Содержание ВВЕДЕНИЕ 3 ГЛАВА 1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ НАЧАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ 5 1.1. Арифметическая задача. Виды арифметических задач 5 1.2. Роль решения задач 7 1.3. Общие вопросы методики обучения решению простых задач 10 1.3.1. Подготовительная работа к решению задач 11 1.3.2. Классификация простых задач 12 ГЛАВА 2. Моделирование как средство формирования умения решать задачи 16 2.1. Виды моделирования. Графическое моделирование как основное средство 16 2.2. Обучение решению задач на движение с помощью схематического моделирования 22 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 27 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 31 ВВЕДЕНИЕ Велико значение математики в повседневной жизни человека. Без счета, без умения правильно складывать, вычитать, умножать и делить числа немы с лимо развитие человеческого общества. Четыре арифметических действия, пр а вила устных и письменных вычислений изучаются, начиная с начальных кла с сов, а устный счет сейчас предлагается детям чуть ли не с пеленок. Арифметика возникла из повседневной практики, из жизненных нужд людей в их трудовой деятельности. Арифметика развивалась медленно и долго. В настоящее время в связи с дифференциацией процесса обучения, вв е дением профильных образовательных систем актуальной становится проблема разработки соответствующих программ обучения. Существующие традицио н ные программы и учебники по математике для начальной школы перестали удовлетворять потребностям не только специализированной начальной школы, но и обычной системы начального образования. Содержание этих программ во многом устарело, оно не учитывает тех, безусловно, интересных эффективных наработок в области педагогики, психологии и частных методик, которые уже вошли в практику многих учителей. В связи с этим представляется необход и мой разработка усовершенствованных вариантов традиционных программ по математике с учетом этих наработок. В данной курсовой работе, выдвигая гипотезу, что приемы графического моделирования влияют на скорость формирования умения решать задачи, я п о стараюсь сделать следующее: Ш Рассмотреть известные, но мало применяемые на практике граф и ческие модели, включить их в практическую работу с детьми; Ш Овладеть приемами диагностики уровня сформированности умения у детей младшего школьного возраста решать задачи на движение; Ш Систематизировать приемы схематического моделирования, уч и тывая опыт учителей начальной школы. Целью данной курсовой работы является разработка системы приемов схематического моделирования. В работе планируется использовать различные учебные пособия для начальной школы, систему обучения, разработанную под руководством Л.В. Занкова, новые экспериментальные методики, хорошо зарекомендова в шие себя на практике (по публикациям в журнале «Начальная школа»), а также методику Эрдниева П. М. «Укрупненные дидактические единицы» и др. ГЛАВА 1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ НАЧАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ 1.1. Арифметическая задача. Виды арифметических задач В окружающей нас жизни возникает множество таких жизненных ситу а ций, которые связаны с числами и требуют выполнения арифметических де й ствий над ними,— это задачи. Рассмотрим простую задачу на движение. Легковая машина была в пути 4 ч и шла со скоростью 56 км в час. Какое расстояние прошла машина? Каждая задача имеет условие и вопрос. В условии задачи указываются связи между данными числами, а также между данными и искомым; эти связи и определяют выбор соответствующих арифметических действий. Вопрос указ ы вает, какое число является искомым. Условие данной задачи: «Легковая маш и на была в пути 4 ч и шла со скоростью 56 км в час», а вопрос: «Какое рассто я ние прошла машина?». Решить задачу – значит раскрыть связи между данными и искомым, з а данные условием задачи, на основе чего выбрать, а затем выполнить .арифметические действия и дать ответ на вопрос задачи. Рассмотрим решение приведенной задачи. Из условия известны скорость машины и время ее движения. Требуется узнать расстояние, пройденное машиной. Используя связь, существующую между этими величинами, выполним решение: 56*4=224. Ответ на вопрос зад а чи: машина прошла 224 км. Как видим, переход от жизненной ситуации к арифметическим действиям определяется в разных задачах различными связями между данными и иск о мым. Остановимся на вопросе о классификации задач. Все арифметические з а дачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Задача, для решения которой надо выполнить один раз арифметич е ское действие, называется простой. Задача, для решения которой надо выпо л нить несколько действий, связанных между собой (независимо от того, будут ли это разные или одинаковые действия), называется составной. Простые задачи можно разделить на виды либо в зависимости от де й ствий, с помощью которых они решаются (простые задачи, решаемые сложен и ем, вычитанием, умножением, делением), либо в зависимости от тех понятий, которые формируются при их решении (классификация простых задач будет рассмотрена ниже). Для составных задач нет такого единого основания