Зонная теория твердых тел

Зонная теория твердых тел 1. Металлы, хорошо проводят электрический ток. Диэлектрики (изоляторы) плохо про водят ток. Электропроводность металлов 10 6 – 10 4 (Ом Ч см) -1 Электропроводность диэлектриков менее 10 -10 (Ом Ч см) -1 Твердые тела с промежуточной электропроводностью называются по лупроводниками. 2. Различие полупроводников и металлов проявляется в характере за висимости электропроводности от температуры. Рис.1 С понижением температуры проводимость металлов возрастает , и для чистых металлов стремится к бе сконечности при приближении к абсолютному нулю. У полупроводников, напр отив, с понижением температуры проводимость убывает, а вблизи абсолютно го нуля полупроводник становится изолятором. 3. Ни классическая электронная тео рия электропроводности, ни квантовая теория, основанная на модели свобо дных фермианов, не может дать ответа на вопрос, почему одни тела являются полупроводниками, а другие проводниками или диэлектриками. 4. Для ответа на вопрос необходимо методами квантовой меха ники рассмотреть вопрос взаимодействия валентных электронов с атомами кристаллической решетки. 5. Решить уравнение Шредингера с числом переменных порядк а 10 23 – это математическая задача безнаде жной трудности. Поэтому современная квантовая теория твердого тела осно вывается на ряде упрощений. Такой теорией является теория твердого тела . Название связано с характерной группировкой энергетических уровней э лектронов в кристаллах в зоны уровней. В основе зонной теории лежат следующие предположения: 1) При изучении движения вален тных электронов положительные ионы кристаллической решетки, ввиду их б ольшой массы, рассматриваются как неподвижные источники поля, действую щего на электроны. Расположение положительных ионо в в пространстве считается строго периодическим: они размещаются в узла х идеальной кристаллической решетки данного кристалла. Взаимодействие электронов друг с другом заменяется неко торым эффективным силовым полем. Задача сводится к рассмотрению движения электрона в периодическ ом силовом поле кристалла. Потенциальная энергия электрона U(r) периодически изменяется. §2. Простейшая модель крис таллического тела Это модель одномерная Кронига - Пенни, периодическое электрическое поле положительных ионов кристалла апроксимируется потенциалом типа «зубчатой стенки». Рис.2 На рисунке изображено чередовани е потенциальных ям и барьеров. Решение уравнения Шредингера для потенциальной ямы: (1) Решение для потенциального барье ра: (2) где ; , . X n – координата отсчитыва ется от начала n го участка. Записывают для каждой ямы и барьера, потом «сшивают» реше ния и получают основное уравнение для определения энергетических уров ней в периодическом поле кристалла. (3) где - площадь зубца. Рис.3 Графическое изображение решения уравнения Шредингера п о Кронигу – Пенни. Cos k′a может меняться в пределах от – 1 до +1. Провели параллельные прямые оси абсцисс и находим точки пересече ния этих прямых с графиком, опускаем перпендикуляры и находим корни урав нения (3). Эти участки обозначены жирными линиями. Таким образом допустимы е значения Е(к) имеют дискретный характер (зонный). Если ось (Ка) перевернут ь в вертикальное положение, то получим картину расположения энергетиче ских зон, разрешенных и запрещенных. Рис.4 На рис.4 энергетический спектр эле ктронов в кристалле имеет зонную структуру. L – длина кольца цепочки. Значения волновых векторов . б - постоянная решетки. Зону, произошедшую от валентных уровней атомов, образующ их кристалл, называют валентной зоной. Зоны, произошедшие от внутренних уровней, всегда полност ью заполнены электронами. Частично заполненной или незаполненной может быть внешн ий валентный уровень (зона проводимости). Наиболее слабо связаны 3 S -электроны. При образовании твердого тела из отдельных атомов про исходит перекрытие волновых функций этих электронов. Пространственная протяженность электронных волновых ф ункций зависит от квантовых чисел. Для больших квантовых чисел электрон ные волновые функции простираются на большие расстояния от ядра, для эти х уровней взаимное влияние атомов будет проявляться при больших рассто яниях между атомами. Что хорошо видно на рис.7, на примере уровней атомов н атрия. На уровнях 1 S , 2 S , 2 P п рактически не сказывается влияние соседних атомов, тогда как для уровне й 3 S , 3 P и более высоких уровней это влияние существенно и эти уровни п ревращаются в энергетические зоны. Для 3 S – электронов имеется энергетический минимум, обеспечивающий ус тойчивую твердотельную