Вход

О физической значимости векторных потенциалов

Реферат по физике
Дата добавления: 05 сентября 2009
Язык реферата: Русский
Word, rtf, 2 Мб
Реферат можно скачать бесплатно
Скачать
Данная работа не подходит - план Б:
Создаете заказ
Выбираете исполнителя
Готовый результат
Исполнители предлагают свои условия
Автор работает
Заказать
Не подходит данная работа?
Вы можете заказать написание любой учебной работы на любую тему.
Заказать новую работу
Общепринято считать, что явления электромагнетизма физически по л но представлены векторными электромагнитными полями, свойства которых исчерпывающе описываются системой электродинамических уравнений, сформулированных в окончательной форме Максвеллом [1]. При этом неп о средственно следующие из уравнений Максвелла векторные потенциалы указанных полей как физическая реальность не рассматриваются, и им отв о дится роль вспомогательных математических функций, в ряде случаев сущ е ственно упрощающих вычисления. Такой взгляд на векторные потенциалы обусловлен взаимно неоднозначной связью полей и их потенциалов, не д о пускающей прямых измерений последних, и, что еще более важно, использ о вание векторных потенциалов в рамках электромагнитных уравнений Мак с велла не приводит в явном виде к дополнительным, не известным прежде следствиям. Однако к настоящему времени исследованиями в области электродин а мики, квантовой механики, сверхпроводимости достоверно установлено, что в фундаментальных уравнениях должны фигурировать не поля, а именно их потенциалы. В частности, эффекты Ааронова-Бома, Джозефсона, Мейснера реализуются в поле магнитного векторного потенциала [2], проявляющего себя тем самым вполне наблюдаемой физической величиной. Известно пре д ложение о применении поля указанного вектор-потенциала в технологиях обработки разного рода материалов [3]. Отметим также сообщение [4], где на основе формального использования представлений о векторных потенциалах металлического проводника с током сделано утверждение о том, что в пр о водник при электропроводности вместе с потоком вектора электромагнитной энергии Пойнтинга поступают потоки чисто электрической и чисто магни т ной энергии, момента электромагнитного импульса, возникающие в таких условиях в электромагнитном поле. Таким образом, налицо серьезная пр о блема, для решения которой необходимо должным образом проанализир о вать известные либо сформулировать новые физические представления о р о ли и месте векторных потенциалов в явлениях электромагнетизма. В настоящей работе проведена модификация уравнений электрома г нитного поля Максвелла для электрического и магнитного векторных поте н циалов, и на основе анализа физического содержания полученных уравнений показано, что, наряду с традиционными полями в электродинамике, их ве к торные потенциалы являются полноправными физически значимыми пол я ми, существенно расширяющими представления об электромагнитных пол е вых процессах. Для решения поставленной задачи, прежде всего, рассмотрим саму с и стему электродинамических уравнений Максвелла [5] в дифференциальной форме: (a) rot , (b) div , (c) rot , (d) div , (1) включающую в себя материальные соотношения: , , , (2) описывающие отклик среды на наличие в ней электромагнитных полей. Здесь и - векторы напряженности электрического и магнитного полей, связанные посредством соотношений (2) с соответствующими векторами и н дукции и , - вектор плотности электрического тока, с - объемная пло т ность стороннего заряда, е 0 и м 0 - электрическая и магнитная постоянные, у , е и м - удельная электрическая проводимость и относительные диэлектр и ческая и магнитная проницаемость среды, соответственно. Принципиальная особенность этих динамических релятивистски инвариантных уравнений (1) состоит в том, что в их структуре заложена отражающая обобщение опытных данных основная аксиома классической электродинамики - неразрывное единство переменных во времени электрического и магнитного полей. Фундаментальным следствием уравнений Максвелла является вывод о том, что описываемое ими электромагнитное поле перемещается в простра н стве в виде волн, скорость которых определяется лишь электрическими и магнитными параметрами среды, заполняющей это пространство (например, в отсутствие поглощения ). Совместное решение уравнений с и стемы (1) позволяет также ответить на вопрос, что переносят эти волны и п о лучить аналитическую формулировку закона сохранения электромагнитной энергии: rot rot = div = , (3) согласно которому поток электромагнитной энергии компенсирует в данной точке среды джоулевы (тепловые) потери при электропроводности и изменяет электрическую и магнитную энергию. При этом характеризующий энергетику данного факта вектор