классификации, кот о рое позволило бы с пользой для дела разделить их на определенные группы. Однако по методическим соображениям целесообразно выделить из всего мн о гообразия задач некоторые группы, сходные либо математической структурой (например, задачи, в которых надо сумму разделить на число), либо способом решения (например, задачи, решаемые способом нахождения значения пост о янной величины), либо конкретным содержанием (например, задачи, связанные с движением). В начальном курсе математики рассматриваются простые задачи и с о ставные преимущественно в 2-4 действия. В близкой связи с арифметическими задачами находятся упражнения, к о торые называют задачи-вопросы. В задачах-вопросах, как и в собственно зад а чах, имеется условие (которое может включать числа, а может и не включать) и вопрос. Однако в отличие от задачи для решения задачи-вопроса достаточно установить соответствующие связи между данными и искомым, а арифметич е ских действий выполнять не надо. Например: «Из двух поселков выехали одн о временно навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист, которые встрет и лись через 36 мин. Сколько времени был в пути до встречи каждый?» 1.2. Роль решения задач В общей системе обучения математике решение задач является одним из видов эффективных упражнений. Решение задач имеет чрезвычайно важное значение, прежде всего, для формирования у детей полноценных знаний, определяемых программой. Так, если мы хотим сформировать у школьников правильное понятие о сложении, необходимо, чтобы дети решили достаточное количество простых задач на нахождение суммы, практически выполняя каждый раз операцию об ъ единения множеств без общих элементов. Например, предлагается задача: «У девочки было 4 цветных карандаша и 2 простых. Сколько всего карандашей было у девочки?» В соответствии с условием задачи дети раскладывают, например, 4 палочки, затем придвигают еще 2 палочки к 4 и считают, сколько всего палочек. Далее выясняется, что для решения задачи надо к 4 прибавить 2, получится 6. Выполняя многократно подобные упражнения, дети постепенно будут овладевать понятием о действии сложения. Выступая в роли конкретного материала для формирования знаний, задачи дают возможность связать теорию с практикой, обучение с жизнью. Решение задач формирует у детей практич е ские умения, необходимые каждому человеку в повседневной жизни. Напр и мер, подсчитать стоимость покупки, ремонта квартиры, вычислить, в какое время надо выйти, чтобы не опоздать на поезд, и т. п. Использование задач в качестве конкретной основы для ознакомления с новыми знаниями и для применения уже имеющихся у детей знаний играет и с ключительно важную роль и формировании у них элементов материалистич е ского мировоззрения. Решая задачи, ученик убеждается, что многие математ и ческие понятия (число, арифметические действия и др.) имеют корни в реал ь ной жизни, в практике людей. Через решение задач дети знакомятся с важными в познавательном и во с питательном отношении фактами. Упражнения – это важнейший компонент учебного материала. В упра ж нении необходимо четко выделять содержательную характеристику, т.е. их с о ответствие с научным знанием. Главная дидактическая функция упражнений – закрепление знаний. Несмотря на устойчивое мнение, что для прочности усвоения учащийся должен выполнить возможно большее число однотипных упражнений, в п о следнее время появилась тенденция к уменьшению времени на операции, про ч но усвоенные в начальной школе и к уделению большего внимания графич е скому моделированию. По всей вероятности графическое моделирование сл е дует применять уже с первых дней обучения детей в школе как средство фо р мирования умения решать задачи. Одним из мало используемых средств освоения знаний в школе служит способ матричного (табличного) представления знаний. Таблица упражнений «незаметным образом» (в пределах самого упражнения!) увеличивает время для освоения дополнительной структурной (не числовой) информации. Матрица представляет собой особый учебный прием, позволяющий об у чающемуся проникнуть во внутреннюю взаимосвязь числовых и иных резул ь татов. Простейшими матрицами являются четверки примеров на сложение и умножение, например: 3+2=5 5-2=3 2+3=5 5-3=2 3*2=… : 2=3 2*3=… : 3=2 Уже в первом классе поучительно познакомиться с графической моделью матрицы на нахождение суммы четырех слагаемых двумя способами (рис.1) Слева (черный) Справа (белый) Всего Сверху (большие) 2+1=3 Внизу (малые) 3+4=7 Всего 2+3=5 1+4=5 3+7=5+5= 10 Рис. 1. На основе данной матрицы проводится содержательная беседа с большой логической нагрузкой. Так, изображенные фигуры можно классифицировать двояко: в плане пропедевтики системы координат (слева - справа; вверху – вн и зу) и в плане сравнения по величине (большие – малые), по цвету (черные – б е лые). Концовкой такой беседы может быть, например, следующий диалог: «Сколько фигур слева? (5). Справа? (5). Сколько всего? (5+5=10). Сколько ф и гур в верхнем ряду? (3). В нижнем ряду? (7). Сколько всего? (7+3=10). Опять 10!». Для малыша такое явление сохранения суммы представляется удивител ь ным. Сам процесс решения задач при определенной методике оказывает вес ь ма положительное