О физической значимости векторных потенциалов

Общепринято считать, что явления электромагнетизма физически по л но представлены векторными электромагнитными полями, свойства которых исчерпывающе описываются системой электродинамических уравнений, сформулированных в окончательной форме Максвеллом [1]. При этом неп о средственно следующие из уравнений Максвелла векторные потенциалы указанных полей как физическая реальность не рассматриваются, и им отв о дится роль вспомогательных математических функций, в ряде случаев сущ е ственно упрощающих вычисления. Такой взгляд на векторные потенциалы обусловлен взаимно неоднозначной связью полей и их потенциалов, не д о пускающей прямых измерений последних, и, что еще более важно, использ о вание векторных потенциалов в рамках электромагнитных уравнений Мак с велла не приводит в явном виде к дополнительным, не известным прежде следствиям. Однако к настоящему времени исследованиями в области электродин а мики, квантовой механики, сверхпроводимости достоверно установлено, что в фундаментальных уравнениях должны фигурировать не поля, а именно их потенциалы. В частности, эффекты Ааронова-Бома, Джозефсона, Мейснера реализуются в поле магнитного векторного потенциала [2], проявляющего себя тем самым вполне наблюдаемой физической величиной. Известно пре д ложение о применении поля указанного вектор-потенциала в технологиях обработки разного рода материалов [3]. Отметим также сообщение [4], где на основе формального использования представлений о векторных потенциалах металлического проводника с током сделано утверждение о том, что в пр о водник при электропроводности вместе с потоком вектора электромагнитной энергии Пойнтинга поступают потоки чисто электрической и чисто магни т ной энергии, момента электромагнитного импульса, возникающие в таких условиях в электромагнитном поле. Таким образом, налицо серьезная пр о блема, для решения которой необходимо должным образом проанализир о вать известные либо сформулировать новые физические представления о р о ли и месте векторных потенциалов в явлениях электромагнетизма. В настоящей работе проведена модификация уравнений электрома г нитного поля Максвелла для электрического и магнитного векторных поте н циалов, и на основе анализа физического содержания полученных уравнений показано, что, наряду с традиционными полями в электродинамике, их ве к торные потенциалы являются полноправными физически значимыми пол я ми, существенно расширяющими представления об электромагнитных пол е вых процессах. Для решения поставленной задачи, прежде всего, рассмотрим саму с и стему электродинамических уравнений Максвелла [5] в дифференциальной форме: (a) rot , (b) div , (c) rot , (d) div , (1) включающую в себя материальные соотношения: , , , (2) описывающие отклик среды на наличие в ней электромагнитных полей. Здесь и - векторы напряженности электрического и магнитного полей, связанные посредством соотношений (2) с соответствующими векторами и н дукции и , - вектор плотности электрического тока, с - объемная пло т ность стороннего заряда, е 0 и м 0 - электрическая и магнитная постоянные, у , е и м - удельная электрическая проводимость и относительные диэлектр и ческая и магнитная проницаемость среды, соответственно. Принципиальная особенность этих динамических релятивистски инвариантных уравнений (1) состоит в том, что в их структуре заложена отражающая обобщение опытных данных основная аксиома классической электродинамики - неразрывное единство переменных во времени электрического и магнитного полей. Фундаментальным следствием уравнений Максвелла является вывод о том, что описываемое ими электромагнитное поле перемещается в простра н стве в виде волн, скорость которых определяется лишь электрическими и магнитными параметрами среды, заполняющей это пространство (например, в отсутствие поглощения ). Совместное решение уравнений с и стемы (1) позволяет также ответить на вопрос, что переносят эти волны и п о лучить аналитическую формулировку закона сохранения электромагнитной энергии: rot rot = div = , (3) согласно которому поток электромагнитной энергии компенсирует в данной точке среды джоулевы (тепловые) потери при электропроводности и изменяет электрическую и магнитную энергию. При этом характеризующий энергетику данного факта вектор Пойнтинга плотности потока электрома г нитной энергии , связанный с вектором плотности электромагнитн о го импульса 2 , отличен от нуля только там, где одновременно присутствуют электрическое и магнитное поля, векторы и которых н е коллинеарны. Таким образом, в рамках уравнений (1) в принципе невозможно пре д ставить