О физическом смысле векторного потенцила электромагнитного поля

Показано, что пол е электромагнитного векторного потенциала как физическ ая величин а представляют собой полевой эквивалент локальных х а рактеристик микрочастицы: ее эле ктрическому заряду, кратному кванту электрического потока - заряду элек трона, соответствует электрическая компонента векторного потенциала, а удельному (на единицу заряда) кин е тическому моменту, кратному кванту магнитного потока, отвеча ет ма г нитн ая компонента векторного потенциала . Полевая концепция природы электричества является фу ндаментальной основой классической электродинамики [1] и базируется на п ризнании того факта, что взаимодействие разнесенных в пространстве эле ктрических зар я дов осуществля ется с помощью электромагнитных полей. Свойства этих п о лей описываются системой электродина мических уравнений Максвелла, о т куда непосредственно следуют и понятия электрического и магн итного ве к торных потенциалов, физический смысл которых, несмотря на определенный прогресс в установл ении их физической значимости в приложениях квант о вой механики [2, 3] и электродинамики [], по сей день остается по сущ е ству т ак и не выясненным. Попытаемся разобраться в этом вопросе, для чего воспо льзуемся с и стемой указанных ур авнений электромагнитного поля [ 1 ] : (a) , (b) , (c) , (d) . (1) включающей в себя так называ емые материальные соотношения: , , , описывающие отклик среды на наличие в ней электромагнитных полей. Здесь и я векторы напряженности электр ического и магнитного полей, связанные с соответствующими векторами ин дукции и , я вектор плотности электрическ ого тока, я о бъемная плотность стороннего заряда, и я электрическа я и магнитная постоянные, , и я удельная элек трическая проводимость и относительные диэлектрическая и магнитная пр оницаемость среды, соответственно. Представления о векторных потенциалах возникают как следствие т о го , что дивергенция ротора любого ве ктора тождественно равна нулю. П о этому магнитный векторный потенциал можно ввести посредством д и вергентного соотношения системы уравнений (1), а электрический я соотношением , описывающим поляризацию локально эле к тронейтральной среды: а) , ( b ) . (2) Однозначность функций векторных потенциалов, то е сть чисто вихр е вой характ ер таких полей, обеспечивается условием калибровки: . Видно, что с физич еской точки зрения рассматриваемые потенциалы являю т ся поляризацион ными потенциалами . Тогда подстановка соотношения (2 a ) в уравнение вихря электричес кой напряженности (1а) приводит к известной формуле [ 1 , 2 ] связи поля вектора указанной напряженности с магнитн ым вектор ным потенциалом: , (3) описывающей закон электромагнитной индукции Фарадея. Электрич е ский скалярный потенциал: здесь не рассматривается, как не имеющий отношения к обсу ждаемым в работе вихревым полям. При аналогичной подстановке соотношения (2 b ) в уравнение вихря магнитной н апряженности (1 c ) с уче том закона Ома процесса элект ропр о водности получаем в итоге связь этой напряженности с электр и ческим вектор ным потенциалом: , (4) где я постоянная вр емени релаксации электрического зар я да в среде за счет электропроводности. Таким образом, согл асно соотнош е ниям (3) и (4), ве кторные потенциалы – это не математические фикции, а ф и зически значимые фундаментальные поля, порождающие традиционные ви х ревые электромагнитные поля. Подробное обсуждение физическ ой значим о сти векторных потенциалов в классической электродинамике представлено в работах [ 4 , 5 ]. Поскольку взаимодействие эле ктрических зарядов реализуются п о средством электрических и магнитных полей, то физически нетр ивиально предположить, что порождающие эти поля векторные потенциалы к ак физ и ческие величины е сть первичные полевые характеристики самого заряда, его полевой эквива лент. Для обоснования правомерности такого предположения рассмотрим к онкретные аргументы, позволяющие, наконец, разрешить пр о блему физического смысла электромагнитных векторных потенц иалов, кот о рую для магнит ного вектор- потенциала обсуж дал еще Максвелл