влияние на умственное развитие школьников, поскольку он требует выполнения умственных операций: анализа и синтеза, конкретизации и абстрагирования, сравнения, обобщения. Так, при решении любой задачи уч е ник выполняет анализ: отделяет вопрос от условия, выделяет данные и искомые числа; намечая план решения, он выполняет синтез, пользуясь при этом ко н кретизацией (мысленно «рисует» условие задачи), а затем абстрагированием (отвлекаясь от конкретной ситуации, выбирает арифметические действия); в р е зультате многократного решения задач какого-либо вида ученик обобщает зн а ние связей между данными и искомым в задачах этого вида, в результате чего обобщается способ решения задач этого вида. 1.3. Общие вопросы методики обучения решению простых задач Научить детей решать задачи – значит научить их устанавливать связи между данными и искомым и в соответствии с этим выбирать, а затем и выпо л нять арифметические действия. Центральным звеном в умении решать задачи, которым должны овладеть учащиеся, является усвоение связей между данными и искомым. От того, насколько хорошо усвоены учащимися эти связи, зависит их умение решать з а дачи. Учитывая это, в начальных классах ведется работа над группами задач, решение которых основывается на одних и тех же связях между данными и и с комым, а отличаются они конкретным содержанием и числовыми данными. Группы таких задач называются задачами одного вида. По мнению Бантовой М.А. [4] работа над задачами не должна сводиться к натаскиванию учащихся на решение задач сначала одного вида, затем другого и т. д. Главная цель – научить детей осознанно устанавливать определенные св я зи между данными и искомым в разных жизненных ситуациях, предусматривая постепенное их усложнение. Чтобы добиться этого, учитель должен пред у смотреть в методике обучения решению задач каждого вида такие ступени: 1) подготовительную работу к решению задач; 2) ознакомление с решением задач; 3) закрепление умения решать задачи. Рассмотрим подробнее методику работы на каждой из названных ступ е ней. 1.3.1. Подготовительная работа к решению задач На этой первой ступени обучения решению задач того или другого вида должна быть создана у учащихся готовность к выбору арифметических де й ствий при решении соответствующих задач: они должны усвоить знание тех связей, на основе которых выбираются арифметические действия, знание об ъ ектов и жизненных ситуаций, о которых говорится в задачах. До решения простых задач ученики усваивают знание следующих связей: 1) Связи операций над множествами с арифметическими действиями, т. е. конкретный смысл арифметических действий. Например, операция объедин е ния непересекающихся множеств связана с действием сложения: если имеем 4 да 2 флажка, то, чтобы узнать, сколько всего флажков, надо к 4 прибавить 2. 2) Связи отношений «больше» и «меньше» (па несколько единиц и в н е сколько раз) с арифметическими действиями, т. е. конкретный смысл выраж е ний «больше на . . . », «больше в … раз», «меньше на . . . », «меньше в . . . раз». Например, больше на 2, это столько же. и еще 2, значит, чтобы получить на 2 больше, чем 5), надо к 5 прибавить 2. 3) Связи между компонентами и результатами арифметических действий, т. е. правила нахождения одного из компонентов арифметических действий по известным результату и другому компоненту. Например, если известна сумма и одно из слагаемых, то другое слагаемое находится действием вычитания: из суммы вычитают известное слагаемое. 4) Связи между данными величинами, находящимися в прямо или обра т но пропорциональной зависимости, и соответствующими арифметическими действиями. Например, если известны цена и количество, то можно найти ст о имость действием умножения. Кроме того, при ознакомлении с решением первых простых задач учен и ки должны усвоить понятия и термины, относящиеся к самой задаче и ее реш е нию (задача, условие задачи, вопрос задачи, решение задачи, ответ на вопрос задачи). 1.3.2. Классификация простых задач Простые задачи можно разделить на группы в соответствии с теми ари ф метическими действиями, которыми они решаются. Однако в методическом отношении удобнее другая классификация: дел е ние задач на группы в зависимости от тех понятий, которые формируются при их решении. Можно выделить три такие группы. Охарактеризуем каждую из них. К первой группе относятся простые задачи, при решении которых дети усваивают конкретный смысл каждого из арифметических действий. В этой группе пять задач: 1) Нахождение суммы двух чисел. Девочка вымыла 3 глубокие тарелки и 2 мелкие. Сколько всего тарелок вымыла девочка? 2) Нахождение остатка. Было 6 яблок. Два яблока съели. Сколько ост а лось? 3) Нахождение суммы одинаковых слагаемых (произведения). В живом уголке жили кролики в трех клетках, по 2 кролика в каждой. Сколько всего кроликов в живом уголке? 4) Деление на равные части. У двух мальчиков было 8 конфет, у каждого поровну. Сколько конфет было у каждого мальчика? 5) Деление по содержанию. Каждая бригада школьников посадила по 12 деревьев, а всего они пос а дили 48 деревьев. Сколько бригад выполняли эту работу? Ко второй группе относятся простые задачи, при решении которых уч а щиеся усваивают связь между компонентами и результатами арифметических действий. К ним относятся задачи на нахождение неизвестных компонентов. 