Прогнозирование национальной экономики

Задание 1. Имеются данные о численности наличного населения г. Серова за 1991-1999 гг. (на начало года), тыс. чел.: город 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 Серов 106,8 106,0 105,4 103,0 102,8 102,7 102,7 102,6 102,5 1. Постройте прогноз численности наличного населения г.Серова на 2000-2005 гг., используя методы: скользящей средней, экспоненциального сглаживания, наименьших квадратов. Решение: Метод скользящей средней. Определим величину интервала сглаживания, например равную 3 (n=3). Годы Численность населения г.Серова, тыс. чел. y 1 Скользящая средняя m Расчет средней относительной ошибки / y 1 - m / *100 Y 1 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 106,8 106,0 105,4 103,0 102,8 102,7 102,7 102,6 102,5 - 106,1 104,8 103,7 102,8 102,7 102,7 102,6 - - 0,6 0,7 0 0 0 0 Итого 934 , 5 1,4 Прогноз 2000 2001 2002 2003 2004 2005 102, 6 102,6 102,6 102,6 102,6 102,6 102, 6 Рассчитаем скользящую среднюю для первых трех периодов. M 1 992 =(y 199 1 +y 199 2 +y 199 3 ) : 3= (106,8+106,0+105,4):3=106,1 М 1993 =(y 1992 +y 1993 +y 1994 ):3=(106,0+105,4+103,0):3=104,8 Рассчитав скользящую среднюю для всех периодов, строим прогноз на 2000-2005 г. y 2000 = 102,6+1/3*(102,5-102,6)=102,6-0,03=102, 6 Определяем скользящую среднюю m для 2000 г. m = (102,6+102,5+102, 6 ):3=102, 6 Строим прогноз на 2001 г. y 2001 =102,6+1/3*(102,6-102,5)=102.6 Определяем скользящую m для 2001 г. m = (102,5+102,6+102,6):3=102,6 Рассчитываем среднюю относительную ошибку: є є =1,4:7=0,2% Вывод: По расчетам прогноза видно, что численн ость населения практически не меняет ся и составляет в среднем 102,6 тыс.чел. Так как средняя относительная ошибка равна 0,2%, то точность данного прогноза является высокой. Метод экспоненциального сглаживания. Определяем значение параметра сглаживания. 2/(n+1)=2/ (9+1)=0,2 Определяем начальное значение U 0 двумя способами: I способ (средняя арифметическая) U 0 =934,5 : 9=103,8; II способ (принимаем первое значение базы прогноза) U 0 =106,8. Рассчитываем экспоненциально взвешенную среднюю для каждого года, используя формулу y t +1 = б y t +(1- б ) U t . I способ : U 1992 =106,8*0,2+(1-,02)*103,8=104,4 U 1993 =106*0,2+(1-,02)*104,4=104,7 U 1994 =105,4*0,2+(1-,02)*104,7=104,8 U 199 5 =10 3 *0,2+(1-,02)*104, 8 = 104,4 U 1996 =102,8*0,2+(1-,02)*104,4=104,1 U 1997 =102,7*0,2+(1-,02)*104,1=103,8 U 1998 =102,7*0,2+(1-,02)*103,8=103,6 U 1999 =102,6*0,2+(1-,02)*103,6=103,4 Составим таблицу. Годы Численность населения г.Серова, тыс. чел. y 1 Экспоненциально взвешенная средняя U t Расчет средней относительной ошибки I Способ II Способ I Способ II Способ 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 106,8 106,0 105,4 103,0 102,8 102,7 102,7 102,6 102,5 103,8 104,4 104,7 104,8 104,4 104,1 103,8 103,6 103,4 106,8 106,8 106,6 106,4 105,7 105,1 104,6 104,2 103,9 2,8 1,5 0,7 1,7 1,6 1,4 1,1 1 0,9 0 0,8 1,1 3,3 2,8 2,3 1,9 1,6 1,4 Итого 934,5 937 950,1 12,7 15,2 Прогноз 2000 2001 2002 2003 2004 2005 103,2 103,1 103 102,9 102,8 102,7 103,6 103,4 103,2 103,1 103 102,9 II способ: U 1992 =106,8*0,2+(1-,02)*10 6 ,8= 106,8 U 1993 =106*0,2+(1-,02)*10 6,8 = 106,6 U 1994 =105,4*0,2+(1-,02)*10 6,6 =10 6,4 