Биологическое время и его моделирование в квазихимическом пространстве

Биологическое в ремя и его моделирование в квазихимическом пространс тве. Методология построе ния теории времени естественных объектов , дет ально изложена [1, 2]. В данной работе рассмотрены компоненты этой теории на примере клеточ ной популяции. 1. Структура клеточной популяции . ( O -компонент теории , object ). Первая проблема состоит в выборе составных частей (элементов , таксонов , униструкт ур ) объекта и определении их пространственных границ [3, 4]. Принципиальная трудность состоит в том , что строгий критерий членения объекта на части отсутствует . Выделение объектов природы – и деализация , связанная , главным об разом , с особенностями информационных взаимодейст вий живых организмов со средой [5]. Объективным критерием членения объекта мо жет служить принцип энергетической дифференциров ки [6], который можно записать в виде : Е j+1 << Е j , где Е j , Е j+1 — прочность связи между элемент ами уровня j и между элементами более высо кого уровня j+1 (схема 1). Для клеточной популяции порядок элементов с усложнением уровня (цифры - номера j уровн ей ) можно представить в виде : 1 молекулы (t m )I 2 о рганеллы (t o ) I 3 клетки (t c ) I 4 популя ция (t p ) I 5 экосистема (t e ) (1) Каждый уровень j разбивается на подмножест ва элементов (схема 1). Схема 1. Иерархия подсистем естественных объектов В качестве высшего уровня в данной иерархии определена экосистема . В случае кл еточной монокультуры экосистема состоит из дв ух частей : клеточной популяции и культур альной среды . Соответственно , в описание струк туры объекта необходимо вводить описание стру ктуры среды . В частности химическая структура среды включает набор питательных веществ (субстратов ) и химических агентов : M s = (M s1 , M s2 , ... M se ) X s = (X s1 , X 2s , ... X se ) (2) (3) где M s , X s - векторы (наборы ) субст ратов (M s1 , M se ) и химических агентов (X s1 ,X se ) для биологического вида S. Многомерность структуры (1-3) создает слишком большие сложности не только для количестве нной , но и для ка чественной идентифика ции модели . Поэтому целесообразно исследовать агрегированные модели . В случае клеточной мон окультуры весьма информативной оказывается струк тура (1) из трех уровней : (3) клетки I (4) популяция I (5) экосистема (4) Описательная модель клеточного цикла [7], начиная с митоза C m , может быть представлена в виде раз ветвленной цепи : (5a) или в более сжатом варианте : C m ® f C 1® C 2® C 3® C m (5b) Здесь C 1 - молод ая клетка непосредственно после деления , f - коэ ффициент размножения , который в общем случае может отличаться от , С m - фазы развития каждой из f клеток C 1 . Фазы C 1 , C 2 , C 3 , C m соответс твуют стадиям клеточного цикла G 1 , S, G 2 , M (клетки четырех возрастов ) и являются подмножествами 4-го уровня иерархии (4) - популяции . Популяция с наборами химических агентов (2) и (3) формирует 5-й уровень моде ли (4). 2. Пространство допустимых состояний популяц ии ( S-компонент те ории , states ). Состояние системы отображается набором эл ементов (универсумов ) всех типов (схема 1). В полной модели (2) состояние клеточной монокультуры задается числами всех типов моно меро в , полимеров , органелл , клеток , химических и физических агентов среды . Размерность пространс тва состояний даже для культуры прокариотов составляет весьма большую величину . Ограничения на достижимые состояния опред еляются условиями положительности числ а к омпонентов и физической емкости среды. В модели (4) состояние задается числами всех типов клеток , химических и физических агентов среды . Уменьшение размерности модели достигается путем аггрегирования разных элемен тов одного уровня по тому или иному п риз наку . Например , в рассматриваемой ниже двухстад ийной модели фазы C 1 , C 2 , C 3 объединяются в одну по признаку их большой длительности и отсутст вия деления на этих стадиях цикла . Разветв ленный циклический граф , отображающий эту дву хстадийную модель , имеет ви д : (5c) 3. Изменение состояний популяции , «предвремя» ( C -компонент теории , change). Разбиение множества особей