Вход

Развитие самостоятельности школьников при обучении математике

Реферат по педагогике
Дата добавления: 23 февраля 2003
Язык реферата: Русский
Word, rtf, 849 кб
Реферат можно скачать бесплатно
Скачать
Данная работа не подходит - план Б:
Создаете заказ
Выбираете исполнителя
Готовый результат
Исполнители предлагают свои условия
Автор работает
Заказать
Не подходит данная работа?
Вы можете заказать написание любой учебной работы на любую тему.
Заказать новую работу
ВВЕДЕНИ Е Внеурочные занятия по математике пр изваны решить целый комп лекс задач по углубленному математическому образованию , всесто роннему развитию индивидуальных способностей шко ль ников и максимальному удовлетворению их ин тересов и потреб ностей . Для непрерывного обуч ения и самообразования особо важное значение имеют раз в итие самостоятельности и творче ской активности учащихся и воспита ние навыков самообучения по математике . В психолого-педагогической литературе само стоятельность обычно понимается как способность личности к деятельности , совершаемой без вмешательства со с тороны . Само стоятельность личн ости не выступает как изолированное качество личности , она тесно связана с независимос тью , инициативностью , активностью , настойчивостью , самокритичностью и самоконтро лем , уверенностью в себе . Важной составной частью самосто я тельности как черты личности школьника является познаватель ная самостоятельность , котор ая трактуется как его готовность (способность и стремление ) своими силами вести целенап равлен ную познавательно-поисковую деятельность. Самостоятельная познавательная деятельность учеников мо жет носить как характер прос того воспроизведения , так и пре образовательный , творческий . При этом в применении к уча щим ся под творческой подразумевается такая д еятельность , в резуль тате которой самостоятельно открывается нечто н о вое , ориги на льное , отражающее индивидуальные склонности , спосо бности и индивидуальный опыт школьника . Филос офское определение творческой деятельности как деятельности , результатом которой является откр ытие нового оригинального продукта , имеющего обществе н ную ценность , по отношению к учащемуся неприемле мо . Хотя бывают случа и , когда деятельность учеников выходит за рамки выполнения обычных учебных заданий и носит твор ческий характер , а ее результато м становится продукт , имеющий общественную це нность : ориг и нальное доказательство и звестной теоремы , доказательство новой теоремы , составление новой программы для электронно-выч ислительных машин и т . п ., как правило , в учебной деятельности творчество проявляется в субъективном плане , как открытие нового для себя, нового в своем умствен ном развитии , имеющего лишь субъективную но ви зну , но не имеющего общественной ценности. Творческий (продуктивный ) и воспроизводящий (репродук тивный ) характер самостоятельной деятельно сти связаны между собой . Воспроизводящая само стоя тельная деятельность служит первоначальн ым этапом развития самостоятельности , этапом на копления фактов и действий по образцу , и имеет тенденцию к пе рерастанию в творч ескую деятельность . В рамках воспроизводя щей деятельности уже имеют место элементы тво р чества . В свою очередь , в твор ческой деятельности также содержатся элементы действий по образцу. В дидактике установлено , что развитие самостоятельности и творческой активности учащих ся в процессе обучения математи ке происходит непрерывно от низшего уровн я самосто ятельности , воспроизводящей самостоятельности , к в ысшему уровню , твор ческой самостоятельности , посл едовательно проходя при этом определенные уро вни самостоятельности . Руководство процессом пере растания воспроизводящей самостоятельности в тво рчес к ую состоит в осуществлении п оследовательных взаимосвязанных , взаимопроникающих и обусловливающих друг друга этапов учебной работы , каждый из которых обеспечивает выхо д учаще гося на соответствующий уровень самос тоятельности и творче ской активности . Задач а воспитания и развития самостоятел ь ности личности в обучении заключается в управлении процессом перерастания воспроизводящей самостоятельности в творческую. 1. СИСТЕМА УЧЕБНОЙ РАБОТЫ ПО Р АЗВИТИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОСТИ И ТВОРЧЕС КОЙ АК ТИВНОСТИ ШКОЛЬНИКОВ По характеру учебной самостоятельной деятельности уча щихся на внеурочных занятиях по математике целесообразно выделить четыре уровня самостоятельности. Первый уровень — простейшая воспроизводящая са мостоя тельность . Особенно ярко проявляется этот уровень в самостоя тельной деятельности ученика при выполнении упражнений , требующих простого воспроизведения имеющихся знаний , когда учащийся , имея правило , образец , самостоятельн о решает зада чи , упражнения на его примен ение. Ученик , вы шедший на первый уровень самостоятельности , но не достигший еще вт орого уровня , при решении задачи исполь зует имеющийся у него образец , или правило , и ли метод и т . п ., если же задача не соответствует образцу , то он решить ее не может . При этом он даже не предпринимает попыток как-то изменить сит уацию , а чаще всего отказывается от решени я новой задачи под тем предлогом , что такие задачи еще не решались. Первый уровень самостоятельности прослеживае тся в учебно-познавательной деятельности многих учеников , при ступивших к внеурочным зан ятиям . Затем одни учащиеся быстро выходят на следующий уровень , другие задерживаются на нем определен ное время . Большинство из н их в процессе изучения материала выходят на более высокий уровень самостоятельности , ч ем первый. Так как первый уровень развития самостоятельности просле живается у многих ученик ов в начале занятий , то задача учи теля заключается не в игнорировании его , полагая , что школь ники , посещающие внеурочные занятия , уже достигли более высоких уровней , а в обеспе ч ении перехода всех уч ащихся на следующие , более высокие уровни самостоятельности. Второй уровень самостоятельности можно на звать вариативной самостоятельностью . Самостоятельнос ть на этом уровне про является в умении из нескольких имеющихся правил , определе ний , образцов рассуждении и т . п . в ыбрать одно определенное и использовать его в процессе самостоятельного решения новой задачи . На данном уровне самостоятельности учащийся показы вает умение производить мыслитель ные операции , такие , как сравнение , анали з . Анализируя условие задачи , ученик переби рает имеющиеся в его распоряжении средства для ее решения , сравнивает их и выбирает более действенное. Третий уровень самостоятельности — частично-поиск овая са мостоятельность . Самостоятельность ученика на этом ур овне проявляется в умени и из имеющихся у него правил и предпи саний для решения задач определенного раздела математики формиро вать (комбинировать ) обобщенны е способы для решения более широкого клас са задач , в том числе и из других разделов мате матики ; в у мении осуще ствить перенос математических методов , рассмотрен ных в одном разделе , на решение задач из другого раздела или из смежных учебных предметов ; в стремлении найти «собственное правило» , прием , способ деятельности ; в поис ках нескольких способов реше н ия з адачи и в выборе наиболее рацио нального , изящного ; в варьировании условия задачи и сравнении соответствующих способов решения и т . п . В названных прояв лениях самостоятельност и присутствуют элементы творчества. Ученик на этом уровне обладает относи тел ьно большим набо ром приемов умственно й деятельности — умеет проводить срав нение , анализ , синтез , абстрагирование и т . п . В его деятельности значительное место занимает контр оль результатов и самоконт роль . Он может самостоятельно спланировать и организов ать свою учебную деятельность. На внеурочных занятиях в X, а особенно в XI класс е само стоятельность некоторых учащихся носит творческий характер , что находит выражение в самостоятельной постановке ими проб лемы ил и задачи , в составлении плана ее решения и отыскании способа решения ; в пост ановке гипотез и их проверке ; в проведе ни и собственных исследований и т . п . Поэтому целесообразно выделить высший , четвертый уро вень самостоятельности — твор ческую самостоятельность. В соответствии с выделенными уровнями осуществляются четыре этапа учебной ра боты . Каждый этап связан с предыдущим и с последующим и должен обеспечивать перехо д школьника с одного уровня самостоятельности на следующий. Первый этап ставит целью выход учащег ося на первый уро вень самостоятельнос ти . На этом этапе учитель знакомит уча щихся с элементарными формами познавательной деяте льности , сообщая математические сведения , разъясня ет , как можно было бы получить их само стоятельно . С этой целью он использует лек ционную форму работы или рассказ , а з атем организует са мостоятельную деятельност ь учеников , состоящую в изучении доступного материала учебного пособия и решении задач , пред варительно разработанных учителем в кач естве примеров . Эта деятельность учителя и учащихся на занятиях соответствует а н алогичной деятельности на уроках математи ки и довольно хорошо освещена в методичес кой литературе. На данном этапе учитель организует эл ементарную работу учащихся по математическому самообучению : просмотр матема тических телевизионны х передач во внеурочное время ; самостоя тельное решение конкурсных задач из сборников , содержащих подробные решения или указания для контроля , причем с обяза тельным услови ем использования при решении некоторых из них знаний , полученных на внеурочных заняти ях. На втором этапе уче бной работы преподаватель привлекает учащихся к обсуждению различных способов решения познава тельной з адачи и отбору наиболее рационального из них ; поощря ет самостоятельную деятельность ученик ов в сравнении способов . Учитель знакомит учащихся с общими и частными указа ниями , содействующими самостоятельному выбору пут ей решения по знавательной задачи с помощью уже изученных приемов , спосо бов и методов решения аналогичных задач . На этом этапе педагог широко пользуется методом эвристичес кой беседы , организу е т самостоятельно е изучение учащимися нового материала по учеб ным пособиям , раскрывающим материал конкретно -индуктивным способом и содержащим большое чи сло примеров различной трудности. На втором этапе продолжается работа п о организации мате матического са мообучения учащихся и руководству им . Ученики решают задачи из сборников конкурсных задач , готов ятся к школьным математическим олимпиадам (об ычно условия подго товительных задач помещаются на специальных стендах ), чита ют доступную н аучно-популярную литер а туру , например , из серии «Популярные лекции по математике» . Руководство само обучением учащихся на этом этапе носит фронтально-индиви дуальный характер : учитель дает рекомендации по самообучению всем учащимся , но выполнение их не обязате льно для всех ; пом о щь преподавател я в организации математического самообу чения учащихся носит индивидуальный характер. Третий этап наиболее ответственный , так как именно на этом этапе должен произо йти выход всех учащихся на основной уро в ень самостоятельности . Здесь большое внимани е уделяется организации самостоятельного изучени я учащимися дополни тельной учебной , научно-популя рной и научной математической литературы , соп ровождаемого решением достаточного числа задач ; подготовке рефератов и докладов по математ ике ; творче ск о му обсуждению докладов и сообщений на семинарах , органи зуемых н а факультативе (постановка и обсуждение гипот ез , задач-проблем , математических методов , возможны х обобщений или приложений изученной теории и т . п .); участию в школьном конкурсе по решению за д ач , в школьной , районной или город ской олимпиаде по матем атике , в заочных олимпиадах и конкур сах ; с амообучению учащихся с учетом индивидуальных интересов и потребностей. Например , в качестве рефератов могут б ыть предложены классические задачи древности : о квадратуре круга , об удвоении куба , о трисекции угла . Примером приложения из ученной теории может служить использование ме тода координат к решению геометрических задач . Как задача-проблема ставится вопрос о вы числении работы переменной силы и т . п. На это м этапе учитель организует на занятиях обобщающие беседы по самосто ятельно изученному школьниками материалу ; систематизирует знания учащихся ; учит при емам обобщения и абстрагирования ; проводит ра збор найденных учениками реше ний ; показывает , как надо работ ать над задачей (все ли случаи рассмотрены , нет ли особых сл учаев , нельзя ли обобщить най денный способ , чтобы можно было применять его к целом у классу задач , и т . п .); учит выдвигать гипотезы , искать пути предвари тельного обосн ования или опровержения их индуктивны м путем , а затем находить дедуктивные дока зательства ; с помощью проб лемных вопросов соз дает дискуссионную обстановку , направляет ход дискуссии и подводит итоги и т . д . Бол ьшое внимание уде ляется индивидуальной работе с учащимися : оказание нена в яз чивой помощи некоторым ученикам в поисках путе й решения задачи , в подготовке к математич еским олимпиадам , в подборе литературы для рефератов и их письменном оформлении , в ор ганизации и осуществлении математического с амообучения. Рассмотрим примеры . (См отри приложение 1) На четвертом этапе основной формой яв ляется индивидуаль ная работа с учащимися , диф ференцируемая с учетом позна вательных интересов и потребностей и профессиональной ориен таци и каждого . Самостоятельная работа школьника н а этом этапе раб оты носит поисково-исс ледовательский характер и требует творческих усилий . Учащиеся самостоятельно в течение сра внительно длительного срока решают задачи , сф ормулирован ные ими самими или выбранные из предложенных учителем . Помощь преподавателя зак лючаетс я в проведении индивидуаль ных консультаций , в рекомендации соответствующей ли тературы , в организации обсуждения найденного учеником доказатель ства и т . п. На этом этапе проводятся конкурсы по решению задач , само стоятельная подготовка по бедителей школьной математической олимпиады к районной (областной , республиканской ) олимпиад е (под руководством учителя ); продолжается рабо та по самообу чению. Наиболее глубоко и полно система учеб ной работы по разви тию самостоятельности и творческой активности школьников реализуется при изучении факультативных курсов по ма тематике. 2. ОБУЧЕНИЕ ЧЕРЕЗ ЗАДАЧИ Метод обучения математике через зад ачи базируется на сле дующих дидактических по ложениях : 1) Наилучши й способ обучения учащихся , дающий им созн а тельные и прочные з нания и обеспечи вающий одновременное их умственное развитие , заключается в том , что перед учащимися ста вятся последовательно одна за другой посильны е теорети ческие и практические задачи , решени е которых дает им новые знания. 2) Обучение на немногочисленны х , но хорошо подобр анных задачах , решаемых школьниками в основно м самостоятельно , способствует вовлечению их в творческую исследовательскую работу , последоват ельно проводя через этапы научного поиска , развивает логическое мышление. 3) С пом ощью задач , посл едовательно связанных дру г с другом , можно ознакомить учеников даже с довольно сложными математическими теориями . 4) Усвоение материала курса через последовательное реше ние учебных задач происходит в едином про цессе приобретения новых знаний и их неме дле нного применения , что способствует раз витию познавательной самостоятельности и творчес кой ак тивности учащихся. Можно выделить следующие виды обучения через задачи на внеурочных занятиях. Теоретический материал изучаемого математиче ского курса раскрывается конкретно-индуктивным путем . Учащиеся , решая самостоятельно подгото вительные задачи , анализируя , сравни вая и обоб щая результаты решений , делают индуктивные вы воды . Способы решения конкретных задач таковы , что их можно при менить при решении обобщенной з а дачи (теоремы ), тем са мым ученики готовятся к дедуктивным доказател ьствам , которые они в дальнейшем могут осу ществить самостоятельно при выполне нии нестандар тных упражнений на применение теории и ре шение задач повышенной трудности. Весь материал курса рас крывается через задачи в основном дедуктивным путем . Теоремы курса имеют вид задач . Получен ные знания находят применение при решении тв орческих иссле довательских задач. Материал курса раскрывается через задачи комбинированным путем , т . е . как конкретно- и ндуктивным , так и дедуктивным . В курс е содержатся подготовительные , основные и всп омогатель ные задачи . Для индивидуальных заданий предусмотрены задачи повышенной трудности и творческие , исследовательские задачи. Рассмотрим более подробно каждый из э тих ви дов обучения. Подготовительные задачи чаще всего распол агаются в серии с нарастающей трудностью . Схематически ее можно изобразить так : А 1 — А 2 — А 3 — ...