Температурная зависимость проводимости полупроводника

Полу проводники - это вещества, имеющие при комнатной температуре удельную эл ектрическую проводимость в интервале от 10 -8 до 10 6 Ом -1 м -1 , которая в сильной сте пени зависит от вида и количества примеси и структуры вещества, а также о т внешних условий: температуры, освещения, внешних электрических и магни тных полей, облучения. Электропроводность твердых тел в современной физ ике объясняется на основе зонной теории. На рис. I показаны упрощенные диаграммы энергет ических зон собственного, акцепторного и донорного полупроводников. Кристаллы полупроводников неизбежно в реальных условиях обладают опре деленным количеством посторонней примеси, даже если требуется получит ь материал очень высокой степени чистоты. Примеси также специально ввод ятся либо во время роста кристаллов с целью получить полупроводник с зад анными электрическими свойствами, либо - при изготовлении приборных стр уктур. Такие полупроводники называются легированными или примесными. А томы примеси, отличаясь от атомов основного кристалла валентностью, соз дают уровни разрешенных энергий электронов в запрещенной зоне, которые либо могут поставлять электроны в зону проводимости, либо принимать на с ебя электроны из валентной зоны. Эти процессы мы рассмотрим в дальнейшем . В данном разделе нас будет интересовать идеализированная модель полуп роводника, в котором отсутствуют какие-либо примеси. Такие полупроводни ки называются собственными. При нагревании проводимость полупроводников резко возрастает. Темпера турная зависимость проводимости собственного полупроводника определяется изменением концентрации n и подвижности электронов - и дырок + от температуры: = e ( n - - + n + + ) ( 1 ) Подвижность носителей заряда в полупроводниках зависит от температуры сравнительно слабо и с ее возрастанием уменьшается по закону T – 3/2 . Это объясняется тем, что с повышением темпе ратуры возрастает число столкновений в единицу времени, вследствие чег о уменьшается скорость направленного движения носителей заряда в поле единичной напряженности. Рассмотрим донорный полупроводник. Вследствие малой концентрации элек тронов проводимости полупроводники подчиняются классической статист ике Максвелла-Больцмана. Поэтому в области низких температур для концен трации электронов в зоне проводимости с одним видом примеси имеем: n = A T 3/2 e - W / kT , ( 2) где А - коэффициент, не зависящий от Т; W - энергия а ктивации примеси, то есть энергетический интервал между донорным уровн ем и нижним краем зоны проводимости ( рис. I в) К - постоянная Больцмана. Рассмотрим упрощенную зонную модель собственного полупроводника, изоб раженную на рис. 1. Этой моделью мы в основном будем пользоваться в дальней шем. В данной модели энергия электронов положительная и отсчитывается в верх по оси ординат. Энергия дырок отрицательная и отсчитывается вниз. П од осью абцисс подразумеваются пространственные координаты, а также по этой оси, в зависимости от условий задачи, могут откладываться температу ра, концентрация примеси, указываться направление электрического поля. Валентная зона и зона проводимости ограничены прямыми, обозначающими: E v - потолок валентной зоны; E c - дно зоны проводимости. Выбор начала отсчета эн ергии электрона произволен, как правило, она отсчитывается от потолка ва лентной зоны. Ширина запрещенной зоны определяется как разность E g = E c - E v . Рассмотрим теперь в чем состоит физическая причина резкого отличия в те мпературной зависимости проводимости полупроводников и металлов. Рис. 1. Простая зонная м одель собственного полупроводника: E v - потолок валентной зоны; E c - дно зоны про водимости. E g = E c - E v - ширина запрещенной зоны. G - генерация электронно-дырочной пары, R - рекомбинация электронно-дырочной пары. Волнистыми стрелками показаны процессы поглощения и испускания фотона при световой генерации и излучательной рекомбинации соответственно. При температуре Т > 0 средняя энергия фонона равна (k - постоянная Больцмана ), например, при комнатной температуре Т = 300 К она равна 0,039 эВ. Однако в силу ра