при анализе своих электродинамических уравнений ([ 6 ] п. 590). Как извест но, физические представления об электрическом заряде имеют на микроуро вне существенное дополнение: элементарная частица х а рактеризуется не только значение м заряда , кратного заряду электрона , но и спином , трактуемым как собственный момент кол ичества дв и жения (кинети ческий момент) частицы. Величина этого момента квантована значением , где h я постоянная Планка. Согласно нашему предполож е нию, сопоставим эти локальн ые характеристики микрочастицы и ее некое собственное первичное электромагнитное поле. Так, нап ример, для электр о на электрическая компонента эт ого поля соответствует кванту электрическ о го потока я заряду e , а магнит ная компонента – величине ег о удельно го (на единицу заряд а) кинетическо го момент а , определяюще й , как известно (например, [ 2 ] ) , квант магнит ного потока. Наша задача показать далее, что введенное здесь гипотетичес кое собственное поле микрочастицы (совокупно, и макрообъекта) является именно полем электромагнитны х векторных п о тенциалов. Вначале рассмотрим электрический векторный потенциал . Для эт о го соотношение ( 2 b ) связи вектор а электрической ин дукции и вектор - потенциала дл я большей наглядности и математической общности предст а вим в интегральной форме: = . (5) Эти интегр альные соотношения устанавливают физически содерж а тельное положение о том, что величи на циркуляции вектора по замк н у тому контуру С определяется электрическим потоком через поверхность , опирающейся на этот контур , следовательно, поляризационн ым электр и ческим зарядо м , индуци рованным на указанной поверх ности . Отс ю да, в частности, следует определени е поля вектора электрического смещения , по величине равного плотности поляризационного заряда на пр обной площадке, ориентация которой в данной точке создает на ней максима льное значение этого заряда, а нормаль к площадке указывает направление вектора . Определение как потокового вектора показывает его принципиальное отлич ие от линейного (циркуляционного) вектора напряженности , явля ю щегося с иловой характеристикой электрического поля. Таким образом , согласно соот ношению (5), электрическому заряду отвечает его полевой эквивалент - поле электрического ве кторного потенц и ала , размер ность которого есть линейная плотность электрич еского з а ряда . В итоге, с целью реализации нашего предположения введем п онятие первой фундаментальной корпускулярно-полевой пары с едини ц а ми измерения в системе СИ Кулон Кулон/метр . Здесь и далее обсуждаются именно размерности физ ических величин, а использование в рассуждениях конкретной системы еди ниц их измерения не принципиально. Корпускулярно-полевые представления подтверждаю тся и соотнош е нием (4) связ и напряженности магнитного поля и эле ктрического векто р ного потенциала с едини цей измерения Ампер/метр , ко торое есть ни что иное, как полевой эквивалент полного электрического то ка ( т о ков проводимости и смещения ) , величина (сила тока) которого име ет един и цу измерения Ампер . Как видим, сопоставление соотношения (4) для вихр е вых полей и с понят ием силы электрического тока снова приводит к корпускулярно-полевой паре Амп ер Ампер/метр , являющуюся очеви дным прямым физическим следствием первой фундаме нтальной пары. Перейдем теперь к магнитному векто рному потенциалу и проанализ и руем соотношения связи поля вектора с полями векторов магнитной и н дукции (2 a ) и элект рической напряженности (3). Дан ные соотношения, несмотря на свою широкую известность [ 1, 2 , 6 ], как нам представ ляется , трактуют не совсем корректно, поскольку в н их исходно неверно определена размерность вихре вого поля магнитного векторного потенциала я импуль с на единицу заряда . П опыта емся далее аргументировано о босновать это чрезв ы чай но серьезное, но пока декларативное критическое заявление о физической размерности вектора . Начнем с общеизвестного. Поскольку вектор электри ческой напряже н ности изме ряется в системе СИ как Вольт/метр , либо математиче ски (но не физически) тождественно Ньютон/Кулон , то, согласно соотношению (3) связи магнитного вектор ного потенциала с вектором , един ица изм е рения вектора будет ( Ньютон · сек )/ К улон , то есть имеет размерность и м пульс на единицу заряда . Следовательно, соотношение (3) можно назвать п о левым аналого м уравнения динамики поступательного движения в механике (II закон Ньюто на). Действительно, указанную выше размерность магнитного векторного по тенциала, другими словами, его физи ческий смысл на ходят в работе [ 2 ] при анализе действия вихревого поля вектора на точечный электрический заряд посредством именно II закона Ньютона, обычного м е хани ческого. Однако обобщать такие выводы, полученные в рамках уравн е ния динамики поступательного движения, на случай макрообъ ект а (в виде совокупности взаимодействующих точечных зар ядов), находящ его ся в ви х ревых полях, мягко говоря, весьма сомнительно. Для проясн ения сложившейся ситуации рассмотрим далее соотнош е ние (2а), которое представим для большей наглядности в интеграль ной фо р ме: . (6) Видно, что в еличина циркуляции вектора по контуру С опр едел я ется магнитным пот оком через поверхность S C и имеет единицу измер е ния в СИ Веб ер = ( Джоуль ∙'95 секунда )/ Кулон , что соответствует модулю м о мента импульса на единицу заряда . При э том размерность магнитного ве к торного потенциала может быть двояк ой: либо указанная выше импульс на единицу заряда, либо ей альтернативная лин ейная плотность момента импульса на единицу заряда . Конечно, с формальной точки зрения обе ра з мерности вектора , выраженные через единицы измерения, математич е ски тождественны, но физически это принципиально различны е величины. Целесообразно отметить, что сам Максвелл призывал ответственно о т носиться к математическим операциям над векторами электромагнитного п о ля и физической трактовке тако вых. Вот его слова: “ В науке об электрич е стве электродвижущая и магнитна я напряженности принадлежат к вел и чинам первого класса – они определены относительно лин ии . … Напротив, электрическа я и магнитная индукция, а также электрические токи прина д лежат к величинам второго класс а – они определены относительно площ а ди ”. ([ 6 ] п. 12). И далее более конкретно: “ В случае напряженности сл едует брать интеграл вдоль линии от произведения элемента длины этой ли нии на составляющую напряженности вдоль этого элемента . … В случае потоков следует брать инте грал по поверхности от потока через каждый ее эл е ментов ”. ([ 6 ] п. 14). Не преувеличивая, трактат Максвелла можно назвать физическими основами математического анализа , поскольку в нем свойства используемых математически х моделей максимально подчинены стремл е нию автора адекват но описать физически е представлени я о рассматриваемых явлениях . Однако , к сожалению, в настоящее время даже в учебной литер а туре повсеместно встречается “ ” и “ ”, “ ” и “ ”. Та кое формальное использование математики попросту игнорирует физическ ое с о держание соотношен ий электродинамики, создает путаницу физических п о нятий, мешая действительно разобр аться в них. Все э то усугубляется прим е нением абсолютной систем ы единиц СГС, когда безразмерные коэффицие н ты 0 = 1 и 0 = 1 делают векто ры и , и сущностно тождестве н ными, где Эрстед и Гаусс равны в пустоте, а в с редах различаются только численно. О п редпочтительност и в классической электродинамике между н а родной системы единиц физических величин СИ в сравнении с абсолютной системой единиц СГС говорится также в работах [4, 5] . Для нас здесь существенно то , что, согласно Максвеллу, в эле ктрод и намике циркуляцио нные (линейные) векторы и имею т размерность л и нейной плотности физической величины , а потоковые векторы , и – ее поверхностной плотности . В частности, р азмерность вектора магнитной индукции равна поверхно стной плотности момента импульса на единицу заряда , в системе СИ я Тесла . Экспериментально это ярко иллюстрируется эффекто м Эйнштейна-де Га а за [ 1 ] , где в материальной среде при ее одноро д ном намагничивании возникает мех анический момент вращения, направле н ный коллинеарно полю, обусловленный