— А п , где А k (k=1, 2, 3, .... n) — подготови тель ная задача , решение которой способствует само стоятельному реш ению учеником задачи A k +1 . Каждая подготовительная задача должна быть небольшой по объему информации , доступ ной для самостоятельного реше ния учащимися . О собенно важно это для первых задач серии , так как успех в решении одной задачи стимулирует самостоятел ь ную деятельность школьника при решении следующей . Задачи под бираются средней трудности , чтобы быть доступ ными всем ученикам . Если взять слишком лег кие задачи , то у сильных учащихся пропадае т интерес к их решению . Слишком же тру дные задачи исключают само с тоятельнос ть решения для всех учащих ся . При возникн овении затруднений учителем должна быть оказа на индивидуальная помощь. В ходе решения задач обязательно их письменное оформле ние , чтобы можно было , охватив решения всех задач серии , просле дить пути к реш ению основной задачи-пр облемы , сделать необходимые обобщения . Если пе рвые задачи серии окажутся для какого-то у ченика слишком легкими , он может по своему усмотрению начать письменное оформление реше ний с задачи A k , т . е . с промежуточной задачи . Тогда для н его подготовитель ная серия зад ач будет иметь вид A k — A k +1 — ...— A n . Решения задач обсуждаются коллективно , анализируются различные способы решения , прово дится обобщение полученных результатов , формулиру ется учебная проблема и намечается способ ее решения . Вс ячески поощряется самосто ятельность суждений , отстаивание учащимися собств енного мнения . (Смотри приложение 2) Идея использования вспомогательных зада ч возникла на основе наблюдений психологов о том , что при решении сложной задачи учащиеся обычно ищут , по д какой из уже известных типов задач можно было бы ее подвести . При этом они , анализируя условие задачи , осуществляя поисковые пробы , пытались вос пользоваться такими данными , кот орые способствовали бы пере носу уже имеющего ся в их опыте (полученном при р е шении ранее встречающихся задач ) общего или частного метода , способа или приема решения задач . То есть способы решения одной задачи оказывают существенное влияние н а самостоятельные поиски решения другой. Вспомогательные задачи являются своеобра зными указа ния ми к самостоятельной деяте льности ученика при решении основ ной задачи . Они отличаются от указаний и готовых решений , имеющихся в большинстве пособий по математике для самостоя тельной подготовки к конкурсным экзаменам , тем , что не содер жа т рецептов, не навязывают способ р ешения автора , не дают готового решения . У казание (подсказка ) во вспомогательной задаче заключается в ее решении : нужно сначала са мостоятельно решить вспомогательную задачу , а затем обнаружить содержа щуюся в ней подсказк у . Обычно дл я ученика одной вспо мога тельной задачи оказывается недостаточно . Тогд а дается вторая вспомогательная задача и т . п . Образуется серия вспомогатель ных задач. Схематично основная задача А вместе с серией вспомога тельных задач A 1 , A 2 , ..., A n изображается та к : А : A 1 — A 2 — ... — A n . Самостоятельная деятельность ученика начинае тся с решения задачи А . Если он за определенное время не сможет решить ее , то приступает к решению первой вспомогательн ой задачи А 1 : А — А 1 . В случае решения задачи А 1 ученик снова возвраща ется к задаче А : А 1 — А . Если зада ча А снова не решается , то он обращает ся к задаче А 2 . Решив задачу A 2 , возвращается к зада че A и т . д . Возможен случай , когда школьник не сможет решить вспомогательную задачу А 1 . Тогда он приступает к решению задачи А 2 . Ес ли и A 2 не ре шается , то переходит к задаче A 3 и так до A n . От зад ачи A n ученик последовательно возвращается к задаче А : A n — A n-1 — ... — A 1 — A. Возможна и другая последо в ательность решения задач , что можно изобразит ь схемами : A — A 1 — A — A 2 — A — A 3 — A или A — A 1 — A — A 2 — A 1 — A — A 3 — A 2 — A 1 — A и т . д . Составление вспом огательных задач наталкивается на серьез ные трудности . Для решения задачи Л может соот ветствовать и другая серия вспомогательных за дач , отличная от указанной , например В 1 , В 2 , ..., B k Труднос ть заключается в отборе лу чшей (оптимальной ) серии для конкретного учени ка . Далее , серия может быть и нелинейна . Это получается тогда , когда для реше ния задачи A нужно знать способы решения сразу двух (или н ескольких ) задач . Схематическое изображение это й ситуации таково : A: Трудность заключается в том , что одна и та же серия вспомо гательных зад ач для разных учащихся имеет различную эф фек тивность : для одних серия слишком дл инна (содержит много задач ), для других кор отка , одни и те же задачи для одних слишком легки , для других трудны и т . п . Кроме того , вспомо гательные задачи навяз ывают ученику определенный путь реше ния . Но и при подсказке учителя также нав я зывается ученику способ решения , намеченн ый учителем. Опыт применения вспомогательных задач на кружковых и факультативных занятиях по м атематике показывает , что школь ники , научившись самостоятельно решать задачи с помощью всп омогательных задач , предложенн ых учителем , замечают , что среди задач A 1 — A 2 — ... — A n имеются и такие , кот орые либо уже были решены ими ранее , л ибо решаются способами (приемами ), известными и м . Это наталкивает учащихся на мысль , что при решении новой задачи следует самосто ятельно отыс кивать среди уже решенных ранее задач родственные данной и использов ать их в качестве вспомогательных . Так вос питывается умение при самостоятельном решении задач возвращаться к своему опыту и пр именять его при продвижении вперед . Последнее является важным звеном умения реш ать задачи , умения самостоятельно приобретать новые знания. Курсы , построенные на задачах , не соде ржат деления мате риала на теоретическую и практическую части . Сами задачи — это и есть изучаемый курс . Поэтому и содержание задач , и спо соб ы решения их направлен ы как на вооружение учащихся теоретическими знаниями , так и на выработку умений и закреп ление навыков . Рассматриваемые определения обычно вклю чаются в содержание задач . Во зможна формулировка опреде лений и отдельно о т задач . Теорем ы имеют тоже вид задач . Если теорема большая или сложная , то она разбивается на последова тельность таких задач , что решение предыдущей облегча ет реше ние последующей , а совокупность этих решений дает доказатель ство теоремы. Любая тема курса состоит из сер ии задач , которые должны быть полность ю решены каждым учеником , так как только в этом случае достигается полное усвоени е определенной математи ческой теории . Однако в индивидуальные задания могут быть включены задачи подготовительные , вспомогательные или з адачи для самоконтроля , которые н е обязательны для всех учеников. Перед изучением темы организуется пропеде втическая работа , ставящая своей целью подгот овить учеников к самостоятель ному активному изучению материала . В частности , здесь выявля ю тся и ликвид ируются пробелы в знаниях и формируются необхо димые предварительные п редставления . Затем учитель в форме лекции или беседы вводит учеников в тему , наме чает круг вопро сов , подлежащих изучению , форму лирует сам или подводит учащихся к самост оятельной форму л ировке первой проблем ной задачи курса. Основным этапом занятий является самостоя тельное решение школьниками задач . Учащимся в процессе самостоятельной ра боты разрешается пользоваться справочниками и конспектами , поско льку необходимо умственное развитие , у мен ие самостоя тельно решить возникающие задачи . Индивидуальная помощь учителя носит характер не подсказки , а направления на верный путь решения , для чего используются вспомогательн ые задачи . Расположение задач в серии по принципу нарастающей труд ности с т имулирует развитие самостоятельности ученико в . Обу чение с использованием серии вспомогате льных задач строится по принципу от сложн ого к простому , от трудного к более ле г кому , что способствует формированию элементов творчества , стимулирует поиски учащими с я способов решения , побуждает их мысли ть . После решения всех задач серии проводи тся коллек тивное обсуждение результатов . Полученн ый материал обобща ется для последующего прим енения полученных знаний при ре шении нового класса задач , делаются теоретически е выводы . Всячески поощряется самостоятельнос ть учеников в суждениях , в отстаивании соб ственного мнения. Как показал опыт , обучение через задач и на внеурочных занятиях обеспечивает развити е самостоятельности и творческой активности у чащихся , способствует пр иобретению прочных и осознанных знаний , развивает умение сравн ивать , обобщать , делать творческие выводы из решенных задач , поддерживает интерес к мате матике. 3. АКТИВИЗАЦИЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ Внеклассная работа по математике в ее традиционном толко ван ии проводится в школе учителем во внеурочное время с учащимися , проявляющими к математике интерес . Эта работа планируется учителем и по мере необходимости корректируется . Государственных программ по внеклассной работе нет , как нет и норм оценок . На внекла с сные мероприятия и занятия ученики пр иходят по желанию , без всякой предварительной записи . Если у ученика пропадет интерес к внеклассной работе , он прекращает свое участие в ней . Активизация внеклассной ра боты по матема тике призвана не только во збуждать и поддерживать у учеников интерес к математике , но и желание зани маться ею дополнительно как под руководством учителя во внеурочное время , так и пр и целенаправленной самостоятельной познавательной деятель ности по приобретению новых знаний , т . е . путем сам о обучения. Одной из форм внеурочной работы являю тся конкурсы , кото рые обладают большим эмоцио нальным воздействием на участ ников и зрителе й . (Смотри приложение 3) 4. ОРГАНИЗАЦИЯ САМООБУЧЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ С УЧЕТОМ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ИНТЕРЕСОВ И ПОТР ЕБНОСТЕЙ В дидактике установлено , что с амостоятельная деятельность учащихся по приобрет ению новых знаний по собственной ини циативе , сверх программы школьного предмета , возможна лишь при наличии серьезного интереса к предмету , увлечения рас сматриваемыми проблемами, переходящего в познавательную потреб ность приобретать сверхпрограммные знания в с оответ ствии с индивидуальными интересами и п отребностями. С помощью анкет , в ходе личных бес ед можно установить , почему тот или иной ученик посещает занятия кружка или факул ь татива . В младшем возрасте , как прави ло , это интерес к математике как любимому учебному предмету , в среднем и стар шем — это либо интерес к математике как науке , ли бо профессионально-ориентационный , связанный с пре дполагаемой послешкольной деятельностью . Н апр имер , в одной из школ с помощью анкет учитель установил , что среди семиклассников , регулярно занимающихся в математических кру жках и факультативах , около 70% считают занятия по математике более любимыми в школе , чем по другим предметам , примерно 20% зая вили о свое м серьезном увлечении математикой как наукой и намерении посвятить математике свою тр удовую послешкольную деятель ность , а около 10% назвали др угие причины , в том числе следо вание за товарищем , увлеченным математикой . Через два года анкетирован ие среди этих же у чеников показало , что лишь 6% изъявляют желание глубоко изучать математику, 83% связывают дополнительные занятия математикой с необходимостью хорошо подготовитьс я к конкурсному экзамену по математике на всту пительных экзаменах в вуз , а 1 1 % указывают другие причины . Для учителя полученные да нные нужны для эффективного при менения индив идуального подхода к школьникам во внеурочной работе , корректировки своей работы , направлен ной на развитие интереса учащихся в ходе внеурочных занятий . В пр отивном случа е первоначальный интерес к математике , не получая под крепления и развития , гаснет и ученики прекращают посещать внеурочные меропри ятия . Более того , они перестают самостоя тельно заниматься математикой дома , фактически прек ращают самообучение. Интерес к математике формируется с по мощью не только математических игр и зани мательных задач , рассмотрения со физмов , разгадыва ния головоломок и т . п ., хотя и они необхо димы , но и логической занимательностью самого математического материала : проблемным изложением , постановкой гипотез , рас смотрение м различных путей решения проблемной ситуации , ре шением задач или доказательством теорем различными методами и другими разработанными в методике математики приемами формирования познавательного интереса к мат е мат ике . (Смотри приложение 4). Разбор предложенных способов проходил на расширенном заседании математического кружка с привлечением учащихся из группы факульта тива и приглашением желающих и вызвал неп оддельный интерес у присутствующих . Необходимые вычисле ния проводились с помощью микро калькулятора. Самообучение школьника невозможно без его умения и жела ния работать с математичес кой книгой. Подбору математической литературы для сам ообучения учи телю приходится уделять большое внимание . Установлено , что уча щиеся по-р азному работают над книгой : одни стараются побыстрее пройти теоретический материал и приступить к реше нию задач , другие больше внимания уделяют , наоборот , теорети ческим вопро сам . Первым не нравятся многословные учебники и пособия , они предпочи т ают к раткие дедуктивные доказатель ства ; вторые предпоч итают книги с подробными выкладками , пояснени ями , индуктивными выводами , примерами и т . п. Так , в одной из школ на факультати вных занятиях в стар ших классах изучение программирования на ЭВМ осуществля лось с помощью программированных пособий . На факуль тативе их при менение оправдывалось тем , что ученикам предлагалось усваивать материал в индивидуальном темпе , затруднения преодолевались с помощью индивидуальных консультаций , а по дведение итогов проводил о сь на за ключительной конференции по книгам. Наблюдения показали , что одни ученики старались быстрее овладеть теорией . Если оказ ывалось , что выбранный ими ответ неверен , то , не пытаясь разобраться в причинах ошиб ки , они искали другой ответ , пока не на ходили верный , позволявший им читать оче редную запрограммированную порцию учебной ин форм ации . В процессе изучения материала пособия многие из этих учащихся составляли свой шифр — последовательность стра ниц для чтения с пр авильными ответами , а затем вторично пр очитывали эти страницы в указанной ши фром последователь ности , т . е . читали как о бычную книгу , а не как программирован ное пособие , составленное по разветвленной программе . Другим , наоборот , нравилось разбирать все замечания автора . Даже убедившись , что в ы бранный ими ответ верен , они читали ука зания и к другим , неверным отве там , чтобы рассмотреть при водимые примеры и уяснить причины возможных неправильных ответов. При переходе в дальнейшем к изучению обычной литературы по программированию на ЭВМ первые ис пытывали чувство удовлетв орения от того , что их не переби вают то и дело вопросами , на которые нужно давать ответ , а в случае неверного выбора еще и перечитывать назидания автора . втор ые же не всегда удовлетворялись краткостью авторского из ложения матери а ла , по стоянно обращались к учителю с вопроса ми , чувствуя необходимость в его комментариях. С учетом избирательного отношения ученико в к математичес ким книгам можно рекомендоват ь для самообучения не одно учебное пособи е , а несколько , чтобы ученики сами вы бирали то , которое им больше подходит по их индивидуальным склонностям и спосо бностям . Правда , учителю в этом случае тру днее конт ролировать их самостоятельную работу над книгой и проводить консультации . Зато самообучение школьников будет более эф фективн ы м. Большое значение для стимулирования самоо бучения имеет организация обзоров изученной у чащимися математической ли тературы , ее обсуждение на читательских конференциях или в устны х журналах . Обычно делается это так . Объяв ляется тема для обзора и рекоменду етс я литература . Список литературы помещается на стенде . Там же указывается расписание кон суль таций . Дается время