Метод моментов в определении ширины линии магнитного резонанса

Оглавление А.Введение………………………………………………………………………… ..2 § 1.Локальное поле……………………………………………………………… … 2 § 2.Общая теория магнитного поглощения…… ………………………………… 2 Б . Уширение , вызванное взаимодействием меж ду одинаковыми спинами…… .5 § 3.Диполь-дипольное взаимодействие………………………………… ……… ...5 § 4.Определение моментов……………………………………………… ………… 6 § 5.Метод вычисления моментов…………………………………… …………… .7 В . Кинетические свойства….……………………………………………………… 10 § 6.Кинетическое уравнение……………………………………………………… 10 § 7.Электропроводность………………………………………………………… ...11 А . ВВЕД ЕНИЕ Лин ия магнитного резонансного пог лощения системы спинов , находящихся в неоднородном магнитном поле , обладает некоторой шириной , обусловленной разбросом ларморовских ч астот . Аналогичное уширение может иметь место в неидеальных кристаллах благодаря взаимодей ствию ядерных квадрупольных момен тов с малыми градиентами электрич еского поля , значения которых изменяются от одного узла решетки к др угому случайным образом . В обоих случаях ш ирина линии обусловливается различием резонансны х частот отдельных спинов , а не взаимодейс твиями между ними . Соот ветствующее уширен ие линии называется неоднородным уширением. Положение существенно изменяется , если уширение линии обусловлено взаимодействием между соседними спинами . Эта задача и рассмат ривается в н астоящей работе. § 1. ЛОКА ЛЬНОЕ ПОЛЕ Энергия взаимодей ствия между двумя ядерными спинами за висит от величины и ориентации их магнитн ых моментов , а также от длины и направ ления вектора , описывающего их относительное расположение . Влияние такого взаимодействия на ширину линии поглощения сущест венным образом з а висит от того , зафиксирован ли этот вектор в простран стве или его положение быстро меняется со временем вс ледствие относи тельного движения ядер. Последний случай , как правило , встречающийся в жидкостях и га зах , будет рассмотрен позднее . В этой главе мы ограничимся случаем жест к ой решетки , в которой ядра можно считать неподвижными . Такое при ближение разумно для многих твердых тел при комнатной темпера туре , в частности для кристаллов. Энергия диполь-дипольного взаимодействия двух магнитных моменто в 1 = 1 ћ I 1 и 2 = 2 ћ I 2 описывается хорошо известным в ыражением (1) которое можно переписать в виде W 12 = – 2 ∙'95 H 12 = – 2 ћ I 2 ∙'95 H 12 , где H 12 — локальное поле , созданное первым спином в месте расположе ния вто рого спина . (Введение в рассмотрение понятия локального поля очень удобно .) Поскольку ядерные магнитные моменты имеют порядок 10 -3 магнетона Бора , или 10 -23 CGS , а между ядерные расстояния порядка нескольких ангстрем , то локальные поля в жесткой решетке в общем случае имеют порядок нескольких эрстед. Взаимодействие двух одинаковых диполей в сильном поле Н 0 может быть описано с классической точки зрения следующим образом . Первый ди поль 1 прецессирует с ларморовской частотой вокр уг поля Н 0 и , следова тельно , обладает постоянной составляю щей вдоль этого поля и составляю щей , кото рая вращается в плоскости , перпендикулярной п олю . Постоян ная составляющая 1 создает в месте расположения диполя 2 слабое постоянное поле , ориентация кото рого относительно Н 0 зависит от взаим ного расположения спинов . Если поле Н 0 сильное , то на него заметно влияет только параллельная ил и антипараллельная ему составляющая слабого п оля . Так как кажды й спин в решетке имеет несколько соседей с различными отн осительными положениями и ориентациями , постоянна я составляющая локального поля имеет разные значения в различных местах , что приводит к разбросу ларморовских частот и уширени ю линии. Вращающаяся сос тавляющая 1 создает в месте расположения 2 лока льное магнитное поле , вращающееся с ларморовс кой частотой 1 , которая совпадает с ларморовской частотой для 2 . В свою очередь она имеет составляющую в плоскости , перпендикулярной Н 0 и , следовательно , может заметно изменять ориентацию 2 благодаря явлению резонанса . Соответствующа я ширина линии должна быть порядка ве личины вращающегося поля . В рассматри ваем ом случае оно того же порядка величины , что и локальное