Вход

Философские вопросы математики

Реферат по философии
Дата добавления: 23 января 2002
Язык реферата: Русский
Word, rtf, 288 кб
Реферат можно скачать бесплатно
Скачать
Данная работа не подходит - план Б:
Создаете заказ
Выбираете исполнителя
Готовый результат
Исполнители предлагают свои условия
Автор работает
Заказать
Не подходит данная работа?
Вы можете заказать написание любой учебной работы на любую тему.
Заказать новую работу
Философские вопросы математики Введение Вопрос об отн ошении математики к реальному миру является одним из основны х для объяснения природы математики как н ауки . Только ответив на вопрос о происхожд ении и содержании математических понятий и теорий , можно ставить и разрабатывать остал ьные философские вопросы м а тематики . Толкование этих вопросов существенно зависи т от того , истолковываются ли математические понятия и утверждения как отражение свой ств объектов и процессов реального мира и ли же они трактуются как продукт совершен но "свободного " творчества субъекта ( субъективный идеализм ), либо относятся к миру "идей ", имеющих якобы самостоятельное существо вание (объективный идеализм ). Еще древнегреческие философы дали два противоположных истолкования вопроса об отноше нии математики к реальному миру . Аристотель утвер ждал , что математические понятия я вляются абстракциями (отвлечения ) от реальных вещей . Платон , напротив , считал , что математичес кие понятия занимают промежуточное положение между миром чувственно воспринимаемых вещей и миром "идей " и являются лишь слабыми "тенями " последних . В дальнейшем взгляды Аристотеля и Платона неоднократно под вергались обсуждению . Но как ни подходили философы и математики к решению вопроса о б отношении математики к реальности , конечным результатом их рассуждений обычно бывали следующ и е заключения . Материалисты доказывали , что понятия и законы математики являются копиями , отражениями , полученными в процессе абстрагирования от реальных вещей , их свойств и отношений между ними . Субъ ективные идеалисты утверждали , что основные п онятия и за к оны математики являют ся продуктами "свободного " мышления людей . Объе ктивные идеалисты пытались доказать , что объе кты математики – самостоятельные сущности , с уществующие независимо от мира реальных вещей , в каком-то особом мире "идей ", "идеальных объектов ". [15; 8] В течение столетий сторонники материалист ического и идеалистического толкований вели б орьбу . Но где и как бы ни развертывала сь эта борьба , она всегда концентрировалась около вопроса об отношении математики к материальной действительности . В этой б орьбе большинство ведущих математиков , как пр авило , отстаивало материалистическое толкование м атематики . Например , Леонард Эйлер , писал : "…мат ематика является наукой , которая не только показывает в каждом случае соотношения , но и определяет причины , от ко т о рых они зависят по природе самих вещей " [21; 9]. На материалистических позициях стояли и замечательные русские математики XIX века Николай Иванович Лобачевский и Пафнутий Львович Че бышев. Методы математики способствуют механике , астрономии , физике и други м наукам про никать в сущность законов природы и предв идеть то , что еще осталось за границами знания . Например , законы механики и методы математики помогли У.Леверрье и Д.Адамсу (XIX в .), а потом и П.Ловеллу (ХХ в .) теоретич ески установить существование дв у х новых , расположенных за Сатурном , планет – Нептуна и Плутона , после чего их суще ствование было подтверждено астрономическими наб людениями . Методы математической физики привели К.Максвелла к заключению о наличии давления света , после чего П.Н.Лебедев под т вердил прогноз К.Мак свел ла рядом точных экспериментов . Учение о ра зличных видах геометри ческих п ространств (аффинном , конечномерным метрических пр остранствах , гильбертове пространстве ) находит при менение в электродинамике и теоретической эле ктротехнике . В то же время математика не только помогает решению отдельных вопро сов естествознания , но и способствует формиро ванию и развитию новых теорий . Математика помогла физикам установить основные уравнения квантовой механики ; после этого был раскрыт их физический смысл. 