для подготовки , назнач ается место и время проведения. Обзор литературы делают два-три ученика , они же отвечают на вопросы . Впрочем , отв ечать могут и присутствующие ученики и учитель , а также дополнять или поправлять докладчиков . При этом возникают споры , вы двигаются гипотезы , находятся новые решения и т . д . (Смотри приложение 5). Для самостоятельного обучения очень важно воспитать у уча щихся п отребность в самостоятельном поиске знаний и их прило жении . Поэтому одной из задач является пр иобщение учеников к решению задач по свое й инициативе , сверх школьной програм мы . Одним из средств является математическая олимпиада . Школьники убеждаются на со б ствен ном опыте , что , чем больше разнообразных з адач они самостоятельно решают , тем значитель нее их успехи не только в школьной , но и в районной олимпиаде . Это служит до полнительным стимулом к самообучению. Одним из условий самообучения является умение уче ника планировать свою самостоятельную внеурочную познавательную деятельн ость по приобретению знаний . Учитель помогает ему в составлении индивидуальных планов самообучения и в их реали зации . Если в V — VII класс ах самообучение школьника про водится обычно по плану , подсказанному учителем , в VIII — IX классах уже при совместных обсуждениях в индивидуальн ых или групповых беседах и консультациях , то в Х — XI классах эти планы составляются самим учеником . Лишь в некоторых случаях он п рибегает к совету учителя или рук овод ствуется его рекомендациями. Так , в одной из групп факультатива XI класса учащимся было предлож ено уточнить свои индивидуальные планы само о бучения на учебный год . В ходе индивидуаль ных бесед учитель установил , что ученики п ланировали изучение научной и научно-популяр ной математической литературы , посещение математи ческого кружка школьников-старшеклассников при пе динституте и математического лектория при пол итехническом институте , решение задач из сбор ников задач различных математических олимпиад (оте ч ественных и зарубежных ). Большо е место в планах отводилось самостоятельной работе по подготовке к поступлению в вуз : изучению пособий по математике для поступающих в вуз и решению конкурсных задач , публикуемых в «Кванте» , обучению на заочных подготовитель н ых курсах в избранный или родственный вуз и т . д. Выяснив планы учащихся , учитель осуществл ял индивидуаль но-групповое педагогическое руководств о самообучением школь ников , которое проводилось в следующих направлениях : — коррект ирование (уточнение , детализ ация ) индивидуаль н ых планов самообучения ; — подбор учебной , научно-популярной и научной литерату ры по математике для самостоятельного изучени я ; — более конкретное ознакомление каждого учащегося с пред полагаемой дальнейшей деятельностью и уто чнение места и зна чения математических знаний в этой деятельности ; — проведе ние индивидуальных и групповых консультаций п о вопросам самообучения ; — оказани е практической помощи учащимся , готовящимся к поступлению в вузы , где от абитуриентов требуется более уг лубленна я математичес кая подготовка (МГУ , МФТИ , МИФИ и другие институты ). Чтобы педагогическое руководство самообучени ем школьников было эффективным , целесообразно осуществлять определенную дифференциацию , которая по сути будет индивидуально-груп повой . Это обусло влено тем , что учащихся по их познаватель ным интересам и практическим потре бностям , которые они хотят удовлетворить , зани маясь самообразованием , можно разделить на ус ловные группы. К первой группе можно отнести учащихс я с ярко выраженной интеллектуальной потребностью в углубленном изучении матем а тики , обусловленной стержневым познавательным ин тересом в области математики . Предполагаемая послешкольная деятель ность их связана с серь езным изучением математики либо на математиче ских факультетах университето в , либо в технических вузах с углубленным изучение м математики. Во вторую груп пу целесообразно включить учеников , основ ные познавательные интересы которых находятся в о бласти физики , техники , в естественнонаучной и ли производственной сфере , а углубленное и зучение математики вызывается потреб ностями послешкольной деятельности (например , обучением в технических вузах общеинженерных профилей , на естественных факультетах университетов , в техникумах и профтехучилищах по специальностям , связанным с электроникой, робототехникой и другой современной техникой ) . Третью группу составляют школьники , позна вательные ин тересы которых находятся в облас тях , не требующих углублен ных математических знаний . Занятия математикой во внеурочное вре мя у них обусловлено не потребн остями в дальнейшей дея тельности , а исключительно увлечением математикой , возникшим на уроках , любовью к математике как учебному предмету и сфере приложения интеллектуальных сил. И наконец , в отдельную четвертую групп у целесообразно объединить учащихся , п озн авательные интересы которых еще не сформирова лись , характер дальнейшей деятельности не опр е делился , а внеурочные занятия математикой об условлены раз личными , часто случайными мотивами. Включение учеников в ту или иную группу учитель осуществ ляет по ре зультат ам индивидуальных бесед с учащимися и их родителями , а также с помощью анкетирован ия. Контроль за самообучением школьников можн о осуществлять различными способами . Наиболее эффективный — через конкурсы по решению задач и различные математические сос тязания , в том числе и межпредметного содержания . Конк урс желательно проводить в несколько заочных туров и заключительный очный . Решения зад ач участники конкурсов могут давать любые , но за каждый способ решения одной и той же задачи очки начисляются отдел ь но . Это поощряет поиски новых оригинальных путей ре шения задачи , использован ие теоретического материала из различных реко мендованных учителем по определенной теме мат ематических книг. В качестве примера приведем задачи одного из туров заочного конкурса по решению задач в связи с самостояте ль ной работой школьников над темой «Метод координат» . (Смотри приложение 6) Условия задач помещаются на стенде . Там же указываются конкурсные требования , сроки сдачи письменных работ , место и в ремя обсуждения представлен ных решений. Об эффективности математического самообучени я учитель может составить себе представление по многим критериям . При ведем некоторые из них : а ) повышение количества учащихся , изучающи х дополнительную литературу ; б ) смещение стержневого познават ельно го интереса школьников в сторону математики ; в ) массовое применение в самостоятельных , контрольных и зачетных работах , при реше нии конкурсных и олимпиадных задач математиче ских знаний , полученных в результате само обуч ения ; г ) широкое участие в разли чных формах математи ческого образования в системе внешкольного обучения : в заочной математичес кой школе при АПН СССР и МГУ , на з аочных подготовительных курсах для поступающих в вузы , в очных олимпиадах , проводимых н а местах многими вузами (физтехом , МИФИ и др .), в воскресных математических лекториях при вузах и др. Такая информация поможет учителю своеврем енно вносить коррективы в свою работу по организации самообучения учеников , способствоват ь повышению самостоятельности и творческой ак тивности школьников для получения сверхпрог раммных мате матических знаний в соответствии с их индивидуальными инте ресами , потребностями , планами дальнейшей деятельности. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Специфика внеурочных занятий состоит в том , что они про водятся по программам , выбранным уч ителем и обычно согласо ванным с учениками и корректируемым в про цессе обучения с учетом их интеллектуальных возможностей , познавательных интересов и раз вивающихся потребностей . Участие в большинстве видов внеурочных занятий является необязательн ым , за ре з ульта ты работы ученик отметок не получает , хотя его работа та кже оценивается , но другими способами : поощрен иями через стенную печать , награждением грамо тами , книгами , сувенирами и т . п. Само участие ученика в факультативе , в кружковой работе , в математиче ских со стязаниях и олимпиадах уже является диф ферен циацией обучения в школе . Тем не менее и к этой категории школьников целесообразн о для максимального развития их ин дивидуальн ых способностей и интересов , удовлетворения п отреб ностей широко применять ди ф фере нциацию обучения на факуль тативных и кружков ых занятиях и индивидуальный подход в орг анизации и руководстве их самообучения. Приложение 1 1. Учитель предлагает с помощью чертежей исследовать взаимное расположение гиперболы и прямой . Учащиеся выдви гают гипотезы (индуктивным путем ). Затем после исследования системы ура внений можно дать дедуктивное доказательство их (при | k | < | | прямая пересекает гип ерболу в двух точках , а при | k | | | точек пересечения нет ). 