1) Нахождение первого слагаемого по известным сумме и второму слаг а емому. Девочка вымыла несколько глубоких тарелок и 2 мелкие, а всего она в ы мыла 5 тарелок. Сколько глубоких тарелок вымыла девочка? 2) Нахождение второго слагаемого по известным сумме и первому слаг а емому. Девочка вымыла 3 глубокие тарелки и несколько мелких. Всего она в ы мыла 5 тарелок. Сколько мелких тарелок вымыла девочка? 3) Нахождение уменьшаемого по известным вычитаемому и разности. Дети сделали несколько скворечников. Когда 2 скворечника они повесили на дерево, то у них осталось еще 4 скворечника. Сколько скворечников сделали дети? 4) Нахождение вычитаемого по известным уменьшаемому и разности. Дети сделали 6 скворечников. Когда несколько скворечников они пов е сили на дерево, у них еще осталось 4 скворечника. Сколько скворечников дети повесили на дерево? 5) Нахождение первого множителя по известным произведению и втор о му множителю. Неизвестное число умножили на 8 и получили 32. Найти неизвестное число. 6) Нахождение второго множителя по известным произведению и перв о му множителю. 9 умножили на неизвестное число и получили 27. Найти неизвестное чи с ло. 7) Нахождение делимого по известным делителю и частному. Неизвестное число разделили на 9 и получили 4. Найти неизвестное чи с ло. 8) Нахождение делителя по известным делимому и частному. 24 разделили на неизвестное число и получили 6. Найти неизвестное чи с ло. К третьей группе относятся задачи, при решении которых раскрываются понятия разности и кратного отношения. К ним относятся простые задачи, св я занные с понятием разности (6 видов), и простые задачи, связанные с понятием кратного отношения (6 видов). 1) Разностное сравнение чисел или нахождение разности двух чисел (I вид). Один дом построили за 10 недель, а другой за 8 недель. На сколько недель больше затратили на строительство первого дома? 2) Разностное сравнение чисел или нахождение разности двух чисел (II вид). Один дом построили за 10 недель, а другой за 8. На сколько недель меньше затратили на строительство второго дома? 3) Увеличение числа на несколько единиц (прямая форма). Один дом п о строили за 8 недель, а на строительство второго дома затратили на 2 недели больше. Сколько недель затратили на строительство второго дома? 4) Увеличение числа на несколько единиц (косвенная форма). На строительство одного дома затратили 8 недель, это на 2 недели мен ь ше, чем затрачено на строительство второго дома. Сколько недель затратили на строительство второго дома? 5) Уменьшение числа на несколько единиц (прямая форма). На строительство одного дома затратили 10 недель, а другой построили на 2 недели быстрее. Сколько недель строили второй дом? 6) Уменьшение числа на несколько единиц (косвенная форма). На строительство одного дома затратили 10 недель, это на 2 недели больше, чем затрачено на строительство второго дома. Сколько недель строили второй дом? Задачи, связанные с понятием кратного отношения.(не приводя примеры) 1) Кратное сравнение чисел или нахождение кратного отношения двух чисел (I вид). (Во сколько раз боль ше?) 2) Кратное сравнение чисел или нахождение кратного от ношения двух чисел (II вид). (Во сколько раз мень ше?) 3) Увеличение числа в несколько раз (прямая форма). 4) Увеличение числа в несколько раз (косвенная форма). 5) Уменьшение числа в несколько раз (прямая форма). 6) Уменьшение числа в несколько раз (косвенная форма). Здесь названы только основные виды простых задач. Однако они не и с черпывают всего многообразия задач. Порядок введения простых задач подчиняется содержанию программного материала. В I классе изучаются действия сложения и вычитания и в связи с этим рассматриваются простые задачи на сложение и вычитание. Во II классе в связи с изучением действий умножения и деления вводятся простые задачи, решаемые этими действиями. ГЛАВА 2. Моделирование как средство формирования умения решать задачи 2.1. Виды моделирования. Графическое моделирование как основное средство Глубина и значимость открытий, кото рые делает младший школьник, р е шая задачи, определяется характером осущест вляемой им деятельности и мерой ее освоения, тем, какими средствами этой деятельности он владеет. Для того чтобы ученик уже в начальных классах мог выделить и освоить способ решения широкого класса задач, а не ограничи вался нахождением ответа в данной, ко н кретной задаче, он должен овла деть некоторыми теоретическими знания ми о задаче и, прежде всего, о ее структуре. Известный отечественный психолог А.Н. Леонтьев писал: «Актуально сознается только то содержание, которое является предметом целенаправле н ной активности субъекта». Поэтому, чтобы структура задачи стала предметом анализа и изучения, необходимо отделить ее от всего несущественного и пре д ставить в таком виде, который обеспечивал бы необходимые действия. Сделать это мож но путем особых знаково-символических средств — моделей, одн о значно отобра жающих структуру задачи и достаточно простых для восприятия младшими школьниками. В структуре любой задачи выделяют: 1. Предметную область, т. е. объекты, о которых идет речь в задаче. 