раздельное существование чисто электрических либо магнитных волн, переносящих только электрическую или магнитную энергию. Кроме того, далеко не ясен вопрос о физической реализации момента импульса электромагнитного поля, соответственно, переносящих его волн, и каким о б разом это явление соотносится с уравнениями Максвелла [6]. Чтобы арг у ментированно прояснить сложившуюся ситуацию, рассмотрим далее вопрос о возможности модификации уравнений электромагнитного поля (1) в виде альтернативных им уравнений для электрического и магнитного векторных потенциалов. Понятие векторного потенциала следует из очевидного положения о том, что дивергенция ротора любого вектора тождественно равна нулю. П о этому магнитный векторный потенциал определится посредством соо т ношения div = 0 системы электромагнитных уравнений Максвелла (1), а электрический - соотношением div = с этой системы при , опис ы вающим поляризацию локально электронейтральной среды: ( а ) rot , ( b ) rot . (4) О днозначность функций векторного потенциала, то есть чисто вихр е вой характер такого поля, обеспечивается условием кулоновской калибровки: div = 0. Тогда подстановка соотношения для магнитного векторного потенци а ла (4 a ) в уравнение вихря электрической напряженности системы (1 a ) прив о дит к известной формуле [5] связи поля вектора указанной напряженности с магнитным вектор-потенциалом: , (5) описывающей закон электромагнитной индукции Фарадея. Отметим, что здесь не рассматривается электрический скалярный потенциал, формал ь но следующий из таких рассуждений: grad ц e . Аналогичная подстановка соотношения для электрического векторного потенциала (4 b ) в уравнение вихря магнитной напряженности системы (1 c ) с учетом соотношений (2) позволяет получить формулу связи поля этой напряженности с электрическим вектор-потенциалом: , (6) где ф рел = ее 0 / у - постоянная времени релаксации электрического заряда в среде за счет электропроводности. Теперь можно убедиться, что результаты проведенных рассуждений действительно позволяют предложить альтернативу традиционной системе электромагнитных уравнений Максвелла (1). Используя формулы (4 a ) и (4 b ) связи полей индукции и их векторных потенциалов, имеем при подстановке в них соотношений (5) и (6) систему динамических уравнений относительно полей только электрического и магнитного векторных потенциалов: (a) rot , (b) div , (7) (c) rot , (d) div . Неординарность уравнений системы (7) вполне очевидна, поскольку в каждом одном роторном уравнении поля векторного потенциала или содержится информация о свойствах обоих роторных уравнений электрома г нитных полей и системы (1). Так, например, если взять ротор от эле к трического роторного уравнения (7 a ), то после подстановки в его левую часть соотношения (4 b ), а в правую (4 a ) получается также “электрическое” роторное уравнение (1 a ). Теперь, если взять производную по времени ( t ) от уравнения (7a) и использовать подстановки соотношений (5) и (6), то оно преобразуется в “магнитное” роторное уравнение (1c). Аналогичные де й ствия с магнитным роторным уравнением (7 c ) дают в итоге роторные ура в нения (1 c ) и (1а). Дивергентные уравнения системы (7) посредством дифф е ренцирования их по времени преобразуются в соответствующие уравнения системы (1) при с = 0. Об исключительности уравнений векторных потенциалов говорит и тот факт, что дифференцирование по времени только магнитных уравнений с и стемы (7) преобразует ее с учетом вышеизложенного в новую систему ура в нений относительно полей электрической напряженности и ее вектор-потенциала: (a) rot , (b) div , (8) (c) rot , (d) div . Соответственно дифференцирование по времени пары уравнений эле к трического векторного потенциала в системе (7) преобразует ее в другую н о вую систему уравнений теперь уже относительно полей магнитной напр я женности и ее вектор-потенциала: (a) rot , (b) div , (9) (c) rot , (d) div . Сделаем общее для всех систем замечание о дивергентных уравнениях. Как уже говорилось, уравнение div = 0 являются калибровкой, обеспечив а ющей однозначность функции векторного потенциала , поэтому, согласно симметрии уравнений в рассматриваемых системах, другие дивергентные уравнения: (1 b ) при , (1 d ), (8 b ) и (9 b ) математически также следует сч и тать соответствующими калибровками для функций вихревых полей и . С точки зрения эффективности анализа физического содержания всех представленных уравнений укажем на явную предпочтительность использ о вания в электродинамике системы единиц физических величин СИ в сравн е нии с абсолютной системой единиц СГС. Размерность в системе СИ множ и