U 199 5 =10 3 *0,2+(1-,02)*10 6 , 4 = 105,7 U 1996 =102,8*0,2+(1-,02)*105,7=105,1 U 1997 =102,7*0,2+(1-,02)*105,1=104,6 U 1998 =102,7*0,2+(1-,02)*104,6=104,2 U 1999 =102,6*0,2+(1-,02)*104,2=103,9 Рассчитываем прогнозное значение, используя формулу y t +1 = б y t +(1- б ) U t . I способ : U 2000 =102,5*0,2+0,8*103,4=103,2 U 200 1 =102,5*0,2+0,8*103,2=103,1 U 200 2 =102,5*0,2+0,8*103,1=103 U 200 3 =102,5*0,2+0,8*103=102,9 U 200 4 =102,5*0,2+0,8*102,9=102,8 U 200 5 =102,5*0,2+0,8*102,8=102,7 II способ : U 2000 =102,5*0,2+0,8*103,9=103,6 U 200 1 =102,5*0,2+0,8*103,6=103,4 U 200 2 =102,5*0,2+0,8*103,4=103,2 U 200 3 =102,5*0,2+0,8*103,2=103,1 U 200 4 =102,5*0,2+0,8*103,1=103 U 200 5 =102,5*0,2+0,8*103=102,9 Средняя относительная ошибка є I способ : є =12,7:9=1,4% II способ : є =15,2:9=1,7% Вывод: По рассчитанной средней относительной ошибке видно, что наиболее высокая точность прогноза по методу экспоненциальной взвешенной наблюдается в первом способе расчета (є=1,4), т.е. по средней арифметической. Метод наименьших квадратов. Для решения используем следующую таблицу. Годы Численность населения г.Серова, тыс. чел. y 1 Условное обозначение времени Х y 1 *X х 2 m Расчет средней относительной ошибки 1 2 3 4 5 6 7 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 106,8 106,0 105,4 103,0 102,8 102,7 102,7 102,6 102,5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 106,8 212 316,2 412 514 616,2 718,9 820,8 922,5 1 4 9 16 25 36 49 64 81 106,2 105,4 105 104,4 103,8 103,2 102,6 102 101,4 0,6 0,6 0,4 1,4 1 0,5 0,1 0,6 1,1 Итого 934.5 45 4639,4 285 934 6,3 Прогноз 2000 2001 2002 2003 2004 2005 100 , 8 100 , 2 99,6 99 98,4 97,8 10 11 12 13 14 15 Определим условное обозначение времени как последовательную нумерацию периодов базы прогноза. Рассчитаем графы 4 и 5. m определим по формуле y t +1 = a X + b , а коэффициенты a и b по формулам: a = 4639,4-(45*934,5)/9 = -0,6 285-45 2 /9 b = 934,5/9-(-0,6)*45/9 =106,8 y 1991 =-0,6*1+106,8=106,2 y 1992 =-0,6*2+106,8=105,4 y 1993 =-0,6*3+106,8=105 y 1994 =-0,6*4+106,8=104,4 y 1995 =-0,6*5+106,8=103,8 y 1996 =-0,6*6+106,8=103,2 y 1997 =-0,6*7+106,8=102,6 y 1998 =-0,6*8+106,8=102 y 1999 =-0,6*9+106,8=101,4 Определяем прогнозное значение. y 2 000 =-0 , 6*10+106 , 8=100 , 8 y 2 00 1 =-0 , 6*11+106 , 8=100 , 2 y 2 00 2 =-0 , 6*1 2 +106 , 8= 99,6 y 2 00 3 =-0 , 6*1 3 +106 , 8= 99 y 2 00 4 =-0 , 6*1 4 +106 , 8= 98,4 y 2 00 5 =-0 , 6*1 5 +106 , 8= 97,8 Рассчитываем среднюю относительную ошибку Є 1993 =6,3:9=0,7% є 1992 = средняя относительная ошибка находится по формуле: є є = 6,0 :9= 0,66% Вывод: По рассчитанному прогнозу видно, что численность населения имеет тенденцию к снижению, также из расчета средней относительной ошибки можно определить, что точность прогноза является высокой, так как его значение ниже 10%. Общий вывод по заданию № 1: Наиболее точным является метод скользящей средней, здесь наблюдается наименьшее значение по расчету средней относительной ошибки, значение расчета = 0,2%. Если сравнивать графики, то линия расчета по методу скользящей является наиболее приближенной к фактическим значениям, что является основанием предполагать, что данный прогноз наиболее верен из всех остальных. Оценивая наиболее точный демографический прогноз, то по его данным население г.