1. Математика и действительность как осно вной философский вопрос математики. Центральной в философских вопросах матема тики является проблема соотношения весьма абс трактных математических конструкций и реальной действительн ости . Н.Бурбаки пишет , что "о сновная проблема состоит во взаимоотношении м ира экспериментального и мира математического " [2; 258]. Хотя А.Нысанбаев и Г.Шляхин в своей к ниге "Развитие познания и математика " отмечают , что "сам автор отказывается всерьез обс у ждать эту проблему , но не пот ому , что он стремится соблюсти "нейтральность " при рассмотрении основного философского воп роса математики , а потому , что он выступае т как математик , понимающий всю сложность философских проблем и не решающийся обсуждать их "из- за отсутствия компетентности " [16; 53]. Из этих слов можно сделать вывод , что основной философский вопрос математики далек о не легок в своем разрешении . И этот вывод очень хорошо подчеркивает Т.И.Ойзерман : "Многие философские проблемы , в отличие о т пробле м , возникающих перед естеств ознанием , являются вечными в том смысле , ч то они всегда сохраняют свое значение для человечества " [17; 217]. Получая свое определенное решение в к аждую историческую эпоху , это вопрос вновь и вновь возникает перед философами в н ов ой форме , обусловленной уровнем достигн утых знаний и характером социальных преобразо ваний . Этот вопрос никогда не станет оконч ательно завершенным , не подлежащим дальнейшему изменению , развитию. В настоящее время основной вопрос фил ософии по отношению к мат ематике смес тился в план соотношения действительности и языка . "Считать ли математику наукой , изуч ающей определенные отношения действительности , ил и же утверждать , что она имеет дело ли шь с формальными преобразованиями символов , н е отрицающих никаких реал ь ных свя зей и отношений ? – так ставится вопрос " [17; 227]. Проблему соотношения математики и действи тельности пытались решить многие философские течения . Эмпиризм , который стремился свести вс е теоретические знания к высказыванию о ч увственном , хотел провест и такую точку зрения и по отношению к математике . В наиболее яркой форме эти идеи были выр ажены в работах английского философа Дж.Ст.Мил ля. Представление , согласно которому математики рассуждают не о реальных предметах , а о символах , есть , согласно Дж.Ст.М иллю "…и ллюзия , возникшая вследствие того , что когда математик пользуется своими знаками , не дей ствительно не думает о тех вещах , которые эти знаки обозначают . Но это происходит потому , что истины арифметики справедливы относительно всех вещей и не возбуж д ают в нашем сознании никаких идей о тех или иных вещах в частнос ти . Поэтому утверждения математики – это утверждения не о символах , а о всех ве щах , которые этот символ обозначает " [14; 561]. Основой того , почему мы верим , что , например , 2+1=3 является наш опыт , под которы м Дж.Ст.Милль понимал чувственный опыт отдельн ого изолированного индивида . Это соотношение , согласно Дж.Ст.Миллю , резюмирует эмпирический факт , который мы до сих пор постоянно встр ечали в своем непосредственном опыте . Нам всегда удавалось, встретив три вещи в определенном порядке , разложить их на группы из двух вещей и одной отдельно отстоящей вещи . Это интуитивная истина , с тавшая нам известной благодаря обыденному опы ту и с тех пор постоянно подтверждающаяся . Алгебра ведет это обобщение да л ьше : всякий алгебраический символ изображ ает любые числа . Аналогично в геометрии : "В сякая теорема геометрии есть закон внешней природы и может быть установлена путем обобщения наблюдений и опытов " [14; 583]. Миллевская концепция математического знания пока зывает , как недостаточно понимал и оценивал он все своеобразие и огромное самостоятельное значение математики . Применение его идей к математике возможно лишь с грубыми натяжками , искажающими ее сущность. Пытаясь рассмотреть математическое знание как продук т чувственного опыта отдельн ого субъекта , эмпиризм встречается с непреодо лимыми трудностями . Чувственный опыт всегда и меет дело с единичным и случайным , а м атематические положения всеобщи и необходимы . Математика оперирует такими понятиями , содержание кот о рых далеко выходит за ра мки того , что доступно чувственному опыту отдельного человека . Непосредственным опытом отде льного субъекта всеобщие математические положени я могут лишь подтверждаться , но не порожда ться , так как выводы из непосредственного опыта вс е гда индуктивные , а матема тические положения носят необходимый характер . Поэтому невозможно построить грандиозное здани е математики на таком шатком основании , ка к единичный чувственный образ в сознании индивида. Неопозитивизм считает , что математика (лог ика ), в отличие от остальных наук , пре дставляют собой вспомогательный аппарат для о существления языковых преобразований в науках о фактах . Б.