конфигурацию атомов натрия при средней межатом ной расстоянии R ~ 3А. В атоме натрия на энергии 3 S – электрона сказыва ется влияние соседних атомов, означает также заметное перекрытие волно вых функций этих электронов. Поэтому уже нельзя говорить о том, что конкр етный 3 S – электрон связан с каким- то конкретным атомом. Когда присутствие других атомов изменяет потенци альную яму отдельного атома (рис.5, рис.6), результирующий кулоновский поте нциал уже не будет удерживать 3 S – электроны около конкретных атомов, так что они могут находиться в твердо м теле где угодно в результате перекрытия волновых функций 3 S – электронов. Но 3 S – электроны не могут свободно покидать твердое тело, так как их волновые функции не «выходят» за пределы вещества. Энергия связи электронов в твердом теле равна работе выхода ц. Твердое тело из четырех атомов будет иметь всего четыре у ровня, распределенные по некоторому энергетическому интервалу. Рис.8 Например: в основном состоянии атома водорода электрон может находиться в одном из двух состояний – со спином вверх или вниз. В системе четырех протонов имеется восемь возмож ных состояний. Но если добавить еще три электрона, чтобы получить четыре атома водорода, то занятыми окажутся четыре состояния и на каждый электр он будет приходиться по два состояния. Эффект сближения атомов проявляе тся в изменении энергии отдельных состояний где - энергия изолированного атома , - изменения энергии , связанные с влиянием соответствующих протонов 2, 3, 4. R – расст ояние между атомами. Эффект сближения атомов проявляется в увеличении общего числа ур овней. В реальном теле содержится порядка 10 23 отдельных уровней, которые непрерывно распределяются внутри нек оторого интервала, образуя зону разрешенных значений энергии (рис.9). Така я же ситуация в основном имеет место для валентных электронов любого ато ма.Рис.9 В твердом натрии зона 3 S – электронов является внешней, наполови ну заполненной. Верхняя граница заполненных уровней приходится на сере дину зоны. Электрон может перейти на более высокий свободный уровень в э той зоне за счет теплового или электрического возбуждения. Следователь но, твердый натрий обладает хорошей электропроводностью и теплопровод ностью. На рис.10 зонная структура проводников (натрия). Верхняя зона – час тично заполненная зона. Нижние зоны - заполненные электронами. Если число энергетических уровней в зоне больше числа эл ектронов в ней, то электроны легко возбуждаются, обеспечивая тем самым п роводимость, если же все уровни в зоне заполнены, то проводимость невозм ожна или затруднена. Например: в кремнии, германии, углероде (алмаз) на P – оболо чке имеются два электрона и возникает смешанная конфигурация S и P – орби талей (орбиталь – волновая функция, описывающая данное квантовое состо яние), которая делает особенно благоприятной конфигурацию из четырех ат омов, изображенную на рис.11 (энергия кулоновского отталкивания электрон ов минимальна). Рис.11 Волновые функции S и P – электронов образуют одну соверше нно пустую гибридную SP – зону и одну заполненную гибридную SP – зону. Запо лненная и пустая зоны разделены довольно значительным энергетическим интервалом или зоной запрещенных значений энергии. Для изоляторов типи чное значение ширины запрещенной зоны ~ 5 эв и больше. Ширина запрещенной з оны для полупроводников (германия 0,67 эв, кремния 1,12 эв) находится в пределах 0,1 ё 3 эв. Полупроводники и изоляторы отличаются друг от друга тол ько шириной запрещенной зоны. Рис.12 § Теорема Блоха Теорема Блоха утверждает, что собственные функции волн ового уравнения с периодическим потенциалом имеют вид произведения фу нкции плоской волны На функцию , которая является периодической функцией в кристаллической решетке : Индекс в указывает , что эта функция зав исит от волнового ве ктора . Волновую функцию называют функцией Блоха. Решения уравнения Шредингера такого вида состоят из бег ущих волн, из таких решений можно составить волновой пакет, который буде т представлять электрон, свободно распространяющийся в периодическом потенциальном поле, созданном ионными остовами. Рис.13 Форма волнового пакета при t =0 для дебройлевских волн . Ампл итуда указа на штриховой линией, волна – сплошной. Движение монохроматической плос кой волны вдоль оси Х можно описать функцией (1) Скорость распространения волны может быть найдена как с корость перемещения постоянной фазы. (2) Если время изменится на величину ∆ t , то для того, чтобы соблюдалось условие (2), к оордината должна измениться на величину ∆х, которая может быть найден а из равенства т.