постоянное поле и , след овательно , вносит в уширение вклад сравнимой величины. Необходимо отчетливо понимать , что механи змы , обусловливающие эти вклады в ширин у линии , в действительности различны . Если два спина не являются одинаковыми , то вращающееся поле , созданное 1 , не являетс я резонансным для 2 и оказывает на не го пренебрежимо малое влияние , в то время как постоянное поле , созданное 1 , в месте располо жения 2 является столь же эффективным , как и в случае одинаковых спи нов . При прочих равных условиях одинако вые соседние спины оказывают бол ее си льное влияние на уширение резонансной линии , чем неодина ковые. § 2. ОБЩ АЯ ТЕОРИЯ МАГНИТНОГО ПОГЛОЩЕНИЯ Для колич ественного описания формы линии , обусловленной дипольным уширением , необходимо развить формали зм. Когда все спины образца связаны друг с друго м дипольным взаимо действием , представление об отдельных независимых спинах , находящихся в стационарных состояниях , становится неверным . Э тот вывод следует хотя бы из того фак та , что вращающееся локальное поле , созданное одним спином , приводит к пере о риентации его соседей . Поэтому образец при ходится рассматривать как единую большую систему спинов , а переходы , вызванные радиоч астотным полем , — как переходы между разл ичными энергетическими уровнями этой системы . Соответственно изменяется и ста тистичес к ое описание с использованием матрицы плотности . Вместо ста тистического ансамбля спинов , описываемых (2 I +1) (2 I +1) матри цей плотности , весь образец , содер жащий N спинов , теперь становится одним элемент ом статистического ан самбля и описывается (2 I +1) N (2 I +1) N матр ицей плотности . Такое видоизменение никоим об разом не ограничивается ядерным магнетизмом , напротив , оно весьма часто встре чается в статистической физике» а именно всякий раз , когда переходят от описания систем с о слабыми взаимодействиями , например , таких , ка к молекулы газа при низком давлении , к описанию сильно взаимодействую щих систем , таки х , как атомы Кристалла . Первый подход соот ветствует методу Максвелла – Больцмана , а второй — методу Гиббса. Стационарное состояние , следуя методу Гиб бса , можно описать сле дующим образом . Если к системе спинов приложено линейно поляриз ован ное вдоль оси Ох радиочастотное поле Н 1 cos t , то при стацио нарных условиях сис тема приобретает намаг ниченность , составляющая которой вдоль этой ж е оси равна М х = H 1 ' ( ) cos t + '' ( ) sin t . (la) Условие линейности или отсутствия насыщения предполагает , что ' и '' не зависят от H 0 . ' и '' можно измерить отдельно , а '' пропорционал ьно скорости поглощения радиочастотной энергии образцом. Выведем общую формулу для '' ( ). Выше было показано , что в линей ной теории резонанса между ' ( ) и '' ( ) сущ ествуют независимо от при роды рассматриваемой системы общие соотношения (соотношения Крамерса – Кронига ), позволяющие вычислить од ну из этих величин , когда для всех зна чений частоты известна другая. Ниже , чтобы избе жать путаницы , мы будем обозначать через М макро скопическое значение намагниченности образца и через M — соответ ствующий квантовомеханический оператор . Между ним и имеет место соотношение М = < M > = Sp M , (2) где – статистический оператор , или матрица плотн ости , описывающая систему спинов . Пусть ħ'68 H — полный гамильтониан сист емы в отсутствие внешнего радиочастотного пол я . Если до приложения радиочастотного поля система находится в тепловом рав новеси и при температуре Т, то ее статистический оператор определя ется выражением (3) которое прост о означает , что статистическое поведение системы можно описать , если ее энергетиче ским уровням ħ'68 E n приписать населенности , пропорциональные exp ( — ħ'68 E n / kT ). При наличи и радиочастотного поля уравнение движения для имеет вид (4) где V – о бъем образца . Чтобы решить (4) относительно , сде лаем подстан овку * = e i H t e – i H t , (5) которая прео бразует (4) в уравнение . (6) Предположим , что радиочастотное поле было включено в момент , когда образец находился в тепловом равно весии и ( – ) = = * ( – ). В момент t решение (6) в линейном приближении от носительно Н 1 имеет вид ( 7) Поэтому , во звращаясь к [см . (5)], находим (8) Если предположить , что до включения радиочастотного доля на магни ченность вдоль оси x была равна нулю , т . е. М х ( – ) = Sp 0 M x =0, то (9) и , согласно определению (1 а ), (10) Учтем , что температура обычно достаточно высока для того , чтобы для рав новесной матрицы плотно сти (3) можно было использовать линейное разложе ние где – единичный оператор ; тогда восприимчивость ( ) становится равной (11) откуда , инт егрируя по частям , получаем (12) Выражение (12) можно преобразовать к более компактной форм е двумя способами. В первом способе , вводя в рассмотрение оператор Ге йзенберга M x (t) = e i H t M x e – i H t , (12a) можно пере писать (12) в виде (13) где G(t) = Sp M x (t) M x , (13a) Функцию G(t) назовем функцией корреляции , или функцией релаксации намагнич енности системы. Во втором способе выражение (12) можно переписать в ви де Отсюда после применения хорошо известной формулы для -функции получаем (14) где суммирование производится только по тем энергетическим уровням , для которых | E n — E n' | = ħ'68 . Обычно , вводя в рассмотрение вероят ности п ереходов , выражение (14) используют как отправную точку для вывода (13) с помощью интегрального представления -функции . Из равенства (14) в общем в иде следует , что функция формы f ( ) , определ яющая форму линии , пропорциональна сумме | < п | M x | n ’ >| 2 . Точная зависимость этого выражения от co вытекает из усло вия , ограничи в ающего суммирование только по тем уровням , для которых | E n — E n' | = ħ'68 . Формулы (13) и (14) являются весьма общими и с праведливы в случае , когда спектр магнитного поглощения системы содержит одну или нес колько острых резонансных линий , т . е . в случае ядерного маг нитного резонанса . Ма тематически это условие может быть сформулиро вано следующим образом. Гамильтониан ħ'68 H системы представляет собой сумму главной части ħ'68 H 0 и малой возмущающей части , которую удобно з апис ать в виде ħ'68 H 1 , где — параметр малости возмущения . В отсутствие H 1 спектр поглоще ния системы состоит из одной или нескольких бесконеч но острых линий c частотами , a восприимчивость "( ) может быть записана в форме = ; (15) при этом функция релаксации G ( t ), пропорциональная фурье-преоб разованию , имеет вид (15a) Если сущест вует возмущение ħ'68 H 1 , то функция релаксации принимает вид G ( , t) и может быть в принципе вычислена вплоть до любог о порядка по методом возмущений ; восприимчивость , получается как фурье-преобразование G( , t). Прежде чем производить детальный расчет , кратко рассмот рим соот ношение между и поведением намагниченности после окончания д ействия радиочастотного импульса. Хорошо изв естно и достаточно оче видно , что для лине йных систем стационарная реакция на возбужден ие cos t представля ется фурье-преобразованием нестационарной реакции на бесконечно острый импульс (t). Однако на пра ктике для аппроксима ции такого импульса к системе спинов необходимо приложить кратковре менно действующее магнитное поле , значительно большее постоянного поля Н о . Для системы взаимодействующих ядерных спи нов в магнитном поле , характериз ующейся острой резонансной линией на частоте 0 , действие бесконечно острого импульса пост оянного поля можно аппроксимировать радиочастотн ым импульсом частоты = 0 со значительно большей длительностью и меньшей амплитудой H 1 . Поскольку в системе координат , вращающейся с частотой , отлично от нуля только постоянное поле H 1 , то для аппроксимации б есконечно о строго импульса конечной ампли туды достаточно того , чтобы H 1 было зна чительно больше локального поля ; последнее пр едставляет собой гораздо менее жесткое услови е. Б . УШИРЕНИЕ , ВЫЗ ВАННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ МЕЖДУ ОДИНАКОВЫ МИ СПИНАМИ § 3. ДИПОЛЬ-ДИПОЛЬ НОЕ ВЗАИМО ДЕЙСТВИЕ Полный гамильтониан системы одинаковых взаимодействующих спи нов в сильном внешнем поле может быть запи сан в ви де ħ'68 H = ħ'68 ( H 0 + H 1 ). (16) Основной гамильтони ан ħ'68 H 0 = j Z j = – ħ'68 H 0 j I j z (16a) описывает эн ергетические уровни , определяемые выражением ħ'68 E 0 M = – ħ'68 Н 0 M , где M — собст венное значение оператора