спределения Максвелла - Больцмана существует конечная вероятность тог о, что фонон имеет энергию Eg, которая может значительно превышать среднюю , и эта вероятность пропорциональна . Электроны постоянно обмениваются э нергией с фононами в процессе столкновений. Естественно, в стационарных условиях электронная подсистема кристалла в целом находится в теплово м равновесии с колебаниями решетки, однако отдельные электроны могут им еть энергию много больше средней. Тепловым возбуждением электрона назы вается акт передачи энергии от фонона электрону такой, что происходит ра зрыв ковалентной связи. Если электрон получит от фонона энергию больше или равную Eg он может "забр оситься" из валентной зоны в зону проводимости, где он становится свобод ным и может участвовать в переносе заряда при приложении внешнего элект рического поля. Одновременно с переходом электрона в зону проводимости в валентной зоне образуется ІсвободнаяІ дырка, которая также участвует в электропроводности. Таким образом, в собственных полупроводниках сво бодные электроны и дырки рождаются парами, этот процесс называется гене рацией электронно-дырочных пар (рис. 1). Наряду с этим происходит обратный процесс - взаимная аннигиляция электронов и дырок, когда электрон возвра щается в валентную зону. Этот процесс называется рекомбинацией электро нно-дырочных пар. Число генерированных (рекомбинированных) пар носителе й заряда в единице объема в единицу времени называется темпом генерации -G (рекомбинации - R). В стационарных условиях темпы тепловой генерации и рек омбинации равны, то есть G = R (1) Заметим, что генерация электронно-дырочных пар может происходить и при о блучении полупроводника светом частотой v, такой, что энергия фотона удо влетворяет условию (3) При световой генерац ии электрон поглощает фотон (рис. 1). При обратном процессе рекомбинации вы свободившаяся энергия, равная Eg, может либо передаваться от электрона об ратно решетке (фонону), либо уноситься фотоном. Могут также одновременно рождаться фононы и фотоны, но тогда, в силу закона сохранения, их парциаль ные энергии меньше Eg. Если энергия уносится фотоном, то этот процесс назыв ается излучательной рекомбинацией. Световая генерация и излучательная рекомбинация лежат в основе работы целого класса оптоэлектронных полу проводниковых приборов - источников и приемников излучения, которые мы в данном курсе не имеем возможности рассматривать. Очевидно, что при тепловой генерации более вероятны переходы электроно в с одного из верхних уровней валентной зоны, если они заняты электронам и, на один из нижних уровней зоны проводимости, - если они свободны, поскол ьку для таких переходов требуется меньшая энергия. Отсюда следует, что т емп генерации G пропорционален: числу возможных занятых состояний элект ронов N v вблизи потолка валентной зоны; числу незанятых уровней N c вблизи дна з оны проводимости (физический смысл N v и N c будет рассмотрен в дальнейшем) и вер оятности электрону иметь энергию E g : (4) где, a - коэффициент про порциональности, зависящий от частоты столкновений фононов и электрон ов. С другой стороны, темп рекомбинации R пропорционален вероятности "вст речи" носителей, т.е. произведению концентраций электронов n и дырок р (g - ко эффициент пропорциональности): (5) так как для собственн ого полупроводника n = p. В стационарном случае имеет место равенство (2), тог да (6) Отсюда (7) Проводимость кристал ла согласно (6) пропорциональна концентрации электронов и подвижности. К ак видно из выражения (7) концентрация n в собственном полупроводнике эксп оненциально растет с увеличением температуры, в то же время температурн ая зависимость подвижности в проводимости играет менее заметную роль. Т аким образом, проводимость собственного полупроводника в первом прибл ижении растет с температурой по такому же закону, что и концентрация эле ктронов и дырок (пока не станет заметным рассеяние носителей заряда на т епловых колебаниях решетки). Поэтому можно записать: (8) Итак, с феноменологич еской точки зрения полупроводники отличаются от металлов тем, что в полу проводниках с повышением температуры