Пойнтинга плотности потока электрома г нитной энергии , связанный с вектором плотности электромагнитн о го импульса 2 , отличен от нуля только там, где одновременно присутствуют электрическое и магнитное поля, векторы и которых н е коллинеарны. Таким образом, в рамках уравнений (1) в принципе невозможно пре д ставить раздельное существование чисто электрических либо магнитных волн, переносящих только электрическую или магнитную энергию. Кроме того, далеко не ясен вопрос о физической реализации момента импульса электромагнитного поля, соответственно, переносящих его волн, и каким о б разом это явление соотносится с уравнениями Максвелла [6]. Чтобы арг у ментированно прояснить сложившуюся ситуацию, рассмотрим далее вопрос о возможности модификации уравнений электромагнитного поля (1) в виде альтернативных им уравнений для электрического и магнитного векторных потенциалов. Понятие векторного потенциала следует из очевидного положения о том, что дивергенция ротора любого вектора тождественно равна нулю. П о этому магнитный векторный потенциал определится посредством соо т ношения div = 0 системы электромагнитных уравнений Максвелла (1), а электрический - соотношением div = с этой системы при , опис ы вающим поляризацию локально электронейтральной среды: ( а ) rot , ( b ) rot . (4) О днозначность функций векторного потенциала, то есть чисто вихр е вой характер такого поля, обеспечивается условием кулоновской калибровки: div = 0. Тогда подстановка соотношения для магнитного векторного потенци а ла (4 a ) в уравнение вихря электрической напряженности системы (1 a ) прив о дит к известной формуле [5] связи поля вектора указанной напряженности с магнитным вектор-потенциалом: , (5) описывающей закон электромагнитной индукции Фарадея. Отметим, что здесь не рассматривается электрический скалярный потенциал, формал ь но следующий из таких рассуждений: grad ц e . Аналогичная подстановка соотношения для электрического векторного потенциала (4 b ) в уравнение вихря магнитной напряженности системы (1 c ) с учетом соотношений (2) позволяет получить формулу связи поля этой напряженности с электрическим вектор-потенциалом: , (6) где ф рел = ее 0 / у - постоянная времени релаксации электрического заряда в среде за счет электропроводности. Теперь можно убедиться, что результаты проведенных рассуждений действительно позволяют предложить альтернативу традиционной системе электромагнитных уравнений Максвелла (1). Используя формулы (4 a ) и (4 b ) связи полей индукции и их векторных потенциалов, имеем при подстановке в них соотношений (5) и (6) систему динамических уравнений относительно полей только электрического и магнитного векторных потенциалов: (a) rot , (b) div , (7) (c) rot , (d) div . Неординарность уравнений системы (7) вполне очевидна, поскольку в каждом одном роторном уравнении поля векторного потенциала или содержится информация о свойствах обоих роторных уравнений электрома г нитных полей и системы (1). Так, например, если взять ротор от эле к трического роторного уравнения (7 a ), то после подстановки в его левую часть соотношения (4 b ), а в правую (4 a ) получается также “электрическое” роторное уравнение (1 a ). Теперь, если взять производную по времени ( t ) от уравнения (7a) и использовать подстановки соотношений (5) и (6), то оно преобразуется в “магнитное” роторное уравнение (1c). Аналогичные де й ствия с магнитным роторным уравнением (7 c ) дают в итоге роторные ура в нения (1 c ) и (1а). Дивергентные уравнения системы (7) посредством дифф е ренцирования их по времени преобразуются в соответствующие уравнения системы (1) при с = 0. Об исключительности уравнений векторных потенциалов говорит и тот факт, что дифференцирование по времени только магнитных уравнений с и стемы (7) преобразует ее с учетом вышеизложенного в новую систему ура в нений относительно полей электрической напряженности и ее вектор-потенциала: (a) rot , (b) div , (8) (c) rot , (d) div . Соответственно дифференцирование по времени пары уравнений эле к трического векторного потенциала в системе (7) преобразует ее в другую н о вую систему уравнений теперь уже относительно полей магнитной напр я женности и ее вектор-потенциала: (a) rot , (b) div , (9) (c) rot , (d) div . Сделаем общее для всех систем замечание о дивергентных уравнениях. Как уже говорилось, уравнение div = 0 являются калибровкой, обеспечив а ющей однозначность функции векторного потенциала , поэтому, согласно симметрии уравнений в рассматриваемых системах, другие дивергентные уравнения: (1 b ) при , (1 d ), (8 b ) и (9 b ) математически также следует сч и тать соответствующими калибровками для функций вихревых полей и . С точки зрения эффективности анализа физического