Развитие самостоятельности школьников при обучении математике

ВВЕДЕНИ Е Внеурочные занятия по математике пр изваны решить целый комп лекс задач по углубленному математическому образованию , всесто роннему развитию индивидуальных способностей шко ль ников и максимальному удовлетворению их ин тересов и потреб ностей . Для непрерывного обуч ения и самообразования особо важное значение имеют раз в итие самостоятельности и творче ской активности учащихся и воспита ние навыков самообучения по математике . В психолого-педагогической литературе само стоятельность обычно понимается как способность личности к деятельности , совершаемой без вмешательства со с тороны . Само стоятельность личн ости не выступает как изолированное качество личности , она тесно связана с независимос тью , инициативностью , активностью , настойчивостью , самокритичностью и самоконтро лем , уверенностью в себе . Важной составной частью самосто я тельности как черты личности школьника является познаватель ная самостоятельность , котор ая трактуется как его готовность (способность и стремление ) своими силами вести целенап равлен ную познавательно-поисковую деятельность. Самостоятельная познавательная деятельность учеников мо жет носить как характер прос того воспроизведения , так и пре образовательный , творческий . При этом в применении к уча щим ся под творческой подразумевается такая д еятельность , в резуль тате которой самостоятельно открывается нечто н о вое , ориги на льное , отражающее индивидуальные склонности , спосо бности и индивидуальный опыт школьника . Филос офское определение творческой деятельности как деятельности , результатом которой является откр ытие нового оригинального продукта , имеющего обществе н ную ценность , по отношению к учащемуся неприемле мо . Хотя бывают случа и , когда деятельность учеников выходит за рамки выполнения обычных учебных заданий и носит твор ческий характер , а ее результато м становится продукт , имеющий общественную це нность : ориг и нальное доказательство и звестной теоремы , доказательство новой теоремы , составление новой программы для электронно-выч ислительных машин и т . п ., как правило , в учебной деятельности творчество проявляется в субъективном плане , как открытие нового для себя, нового в своем умствен ном развитии , имеющего лишь субъективную но ви зну , но не имеющего общественной ценности. Творческий (продуктивный ) и воспроизводящий (репродук тивный ) характер самостоятельной деятельно сти связаны между собой . Воспроизводящая само стоя тельная деятельность служит первоначальн ым этапом развития самостоятельности , этапом на копления фактов и действий по образцу , и имеет тенденцию к пе рерастанию в творч ескую деятельность . В рамках воспроизводя щей деятельности уже имеют место элементы тво р чества . В свою очередь , в твор ческой деятельности также содержатся элементы действий по образцу. В дидактике установлено , что развитие самостоятельности и творческой активности учащих ся в процессе обучения математи ке происходит непрерывно от низшего уровн я самосто ятельности , воспроизводящей самостоятельности , к в ысшему уровню , твор ческой самостоятельности , посл едовательно проходя при этом определенные уро вни самостоятельности . Руководство процессом пере растания воспроизводящей самостоятельности в тво рчес к ую состоит в осуществлении п оследовательных взаимосвязанных , взаимопроникающих и обусловливающих друг друга этапов учебной работы , каждый из которых обеспечивает выхо д учаще гося на соответствующий уровень самос тоятельности и творче ской активности . Задач а воспитания и развития самостоятел ь ности личности в обучении заключается в управлении процессом перерастания воспроизводящей самостоятельности в творческую. 1. СИСТЕМА УЧЕБНОЙ РАБОТЫ ПО Р АЗВИТИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОСТИ И ТВОРЧЕС КОЙ АК ТИВНОСТИ ШКОЛЬНИКОВ По характеру учебной самостоятельной деятельности уча щихся на внеурочных занятиях по математике целесообразно выделить четыре уровня самостоятельности. Первый уровень — простейшая воспроизводящая са мостоя тельность . Особенно ярко проявляется этот уровень в самостоя тельной деятельности ученика при выполнении упражнений , требующих простого воспроизведения имеющихся знаний , когда учащийся , имея правило , образец , самостоятельн о решает зада чи , упражнения на его примен ение. Ученик , вы шедший на первый уровень самостоятельности , но не достигший еще вт орого уровня , при решении задачи исполь зует имеющийся у него образец , или правило , и ли метод и т . п ., если же задача не соответствует образцу , то он решить ее не может . При этом он даже не предпринимает попыток как-то изменить сит уацию , а чаще всего отказывается от решени я новой задачи под тем предлогом , что такие задачи еще не решались. Первый уровень самостоятельности прослеживае тся в учебно-познавательной деятельности многих учеников , при ступивших к внеурочным зан ятиям . Затем одни учащиеся быстро выходят на следующий уровень , другие задерживаются на нем определен ное время . Большинство из н их в процессе изучения материала выходят на более высокий уровень самостоятельности , ч ем первый. Так как первый уровень развития самостоятельности просле живается у многих ученик ов в начале занятий , то задача учи теля заключается не в игнорировании его , полагая , что школь ники , посещающие внеурочные занятия , уже достигли более высоких уровней , а в обеспе ч ении перехода всех уч ащихся на следующие , более высокие уровни самостоятельности. Второй уровень самостоятельности можно на звать вариативной самостоятельностью . Самостоятельнос ть на этом уровне про является в умении из нескольких имеющихся правил , определе ний , образцов рассуждении и т . п . в ыбрать одно определенное и использовать его в процессе самостоятельного решения новой задачи . На данном уровне самостоятельности учащийся показы вает умение производить мыслитель ные операции , такие , как сравнение , анали з . Анализируя условие задачи , ученик переби рает имеющиеся в его распоряжении средства для ее решения , сравнивает их и выбирает более действенное. Третий уровень самостоятельности — частично-поиск овая са мостоятельность . Самостоятельность ученика на этом ур овне проявляется в умени и из имеющихся у него правил и предпи саний для решения задач определенного раздела математики формиро вать (комбинировать ) обобщенны е способы для решения более широкого клас са задач , в том числе и из других разделов мате матики ; в у мении осуще ствить перенос математических методов , рассмотрен ных в одном разделе , на решение задач из другого раздела или из смежных учебных предметов ; в стремлении найти «собственное правило» , прием , способ деятельности ; в поис ках нескольких способов реше н ия з адачи и в выборе наиболее рацио нального , изящного ; в варьировании условия задачи и сравнении соответствующих способов решения и т . п . В названных прояв лениях самостоятельност и присутствуют элементы творчества. Ученик на этом уровне обладает относи тел ьно большим набо ром приемов умственно й деятельности — умеет проводить срав нение , анализ , синтез , абстрагирование и т . п . В его деятельности значительное место занимает контр оль результатов и самоконт роль . Он может самостоятельно спланировать и организов ать свою учебную деятельность. На внеурочных занятиях в X, а особенно в XI класс е само стоятельность некоторых учащихся носит творческий характер , что находит выражение в самостоятельной постановке ими проб лемы ил и задачи , в составлении плана ее решения и отыскании способа решения ; в пост ановке гипотез и их проверке ; в проведе ни и собственных исследований и т . п . Поэтому целесообразно выделить высший , четвертый уро вень самостоятельности — твор ческую самостоятельность. В соответствии с выделенными уровнями осуществляются четыре этапа учебной ра боты . Каждый этап связан с предыдущим и с последующим и должен обеспечивать перехо д школьника с одного уровня самостоятельности на следующий. Первый этап ставит целью выход учащег ося на первый уро вень самостоятельнос ти . На этом этапе учитель знакомит уча щихся с элементарными формами познавательной деяте льности , сообщая математические сведения , разъясня ет , как можно было бы получить их само стоятельно . С этой целью он использует лек ционную форму работы или рассказ , а з атем организует са мостоятельную деятельност ь учеников , состоящую в изучении доступного материала учебного пособия и решении задач , пред варительно разработанных учителем в кач естве примеров . Эта деятельность учителя и учащихся на занятиях соответствует а н алогичной деятельности на уроках математи ки и довольно хорошо освещена в методичес кой литературе. На данном этапе учитель организует эл ементарную работу учащихся по математическому самообучению : просмотр матема тических телевизионны х передач во внеурочное время ; самостоя тельное решение конкурсных задач из сборников , содержащих подробные решения или указания для контроля , причем с обяза тельным услови ем использования при решении некоторых из них знаний , полученных на внеурочных заняти ях. На втором этапе уче бной работы преподаватель привлекает учащихся к обсуждению различных способов решения познава тельной з адачи и отбору наиболее рационального из них ; поощря ет самостоятельную деятельность ученик ов в сравнении способов . Учитель знакомит учащихся с общими и частными указа ниями , содействующими самостоятельному выбору пут ей решения по знавательной задачи с помощью уже изученных приемов , спосо бов и методов решения аналогичных задач . На этом этапе педагог широко пользуется методом эвристичес кой беседы , организу е т самостоятельно е изучение учащимися нового материала по учеб ным пособиям , раскрывающим материал конкретно -индуктивным способом и содержащим большое чи сло примеров различной трудности. На втором этапе продолжается работа п о организации мате матического са мообучения учащихся и руководству им . Ученики решают задачи из сборников конкурсных задач , готов ятся к школьным математическим олимпиадам (об ычно условия подго товительных задач помещаются на специальных стендах ), чита ют доступную н аучно-популярную литер а туру , например , из серии «Популярные лекции по математике» . Руководство само обучением учащихся на этом этапе носит фронтально-индиви дуальный характер : учитель дает рекомендации по самообучению всем учащимся , но выполнение их не обязате льно для всех ; пом о щь преподавател я в организации математического самообу чения учащихся носит индивидуальный характер. Третий этап наиболее ответственный , так как именно на этом этапе должен произо йти выход всех учащихся на основной уро в ень самостоятельности . Здесь большое внимани е уделяется организации самостоятельного изучени я учащимися дополни тельной учебной , научно-популя рной и научной математической литературы , соп ровождаемого решением достаточного числа задач ; подготовке рефератов и докладов по математ ике ; творче ск о му обсуждению докладов и сообщений на семинарах , органи зуемых н а факультативе (постановка и обсуждение гипот ез , задач-проблем , математических методов , возможны х обобщений или приложений изученной теории и т . п .); участию в школьном конкурсе по решению за д ач , в школьной , районной или город ской олимпиаде по матем атике , в заочных олимпиадах и конкур сах ; с амообучению учащихся с учетом индивидуальных интересов и потребностей. Например , в качестве рефератов могут б ыть предложены классические задачи древности : о квадратуре круга , об удвоении куба , о трисекции угла . Примером приложения из ученной теории может служить использование ме тода координат к решению геометрических задач . Как задача-проблема ставится вопрос о вы числении работы переменной силы и т . п. На это м этапе учитель организует на занятиях обобщающие беседы по самосто ятельно изученному школьниками материалу ; систематизирует знания учащихся ; учит при емам обобщения и абстрагирования ; проводит ра збор найденных учениками реше ний ; показывает , как надо работ ать над задачей (все ли случаи рассмотрены , нет ли особых сл учаев , нельзя ли обобщить най денный способ , чтобы можно было применять его к целом у классу задач , и т . п .); учит выдвигать гипотезы , искать пути предвари тельного обосн ования или опровержения их индуктивны м путем , а затем находить дедуктивные дока зательства ; с