Вход

Метод моментов в определении ширины линии магнитного резонанса

Курсовая работа по физике
Дата добавления: 13 апреля 2003
Язык курсовой: Русский
Word, rtf, 906 кб
Курсовую можно скачать бесплатно
Скачать
Данная работа не подходит - план Б:
Создаете заказ
Выбираете исполнителя
Готовый результат
Исполнители предлагают свои условия
Автор работает
Заказать
Не подходит данная работа?
Вы можете заказать написание любой учебной работы на любую тему.
Заказать новую работу
Оглавление А.Введение………………………………………………………………………… ..2 § 1.Локальное поле……………………………………………………………… … 2 § 2.Общая теория магнитного поглощения…… ………………………………… 2 Б . Уширение , вызванное взаимодействием меж ду одинаковыми спинами…… .5 § 3.Диполь-дипольное взаимодействие………………………………… ……… ...5 § 4.Определение моментов……………………………………………… ………… 6 § 5.Метод вычисления моментов…………………………………… …………… .7 В . Кинетические свойства….……………………………………………………… 10 § 6.Кинетическое уравнение……………………………………………………… 10 § 7.Электропроводность………………………………………………………… ...11 А . ВВЕД ЕНИЕ Лин ия магнитного резонансного пог лощения системы спинов , находящихся в неоднородном магнитном поле , обладает некоторой шириной , обусловленной разбросом ларморовских ч астот . Аналогичное уширение может иметь место в неидеальных кристаллах благодаря взаимодей ствию ядерных квадрупольных момен тов с малыми градиентами электрич еского поля , значения которых изменяются от одного узла решетки к др угому случайным образом . В обоих случаях ш ирина линии обусловливается различием резонансны х частот отдельных спинов , а не взаимодейс твиями между ними . Соот ветствующее уширен ие линии называется неоднородным уширением. Положение существенно изменяется , если уширение линии обусловлено взаимодействием между соседними спинами . Эта задача и рассмат ривается в н астоящей работе. § 1. ЛОКА ЛЬНОЕ ПОЛЕ Энергия взаимодей ствия между двумя ядерными спинами за висит от величины и ориентации их магнитн ых моментов , а также от длины и направ ления вектора , описывающего их относительное расположение . Влияние такого взаимодействия на ширину линии поглощения сущест венным образом з а висит от того , зафиксирован ли этот вектор в простран стве или его положение быстро меняется со временем вс ледствие относи тельного движения ядер. Последний случай , как правило , встречающийся в жидкостях и га зах , будет рассмотрен позднее . В этой главе мы ограничимся случаем жест к ой решетки , в которой ядра можно считать неподвижными . Такое при ближение разумно для многих твердых тел при комнатной темпера туре , в частности для кристаллов. Энергия диполь-дипольного взаимодействия двух магнитных моменто в 1 = 1 ћ I 1 и 2 = 2 ћ I 2 описывается хорошо известным в ыражением (1) которое можно переписать в виде W 12 = – 2 ∙'95 H 12 = – 2 ћ I 2 ∙'95 H 12 , где H 12 — локальное поле , созданное первым спином в месте расположе ния вто рого спина . (Введение в рассмотрение понятия локального поля очень удобно .) Поскольку ядерные магнитные моменты имеют порядок 10 -3 магнетона Бора , или 10 -23 CGS , а между ядерные расстояния порядка нескольких ангстрем , то локальные поля в жесткой решетке в общем случае имеют порядок нескольких эрстед. Взаимодействие двух одинаковых диполей в сильном поле Н 0 может быть описано с классической точки зрения следующим образом . Первый ди поль 1 прецессирует с ларморовской частотой вокр уг поля Н 0 и , следова тельно , обладает постоянной составляю щей вдоль этого поля и составляю щей , кото рая вращается в плоскости , перпендикулярной п олю . Постоян ная составляющая 1 создает в месте расположения диполя 2 слабое постоянное поле , ориентация кото рого