Анализ производственных функций

Содержание Теоретическая часть 3 Мультипликативная производственная функция 3 Линейная производственная функция 10 Производственная функция затраты-выпуск 10 Практическая часть 10 Задача 10 Решение 10 Заключение 11 Литература 12 Теоретическая часть Мультипликативная производственная функция Производственная функция (ПФ ) выражает зависимость результата производства от затрат ресурсов . При описании экономики (точнее , ее производст венной подсистемы ) с помощью ПФ эта подсистема рас сматривается как «черный ящик» , на вход которого поступают ресурсы R 1 , ..., R n , а на выходе получается результат в виде годовых объемов производства различных видов продукции Х 1 , ..., Х m . В качестве ресур сов (факторов производства ) на макроуровне наи более часто рассматриваются накопленный труд в форме производст венных фондов (капитал ) К и настоящий (живой ) труд L , а в качестве результата - валовой выпуск Х (либо валовой внутренний продукт Y , либо национа льный доход N ). Во всех случаях результат коротко будем называть выпуском и обозначать X , хотя это может быть и валовой вы пуск , и ВВП , и национальный доход. Остановимся несколько подробнее на обосновании состава факто ра К . Накопленный прошлый труд проявл яется в основных и оборот ных , производственных и непроизводственных фондах . Выбор того или иного состава K определяется целью исследования , а также характером развития производственной и непроизводственной сфер в изучаемый период . Если в этот период в неп роизводственную сферу вкладывается примерно постоянная доля вновь созданной стоимости и непроизвод ственная сфера оказывает на производство примерно одинаковое вли яние , это служит основанием напрямую учитывать в ПФ только произ водственные фонды. Но произ водственные фонды состоят из основных и оборотных производственных фондов . Если соотношение между этими составны ми частями производственных фондов примерно постоянное в течение всего изучаемого периода , то достаточно напрямую учитывать в ПФ только основн ы е производственные фонды. Если изучаемый период достаточно продолжителен и однороден по влиянию на производство указанных выше составных частей , следует испробовать все варианты включения их в модель (от всех вместе до какого-то одного из них ). Чтобы не вд аваться в детали , далее будем К называть фондами. Таким образом , экономика замещается своей моделью в форме нелинейной ПФ Х = F ( K , L ), т.е . выпуск (продукции ) есть функция от затрат ресурсов (фондов и труда ). Теперь рассмотрим экономическую интерпретацию о сновных характерис тик ПФ на примере мультипликативной функции (в частности , функ ции Кобба— Дугласа ), некоторые дру гие ПФ , используемые в экономике , разберем в конце работы. Производственная функция Х = F ( K , L ) называется неоклассичес кой, если она являет ся гладкой и удовлетворяет следующим условиям , поддающимся естественной экономической интерпретации : 1) F (0, L ) = F ( K , 0) = 0 - при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно ; 2) - с ростом ресурсов выпуск растет ; 3) - с увеличением ресурсов скорость роста выпуска замедляется ; 4) f (+ , L ) = F ( K , + ) = + - при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неогра ниченно растет. Мультипликативная ПФ задается выражением a 1 >0 a 2 >0 где А — коэффициент нейтрального технического прогресса ; а 1 , a 2 -ко эффициенты эластичности по труду и фондам . Таким образом , ПФ обладает свойством 1, адекватным реальной экономике : при отсутствии одного из ресурсов производство не возможно . Частным случаем этой функции служит функция Кобба-Дугласа Где a 1 = a , a 2 =1- a Мультипликативная ПФ определяется по временному ряду выпусков и затрат ресурсов (Х t , К t , L t ,), t = 1, ..., Т, где T - длина временного ряда , при этом предполагае тся , что имеет место Т соотношений где t — корректировочный случайный коэффициент , который приво дит в соответствие фактически й и расчетный выпуск и отражает флюк туацию результата под воздействием других факторов , М t = 1. Поскольку в логарифмах эта функция линейна : In Х t = In A + a t In K t + a 2 InL t + t , где t = In t , М t = 0, получаем модель линейной множественной регрессии . Параметры функ ции А, a 1 , a 2 могут быть определены по методу наименьших квадратов с помощью стандартных пак етов прикладных программ , содержащих метод множественной регрессии (например , STATGRAF или SAS для пер сональных ЭВМ ). В качестве примера приведем мультипликативную функцию валово го выпуска Российской Федерации (млрд . руб .) в зависимости от стои мости осн овных производственных фондов (млрд . руб .) и числа занятых в народном хозяйстве (млн . чел .) по данным за 1960-1994 гг . (все стои мостные показатели даны в сопоставимых ценах для этого периода ): X =0,931 K 0,539 L 0,594 Мультипликативная функция обладает также свойством 2, адекватным реальной экономике : с ростом затрат ресурсов выпуск увели чивается , т.