I z = j I j z Гамильтониан возмущ ения ħ'68 H 1 , ответственный за уширение , имее т вид (16 б ) Прежде всего , ра ссмотрим несколько подробнее взаимодействие межд у двумя спинами , которые будем обозначать для краткости i и i ’ . Пусть и — полярные координаты в ектора r , описывающего их взаимное положение , причем ось z направлена пар аллельно внешнему полю . Тогда W ii можно записать в виде W ii ' = i i' — 3 [ i z cos + sin ( i x cos + i y sin )]x[ i' z cos + sin ( i' x cos y + + i' y sin )] 2 ħ'68 2 /r 3 = i i' — 3 [ i z cos + sin ( i + e - i + i - e i )/2]x[ i' z cos + sin ( i + e - i + + i - e i )/2)] 2 ħ'68 2 /r 3 = (A+B+C+D+E+F) 2 ħ'68 2 /r 3 , (17) где A = i' z i z (l – 3cos 2 ), B = – (l – 3 cos 2 ) ( i + i' – + i – i' + ) = (l – 3 cos 2 ) (i z i' z – i i' ) /2 , C = – 3sin cos e - i ( i z i' + + i + i' z )/2, (18) D = С * = – 3sin cos e i ( i z i' – + i – i' z )/2, E = – 3sin 2 e -2 i i + i' + /4, F = E* = – 3sin 2 e -2 i i – i' – /4,. Запись W в такой форме вызвана следующими п ричинами . Согласно формуле (14), ~ | < п | M x | n ’ >| 2 . Это приводит к необходимости определить изменение в положении энер гетических уровней , отвечающих ħ'68 H 0 , обусловленное наличием ħ'68 H 1 . Операторы А , В , С, D, E, F д ают качественно различным вклады в это из менение . Упомянутые операторы , действуя на сос тояние н евозмущенного гамильтониана , характер изующееся значениями i z =т , i ' z =т ', при водят к следующему изменению этого состояния : (19) Рассмотрим теперь энергетический уровень ħ'68 E 0 M = – ħ'68 H 0 M , соот ветствующий гамильто ниану (16a). Этот уровень сильно вырожден , так как суще ствует много способов , которыми можно скомбин ировать отдельные з начения I j z = m j , чтобы получить величи ну M = m j . Таким образом , уровень ħ'68 E 0 M соо тветствует вырожденному множеству состояний |М >, причем вырождение снимается ( по крайней мере частично ) возмущением , описываемым гамил ьтонианом ħ'68 H 1 , который расщепляет уро вень ħ'68 E 0 M на много подуровней . Согласно первому приближению тео рии возмущений , вклад первого порядка в расщепление уровня ħ'68 E 0 M дают лишь те члены гамильтониана во змущения , которые обладают отлич ными от нуля матричными элементами внутри множества |М >, т . е . те , которые , действуя на состояние |М >, не вы зывают изменения величины М . Обращаясь к формуле (19), мы видим , что только те части W, которые о твечают операторам А и В, удовле творяют этому условию и должны быть сохра нены для вычисления энергетических уровней ħ'68 H методом возму щений. Член А имеет тот же в ид , что и выражение для взаимодействия дву х классических диполей и описывает упомянутое в разделе А взаимодейств ие одного диполя со статическим локальным полем , созд аваемым другим дипо лем . Член В описывает взаимодействие , при к отором возможно одновре менное переворачивание дв ух соседних спинов в противоположных направ л ениях . Эта часть гамильтониана , названная «пер еворачивающей» частью , соответствует описанно му в разделе А резонансному действию вращ а ющегося локального поля . Влияние такого член а , как С, заключае тся в примешивании к состоянию |М > с не возмущенной энергией ħ'68 E 0 M = – ħ'68 H 0 M м алой доли состояния |М — 1>. Таким образом , точное соб ственное состояние ħ'68 H 0 следует представить в в иде | М > + | М – 1 > + …, где — малая величина . Взаимодействие системы спинов с радиочастот ным полем , приложенным вдоль о си ох, пропорциональн о I x = I j x и может индуцировать только перехо ды с М = ± 1. Слабые переходы знежду состоянием , скажем, |M – 2> + малая примесь , энергия которого прибл изительно равна – ħ'68 H 0 ( M — 2), и состоян ием | М > + | М – 1 > + … становятся возможными с вероятностью порядка 2 . Разность энерг ии между этими состояниями приблизительн о равна 2 ħ'68 0 . Следовательно , таким п ереходам на частоте 2 0 соо тветствует очень слабая линия , кото рую обычно трудно наблюдать экспериментально . Легко вид еть , что линии сравнимых интенсивностей по являются на частотах 0 и 3 0 . Доказательство справедливости сохранения в гамильтониане ħ'68 H 1 только членов А и В, которые коммутируют с H 0 обычно называются