помощью проб лемных вопросов соз дает дискуссионную обстановку , направляет ход дискуссии и подводит итоги и т . д . Бол ьшое внимание уде ляется индивидуальной работе с учащимися : оказание нена в яз чивой помощи некоторым ученикам в поисках путе й решения задачи , в подготовке к математич еским олимпиадам , в подборе литературы для рефератов и их письменном оформлении , в ор ганизации и осуществлении математического с амообучения. Рассмотрим примеры . (См отри приложение 1) На четвертом этапе основной формой яв ляется индивидуаль ная работа с учащимися , диф ференцируемая с учетом позна вательных интересов и потребностей и профессиональной ориен таци и каждого . Самостоятельная работа школьника н а этом этапе раб оты носит поисково-исс ледовательский характер и требует творческих усилий . Учащиеся самостоятельно в течение сра внительно длительного срока решают задачи , сф ормулирован ные ими самими или выбранные из предложенных учителем . Помощь преподавателя зак лючаетс я в проведении индивидуаль ных консультаций , в рекомендации соответствующей ли тературы , в организации обсуждения найденного учеником доказатель ства и т . п. На этом этапе проводятся конкурсы по решению задач , само стоятельная подготовка по бедителей школьной математической олимпиады к районной (областной , республиканской ) олимпиад е (под руководством учителя ); продолжается рабо та по самообу чению. Наиболее глубоко и полно система учеб ной работы по разви тию самостоятельности и творческой активности школьников реализуется при изучении факультативных курсов по ма тематике. 2. ОБУЧЕНИЕ ЧЕРЕЗ ЗАДАЧИ Метод обучения математике через зад ачи базируется на сле дующих дидактических по ложениях : 1) Наилучши й способ обучения учащихся , дающий им созн а тельные и прочные з нания и обеспечи вающий одновременное их умственное развитие , заключается в том , что перед учащимися ста вятся последовательно одна за другой посильны е теорети ческие и практические задачи , решени е которых дает им новые знания. 2) Обучение на немногочисленны х , но хорошо подобр анных задачах , решаемых школьниками в основно м самостоятельно , способствует вовлечению их в творческую исследовательскую работу , последоват ельно проводя через этапы научного поиска , развивает логическое мышление. 3) С пом ощью задач , посл едовательно связанных дру г с другом , можно ознакомить учеников даже с довольно сложными математическими теориями . 4) Усвоение материала курса через последовательное реше ние учебных задач происходит в едином про цессе приобретения новых знаний и их неме дле нного применения , что способствует раз витию познавательной самостоятельности и творчес кой ак тивности учащихся. Можно выделить следующие виды обучения через задачи на внеурочных занятиях. Теоретический материал изучаемого математиче ского курса раскрывается конкретно-индуктивным путем . Учащиеся , решая самостоятельно подгото вительные задачи , анализируя , сравни вая и обоб щая результаты решений , делают индуктивные вы воды . Способы решения конкретных задач таковы , что их можно при менить при решении обобщенной з а дачи (теоремы ), тем са мым ученики готовятся к дедуктивным доказател ьствам , которые они в дальнейшем могут осу ществить самостоятельно при выполне нии нестандар тных упражнений на применение теории и ре шение задач повышенной трудности. Весь материал курса рас крывается через задачи в основном дедуктивным путем . Теоремы курса имеют вид задач . Получен ные знания находят применение при решении тв орческих иссле довательских задач. Материал курса раскрывается через задачи комбинированным путем , т . е . как конкретно- и ндуктивным , так и дедуктивным . В курс е содержатся подготовительные , основные и всп омогатель ные задачи . Для индивидуальных заданий предусмотрены задачи повышенной трудности и творческие , исследовательские задачи. Рассмотрим более подробно каждый из э тих ви дов обучения. Подготовительные задачи чаще всего распол агаются в серии с нарастающей трудностью . Схематически ее можно изобразить так : А 1 — А 2 — А 3 — ...— А п , где А k (k=1, 2, 3, .... n) — подготови тель ная задача , решение которой способствует само стоятельному реш ению учеником задачи A k +1 . Каждая подготовительная задача должна быть небольшой по объему информации , доступ ной для самостоятельного реше ния учащимися . О собенно важно это для первых задач серии , так как успех в решении одной задачи стимулирует самостоятел ь ную деятельность школьника при решении следующей . Задачи под бираются средней трудности , чтобы быть доступ ными всем ученикам . Если взять слишком лег кие задачи , то у сильных учащихся пропадае т интерес к их решению . Слишком же тру дные задачи исключают само с тоятельнос ть решения для всех учащих ся . При возникн овении затруднений учителем должна быть оказа на индивидуальная помощь. В ходе решения задач обязательно их письменное оформле ние , чтобы можно было , охватив решения всех задач серии , просле дить пути к реш ению основной задачи-пр облемы , сделать необходимые обобщения . Если пе рвые задачи серии окажутся для какого-то у ченика слишком легкими , он может по своему усмотрению начать письменное оформление реше ний с задачи A k , т . е . с промежуточной задачи . Тогда для н его подготовитель ная серия зад ач будет иметь вид A k — A k +1 — ...