2. При изучении комплексных чисел уч еникам предлагается исследовать возможные опреде ления понятий «больше» , «мень ше» во множестве С . Затем на занятии в форме дискуссии опровергаются предлагаемые школьниками определе ния. 3. В кач естве инд ивидуального задания рекомендуется ис следовать возможное обобщение : точкам на прямой ставятся в соответствие действительные числа , точкам на плоскости — комплексные , а точк ам в пространстве ? Результатом исследова ния м огут быть рефераты или сообщения учащ ихся , обсуждае мые коллективно на занятии. Приложение 2 Приведем пример серии задач с нарастающей трудностью по теме «Площадь треугольника» , в которой зада чи 1 — 6 по сути являются подготовительными к задаче 7. 1. Даны точки А (3;0), B (3,5), С (-1;3), К (-1;0). Вычис лите площадь ч етырехугольника А BС K. 2. Даны точки А (2; 0), В (2; 3), С (- 1, 4), К (-3; 2). Е (-3; 0). Вычислите площади многоугольников АВСКЕ и ВСК. 3. Даны точки A ( x 1 ; 0), В (х 2 ; 0), С (х 2 ; y 2 ), К (x 3 ; y 3 ), Е ( x 1 ; y 1 ). Укажите способ вычи слен ия площади треугольника СКЕ , если : 1) x 1 0, у 2 '>0, у 3 '>0. 6. Даны три точки А (х 1 ; у 1 ), В (х 2 ; у 2 ), С (х 3 ; у 3 ) и точки A' (х 1 ; у 1 + m ), В '(х 2 ; у 2 + m ), С ' (х 3 ; у 3 + m ), полученные при па раллельном переносе на век то р (0; m ), причем у 1 + m , у 2 + m , у 3 + m - положительны . Вычислите площадь треугольни ка А 'В 'С '. Объясните , почему результат не зависит от m. 7. Докажите , что площадь треугольника АВС вычисляется по формуле S =0.5| x 1 ( y 2 — y 3 ) + x 2 (у 3 — y 1 ) + x 3 (у 1 — y 2 )| независим о от того , какая из его вершин обозначена через ( x 1 ; y 1 ), (х 2 ; у 2 ), (х 3 ; у 3 ), Приложение 3 Заморочки из бочки На столе ведущего стоит бочонок . Команды пооче редно тянут из бочонка листочки с вопросами . На от вет дается не боле е одной минуты. Если бы завтра шний день был в черашним , то до воскресенья осталось бы ст олько дней , сколько дней прошло от воскрес енья до вчерашнего дня . Какой же сегодня день ? [Среда .] Груша тяжелее , чем яблоко , а яблоко тяжелее перси ка . Что тяжелее — груша или персик ? [Груша .] Два ма льчика играли на гитарах , а один на балалай ке . На чем играл Ю ра , если Миша с Петей и Петя с Юро й играли на разных инструментах ? [ Юра играл на гитаре .] На столе стояли три стакана с яго дами . Вова съел один стакан и поставил его на стол . Сколько стаканов на с толе ? [Три .] Шел муж с женой , да брат с сес трой . Несли 3 яблока и разделили поровну . Сколько было людей ? [Трое : муж , жена и брат же ны .] У Марины было целое яблоко , две по ловинки и че тыре четвертинки . Сколько было у нее яблок ? [Три .] Батон разрезали на т ри части . Сколько сделали раз резов ? [Два .] Мальчик Пат и собачонка весят два пустых бочонка . Собачонка без мальчишки вес ит две больших коврижки . А с коврижкой поросенок весит — видите — бочонок . Сколько весит мальчик Пат ? Сосчитай-ка поросят . [Мальчик вес и т столько же , сколько два поросенка .] Один мальчик говорит другому : «Если ты дашь мне половину своих денег , я смог у купить карандаш» . Сколько денег было у второго мальчика ? [Установить невозможно .] Петя и Миша имеют фамилии Белов и Чернов . Ка кую фамилию имеет каждый из ребят , если Петя на год старше Бело ва . [Петя Чернов и Миша Белов .] Человек , стоявший в очереди перед Вами , был выше человека , стоявшего после того человека , который стал перед Вами . Был ли человек , стоявший перед вами выше Ва с ? [Да .] Как в древние времена называли «ноль» ? [Цифра .] Может ли при сложении двух чисел получиться нуль , если хотя бы одно из чисел не равно нулю ? [Нет , не может .] В каком случае сумма двух чисел р авна первому сла гаемому ? [Когда второе слагаем ое — ну ль .] Который сейча с час , если оставшаяс я часть суток вдвое больше прошедшей ? [8 часов .] В семье я рос один на свете, И это правда , до конца . Но сын того , кто на портрете , Сын моего отца. Кто изображен на портрете ? [Мой отец .] Игра «Счастливый случай» Вопросы для первой к оманды Отрезок , соединяющий точку окружности с ее цен тром . [Радиус .] Отрезок , соединяющий вершину треугольника с се рединой противолежащей стороны . [Медиана .] Два созвездия , по форме напоминающие к овш . [Большая Медведица и Малая Медведица .] Аппарат для по дводного плавания . [ Акваланг .] Утверждение , требующее доказательства . [Теорема .] График квадратичной функции . [Парабола .] Цифровая оценка успехов . [Балл .] Множество точек плоскости , равноудаленных от конца данного отрезка . [Перпендикуляр , прове денный к сер едине данного отрезка .] Угол , смежный с углом треугольника при данной вершине . [Внешний угол .] Прямоугольник , у которого все стороны равны . [Квадрат .] Мера веса драгоценных камней . [Карат .] Часть круга , ограниченная дугой и ее хордой . [Сегмент .] Направленн ый отрезок . [Вектор .] Отношение противолежащего катета к гипоте нузе . [Синус .] Угол , меньший прямого . [Острый .] Вопросы для второй команды Отрезок , соединяющий любые две точки окружнос ти . [Хорда .] Утверждение , не вызывающее сомнений . [Аксио ма .] Устройство для запуска двигателя вну треннего сго рания . [Стартер .] Вид местности , открывающийся с возвышен ного места . [Панорама .] Самая знаменитая звезда в созвездии М алой Медве дицы . [Полярная .] График линейной функции . [Прямая .] Множество точек пространства , равно удаленных от данной точки . [Сфера .] Кусок , часть чего-нибудь . [Осколок .] Сумма длин всех сторон многоугольника . [Пери метр .] Ромб , у которого все углы прямые . [ Квадрат .] Зажим для присоединения , закрепления проводов . [Клемма .] Самая большая хорда в круге . [Д иаметр .] Простейшее геометрическое понятие . [Точка .] Часть прямой , ограниченная с одной сторо ны . [Луч .] Отношение прилежащего катета к ги потенузе . [Ко синус .] Игра «Счастливый случай» Вопросы для первой команды Результат сложения . [Сумма .] Сколько цифр вы знаете ? [Десять .] Наименьшее трехзначное число. [100.] Сотая часть числа . [Процент .] Прибор для измерения углов . [Транспортир .] Сколько сантиметров в метре ? [Сто .] Сколько секунд в минуте ? [Шестьдесят .] Результат деления . [Частное .] Сколько лет в одном веке ? [Сто .] Наименьшее простое число. [2.] Сколько нулей в записи числа миллион ? [Шесть .] Величина прямого угла. [90° .] Когда произведение равно нулю ? [Когда хотя бы один из множителей равен 0.] График прямой пропорциональности . [Прямая , проходящая через начало координат .] Что больше : 2 м или 201 см ? [201 см .] Что меньше : или 0,5? [ ] Радиус окружности 6 см . Ди аметр ? [12 см .] Какую часть ча са составляют 20 мин ? [1/3.] Сколько сантиметров составляет 1% метра ? [1с м .] Корень уравнения |х | = — 1. [Не суще ствует .] Вопросы для второй команды Результат вычитания . [Разность .] На какое число нельзя д елить ? [На 0.] Наибольшее двузначное число. [99.] Прибор для построения окружнос ти . [Циркуль .] Сколько граммов в килограмме ? [Тысяча .] Сколько минут в часе ? [Шест ьдесят .] Сколько часов в сутках ? [ Двадцать четыре .] Результат умножения . [Произве дение .] Сколько дней в году ? [365 или 366.1 Наименьшее натуральное число. [1.] Сколько нулей в записи чис ла миллиард ? [Девять .] Величина развернутого угла. [180° .] Когда частное равно нулю ? [ Когда делимое равно нулю .] График обратно й пропорциональности . [Г ипербола .] Что больше : 2 дм или 23 см ? [23 см .] 