относительно Н 0 зависит от взаим ного расположения спинов . Если поле Н 0 сильное , то на него заметно влияет только параллельная ил и антипараллельная ему составляющая слабого п оля . Так как кажды й спин в решетке имеет несколько соседей с различными отн осительными положениями и ориентациями , постоянна я составляющая локального поля имеет разные значения в различных местах , что приводит к разбросу ларморовских частот и уширени ю линии. Вращающаяся сос тавляющая 1 создает в месте расположения 2 лока льное магнитное поле , вращающееся с ларморовс кой частотой 1 , которая совпадает с ларморовской частотой для 2 . В свою очередь она имеет составляющую в плоскости , перпендикулярной Н 0 и , следовательно , может заметно изменять ориентацию 2 благодаря явлению резонанса . Соответствующа я ширина линии должна быть порядка ве личины вращающегося поля . В рассматри ваем ом случае оно того же порядка величины , что и локальное постоянное поле и , след овательно , вносит в уширение вклад сравнимой величины. Необходимо отчетливо понимать , что механи змы , обусловливающие эти вклады в ширин у линии , в действительности различны . Если два спина не являются одинаковыми , то вращающееся поле , созданное 1 , не являетс я резонансным для 2 и оказывает на не го пренебрежимо малое влияние , в то время как постоянное поле , созданное 1 , в месте располо жения 2 является столь же эффективным , как и в случае одинаковых спи нов . При прочих равных условиях одинако вые соседние спины оказывают бол ее си льное влияние на уширение резонансной линии , чем неодина ковые. § 2. ОБЩ АЯ ТЕОРИЯ МАГНИТНОГО ПОГЛОЩЕНИЯ Для колич ественного описания формы линии , обусловленной дипольным уширением , необходимо развить формали зм. Когда все спины образца связаны друг с друго м дипольным взаимо действием , представление об отдельных независимых спинах , находящихся в стационарных состояниях , становится неверным . Э тот вывод следует хотя бы из того фак та , что вращающееся локальное поле , созданное одним спином , приводит к пере о риентации его соседей . Поэтому образец при ходится рассматривать как единую большую систему спинов , а переходы , вызванные радиоч астотным полем , — как переходы между разл ичными энергетическими уровнями этой системы . Соответственно изменяется и ста тистичес к ое описание с использованием матрицы плотности . Вместо ста тистического ансамбля спинов , описываемых (2 I +1) (2 I +1) матри цей плотности , весь образец , содер жащий N спинов , теперь становится одним элемент ом статистического ан самбля и описывается (2 I +1) N (2 I +1) N матр ицей плотности . Такое видоизменение никоим об разом не ограничивается ядерным магнетизмом , напротив , оно весьма часто встре чается в статистической физике» а именно всякий раз , когда переходят от описания систем с о слабыми взаимодействиями , например , таких , ка к молекулы газа при низком давлении , к описанию сильно взаимодействую щих систем , таки х , как атомы Кристалла . Первый подход соот ветствует методу Максвелла – Больцмана , а второй — методу Гиббса. Стационарное состояние , следуя методу Гиб бса , можно описать сле дующим образом . Если к системе спинов приложено линейно поляриз ован ное вдоль оси Ох радиочастотное поле Н 1 cos t , то при стацио нарных условиях сис тема приобретает намаг ниченность , составляющая которой вдоль этой ж е оси равна М х = H 1 ' ( ) cos t + '' ( ) sin t . (la) Условие линейности или отсутствия насыщения предполагает , что ' и '' не зависят от H 0 . ' и '' можно измерить отдельно , а '' пропорционал ьно скорости поглощения радиочастотной энергии образцом. Выведем общую формулу для '' ( ). Выше было показано , что в линей ной теории резонанса между ' ( ) и '' ( ) сущ ествуют независимо от при роды рассматриваемой системы общие соотношения (соотношения Крамерса – Кронига ), позволяющие вычислить од ну из этих величин , когда для всех зна чений частоты известна другая. Ниже , чтобы избе жать путаницы , мы будем обозначать через М макро скопическое значение намагниченности образца и через M — соответ ствующий квантовомеханический оператор . Между ним и имеет место соотношение М = < M > = Sp M , (2) где – статистический оператор , или матрица плотн ости , описывающая систему спинов . Пусть ħ'68 H — полный гамильтониан сист емы в отсутствие внешнего радиочастотного пол я . Если до приложения радиочастотного поля система находится в тепловом рав новеси и при температуре Т, то ее статистический оператор определя ется выражением (3) которое прост о означает , что статистическое поведение системы можно описать , если ее энергетиче ским уровням ħ'68 E n приписать населенности , пропорциональные exp ( — ħ'68 E n / kT ). При наличи и радиочастотного поля уравнение движения для имеет вид (4) где V – о бъем образца . Чтобы решить (4) относительно , сде лаем подстан овку * = e i H t e – i H t , (5) которая прео бразует (4) в уравнение . (6) Предположим , что радиочастотное поле было включено в момент , когда образец находился в тепловом равно весии и ( – ) = = * ( – ). В момент t решение (6) в линейном приближении от носительно Н 1 имеет вид ( 7) Поэтому , во звращаясь к [см . (5)], находим (8) Если предположить , что до включения радиочастотного доля на магни ченность вдоль оси x была равна нулю , т . е. М х ( – ) = Sp 0 M x =0, то (9) и , согласно определению (1 а ), (10) Учтем , что температура обычно достаточно высока для того , чтобы для рав новесной матрицы плотно сти (3) можно было использовать линейное разложе ние где – единичный оператор ; тогда восприимчивость ( ) становится равной (11) откуда , инт егрируя по частям , получаем (12) Выражение (12) можно преобразовать к более компактной форм е двумя способами. В первом способе , вводя в рассмотрение оператор Ге йзенберга M x (t) = e i H t M x e – i H t , (12a) можно пере писать (12) в виде (13) где G(t) = Sp M x (t) M x , (13a) Функцию G(t) назовем функцией корреляции , или функцией релаксации намагнич енности системы. Во втором способе выражение (12) можно переписать в ви де Отсюда после применения хорошо известной формулы для -функции получаем (14) где суммирование производится только по тем энергетическим уровням , для которых | E n — E n' | = ħ'68 . Обычно , вводя в рассмотрение вероят ности п ереходов , выражение (14) используют как отправную точку для вывода (13) с помощью интегрального представления -функции . Из равенства (14) в общем в иде следует , что функция формы f ( ) , определ яющая форму линии , пропорциональна сумме | < п | M x | n ’ >| 2 . Точная зависимость этого выражения от co вытекает из усло вия , ограничи в ающего суммирование только по тем уровням , для которых | E n — E n' | = ħ'68 . Формулы (13) и (14) являются весьма общими и с праведливы в случае , когда спектр магнитного поглощения системы содержит одну или нес колько острых резонансных линий , т . е . в случае ядерного маг нитного резонанса . Ма тематически это условие может быть сформулиро вано следующим образом. Гамильтониан ħ'68 H системы представляет собой сумму главной части ħ'68 H 0 и малой возмущающей части , которую удобно з апис ать в виде ħ'68 H 1 , где — параметр малости возмущения . В отсутствие H 1 спектр поглоще ния системы состоит из одной или нескольких бесконеч но острых линий c частотами , a восприимчивость "( ) может быть записана в форме = ; (15) при этом функция релаксации G ( t ), пропорциональная фурье-преоб разованию , имеет вид (15a) Если сущест вует возмущение ħ'68 H 1 , то функция релаксации принимает вид G ( , t) и может быть в принципе вычислена вплоть до любог о порядка по методом возмущений ; восприимчивость , получается как фурье-преобразование G( , t). Прежде чем производить детальный расчет , кратко рассмот рим соот ношение между и поведением намагниченности после окончания д ействия радиочастотного импульса. Хорошо изв естно и достаточно оче видно , что для лине йных систем стационарная реакция на возбужден ие cos t представля ется фурье-преобразованием нестационарной реакции на бесконечно острый импульс (t). Однако на пра ктике для аппроксима ции такого импульса к системе спинов необходимо приложить кратковре менно действующее магнитное поле , значительно большее постоянного поля Н о . Для системы взаимодействующих ядерных спи нов в магнитном поле , характериз ующейся острой резонансной линией на частоте 0 , действие бесконечно острого импульса пост оянного поля можно аппроксимировать радиочастотн ым импульсом частоты = 0 со значительно большей длительностью и меньшей амплитудой H 1 . Поскольку в системе координат , вращающейся с частотой , отлично от нуля только постоянное поле H 1 , то для аппроксимации б есконечно о строго импульса конечной ампли туды достаточно того , чтобы H 1 было зна чительно больше локального поля ; последнее пр едставляет собой гораздо менее жесткое услови е. Б . УШИРЕНИЕ , ВЫЗ ВАННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ МЕЖДУ ОДИНАКОВЫ МИ СПИНАМИ § 3. ДИПОЛЬ-ДИПОЛЬ НОЕ ВЗАИМО ДЕЙСТВИЕ Полный гамильтониан системы одинаковых взаимодействующих спи нов в сильном внешнем поле может быть запи сан в ви де ħ'68 H = ħ'68 ( H 0 + H 1 ). (16) Основной гамильтони ан ħ'68 H 0 = j Z j = – ħ'68 H 0 j I j z (16a) описывает эн ергетические уровни , определяемые выражением ħ'68 E 0 M = – ħ'68 Н 0 M , где M — собст венное значение оператора I z = j I j z Гамильтониан возмущ ения ħ'68 H 1 , ответственный за уширение , имее т вид (16 б ) Прежде всего , ра ссмотрим несколько подробнее взаимодействие межд у двумя спинами , которые будем обозначать для краткости i и i ’ . Пусть и — полярные координаты в ектора r , описывающего их взаимное положение , причем ось z направлена пар аллельно внешнему полю . Тогда W ii можно записать в виде W ii ' = i i' — 3 [ i z cos + sin ( i x cos + i y sin )]x[ i' z cos + sin ( i' x cos y + + i' y sin )] 2 ħ'68 2 /r 3 = i i' — 3 [ i z cos + sin ( i + e - i + i - e i )/2]x[ i' z cos + sin ( i + e - i + + i - e i )/2)] 2 ħ'68 2 /r 3 = (A+B+C+D+E+F) 2 ħ'68 2 /r 3 , (17) где A = i' z i z (l – 3cos 2 ), B = – (l – 3 cos 2 ) ( i + i' – + i – i' + ) = (l – 3 cos 2 ) (i z i' z – i i' ) /2 , C = – 3sin cos e - i ( i z i' + + i + i' z )/2, (18) D = С * = – 3sin cos e i ( i z i' – + i – i' z )/2, E = – 3sin 2 e -2 i i + i' + /4, F = E* = – 3sin 2 e -2 i i – i' – /4,. Запись W в такой форме вызвана следующими п ричинами . Согласно формуле (14), ~ | < п | M x | n ’ >| 2 . Это приводит к необходимости определить изменение в положении энер гетических уровней , отвечающих ħ'68 H 0 , обусловленное наличием ħ'68 H 1 . Операторы А , В , С, D, E, F д ают качественно различным вклады в это из менение . Упомянутые операторы , действуя на сос тояние н евозмущенного гамильтониана , характер изующееся значениями i z =т , i ' z =т ', при водят к следующему изменению этого состояния : (19) Рассмотрим теперь энергетический уровень ħ'68 E 0 M = – ħ'68 H 0 M , соот ветствующий гамильто ниану (16a). Этот уровень сильно вырожден , так