е . (3) Отсюда скорость распространен ия постоянной фазы, получившей название фазовой скорости: (4) Фазовая скорость фотонов ( m 0 = 0) равна скорости света (5) , (6) Фазовая скорость электрона, движущегося со скоростью V , можно написать (7) , (7) т.е. она становится больше скорости света, поскольку V < с. Это говорит о том, что фазовая скорост ь не может соответствовать движению частицы или же переносу какой-либо э нергии. Реальный процесс не может быть чи сто монохроматическим ( k = const ). Он всегда обладает определенной ширино й, т.е. состоит из набора волн, обладающих близкими волновыми числами, а вм есте с тем и частотами. С помощью набора волн можно построить волновой пакет, амп литуда которого отлична от нуля лишь в небольшой области пространства, к оторую связывают с местоположением частицы. Максимум амплитуды волнов ого пакета распространятся со скоростью, которая получила название гру пповой скорости. Амплитуда В волнового пакета где A – амплитуда постоянная ка ждой из этих волн. В распространяется со скорос тью Для фотонов ( m 0 = 0) Для дебройлевских волн т.е . групповая скорость совпа дает со скоростью движения частицы. В точках и т.д. Квадрат амплитуды обращается в нуль. Область локализации волнового пакета , где - шири на волнового пакета. где - время расплывания волнового пакета. Соотношения неопределенностей Гейзенбер га . Чем меньше , тем шире . Для монохроматической волны , где амплитуда во всем пространств е имеет одно и то же значение, т.е. наложение частицы (одномерный случай) во всем пространстве равновероятно. Это обобщается и на трехмерный случай. Для нерелятивистского случая ( m = m 0 ) время расплывания волнового пакета если m = 1г , ,то время расплывания чрезвычайно ве лико. В случае электрона m 0 ~ 10 -27 г (размеры атома), т.е . для описания электрона в атоме мы должны использовать волновое уравнение , т.к . волновой пакет расплывается практически мгновенно. Волновое уравнение фотона содержит вторую производную по времен и, т.к. фотон всегда релятивистская частица. Движение электрона в кристалле Закон движения, сравнивая с где где m * - эффективная масса, она учитывает совместное действие потенциального поля и внешней силы на электрон в кристалле. - в зоне проводимости, в валентной зоне - в валентной зоне, но в зоне германия и кремния имеются тяжелые и ле гкие дырки. Эффективные массы всегда выражаются в долях истинной массы m 0 = 9·10 -28 г и Эффективная масса – тензорная величина, в различных направле ниях она различна, что является следствием анизотропных свойств криста ллов. Е к – уравнение эл липсоида вращения и описывается двумя значениями ма сс и Энергетический спектр эл ектронов и дырок в координатах Е и K Е(К) – функция квазиимпульса. Энер гия электрона в идеальной решетке есть периодическая функция квазиимп ульса. Импульс электрона Дырки – квазичастицы с меньшей энергией располагаются у потолка валентной зоны и увеличивают свою энергию, перемещаясь по шкал е энергии вглубь валентной зоны. Для дырок и электронов отсчет энергий в противоположных направлениях. Электроны и дырки, обладающие волновым вектором , могут сталкив аться с другими частицами или полями, как если бы они имели импульс - называется квазиимпульсом. Обозначение Название По ле Электрон - Фотон Электромагнитная волна Фонон Упругая волна Плазмон Коллективная электронная волна Магнон Волна перемагничивания --- Полярон Электрон + упругая деформация --- Экситон Волна поляризации На фононах рассеиваются рентгено вские лучи, нейтроны. Импульсу в квантовой механике отвечает оператор . т.е . плоская волна Ш к является собственной функцией оператора импульса , причем собственными значениями оператора импульса служат Энергия Ферми определяется как энергия электронов на высшем запо лненном уровне где n F – квантовое число наивысшего занятого энергетиче ского уровня. 2 n F = N где N – число элект ронов в объеме Энергия - кв адратичная фу нкция квантового числа n F . Волновые функции, удовлетворяющие уравнения Шредингера, для своб одной частицы в периодическом поле представляют собой бегущие плоские волны: при условии , что компоненты волнового вектора принимают значения аналогичные наборы для K y и K z . Люба я компонента вектора имеет вид , где n – целое положительное или отриц ательное число. Компоненты являются квант овыми числами наряду с квантовыми числами задающим направление спина. т.