на возрастные подмножества зависит от критериев , заложенны х в основу членения объекта по данному признаку , от разрешающей способности эксперимен тальной методики и других факторов . Это об стоятельство хорошо иллюстрируется общепринятым членением клеточной популяции на четыре стадии (фазы ) развития клеток C 1 , С 2 , С 3 , С m (G 1 , S, G 2 , M). Мало в ероятно , что в природе существуют хотя бы две клетки , идентичных по наборам элемент ов всех уровней . Поэтому отнесение данной клетки к той или иной стадии провод ится по степени соответствия индивидуальных х арактеристик этой клетки и усредненных характ еристик стадий. В результате метаболизма данная клетка практически непрерывно меняет набор элементов (1) и движется по своей индивидуальной траектории в определенном выше пространст ве состояний (S-компонент теории ). Эта траектори я описывает все стадии развития данной кл етки (движение в фазовом пространстве ) от деления до деления . Последовательность точек этой фазовой траектории , отображенная н а числовую ось , определяет предвремя и ндивидуальной клетки. Траектории всех клеток популяции образуют в фазовом пространстве пучок . Отображение этого пучка на множество усредненных харак теристик дает усредненную фазовую траекторию популяции . Последовательн ость точек этой траектории , отображенная на числовую ось , опре деляет предвремя популяции. Дальнейшая редукция модели приводит к цепи последовательных стадий (5b), представляющей собой разветвленный циклический граф . 4. Часы и параметрическое время популяц ии (T-компонент теории , time). Проблема выбора временных границ существо вания объекта тесно связана с C-компонентом теории , с определением масштабов предвремени , границ в пространстве. Событие (момент времени ) – переход объекта из одного состояния в друг ое . Тип события определяется уровне м , на котором оно происходит [2]. Предвремя природного объекта – отношение порядка (refl+trans) на множестве событ ий в этом объекте . Отображением этого поря дка на числовой ряд получают числовое выр ажение предвремени . Время – интервал между двумя наблюдаемыми событиями одного типа . Изм еряется время числом событий между этими двумя событиями . С биологической точки зрения возраст особи соответствует некоторой стадии индивидуаль ного развития , начиная от зарождения . Стад ия развития биологического объекта – синоним его возраста или биологического вр емени В общем случае возраст однозначно н е связан с физическим временем . Исходя из этого и вводят понятие биологического вр емени . Экспликацию понятия “биологическое время” целе сообразно дать на примере клеточны х популяций . Возраст популяции t p опред еляется средним числом делений N d первичных клеток посева или , что то же самое , числом циклов в цепи (5): t p порядка t c N d , где t c - среднее время клеточного цикла. Каждую из биохимич еских реакций м ожно трактовать как замену одних молекул другими на молекулярном уровне структурной ие рархии (1). Такая замена осуществляется в резуль тате атомно-молекулярных взаимодействий . Поэтому е стественным эталоном времени на молекулярном уровне явля ю тся атомные часы . Соот ветственно временные интервалы между «химическим и» событиями измеряются в шкале физического времени . Характерное время t m молекулярного уровня определяется скоростями ферментативных реакций . Интервалы между событиями на молекулярном у ровне имеют значения порядка секунд. «Химические» события предопределяют события на всех более высоких уровнях популяции . Поэтому временные интервалы на этих уров нях обычно также измеряются в шкале физич еского времени . Органеллы собираются из большого чис ла молекул . Сборка органелл осуществляетс я в результате молекулярных и , в том ч исле , ферментативных взаимодействий . Временные инт ервалы органелл t o имеют значения порядка 10 2 с. Клетки формируются в результате образован ия наборов органелл и молекул и их тр ансформации . Временные интервалы клеток t c имеют значения по рядка 10 4 с . Популяция развивается в результате измене ния наборов клеток в разных фазах развити я . Взаимодействия между клетками носят диффуз ионно-обменный и контактный характер . Временные интерва лы популяции t p порядка 10 5 с . Динамика экосистемы зависит от запаса ресурсов , емкости , открытости а также от характера взаимодействия популяции со средой . Временные интервалы экосистемы t e имеют значения порядка t p . Таким образом , для описания движения на всех уровнях популяции может ис пользоваться единая физическая шкала времени. 