Спектральный анализ колебаний

Содержание Введение Спектральный состав периодических колебаний Анализ периодических колебаний Частотный состав непериодического колебания Библиографический список В ступление Среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут использоваться в качестве базисов для представления радиотехнических сигналов, исключительное место занимают гармонические функции. Их значение обусловлено рядом причин, основными из кот о рых являются: – гармонические сигналы инвариантны (не изменяются) относительно преобразований, осуществляемых стационарными линейными электрическими цепями. Если такая цепь возбуждена источником гармонических колеб а ний, то сигнал на выходе цепи остается гармоническим с той же частотой, отличаясь от входного сигнала лишь амплитудой и начальной фазой; – техника генерирования гармонических сигналов достаточно проста. Кроме того, известно (курс математики), что любое негармоническое колебание, удовлетворяющее определенным условиям, можно представить в виде суммы гармонических колебаний. При этом говорят, что осуществлено спектральное разложение этого сигнала, а отдельные гармонические компоненты си г нала образуют его спектр. Спектральный состав периодических колебаний Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодическое колебание со следующим свойством: , n = 1, 2, …, где Т – период колебания. Известно, что любая периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле (интервал, на котором функция определена, может быть разбит на конечное число интервалов, в каждом из которых функция непрерывна и мон о тонна, и во всякой точке разрыва функции существуют переходы от одного конечного значения к другому), может быть представлена рядом Фурье. Если ряд Фурье представлен в тригонометрической форме, то его запись имеет следу ю щий вид: , k = 0, 1, 2, …, где . То есть периодическое колебание можно представить как сумму постоянной составляющей и гармонических колебаний с частотами k 1 (гармоник), пр и чем совокупность амплитуд гармоник называется спектром амплитуд колебания , а совокупность начальных фаз называется спектром фаз к о лебания . Очень часто используют комплексную форму ряда Фурье. Для перехода к этой форме воспользуемся формулой Эйлера: . Тогда ряд Фурье запишется в виде . Отсюда легко определяются комплексные амплитуды гармоник: . Поскольку периодическое колебание известного периода Т полностью описывается совокупностью амплитуд и фаз своих составляющих, то з а дание спектра такого колебания сводится к заданию его спектров амплитуд и фаз. Пример графического изображения спектров амплитуд и фаз некоторого периодического колебания приведен на рисунке 1. Рис. 1. Графическое изображение спектров амплитуд и фаз колебания Каждая частотная составляющая изображается на графике спектра одним вертикальным отрезком – спектральной линией. Длина отрезка определяет величину амплитуды или начальной фазы , а местоположение о т резка на оси частот – частоту составляющей ( ). Иногда пользуются и табличным способом задания спектра (табл. 1). Таблица 1 Частота 0 Ампл и туда Н ачальная фаза – Пример. Определить спектральный состав колебания, представляющего собой периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов с извес т ными параметрами . Решение. В радиотехнике отношение называют скважностью последовательности. По формуле ряда Фурье в комплексной форме находим . Комплексная амплитуда пропорциональна функции вида , график которой показан на рисунке 2. Рис. 2. График функции Амплитуды гармоник определяются как модуль : и пропорциональны функции вида , график которой показан на рисунке 4. Рис. 4. График функции График спектра амплитуд при показан на рисунке 5. Рис. 5. График спектра амплитуд Пунктирная линия, построенная по формуле , называется огибающей спектра амплитуд, в которую вписываются амплитуды га р моник на своих частотах . Нули огибающей будут на тех частотах, на которых ( n = 1, 2, 3, …), откуда . Постоянная составляющая определяется как . В пределах первого лепестка огибающей спектра амплитуд ( ) комплексная амплитуда положительна и вещественна, значит ( ). В области частот величина вещественна и отрицательна, значит ( ). Следовательно, начальные фазы га р моник изменяются на 180 при переходе через нули огибающей. График спе к тра фаз показан на рисунке 6. Рис. 6. График спектра фаз Изменение периода следования импульсов Т приводит к сгущению (при увеличении) или ра з ряжению (при уменьшении) спектральных линий. Изменение длительности импульсов вызывает смещение нулей огибающей на оси частот, положение же спектральных линий при этом остается без изменения. В том случае, когда скважность последовательности импульсов , последовательность обладает богатым спектром, содержащим очень большое число медленно убывающих по амплитуде гармоник, и широко и с пользуется в синтезаторах частот. Спектр амплитуд позволяет наглядно судить о соотношении между амплитудами гармоник и о полосе частот, в пределах которой расположены энергетич е ски значительные частотные составляющие. Для периодического колебания средняя мощность Р ср может быть представлена формулой . Кроме того, доказано, что средняя мощность периодического колебания равна сумме средних мощностей составляющих гармоник: . Это равенство называют равенством Парсеваля. Сопоставляя квадраты амплитуд гармоник, можно судить о распределении общей мощности периодического колебания по диапазону частот, а, следовательно, строить ради о