е . собственные значения эне ргии состояний с волновым вектором В основном состоянии (1 S ) системы из N свободных электронов занятые состояния можно описывать точками внутри сферы в К – пространстве . Энергия , соответствующая поверхн ости этой сферы , является энергией Ферми . Волновые векторы , «упирающиеся» в поверхность этой сферы , имеют длины , равные K F , а сама поверхность называется поверхностью Ферми (в данном состоянии он а является сферой ). K F - ра диус этой сферы где – энергия электрона с волновым ве ктором , оканчивающимся на поверхности сфе ры. Каждой тройке квантовых чисе л K x , K y , K z отвечает элемент объема в К – пространстве вел ичиной . поэтому в сфере объемом число точек , описывающих ра зрешенные состояния , равно числу ячеек объемом , и поэтому число разрешенных с остояний равно где множитель 2 в левой части учитывает два допустимых значения спинового к вантового числа ( ) для каждого разрешенного значени я Полное число состояний равно числу электронов N . Радиус сферы Ферми K F за висит лишь от концентрации частиц и не зависит от массы m Энергию Фе рми можно определять как энергию таких кв антовых состояний , вероятность заполнения которых частицей равна 1/2. если Е =Е F , то значение ее можно рассчитать при Т=0 по формуле Но абсолютный нуль темпер атуры понимается как предел Т ® 0, имея в виду, что абсолютный нуль не достижим и плюс принцип Паул и. Обычно рассматриваются системы не только при Т = 0, но и при любой тем пературе, если граничная энергий , это услови е вырождения, функция распределения таких частиц близка к «ступеньке» Для таких систем, где можно пренеб речь зависимостью Е F от температ уры и считать Существуют табл ицы параметров поверхност и Ферми для ряда металлов , вычисленных для модели свободн ых электронов для комнатной температуры (Т = 300 0 К ). Концентрация электронов опреде ляется произведением валентности металла на число электронов в 1 см 3 . то получим : или , если , Например : Li Валентность – 1, * r 0 – радиус сф еры , содержащей один электрон. L н – боровский радиус 0,53 Ч 10 -8 см. * безразмерный параметр Волновой вектор К F = 1,11 Ч 10 8 см -1 ; Скорость Ферми V F = 1,29 Ч 10 8 см/с; Энергия Ферми . Температура Ферми Т F не имеет никако го отношения к температуре электронного газа. Определим – число состояний на единичный энергетический интервал, ч асти называемый плотностью состояний при ; Плотность состояний равна : Вариант 5 № 2. Число электронов с кинетической энергией от Е F /2 до Е F опре деляется соотношением По аналогии : Этот же результат можно получить из в более простой форме : С точностью порядка единицы число состояний на единичный энергетический интервал вблизи энергии Ферми равно отно шению числа электронов проводимости к энергии Ферми. Выводы 1. Эффективные массы: германий кремний т.е. в валентной зоне германия и кремния имеются тяжелые и легкие дырки. Валентные зоны состоят из трех подзон. 2. Поверхность Ферми есть поверхность постоянной энергии в пространстве. П оверхность Ферми при абсолютном нуле отделяет заполне нные электронами состояния от незаполненных состояний. Сфера Ферми. Все состояния с К<К F являются занятым и. 3. Разнообразие свойств твердых тел и есть свидетельство разнообразия кв азичастиц. 4. До последнего времени считалось, что электроны похожи друг на друга. Когда хотят подчеркнуть отличие элек тронов железа от электронов меди, то говорят, что они обладают различным и поверхностями Ферми. На всемирной выставке в Брюсселе здание отдает дань веку физики. Представляет правильную систему связанных между собой сфер, вну три которых выставочные помещения. Каждая из которых (сфера) представляе т ион железа, потерявший одни электрон. Это поверхность уровня Ферми. У каждого металла только своя ему присущая форма поверхн ости Ферми, она ограничивает область импульсного пространства, занятог о электронами проводимости при абсолютном нуле. Это визитные карточки р азличных металлов. 5. Свойства металлов определяются электронами на поверхн ости Ферми или вблизи нее. 6. Движение волнового пакета, связанного с волновым вектор ом описывается ур авнением Групповая скорость § Энергетическ ий спектр энергии для свободных электронов в периодическом поле На рисунке заштрихованные области запрещенных значен ий энергии (энергетические щели). Волновая функция имеет вид: Энергия не является теперь непрерывной функцие й квазиимпульса , она непрерывна только в зонах разрешенных энергий и претерпевает разрывы на границ ах зон Бриллюэна . Энергетические зоны являютс я следствием периодической структуры кристалла и представляют собою фундаментальные характери стики электронной структур ы твердого тела . – граница