содержания всех представленных уравнений укажем на явную предпочтительность использ о вания в электродинамике системы единиц физических величин СИ в сравн е нии с абсолютной системой единиц СГС. Размерность в системе СИ множ и теля 0 в материальных соотношениях (2) для действительно оправдана, поскольку тем самым объединяются физически различные эле к трические величины: линейный (силовой) вектор напряженности и пот о ковый вектор смещения . Аналогично, в другом соотношении (2) разме р ная константа 0 связывает линейные и потоковые векторные величины: . Напротив, в гауссовой системе единиц безразмерные коэффиц и енты 0 = 1 и 0 = 1 делают векторы и , и сущностно тождестве н ными, что обедняет физическое содержание соотношений электромагнети з ма, оголяя в них формализм “математики”. Физические свойства указанных полей, акцентируемые системой СИ, наиболее полно отражены в электрод и намических уравнениях Максвелла (1), где, и Максвелл это особо подчерк и вал [1], описываются вихри именно линейных векторов и , а диверге н ция потоковых и . Кстати, векторные потенциалы и по опред е лению являются линейными векторами, а векторы отклика среды на их во з действие и - потоковыми. Судя по симметрии, представленные здесь системы уравнений физич е ски не менее значимы, чем традиционная система (1), поскольку в их стру к туре также заложено принципиальное неразрывное единство полей электр и ческого и магнитного векторных потенциалов в системе (7), полей электрической напряженности и ее вектор-потенциала в системе (8), и, наконец, полей магнитной напряженности и ее вектор-потенциала в системе (9). При этом каждая из систем вполне автономна и самодостаточна при описании определенного класса физических явлений, строгое обоснов а ние достоверности которых возможно в рамках именно этой конкретной с и стемы электродинамических уравнений Максвелла, понимаемых теперь в значительно более широком смысле. Как видим, полученные результаты несомненно перспективны в плане непосредственного развития физических представлений о роли и месте векторных потенциалов в явлениях электр о магнетизма. Проведем анализ полученных выше систем уравнений, специфика к о торых состоит в том, что, являясь модификацией уравнений Максвелла эле к тромагнитных полей, они справедливы теперь в таких областях простра н ства, где присутствуют одновременно поля и их векторные потенциалы, либо только потенциалы. Согласно структуре представленных уравнений, опис ы ваемые ими поля распространяются в пространстве в виде волн, скорость к о торых в отсутствие поглощения определяется электрическими и магнитными параметрами этого пространства: . В этом можно убедиться, взяв, как обычно, ротор от одного из роторных уравнений системы, и после чего подставить в него другое роторное уравнение той же системы. В кач е стве иллюстрации получим, например, для системы (7) волновое уравнение относительно : rot rot grad div rot , где, согласно (7 b ), div , а Д – оператор Лапласа. Таким образом, имеем теперь волновые уравнения не только для электромагнитных полей и , но и для их векторных потенциалов и в парных комбинациях этих четырех уравнений в зависимости от системы. В итоге возникает физ и чески очевидный, принципиальный вопрос: какие это волны, и что они пер е носят? Другими словами, необходимо прояснить физическое содержание рассматриваемых здесь систем электродинамических уравнений. В случае системы (8) введем аналогично вектору Пойнтинга плотности потока электромагнитной энергии другой потоковый вектор , который, судя по размерности, определяет электрическую эне р гию, приходящуюся на единицу площади поверхности. Для аргументирова н ного обоснования возможности существования такого вектора воспользуемся стандартными рассуждениями, как при выводе соотношения баланса энергии электромагнитного поля (3), и из уравнений системы (8) в итоге получим: div ( 10) - уравнение энергетического баланса процесса электрической поляр и зации среды в данной точке. Как видим, уравнения электрических полей напряженности и векторного потенциала системы (8) описывают ст а тические и динамические чисто электрические явления, показывают реал ь ность волн, переносящих только электрическую энергию. Аналогично можно ввести потоковый вектор , размерность которого определяет поверхностную плотность магнитной энергии. По д тверждение этому найдем из уравнений (9) в виде уравнения энергетического баланса процесса намагничивания среды в данной точке: div . (11) Следовательно, уравнения магнитных полей напряженности и ве к торного потенциала системы (9) описывают статические и динамические магнитные явления, устанавливают реальность волн, переносящих только магнитную энергию. Очевидно, что