Сложение колебаний

Векторная диаграмма Колебаниями называются движения или процессы , о бладающие той или иной повторяемостью во времени. Сло жение нескольких гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты становится нагляд ным , если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости . Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой . Возьмем ось , вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину x . Из взятой на оси точки О отложим вектор длины A , образующий с осью угол б . Если привести этот вектор во вращение с угл о вой скоростью щ 0 , то проекция конца вектора будет перемещать ся по оси x в пределах от — А до + A , причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону Следовательно , проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с ам плитудой , равной длине вектора , с круговой частотой , равной угловой скорости вращения вектора , и с на чальной фазой , равной углу , образуемо му вектором с осью в начальный момент времени. Таким образом , гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора , длина которого рав на амплитуде колебания , а направление образует с осью x угол , равный начальной фазе колебаний. Рассмотрим сложение двух гармонических коле баний одного направления и одинаковой частоты . Результирующее колебание будет суммой колеба ний х 1 и x 2 , которые определяются функциями , (1) Представим оба колебания с помощью векторов A 1 и А 2 . Построим по правилам сложения векторов резу льтирующий вектор А . На рисунке вид но , что проекция этого вектора на ось x равна сум ме проекций складываемых векторов : Поэтому , вектор A представляет собой резуль тирующее колебание . Этот вектор вращается с той же угловой скоростью щ 0 , как и векторы А 1 и А 2 , так что сумма x 1 и х 2 являет ся гармоническим колебанием с частотой ( щ 0 , амплитудой A и начальной фа зой б . Используя теорему косинусов получаем , что (2) Также , из рисунка видно , что (3) Представление гармонических колебаний с помощью векторов позволяет заменить сложение функций сложением векторов , что значительно проще. Сложен ие колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях. Представим две взаимно перпен дикулярные векторные величины x и y , изменяющие ся со временем с одинаковой частотой щ по гармони ческому закону , то (1) Где e x и e у — орты координатных осей x и y , А и B — амплитуды колебаний . Величин ами x и у может быть , например , смещения материальной точки (частицы ) из положения равновесия. В случае колеблющейся частицы величины , (2) определяют координаты частицы на плоскости xy . Частица будет двигаться по некоторой траектории , вид которой зависит от раз ности фаз обоих колебаний . Выражения (2) пред ставляют собой заданное в параметрической форме уравнение этой траектории . Чтобы получить уравне ние траектории в обычном виде , нужно исключить из уравнений (2) параметр t . Из первого уравне ния следует , что (3) Соответственно (4) Развернем косинус во втором из уравнений (2) по формуле для косинуса суммы : Подставим вместо cos щ t и sin щ t их значения (3) и (4): Преобразуем это уравнение (5) Это уравнение эллипса , оси которого по вернуты относительно координатных осей х и у . Ори ентация эл липса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд A и В и разности фаз б . Попробуем найти форму траектории для нескольких частных случаев. 1. Разность фаз б равна нулю . В этом случае уравнение (5) упрощается следующим образом : Отсюда получается уравнение прямой : Результирующее движение является гар моническим колебанием вдоль этой прямой с частотой щ и ам плитудой , равной (рис . 1 а ). 2. Разность фаз б равна ± р . Из уравнение (5) имеет вид Следовательно , результирующее движение представ ляет собой гармоническое колебание вдоль прямой (рис . 1 б ) Рис .1 3. При уравнение (5) переходит в уравнение эллипса , приведенного к координатным осям : Полуоси эллипса равны соответствующим амплиту дам колебаний . При равенстве амплитуд А и В эллипс превращается в окружность. Случаи и отличаются на правлением движения по эллипсу или окружности . Следовательно , равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью щ может быть представлено как сумма двух взаимно перпен дику лярных колебаний : , (знак плюс в выражении для у соответс твует движе нию против часовой стрелки , знак минус — движе нию по часовой стрелке ). Если частоты взаимно перпендикулярных колеба ний не одинаковы , то траектории результирующего движения имеют вид сложных кривых , на зываемых фигурами Лиссажу. Фигура Лиссажу для отношения ча стот 1:2 и разности фаз р /2 Фигура Лиссажу для отношения частот 3:4 и разности фаз р /2