адиабатической или с екулярной частью ħ'68 H 1 и которые впредь будут обо зна ч аться как ħ h H ’ 0 , может быть также дано следующим способом . Так как пропо рционально фурье-преобразованию G(t)=Sp M x (t) M x , то он о может быть вычислено , если известно M x (t) = е i H t M x е – i H t . В этом случае M x (t) удовлетворяет уравнению (1/i) d M /dt = [ H 0 +H 1 , M x (t) ]. (20) § 4. ОП РЕ ДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ Для резона нсной кривой , описываемой нормированной функцией формы f с максимумом на частоте 0 , n -й момент M n относит ельно 0 опреде ляется выражением М n = ∫ ( – 0 ) n f d . Если f симметрична относительно 0 , то все нечетные моменты равны нулю . Знание моментов дает некотору ю информацию о форме рез онансной крив ой и , в частности , о скорости , с которо й она спадает до нуля на крыльях вдал и от 0 . Достоинство метода моментов состоит в том , что моменты могут быть вычислены н а основании общих принципов без определения собстве нных состояний общего гамильтониа на ħ'68 H . Прежде чем останавливаться на вычислен ии моментов , рассмотрим два примера резонансн ых кривых разном формы . Гауссова кривая оп исывается нормированной функцией (24) для которой легко найти М 2 = 2 , M 4 =3 4 , М 2n = 1, 3, 5, ..., (2n – 1) 2n , причем нече тные моменты равны нулю . Полуширина на пол овине высоты определяемая соотношением f 0 + = f 0 /2, или ехр ( – 2 /2 2 ) = 1/2 оказывается равной Отсюда вид но , что значение второго момента M 2 = 2 для гауссовой кри вой обеспечивает удовлетворительное приближение для ширины ли нии . Другой формой линии , которая часто наблюдается в магнитном резо нансе , является лоренцева форма , опи сываемая нормированной фун кцией (25) где — полуширина на половине высоты. В этом случае ни второй , ни более высокие моме нты не могут быть определены , так как соответствующие интегралы расходятся . Однако ин огда теория дает конечные значения дл я второго и четвертого моментов линий , кот орые в экспериментально наблюдаемой области и меют лоренцеву форму . В соответствии с кон ечными значениями M 2 и М 4 далеко на крыльях лини и , где невозможно произвести достаточно то чные измерения погло щения вследствие его малой величины , линия должна изменяться б олее быстро , чем это следует из лоренцевой формы. Грубая , но удобная пробная модель сост оит в описании кривой по формуле (25) внутри интервала | – 0 | , где >> и в пред положении о том , что она равна нулю вне этого интервала . Тогда , прене брега я членами порядка / , найдем M 2 = 2 = 2 / , M 4 = 2 3 /(3 ), (IV.25a) откуда , если известны M 2 и M 4 можно вычислить и . Поскольку M 4 /( M 2 ) 2 = /6 , упомянутая модель может быть использована лишь , когда теоретическое отношение M 4 /( M 2 ) 2 оказывается большим числом ., В этом случае (IV.25 б ) Ширина на половине высоты значительно меньше , чем с реднеквадратичная ширина . С другой стороны , пр едположение о гауссовой форме линии мож ет быть разумным всякий раз , когда отношен ие M 4 /( M 2 ) 2 порядка 3. § 5. МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ МОМЕНТОВ Основной н едостаток метода моментов состоит в том , ч то важный вклад в значение момента (вклад тем существеннее , чем выше момент ) дают крыл ья кривой , которые на практике не наблюдаются . Необходимо из вычисленных мом ентов линии магнитного резонанса с центром на ларморовской частоте = 0 исключи ть вклады от сопутствующих линий на част отах = 0 , 2 0 , 3 0 о которых упоминалось ранее . Ле гко видеть , что , несмотря на их малую и нтенсивность (благодаря удаленности от центрально й частоты 0 ) вклад во вто рой момент сравним с вкладом от главной линии и тем больше , чем выше порядок момента . Для исключения вкладов от них следует рассматри вать в гамильтониане возмущения ħ'68 H 1 от ветственного за уширение , только его секулярн ую часть ħ'68 H 0 , которая коммутирует с H 0 и , следова тельно , не может отвечать перемеш иванию состояний с различными пол ными М ; такое смешивание является причиной появления побочных линий . Таким образом , сокращение дипо льного гамильтониан а до его секулярной части не только упрощает вычисление моментов , но и делает его