зоны , это вектор обратной решетки. Области значений , при которых эне ргия электронов изменяется непрерывно, а на границах претерпевает разр ыв, называются зонами Бриллюэна. Энергетический спектр электроно в и дырок в координатах Е – К. В германии и кремнии зона проводимости опис ывается двумя значениями масс. § Механизм электропроводности собственного полупроводника Содержащую электроны зону с наибольшей энергией, назыв ают валентной зоной. Первую зону с незанятыми энергетическими уровнями называют зоной проводимости, так как электроны в этой зоне участвуют в п ереносе заряда. В проводниках валентная зона и зона проводимости либо со впадают, либо перекрываются. В изоляторах и полупроводниках эти зоны отд елены друг от друга. Если материал находится не в сост оянии основном, а обладает дополнительной энергией – тепловым возбужд ением. Эта энергия играет важную роль в свойствах электропроводности. Проводник в основном состоянии, если отсутствует тепло вая энергия т.е. Т = 0. Зависимость вероятности заполнения электронами эне ргетических уровней при КТ = 0 от энергии e отсчитывается от дна зоны. для всех значений энергии , соотве тствующих заполненным уровням. Энергия, отсчитываемая от дна зоны, при которой величина f ( E ) скачком изменяется от 1 до 0, называется энергией Ферми e F В данном случае т.е. работе выхода При наличии тепловой энергии неко торые электроны возбудятся и перейдут из первоначальных состояний на с вободные энергетические уровни. Для электронов с энергией вблизи e F такие переходы боле е вероятны, так как требуется меньшая энергия возбуждения. Соответствен но, и вероятность заполнения состояний уменьшается с ростом их энергии. Если электроны не подчиняются принципу Паули, то их распределение по эн ергии описывается классическим распределением Максвелла – Больцмана Распределение, у читывающее принцип Паули, называется распределением Ферми – Дирака Распределение Ферми – Дирак а при различных значениях КТ показано на рисунке . Здесь энергия Ферми имеет смысл энергии уровня , которому от вечает 50%-на я вероятность заполнения. Число свободных уровней (вакансий ) ниже уровня Ферми, и их распределение относительно e F совпадает с числом и распределе нием заполненных состояний выше уровня Ферми. Эти состояния отвечают те пловому возбуждению электронной системы и обеспечивают появление кине тической энергии направленного движения. С ростом температуры (увеличе ние КТ) уменьшается наклон кривой f ( e ) вблизи e F и увеличивается вероятность заполнения состояний с большими энергиями. Из выражений для f ( E , K , T ) видно, что проводимость м атериалов сильно зависит от температуры. В полупроводниках положение уровня Ферми соответствует формально потолку валентной зоны, но это неверно. Пусть с потолка валент ной зоны (с энергией e V ) отдельный электрон от возбуждения перешел на дно (с энергией e C ) пустой зоны прово димости. e V – потолок вал ентной зоны e C – дно зоны про водимости. На рисунке уровень Ферми находится в середине запрещенн ой зоны, учитывая симметрию распределения Ферми – Дирака относительно энергии Ферми e F и очевидную симметрию функции f ( E ) в промежутке между потолком вале нтной зоны и дном зоны проводимости. * Определим вероятность перехода электрона в зону провод имости для алмаза, ширина запрещенной зоны e g » 5,5 эв. при комнатной темпе ратуре КТ = 0,026 эв. для дна зоны проводимости Таким образом , вряд ли да же один из каждых 10 44 электронов в валентной зоне будет иметь энергию , достаточную для перехо да в зону проводимости при комнатной темп ературе . Поскольку каждый моль вещ ества содержит около 10 24 атомов . Следовательно , алмаз – хороший изолятор. Определим для вероят ность при КТ = 0,026 эв. (комнатная) В этом случае приблизительно один валентный электр он из миллиона может при возбуждении перейти на дно зоны проводимости и в зоне проводимости можно найти электроны. Их будет значительно меньше, чем в случае проводника, у которого f ( e ) в зоне проводимости составляет порядка единицы. Однако в зоне проводимости полупроводника все же имеется доста точно электронов и они вносят вклад в электропроводность полупроводни ка. В полупроводниках f ( e ) сильно зависит от температуры. Возрастание темп ературы на 10 0 К относительно комнатной (300 0 К) т.