2. Отношения, которые связывают объекты предметной области. 3. Требование задачи. Объекты задачи и отношения между ними составляют условие задачи. Напри мер, в задаче: «Лида нарисовала 5 домиков, а Вова - на 4 домика больше. Сколько домиков нарисовал Вова?» — объектами являются: 1) количество домиков, нарисованных Лидой (это известный объект в з а даче); 2) количество домиков, нарисованных Вовой (это неизвестный объект в задаче и согласно требованию искомый). Связывает объекты отношение «больше на ». Структуру задачи можно представить с помощью различных моделей. Но преж де, чем сделать это, уточним некоторые вопросы, связанные с классиф и кацией моделей и терминологией. Все модели принято делить на схема тизированные и знаковые. В свою очередь, схематизированные модели бы вают вещественными (они обеспечивают физическое действие с предметами) и графическими (они обеспечивают графи ческое действие). К графическим моде лям относят рисунок, условный рисунок, чертеж, схематический чертеж (или схему). Знаковая модель задачи может выпол няться как на естественном языке (т. е. имеет словесную форму), так и на математическом (т. е. используются сим волы). Например, знаковая модель рассматри ваемой задачи, выполненная на естест венном языке,— это общеизвестная крат кая запись: Знаковая модель данной задачи, вы полненная на математическом языке, имеет вид выражения 5+4. Уровень овладения моделированием определяет успех решающего. Поэтому обучение моделированию занимает особое и главное место в формировании умения решать задачи. Лавриненко Т.А. предлагает следующие приемы предметного моделир о вания простых задач на сложение и вычитание: с дочислового периода нач и нать выполнять практические упражнения по всем видам задач, объясняя пол у ченный результат и выборочно зарисовывать в тетради. - Положите три красных кружка, а ниже положите 5 синих кружков. Сколько всего кружков вы положили? 3 8 5 - Положите 6 квадратов, а теперь 2 уберите. Сколько осталось квадр а тов? 6 2 - Положите три круга, а внизу положите на 2 квадрата больше. Сколько вы положили квадратов? Как вы выкладывали квадраты? 3 2 - Положите 7 желтых треугольников, а внизу красных треугольников положите на 3 меньше, чем желтых. Сколько красных треугольников вы пол о жили? Как догадались? 7 3 - Положите 5 квадратов. Ниже положите 3 круга. Чего больше? На сколько больше? Как вы догадались? 5 3 После знакомства со знаками «+» и «- » необходимо продолжить выпо л нение практических упражнений, применяя графическое моделирование, вв о дя тексты задач и выбирая нужное действие. - На ветке сидело 8 птичек (положите 8 палочек), 3 птички улетели (отодвинули 3 палочки). Сколько птичек осталось? Какое действие выберем? (Отодвинули, значит, «вычитание»). 8-3=5 (пт.) - У Коли 5 машинок (положите 5 квадратиков), а у Сережи на две м а шинки меньше (выложите машинки Сережи кружочками.) Сколько машинок у Сережи? Какое действие выберем? Почему? (Мы закрыли два квадрата, а сколько осталось – столько выложили кружков. Убрали 2 квадрата, значит, в ы полнили действие «вычитание»). 5-2=3 (м.) 2 Учим правило «На… меньше – делаем вычитание» - У Кати 6 красных шаров (выкладываем 6 красных кружков) и 4 синих (выкладываем внизу 4 синих кружка). На сколько у Кати красных шаров бол ь ше, чем синих? - Как найдем на сколько больше красных шаров? (Нужно из красных отодвинуть столько, сколько синих, узнаем на сколько больше красных шаров). - Какое действие выберем? (Мы отодвинули шары, значит, действие «вычитание»). 6-4=2 (ш). ? Учим правило «Чтобы сравнить, на сколько одно число больше другого, нужно из большего числа вычесть меньшее». Итак, целенаправленная работа по формированию приемов умственной деятельности начинается с первых уроков математики при изучении темы “О т ношения равенства-неравенства величин”. Действуя с различными предметами, пытаясь заменить один предмет другим, подходящим по заданному признаку, дети выделяют параметры вещей, являющиеся величинами, т.е. свойства, для которых можно установить отношения равно, неравно, больше, меньше. В ко н тексте задач дети знакомятся с длиной, массой, площадью, объемом. Получе н ные отношения моделируются сначала с помощью предметов, графически (о т резками), а затем - буквенными формулами. На первых же уроках нужно познакомить детей с прямой и кривой лин и ей, а затем с понятием отрезка и научить чертить отрезки по линейке. Для этого можно выполнить упражнение следующего вида: После того как дети хорошо разберутся в понятии “задача”, можно учить их составлять задачи по картинкам, причем все виды задач. Здесь полезно применять чертежи и схематические рисунки, блок-схемы, моделирование с помощью отрезков, таблиц и матриц. Графические модели и таблицы позволяют сравнивать пары понятий: левая – правая, верхняя – нижняя, увязывать пространственную информацию (правая – левая) с информацией меры (широкая - узкая, короткая - длинная) тем самым формируя умение решать задачи. Примером может служить таблица: Короткая (левая) Длинная (правая) Широкая (верхняя) Узкая (нижняя) В беседе со школьниками по этой матрице следует задавать противопо-ложные по содержанию вопросы. Вопрос: какая лента нарисована в правой нижней клетке? Ответ: длинная и узкая. Вопрос: где нарисована короткая и широкая лента? Ответ: в левой верхней клетке. Табличные примеры удобны для быстрого решения примеров, информационно связанных друг с другом (рис.3). Так, например, заполняя клетки таблицы, школьники должы обратить внимание на совпадение парных сумм, например: 35+47=45+37=82. А + В А В 43 45 47 49 33 35 37 39 2.2. Обучение решению задач на движение с помощью схематического моделирования На подготовительном этапе на основе движущихся моделей дети должны уяснить что значит двигаться навстречу друг другу и в противоположных направлениях. Необходимо познакомить детей с элементами чертежей к зад а чам на движение и научить их вычерчивать по условию задачи. 