Рассел , например , так говорит о характере математического знания : “...математичес кое знание не выводится из опыта пут е м индукции ; основание , по котором у мы верим , что 2+2=4 не в том , что мы так часто посредством наблюдения находим на опыте , что одна пара вместе с др угой парой дает четверку . В этом смысле математическое знание все еще не эмпиричес кое . Но это и не априорно е з нание о мире . Это на самом деле просто словесное знание о мире . “ 3” обознача ет “ 2+1” , а “ 4” означает “ 3+1” . От сюда следует , что “ 4” означает то же , что “ 2+2” . Таким образом , математическое знание перестало быть таинственным . Оно имеет такую же природу , к ак и “ве ликая истина” , что в ярде 3 фута” [19; 839]. Однако выделение языка в особую сферу – такая же ошибка , как и выделение в самостоятельную область мышления . Об этом предупреждал К.Маркс почти за сто лет до новейших позитивистских исследований в област и логики и математики : “Так же , как философы обособили мышление в самост оятельную силу , так должны были они обособ ить и язык в некое самостоятельное , особое царство . В этом тайна философского языка , в котором мысли , в форме слов , облада ют своим собственны м содержанием” [11; 448]. Для диалектического материализма не сущес твует дилеммы : либо признать , что математика сводится к чувственно воспринимаемому , либо считать ее не имеющей никакого отношения к действительности . Диалектический материализм не связывает объективность предмета научног о исследования с формой , в которой субъект постигает его . Объективно не только то , что чувственно воспринимаемо , но и то , ч то находит свое выражение в теоретической форме , несводимой к чувственно воспринимаемому . В.И.Ленин , д е лая замечания на книге А.Рея “Современная философия” , отмечает как безусловно правильную мысль о том , что “…полезность разума тем и объясняется , чт о выводя предложения из предложений , он вм есте с тем выводит друг из друга отно шения между фактами природы” [ 9; 479]. Установление математических фактов , например , не путем эмпирических процедур , как это было в математике древних вавилонян и египтян , а с помощью дедуктивных рассуждени й в аксиоматической системе Евклида , совсем не означает , что математика перестае т иметь дело с реальностью и погружается в изучение умозрительных сущностей . Различие , которое здесь есть , коренится в отличие эм пирического уровня познания от теоретического , а не в различии объективного от субъек тивного . Однако решение проблемы объектив н ой ценности математики не сводится к признанию того , что существует некоторое объективное содержание , соответствующее содержанию математических понятий . Главная задача состоит в том , чтобы раскрыть , как это объекти вное содержание входит в науку. 2. Проблема существования в современной м атематике. В современной математике и математической логике весьма живо обсуждается проблема существования в применении к абстрактным объе ктам . Номинализм и реализм ведут нескончаемые споры о принят ии или непринятии абстрактных объектов , причем отказ от их р ассмотрения мотивируется тем , что в противном случае мы придем к постулированию мира идей Платона . Те же , кто признают абстра ктные объекты , тем не менее , отмежевываются от Платона , заявляя , что и х ра ссмотрение не ведет к онтологии платоновского толка . Неопозитивизм в лице своих виднейш их представителей Б.Рассела и Р.