е. всего на 3% вероятность перехода элек тронов в зону проводимости увеличивается приблизительно на 30%. С уменьше нием ширины запрещенной зоны чувствительность полупроводников к темпе ратуре возрастает. Возбуждаясь с переходом в зону проводимости, электроны о ставляют после себя в валентной зоне незанятые состояния или «дырки». За полненная первоначально валентная зона становится частично заполненн ой и, следовательно, в ней возможны энергетические возбуждения электрон ов, хотя очень небольшого числа. Дырка ведет себя подобно положительно з аряженной частице, которая может участвовать в электрической проводим ости. Реальному движению электронов соответствует более или менее своб одной фиктивное движение дырок в направлении внешнего электрического поля. Дырки реагируют на внешнюю силу (например, на внешнее эл ектрическое поле) не так, как свободные электроны, поэтому, чтобы учесть в лияние других атомов на подвижность дырок, им приписывают эффективную м ассу m *, которая немного больше эффективной массы электрона. Плотность тока электронов и дырок где n – конце нтрация электронов, р – концентрация дырок, m n – подвижност ь электронов, m p – подвижност ь дырок. Под действием внешнего электрического поля электроны и дырки приобретают скорости направленного движения, дрейфовые скорости m n и m др - подвижности Для собственных полупроводников n = p или где , s - коэффициент n – сильно зависит от температуры в зоне проводимости, в то время как подвижности слабо зависят от темпера туры Если концентрация электронов в зоне проводимости мала , то вероятность заполнения каждого уровня мала по сравнени ю с единицей в знаменателе , то ею можн о пренебречь. и следовательно , или Электропроводность собственных полупроводников возра стает с температурой, у проводников уменьшается. Если прологарифмировать и построить график зависимости ln s от , то получим прямую линию , угловой коэффициент которого равен Это дает возможность, измеряя эле ктропроводность полупроводника при различных температурах, определит ь опытным путем ширину запрещенной зоны для данного полупроводника Для металлов с ростом температуры сопротивление увеличивается R 0 – сопротивление при t = 0 0 С R t – сопротивление при t 0 С a – термический коэффициент сопротивле ния, равный 1/273 Для металлов Для полупроводников сопротивление с ростом температуры быстро уменьшается или где КВ=Е a , то где E a – энергия активизации, она различна для разных интервалов т емператур. Наличие энергии активации E a означает, что для увеличения проводи мости к полупроводниковому веществу необходимо подвести энергию. Полу проводники – это вещества, проводимость которых сильно зависит от внеш них условий: температуры, давления, внешних полей, облучения ядерными ча стицами. Полупроводники – это вещества, имеющие при комнатной те мпературе удельную электрическую проводимость в интервале от 10 -8 до 10 6 Сим м -1 , которая зависит сильно от вида и количества п римеси, и структуры вещества, и от внешних условий. * В полупроводнике с собственной проводимостью число эле ктронов равно числу дырок, каждый электрон создает единственную дырку. Число возбужденных собственных носителей экспоненциал ьно зависит от , где Е g – ширина энергетической запрещенно й зоны. Если m C = m h , то т.е . уровень Ферми лежи т в середине запрещенной зоны. Индекс I ( intrinsic – собственность) Не содержит уровня Ферми. Это закон действующих масс, котор ый утверждает, что расстояние уровня Ферми от краев обеих зон должно быт ь велико по сравнению с КТ = 0,026 эв. При 300 0 К (ком натная температура), при условии m e = m h = m , произведение n i P i для германия 3,6 Ч 10 27 см -6 , для кремния 4,6 Ч 1019 см -6 . Энергия активации E a для собственного полупроводника равна половине ширины запрещенной зоны Примесные полупроводники Расположение зарядов в решетке кр емния. Четыре электрона A s образуют тетраэдрические ковалентные с вязи, подобные связям Si , а пятый эле ктрон A s осуществляет проводимость. Мышьяк ( As ) имеет пять валентных электронов, а кремн ий ( Si ) – только четыре. Атом мышьяк а называется донором, он отдает при ионизации электрон в зону проводимос ти. Добавка примеси к полупроводнику называется легировани ем. E d = 0,020 эв., энергия ионизации При К В Т<< E d (низкая концентр ация электронов проводимости) где N d - концен трация доноров Если в кремний ввести атом бора (В), который имеет три валентных электрона, он может «укомплектовать» свои т етраэдрические связи, лишь заимствовав один электрон из связи Si – Si , образуя дырку в валентной зоне кремния, которая принимает участи е в проводимости. Атом бора называется акцептором именно потому, что при ионизации захватывает электрон из валентной зоны. Примеси, не способные к ионизации, не влияют на концентрацию носителей и могут присутствовать и в больших к оличествах – электрические измерения не обнаруживают их. N a – конц ентрация акцепторов. Условием применимости классической статистики являетс я неравенство , откуда E F < E C - KT , т.