24 м ?, на 8 м < ? м После такого предварительного знакомства вводится понятие "скорость". Беседа начинается с того, что есть предметы движущиеся и не движущиеся (д е ти приводят примеры). Опираясь на жизненный опыт детей, выясняем, что о д ни предметы движутся быстрее, другие медленнее. Открываем таблицу на доске: Пешеход — 5 км за 1 час 5 км/ч Автомобиль — 80 км за 1 час 80 км/ч Ракета — 6 км за 1 сек. 6 км/с Черепаха — 5 м за 1 мин. 5 м/мин В этом случае говорят, что скорость пешехода 5 км в час (показываем з а пись 5 км/ч) и т. д. Скорость движения — это расстояние, которое проходит движущийся предмет за единицу времени (за 1 час, за 1 минуту, за 1 секунду). - Проверим, как вы меня поняли. Скорость поезда 70 км/ч. Что это озн а чает? (Поезд проезжает 70 км за 1 час.) - Скорость мухи — 5 м/с — ? - Скорость африканского страуса — 120 км/ч — ? Задача. Велосипедист был в пути 3 ч и проехал за это время 36 км. В т е чение каждого часа он проезжал одинаковое расстояние. Сколько километров проезжал велосипедист в каждый час? 36 ч Пояснить, что чёрточки означают количество часов. 36 : 3 = 12 (?) Мы нашли, сколько километров проезжал велосипедист за каждый час, т. е. за 1 час или за единицу времени. Что же это за величина? (Скорость.) Как обозначим единицу измерения скорости? (км/ч) 36 : 3 = 12 (км/ч) V = S : t скор .расст. вр. Вывешивается формула и заучивается правило. На следующих уроках вводятся два других правила. После того, как дети выучат правила, задачи р е шаются в два и более действия; используется краткая запись в виде чертежа или таблицы. Необходимо познакомить детей с понятием "общей скорости" (скорость сближения или удаления) и пояснить, что использование понятия "общая ск о рость" упрощает решение задач. рис. 2. 60 + 80 = 140 (км/ч) — общая скорость. На 140 км сблизятся машины за 1 час. На 140 км удалились машины друг от друга за 1 час. Чтобы дети уяснили решение задач через "общую скорость", нужно пе р вые задачи разобрать от данных к вопросу. — Известно "общее" расстояние 390 км и известно время — 3 ч. Что можно найти, зная расстояние и время? — Если дано "общее" расстояние, то какую скорость мы найдём? (Найдём общую скорость.) — Теперь, зная "общую скорость" и скорость первого автомобиля, что можно найти? (Скорость второго автомобиля.) — Ответили мы на вопрос задачи? (Да.) Весьма поучительно решение следующей четверки задач, исчерпыва ю щих все возможные комбинации направлений движения двух тел относительно друг друга (рис.7 ). Вопрос для всех задач общий: через сколько секунд А и В окажутся рядом? Итак, дана задача: «Между двумя точками А и В имеются две дороги, длинная — 160 м и короткая — 80 м. Из этих точек движутся два вел о сипедиста со скоростями 5 и 3 м в секунду. Через сколько секунд они окажутся рядом? (Рассмотреть все возможные случаи.)» Решение задачи удобно изобразить в матрице с двумя входами. Подобная четверка задач позволяет рассмотреть исчерпывающим обр а зом математическую ситуацию, перебирая все возможные сочетания направл е ний движения двух тел. При таком оформлении четверки задач информация о направлении движения передается на нескольких кодах: по горизонтальному входу матрицы показаны скорости велосипедиста А, по вертикальному входу матрицы показаны скорости велосипедиста В. Эти же скорости изображены и на самих рисунках в матрице. По этой схеме удобно проводить обучающую б е седу, позволяющую добыть дополнительную информацию об изучаемом. Вопрос. В каких клетках изображено движение в противоположных направлениях (навстречу»)? Ответ. Движение «навстречу» изображено в кле т ках правой диагонали (I и IV). Вопрос. В каких клетках изображено движение в одном направлении («вдогонку»)? Ответ. Движение вдогонку изображено в клетках левой диагонали (11 и III). Вопрос. Сравните задачи (II и III). В каком случае быстрее нагонит один велосипедист другого? Почему? Ответ. В первом случае, так как в этом случае первоначальное расстояние между велосипед и стами – 80 м. во втором случае – больше (160 м). Мы описали беседу, основанную на качественных сравнениях: (1— 11), (IV— III), (I— IV). Однако в таком анализе можно пойти значительно дальше, проникая в глубинные связи, которые при обычной практике обучения на основе одинарных задач являются для мышления школьника недоступными. В процессе дополнительного обсуждения можно извлечь новые сведения. Вопрос. Какова скорость сближения велосипедистов в (11) и (III) случаях? О т вет. Скорости сближения равные, так как в обоих случаях движение соверш а ется вдогонку. Скорость сближения здесь равна 5+3=8 (м) за каждую секунду Вопрос. Через сколько секунд произойдет первая встреча в первой и четвертой задачах? Ответ. 