— A n . Решения задач обсуждаются коллективно , анализируются различные способы решения , прово дится обобщение полученных результатов , формулиру ется учебная проблема и намечается способ ее решения . Вс ячески поощряется самосто ятельность суждений , отстаивание учащимися собств енного мнения . (Смотри приложение 2) Идея использования вспомогательных зада ч возникла на основе наблюдений психологов о том , что при решении сложной задачи учащиеся обычно ищут , по д какой из уже известных типов задач можно было бы ее подвести . При этом они , анализируя условие задачи , осуществляя поисковые пробы , пытались вос пользоваться такими данными , кот орые способствовали бы пере носу уже имеющего ся в их опыте (полученном при р е шении ранее встречающихся задач ) общего или частного метода , способа или приема решения задач . То есть способы решения одной задачи оказывают существенное влияние н а самостоятельные поиски решения другой. Вспомогательные задачи являются своеобра зными указа ния ми к самостоятельной деяте льности ученика при решении основ ной задачи . Они отличаются от указаний и готовых решений , имеющихся в большинстве пособий по математике для самостоя тельной подготовки к конкурсным экзаменам , тем , что не содер жа т рецептов, не навязывают способ р ешения автора , не дают готового решения . У казание (подсказка ) во вспомогательной задаче заключается в ее решении : нужно сначала са мостоятельно решить вспомогательную задачу , а затем обнаружить содержа щуюся в ней подсказк у . Обычно дл я ученика одной вспо мога тельной задачи оказывается недостаточно . Тогд а дается вторая вспомогательная задача и т . п . Образуется серия вспомогатель ных задач. Схематично основная задача А вместе с серией вспомога тельных задач A 1 , A 2 , ..., A n изображается та к : А : A 1 — A 2 — ... — A n . Самостоятельная деятельность ученика начинае тся с решения задачи А . Если он за определенное время не сможет решить ее , то приступает к решению первой вспомогательн ой задачи А 1 : А — А 1 . В случае решения задачи А 1 ученик снова возвраща ется к задаче А : А 1 — А . Если зада ча А снова не решается , то он обращает ся к задаче А 2 . Решив задачу A 2 , возвращается к зада че A и т . д . Возможен случай , когда школьник не сможет решить вспомогательную задачу А 1 . Тогда он приступает к решению задачи А 2 . Ес ли и A 2 не ре шается , то переходит к задаче A 3 и так до A n . От зад ачи A n ученик последовательно возвращается к задаче А : A n — A n-1 — ... — A 1 — A. Возможна и другая последо в ательность решения задач , что можно изобразит ь схемами : A — A 1 — A — A 2 — A — A 3 — A или A — A 1 — A — A 2 — A 1 — A — A 3 — A 2 — A 1 — A и т . д . Составление вспом огательных задач наталкивается на серьез ные трудности . Для решения задачи Л может соот ветствовать и другая серия вспомогательных за дач , отличная от указанной , например В 1 , В 2 , ..., B k Труднос ть заключается в отборе лу чшей (оптимальной ) серии для конкретного учени ка . Далее , серия может быть и нелинейна . Это получается тогда , когда для реше ния задачи A нужно знать способы решения сразу двух (или н ескольких ) задач . Схематическое изображение это й ситуации таково : A: Трудность заключается в том , что одна и та же серия вспомо гательных зад ач для разных учащихся имеет различную эф фек тивность : для одних серия слишком дл инна (содержит много задач ), для других кор отка , одни и те же задачи для одних слишком легки , для других трудны и т . п . Кроме того , вспомо гательные задачи навяз ывают ученику определенный путь реше ния . Но и при подсказке учителя также нав я зывается ученику способ решения , намеченн ый учителем. Опыт применения вспомогательных задач на кружковых и факультативных занятиях по м атематике показывает , что школь ники , научившись самостоятельно решать задачи с помощью всп омогательных задач , предложенн ых учителем , замечают , что среди задач A 1 — A 2 — ... — A n имеются и такие , кот орые либо уже были решены ими ранее , л ибо решаются способами (приемами ), известными и м . Это наталкивает учащихся на мысль , что при решении новой задачи следует самосто ятельно отыс кивать среди уже решенных ранее задач родственные данной и использов ать их в качестве вспомогательных . Так вос питывается умение при самостоятельном решении задач возвращаться к своему опыту и пр именять его при продвижении вперед . Последнее является важным звеном умения реш ать задачи , умения самостоятельно приобретать новые знания. Курсы , построенные на задачах , не соде ржат деления мате риала на теоретическую и практическую части . Сами задачи — это и есть изучаемый курс . Поэтому и содержание задач , и спо соб ы решения их направлен ы как на вооружение учащихся теоретическими знаниями , так и на выработку умений и закреп ление навыков . Рассматриваемые определения обычно вклю чаются в содержание задач . Во зможна формулировка опреде лений и отдельно о т задач . Теорем ы имеют тоже вид задач . Если теорема большая или сложная , то она разбивается на последова тельность таких задач , что решение предыдущей облегча ет реше ние последующей , а совокупность этих решений дает доказатель ство теоремы. Любая тема курса состоит из сер ии задач , которые должны быть полность ю решены каждым учеником , так как только в этом случае достигается полное усвоени е определенной математи ческой теории . Однако в индивидуальные задания могут быть включены задачи подготовительные , вспомогательные или з адачи для самоконтроля , которые н е обязательны для всех учеников. Перед изучением темы организуется пропеде втическая работа , ставящая своей целью подгот овить учеников к самостоятель ному активному изучению материала . В частности , здесь выявля ю тся и ликвид ируются пробелы в знаниях и формируются необхо димые предварительные п редставления . Затем учитель в форме лекции или беседы вводит учеников в тему , наме чает круг вопро сов , подлежащих изучению , форму лирует сам или подводит учащихся к самост оятельной форму л ировке первой проблем ной задачи курса. Основным этапом занятий является самостоя тельное решение школьниками задач . Учащимся в процессе самостоятельной ра боты разрешается пользоваться справочниками и конспектами , поско льку необходимо умственное развитие , у мен ие самостоя тельно решить возникающие задачи . Индивидуальная помощь учителя носит характер не подсказки , а направления на верный путь решения , для чего используются вспомогательн ые задачи . Расположение задач в серии по принципу нарастающей труд ности с т имулирует развитие самостоятельности ученико в . Обу чение с использованием серии вспомогате льных задач строится по принципу от сложн ого к простому , от трудного к более ле г кому , что способствует формированию элементов творчества , стимулирует поиски учащими с я способов решения , побуждает их мысли ть . После решения всех задач серии проводи тся коллек тивное обсуждение результатов . Полученн ый материал обобща ется для последующего прим енения полученных знаний при ре шении нового класса задач , делаются теоретически е выводы . Всячески поощряется самостоятельнос ть учеников в суждениях , в отстаивании соб ственного мнения. Как показал опыт , обучение через задач и на внеурочных занятиях обеспечивает развити е самостоятельности и творческой активности у чащихся , способствует пр иобретению прочных и осознанных знаний , развивает умение сравн ивать , обобщать , делать творческие выводы из решенных задач , поддерживает интерес к мате матике. 3. АКТИВИЗАЦИЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ Внеклассная работа по математике в ее традиционном толко ван ии проводится в школе учителем во внеурочное время с учащимися , проявляющими к математике интерес . Эта работа планируется учителем и по мере необходимости корректируется . Государственных программ по внеклассной работе нет , как нет и норм оценок . На внекла с сные мероприятия и занятия ученики пр иходят по желанию , без всякой предварительной записи . Если у ученика пропадет интерес к внеклассной работе , он прекращает свое участие в ней . Активизация внеклассной ра боты по матема тике призвана не только во збуждать и поддерживать у учеников интерес к математике , но и желание зани маться ею дополнительно как под руководством учителя во внеурочное время , так и пр и целенаправленной самостоятельной познавательной деятель ности по приобретению новых знаний , т . е . путем сам о обучения. Одной из форм внеурочной работы являю тся конкурсы , кото рые обладают большим эмоцио нальным воздействием на участ ников и зрителе й . (Смотри приложение 3) 4. ОРГАНИЗАЦИЯ САМООБУЧЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ С УЧЕТОМ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ИНТЕРЕСОВ И ПОТР ЕБНОСТЕЙ В дидактике установлено , что с амостоятельная деятельность учащихся по приобрет ению новых знаний по собственной ини циативе , сверх программы школьного предмета , возможна лишь при наличии серьезного интереса к предмету , увлечения рас сматриваемыми проблемами, переходящего в познавательную потреб ность приобретать сверхпрограммные знания в с оответ ствии с индивидуальными интересами и п отребностями. С помощью анкет , в ходе личных бес ед можно установить , почему тот или иной ученик посещает занятия кружка или факул ь татива . В младшем возрасте , как прави ло , это интерес к математике как любимому учебному предмету , в среднем и стар шем — это либо интерес к математике как науке , ли бо профессионально-ориентационный , связанный с пре дполагаемой послешкольной деятельностью . Н апр имер , в одной из школ с помощью анкет учитель установил , что среди семиклассников , регулярно занимающихся в математических кру жках и факультативах , около 70% считают занятия по математике более любимыми в школе , чем по другим предметам , примерно 20% зая вили о свое м серьезном увлечении математикой как наукой и намерении посвятить математике свою тр удовую послешкольную деятель ность , а около 10% назвали др угие причины , в том числе следо вание за товарищем , увлеченным математикой . Через два года анкетирован ие среди этих же у чеников показало , что лишь 6% изъявляют желание глубоко изучать математику, 83% связывают дополнительные занятия математикой с необходимостью хорошо подготовитьс я к конкурсному экзамену по математике на всту пительных экзаменах в вуз , а 1 1 % указывают другие причины . Для учителя полученные да нные нужны для эффективного при менения индив идуального подхода к школьникам во внеурочной работе , корректировки своей работы , направлен ной на развитие интереса учащихся в ходе внеурочных занятий . В пр отивном случа е первоначальный интерес к математике , не получая под крепления и развития , гаснет и ученики прекращают посещать внеурочные меропри ятия . Более того , они перестают самостоя тельно заниматься математикой дома , фактически прек ращают самообучение. Интерес к математике формируется с по мощью не только математических игр и зани мательных задач , рассмотрения со физмов , разгадыва ния головоломок и т . п ., хотя и они необхо димы , но и логической занимательностью самого математического материала : проблемным изложением , постановкой гипотез , рас смотрение м различных путей решения проблемной ситуации , ре шением задач или доказательством теорем различными методами и другими разработанными в методике математики приемами формирования познавательного интереса к мат е мат ике . (Смотри приложение 4). Разбор предложенных способов проходил на расширенном заседании математического кружка с привлечением учащихся из группы факульта тива и приглашением желающих и вызвал неп оддельный интерес у присутствующих . Необходимые вычисле ния проводились с помощью микро калькулятора. Самообучение школьника невозможно без его умения и жела ния работать с математичес кой книгой. Подбору математической литературы для сам ообучения учи телю приходится уделять большое внимание . Установлено , что уча щиеся по-р азному работают над книгой : одни стараются побыстрее пройти теоретический материал и приступить к реше нию задач , другие больше внимания уделяют , наоборот , теорети ческим вопро сам . Первым не нравятся многословные учебники и пособия , они предпочи т ают к раткие дедуктивные доказатель ства ; вторые предпоч итают книги с подробными выкладками , пояснени ями , индуктивными выводами , примерами и т . п. Так , в одной из школ на факультати вных занятиях в стар ших классах изучение программирования на ЭВМ осуществля лось с помощью программированных пособий . На факуль тативе их при менение оправдывалось тем , что ученикам предлагалось усваивать материал в индивидуальном темпе , затруднения преодолевались с помощью индивидуальных консультаций , а по дведение итогов проводил о сь на за ключительной конференции по книгам. Наблюдения показали , что одни ученики старались быстрее овладеть теорией . Если оказ ывалось , что выбранный ими ответ неверен , то , не пытаясь разобраться в причинах ошиб ки , они искали другой ответ , пока не на ходили верный , позволявший им читать оче редную запрограммированную порцию учебной ин форм ации . В процессе изучения материала пособия многие из этих учащихся составляли свой шифр — последовательность стра ниц для чтения с пр авильными ответами , а затем вторично пр очитывали