е. полупроводник является невы рожденным (подчиняется классической статистике), если уровень Ферми леж ит ниже зоны проводимости не менее, чем на КТ. Если уровень Ферми лежит выше Е с более чем на 5КТ, то полупроводник полностью вырожденный. Условие в ырождения зависит от температуры и положения уровня Ферми относительн о дна зоны проводимости. Концентрация электронов в невырожденном полупроводник е: F < E c – KT , N c – число состояний в зоне проводимости Вырожденный полупроводник F>E C +5KT она не зависит от температуры. Уровень Ферми находится в зоне проводимости выше ее дна н е менее чем на 5 КТ. В невырожденном полупроводнике концентрация дырок опре деляется статистикой Больцмана при условии F > E v + KT т.е. уровень Ферми лежит выше потолка валентной зоны на величину КТ. В полностью вырожденном полупроводнике или F < E v - KT т.е. в валентной зоне ниже ее потолка на величину не менее 5КТ. N v – число с остояний в валентной зоне. Невырожденный полупроводник Вырожденный полцпроводник В невырожденном : не зависит от уровня Ферми В вырожденном гд е V F – объ ем зоны Бриллюэна. Для сферических поверхностей , где рад иус сферы Ферми Функция распределения электронов : где g i – степень вырождения , если E i = E d принадлежит донорной примеси , то g i =2. Если E i = E a принадлежит акцепторной примеси , то g i =1/2 Распределение электронов по доно рным уровням по акцепторным Для дырок : ; Число электронов: Число дырок : N D = N a = 0 собственный полупроводник. Уравнение электронейтральности n = P . Если N v = N c т.е. , тогда откуда пол ожение уровня Ферми от температуры не зависит и лежит посередине запрещ енной зоны. Собственный полупроводник является невырожденным. Генерация электронов и дырок проводимости в собственном полупроводнике: Переход каждого электрона из валентной зоны порождает в ней дырку . Если N V № N C , то Уровень Ферми при Т = 0, лежит в середине запрещенной зоны, о н линейно зависит от температуры. Температурная зависимость уровня Ферми в собственном по лупроводнике. С ростом температуры уровень Ферми приближается к той зон е, которая имеет меньшую плотность состояний и поэтому заполняется быст рее. или На рисунке график ln n i от обратной температуры представляет прямую линию: Зависимостью ln 1/ T п о сравнению с линейным членом можно пренебречь. Угол наклона прямой опре деляется шириной запретной зоны: отк уда tg s измеряется по графику ( ln n i , 1/ T ) Оценим собственную концентрацию носителей заряда в герм ании и кремнии равны 0,299 и 0,719, и при Т » 300 0 К, и Концентрац ия носителей заряда при Т ® 0 обращаетс я в нуль, и сопротивление собственного полупроводника должно расти до бе сконечности. Однако, в реальных полупроводниках всегда остается примес ь, которая обеспечивает проводимость при любых температурах. Тепловая генерация на рисунке носителей заряда в полупроводнике с доно рной примесью. Низкие температуры: электроны про водимости определяются концентрацией примеси, которая возникает за сч ет ионизации донорной примеси. При повышении температуры уровень Ферми повышается , проходит при некоторой температуре через максимум , затем опускается . При K d = N 2 C он снова находится в середине межд у Е С и Е D . При достаточно высокой темпе ратуре N C >> N D , то концентрация электронов не з ависит от температуры и равна концентрац ии примеси . (Область истощения примеси ). Носители заряда называют основными , если их концентрация больше концентрации собственных носителей заряда n i при данной температуре , если же концентрация мень ше n i , то их называют не основными носителями заряда . В о бласти истощения примеси концентрация неосновных носи телей заряда должна резко возрастать с те мпературой Последнее справедливо до тех пор , пока концентрация дырок остается мно го меньше концентрации электронов. P<> 1 – траектория частицы искривляется нез начительно, в сильных магнитных полях траектория изменяется очень силь но. Для понимания одних явлений достаточно учесть только ск орость дрейфового движения в то время как для п онимания других эффектов важно иметь в ви ду разброс скоростей электронов . Все это у читывается кинети ческим уравнением , поэтому оно позволяет получить значительно более т очное описание кинетических эффектов 1. Эффект Холла. На рисунке показано возникновение поля Холла в электронном и дыро чном полупроводниках. Полупроводник имеет вид паралл елепипеда сечением а Ч с, по которому тече т ток. Электрическое поле направлено вдоль оси Х: магнитное поле вдоль оси Y : При включении электрического пол я возникает электрический ток (8) Носители получают скорость направленного движения V d - дрейфовую скорость – по полю для дырок и против поля для электронов. При включении магнитного поля на электроны и дырки дейст вует сила (9) перпендикулярная и (10) поэтому (11) т.