теля 0 в материальных соотношениях (2) для действительно оправдана, поскольку тем самым объединяются физически различные эле к трические величины: линейный (силовой) вектор напряженности и пот о ковый вектор смещения . Аналогично, в другом соотношении (2) разме р ная константа 0 связывает линейные и потоковые векторные величины: . Напротив, в гауссовой системе единиц безразмерные коэффиц и енты 0 = 1 и 0 = 1 делают векторы и , и сущностно тождестве н ными, что обедняет физическое содержание соотношений электромагнети з ма, оголяя в них формализм “математики”. Физические свойства указанных полей, акцентируемые системой СИ, наиболее полно отражены в электрод и намических уравнениях Максвелла (1), где, и Максвелл это особо подчерк и вал [1], описываются вихри именно линейных векторов и , а диверге н ция потоковых и . Кстати, векторные потенциалы и по опред е лению являются линейными векторами, а векторы отклика среды на их во з действие и - потоковыми. Судя по симметрии, представленные здесь системы уравнений физич е ски не менее значимы, чем традиционная система (1), поскольку в их стру к туре также заложено принципиальное неразрывное единство полей электр и ческого и магнитного векторных потенциалов в системе (7), полей электрической напряженности и ее вектор-потенциала в системе (8), и, наконец, полей магнитной напряженности и ее вектор-потенциала в системе (9). При этом каждая из систем вполне автономна и самодостаточна при описании определенного класса физических явлений, строгое обоснов а ние достоверности которых возможно в рамках именно этой конкретной с и стемы электродинамических уравнений Максвелла, понимаемых теперь в значительно более широком смысле. Как видим, полученные результаты несомненно перспективны в плане непосредственного развития физических представлений о роли и месте векторных потенциалов в явлениях электр о магнетизма. Проведем анализ полученных выше систем уравнений, специфика к о торых состоит в том, что, являясь модификацией уравнений Максвелла эле к тромагнитных полей, они справедливы теперь в таких областях простра н ства, где присутствуют одновременно поля и их векторные потенциалы, либо только потенциалы. Согласно структуре представленных уравнений, опис ы ваемые ими поля распространяются в пространстве в виде волн, скорость к о торых в отсутствие поглощения определяется электрическими и магнитными параметрами этого пространства: . В этом можно убедиться, взяв, как обычно, ротор от одного из роторных уравнений системы, и после чего подставить в него другое роторное уравнение той же системы. В кач е стве иллюстрации получим, например, для системы (7) волновое уравнение относительно : rot rot grad div rot , где, согласно (7 b ), div , а Д – оператор Лапласа. Таким образом, имеем теперь волновые уравнения не только для электромагнитных полей и , но и для их векторных потенциалов и в парных комбинациях этих четырех уравнений в зависимости от системы. В итоге возникает физ и чески очевидный, принципиальный вопрос: какие это волны, и что они пер е носят? Другими словами, необходимо прояснить физическое содержание рассматриваемых здесь систем электродинамических уравнений. В случае системы (8) введем аналогично вектору Пойнтинга плотности потока электромагнитной энергии другой потоковый вектор , который, судя по размерности, определяет электрическую эне р гию, приходящуюся на единицу площади поверхности. Для аргументирова н ного обоснования возможности существования такого вектора воспользуемся стандартными рассуждениями, как при выводе соотношения баланса энергии электромагнитного поля (3), и из уравнений системы (8) в итоге получим: div ( 10) - уравнение энергетического баланса процесса электрической поляр и зации среды в данной точке. Как видим, уравнения электрических полей напряженности и векторного потенциала системы (8) описывают ст а тические и динамические чисто электрические явления, показывают реал ь ность волн, переносящих только электрическую энергию. Аналогично можно ввести потоковый вектор , размерность которого определяет поверхностную плотность магнитной энергии. По д тверждение этому найдем из уравнений (9) в виде уравнения энергетического баланса процесса намагничивания среды в данной точке: div . (11) Следовательно, уравнения магнитных полей напряженности и ве к торного потенциала системы (9) описывают статические и динамические магнитные явления, устанавливают реальность волн, переносящих только магнитную энергию. Очевидно, что такие результаты анализа систем (8) и (9) в принципе н е возможны и просто абсурдны в рамках традиционной электродинамики Максвелла, но это