Карнапа также неоднократно обращался к рассмотрению пробле мы существования. Эта проблема возникает из осознания н евозможности сведения абстрактных математически х объектов к единичным чувственно воспринимае мым вещам . Если математические объекты сущест вуют не так , как единичные вещи , то о каком их существовании может идти речь ? В каком смысле , например , существуют , n-мерные и бесконечномерные пространства и т . д. В.И.Ленина интересовал этот вопрос . Конспек тируя гегелевские "Лекции по истории философи и ", В.И.Ленин обращает внимание на то , что еще древние пифагорейцы задумывались над проблемой существования абстрактных математичес ких объектов . "Числа , где они ? Отделенные пр остранством , обитают ли они сами по себе в небе идей ? Они не суть непосредстве нно сами вещи , так как вещь , субстанция есть ведь нечто д р угое , чем число , - тело не имеет никакого сходства с последним " [9; 225]. На полях В.И.Ленин отмечает в ажность такой постановки вопроса , наивное нед оумением , вызванное действительной трудностью , ког да абстрактный объект ставится на очную с тавку с чувствен н о воспринимаемой действительностью. Представление о самостоятельном существовани и математических объектов приводит к ряду трудностей как гносеологического , так и лог ико-математического характера . Математик как бы оказывается между двумя реальностями - чувс твенно воспринимаемых вещей и математичес ких объектов . Причем как математик он имее т дело лишь со "второй реальностью ", а с чувственно воспринимаемой действительностью со прикасается лишь постольку , поскольку выступает уже просто как человек , который долже н пить , есть , отдыхать и т . д. Некритический подход к проблеме существов ания таит в себе немалую опасность . Наприм ер , немецкий физик Г.Герц не может скрыть своего преклонения перед миром математически х объектов : "Невозможно избавиться от ощущения , что эти м атематические формулы сущес твуют независимо от нас и обладают собств енным разумом , что они мудрее нас , мудрее даже тех , кто их открыл , и что мы извлекаем из них больше , чем первоначальн о было " [12; 112]. Отсюда остается всего один шаг до признания , что "м а терия исч езает , остаются одни уравнения ". [16; 76] Но привычка обращаться с математическими объектами так , как будто бы это вещи реального мира , существующие независимо от математика , вызывает не только гносеологические , но и логико-математические трудност и. А.Н.Колмогоров в своей статье "Современные споры о природе математики " ("Научное слов о ", 1929, № 6) и Г.Вейль в книге "О философии математики " (М.-Л ., 1934) прямо указывают на то , что именно такая привычка обращаться с м атематическими объектами является источником серьезных затруднений в обосновании и пост роении математических теорий . Совсем не случа йно поэтому появление интуиционистской точки зрения на проблему существования. Интуиционизм возник как реакция на те оретико-множественную (классическую ) конце пцию математики. При наивном понимании проблемы существова ния в математике , при котором это понятие считается не нуждающимся в каком бы то ни было анализе , интуиционизм избрал гл авным объектом критики в классической математ ике понятие актуальной бесконечно сти и закон исключенного третьего . Отвергая понятие актуальной бесконечности , интуиционизм заменяет понятием потенциальной бесконечности . Что же касается закона исключенного третьего , согла сно которому утверждение А и его отрицани е не мог ут быть одновременно истинными и ложными , то интуиционизм считает , что утверждение А может считаться доказанным лишь тогда , когда указан метод , позволяющий выяснить , какое именно из двух суждений А или истинно. Немецкий математик Л.К ронекер , а т акже представители парижской школы теории фун кций Э.Борель и А.Лебег признавали математичес кие объекты существующими независимо от нашег о мышления . Но они считали , что об их существовании мы можем судить лишь с помощью построения , благодаря че м у они только и становятся познаваемыми для нас . А.