4 Что мен ьше : 0,7 ил и [0,7.] Диаметр окружности 8 м . Радиус ? [4 м .] Какую часть мину ты сос тавляют 15 с ек ? [1/4.] Найдите 10% тонны. [100 кг .] Корень уравнения |х | = — 7. [Не сущ ествует .] Игра «Третий лишний» Командам поочередно демонстрируются наз вания различных объектов . Два из них имеют какое-то общее свойство , а третий нет . Команды до лжны быстро отве тить , какой объект не обладает свойством , которое прису ще двум другим . Например : гектар , сотка , метр ; ярд , тонна , центнер ; конус , квадрат , призма ; треугольник , прямоугольник , ромб ; прямая , отрезок , угол. Игра «Что ? Где ? Когда ?» Вопросы Инд ийцы называли его «сунья» , арабские матема тики «сифр» . Как мы называе м его сейчас ? [Нуль .] Именно этот учебник был первой в России энцик лопедией математических знаний . По нему учился М.В.Ломоносов , называвший его «в ратами учености» . Именно в нем впервые на русском языке введены по нятия «ча стное» , «произведение» , «делитель» . Назо вите учебн ик и его автора . [«Арифметика» Л.Ф.Маг ницкого .] Это название происходит от двух латин ских слов «дважды» и «секу» , буквально «ра ссекающая на две части» . О чем идет ре чь ? [О биссектрисе .] Ее знакомство с математикой произошло в 8 лет , так как стены ее комнаты были оклеены листами с записями лекций по математике профессора Остроград ского . Кто она ? [С.В.Ковале вская .] На могиле этого великого математика б ыл установ лен памя тник с изображением шара и описанного око ло него цилиндра . Почти спустя 200 лет по этому чертежу нашли его могилу . Кто этот математик ? [Ар химед .] В древности такого термина не было . Его ввел в XVII в . французский математик Франсуа Виет , в переводе с лати нского он о значает «спица колеса» . Что это ? [Ра диус .] В черном ящике лежит предмет , название которого произошло от греческого слова , о значающего в пере воде «игральная кость» . Терм ин ввели пифагорейцы , а используется этот предмет в играх маленькими детьми . Что в черном ящике ? [Куб , кубик .] Слово , которым обозначается эта фигура , в перево де с греческого означает «натянут ая тетива» . Что это ? [Гипотенуза .] Точка , от которой в Венгрии отсчитываю т расстоя ния , отмечена особо . В этом месте в центре Будапешта ст оит памятный знак . Кто или что было удостоено та ких почестей ? [Нуль .] Воины римского консула Марцелла были надолго задержаны у стен города Сиракузы мощными машина ми-катапультами . Их изобрел для защиты своего горо да великий ученый Архимед . В черном ящике лежит еще одно изобретение Архимеда , которое и поныне исполь зуется в быту . Что в черном ящике ? [Вин т Ар химеда , используется в мясорубке .] Мы , в отличие от египтян , римлян и славян , пользу емся позиционной системой счис ления , в которой все го десять цифр и «ступеньки» . Что это за «ступеньки» , пере числите их . [Это разряды , их всего три - едини цы , десятки , сотни .] Математическая пьеса «Бесплатный об ед» (по мотивам рассказа Я.И.Пврвльмана ) Ведущий . Десять друзей , решив отпразд новать окон чание средней школы в рестор ане , заспорили у стола о том , как усест ься вокруг него. Первый друг . Давайте сядем в алфавитно м порядке , тогда никому не будет обидно. Второй . Нет , сядем по возрасту. Третий . Нет , нет . Сядем по успеваемости. Четвертый . Да ну , опять успеваемость , э т о вам не школа , да и надоело. Пятый . Тогда я предлагаю сесть по росту , и никаких проблем. Шестой . Устроим здесь физкультуру не т ак ли ? Седьмой . Придется тащить жребий. Восьмой . Ну уж нет. Девятый . По-моему уже обед остыл. Десятый . Я сажусь , где придется , и вы , давайте за мной. Появляется официант . Вы еще не рассели сь ? Моло дые друзья мои , оставьте ваши прер екания . Сядьте за стол , как кому придется , и выслушайте меня. Все сели как попало. Официант . Пусть один из вас запишет , в каком по рядке вы сейчас сидите . Завтра вы снова явитесь сюда пообедать и разместитесь уже в ином порядке . Посл е завтра сядете опять по-иному и т.д ., пока не перепро буете все возможные размещения . Когда же придет черед вновь сесть так , как сидите вы сегодня , тогда - обещаю торжест венно — я начну ежедневно угощать вас всех беспла тно самыми изысканными обедами. Друзья почти хором . Вот здорово , будем каждый день обедать у вас. Друзья сидят за столом , выходит вперед ведущий. Ведущий . Друзьям не пришлось дождаться того дня , когда они стали п итаться бесплатно . И не потому , что официант н е исполнил обещания , а потому что число всех возможных размещений за столом чересч ур вели ко . Оно равняется ни мало , ни м ного — 3 628 800. Такое число дней составляет , как не трудно сосчитать , почти 10 000 лет ! Вам может показать ся невероятным , чтобы 10 человек могли размещаться таким большим числом различных способов . Проверьте расчет сами. Возьмите любое трехзначное число . Допусти м 475. Сколько еще можно получить чисел путем перестанов к и цифр этого трехзначног о числа ? Переставляя цифры , получим следующие числ а : 475, 457, 745, 754, 547, 574. Всего 6 п ерестановок. Добавим четвертую цифру : 4753. Сколько будет тогда перестановок ? 4753, 4735, 4573, 4537, 4357, 4375, ... Если каждую цифру поставить на первое место , т о три другие дадут шесть перестановок , значит , так как у нас всего четыре цифры , то всего получится 4-6=24 перестанов ки . То есть , когда взяли три цифры , пер е становок получили 6, а когда взяли четыре цифры , пе рестановок оказалось 24. В первом случае число перес тановок равно 1 2 3=6, во втором 1 2 3 4=24. А в нашей сценке число перестан овок равно 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10=3628800. Математическая пьеса «Задача о чашах» Много лет тому назад очень бога тый шах объявил , что хочет разделить насле дство между своими детьми , а того , кто поможет ему в этом , он щедро вознаградит. Шах . В трех чашах хранил я жемчуг . Подарю я стар шему сыну половину же мчужин из первой чаши , сред нему — одну треть из второй , а младшему только чет верть жемчужин из последней . Затем я подарю с тар шей дочери 4 лучшие жемчужины из первой чаши , ср едней — 6 жемчужин из второй чаши , а младше й дочери — две жемчужины из третьей чаши . И осталось у меня в первой чаше 38, во второй — 12, а в третьей — 19 жемчужин . Сколько жемчужин у меня должно быть в каждой чаше сначала ? Хв атит ли моего жемчуга для детей и мен я ? Ведущий . И вот из разных стран при шли во дворец мудрецы . И первый му дрец , поклонившись шаху , на писал свое решение задачи. Первый мудрец . Если в первой чаше , о великий шах , останется 38 жемчужин , а подаришь ты старшей доче ри 4 жемчужины , то эти 42 жемчужины и составят половину того , что х ранится сейчас в чаше . Ведь вто рую половину ты подаришь старшему сыну ? Значит , в первой чаше у тебя должно быть сейчас 84 жемчужи ны . Во второй чаше должно остаться 12 жемчужин , да 6 ты по даришь другой дочери . Эти 18 жемчужин со ставят 2/3 того , что храни тся во второй чаше сейчас . Вед ь 1/3 ты пожалуешь среднему сыну . Значит , во второй чаше должно быть сейчас 27 жемчужин . Ну а в третьей чаше должно остаться 19 жемчужин , да две ты подаришь младшей дочери . Выходит , что 21 жемчу жина - это 3/4 содержимого т рет ьей чаши . Ведь 1/4 ты отдаешь младшему сыну . З начит , сейчас в третьей чаше должно быть 28 жемчужин. Во время рассказа первый мудрец запис ывает реше ние на доске : 38+4=42 42:1/2=42 2=84, 12+6=18 18:2/3=18-3/2=27, 19+2=21 21:3/4=21 4/3=28. Шах . Как же ты смог решить такую сложную задачу ? Первый мудрец . Мне помогла арифметика — наука о числах , их свойствах и правилах вычис ления . Это очень древняя наука , ей уже много тысяч лет. Шах . Твое реш ение мне понятно , но оно длинное и утомило меня . А что скажет другой мудрец ? Второй мудрец . О великий шах ! Я обо значу число жемчужин в первой чаше буквой х . Тогда старшему сыну ты подаришь ж емчужин . Если из х вычесть его половину , да еще 4 жемчужины , что ты подаришь старшей дочери , то остаток нужно приравнять к 38. Вот какое уравнение я составил : x- -4=38. Решим его . = 42, а х в два раза больше , т.