нисколько не является недостатком системы (1), а лишь иллюстрирует автономию одной системы уравнений по отношению к др у гим. Полученные здесь уравнения энергетического баланса (10) и (11) оп и сывают не только энергетику обычной электрической и магнитной поляриз а ции среды с помощью соответствующего поля (первое слагаемое), но и пок а зывают возможность реализации эффектов динамической поляризации вещ е ства посредством изменяющегося во времени поля векторного потенциала, причем наличие электропроводности среды способствует этому. Надо ск а зать, что явления динамической поляризации вещества, как нам представл я ется, уже имеют реальное экспериментальное воплощение: это эффекты электродинамической индукции в металлах [7] и динамического намагнич и вания в ферритах и магнитоупорядоченных металлах [8, 9]. Подобным образом вводится вектор , размерность которого определяет момент импульса на единицу площади поверхности. Соотве т ственно, уравнения (7) позволяют получить уравнение баланса процесса п е редачи момента импульса поля электромагнитных потенциалов в данной точке среды: div . (12) Согласно этому уравнению, проводящей среде момент импульса пер е дается электрическим вектор-потенциалом, стационарным в том числе, а д и электрической – переменными во времени полями электрического или ма г нитного потенциалов. Целесообразно отметить, что вектор момента импульса поля электромагнитных векторных потенциалов никак не может быть сопоставлен с предложенным в порядке гипотезы из механических ан а логий вектором момента импульса электромагнитного поля , ди с куссия о котором продолжается по сей день [6] и носит, на наш взгляд, туп и ковый характер. Итак, уравнения системы (7) описывают необычные волны векторного потенциала, переносящие, согласно (12), момент электромагни т ного импульса, которые, однако, в явном виде не переносят энергии, п о скольку в них и равны нулю. Вопрос о физическом смысле таких волн остается открытым. Иллюстрацию физической значимости векторных потенциалов в эле к тродинамике продолжим на конкретном примере использования этих пон я тий при анализе энергетики процесса взаимодействия металла с электрома г нитным полем, где главную роль играет высокая электропроводность такой среды. Так как магнитный векторный потенциал проводника с током п о дробно обсуждался в работе [2], то далее наши рассуждения будут в большей степени касаться электрического векторного потенциала проводника с током. Такая инициатива возможна, поскольку в процессе электропроводн о сти однородная проводящая среда остается обычно локально электроне й тральной [10, 9], а потому электрическое поле в ней описывается соотнош е нием div . Следовательно, выражение (4 b ) справедливо и в данном сл у чае. Выражение rot в применении к проводнику с током для бол ь шей наглядности и математической общности представим в интегральной форме: , (13) где циркуляция вектора электрического потенциала по замкнутому контуру С равна потоку вектора электрического смещения через поверхность S C , опирающуюся на этот контур, то есть определяет величину поляризационного заряда , индуцированного на этой поверхности. В о прос об электрической поляризации металлического проводника в процессе электропроводности подробно обсуждался в работе [11]. На основе (13) нетрудно получить конкретные формулы связи поля вектора с полями векторов и , при их однородном распределении внутри кругового цилиндрического проводника радиуса R и ориентирова н ными вдоль его оси симметрии. В результате имеем: при r < R и при r > R . (14) Таким образом, поле электрического векторного потенциала с у ществует как в самом проводнике с током, так и вовне, оно непрерывно на его поверхности. В этой связи физически интересно представить проводник с током как “электрический соленоид”, поскольку поля индукции и ее векторного потенциала функционально эквивалентны аналогичным з а висимостям и магнитного соленоида [2]. Однако представления о вектор-потенциале будут по-настоящему физически содержательными только тогда, когда указан хотя бы в принципе метод его наблюдения, а лучше конкретный способ измерения параметров такого векторного поля. В нашем случае это вполне возможно и, в соотве т ствии с соотношением (6), электрический векторный потенциал в асимптот и ке низких частот ( ) определяется посредством соотношения: . (15) Видно, что распределение поля векторного электрического потенциала проводника с током полностью соответствует топологии распредел е ния напряженности магнитного поля , созданного этим током в проце с се электропроводности, а их величины между собой прямо пропорционал