СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. Теоретико-множественные операции вычитания
2. Арифметическое вычитание
3. Связь между теореко- множественным вычитанием и арифметическим
4. Заключение
Введение
Велико значение математики в повседневной жизни человека. Без счета, без умения правильно складывать, вычитать, умножить и делить числа немыслимо развитие человеческого общества. Четыре арифметических действия, правила устных и письменных вычислений изучаются, начиная с начальных классов, а устный счет сейчас предлагается чуть ли не с пеленок.
В настоящее время в связи с дифференциацией процесса обучения, введением профильных образовательных систем актуальной становится проблема разработки соответствующих программ обучения. Существующие альтернативные программы и учебники по математике для начальной школы не полностью удовлетворяют потребностям не только специализированной начальной школы, но и обычной системы начального образования. Содержание этих программ во многом устарело, оно не учитывает тех, безусловно, интересных эффективных наработок в области педагогики, психологии и частных методик, которые уже вошли в практику многих учителей. В связи с этим представляется необходимой разработка усовершенствованных вариантов альтернативных программ по математике с учетом этих наработок. Сознательное обучение учащихся по любому предмету и в частности по математике, возможно тогда, когда обучение опирается на соответствующие жизненные наблюдения детей. Накопление собственного опыта происходит при непосредственном наблюдении и восприятии мира. Множество – неопределяемое, но в то же время важное понятие в математике. При изучении математики учителя начальных классов часто обращаются и используют элементы множеств. Фактически наглядное обучение должно способствовать движению мысли от жизненных наблюдений к существенности изучаемого понятия.
Теоретико-множественные операции вычитания
Для начала нашей работы мы рассмотрим реляционную алгебру. В ее основе лежит идея о том, что отношение – это множество кортежей, то и средства манипулирования отношениями должны быть такими же, как традиционные теоретико–множественные операции, дополненные специфическими для баз данных операциями.
Расширенный начальный вариант алгебры, опеределенный Коддом, состоит из восьми алгебраических операций, которые делятся на два класса – теоретико–множественные операции и специальные реляционные операции.
В состав теоретико–множественных операций входят:
¨ объединение отношений;
¨ пересечение отношений;
¨ взятие разности отношений;
¨ декартово произведение отношений.
Специальные реляционные операции включают:
¨ проекцию отношения;
¨ соединение отношений;
¨ деление отношений;
¨ выборка или ограничение отношения.
Приведем общую интерпретацию этих реляционных операций:
¨ Выборка: возвращает отношение, содержащее кортежи из заданного отношения, которые удовлетворяют указанным условиям;
¨ Проекция: возвращает отношение, содержащее все кортежи заданного отношения, которые остались в этом отношении после исключения из него некоторых атрибутов;
¨ Произведение: возвращает отношение, содержащее все возможные кортежи, которые являются сочетанием двух кортежей, принадлежащих соответственно двум заданным отношениям;
¨ Объединение: возвращает отношение, содержащее все кортежи, которые принадлежат либо одному, либо обоим из заданных отношений;
¨ Пересечение: возвращает отношение, содержащее кортежи, которые принадлежат одновременно двум заданным отношениям;
¨ Разность: возвращает отношение. содержащее все кортежи, которые принадлежат первому из двух заданных отношений и не принадлежат второму;
¨ Соединение: возвращает отношение, кортежи которого – это сочетания двух кортежей (принадлежащих соответственно двум определенным отношениям), имеющих общее значение для одного или нескольких общих атрибутов этих двух отношений ( и такие общие значения в результирующем кортеже появляются только один раз, а не дважды).
¨ Деление: для двух отношений, бинарного и унарного, возвращает отношение, содержащее все значения одного атрибута бинарного отношения, которые соответствуют (в другом атрибуте) всем значениям в унарном отношении.
Мы рассмотрим вычитание.
Вычитанием двух совместимых по типу отношений и называется отношение с тем же заголовком, что и у отношений и , и телом, состоящим из кортежей, принадлежащих отношению и не принадлежащих отношению .