е . х = 84. Выходит , чт о в первой чаше должно быть сейча с 84 жемчужины . А для второй чаши , если количество же мчу жин в ней обозначить через у , получим уравнение y - -6=12 Решим его . у == 18, а теперь 18 разделим на 2 и умножим на 3. Значит у = 27. Рассуждая также , соста вляем уравнение для третьей чаши : z- -2=19, z =21, z =28. Следовательно , в третьей чаше должно быть сейчас 28 жемчужин. Шах . Твое решение мне тоже нравится . И ответы у вас одинаковые . Но нельзя ли решить это все как-то покороче ? Тогда молча вышел третий мудрец и показал плакат , где написано следующее : х — ах — b = с. Ответ : х = . Шах . А здесь я ничего не пон имаю ! И вообще один ответ , а у меня три чаши ! Третий мудрец . Все три ответа уместили сь в одном , о великий шах ! Ведь задачи про чаши совершенно одинаковые , лишь числ а разные . Я и объединил три решения в одном , обозначив через х неизвестное числ о жемчу жин , через а - часть жемчужин , подаренных сыну , че рез b - число жемчужин , отданных дочери , а через с — число оставшихся в чаше жемчужин . Теперь можно под ставлять вместо этих букв числа , которые ты задашь в своей зада че , и будут получаться правильные ответы . Будь у тебя 100 чаш, 100 сыновей, 100 дочерей , одного моего уравнения х ватит , чтобы получить все ответы. Шах . Да , твое решение , оказывается , само е удобное . Как же ты придумал его ? Третий мудрец . Мне помогла решить эту задачу алгеб ра , как и второму мудрецу . В этой науке буквы исполь зуются наравне с чи слами . Под буквой можно разумет ь любое число . Алгебра дает самое короткое , самое общее решение для многих похожих друг на друга задач. 27 Игра «Аукцион» На торги выносятся задания по к акой-либо теме , причем учитель заране е договаривается с ребятами о теме игры . Пу сть , например , это будет тема VIII клас са «Дейст вия с алгебраическими дробями». В игре участвуют 4 — 5 команд . С помощью кодос копа на экран проецируется лот № 1 — пять заданий на сокращение дробей . Первая команд а в ыбирает задание и назначает ему цену от 1 до 5 баллов . Если цена этой команды выше тех , что дают другие , она получает это задание и выполняет его . Остальные задани я долж ны купить другие команды . Если зада ние решено вер но , команде начисляются баллы — цена этого задания , если неверно , то эти баллы (или часть их ) снимаются . Хочу о братить внимание на одно из достоинств эт ой простой игры : при выборе примера учащие ся сравни вают все пять примеров и мыслен но «прокручивают» в голове ход их решения. Игра «Игрекс» Эту игру можно проводить по люб ой теме на уроке или как внеклассное мероприятие . В классе или в ко ридоре став ят столы , над которыми написаны плакаты : фирма «Поиск» , «Бюро добрых услуг» , «Ш колбанк» , магазин «Сладкоежка» . Во всех фирмах работают стар шеклас сники . В игре мож ет участвовать от 3 до 8 команд . Все команды зачисляются в фирм у «Поиск» и получают одну или несколько задач первого уровня , причем каждая задача оценена в 500 игрексов (игреке — денежная единица , которую пр идумали ребята для этой игры ). Р ешив задачи , команда сдает свою работу снова в фирму «Поиск» . Руководители фирмы проверя ют работы и оценивают их . На основании этих оценок банк выдает заработанные коман дой деньги . Банк также ведет размен денег и выдает кредит . Получив причита ющееся ч исл о игрексов за задания первого уровня , команда приступает к задачам второг о уровня и т.д . Если задача не получает ся , команда обращается за кон сультацией в «Бюро добрых услуг» , заплатив при этом 10% стоимости задачи . Выигрывает та команда , кото рая за работае т больше игрексов . В конце игры все команды покупают в магазине «Сладкое жка» на свои игрексы настоящие конфеты. Приложение 4 Приведем примеры . 1. В IX классе на занятии математического кружка было предложе но найти способ (путь ) решения задачи : «Най ти ур авне ние прямой , параллельной прямой у =2х— 3 и проходящей через точку К ( — 3; 2). Известная из аналитической геометрии форм ула у — у 0 = k (х— х 0 ) учащимся не сообщалась . Они самос тоятельно должны были отыскать путь решения предложенной задачи. Решение. Способ 1. Уч еник предложил на прямой у =2х — 3 р ассмотреть любую точку , например А (0; — 3). Затем в формулах параллель ного переноса х '=х +а , у '=у + b подобрать параметры а и b так , чтобы точка A перешла в точку К . Это будет перенос : х '=х — 3, у '=у +5. Прямую у =2х — 3 подвергнем найденному параллель ному переносу : x = x'+3; y = у ' — 5; у ' — 5=2 (x'+ 3) — 3; у ' — 5= 2 x'+6 — 3; y'==2x'+8. После отбрасывания штрихов при пе ременных по лучим ответ : y =2 x +8. Способ 2. Ученик предлож ил воспользоваться известным фактом , что в уравнениях паралл ельных прямых угловые коэф фициенты равны . Поэтому искомое уравнение будет вида у =2х +b. Последнему удовлетворяют координаты точки K , по этому 2=2 (-3)+b, b =8. Ответ : y ==2 x +8. 2. В стенгазете математического кружка IX класса б ыло предложено самостоятельно найти с пособы решения задачи : «Вы числить расстояние от точки M (3; 2) до прямой Зх +4y+1=0» . Ученики нашли различные способ ы решения. Способ 1. Воспользоваться готовой формулой , найденной учеником в учеб нике по аналитической геометрии для вту зов : где Ах +Ву +С =0 — ур авнение прямой , a x 0 и у 0 — координаты заданной точки. Способ 2. На прямой Зх - 4y + 1 = 0 способом п одбора найти две точки , например A (1; 1) и В ( — 3; — 2). В треугольнике АВМ вычислить длины сторон и по формуле Герона площадь . Затем на йти высоту , проведенную к стороне АВ . Это и будет искомое расстояние. Способ 3. Найти уравнение прямой , проходящей чере з точку М перпендикулярно данной прямой . З атем вы числить координаты х 0 и у 0 точки пересечения этих прямых . Расстоян ие от точки (3; 2) до точки (x 0 ; у 0 ) и будет искомым. Приложение 5 Приведем темы некоторых обзоров. Тема 1. Координаты и задание фигур на плоскости (IX кл .). Литература. 1) Гельфанд И . М ., Глаголе ва Е . Г ., Кириллов А . А . Метод координат. — М .: Наука , 1971. 2) Понтряги н Л . С . Знакомство с высшей математикой : Метод координат. — М .: Наука, 1977. Тема 2. Задачи на максимум и минимум (X кл .). Литера т у р а. 1) Нагибин Ф . Ф . Экстре мумы. — М .: Просвещение, 1966. 2) Б е л я е в а Э . С ., М онахов В . М . Экстремальные задачи. — М .: Просвещение, 1977. Тема 3. Применение математики при решении нема темати ческих задач (XI кл .). Литература. 1) Маковецкий П . В . Смотри в ко рень ! — М .: Наука, 1984. 2) Попов Ю . П ., Пухначев Ю.В . Математика в об разах. — М .: З нание, 1989. 3) Тихонов А . Н ., Костомаров Д . П . Рассказы о п рикладной математике. — М .: Наука, 1979. Приложение 6 1. Между морскими портами А и В регулярно курсируют теплоходы одного и т ого же номерного рейса , отправляясь еже дневно в полдень из одного порта и пр ибывая ровно в полдень через 7 суток в др угой порт . Стоянка в порту — сутки . Сколько тепл оходов своего рейса встретит команда одного из них на пути от Л до В ? Как ово наименьшее число те плоходов , необходи мых для бесперебойного обеспечения расписания движений ? 2. Найти геометрическое место середин всех хорд окр ужности , проходящих через заданную внутри ее точку. 3. Найти геометрическое место оснований перпендикуляров , опущенных из данной то чки М на прямые , проходящие через точку К. 4. Механизм представляет собой равнобед ренный треугольник СОК , в котором равные с тороны ОС и ОК являются упругими (несжимае мыми и нерастяжимыми ) стержнями , а сторона КС — ре зиновый (равномерно растяжимый ) шнур . Какую линию опишет середина стороны КС , если сторону ОК оставить неподвижной , а сторону ОС вращать вокруг точки О ? Список литературы 1. Под р ед . Ю.К . Бабанского . Выбор методов обучения в средней школе . М ., 1981. 2. Бабанский Ю.К . Раци ональная организация деятельности учащихся . М .: Знание 1981г . (Серия «Педагогика и психо логия» ; № 3 1981г .) 3. Айзенберг М.И . Обучение учащихся методам самостоятельной р аботы . Математика в школе . 1982 № 6. 4. Кулько Б.А ., Цехместров а Т.Д . Формирование у уч ащихся умений учиться : пособие для учителей . – М .: П росвещение , 1989 г. 5. Минскин Е.М . От игр ы к знаниям . – М .: Просвещение , 1987 г. 6. Сефибеков С.Р . Внекласс ная работа по математике . – М .: Просвещени е , 1988 г. 7. Пичурин Л.Ф . Воспитание учащихся при обу чении математике : кни га для учителя . – М .: Просвещение , 1987 г. 8. Самостоятельная деятельно сть учащихся при обучении математике (Формиро вание умений самостоятельной работы ): Сборник статей , составитель Демидова С.И . – М .: Прос вещение , 1990 г. 9. Степанов В.Д . Вне урочная работа по математике в средней шк оле . – М .: Просвещение , 1991 г. 10. Веселая математика . Журнал «Математика в школе № 6, 1999 г.»
© Рефератбанк, 2002 - 2018