ь ны. Согласно [12], порядок величины времени релаксации электрического заряда в металлах ~ 10 -6 с, а конкретно для меди из эксперимента ~ 3,6·10 -6 с [13]. Следовательно, электрический векторный потенциал пр о водника с током при можно считать косвенно наблюдаемой физич е ской величиной, поскольку реальное измерение магнитного поля не пре д ставляет серьезной технической проблемы. В ситуации, отвечающей соотношениям (14), вычислим конкретное значение потокового вектора внутри проводника: . (16) Здесь = /2 – объемная плотность электрической энергии, фо р мула которой в нашем случае определяется законами электропроводности Ома и электрической поляризации проводника . Как в и дим, вектор действительно представляет электрическую энергию, пост у пающую в проводник с током через единицу площади его боковой поверхн о сти, при этом энергетика процесса электрической поляризации проводящей среды при стационарной электропроводности описывается следующим из соотношения (10) уравнением энергетического баланса частного вида: div . Соответственно рассмотрим для проводника с током два других пот о ковых вектора: и . В нашем случае для магнитного поля имеем из [2] при r ≤ R : и . В результате п о лучим конкретные выражения для векторов и , (17) определяющих плотности магнитной энергии и момента импульса поля электромагнитных потенциалов, поступающих в цилиндрический проводник через его боковую поверхность. Тогда из соотношения (11) найдем уравн е ние баланса энергии процесса намагничивания проводящей среды под де й ствием стационарного электрического тока: div , а из (12) - уравнение div , описывающее передачу момента электромагнитного импульса проводнику в данной ситуации. В заключение подведем итог. Итак, проведена модификация уравнений Максвелла электромагнитн о го поля для электрического и магнитного векторных потенциалов, и на осн о ве анализа физического содержания полученных уравнений установлена во з можность существования динамических чисто электрических или магнитных явлений, показана реальность волн, переносящих только электрическую или только магнитную энергию. Выявлены необычные потенциальные волны, переносящие момент импульса поля электромагнитных векторных потенци а лов, которые, однако, в явном виде не переносят энергии, поскольку и в них равны нулю. Вопрос о наблюдении и физическом смысле таких волн остается открытым. На конкретном примере изучения энергетики процесса стационарной электропроводности в металле проиллюстрировано, что использование ф и зических представлений об электромагнитных векторных потенциалах по з воляет “увидеть” раздельно потоки чисто электрической и магнитной эне р гии, момента импульса, существующие в электромагнитном поле, поступ а ющие вместе с известным потоком электромагнитной энергии в проводник в указанных условиях. Данное утверждение можно, по нашему мнению, сч и тать теоретически вполне обоснованным. Как нам представляется, проведенные исследования достоверно пок а зали, что поля электромагнитных векторных потенциалов никоим образом нельзя считать математическими фикциями, поскольку они в полной мере обладают фундаментальными характеристиками объективной реальности: энергией, импульсом и его моментом. Таким образом, наряду с традицио н ными электромагнитными полями в электродинамике: , , и , их ве к торные потенциалы и также являются полноправными физически значимыми полями, расширяющими наши представления об электромагни т ных полевых процессах. 1. Максвелл Дж. К. Трактат об электричестве и магнетизме. Т. I и II . М.: Наука, 1989. 2. Антонов Л.И., Миронова Г.А., Лукашёва Е.В., Чистякова Н.И. Векторный магнитный потенциал в курсе общей физики. / Препринт № 11. М.: Изд. Физ. ф-та МГУ, 1998. 3. Кропп В. Патент РФ № 2101842. 4. Сидоренков В.В. // Сборник трудов XIX Международной школы-семинара “Новые магнитные материалы микроэлектроники”. М.: МГУ, 2004. С. 740. 5. Матвеев А.Н. Электродинамика. М.: Высшая школа, 1980. 6. Соколов И.В. // УФН. 1991. Т. 161. № 10. С. 175. 7. Дюдкин Д.А., Комаров А.А. Электродинамическая индукция. Новая ко н цеп- ция геомагнетизма. / Препринт НАНУ, ДонФТИ-01-01, 2001. 8. Сидоренков В.В., Толмачев В.В., Федотова С.В. // Изв. РАН. Сер. физич. 2001. Т. 65. № 12. C . 1776. 9. Сидоренков В.В. // РЭ. 2003. Т. 48. № 6. С. 746. 10. Мартинсон М.Л., Недоспасов А.В. // УФН. 1993. Т. 163. № 1. С. 91. 11. Сидоренков В.В. // Современные естественно-научные и гуманитарные проблемы: Сборник трудов. М.: Логос, 2005. С. 237. 12. Зоммерфельд А. Электродинамика. М.: ИЛ, 1958. 13. Корнев Ю.В., Сидоренков В.В., Тимченко С.Л. // Докл. РАН. 2001. Т. 380. № 4. С. 472.