно установить взаимн о однозначное соответствие (эквивалентные множест ва ). От множеств, принадлежащих одному и тому же классу эквивалентности , абстрагирует ся их общее свойство , характеризующее этот класс . Это свойство и является самостоятель ным понятием натурального числа , выражающего численность множеств (одна и та же для каждого множества ) из данного кла сса . Так формировалось понятие натурального чи сла в длительном историческом процессе , так оно формируется и в обучении дошкольников и младших школьников . Не надо думать , что усвоение детьми последовательности числительных-один , два , три , . .., десять , ... - является признаком сформированно сти у них понятия натурального числа . Форм ирование этого понятия у детей в какой-то мере имитирует исторический процесс формиров ания понятия натурального числа . Мы должны предоставить детям возможность сра внивать множества различных предметов по их численности , обнаруживать , что межд у некоторыми множествами удается установить в заимно однозначное соответствие , между другими не удается . Так возникают классы равночисле нных множеств , которым приписываются в ка ч естве характеристик определенные нат уральные числа . Как видно , понятие натурального числа , как и другие понятия , формируемые с помощ ью абстракции отождествления , представляют собой абстракцию от абстракции : от предмета мы переходим к классу эквивалентных (в каком-то отношении ) предметов , а от этого класса - к свойству , общему для всех о бъектов , ему принадлежащих , т . е . эти объект ы отождествляются по одному свойству , которое абстрагируется от прочих свойств . Абстрагирование в математике часто выступ ает как многоступенчатый процесс , результато м которого являются абстракции от абстракций . Рассмотрим еще несколько примеров . Отношение сонаправленности лучей (плоскости или пространства ) разбивает множество лучей на классы эквивалентности (классы сонаправленны х лучей ). Все лучи одного класса отож дествляются по свойству одинаковости направления (отношению сонаправленности ). По существу кажд ый класс сонаправленных лучей представляет со бой одно направление . Но это направление о пределяется любым лучом (представител е м ) этого класса . Отношение подобия фигур разбивает множест во всех фигур на классы эквивалентности (к лассы подобных фигур ). Все фигуры одного к ласса характеризуются одинаковостью формы . По существу каждый такой класс можно называть формой . Но эта форма опр еделяется л юбой фигурой (любым представителем ) этого клас са . В школьном обучении не всегда явно вычленяются все этапы абстрагирования . В ча стности , образование классов эквивалентности , как правило , протекает неявно . Наблюдается свойст во у некоторых предме тов данного рода или отношение между ними , которое затем абстрагируется от этих предметов и стано вится самостоятельным понятием . Часто , ничего не говоря о классах эквивалентности , мы ср азу же пользуемся представителями этих классо в . Проиллюстрируем это на примере . Рассмотрим множество всевозможных направленн ых отрезков или пар точек плоскости или пространства (пару точек (А , В ) можно изо бразить в виде направленного отрезка с на чалом А и концом В ). Установим в этом множестве отношение эквивалентности (*) т . е . два направленных отрезка эквивал ентны , если соответствующие лучи сонаправлены , а длины этих отрезков равны . Так как это отношение является отноше нием эквивалентности , то оно порождает разбие ние множества все х направленных отрезков на классы эквивалентности . Теперь возможны два методически различных продолжения : а ) каждый класс эквивалентности называть вектором (это по существу то же , что называть вектором параллельный пере нос , так как класс эквивалентных пар точек определяет параллельный перенос ); б )- н азывать вектором направленный отрезок , т . е . отождествить класс эквивалентности с любым его представителем . Такое отождествление вполне правомерно , т ак как практически в физических и других приложениях векторо в мы работаем не с классами эквивалентных направленных отрезк ов , а с теми или иными представителями этих классов , т . е . с направленными отрез ками , исходящими из определенных точек . Педагогический подход , состоящий в замене класса его представителем , напра влен на понижение уровня абстрактности понятий (на правленный отрезок - менее абстрактное понятие , чем класс таких отрезков ). Наряду с абстракцией отождествления при построении математических моделей действительно сти , а следовательно , и при обучении матем а тике используется и такой специфический прием абстрагирования , как идеализация . Под идеализацией имеется в виду образ ование понятий , наделенных не только свойства ми , отвлеченными от их реальных прообразов , но и некоторыми воображаемыми свойствами , о тсутст вующими у исходных объектов . Это делается для того , чтобы посредством изучен ия идеализированных образов облегчить в конеч ном счете изучение их реальных прообразов . Разъяснение этого в процессе обучения на конкретных примерах имеет важное воспит ательное зн ачение , раскрывая связь абстра ктных , идеализированных понятий с реальным ми ром . Оно способствует также пониманию способа математизации , построения математических моделей реальных ситуаций . Действительно , нигде в природе не встр ечается "геометрическая точк а " (не имеющая размеров ), но попытка построения геометрии , не использующей этой абстракции , не приводи т к успеху . Точно так же невозможно ра звивать геометрию без таких идеализированных понятий , как "прямая линия ", "плоскосгь ",. "шар " и т . д . Все реальные п рообразы шара имеют на своей поверхности выбоины и неровности , а некоторые несколько отклоня ются от "идеальной " формы шара (как , наприме р , земля ), но если бы геометры стали за ниматься такими выбоинами , неровностями и отк лонениями , они никогда не смогли бы получить формулу для объема шара . Поэт ому мы изучаем "идеализированную " форму шара и , хотя получаемая формула в применении к реальным фигурам , лишь похожим на шар , дает некоторую погрешность , полученный прибл иженный ответ достаточен для практических пот ре б ностей . Это должно быть доведен о до сознания учащихся . Особым видом идеализации является абстрак ция потенциальной осуществимости . Например , при построении натуральных чисел абстрагируются от того , что невозможно написать или назвать число , содержащее в де сятичной записи слишком много цифр (например , 10 ). Нам достат очно допустить возможность , как только дошло до некоторого числа п , написания и сл едующего за ним числа п + 1. Точно так же при изучении геометрии , пользуясь изображени ями лишь конечных участко в (отрезков ) прямой , мы допускаем возможность неограничен ного продолжения их в обе стороны или допускаем возможность безграничного деления от резка или других фигур . Список литературы : 1) П.В.Алек сеев , А.В.Панин . Теория познания и диалектика . – Москва : Высшая школа , 1991. – 383 с. 2) Х.-Г.Гада мер . Истина и метод : Основы философской ге рменевтики . – Москва : Прогресс , 1988. – 704 с. 3) В.В.Ильи н . Теория познания . Эпистемология . – Москва : Издательство МГУ , 1974. – 136 с. 4) С.Х.Карп енков . Основные концеп ции естествознания . – Москва : Культура и спорт , ЮНИТИ , 1998. – 208 с.
© Рефератбанк, 2002 - 2017