Гейтинг называет такую концепцию "п олуинтуиционистской " [5; 10]. Собственно же интуиционистская концепция по вопросу о существовании отк азывает математическим объектам в каком бы то ни было независимом от м ыш ления существовании и считает , что об их существовании можно утвердительно говорить л ишь в том случае , когда они могут быть тем или иным способом построены. Классическая математика не принимает во внимание очевидное различие между двумя следующими опреде лениями натуральных чисел - числа К и числа Е. "I. К есть наибольшее простое число , т акое , что К -1 также простое . Если такого числа нет , то К =1. II. Е есть наибольшее простое число , т акое , что Е -2 также простое . Если такого числа нет , то Е =1." [16; 84] Для интуиционизма же это различие весьма существенно . Если число К может быть вычислено (К =3), то число Е не вычис ляется , так как проблема "близнецов " не раз решена . Поэтому интуиционисты считаю неправильным давать определение натурального числа в форме II и с читают , что число опре делено только тогда , когда дан способ его вычисления . Или в более общей форме : " Существовать " должно означать то же самое , что "быть построенным " [6; 11]. На основе критики классической математики и в то же время как реакция на субъек тивистскую концепцию интуиционизма в озникло также конструктивное направление . Об абстрактных объектах в конструктивной математике рассуждают на основе абстракции потенциально й осуществимости . В соответствии с этой аб стракцией в конструктивной математике и з учаются не только объекты , уже имеющие ся в наличии , но и возможные (потенциально осуществляемые ) объекты . Абстракция актуальной бесконечности как объект математической теории отклоняется в конструктивном направлении. В конструктивной математике отрицают та к называемые “чистые” теоремы существован ия . Например , в конструктивной теории множеств нет теоремы существования неизмеримого по Лебегу множества . В ней существование беско нечного множества с данными свойствами являет ся однозначным в том случае , если дан способ потенциально осуществимого по строения объекта с этими свойствами. В становлении и развитии конструктивного направления в математике важную роль сыг рали работы А . А . Маркова , Н . А . Шанина , П . С . Новикова . Известный советский ученый Н . А . Шанин в рабо те “О критике классической математики” [20; 284-298] дает конструктивист скую критику классической математики и акцент ирует внимание исследователей на том , что многие теоремы классической математики не обл адают удовлетворительной связью между ними и эмпири ч еским материалом в област и естествознания. Предшественником интуиционистской концепции существования в некотором смысле можно считат ь А.Пуанкаре . Рассматривая вопрос о существова нии натурального ряда чисел , А.Пуанкаре высказ ывал взгляды , близкие к интуицио нистским . Например , он считал , что о существовании чисел можно судить лишь с помощью их построения . Но для математических объектов , отличных от натуральных чисел , А.Пуанкаре с читал доказательство непротиворечивости доказательст вом их существования . "В мат е матик е существовать может иметь только один см ысл , - оно означает устранение от противоречия " [18; 124]. Представление о самостоятельном существовани и математических объектов подвергалось критике не только интуиционизмом . Субъективный идеалист Дж.Беркли , ч ья философия сжато сформу лирована в знаменитом афоризме "существовать - значит быть воспринимаемы ", рьяно выступал про тив представления о самостоятельном существовани и математических объектов . В своем памфлете "Аналитик , или Рассуждение , адресованное неве р ующему математику… " Дж.Беркли отрицал существование бесконечно малых величин на том основании , что они чувственно не во спринимаемы . [1; 395] Б.Рассел начал свою философскую деятельно сть с идеализма типа Дж.Беркли , но затем изменил свою концепцию под влияни ем Д.Мура , который подверг критике философию Дж .Беркли и сформулировал принцип нетождественности объекта восприятию . В своем труде “Принци пы математики” Б.