е. сила Лоренца не зависит от знака носителей заряда, а определяе тся только направлением полей и , или и . На рисунке он а направлена вверх Носители заряда – электроны и дырки – отклоняются в одну и ту же с торону, если их скорость определяется электрическим полем. В результате действия полей и и столкновений электроны и дырки будут двигаться по траекториям в виде прямой линии, ус редняющей отрезки циклоид, под углом j к п олю . Другими словам и вектор будет повернут на угол j относительно вектора , причем направл ение поворота зависит от знака носителей заряда, в силу того, что электро ны и дырки отклоняются в одну и ту же сторону (на рисунке, , а, б). Таким образом должно протекать в неограниченном веществ е. Если же полупроводник имеет конечные в направлении оси Z размеры, то в результате того, что компонент j z № 0, произойдет накоплени е носителей на верхней (на рисунке) стороне образца, возникнет их дефицит на нижней. Противоположные стороны образца заряжаются, и возникает попе речное по отношению к электрическо е поле. Это поле носит название поля Холла, а явление возникновения попер ечного поля под действием магнитного поля называют эффектом Холла. Напр авление поля Холла зависит от знака носителей заряда, в данном случае направл ено вверх в n – образце и вниз в р – образце. До наложения на образец магнитного поля эквипотенциальные поверхности представляли собой плоскости, перпендикулярные оси Х, т.е. в ектору величина Е н будет расти до тех пор, пока поперечн ое поле не скомпенсирует силу Лоренца. После этого носители заряда будут двигаться как бы только под действием одного поля , и траектория носителей заряда будет представлять собой снова прямую линию вдоль оси Х, тем самым вектор будет направл ен по полю . но суммарное электрическое поле будет повернут ?о на некоторый угол j относительно оси Х или (рис. в ,2). Таким образом, в неограниченном п олупроводнике поворачивается вектор тока, а в ограниченном – вектор эл ектрического поля и в любом случае между и (или ) возникает угол j , называемый углом Холла. Эквипотенциаль ные поверхности в ограниченном образце повернуты на угол j относительно их первоначального положения, поэ тому в точках, лежащих в одной плоскости, перпендикулярной появляется раз ность потенциалов. где Е н – напряженность поля Холла , а с – размер образца в направлении , перпендикулярном и : V н носит на звание Холловой разности потенциалов. Холл экспериментально нашел, что Е н определяется плотностью тока и индукцией маг нитного поля , а также свойств ами образца. Свойства образца определяются некоторой величиной R , называемой коэффициентом Холла. Чет ыре величины: и R связаны эмпирическим соотношением (12) Легко найти R , если учесть, что холлово поле должно компенсировать силу Лоренца: (13) Отсюда следует: (14) С другой стороны, согласно (12) (15) Сравнивая (14) и (15), получаем n – концентрация носителей заряда (электронов или дырок ). Коэффициент Холла обратно пропорционален концентрации носителей заряда и его знак совпадает со знаком носителей заряда. Определив R , можно н айти знак носителей заряда или тип проводимости. Знак же R определяется по знаку , или V н , если соответствующи м образом определить знак V н . Угол Холла j можно определит ь: При заданных и поле Холла определяется только подвижностью н осителей заряда. Оценим R . Пусть n = 10 16 см -3 , тогда Сопротивление в магнитном по ле возрастает , поскольку холлово поле компенсирует действие магнитного поля лишь в среднем , как если бы все носители заряда двигались с одной и той же с коростью . Однако скорости электроно в (и дырок ) различны , поэтому на частицы , движущи еся со скоростями , большими средней скорости , сильнее действует магнитное поле , чем хо ллово . Наоборот , более медленные частицы откло няются под действием превалирующего холлова п оля . В результате разброса ча с тиц по скоростям уменьшается вклад в проводи мость быстрых и медленных носителей заряда , что приводит к увеличению сопротивления , но в значительно меньшей степени , чем в неограниченных полупроводниках.