Кинематика и динамика поступательного и вращательного движения

Вопрос 1: . Система отсчета Чтобы описа ть механическое движение тела (точки ), нужно знать его координаты в любой момент времени . Для определения координ ат следует выбрать тело отсчета и связать с ни м систему координат . Часто телом отсчета служит Земля , с которой связывается прямоугольная де картова система координат . Для о пред еления положения точки в любой момент времени необходимо также задать начало отсчета времени. Система координат , тело отсчета , с которым она связана , и прибор для измерения времени образуют систему отсчета , относител ьно которой рассматривается движени е тела. Траектория , путь , перемещение Траекторией движения называется линия , вдоль которой движется тело . Длина траек тории называется пройденным путем . Путь – скалярная физическая величина , может быть только положительным. Перемещением на зывается вектор , с оединяющий начальную и конечную точки траектории. Движение тела , при котором все е го точки в данный момент времени дв ижутся одинаково , называется поступательным движением . Для описания поступательного движения тела доста точно выбрать одну точку и описать е е движение. Движение , при котором траектории все х точек тела являются окружностями с центрами на одной прямой и все п лоскости окружностей перпендикулярны этой пр ямой , называется вращательным движением. Другой и звестной характеристикой механического движени я точки служит скорость . Средняя скорость v за промежуток времени t определяется как : . Вопрос 2: Ускорение Ускорением называется векторная физическая величина , равная отношению очень малого изменения вектора скорости к малому промежутку времени , за которое произошло это изменение , т.е . это мера б ыстроты изменения скорости : ; . Метр в секунду за секунду – это такое ускорение , при котором скор ость тела , движущегося прямолинейно и ра вноускоренно , за время 1 с изменяется на 1 м /с. Направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора изменения скорос ти ( ) при очень малых значениях промежутка времени , за который происходит изменение скорости. Если тело движется по прямой и его скорость возрастает , то направл ение вектора ускорения совпадает с напр авлением вектора скорости ; при убыва нии скорости – противоположно направлению вектора ск орости. При движении по криволинейной траект ории направление вектора скорости изменяется в процессе движения , вектор ускорения при этом может оказаться направлен по д лю бым углом к вектору скорост и. § Вопрос 3: Уг ловая скорость и угловое ускорение. Для случая вращательного движения полезными оказываютс я такие дополнительные кинематические характ еристики как угловая скорость и угловое ускорение . Величина угловой скорости определяется как отношение угла , который описывает радиус-вектор точки за время t , т.е. . ( 1-21 ) v r s Рис .6.К оп ределению направ- лени я угловой с корости. При этом угловой скорости прип исывается определенное направление , которое о пределяется следующим образом : направление от счета угла определяется направлением вращени я , а направление определяется правилом п равого буравчика - оно совпадает с движен ием оси буравчика , когда он вращается в направлении вращения материальной точки ( см . рис .6 ). Вектор углового ускорения определя ется через изменение уг- ловой скорости вращения за вр емя t . При этом направление совпадает с направлением , если за вре мя t происходит увеличение скорости и направление противоположно вектору , если за время t угловая ско рость уменьшается . Таким образом . § Вопрос 4: За коны Ньютона массы , сила , силы трения. Первый зако н утверждает , что существуют такие системы отсчета , в которых всякое тело сохраняет со стояние покоя или равномерного прямолинейног о движения до тех пор , п ока воздействия со стороны других тел не заставят его изменить это состояние . Силой называю т количественную меру простого воздействия на тело со стороны других тел , в во время действия , которого тело ил и его части получают ускорения. Масса Причиной из менен ия скорости движения тел всегда является его взаимодействие с другими телами. При взаимодействии двух тел всегда изменяются скорости и первого , и вт орого тела , т.