более точным. Прежде чем начать расчет , отметим , что линия магнитн ого резон анса симметрична относительно це нтральной частоты 0 . Убедимся в правиль ности этого утверждения . Если | а > и | b > — два собственных состояния ħ'68 ( H 0 + H 1 ) с разностью энергии ħ'68 (Е а — Е b ) = ħ'68 0 + ab , то два состоя ния | а ~ > и | b ~ >, полученные из | а > и | b > соответственно путем пово рота все х спинов в обратном направлении , будут так же собственными состояниями ħ'68 ( H 0 + H 1 ) с ħ'68 (Е b ~ – Е a ~) = ħ'68 0 + ab . Таким образом , каждо му переходу с частотой 0 + u соответствует пере ход равной интенсивности с частотой 0 – u . Если f ) — функци я формы , то h (u) = f 0 + u ) — четная функция u . Поскольку момен ты кривой пропорциональны про изво дным в начале координат от их фурье-преобразования , мы будем применять для их вычисления формулу (13). Вследствие узости линии ядерного магнитного резонанса можно пренебречь изменением величины в пределах ширины линии и пред положить , что форма линии описывается / , т ак же как и . То гда , поскольку f — нормированная функци я формы , (13) может быть переписано в виде f = A ∫ G ( t ) cos t dt , (IV.26) где постоян ная A определя ется из условия нормировки f , а опреде ленная ранее четная функция G (t ) равна Sp M x (t) M x . Обратно G(t) = 2/( A) ∫ ? f cos t d , (IV.27) Согласно вышеизложе нному , в выражении M x (t) = е i H t M x е – i H t . следует вместо H = H 0 + H 1 подставить H = H 0 + H 1 что значи тельно упрощает вычисления . Поскольк у H 0 и H 1 коммутируют , можн о записать exp i ( H 0 + H 1 ) t = exp ( i H 0 t ) exp ( i H 1 t ). Учитывая , что зеемановский гамильтониан ħ'68 H 0 равен ħ'68 0 I z фу нкцию G (t) можно переписать в виде ( IV .28) Шпур произве дения операторов инвариантен относительно циклич еской пере становки , поэтому (IV.28a) В этом в ыражении оператор exp(i 0 I z t ) определяет поворот на угол 0 t вокруг оси z, и , следовательно , можно записать (29) Легко видет ь , что второй член в (29) равен нулю , так как поворот спинов на 180° , например вокруг оси ох, не изменяет H 1 и M x но преоб разует M у в – M y . Заменяя в (27) G (t) на G 1 (t) cos 0 t , где G 1 (t)=S p е xp ( i H ‘ 1 t ) M x е ( – i H ‘ 1 t )M x называется с окращенной функцией автокорреляции , и вводя о бозначение h (u) = f 0 + u), получаем Заменяя нижний предел на – , что допус тимо для узких линий , найдем Поскольку h (и ) является четной функцией , второй интегр ал равен нулю и G 1 (t)=S p е xp ( i H ‘ 1 t ) M x е ( – i H ‘ 1 t )M x (30) Различные моменты кривой распределения h (и ) относительно резонансной частоты = 0 определя ются выражением Нечетные м оменты равны нулю , а четные определяются ф ормулой (31) Таким образом , для вычисления моментов резонансной кривой достаточно разложить G 1 (t) в выражении (30) по степеням t. При этом коэфф ициенты разложения представляют собой шпуры о т операторов , которы е являются полиномами от H 1 и M x . Сущность метода заключается в том , что значения упомянутых шпуров не зависят от выбора основных состояний и могут быть вычислены , напри мер , в представлении , где зн ачения m j = I j z отдельны х спинов (поэтому представл ение называется m j -представлением ) явл яются хорошими кван товыми числами . Таким обра зом , нет необходимости решать проблему отыска ния собственных состояний | n > полного гамильтониана . Из опре д еления (30) функции G 1 (t) вытекает , что значение ее р-й произ водной в момент t = 0 определяется выражением (IV.32) Формула (32) просто находится из дифференциального уравнения (33) которому удовлетворяет зависящий от времени оператор M x (t) = е (i H 1 t) M x е ( – i H 1 t) t . Решение этог о уравнения может быть представлено в вид е ряда M x (t) = M x + M (1) x (t) + M (2) x (t) + … + M (n) x (t) , отдельные члены , которого получают ся методом индукции с помощью соот ношения из последнего сразу же следует (32). Из (31) и (32) д ля первых двух четных моментов находим (34) (34a) B (34) M x заменено полным спином I x , пропорциональным M x . По скольку мы определили гамильтониан в вид е ħ'68 H , следует помнить , что эти моменты соответствуют ширинам линии , измеренным в единицах .