Серова будет сохраняться на одном уровне, в ср еднем оно будет составлять 102, 6 тыс.человек. Задание 2. Имеются данные о внешнеторговом обороте экспорта товаров по кварталам за 1997-2000 гг., млрд. долл.: Квартал 1997 1998 1999 2000 1 2 3 4 21,1 20,6 21,8 25,5 18,6 18,9 18,1 19,3 15,5 17,0 18,9 24,3 24,4 25,0 26,6 29,5 1. Постройте график исходных данных и определите наличие сезонных колебаний. 2. Постройте прогноз объема внешнеторгового оборота экспорта товаров на 2001-2001 гг. с разбивкой по кварталам. 3. Рассчитайте ошибки прогноза. Решение: 1. Представим исходные данные графически. По оси Х отложим параметр времени (годы и кварталы), а по оси Y объем продаж. Определим наличие сезонных колебаний. 2. Составим таблицу: 3. 4-квартальные суммы рассчитываются суммированием у ф за четыре рядом стоящих квартала: 21,1+20,6+21,8+25,5=89 20,6+21,8+25,5+18,6=86,5 и т.д. 4-квартальные средние=4-квартальные суммы:4. 89:4=22,25; 86,5:4=21,63 В таблице они ставятся в середину суммируемых кварталов. Центрированные средние рассчитываются как сумма двух 4-квартальных средних, деленная на 2, например: (22,25+21,63):2=21,94; (21,63+21,2):2=21,42 и т.д. 4. Определяем показатели сезонности. П сезон = у ф :Центр.средние*100(или Графа 3:Графа 6*100). Так, для 3-го квартала 1997 г. П сезон = 21,8:21,94*100=99,36 Для 4-го квартала 1997 г. П сезон = 25,5 :21,42*100=119,05 и т.д. Определим индексы сезонности для каждого квартала (I j ). Для расчета берутся показатели сезонности, суммируются поквартально и делятся на количество суммированных значений. y р = a X + b , коэффициенты a и b рассчитываются по формулам Для 1-го квартала I 1 = (89,68+88,17+101,12):3=92,99. Для 2-го квартала I 2 = (89,68+88,17+101,12):3=92,99. Для 3-го квартала I 3 = (99,36+98,69+94,31):3=97,45. Для 4-го квартала I 4 = (119,05+108,92+109,71):3=112,56. 5. Определяем в таблице значения граф 8, 9, 10. 6. y p = a * X + b , коэффициенты a и b рассчитываются по формулам . a = 3064,4-136*345,1/16 = 131,05 = 0,38 1496 -136 2 /16 340 b = 345,1: 16 – 0,38* 136:16 = 18,34 Рассчитываем y p и вносим полученные результаты в таблицу. 7. Строим прогноз на 2001-2002 гг. с разбивкой по кварталам. Y t+1 = (a*X+b) * I j : 100. y 1 = (0,38*17+18,34) *92,99 :100 = 23,06 y 2 = (0,38*18+18,34) *95,62 :100 = 24,08 y 3 = (0,38*19+18,34) *97,45 :100 = 24,91 y 4 = (0,38*20+18,34) *112,56 :100 = 29,2 y 1 = (0,38*21+18,34) *92,99 :100 = 24,47 y 2 = (0,38*22+18,34) *95,62 :100 = 25,53 y 3 = (0,38*23+18,34) *97,45 :100 = 26,39 y 4 = (0,38*24+18,34) *112,56 :100 = 30,91 Заносим результаты прогноза в таблицу. Наносим полученные данные на график, продолжая линию. 8. Средняя относительная ошибка рассчитывается как частное от деления суммы значений в графе 12 на количество периодов базы прогноза: є =228,28:16=14,27 % Включая прогнозное значение. є =280,82:24=11,7 % Вывод: Точность данного прогноза по средней относительной ошибке является хорошей, так как значение находится в пределах 10-20%. Индексы сезонности в среднем составляют 99,0, в 4 квартале показатель сезонности незначительно увеличивается. В общем, можно сказать, что колебания не значительны, но все же имеются.