80:2=40 (с); 160:2=80 (с). Вопрос. Через сколько секунд будут происходить последующие встречи? Через различное время или одно и то же время? Почему? Ответ. После первой встречи условия задач оказываются одинаковыми: в обоих случаях быстрейший должен нагнать медленного вел о сипедиста через (160+80):2=120 (с). Вопрос. Почему же здесь расстояние в ы росло до 160+80=240 (м)? Ответ . Потому что между данными двумя велос и педистами в момент встречи расстояние равно нулю (0 метров). Однако при дальнейшем движении между быстрейшим и медленным оказывается весь кр у говой путь (160+80=240). Вопрос. Через сколько секунд будут происходить п о следующие встречи в 1 и IV задачах? Ответ. (160+80): (5+3)= =240:8=30 (с). Мы видим, что решение сматрицированной задачи, состоящей из четырех попарно связанных случаев, становится особым видом укрупненного упражн е ния, т.е. некоторым сочинением на математическую тему «Задачи на движ е ние». ЗАКЛЮЧЕНИЕ Как научить детей решать задачи? С психолого-методической точки зр е ния, по всей вероятности, необходимо организовать обучение с опорой на опыт дошкольников, на их предметно-действенное и наглядно-образное мышление, необходимо формировать и развивать у учеников математические понятия на основе содержательного обобщения уже известных фактов. Число математических понятий невелико. Школьный курс математики сводится к следующему: число, пространство, линия, поверхность, точка, функция, производная, вероятность, множество. Целенаправленная работа по формированию приемов умственной де я тельности должна начинаться с первых уроков математики при изучении темы «Отношения равенства-неравенства величин». Действуя с различными предм е тами, пытаясь заменить один предмет другим, подходящим по заданному пр и знаку, дети должны научиться выделять параметры вещей, являющиеся вел и чинами, т.е. свойства, для которых можно установить отношения равно, нера в но, больше, меньше. В контексте задачи дети знакомятся с длиной, массой, площадью, объемом. Полученные отношения моделируются сначала с пом о щью предметов, графически (отрезками), а затем - буквенными формулами. Наглядность задач необходима для их лучшего понимания, ощущения действительности и необходимости математики в повседневной жизни. Кроме графических моделей для лучшего усвоения учебного материала необходимо в уроки математики вводить элементы истории, и чем раньше дети узнают что такое математика, как появилось число, отрезок, деньги и т.д., тем быстрее будет происходить расширение умственного кругозора учащихся и п о вышение их общей культуры, повысится интерес к изучению математики, углубится понимание изучаемого фактического материала. В настоящее время широкое распространение получила система обучения разработанная под руко водством Л.В.Занкова (СОЗ). Главным стержнем этой системы является достижение максимального резуль тата в общем развитии школьников. Под общим развитием в систе ме понимается развитие ума, воли, чувств, т.е. всех сторон психики ребенка. Забота об общем развитии детей в процессе обучения по любо му предм е ту является одной из характерных особенностей системы. Вдумчивая и творч е ская рабо та учителей по системе показала, что при обучении математике о т крывается широкое поле деятельности для развития различных чувств - нра в ственных, эстетических, интеллек туальных. Ориентация процесса обучения на достижение высокого общего развития учащихся ведет к коренному пересмотру как общей линии в обучении матем а тике, так и конкретных методических приемов, ис пользуемых в нем. При построении процесса обучения математике важнейшим в СОЗ счит а ется вопрос о соотношении прямого и косвенного путей форми рования знаний, умений и навыков, которые присутствуют в любой системе обучения. Первый из них заключается в использовании большого количества зад а ний или упражнений, предусматривающих формирование опре деленных зн а ний, умений и навыков по математике, которые выполня ются на основе зада н ного образца или использования данного в гото вом виде алгоритма решения, т.е. основным видом деятельности явля ется репродуктивная деятельность. Т а кой путь нередко считается наи более экономным, надежным при обучении м а тематике. Косвенный путь во главу угла ставит продвижение в развитии школьн и ков, что требует продуктивной деятельности детей, исполь зования их творч е ского потенциала при выполнении предлагаемых заданий. Такой процесс об у чения строится на основе самостоятель ного добывания знаний школьниками, ведет их по пути открытий. Здесь имеют место рассуждения, предположения, рассмотрение раз ных точек зрения, отказ от предположений, выбор нового п у ти реше ния, и т.п., т.