5. Закон об общенного движения популяции (L- компонент теории , law) . Для вывода закона обобщенного движения популяции в пространстве состояний предлагаетс я использовать единый « квазихимический» я зык для описания событий на всех уровнях популяции . При этом все взаимодействия от ображаются квазихимическими уравнениями [5, 8, 9]. Пространс тво состояний при таком описании можно на звать квазихимическим . Отобразим с помощью квазихимич еских уравнений события , определяющие рост популяц ии на клеточном уровне трехуровневой модели (5). Популяция развивается в результате усвоен ия субстратов . Это развитие описывается систе мой квазихимических реакций (индекс s опускается ): C 1 +(M 1 ,M e ) ® C 2 (p 11 ), C 2 +(M 1 ,M e ) ® C 3 (p 21 ) ........................................... (6) C n +(M 1 ,M e ) ® f C 1 (p ne (b)) , Набор кинетических констант (p 11 , p ne ) определяет кинетический вектор рост а. Действие токсикантов Х i , может проявляться на любой стад ии роста и описывается сходным образом : C 1 +X 1® (C 1 X 1 ) (d 11 ) C 2 +X 2® (C 2 X 1 ) (d 12 ) ......................................... (7) C n +X t® (C n X t ) (d nt ) X 1 ,X t® EE (r x1 ,r xt ) Здесь (C k X l ) – дезакт ивированные клетки разных стадий , (X 1 ,X t ) – вектор токсикантов ; d ij – матрица коэффициентов ингиб ирования , (r x1 , r xt ) - вектор скоростей при тока токсикантов из среды . Кроме того , следует учесть клеточные в заимодействия (автоингибирование ). Например , зрелые особи C i переводят в неактивное состояние молодых C ak : C i +C 1® C a1 +C i (a i1 ) C i +C 2® C a2 +C i (a i2 ) ....................................... (8) C i +C m® C am +C i (a im ) Взаимодействия клеток описываются кинетическим вектором автоингибировния (a i1 ,… , a im ). В открытых системах учитывается взаимодей ствие экосистемы со средой ЕЕ : EЕ <----> C 1 w 1 EЕ <----> C 2 w 2 -------- (9) EЕ <----> C n w n где (w 1 ,… , w n ) - вектор скоростей притока особей С 1 ,… , С n из среды. Система псевдохимических реакций (6)-(9) описывает ся стандартным образом [10-12] системой кинетиче ских уравнений , представляющих собой закон обобщенного движения популяции в пространстве состояний : d C /dt = S KC - S ACC - S DCX + S R + S W (10) Здесь C = (c 1 , c 2 , c 3 , c m ) вектор количества клеток в разных фазах , K , A , D , R , W – м атрицы кинетических параметров. С помощью различных приближений [11] система уравнений четвертого порядка может быть редуцирована до второго . Такая система достат очно информативн а и позволяет качественно , а во многих случаях и количественно , описать развитие популяций различных видов. Рассмотрим редуцированную модель (1) из двух стадий – роста и деления , дополненных стадией самоингибирования : C 1 +M 1® C m (p) C m +M 2® fC 1 (b) C 1® C d (g) C 1 +C m® C a +C 1 (a) (11) C 1« EE (w 1 ) C 1 +X 1« (C 1 X 11 ) (d 11 ) C 1 +X 2« (C 1 X 12 ) (d 12 ) C m +X 1« (C m X 21 ) (d 21 ) C m +X 2« (C m X 22 ) (d 22 ) Здесь использованы те же обоз начения , что и в системах (6) – (9) (индексы опущены ): С 1 – множество клеток разного воз раста до митоза , С m – ми тотические клетки ; C a – клетки в анабиозе ; (C k X l ) – ингибированные клетки разных стадий ; M 1 , M 2 – субстраты. Следует отметить , что двухстадийный цикл (фазы S и M) наблюдается на ранних стадиях развития зародышей пойкилотермных животн ых [15, 16]. На этом основании в этот период в качестве единичного интервала времени можно использовать длительность t c клеточного цикла («детлаф» ). В предположении постоянства концентраций субстратов М 1 , М 2 кинетика цепного роста популяции , состоящей из особей С 1 и С m , описывается системой : dc 1 /dt = – p x c 1 + f b c m + w 1 ( 12.1 ) dc m /dt = p c 1 – b x c m – a c 1 c m ( 12.2 ) Здесь c 1 , c m – количества раст ущих и митотические клеток ; a, b, p – коэффициенты автоингибирования , рождения и роста популяции в отсут ствии ингибиторов . В коэффициенты р и b включены постоянные количества субс тратов М 1 и М 2 . f - коэффициент разм ножения . Коэффициенты b x и p x – функции количества ингибиторов x 1 и x 2 : p x = p+d 1 ; b x = b + d 2 , где d 1 = d 11 x 1 + d 12 x 2 ; d 2 = d 21 x 1 + d 22 x 2 . (13) Система уравнений (12) представляет собой закон обобщенного движения двухстадийной популяции в пространстве состояний . Преобразованная в виде : dc 1 = (-p x c 1 + f b c m + w 1 ) dt, dc m =(p c 1 - b x c m - a c 1 c m ) dt, ( 12 а ) система (12) определяет соо тноше ние между интервалами биологического dc i и физического dt времени. В приближении квазистационарности для мит отических клеток С m система (12.1-12.2) сводится к одному уравнению : dc 1 /dt=p x c 1 (K 1 – c 1 )/(K 2 + c 1 ) + w 1 (14) Здесь K 1 =c 1 ``=(f b p - p x b x )/(a p x ); K 2 =b x /a. (15) Динамику численности популяции с 1 (t) в общем случае нельзя выразить в виде явной функции от вре мени t. Поэтому используют обратную функцию t(c 1 ), получаемую интегриров анием (14) по с 1 : t(c 1 )=ln (c 1 /c 0 )[(K 1 -c 0 )/(K 1 -c 1 )] (1+n) /(np x ), где n= K 1 /K 2 . (16) Уравнение (16) в явном виде отображает фи зическое время на множество состояний популяц ии . 6. Интерпретация модели (I-к омпонент теории , interpretation). На рис .1 приведены экспериментальные точки и графики функции (16), описывающи е дрож жевых клеток в присутствии солей хрома и никеля [13]. При расчете графиков брали знач ения a, b, р , f, определенные по экспериментальным д анным [17]. В пределах точности измерений расчетн ые кривые согласуются с экспериментом при измененении численно с ти примерно н а шесть порядков . Хорошее согласие теории с экспериментом получено и для других биологических объе ктов [8, 9]. Поэтому интересно провести верификацию квазихимической модели по характеристикам , связ анным с проблемами биологического времени. Рис .1. Экс периментальные точки и графики функции (16), опис ывающие рост пивных дрожж ей при разны х концентрациях (ммоль /л ) солей хрома и никеля [13]: (1) c(Ni) = c(Cr) = 0.0, (2) c(Ni) = 0.5, (3) c(Cr) = 0.5, and (4) c(Ni) + c(Cr) = 0.5 + 0.5. Коэффициенты : a=1.25.10 -7 мл /ч , b=0.8ч -1 , р =0.32 ч -1 , f =2. Уравнения (12a) можно представи ть в в иде : dc 1 = K c1 dt, dc m = K cm dt, ( 17) где величины K c1 =(-p x c 1 +f b c m +w 1 ) и K cm = (p c 1 -b x c m -a c 1 c m ) представляют собой калибровочные коэффиц иенты для перехода от интервала физического времени dt к интервалам биологического времени dc j . На осно ве (17) получают соотношение м ежду конечными временными интервалами : D c 1 = c1 dt, D c m =ИНТЕГРАЛ ( K cm dt ). ( 17а ) Калибровочные соотношения (17) обладают следующи ми свойствами : 1. Коэффициенты K c1 и K cm завися т от кинетических констант , характеризующих в нутри - и внесистемные взаимодействия . Это опре деляет специфику биологического вр емени д анного объекта. 2. Коэффициенты K c1 и K cm завися т от наблюдаемого состояния объекта , то ес ть изменяются при движении по фазовой тра ектории . 3. Коэффициенты K c1 и K cm неодинако вы для однотипных элементов данного уровня иерархии . Это означает , что со бственное время «течет» с разной скоростью не только на разных уровнях биологической систем ы , но и в различных элементах одного у ровня. Приращение суммарной массы dm p или численности dN p популяции определяют ин тервал биологического времени популяции в цел о м . Для двухстадийной популяции dN p = V(с 1 +с m ), гд е V – объем системы . Связь между популяцио нным и физическим временем согласно (17) определ яется соотношением : dN p = V( K c1 + K cm )dt . ( 18) Через длительность клеточного цикла t c в физической шкале (в «д етлафах» ) эта величина выразится в виде : dN pd = V( K c1 + K cm )dt / t c . (19) Длительность клеточного цикла t c в физической шкале рас считывают либо по экпериментальным значениям прироста массы или численности клеток , либо по экпериментальным значениям па раметров b и p модели (12). Приращение