эти страницы в указанной ши фром последователь ности , т . е . читали как о бычную книгу , а не как программирован ное пособие , составленное по разветвленной программе . Другим , наоборот , нравилось разбирать все замечания автора . Даже убедившись , что в ы бранный ими ответ верен , они читали ука зания и к другим , неверным отве там , чтобы рассмотреть при водимые примеры и уяснить причины возможных неправильных ответов. При переходе в дальнейшем к изучению обычной литературы по программированию на ЭВМ первые ис пытывали чувство удовлетв орения от того , что их не переби вают то и дело вопросами , на которые нужно давать ответ , а в случае неверного выбора еще и перечитывать назидания автора . втор ые же не всегда удовлетворялись краткостью авторского из ложения матери а ла , по стоянно обращались к учителю с вопроса ми , чувствуя необходимость в его комментариях. С учетом избирательного отношения ученико в к математичес ким книгам можно рекомендоват ь для самообучения не одно учебное пособи е , а несколько , чтобы ученики сами вы бирали то , которое им больше подходит по их индивидуальным склонностям и спосо бностям . Правда , учителю в этом случае тру днее конт ролировать их самостоятельную работу над книгой и проводить консультации . Зато самообучение школьников будет более эф фективн ы м. Большое значение для стимулирования самоо бучения имеет организация обзоров изученной у чащимися математической ли тературы , ее обсуждение на читательских конференциях или в устны х журналах . Обычно делается это так . Объяв ляется тема для обзора и рекоменду етс я литература . Список литературы помещается на стенде . Там же указывается расписание кон суль таций . Дается время для подготовки , назнач ается место и время проведения. Обзор литературы делают два-три ученика , они же отвечают на вопросы . Впрочем , отв ечать могут и присутствующие ученики и учитель , а также дополнять или поправлять докладчиков . При этом возникают споры , вы двигаются гипотезы , находятся новые решения и т . д . (Смотри приложение 5). Для самостоятельного обучения очень важно воспитать у уча щихся п отребность в самостоятельном поиске знаний и их прило жении . Поэтому одной из задач является пр иобщение учеников к решению задач по свое й инициативе , сверх школьной програм мы . Одним из средств является математическая олимпиада . Школьники убеждаются на со б ствен ном опыте , что , чем больше разнообразных з адач они самостоятельно решают , тем значитель нее их успехи не только в школьной , но и в районной олимпиаде . Это служит до полнительным стимулом к самообучению. Одним из условий самообучения является умение уче ника планировать свою самостоятельную внеурочную познавательную деятельн ость по приобретению знаний . Учитель помогает ему в составлении индивидуальных планов самообучения и в их реали зации . Если в V — VII класс ах самообучение школьника про водится обычно по плану , подсказанному учителем , в VIII — IX классах уже при совместных обсуждениях в индивидуальн ых или групповых беседах и консультациях , то в Х — XI классах эти планы составляются самим учеником . Лишь в некоторых случаях он п рибегает к совету учителя или рук овод ствуется его рекомендациями. Так , в одной из групп факультатива XI класса учащимся было предлож ено уточнить свои индивидуальные планы само о бучения на учебный год . В ходе индивидуаль ных бесед учитель установил , что ученики п ланировали изучение научной и научно-популяр ной математической литературы , посещение математи ческого кружка школьников-старшеклассников при пе динституте и математического лектория при пол итехническом институте , решение задач из сбор ников задач различных математических олимпиад (оте ч ественных и зарубежных ). Большо е место в планах отводилось самостоятельной работе по подготовке к поступлению в вуз : изучению пособий по математике для поступающих в вуз и решению конкурсных задач , публикуемых в «Кванте» , обучению на заочных подготовитель н ых курсах в избранный или родственный вуз и т . д. Выяснив планы учащихся , учитель осуществл ял индивидуаль но-групповое педагогическое руководств о самообучением школь ников , которое проводилось в следующих направлениях : — коррект ирование (уточнение , детализ ация ) индивидуаль н ых планов самообучения ; — подбор учебной , научно-популярной и научной литерату ры по математике для самостоятельного изучени я ; — более конкретное ознакомление каждого учащегося с пред полагаемой дальнейшей деятельностью и уто чнение места и зна чения математических знаний в этой деятельности ; — проведе ние индивидуальных и групповых консультаций п о вопросам самообучения ; — оказани е практической помощи учащимся , готовящимся к поступлению в вузы , где от абитуриентов требуется более уг лубленна я математичес кая подготовка (МГУ , МФТИ , МИФИ и другие институты ). Чтобы педагогическое руководство самообучени ем школьников было эффективным , целесообразно осуществлять определенную дифференциацию , которая по сути будет индивидуально-груп повой . Это обусло влено тем , что учащихся по их познаватель ным интересам и практическим потре бностям , которые они хотят удовлетворить , зани маясь самообразованием , можно разделить на ус ловные группы. К первой группе можно отнести учащихс я с ярко выраженной интеллектуальной потребностью в углубленном изучении матем а тики , обусловленной стержневым познавательным ин тересом в области математики . Предполагаемая послешкольная деятель ность их связана с серь езным изучением математики либо на математиче ских факультетах университето в , либо в технических вузах с углубленным изучение м математики. Во вторую груп пу целесообразно включить учеников , основ ные познавательные интересы которых находятся в о бласти физики , техники , в естественнонаучной и ли производственной сфере , а углубленное и зучение математики вызывается потреб ностями послешкольной деятельности (например , обучением в технических вузах общеинженерных профилей , на естественных факультетах университетов , в техникумах и профтехучилищах по специальностям , связанным с электроникой, робототехникой и другой современной техникой ) . Третью группу составляют школьники , позна вательные ин