е . оба тела приобретают ускорения . Ускорения двух взаимодействующих тел могут быть различными, они зависят от инертности тел. Инертность – способность тел а сохранять свое состояние движения (пок оя ). Чем больше инертность тела , тем меньшее ускорение оно приобретет при вза имодействии с другими телами , и тем будет ближе его движение к равномерному пря молинейному движению по инерции. Масса – физическая величин а , характеризующая инертность тела . Чем б ольшей массой обладает тело , тем меньшее ускорение оно получает при взаимодейств ии. За единицу массы в СИ принят килограмм : [ m ]=1 кг. Сила В инерциаль ных си стемах отсчета любое изменение скорости тела происходит под действием других тел . Сила – э то количественное выражение действия одного тела на другое. Сила – векторная физическая величина , за ее направление принимают направление ус корения тела , которое вызы вается это й силой . У силы всегда есть точка приложения. В СИ за единицу силы принимаютс я сила , которая телу массой 1 кг сооб щает ускорение 1 м /с 2 . Эта единица называется Ньютон ом : . Второй закон Ньютона Сила , дейст вующая на тело , равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой уско рение : . Таким образом , ускорение те ла прямо пропорционально действующей на тело силе и обратно пропорционально его массе : . Третий закон Ньютона Тела де йствуют друг на друга с силами , вдоль одной прямой , равными по мод улю и противоположными по направлению. Эти силы имеют одинаковую физическую природу ; они приложены к р азным телам и поэтому друг друга не компенсируют. Сила т рения . Коэффициент трения скольж ения Сила трени я возникает при соприкосновен ии поверхностей двух тел и всегда п репятствует их взаимному перемещению. Сила , возникающая на границе соприко сновения тел при отсутствии относительного движения называется силой трения покоя . Сила трения покоя – упругая сила , она равна по модул я внешней силе , направленной по касатель ной к поверхности соприкосновения тел , и противоположна ей по направлению. При движении одного тела по пов ерхности другого возникает с ила трения скольжения . Сила трения имеет электрома гнитную природу , т.к . возникает благод аря существованию сил взаимодействия между молекулами и атомами соприкасающихся тел – электромагни тных сил. Сила трения скольжения прямо пропорц иональна силе нормального давления (или упругой реакции опоры ) и не зависи т от площади поверхности соприкоснов ения тел закон Кулона : , где – коэффициент трения. Коэффициент трения зависит от рельеф а поверхности и всегда меньше един ицы : «сдвинуть легче , чем оторвать». Вопрос 5: Импульс тела По 2-му закону Ньютона изменение скорости тела в озможно только в результате его взаимоде йствия с другими телами , т.е . при дей ствии силы . Пусть на тело массой m в те чение времени t действует сила F и скорость его движения изменяется от v o до v . Тогда на основании 2-го закона Ньютона : . Величина называется импульсом силы . Импульс силы – это векторная физическая величина , равная произведению силы на время ее действия . Направление импульса силы сов падает с направл ением силы. . – импульс тела (количество движения ) – вектор ная физическая величина , равная произведению массы тела на его скорость . Направление импульса тела совпадает с направлением скорости. Импульс силы , действующей на тело , равен изменению импульса тела. Закон сохранения импульса Выясним , как изменяются импуль сы двух тел п ри их взаимодействии . Обозначим скорости тел массами m 1 и m 2 до взаимодействия через и , а после взаимодействия – через и . По 3-му закону Ньютона силы , действующие на тела при их вза имодействии , равны по модулю и противопо ложны по направлению ; поэто му из можно обозначить F и – F . Тогда : . Таким образом , векторная су мма импульсов двух тел до взаимодействия равна векторной сумме их импульсов после взаимодей ствия. Эксперименты показывают , что в любой системе взаимодействующих между собой т ел при отсутствии действия сил со с тороны других тел , не входящих в сис тему , – в замкнутой системе – геомет рическая сумма импульсов тел остается по стоянной . Импульс замкнуто й системы тел есть величина постоянная – закон сохранения им пульса (з.с.