численности популяции D с 12 =c 2 -c 1 в еди нице обьема наблюдается за время D t 12 =t 2 -t 1 , согласно (16) равное : D t 12 =ln (c 2 /c 1 )[(K 1 -c 1 )/(K 1 -c 2 )] (1+n) /(np x ), (20) где c 1 , c 2 – численности в моменты t 1 , t 2 . Среднее ч исло делений n 12 каждой из c 1 клеток за это время равно : n 12 = log(c 2 /c 1 )/log2 (21) Следователъно , t c можно оценить по формуле : t c = D t 12 / n 12 (22) Другую оценку значения t c можно сделать по кинетическим коэффициентам b и p модели (12): t c =1/b +1/p . (23) Расчет по по формулам (22) и (23) для дро жжей S. cerevisae (данные рис .1) дает близкие значения величины t c ( 3,7 и 4,4 ч ). Формула (23) предлагаемой модели клеточной д инамики позволяет количественно интерпретировать температурную зависимость дли тельности клето чного цикла t c , хор ошо известную из работ [14-16]. Зависимость коэффиц иентов b и p от температуры можно аппроксимирова ть формулой Аррениуса . Тогда согласно (23) темпер атурная зависимость t c выражается в виде : t c = b +p = a b e E b /T +a p e E p /T , (24) где E b , E p – энергии активации скоростей деления и роста , a b , a b – соответствующие предэкспоненциальные мн ожители , T – абсолютная температура. На рис . 2а приведена кривая зависимост и t c , рассчитанная по уравнению (24) с помощью эмпирических парам етров a b , a b и E b , E p . М одельная кривая качественно правильно описывает наблюдаемую закономерность [14- 16]. Подставляя аррениусовские выражения коэффици ентов b и p в уравнение (20) получают формулу дл я расчета зависимости времени роста D t 12 популяции д о разных ступеней развития (разные c 2 /c 1 ). На рис . 2б приведены кривые зависимост и D t 12 , рассчитанные по уравнению (20) с помощью эмпирических парам етров a b , a b и E b , E p . Модельны е кривые качественно правильно описывают эксп ериментально наблюдаемые з ависимости [14-16]. а ) б ) Рис . 2. Кривые температурной зависимости дли тельн ости развития элементов разных уровн ей : а ) длительность клеточного цикла , рассчитан ная по уравнению (24); б ) длительности разных стадий развития популяции , рассчитанные по ур авнению (20). Модель (12) дает возможность проверить для популяции применимость функции Бакмана [14]: LogH = k log 2 T, (25) где H – скорость роста популяции , T – время роста , k < 0 – нормировочная постоянная. В аналитическом виде функцию Бакмана можно получить , подставляя в (25) выражения H и T, равные , соответственно , правым частям ура внений (14) (при w 1 =0) и (16). При этом получают зависимость (25) как явн ую функцию роста , выражаемого переменной вели чиной c 1 при заданно м начальном значении c 0 . На рис . 4 приведен соответствующий график . Со гласно (25), логарифм скорости роста должен быть пропорционален квадрату логарифма времени роста . Однако , как следует из рис . 4, такая зависимость для двухстадийной популяции не наблюдается . Рис . 3. Фу нкция роста Бакмана (25), построенная на основе двухстадийной модели (16) динамики популяции. ЛИТЕРАТУРА 1. Акчурин И.А . Единство ес тественнонаучного знания . М ., 1974. 2. Левич А.П. // Конструкции времени в естествознании . М ., 1996. С . 9-27, 235-288. 3. Шаров А.А. // Конструкции времени в естествознании . М ., 1996. С . 96-111. 4. Мейен С.В. // Системность и эволюция . М ., 1984. С . 7-32. 5. Ершов Ю.А .// Ж . Физ . химии . 1999. Т .73. № 10, с . 1817 – 1823. 6. Ершов Ю.А .// Ж . Физ . Химии , 2000, т . 74, № 6, с . 1087-1093. 7. Ершов Ю.А . Термодинамика квазиравновесий в биологических си стемах . М ., ВИНИТИ , 1983. 140 с . 8. Гудвин Б . Аналитическая физиология клеток и развивающихся организмов . М .:Мир ,1979,288 с. 9. Ершов Ю.А .// Докл . РАН . 1997. Т .72. № 5. с . 627-629. 10. Ершов Ю.А .// Ж . Физ . химии . 1998. Т . 352. № 3. с .553-559. 11. Ершов Ю.А . и др. Кинетика и термодинамика биохимических и физиологических процессов . М ., Медицина ,1990, 155с. 12. Р омановский ю . м ., Степанова Н.В ., Чернавский Д.С . Математическая биофизика . М . Наука . 1984. - 304 с . 13. Математические проблемы химической кинети ки . Сб . Ред . К.И . Замараев , Г.С . Яблонский . Новосибирск : Наука ,1989, 335с .