тересы которых находятся в облас тях , не требующих углублен ных математических знаний . Занятия математикой во внеурочное вре мя у них обусловлено не потребн остями в дальнейшей дея тельности , а исключительно увлечением математикой , возникшим на уроках , любовью к математике как учебному предмету и сфере приложения интеллектуальных сил. И наконец , в отдельную четвертую групп у целесообразно объединить учащихся , п озн авательные интересы которых еще не сформирова лись , характер дальнейшей деятельности не опр е делился , а внеурочные занятия математикой об условлены раз личными , часто случайными мотивами. Включение учеников в ту или иную группу учитель осуществ ляет по ре зультат ам индивидуальных бесед с учащимися и их родителями , а также с помощью анкетирован ия. Контроль за самообучением школьников можн о осуществлять различными способами . Наиболее эффективный — через конкурсы по решению задач и различные математические сос тязания , в том числе и межпредметного содержания . Конк урс желательно проводить в несколько заочных туров и заключительный очный . Решения зад ач участники конкурсов могут давать любые , но за каждый способ решения одной и той же задачи очки начисляются отдел ь но . Это поощряет поиски новых оригинальных путей ре шения задачи , использован ие теоретического материала из различных реко мендованных учителем по определенной теме мат ематических книг. В качестве примера приведем задачи одного из туров заочного конкурса по решению задач в связи с самостояте ль ной работой школьников над темой «Метод координат» . (Смотри приложение 6) Условия задач помещаются на стенде . Там же указываются конкурсные требования , сроки сдачи письменных работ , место и в ремя обсуждения представлен ных решений. Об эффективности математического самообучени я учитель может составить себе представление по многим критериям . При ведем некоторые из них : а ) повышение количества учащихся , изучающи х дополнительную литературу ; б ) смещение стержневого познават ельно го интереса школьников в сторону математики ; в ) массовое применение в самостоятельных , контрольных и зачетных работах , при реше нии конкурсных и олимпиадных задач математиче ских знаний , полученных в результате само обуч ения ; г ) широкое участие в разли чных формах математи ческого образования в системе внешкольного обучения : в заочной математичес кой школе при АПН СССР и МГУ , на з аочных подготовительных курсах для поступающих в вузы , в очных олимпиадах , проводимых н а местах многими вузами (физтехом , МИФИ и др .), в воскресных математических лекториях при вузах и др. Такая информация поможет учителю своеврем енно вносить коррективы в свою работу по организации самообучения учеников , способствоват ь повышению самостоятельности и творческой ак тивности школьников для получения сверхпрог раммных мате матических знаний в соответствии с их индивидуальными инте ресами , потребностями , планами дальнейшей деятельности. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Специфика внеурочных занятий состоит в том , что они про водятся по программам , выбранным уч ителем и обычно согласо ванным с учениками и корректируемым в про цессе обучения с учетом их интеллектуальных возможностей , познавательных интересов и раз вивающихся потребностей . Участие в большинстве видов внеурочных занятий является необязательн ым , за ре з ульта ты работы ученик отметок не получает , хотя его работа та кже оценивается , но другими способами : поощрен иями через стенную печать , награждением грамо тами , книгами , сувенирами и т . п. Само участие ученика в факультативе , в кружковой работе , в математиче ских со стязаниях и олимпиадах уже является диф ферен циацией обучения в школе . Тем не менее и к этой категории школьников целесообразн о для максимального развития их ин дивидуальн ых способностей и интересов , удовлетворения п отреб ностей широко применять ди ф фере нциацию обучения на факуль тативных и кружков ых занятиях и индивидуальный подход в орг анизации и руководстве их самообучения. Приложение 1 1. Учитель предлагает с помощью чертежей исследовать взаимное расположение гиперболы и прямой . Учащиеся выдви гают гипотезы (индуктивным путем ). Затем после исследования системы ура внений можно дать дедуктивное доказательство их (при | k | < | | прямая пересекает гип ерболу в двух точках , а при | k | | | точек пересечения нет ). 2. При изучении комплексных чисел уч еникам предлагается исследовать возможные опреде ления понятий «больше» , «мень ше» во множестве С . Затем на занятии в форме дискуссии опровергаются предлагаемые школьниками определе ния. 3. В кач естве инд ивидуального задания рекомендуется ис следовать возможное обобщение : точкам на прямой ставятся в соответствие действительные числа , точкам на плоскости — комплексные , а точк ам в пространстве ? Результатом исследова ния м огут быть рефераты или сообщения учащ ихся , обсуждае мые коллективно на занятии. Приложение 2 Приведем пример серии задач с нарастающей трудностью по теме «Площадь треугольника» , в которой зада чи 1 — 6 по сути являются подготовительными к задаче 7. 1. Даны точки А (3;0), B (3,5), С (-1;3), К (-1;0). Вычис лите площадь ч етырехугольника А BС K. 2. Даны точки А (2; 0), В (2; 3), С (- 1, 4), К (-3; 2). Е (-3; 0). Вычислите площади многоугольников АВСКЕ и ВСК. 3. Даны точки A ( x 1 ; 0), В (х 2 ; 0), С (х 2 ; y 2 ), К (x 3 ; y 3 ), Е ( x 1 ; y 1 ). Укажите способ вычи слен ия площади треугольника СКЕ , если : 1) x 1 0, у 2 '>0, у 3 '>0. 