е. имеет место истинный диалог между учителем и уче никами, между самими учащимися. Нередко такой путь рассматри вается как тормозящий формирование навыка, но это не так. Хотя на первом этапе форм и рования затрачивается более длительный отре зок времени, в дальнейшем сформированный навык оказывается зна чительно более стойким и легко во с становимым, чем при использо вании прямого пути. Системы обучения, ориентированные в первую очередь на приоб ретение суммы знаний, умений и навыков, в основном используют пря мой путь обуч е ния, как приводящий к достаточно быстрому достиже нию поставленной цели, косвенный же является вспомогательным и используется эпизодически, не ок а зывая существенного влияния. Аргинская И.И. считает, что в системе обучения, направленной на пр о движение детей в общем, развитии, основным является косвенный путь, прямой путь не исключается, но и он приобретает иной вид, иной характер, т.к. не с у ществует отдельно, а становится органической частью общего на правления на творчество детей. Доктор педагогических наук П. Эрдниев и кандидат педагогических наук Б. Эрдниев предложили новую методическую систему укрупне ния дидактич е ских единиц (УДЕ). Президиум Академии педагогических наук СССР по пре д ложе нию Министерства просвещения РСФСР провел решающий экспе римент по проверке эффективности УДЕ. В этих целях составленные программы и опытные учебники по математике для начальных классов испытывались в теч е ние трех лет (1977– 1980) в экспери ментальной школе № 82 АПН СССР (пос. Черноголовка Ногин ского района Московской области). Исследованием был охвачен 21 контрольный и экспериментальный класс (всего в этих классах было 745 учащихся). Сравнение показателей успешности усвоения знаний прово дилось по те к стам, подготовленным как руководителем иссле дования, так и Научно-исследовательским институтом содержа ния и методов обучения АПН СССР, а также Программно-ме тодическим управлением Министерства просвещения РСФСР. В решении президиума АПН СССР от 28 VIII 1980 г. по итогам трехле т него испытания программ и учебников была одобре на технология укрупнения знаний, а созданная методическая система была рекомендована к внедрению в школьную учебную практику. В постановлении президиума АПН СССР по итогам этого иссле дования было записано: «Подтверждена целесообразность приме нения в школе осно в ных приемов укрупнения дидактических единиц (совместное изучение взаим о связанных вопросов, состав ление обратных задач, деформированные упражн е ния)». Укрупненной дидактической единицей Эрдниевы называют систему ро д ственных единиц учебного материала, в которой симметрия, противопоставл е ния, упорядоченные изменения компонентов учеб ной информации в совоку п ности благоприятствуют возникнове нию единой логико-пространственной структуры знания. Знание, которым учащиеся овладевают посредством методи ческой системы УДЕ, обладает качеством системности. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Аргинская И.И. Математика. 1 класс. Пособие для учителя к стабильному учебнику. – М.: Федеральный научно-методический центр им. Л.В. За н кова, 1996 2. Аргинская И.И. Математика. 3 класс. - М.: Федеральный научно-методический центр им. Л.В. Занкова, 1997 3. Аргинская И.И. Математика. Методич. пособие к уч.1-го кл. нач. шк. М.: Федеральный научно-методический центр им. Л.В. Занкова, 2000 4. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. – М.: «Просвещение», 1984 5. Волкова С.И. Карточки с математическими заданиями 4 кл. М.: «Просв е щение», 1993 6. Гейдман Б.П., Иванина Т.В., Мишарина И.Э.Математика 3 класс. – М.: Книжный дом «ЧеРо» изд. Московского университета, МЦНМО, 2000 7. Гнеденко Б.В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обуч е ния математике. – М.: «Просвещение», 1982. – 144 с.-(Библиотека учит е ля математики). 8. Грин Р., Лаксон Д. Введение в мир числа. – М.: 1984 9. Далингер В.А. Методика реализации внутрипредметных связей при об у чении математике. – М.: «Просвещение», 1991 10. Жиколкина Т.К. Математика. Книга для учителя. 2 кл. – М.: «Дрофа», 2000 11. Журнал «Начальная школа» 1981-1998 гг. 12. Зайцев В.В. Математика для младших школьников. Методическое пос о бие для учителей и родителей. – М.: «Владос», 1999 13. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. Уч.пособие. – М.: « ACADEMA » 14. Лавриненко Т.А. Как научить детей решать задачи. – Саратов: «Лицей», 2000 15. Леонтьев А.И. К вопросу о развитии арифметического мышления ребе н ка. В сб. «Школа 2100» вып.4 Приоритетные направлнеия развития обр а зовательной программы – М.: «Баласс», 2000, с.109 16. Математическое развитие дошкольников. Реценз. Бабаева Т.И. Уч.-метод. Пособие – С-Петербург: «Детство-Пресс», 2000 17. Моршнева Л.Г., Альхова З.И. Дидактический материал по математике. – Саратов: «Лицей», 1999 г. 18. Нешков Н.И., Чесноков А.С. Дидактический материал по математике для 4-го кл. – М.: «Просвещение», 1985 19. Носова Е.А., Непомнящая Р.Л. Логика и математика для дошкольников. – С-П.: «Детство Пресс», 2000 20. Петерсон Л.Г. Математика 1 класс. Методические рекомендации. – М.»БАЛАСС», «С-ИНФО», 2000 21. Сергеев И.Н., Олехин С.Н., Гашков С.Б. Примени математику. – М.: «Наука», 1991 22. Уткина Н.Г. Материалы к урокам математики в 1-3 кл. – М.: «Просвещ е ние», 1984 23. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Теория и методика обучения математике в начальной школе. – М.: «Педагогика», 1988. – 208 с.