е. Так как a 1 >0 Так как a 2 >0 Частные производные выпуска по факторам называются предель ными продуктами или предельными (маржиналь ными ) эффективностями факторов и представляют собой прирост выпуска на малую единицу прироста фактора : - предельный продукт фондов , предельная фондоотдача (п редельная эффективность фондов ); - предельный продукт труда , предельная производительность (предельная эффективность труда ). Для мультипликативной функции у казанной выше вытекает , что предельная фондоотдача пропорциональна средней фондоотдаче — с коэффициентом a 1 , а предельная производительность труда — средне й производительности труда — с коэффициентом а 2 : , Из чего вытекает , что при а 1 < 1, a 2 < 1 предельные отдачи факторов меньше средних ; при этих же условиях мультипликативная функ ции обладает свойством 3, которое о чень часто наблюдается в реальной экономике : с ростом затрат ресурса его предельная отдача падает , т.е. так как а 1 <1 так как а 2 <1 Из также видно , что мультипликативная функция обладает свойством 4 , т.е . при неогр аниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет . Таким образом , мультипликативная функ ция при 0 < а 1 < 1, 0<а 2 < 1 является неоклассической. Перейдем теперь к экономической интерпретации параметров А, а 1 , а 2 мультипликативной ПФ . Парам етр А обычно интерпретируется как параметр нейтрального технического прогресса : при тех же а 1 , а 2 выпуск в точке ( К , L ) тем больше , чем больше А. Для интерпретации а 1 , а 2 необходимо ввести понятие эластичностей как логарифмических производных факторов : Поскольку в нашем случае In Х = In А + a 1 ln К + a 1 ln L , то т.е . а 1 — эластичность выпуска по основным фондам , а a 2 - эластич ность выпуска по труду. Из видно , что коэффициент эластичности фактора показы вает , на сколько процентов увеличится выпуск , если фактор возрастет на 1%. Например , согласно ПФ X =0,931 K 0,539 L 0 ,594 при увеличении основных фон дов (ОФ ) на 1% валовой выпуск повысится на 0,539%, а при увеличе нии занятых на 1% — на 0,594%. Если а 1 > a 2 имеет место трудосберегающий (интенсивный ) рост , в противном случае - фондосберегающчй (экстенсивный ) рост. Рассмо трим темп роста выпуска Если возвести обе части уравнения в степень , получим соотношение в котором справа — взвешенное среднее геометрическое темпов роста затрат ресурсов , при этом в качестве весов выступают относительные эластичности факторов При а 1 + а 2 > 1 выпуск растет быстрее , чем в среднем растут факторы , а при а 1 + а 2 < 1 - медленнее . В самом деле , если факторы растут (т.е . K t +1 > K t , L t +1 > L t ) то согласно растет и выпуск (т.е . X t +1 > X t ), следовательно , при а 1 + а 2 > 1 т.е . действительно , темп роста выпуска больше среднего темпа роста факторов . Таким образом , при а 1 + а 2 > 1 ПФ описывает растущую экономику. Линией уровня на плоскости К , L, или изоквантой, называется множество тех точек плоскости , для которых F ( K , L ) =Х 0 = const . Для мультипликативной ПФ изокванта имеет вид : или т.е . является степенной гиперболой , асимптотами которой служат оси координат. Для разных К , L, лежащих на конкретной изокванте , выпуск равен одному и тому же значению X 0 , что эквивалентно утверждению о взаимозаменяем ости ресурсов . Поскольку на изокванте F ( K , L ) = Х 0 = const , то В этом соотношении , поэтому dK и dL имеют разные знаки : если dL <0 что означает сокращение объема труда , то dK >0, т.е выбывший в объеме труд замещается фондами в объеме dK . Поэтому естественно следующее определение , вытекающее из . Предельной нормой замены S K труда фондами называется отно шение модулей дифференциалов ОФ и труда : с оответственно , предельная норма замены S L фондов трудом при этом S k S L =1 Для мультипликативной функции норма замещения труда фондами пропорциональна фондово оруженности : , что совершенно естественно : недостаток труда можно компенсировать его лучшей фондовооруженностью. Изоклиналями называются линии наибольшего роста ПФ . Изокли нали ортогональны линиям нулевого роста , т.е . изоквантам . Поскольку направление наибольшего роста в каждой точке (К , L) задается градиентом gra d , то уравнение изоклинали записывается в форме В частнос ти , для мультипликативной ПФ получаем , поэтому изоклиналь задается дифференциальным уравнением, , которое имеет решение , где ( L 0 ; К 0 ) - координаты точки , через которую проходит изоклиналь . Наиболее простая изоклиналь при а = 0 представляет собой прямую На рис . 1 изображены изокванты и изоклинали мультипликатив ной ПФ . При изучении факторов роста экономики выделяют экстенсивн ые факторы роста (за счет увеличения затрат ресурсов , т.е . увеличения масштаба производства ) и рис . 