упорядочением собст венных ма г нитных момент ов, соответственно, моментов количества движения электр о нов в атомах вещества среды. Следов ательно, поле вектора выявляет в среде момент импульса , порождающий ее вращение. Поэтому, согласно с о отношению (2а), размерностью вих ревого поля магнитного векторного п о тенциала следует считать линейную плотность м омента импульса на единицу заряда . Итак, в формулах (6) локальной характеристике микрочаст и цы я моменту импульса на единицу заряда сопоставляется его полевой экв и валент я магнитн ый векторный потенциал , что дает вторую фундаме н тальную корпускулярно-полевую пару , кот орую, например, для электрона я можно записать как с единицами измерения ( Джоуль ∙'95 секунда )/ Кулон ( Дж о уль ∙'95 секунда )/( Кулон ∙'95 метр ). Вернемся к соотношению (3) связи вектора с вектором . Как т е перь здесь показано, ра змерность вихревого поля вектора электрической напряженности одно значно равна линейной плотности момента силы на единицу заряда , что естественно нисколько не опров ергает единицу измер е ни я этого вектора Вольт/метр , а лишь уточняет ее физический смысл. Таким образом, в действительности соотношение (3) представляет со бой полевой аналог основного уравнения динамики вращательного движени я твердого т е ла в механик е, что полностью согласуется с рассмотренным и в ыше корпу с кулярно-полев ым и представлениям и . Подводя итог, с приходим к заключению, что векторные потенциалы – это не математические фикции, а фундаментальные первичны е поля, п о скольку именно они порождаю т традиционные вихревые электромагнит ные поля в классической электродинамике. Важно при этом подчеркнуть, что с точ ки зрения проявления физических свойств [4, 5] рассматриваемые поте н циалы логи чно называть поляризационн ыми потенциалами . У становленная здесь принципиальная двойственность физических параметров элект рическ о го заряда говори т о реальном существовании «корпускулярно-полевого ду а лизма» природы электричества, у ко торого, в отличие от схожего лишь по названию «корпускулярно-волнового дуализма» в квантовой механике, ко н тинуальные компоненты являются векторным полем, и он реализуется на микро- и макроу ровнях строения материи. Фундаментальность концепции указанного дуали зма обусловлена тем, что локальные характеристики ми к рочастицы (совокупно, и макрообъек та) находятся в неразрывной связи с их собственными полевыми параметрам и: электрическому заряду, кратному кванту электрического потока я заряду электрона | e - |, соответству ет электр и ческий вектор ный потенциал , а ее уд ельному (на единицу заряда) кин е тическому моменту, кратному кванту магнитного потока , отвечает ма г нитный векторный потенциал . В качестве конкре тной иллюстрации в ы шесказанного имеем из (5) и (6) д ля точечно го заряда, например электрона, следующие выражения: и . где и я орты сферической системы коорди нат. Как видим, полученные результаты представляют общ ефизический и н терес, тре буют дальнейшего серьезного развития и, в частности, могут сл у жить вместе с материалом работ [ 4, 5 ] непосредственным введение м в новую перспективную область исследований связ и классической электродинамики с микромиром . Л итература: 1. Матвеев А.Н. Электродинамика. - М.: Высшая школа, 1980. - 383 с. 2. Антонов Л .И., Миронова Г.А., Лукашёва Е.В., Чистякова Н.И. Векторны й магнитный потенциал в курсе общей физики / Препринт № 11. - М.: Изд-во МГУ, 1998. - 47 с. 3. Патент РФ № 2101842. Способ обработки субст рата в поле магнитного векторного потенциала и устройство для его осуще ствления / В. Кропп. 4. Сидоренков В.В. Развитие физических представлений о процессе электр и ческой проводимости в металле // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Се р. Естественные науки. - 2005. - № 2. - С. 35-46. 5 . Сидор енков В.В. Обобщение физических представлений о ве кторных п о тенциалах в кл ассической электродинамике // Вестник МГТУ им. Н.Э. Ба у мана. Сер. Естественные науки. - 2006. - № 1 . - С. 28-37. 6 . Максвелл Дж. К. Трактат об электричестве и магнетизме. В 2-х томах. - М.: Наука, 1989.