Рассел переходит на позиции реализма и высказывает мысль , что нельзя обосновать математику , не призн а в ая математические объекты , существующими независи мо от сознания . [16; 87] Абстрактные объекты не существуют в к ачестве самостоятельного объекта , стоящего между субъектом и реальным объектом , ибо они являются лишь формами выражения действительнос ти . Сама ж е действительность выступает не как совокупность единичных фактов , созер цая которые , субъект выделяет то общее , чт о есть в них , а как сложная , расчлененн ая внутри себя целостность . Неверно превращат ь математические средства выражения предмета математики в сам предмет . Абстрактные объекты являются не объектами познания , а тем , что должно быть в голове человек а , чтобы можно было в реальной действитель ности увидеть те или иные аспекты количес твенных отношений. Представления , что математика имеет дело с реально й действительностью только через посредство абстрактных объектов , которые понимаются как существующие лишь во внутре ннем мире субъекта , замыкает математика в рамки уже идеализированных фрагментов действител ьности и не может объяснить факта увеличе ния мате м атического знания . Математич еское познание имеет дело не с абстрактны ми объектами , а с пространственными формами и количественными отношениями действительности . Манипулирование абстрактными объектами в отрыв е от объективной реальности не может прив ести к н овым результатам . Абстрактны е объекты сами по себе – застывший п родукт познания и только обращение к новы м аспектам действительности приводит к обогащ ению математического знания . Все это прекрасн о понимал и выразил еще Р.Декарт . В “Пр авилах для руководств а ума” он писал , что “мысля о числе , не нужно дел ать вывод , будто измеряемая вещь считается исключенной из нашего представления , как эт о делают те , кто приписывает числам чудесн ые свойства…” . [7; 149] В этом случае мы сможем по мере надобности обращаться и к другим свой ствам предмета , которые еще не выражены в числах . Тот , кто превращает математические средства выражения предмета математики в с ам предмет , превращается , по словам Р.Декарта , из математика в счетчика , бессмысленно о перирующего со знаками и си м волам и , загораживающими непроницаемой реальный предмет математики. А.Гейтинг замечает , что “мы не могли бы сравнивать натуральные числа друг с другом , если бы не фиксировали их какими-л ибо средствами материального представления , почем у они и продолжают сущ ествовать после акта их построения” [6; 24]. Абстрактные объекты и есть формы , отли тые предшествующей деятельностью человека в о бществе . С точки же зрения каждого отдельн ого индивида они выступают как независимо от него существующая реальность , а это значи т , что человек должен считаться с их природой как и с природой реально существующих вещей . Только в этом смысле и можно говорить об особом существовании абстрактных объектов. 3. Функция как отражение окружающей дейст вительности Ф ункция представляет собой одно и з основных математических понятий XX в ., когда функциональному анализу стала принадлежать в математике выдающаяся роль . Но так было не всегда : после введения в математику понятия функции понадобилось более двух столе тий , чт о бы было осознано его д ействительное значение для развития математическ ого познания. Термин “функция” впервые был применен в конце XVII века Лейбницем (1646-1716) и его учени ками . Вначале этот термин употребляли еще в очень узком смысле слова , связывая лишь с геометрическими образами . Речь шла об отрезках касательных к кривым , их пр оекция на оси координат и о “другого рода линиях , выполняющих для данной фигуры некоторую функцию” (от латинского “функтус” - выполнять ). Таким образом , понятие функции е ще не бы л о освобождено от гео метрической формы. Лишь И . Бернулли дал определение функц ии , свободное от геометрического языка : “Функц ией переменной величины называется количество , образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных” [4; 17]. Он о привело в восхищение престарелого Лейбница , увидевшего , что отход от геометрических образов знаменует новую эпоху в изучении функций. Определение Бернулли опиралось не только на работы Лейбница и его школы , но и на исследования великого математика и фи зика Исаака Ньютона (1643-1727), который изучи л колоссальный запас самых различных функцион альных зависимостей и их свойств . Вместо с лова "функция " Ньютон применял термин "ордината ". Он сводил изучение геометрических и физ ических зависимостей к изучению э т их "ординат ", а сами "ординаты " описывали различными аналитическими выражениями. Чтобы определение функции , данное И.