проводимость очень быстро растет . Физическая причина этого заключается в увеличении темпа тепловой гене рации электронно-дырочных пар с ростом температуры. Если прологарифмир овать выражение (8), то оно примет вид (9) Следовательно, если н а графике по оси ординат откладывать lns , а по оси абцисс - обратную температ уру, то получим прямую с наклоном E g /2k , ка к показано на рис. 2. Таким образом, зная наклон этой прямой можно определи ть важнейшую характеристику полупроводника - ширину запрещенной зоны. О пределяемую таким образом величину Eg называют термической шириной запр ещенной зоны, поскольку ее еще определяют и из оптических измерений по с пектрам поглощения излучения и вычисляют Eg, на основании выражения (9). Рис. 2. Температурная зависимость проводимости собственного полупровод ника Наиболее важные элементарные полупроводники и полупроводниковые соед инения приведены в таблице. Изоляторы, у которых ширина запрещенной зоны достаточно велика для того , чтобы ни один электрон, находящийся в валентной зоне, не мог ни при какой температуре, вплоть до температуры плавления, переброситься в зону пров одимости, называются диэлектриками. Диэлектрики имеют очень высокое эл ектрическое сопротивление. В полупроводниковой электронике большое пр актическое значение имеют диэлектрики, представляющие собственные окс иды полупроводников. Для кремния - это двуокись кремния SiO 2 , имеющая ширину запрещенной зоны 8 эВ. Оценки показывают, что при ширине запрещенной зоны E g > 2 эВ вероятность тепловой генерации электронно-дырочны х пар становится бесконечно малой при всех доступных нам температурах, п оэтому к диэлектрикам можно отнести все изоляторы, у которых E g > 2 эВ. Однако следует помнить, что такая классифик ация подходит только к ІчистымІ беспримесным веществам, поскольку леги рование диэлектриков, например, алмаза ( Eg = 5,3 эВ) приводит к возникновению у них проводимости, характерной для полупроводников. Существуют еще интересные с точки зрения зонной структуры кристаллы, ко торые имеют большое практическое значение. Нередки случаи, когда при Т = 0 К зоны перекрываются очень незначительно. Б лагодаря этому число электронов и пустых мест в частично заполненных зо нах очень мало: 10 -3 - 10 -5 на атом. Такие вещества обладают промежуточными между м еталлами и полупроводниками свойствами: при низких температурах они ве дут себя, как металлы, а при высоких - как полупроводники. Их часто называю т полуметаллами. Концентрация электронов в них изменяется в широких пре делах n = 10 18 -10 21 см -3 . Характерными примерам и таких веществ могут служить висмут, сурьма. Сравнительно недавно был обнаружен особый класс веществ, строго занима ющий промежуточное положение между металлами и полупроводниками - бесщ елевые полупроводники - кристаллы, у которых расстояние между валентной зоной и зоной проводимости равно нулю. В бесщелевых полупроводниках ниж няя заполненная электронами зона примыкает к верхней зоне, в которой при Т = 0 К вовсе нет электронов. К бесщелевым полупроводникам относятся теллу рид ртути HgTe, а также серое олово a-Sn. Следует отметить, что изменяя межатомное расстояние в полупроводников ых кристаллах под давлением, можно добиться перекрытия валентной зоны и зоны проводимости. При этом рассматриваемое вещество превратится из по лупроводника в металл. Возможен и обратный случай - возникновение запрещ енной зоны и переход металла в полупроводник при достаточно сильном изм енении давления на образец. С ростом температуры кристалла за счет тепло вого расширения постоянная решетки увеличивается. Поэтому при повышен ии температуры у полупроводников, как правило, запрещенная зона уменьша ется; в не слишком широкой области температур это уменьшение аппроксими руется линейным законом При комнатной темпер атуре ширина запрещенной зоны с ростом давления в Ge и GaAs увеличивается, а в Si - уменьшается. Литература 1. Савельев И. В. Курс общ ей физики, T .5.-М.: Физматлит, 1998. 2. Киреев П.С. Физика полупроводников. – М.: Высшая школа, 1975. 3. Левинштейн. М. Е, Симин Г. С. Знакомство с полупроводниками. М.: Наука, 1984. 240 с.