такие результаты анализа систем (8) и (9) в принципе н е возможны и просто абсурдны в рамках традиционной электродинамики Максвелла, но это нисколько не является недостатком системы (1), а лишь иллюстрирует автономию одной системы уравнений по отношению к др у гим. Полученные здесь уравнения энергетического баланса (10) и (11) оп и сывают не только энергетику обычной электрической и магнитной поляриз а ции среды с помощью соответствующего поля (первое слагаемое), но и пок а зывают возможность реализации эффектов динамической поляризации вещ е ства посредством изменяющегося во времени поля векторного потенциала, причем наличие электропроводности среды способствует этому. Надо ск а зать, что явления динамической поляризации вещества, как нам представл я ется, уже имеют реальное экспериментальное воплощение: это эффекты электродинамической индукции в металлах [7] и динамического намагнич и вания в ферритах и магнитоупорядоченных металлах [8, 9]. Подобным образом вводится вектор , размерность которого определяет момент импульса на единицу площади поверхности. Соотве т ственно, уравнения (7) позволяют получить уравнение баланса процесса п е редачи момента импульса поля электромагнитных потенциалов в данной точке среды: div . (12) Согласно этому уравнению, проводящей среде момент импульса пер е дается электрическим вектор-потенциалом, стационарным в том числе, а д и электрической – переменными во времени полями электрического или ма г нитного потенциалов. Целесообразно отметить, что вектор момента импульса поля электромагнитных векторных потенциалов никак не может быть сопоставлен с предложенным в порядке гипотезы из механических ан а логий вектором момента импульса электромагнитного поля , ди с куссия о котором продолжается по сей день [6] и носит, на наш взгляд, туп и ковый характер. Итак, уравнения системы (7) описывают необычные волны векторного потенциала, переносящие, согласно (12), момент электромагни т ного импульса, которые, однако, в явном виде не переносят энергии, п о скольку в них и равны нулю. Вопрос о физическом смысле таких волн остается открытым. Иллюстрацию физической значимости векторных потенциалов в эле к тродинамике продолжим на конкретном примере использования этих пон я тий при анализе энергетики процесса взаимодействия металла с электрома г нитным полем, где главную роль играет высокая электропроводность такой среды. Так как магнитный векторный потенциал проводника с током п о дробно обсуждался в работе [2], то далее наши рассуждения будут в большей степени касаться электрического векторного потенциала проводника с током. Такая инициатива возможна, поскольку в процессе электропроводн о сти однородная проводящая среда остается обычно локально электроне й тральной [10, 9], а потому электрическое поле в ней описывается соотнош е нием div . Следовательно, выражение (4 b ) справедливо и в данном сл у чае. Выражение rot в применении к проводнику с током для бол ь шей наглядности и математической общности представим в интегральной форме: , (13) где циркуляция вектора электрического потенциала по замкнутому контуру С равна потоку вектора электрического смещения через поверхность S C , опирающуюся на этот контур, то есть определяет величину поляризационного заряда , индуцированного на этой поверхности. В о прос об электрической поляризации металлического проводника в процессе электропроводности подробно обсуждался в работе [11]. На основе (13) нетрудно получить конкретные формулы связи поля вектора с полями векторов и , при их однородном распределении внутри кругового цилиндрического проводника радиуса R и ориентирова н ными вдоль его оси симметрии. В результате имеем: при r < R и при r > R . (14) Таким образом, поле электрического векторного потенциала с у ществует как в самом проводнике с током, так и вовне, оно непрерывно на его поверхности. В этой связи физически интересно представить проводник с током как “электрический соленоид”, поскольку поля индукции и ее векторного потенциала функционально эквивалентны аналогичным з а висимостям и магнитного соленоида [2]. Однако представления о вектор-потенциале будут по-настоящему физически содержательными только тогда, когда указан хотя бы в принципе метод его наблюдения, а лучше конкретный способ измерения параметров такого векторного поля. В нашем случае это вполне возможно и, в соотве т ствии с соотношением (6), электрический векторный потенциал в асимптот и ке низких частот ( ) определяется посредством соотношения: . (15) Видно, что распределение поля векторного электрического потенциала проводника с током полностью соответствует топологии распредел е ния напряженности магнитного поля , созданного этим током в проце с се