как суще ствует много способов , которыми можно скомбин ировать отдельные з начения I j z = m j , чтобы получить величи ну M = m j . Таким образом , уровень ħ'68 E 0 M соо тветствует вырожденному множеству состояний |М >, причем вырождение снимается ( по крайней мере частично ) возмущением , описываемым гамил ьтонианом ħ'68 H 1 , который расщепляет уро вень ħ'68 E 0 M на много подуровней . Согласно первому приближению тео рии возмущений , вклад первого порядка в расщепление уровня ħ'68 E 0 M дают лишь те члены гамильтониана во змущения , которые обладают отлич ными от нуля матричными элементами внутри множества |М >, т . е . те , которые , действуя на состояние |М >, не вы зывают изменения величины М . Обращаясь к формуле (19), мы видим , что только те части W, которые о твечают операторам А и В, удовле творяют этому условию и должны быть сохра нены для вычисления энергетических уровней ħ'68 H методом возму щений. Член А имеет тот же в ид , что и выражение для взаимодействия дву х классических диполей и описывает упомянутое в разделе А взаимодейств ие одного диполя со статическим локальным полем , созд аваемым другим дипо лем . Член В описывает взаимодействие , при к отором возможно одновре менное переворачивание дв ух соседних спинов в противоположных направ л ениях . Эта часть гамильтониана , названная «пер еворачивающей» частью , соответствует описанно му в разделе А резонансному действию вращ а ющегося локального поля . Влияние такого член а , как С, заключае тся в примешивании к состоянию |М > с не возмущенной энергией ħ'68 E 0 M = – ħ'68 H 0 M м алой доли состояния |М — 1>. Таким образом , точное соб ственное состояние ħ'68 H 0 следует представить в в иде | М > + | М – 1 > + …, где — малая величина . Взаимодействие системы спинов с радиочастот ным полем , приложенным вдоль о си ох, пропорциональн о I x = I j x и может индуцировать только перехо ды с М = ± 1. Слабые переходы знежду состоянием , скажем, |M – 2> + малая примесь , энергия которого прибл изительно равна – ħ'68 H 0 ( M — 2), и состоян ием | М > + | М – 1 > + … становятся возможными с вероятностью порядка 2 . Разность энерг ии между этими состояниями приблизительн о равна 2 ħ'68 0 . Следовательно , таким п ереходам на частоте 2 0 соо тветствует очень слабая линия , кото рую обычно трудно наблюдать экспериментально . Легко вид еть , что линии сравнимых интенсивностей по являются на частотах 0 и 3 0 . Доказательство справедливости сохранения в гамильтониане ħ'68 H 1 только членов А и В, которые коммутируют с H 0 обычно называются адиабатической или с екулярной частью ħ'68 H 1 и которые впредь будут обо зна ч аться как ħ h H ’ 0 , может быть также дано следующим способом . Так как пропо рционально фурье-преобразованию G(t)=Sp M x (t) M x , то он о может быть вычислено , если известно M x (t) = е i H t M x е – i H t . В этом случае M x (t) удовлетворяет уравнению (1/i) d M /dt = [ H 0 +H 1 , M x (t) ]. (20) § 4. ОП РЕ ДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ Для резона нсной кривой , описываемой нормированной функцией формы f с максимумом на частоте 0 , n -й момент M n относит ельно 0 опреде ляется выражением М n = ∫ ( – 0 ) n f d . Если f симметрична относительно 0 , то все нечетные моменты равны нулю . Знание моментов дает некотору ю информацию о форме рез онансной крив ой и , в частности , о скорости , с которо й она спадает до нуля на крыльях вдал и от 0 . Достоинство метода моментов состоит в том , что моменты могут быть вычислены н а основании общих принципов без определения собстве нных состояний общего гамильтониа на ħ'68 H . Прежде чем останавливаться на вычислен ии моментов , рассмотрим два примера резонансн ых кривых разном формы . Гауссова кривая оп исывается нормированной функцией (24) для которой легко найти М 2 = 2 , M 4 =3 4 , М 2n = 1, 3, 5, ..., (2n – 1) 2n , причем нече тные моменты равны нулю . Полуширина на пол овине высоты определяемая соотношением f 0 + = f 0 /2, или ехр ( – 2 /2 2 ) = 1/2 оказывается равной Отсюда вид но , что значение второго момента M 2 = 2 для гауссовой кри вой обеспечивает удовлетворительное приближение для ширины ли нии . Другой формой линии , которая часто наблюдается в магнитном резо нансе , является лоренцева форма , опи сываемая нормированной фун кцией (25) где — полуширина на половине высоты. В этом случае ни второй , ни более высокие моме нты не могут быть определены , так как соответствующие интегралы расходятся . Однако ин огда теория дает конечные значения дл я второго и четвертого моментов линий , кот орые в экспериментально наблюдаемой области и меют лоренцеву форму . В соответствии с кон ечными значениями M 2 и М 4 далеко на крыльях лини и , где невозможно произвести достаточно то чные измерения погло щения вследствие его малой величины , линия должна изменяться б олее быстро , чем это следует из лоренцевой формы. Грубая , но удобная пробная модель сост оит в описании кривой по формуле (25) внутри интервала | – 0 | , где >> и в пред положении о том , что она равна нулю вне этого интервала . Тогда , прене брега я членами порядка / , найдем M 2 = 2 = 2 / , M 4 = 2 3 /(3 ), (IV.25a) откуда , если известны M 2 и M 4 можно вычислить и . Поскольку M 4 /( M 2 ) 2 = /6 , упомянутая модель может быть использована лишь , когда теоретическое отношение M 4 /( M 2 ) 2 оказывается большим числом ., В этом случае (IV.25 б ) Ширина на половине высоты значительно меньше , чем с реднеквадратичная ширина . С другой стороны , пр едположение о гауссовой форме линии мож ет быть разумным всякий раз , когда отношен ие M 4 /( M 2 ) 2 порядка 3. § 5. МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ МОМЕНТОВ Основной н едостаток метода моментов состоит в том , ч то важный вклад в значение момента (вклад тем существеннее , чем выше момент ) дают крыл ья кривой , которые на практике не наблюдаются . Необходимо из вычисленных мом ентов линии магнитного резонанса с центром на ларморовской частоте = 0 исключи ть вклады от сопутствующих линий на част отах = 0 , 2 0 , 3 0 о которых упоминалось ранее . Ле гко видеть , что , несмотря на их малую и нтенсивность (благодаря удаленности от центрально й частоты 0 ) вклад во вто рой момент сравним с вкладом от главной линии и тем больше , чем выше порядок момента . Для исключения вкладов от них следует рассматри вать в гамильтониане возмущения ħ'68 H 1 от ветственного за уширение , только его секулярн ую часть ħ'68 H 0 , которая коммутирует с H 0 и , следова тельно , не может отвечать перемеш иванию состояний с различными пол ными М ; такое смешивание является причиной появления побочных линий . Таким образом , сокращение дипо льного гамильтониан а до его секулярной части не только упрощает вычисление моментов , но и делает его более точным. Прежде чем начать расчет , отметим , что линия магнитн ого резон анса симметрична относительно це нтральной частоты 0 . Убедимся в правиль ности этого утверждения . Если | а > и | b > — два собственных состояния ħ'68 ( H 0 + H 1 ) с разностью энергии ħ'68 (Е а — Е b ) = ħ'68 0 + ab , то два состоя ния | а ~ > и | b ~ >, полученные из | а > и | b > соответственно путем пово рота все х спинов в обратном направлении , будут так же собственными состояниями ħ'68 ( H 0 + H 1 ) с ħ'68 (Е b ~ – Е a ~) = ħ'68 0 + ab . Таким образом , каждо му переходу