Бернул ли , стало полноценным , надо было условиться , какие способы задания функций следует счит ать допустимыми . Обычно считали , что допускают ся функции , заданные выражениями , в ко торые входят числа , буквы , знаки арифметически х действий , возведение в степень и извлече ние корней , а также обозначения тригонометрич еских , обратных тригонометрических , показательных и логарифмических функций . Такие ф у нкции называли элементарными . Вскоре выяс нилось , что интегралы от них не всегда выражаются через элементарные функции . В св язи с этим пришлось добавить новые функци и , получающиеся при вычислении интегралов от элементарных функций , при решении дифференци ал ь ных уравнений и т . д . Многие из этих функций нельзя было явно выр азить с помощью ранее известных операций . Поэтому один из самых замечательных математик ов XVIII века Леонард Эйлер (1707-1783) в одной из своих работ пишет : "Когда некоторые количества завис я т от других таким обра зом , что при изменении последних и сами они подвергаются изменению , то первые назыв ают функциями вторых " [2; 18]. В 1834 году Н.И.Лобачевский писал : "Общее по нятие функции требует , чтобы функцией от х называть число , которое дается дл я каждого х и вместе с х постепенно и зменяется . Значение функции может быть дано или аналитическим выражением , или условием , которое подает средство испытывать все числа и выбрать одно из них ; или , наконец , зависимость может существовать и оставаться неиз в естной ." [11; 284] Более общий подход к понятию функции , при котором отождествляются понятия "функция ", "отображение ", "оператор ", возник после того , как во второй половине XIX века бы ло введено общее понятие множества . И имен но творцы теории множеств Г . Кантор (1845-1918) и Р . Дедекинд (1831-1916) дали общее определение отображения . Его можно сформулировать : Пусть X и Y - два множества ; говорят , что задано отображение f множества X в (на ) множество Y, если для каждого элемента x из X указан соответствующи й ему единственный элемент y из Y. Этот элемент y называют образ ом элемента х при отображении f и обознача ют f(x). Введение в математику общего понятия об отображении множеств позволило прояснить и ряд вопросов , относящихся к функциям , на пример , уточнить, что такое обратная функция , сложная функция и т . д. В результате систематического построения математического анализа на основе строгой ари фметической теории иррациональных чисел и тео рии множества возникла новая отрасль математи ки - теория функций действит ельного переме нного . Она оказала большое влияние на разв итие многих других отделов математики В начале XX века на базе этой теори и функций возникла новая ветвь математики - функциональный анализ . В нем изучают множе ства , состоящие из функций , последователь н остей , линий , в которых определены операции сложения и умножения на числа . Эти опер ации обладают свойствами , похожими на свойств а операций над векторами . Однако в отличие от нашего пространства , имеющего лишь три измерения , изучаемые в функциональном ана л изе , пространства могут быть беск онечномерными . Это не мешает специалистам по функциональному анализу применять в своих исследованиях геометрический язык. Хотя функциональный анализ кажется очень абстрактной наукой , он находит многочисленны е приложения в в ычислительной математике , физике , экономике , позволяя с единой точк и зрения трактовать самые различные вопросы и вскрывать геометрическую сущность проблем , которые на первый взгляд очень далеки от геометрии . Говоря о связи абстрактной науки с практикой , в и дный матем атик Р . Курант (1888-1972) писал : “Мы стартуем с Земли и , сбросив ба лласт излишней информации , устремляемся на кр ыльях абстракции в заоблачные высоты , разреже нная атмосфера которых облегчает управление и наблюдение . Затем наступает решающее испыт ание - приземление ; теперь нужно установить , достигнуты ли поставленные цели...” [4; 25] В XX веке понятие функции подверглось д альнейшим обобщением . Возникло понятие функции , отражавшее свойства физических величин , сосред оточенных в отдельных точках , на л иния х или поверхностях . Потребности физики привел и к изучению функций , принимавших случайные значения . Но методы математического анализа позволили справиться и с проблемами теории случайных функций , нашедшей многочисленные п риложения в физике и технике. Со временная трактовка понятия функции выглядит следующим образом : "функцией называе тся отношение двух (группы ) объектов , в кот ором изменению одного из них сопутствует изменение другого " [13; 615-616] Но как бы далеко ни отходило то или иное обобщение поняти я функции от определений И.