и .). Вопрос 6: Механическая работа Механическая работа – это скалярная физическая величин а , равная произведению модуля силы на модуль перемещения точки приложения силы и на косинус угл а между н аправлением действия силы и направления перемещения (скалярное произведение векторов силы и точки ее перемещения ): . Работа измеряется в Джоулях . 1 Д жоуль – работа , которую совершает сила 1 Н при перемещении точки ее приложения на 1 м в направлении действия силы : . Работа може т быть положительной , отрицател ьной , равной нулю : A = FS > 0; 2. 0 < < 90 A > 0; 3. = 90 A = 0; 4. 90 < < 180 A < 0; 5. = 1 80 A = – FS < 0. Сила , дейст вующая перпендикулярно перемещению , работы не совершает. Мощность Мощность – это работа , совершаемая в единицу вре мени : – средняя мощность. . 1 Ватт – это мощность , при которой совершается работа 1 Дж за 1 с. Мгновенная мощн ость : . Кинетическа я энергия Установим с вязь между работой постоянной силы и изменением скорости тела . Рассмотрим случа й , когда на тело действует постоянная с ила и направление действия силы совпадает с направлением перемещения те ла : . * Физическая величина , равная половине произведения массы тела на его скорость называется к инетической энергией тела : . Тогда из формулы *: – теорема о кинетичес кой энергии : Изменение кинети ческой энергии тела равно работе всех сил , действующих на тело . Кинетическая энергия всегда положительна , т.е . зависит от выбора си стемы отсчета. Вывод : в физике абсолютное зна чение энергии вообще , и кинетической эне ргии в частности , смысла не имеет . Р ечь может идти только о разнице эне ргий или об изменении энергии. Энергия – способность тела совершать работу . Работа – мера изм енения энергии. Потенциальн ая энергия Потенциальная энергия – это энергия взаимодействия те л , зависит от взаимного их расположения. Вопрос 7: Закон сохранения полной механической энергии Полная мех аническая энергия – сумма кинетической и потенциальной энергии всех тел , входящих в си стему : . По теореме о кинетической энергии работа всех сил , действующих на все тела . Если в системе все силы потенциальные , то справедливо утверждение : . Следовательно : Полная меха ническая энергия замкнутой системы есть величина постоянная (если в системе дейс твуют только потенциальные силы ). Если в системе есть силы трения , то можно применить следующи й прием : силу тр ения назначаем в нешней силой и применяем закон изменения полной механической энергии : . Работа внешней силы равна изменению полной механической энергии с истем ы . Вопрос 8: Н Е Т. § Вопрос 9: Удар абсолютно неу пругих и упругих тел. Удар – столкн тел при кот за мал промеж времени происх . Значит измен скоростей тел . Ес ли скор тел напр паралейно – удар прямой . Закон сохр импульса u = m 1 v 1 + m 2 v 2 / m 1 + m 2 . Не упруг удар , до удара E 1 =m 1 v 1 2 /2+ m 2 v 2 2 /2+ E p 1 после удара E 2 =( m 1 v 1 + m 2 v 2 ) 2 /2( m 1 + m 2 )+ E p 2 Изм энерг - E = E 2 - E 1 <0 мех эн умен пошла на деформ шаров. b ) 2 тело до удара покой . - E / E 1 = m 2 / m 1 + m 2 2) Абсо лютно у п удар. - если мех энер системы не изм еняется v = 2m 1 v 1 +( m 2 - m 1 ) v 2 / m 1 + m 2 для второго тела также . Вопрос 10: момент инерции относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно паралл ельной оси , проходящей через центр масс , и произведения массы т ела на квадрат расстояния между осями , т.е. I произ = I цм + m d 2 . ( 4-6) Для некото рых тел правильной формы значение момент ов инерции от носительно осей , проход ящих через центр их симметрии приведены в таблице 2. Таблица 2. Форма тела Расположение Величина оси момен та инерции Обруч m R 2 Цилиндр Шар Примечание : m - масса тела , R - его рад иус На основании изложенного уравне- ние (4-4а ) с учетом (4-5) приводится к виду : , ( 4-7 ) которое на зывается уравнением д инамики вращательно го движения твердого тела или уравнением моментов . Дело в том , что левую часть этого уравнения можно представить по другому , т.к . по аналогии с правой частью величину [r i a i m i ]=[ = называют изменением момента им пульса (радиус r i внесен под знак дифференцирования , т.