с частотой 0 + u соответствует пере ход равной интенсивности с частотой 0 – u . Если f ) — функци я формы , то h (u) = f 0 + u ) — четная функция u . Поскольку момен ты кривой пропорциональны про изво дным в начале координат от их фурье-преобразования , мы будем применять для их вычисления формулу (13). Вследствие узости линии ядерного магнитного резонанса можно пренебречь изменением величины в пределах ширины линии и пред положить , что форма линии описывается / , т ак же как и . То гда , поскольку f — нормированная функци я формы , (13) может быть переписано в виде f = A ∫ G ( t ) cos t dt , (IV.26) где постоян ная A определя ется из условия нормировки f , а опреде ленная ранее четная функция G (t ) равна Sp M x (t) M x . Обратно G(t) = 2/( A) ∫ ? f cos t d , (IV.27) Согласно вышеизложе нному , в выражении M x (t) = е i H t M x е – i H t . следует вместо H = H 0 + H 1 подставить H = H 0 + H 1 что значи тельно упрощает вычисления . Поскольк у H 0 и H 1 коммутируют , можн о записать exp i ( H 0 + H 1 ) t = exp ( i H 0 t ) exp ( i H 1 t ). Учитывая , что зеемановский гамильтониан ħ'68 H 0 равен ħ'68 0 I z фу нкцию G (t) можно переписать в виде ( IV .28) Шпур произве дения операторов инвариантен относительно циклич еской пере становки , поэтому (IV.28a) В этом в ыражении оператор exp(i 0 I z t ) определяет поворот на угол 0 t вокруг оси z, и , следовательно , можно записать (29) Легко видет ь , что второй член в (29) равен нулю , так как поворот спинов на 180° , например вокруг оси ох, не изменяет H 1 и M x но преоб разует M у в – M y . Заменяя в (27) G (t) на G 1 (t) cos 0 t , где G 1 (t)=S p е xp ( i H ‘ 1 t ) M x е ( – i H ‘ 1 t )M x называется с окращенной функцией автокорреляции , и вводя о бозначение h (u) = f 0 + u), получаем Заменяя нижний предел на – , что допус тимо для узких линий , найдем Поскольку h (и ) является четной функцией , второй интегр ал равен нулю и G 1 (t)=S p е xp ( i H ‘ 1 t ) M x е ( – i H ‘ 1 t )M x (30) Различные моменты кривой распределения h (и ) относительно резонансной частоты = 0 определя ются выражением Нечетные м оменты равны нулю , а четные определяются ф ормулой (31) Таким образом , для вычисления моментов резонансной кривой достаточно разложить G 1 (t) в выражении (30) по степеням t. При этом коэфф ициенты разложения представляют собой шпуры о т операторов , которы е являются полиномами от H 1 и M x . Сущность метода заключается в том , что значения упомянутых шпуров не зависят от выбора основных состояний и могут быть вычислены , напри мер , в представлении , где зн ачения m j = I j z отдельны х спинов (поэтому представл ение называется m j -представлением ) явл яются хорошими кван товыми числами . Таким обра зом , нет необходимости решать проблему отыска ния собственных состояний | n > полного гамильтониана . Из опре д еления (30) функции G 1 (t) вытекает , что значение ее р-й произ водной в момент t = 0 определяется выражением (IV.32) Формула (32) просто находится из дифференциального уравнения (33) которому удовлетворяет зависящий от времени оператор M x (t) = е (i H 1 t) M x е ( – i H 1 t) t . Решение этог о уравнения может быть представлено в вид е ряда M x (t) = M x + M (1) x (t) + M (2) x (t) + … + M (n) x (t) , отдельные члены , которого получают ся методом индукции с помощью соот ношения из последнего сразу же следует (32). Из (31) и (32) д ля первых двух четных моментов находим (34) (34a) B (34) M x заменено полным спином I x , пропорциональным M x . По скольку мы определили гамильтониан в вид е ħ'68 H , следует помнить , что эти моменты соответствуют ширинам линии , измеренным в единицах .
© Рефератбанк, 2002 - 2017