Бернулли и Л.Эйлера , к как им бы сложным объектам оно ни прилагалось , в основе всех построений лежала одна и та же мысль о существовании взаимоза висимых величин , знание значения одной из которых позволяет найти значение другой ве л ичины. В результате изучения различных функций в математике появились новые теории . Так немецкий математик Ф.Клейн и французский математик А.Пуанкаре создают теорию автоморфных функций , в которой находит замечательные пр именения геометрия Лобачевского . Фра нцузские математики Э.Пикар , А.Пуанкаре , Ж.Адамар , Э.Борел ь глубоко разрабатывают теорию целых функций . Геометрическую теорию функций и теорию р имановых поверхностей развивают А.Пуанкаре , Д.Гильб ерт , Г.Вейль , немецкий математик К.Каратеодори , теорию конфо р мных отображений - советс кие математики И.И.Привалов , М.А.Лаврентьев , Г.М.Голуз ин и др . На основе комплексных чисел в озникает теория функций комплексного переменного . Общие основы этой теории были заложены О.Коши. Выше приведенные примеры теорий функции по казывают нам важность данного поня тия в современной науке . Однако можно сдел ать ошибочный вывод (в силу множества абст рактных понятий , связанных с функцией ) о т ом , что все эти теории не имеют никаки х связей с окружающим миром . В действитель ности же эти св я зи имеют боле е сложные формы . Многие эти теории возникл и не из-за запросов естествознания и техни ки , а из внутренних потребностей самой мат ематики . Т . е . непосредственного отношения к окружающему миру эти теории не имеют . О ни играют вспомогательную роль д л я прикладных наук. Как мы уже выяснили , понятие “функция” в математике играет значительную роль . По смотрим теперь на то , какую же роль иг рает это понятие в философии . Прежде всего следует заметить , что в философских слова рях трактовки этого понятия трудно найт и . Следовательно , можно сделать вывод , что это понятие в философии играет второстепенную роль . Однако , зависимость между элементами некоторых множеств , - как одна из смысловых сторон “функции” , имеет непосредственное отн ошение к окружающему миру. В . И. Ленин писал : “Первое , что бросается нам в глаза при рассмотрении мира в целом – это взаимная связь вс его существующего” (см . Ленин В.И . Пол . собр . соч . – Т . 20, с . 20). Но далеко не все связи могут быть отражены в виде функциональных зависимостей (формул ) . Наиболее наглядно демонстрируют подобные связи в окружающем мире законы физики , которые могут быть записаны в виде формул . Это , например , второй закон Ньютона , закон Гука , законы Кеплера и многие другие законы , отражающие взаимозависимость окружающего мира. Таким образом , функция , как и любое другое математическое понятие , непосредс тве нно или опосредованно отражает окружающую нас действительность . Заключение Таким образом , проблемы реальности и с уществования в математике имеют неоднозначное истолкование в философии . Вопрос о соотноше нии понятий и утвержден ий математики и окружающей действительности был освещен с разных философских позиций . А именно , с точки зрения материализма и субъективного и объективного идеализма , эмпиризма и неопози тивизма . Каждое из вышеперечисленных философских течений имели разные в згляды н а разрешение поставленного вопроса. Проблема существования в математике также была представлена несколькими философскими н аправлениями : интуиционизмом , конструктивным материали змом и субъективным идеализмом . Каждое из этих направлений имело свою то чку зре ния на данную проблему . Разносторонность подх одов к решению поставленных проблем говорит об их сложности и неоднозначности в толковании и разрешении. В качестве примера одного из математи ческих абстракций было рассмотрено понятие “ф ункция” . Описана история возникновения данно го понятия , неоднозначность в его толковании , роль и значение в современной науке.
© Рефератбанк, 2002 - 2017