технические устройства, ограничивая спектр передаваемого колебания требуемым числом спектральных составляющих, тем самым уменьшая частотный диапазон передаваемых сигналов. Обычно спектр ограничивают частотой, на которой сумма мощностей постоянной составляющей и вошедших в этот диапазон гармоник составляет не менее 90 % полной средней мощности колебания. Анализ периодических колебаний в электрических ц е пях В основу анализа линейных электрических цепей, находящихся под воздействием периодических негармонических колебаний, лежит принцип наложения. Его суть применительно к негармоническим воздействиям сводится к разложению негармонического периодического колебания в одну из форм ряда Фурье и определения реакции цепи от каждой гармоники в отдельности. Результирующая реакция находится как сумма полученных частных реакций. Анализ проведем на примере. Пусть ко входу последовательной RC - цепи ( рис. 7 ) подведено воздействие в виде периодической последовательности в и деоимпульсов с амплитудой А = Е и скважностью . Рис. 7 Требуется определить реакцию – напряжение на элементе емкости . На вход цепи поступает периодическое колебание, разложение которого в ряд Фурье дает следующий результат: Из ряда видно, что в составе разложения отсутствуют гармоники с четными номерами, так как скважность последовательности импульсов равна 2. Ограничимся первыми тремя членами разложения. Приложенное напряжение содержит пост о янную составляющую , первую и третью гармоники с нулевыми начальными фазами. Найдем напряжение на емкости от постоянной составляющей приложенного напряжения: . Комплексное действующее напряжение от первой гармоники будет равно: Аналогично находим напряжение на емкости от 3-й гармоники . Теперь можно записать мгновенное значение напряжения на емкости в виде ряда: . Действующее значение напряжения определяем, как . Частотный состав непериодического колебания От периодического колебания к непериодическому можно просто перейти, если не изменяя формы импульса безгранично увеличивать период его следования, что, в свою очередь, приведет к бесконечно близкому расположению друг к другу спектральных составляющих, а значения их амплитуд становятся бесконечно малыми. Однако начальные фазы этих составляющих так о вы, что сумма бесконечно большого числа гармонических колебаний бесконечно малых ампл и туд отличается от нуля и равна функции только там, где существует импульс. Поэтому понятие спектра амплитуд для непериодического колебания не имеет смысла, и его заменяют, используя прямое и обратное преобразования Фурье. Известно, что функция, удовлетворяющая заданным условиям, может быть представлена интегралом Фурье (обратное преобразование Фурье) . Используя прямое преобразование Фурье, приходим к интегралу . Функция называется комплексной спектральной плотностью амплитуд , а ее модуль – спектральной плотностью амплитуд . Аргумент называют фазовым спектром непериодического колебания. В качестве примера рассмотрим колебание, описываемое экспоненциальной функцией при положительном вещественном значении параметра . Найдем спектральную плотность: Особенностью комплексного спектра является его распространение, как на положительную, так и на отрицательную области частот. Графики нормированного амплитудного и фазового спектров представлены на рисунке 8 . а б Рис. 8 . Спектральная плотность экспоненциального видеоимпульса: а – нормированный амплитудный спектр; б – фазовый спектр Распределение энергии в спектре непериодического кол е бания Пусть непериодическое колебание описывается функцией . Тогда можно записать . Проинтегрируем это выражение по переменной в бесконечных пределах: В этом выражении , где – комплексная величина, сопряженная с . Следовательно, . Произведение двух сопряженных комплексных величин равно квадрату модуля одной из них, поэтому . Так как левая часть равенства определяет энергию колебания , то это можно сказать и о правой части. Но тогда есть ни что иное, как энергия колебания, приходящаяся на один радиан пол о сы частот для текущей частоты . Иными словами, является спектральной плотностью энергии колебания и характеризует распределение энергии в полосе частот колебания : . Энергетически значимые участки спектра расположены в тех частотных полосах, в которых значение спектральной плотности относительно вел и ки. Пример. Определить спектральную плотность энергии прямоугольного видеоимпульса с параметрами: длительность , амплитуда и располагается симметрично относительно начала отсчета времени. На основании формулы прямого преобразования Фурье найдем спектральную плотность амплитуд Спектральную плотность энергии легко определить путем возведения в квадрат спектральной плотности амплитуд: Введем безразмерную переменную и представим результаты определения спектральной плотности амплитуд и спектральной плотности эне р гии в следующем виде: ; . Теперь легко построить нормированные спектры как функций безразмерной частотной переменной (рис. 9 и 10 ). Рис. 9 . График нормированной спектральной плотности прямоугольного виде о импульса как функции параметра Рис. 10 . Нормированный энергетический спектр прямоугольного видеоимпул ь са как функции безразмерной частотной переменной Библиографический список 1. Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей.– М.: Радио и связь, 1986. 2. Суднищиков В. С. Основы теории передачи и устройства преобр а зования сигналов (часть 1).– Орел: 3. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.– М.: Наука, 1986. .