электропроводности, а их величины между собой прямо пропорционал ь ны. Согласно [12], порядок величины времени релаксации электрического заряда в металлах ~ 10 -6 с, а конкретно для меди из эксперимента ~ 3,6·10 -6 с [13]. Следовательно, электрический векторный потенциал пр о водника с током при можно считать косвенно наблюдаемой физич е ской величиной, поскольку реальное измерение магнитного поля не пре д ставляет серьезной технической проблемы. В ситуации, отвечающей соотношениям (14), вычислим конкретное значение потокового вектора внутри проводника: . (16) Здесь = /2 – объемная плотность электрической энергии, фо р мула которой в нашем случае определяется законами электропроводности Ома и электрической поляризации проводника . Как в и дим, вектор действительно представляет электрическую энергию, пост у пающую в проводник с током через единицу площади его боковой поверхн о сти, при этом энергетика процесса электрической поляризации проводящей среды при стационарной электропроводности описывается следующим из соотношения (10) уравнением энергетического баланса частного вида: div . Соответственно рассмотрим для проводника с током два других пот о ковых вектора: и . В нашем случае для магнитного поля имеем из [2] при r ≤ R : и . В результате п о лучим конкретные выражения для векторов и , (17) определяющих плотности магнитной энергии и момента импульса поля электромагнитных потенциалов, поступающих в цилиндрический проводник через его боковую поверхность. Тогда из соотношения (11) найдем уравн е ние баланса энергии процесса намагничивания проводящей среды под де й ствием стационарного электрического тока: div , а из (12) - уравнение div , описывающее передачу момента электромагнитного импульса проводнику в данной ситуации. В заключение подведем итог. Итак, проведена модификация уравнений Максвелла электромагнитн о го поля для электрического и магнитного векторных потенциалов, и на осн о ве анализа физического содержания полученных уравнений установлена во з можность существования динамических чисто электрических или магнитных явлений, показана реальность волн, переносящих только электрическую или только магнитную энергию. Выявлены необычные потенциальные волны, переносящие момент импульса поля электромагнитных векторных потенци а лов, которые, однако, в явном виде не переносят энергии, поскольку и в них равны нулю. Вопрос о наблюдении и физическом смысле таких волн остается открытым. На конкретном примере изучения энергетики процесса стационарной электропроводности в металле проиллюстрировано, что использование ф и зических представлений об электромагнитных векторных потенциалах по з воляет “увидеть” раздельно потоки чисто электрической и магнитной эне р гии, момента импульса, существующие в электромагнитном поле, поступ а ющие вместе с известным потоком электромагнитной энергии в проводник в указанных условиях. Данное утверждение можно, по нашему мнению, сч и тать теоретически вполне обоснованным. Как нам представляется, проведенные исследования достоверно пок а зали, что поля электромагнитных векторных потенциалов никоим образом нельзя считать математическими фикциями, поскольку они в полной мере обладают фундаментальными характеристиками объективной реальности: энергией, импульсом и его моментом. Таким образом, наряду с традицио н ными электромагнитными полями в электродинамике: , , и , их ве к торные потенциалы и также являются полноправными физически значимыми полями, расширяющими наши представления об электромагни т ных полевых процессах. 1. Максвелл Дж. К. Трактат об электричестве и магнетизме. Т. I и II . М.: Наука, 1989. 2. Антонов Л.И., Миронова Г.А., Лукашёва Е.В., Чистякова Н.И. Векторный магнитный потенциал в курсе общей физики. / Препринт № 11. М.: Изд. Физ. ф-та МГУ, 1998. 3. Кропп В. Патент РФ № 2101842. 4. Сидоренков В.В. // Сборник трудов XIX Международной школы-семинара “Новые магнитные материалы микроэлектроники”. М.: МГУ, 2004. С. 740. 5. Матвеев А.Н. Электродинамика. М.: Высшая школа, 1980. 6. Соколов И.В. // УФН. 1991. Т. 161. № 10. С. 175. 7. Дюдкин Д.А., Комаров А.А. Электродинамическая индукция. Новая ко н цеп- ция геомагнетизма. / Препринт НАНУ, ДонФТИ-01-01, 2001. 8. Сидоренков В.В., Толмачев В.В., Федотова С.В. // Изв. РАН. Сер. физич. 2001. Т. 65. № 12. C . 1776. 9. Сидоренков В.В. // РЭ. 2003. Т. 48. № 6. С. 746. 10. Мартинсон М.Л., Недоспасов А.В. // УФН. 1993. Т. 163. № 1. С. 91. 11. Сидоренков В.В. // Современные естественно-научные и гуманитарные проблемы: Сборник трудов. М.: Логос, 2005. С. 237. 12. Зоммерфельд А. Электродинамика. М.: ИЛ, 1958. 13. Корнев Ю.В., Сидоренков В.В., Тимченко С.Л. // Докл. РАН. 2001. Т. 380. № 4. С. 472.
© Рефератбанк, 2002 - 2018