к . все точки в ращаются по окружностям постоянного радиуса ) . Если обо значить [ r i m i v i ] = [ r i p i ] = L i , a cy мму = L , то уравнен ие (4-7) можно за- писать так : . ( 4-8 ) Кинет эне рг вращаю тела . Закон сохр момента импульса и его св язь с изотропн остью пространства . Теорема НЕТЕР Кине т энерг тела движ произвольным оьразом = сумме всех мат точек , на кот тело можно разбить . E K = Ѕ m i v i Тело вращ вокруг не подв оси E K = J z 2 /2 Ра бот а точки dA i = J iz d тела dA = J z d Полная работа A =интегр от 2 по 1 J z d Поступ движ твердого тела со скоростью ег о центра инерции v c . – d( m v c )/ dt = F внеш Вращат твердог о тела вокруг центра инерц dL c / dt = M с внеш – глав момент внеш сил отн ос точки С , L c - момент ипу льса тела отн точк Кинет энер свобод твер тела т-ма Кенига Е к = mv c 2 /2+ J c 2 /2 Момент импульса замкн сист тел отн любой неподвиж точки постоянен во времени . Для замкн системы (М z =0) закон сохр момента импульса отн оси вращ L iz = J iz I = const Т-ма Э.Нетер Для физич сис-мы , ур-е движения которой имеют форму системы дифференцирова - ных ур-й и могут быть получены из вариционого принцыпа меха-ники , ка ждому непрер зависящему от одного параметра преобра-зов анию ост-щим инвариантным действие S , соотв закон сохран . Вопрос 11: Момент силы и момент импульс мех сист Ур дин вращ дв Для характ . Внеш мех во здействия на тело , привод к измен вр ащат движения – момент силы . – F отност неп одв точки 0 (полюса ) – вект величина М = векторному про изв радиуса вектора r проведе-ного из точки 0 в точку прилож силы В на вектор силы F , M = r * F Модуль момента сил М =r F sin = F r sin = F l , l – длина перепе - ндик уляра опущеного из 0 на линию силы F Си М =1Н *м Главн момент сил М = r i * F i . Момент им пульса мат точки отн непод Т . 0 L i = r i * K i = r i * m i v i = R i * m i v i + r i * m i v i В СИ L =1кг *м 2 /с Для мат точки L i = r i * m i v i Главн момент внеш сил М = М i = d L / dt Момент инер ции тела – мера инертности тела во вращат движ во круг неподвижной оси. J = mR 2 Вопрос 12: L O mv r A Рис .15.Момент импуль- са материальной точки . Рис .15 п оясняет определение момента импульса точе чной массы относительно точки О , который вычисляется также как момент силы [ r i m i v i ] = [ r i p i ] = L i . Направление момента импульса определяется правилом пр авого буравчика - вектор r вращается по кра тчайшему пути к вектору mv, а направление движения оси буравчика указывает направление вектора L . Момент импульса относительно оси также определяется аналогично моменту силы относительно оси : L = [ r p ] , ( 4-9 ) где значе ния r и р соответствуют обозначениям рис .12 ( с заменой f на р ). Для вращательного движения точки L = [ r mv ] = [ r m r ] = mr 2 = I i . Для твердого тела L = I . Закон сохранения момента и мпульса. Если правая час ть уравнения (4-8) оказывается по каким - либо равной нулю - суммарный момент сил равен нулю , то и L = const . Это случае тся , если система замкнута , т.е . внешние силы вообще не действуют , или если моменты внешних сил компенсируют друг друга . Наконец , если внешние силы о казываются центральными - линии действия всех сил пересекаются в одной точк е . Весьма интересным представляется случай , когда механический момент импульса при вращении тела имеет достаточно большую величину ( по сравнению с моментом вне шних сил ). Наиболее ярким примером этого служит гироскоп ( см . рис 16 ). L 1 d M L 2 dL mg Рис .16 Прецессия гиро- скопа. Гироскопом принято называ ть достаточно массивное тело , быстро вращающе еся вокруг оси симметрии . Гироскоп закре пляют в одной точке с помощью специ ального устройства - ка рданова подвеса . Если на гироскоп действуют внешние с илы ( груз mg на рис .), то ось гироскопа начинает смещаться под воздействием момента силы ( см . ( 4-8 )), т.е . изменение момента импульса совпадает с направлени е М . За малый промежуток времени dt ось ги роскопа повернет- ся на угол d так , что изменение момента импуль са dL = L 1 - L 2 = Ld . В то же время из уравнения ( 4-8 ) следу ет dL = M dt , или Ld = M dt , откуда можно придти к выво ду , что гироскоп начинает вращаться в плоскости , перпендикулярной плоскости рисунка с частотой , которая называется частотой прецессии. . Если моменты внешних сил малы по сравнению с моментом импульса вращающегося тела , то частота прецессии мала , и тело сохраняет ориентацию оси вращения в пространстве ( пример - жонглирование предметами в цирк е ). egiksof@mail.ru