Синтаксис операции вычитания:
Пример1. Для тех же отношений и , что и в предыдущем примере вычитание имеет вид:
Табельный номер Фамилия Зарплата
2 Петров 2000
3 Сидоров 3000
Вычитание натуральных чисел поясняется в младших классах на такой модели из теории конечных множеств: пусть m и n — натуральные числа и пусть М и N — два множества с | М | = m и |N| = n такие, что M N . Тогда d = n - m есть кардинальное число теоретико-множественной разности D |M N| = |М| +|N| - |М N|
(где через |M| обозначается кардинальное число множества M).ел отвечает образованию декартова произведения множеств. А. именно имеет место разномощность.
|M x N| = |M| |N|
Так что, если |М| = m и |N| = n, то р = m n - это мощность декартова произведения М х М. Отметим, что Г. Кантор перенес определения арифметических действий и на случай бесконечных кардинальных чисел.
Арифметическое вычитание
Операция вычитания, если её применять ко всем парам натуральных чисел, а не только к таким, которые могли бы быть суммой и слагаемым в рамках операции сложения, позволяет выйти за пределы натурального ряда, то есть разность двух натуральных чисел не обязательно является натуральным числом — в результате вычитания может получиться ноль или вовсе отрицательное число. Отрицательные числа уже невозможно рассматривать как количество предметов, на числовой оси они расположены левее ноля. Множество чисел, получившееся добавлением к натуральным числам отрицательных чисел и числа ноль, носит название множества целых чисел. Ноль и множество натуральных чисел называются положительные целые числа. При умножении, чтобы определить, положительным или отрицательным будет произведение чисел, используют «правило знаков».
Термин «вычитание» появился ещё у Боэция, термины «вычитаемое» и «уменьшаемое» ввёл в обиход Вольф в 1716 году, «разность» — Видман в 1489 году. Современное обозначение знаками «+» и «−» было также введено Видманом в конце XV века.
Рассмотрим вычитание в позиционных системах счисления. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления.
Вычтем единицу из чисел 102, 108 и 1016
Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой:
Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей вычитания с учетом возможных заемов из старших разрядов. В качестве примера произведем вычитание двоичных чисел 1102 и 112:
Связь между теореко- множественным вычитанием и арифметическим
В курсе математики начальных классов находит отражение теоретико-множественный подход к истолкованию сложения и вычитания целых неотрицательных чисел (натуральных и нуля), в соответствии с которым сложение целых неотрицательных чисел связано с операцией объединения попарно непересекающихся конечных множеств, вычитание – с операцией дополнения выделенного подмножества. Этот подход легко интерпретируется на уровне предметных действий, позволяя тем самым учитывать психологические особенности младших школьников.
Простейшей операцией над множествами является операция вычитания (отнимания) при операции вычитания из одного множества элементов отнимают элементы другого множества. Так на рисунке 1 из множества n (С) можно отнять множество n (А) и останется множество n (В). При формировании у детей представлений о вычитании можно условно ориентироваться на следующие предметные ситуации:
а) уменьшение данного предметного множества на несколько предметов (множество предметов, которые удаляются, зачеркнуто):
б) уменьшение множества, равночисленного данному, на несколько предметов:
в) сравнение двух предметных множеств, т. е. ответ на вопрос «На сколько предметов в одном множестве больше (меньше), чем в другом?»:
В процессе выполнения предметных действий у ребенка формируется представление о вычитании как о действие, которое связано с уменьшением количества предметов.
Рассмотрим конкретный пример: «У Маши было пять кукол. Две она подарила Тане. Покажи куклы, которые у нее остались». Дети рисуют 5 кукол, зачеркивают 2 и показывают куклы, которые у нее остались.
Для разъяснения смысла вычитания, также как и сложения, можно использовать представления детей о соотношение целого и части. В этом случае куклы, которые были у Маши («целое»), состоят из двух частей: «куклы, которые она подарила и куклы, которые у нее остались».
Часть всегда меньше целого, поэтому нахождение части связано с вычитанием. Обозначая части и целое их числовыми значениями, дети получают выражение 5 – 2 или равенство 5 – 2 = 3. В процессе выполнения у детей формируется представление о понятие «меньше на».
Из курса математики нам известно, что если а и в целые неотрицательные числа, то:
а) а • в = а + а + а + … + а, при в < 1; в слагаемых б) а • 1 = а, при в = 1 в) а • 0 = 0, при в = 0
Заключение
Итак, изучение использования множеств в обучении арифметическим действиям очень важный вопрос математики. Дети должны уметь употреблять множество, группировать предметы по разным признакам, сравнивать группы множеств. А также должны уметь показать независимости числа предметов от их размера, площади и формы расположения. Также важно при изучении употребления множеств, чтобы дети научились самостоятельно прибегать к способам практического сопоставления групп предметов, доказывая правильность своих суждений о связях и отношениях между смежными числами.