1 интенсивные факторы роста (за счет повы шения эффективности использо вания ресурсов ). Возникает вопрос : как с помощью ПФ выразить масштаб и эффек тивность производства ? Это сравнительно легко сделать , если выпуск и затраты выражены в соизмеримых единицах , например представлены в соизмеримой стоимостной форме . Однако проблем а соизмерения на стоящего и прошлого труда до сих пор не решена удовлетворительным образом . Поэтому воспользуемся переходом к относительным (безраз мерным ) показателям.В относительных показателях мультипликативная ПФ записывается следующим образом : те X 0 , K 0 L 0 — значения выпуска и затрат фондов и труда в базовый год. Безразмерная форма , указанная выше , легко приводится к первоначальному виду Таким образом , коэффициент получает естественную интер претацию - это коэф фициент , который соизмеряет ресурсы с выпуском . Если обозначить выпуск и ресурсы в относительных (безразмер ных ) единицах измерения через x , k , l , то ПФ в форме запи шется так : Найдем теперь эффективность экономики , представленной ПФ . Напомним , что эффективность — это отношение результата к затратам . В нашем случае два вида затрат : затраты прошлого труда в виде фондов k и настоящего труда l . Поэтому имеются два частных показателя эффективности : -фондоотдача , - производитель труда. Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее , одинаково безразмерны ), то можно находить любые сред ние из них . Так как ПФ выражена в мультипликативной форме , то и среднее естественно взять в такой же форме , т.е . среднегеометриче ское значение. Итак , обобщенный показатель экономической эффективности есть взвешенное среднее геометрическое частных показате лей экономичес кой эффективности : в котором роль весов выполняют относительные эластичности т.е . частные эффективности участвуют в образовании обобщенной эффективности с такими же приоритетами , с какими входят в ПФ соответствующие ресурсы. Из вытекает , что с помощью коэффициента экономичес кой эффективности ПФ преобразуется в форму , внешне совпадающую с функцией Кобба-Ду гласа : k = Ek a l 1- a в соотношении с чем Е - не постоянный коэффициент , а функ ция от (К , L). Поскольку масштаб производства М проявляется в объеме затрачен ных ресурсов , то по тем же соображениям , которые были приведены при расчете обобщенного показателя эк ономической эффективности , сред ний размер использованных ресурсов (т.е . масштаб производства ) M = k a l 1- a В результате получаем , что выпуск Х есть произведение экономической эффективности и масштаба производства : Х =ЕМ . Линейная производственная функция X = F ( K , L )= E K K + E L L Где E K и E L частные эффективности ресурсов. E K = -фондоотдача , E L = - производитель труда. Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее , одинаково безразмерны ), то можно находить любые сред ние из них . Эластичности замены труда фондами для линейной ПФ = эта величина показывает , на сколько процентов надо изменить фондо вооруженность , чтобы добиться изменения нормы замены на 1%. Произ водственная функция затраты-выпуск X = F ( K , L )= Где : Коэффициенты эластичности представленные в виде логарифмических производных факторов показывают , на сколько процентов увеличится выпуск , е сли фактор возрастет на 1%. Например , согласно ПФ X =0,931 K 0,539 L 0,594 при увеличении основных фон дов (ОФ ) на 1% валовой выпуск повысится на 0,539%, а при увеличе нии занятых на 1% — на 0,594%. Практическая часть Задача Дана производственная функция валового внутреннего продукта США по данным 1960-1995 гг . X =2,248 K 0,404 L 0,803 Валовой внутренний продукт США , измеренный в млрд . дол . в ценах 1987 г . возрос с 1960 по 1995 г . в 2,82 раза , основные производственные фонды за этот же период увеличились в 2,88 раза , число занятых - в 1,93 раза. Необходимо рассчитать масштаб и эффективность производства. Решение Из условия x = 2,82 k =2,88 l =1,93; ('начала находим относительные эластичности по фондам и труду Затем определяем частные эффективности ресурсов после чего находим обобщенный показатель эффективности как среднее геометрическое частных : Масштаб устанавливаем как среднее геометрическое темпов роста ресурсов Таким образом , общий рост ВВП с 1960 по 1995 г . в 2,82 раза произошел за счет роста масштаба производства в 2,207 раза и за счет повыше нии эффективности производства в 1,278 раза (2,82 = 1,273 * 2,207). Заключение Выше достаточно подробно была изучена мультипликативная ПФ F ( K , L ) . В частности , был выяснен экономический смысл ее параметров , показано , что при 0 <а 1 <1, i = 1 , 2… эта функция – неоклассическая , построены изокванты и изоклинали этой функции , найдены нормы замены ресурсов .. Рассмотрены и другие производственные функции. Литература В.А . Колемае в «Математическая экономика» Г.М . Зуев Ж.В . Самохвалова «Экономико-математические методы и модели . Межотраслевой анализ»