6. Даны три точки А (х 1 ; у 1 ), В (х 2 ; у 2 ), С (х 3 ; у 3 ) и точки A' (х 1 ; у 1 + m ), В '(х 2 ; у 2 + m ), С ' (х 3 ; у 3 + m ), полученные при па раллельном переносе на век то р (0; m ), причем у 1 + m , у 2 + m , у 3 + m - положительны . Вычислите площадь треугольни ка А 'В 'С '. Объясните , почему результат не зависит от m. 7. Докажите , что площадь треугольника АВС вычисляется по формуле S =0.5| x 1 ( y 2 — y 3 ) + x 2 (у 3 — y 1 ) + x 3 (у 1 — y 2 )| независим о от того , какая из его вершин обозначена через ( x 1 ; y 1 ), (х 2 ; у 2 ), (х 3 ; у 3 ), Приложение 3 Заморочки из бочки На столе ведущего стоит бочонок . Команды пооче редно тянут из бочонка листочки с вопросами . На от вет дается не боле е одной минуты. Если бы завтра шний день был в черашним , то до воскресенья осталось бы ст олько дней , сколько дней прошло от воскрес енья до вчерашнего дня . Какой же сегодня день ? [Среда .] Груша тяжелее , чем яблоко , а яблоко тяжелее перси ка . Что тяжелее — груша или персик ? [Груша .] Два ма льчика играли на гитарах , а один на балалай ке . На чем играл Ю ра , если Миша с Петей и Петя с Юро й играли на разных инструментах ? [ Юра играл на гитаре .] На столе стояли три стакана с яго дами . Вова съел один стакан и поставил его на стол . Сколько стаканов на с толе ? [Три .] Шел муж с женой , да брат с сес трой . Несли 3 яблока и разделили поровну . Сколько было людей ? [Трое : муж , жена и брат же ны .] У Марины было целое яблоко , две по ловинки и че тыре четвертинки . Сколько было у нее яблок ? [Три .] Батон разрезали на т ри части . Сколько сделали раз резов ? [Два .] Мальчик Пат и собачонка весят два пустых бочонка . Собачонка без мальчишки вес ит две больших коврижки . А с коврижкой поросенок весит — видите — бочонок . Сколько весит мальчик Пат ? Сосчитай-ка поросят . [Мальчик вес и т столько же , сколько два поросенка .] Один мальчик говорит другому : «Если ты дашь мне половину своих денег , я смог у купить карандаш» . Сколько денег было у второго мальчика ? [Установить невозможно .] Петя и Миша имеют фамилии Белов и Чернов . Ка кую фамилию имеет каждый из ребят , если Петя на год старше Бело ва . [Петя Чернов и Миша Белов .] Человек , стоявший в очереди перед Вами , был выше человека , стоявшего после того человека , который стал перед Вами . Был ли человек , стоявший перед вами выше Ва с ? [Да .] Как в древние времена называли «ноль» ? [Цифра .] Может ли при сложении двух чисел получиться нуль , если хотя бы одно из чисел не равно нулю ? [Нет , не может .] В каком случае сумма двух чисел р авна первому сла гаемому ? [Когда второе слагаем ое — ну ль .] Который сейча с час , если оставшаяс я часть суток вдвое больше прошедшей ? [8 часов .] В семье я рос один на свете, И это правда , до конца . Но сын того , кто на портрете , Сын моего отца. Кто изображен на портрете ? [Мой отец .] Игра «Счастливый случай» Вопросы для первой к оманды Отрезок , соединяющий точку окружности с ее цен тром . [Радиус .] Отрезок , соединяющий вершину треугольника с се рединой противолежащей стороны . [Медиана .] Два созвездия , по форме напоминающие к овш . [Большая Медведица и Малая Медведица .] Аппарат для по дводного плавания . [ Акваланг .] Утверждение , требующее доказательства . [Теорема .] График квадратичной функции . [Парабола .] Цифровая оценка успехов . [Балл .] Множество точек плоскости , равноудаленных от конца данного отрезка . [Перпендикуляр , прове денный к сер едине данного отрезка .] Угол , смежный с углом треугольника при данной вершине . [Внешний угол .] Прямоугольник , у которого все стороны равны . [Квадрат .] Мера веса драгоценных камней . [Карат .] Часть круга , ограниченная дугой и ее хордой . [Сегмент .] Направленн ый отрезок . [Вектор .] Отношение противолежащего катета к гипоте нузе . [Синус .] Угол , меньший прямого . [Острый .] Вопросы для второй команды Отрезок , соединяющий любые две точки окружнос ти . [Хорда .] Утверждение , не вызывающее сомнений . [Аксио ма .] Устройство для запуска двигателя вну треннего сго рания . [Стартер .] Вид местности , открывающийся с возвышен ного места . [Панорама .] Самая знаменитая звезда в созвездии М алой Медве дицы . [Полярная .] График линейной функции . [Прямая .] Множество точек пространства , равно удаленных от данной точки . [Сфера .] Кусок , часть чего-нибудь . [Осколок .] Сумма длин всех сторон многоугольника . [Пери метр .] Ромб , у которого все углы прямые . [ Квадрат .] Зажим для присоединения , закрепления проводов . [Клемма .] Самая большая хорда в круге . [Д иаметр .] Простейшее геометрическое понятие . [Точка .] Часть прямой , ограниченная с одной сторо ны . [Луч .] Отношение прилежащего катета к ги потенузе . [Ко синус .] Игра «Счастливый случай» Вопросы для первой команды Результат сложения . [Сумма .] Сколько цифр вы знаете ? [Десять .] Наименьшее трехзначное число. [100.] Сотая часть числа . [Процент .] Прибор для измерения углов . [Транспортир .] Сколько сантиметров в метре ? [Сто .] Сколько секунд в минуте ? [Шестьдесят .] Результат деления . [Частное .] Сколько лет в одном веке ? [Сто .] Наименьшее простое число. [2.] Сколько нулей в записи числа миллион ? [Шесть .] Величина прямого угла. [90° .] Когда произведение равно нулю ? [Когда хотя бы один из множителей равен 0.] График прямой пропорциональности . [Прямая , проходящая через начало координат .] Что больше : 2 м или 201 см ? [201 см .] Что меньше : или 0,5? [ ] Радиус окружности 6 см . Ди аметр ? [12 см .] Какую часть ча са составляют 20 мин ? [1/3.] Сколько сантиметров составляет 1% метра ? [1с м .] Корень уравнения |х | = — 1. [Не суще ствует .] Вопросы для второй команды Результат вычитания . [Разность .] На какое число нельзя д елить ? [На 0.] Наибольшее двузначное число. [99.] Прибор для построения окружнос ти . [Циркуль .] Сколько граммов в килограмме ? [Тысяча .] Сколько минут в часе ? [Шест ьдесят .] Сколько часов в сутках ? [ Двадцать четыре .] Результат умножения . [Произве дение .] Сколько дней в году ? [365 или 366.1 Наименьшее натуральное число. [1.] Сколько нулей в записи чис ла миллиард ? [Девять .] Величина развернутого угла. [180° .] Когда частное равно нулю ? [ Когда делимое равно нулю .] График обратно й пропорциональности . [Г ипербола .] Что больше : 2 дм или 23 см ? [23 см .] 4 Что мен ьше : 0,7 ил и [0,7.] Диаметр окружности 8 м . Радиус ? [4 м .] Какую часть мину ты сос тавляют 15 с ек ? [1/4.] Найдите 10% тонны. [100 кг .] Корень уравнения |х | = — 7. [Не сущ ествует .] Игра «Третий лишний» Командам поочередно демонстрируются наз вания различных объектов . Два из них имеют какое-то общее свойство , а третий нет . Команды до лжны быстро отве тить , какой объект не обладает свойством , которое прису ще двум другим . Например : гектар , сотка , метр ; ярд , тонна , центнер ; конус , квадрат , призма ; треугольник , прямоугольник , ромб ; прямая , отрезок , угол. Игра «Что ? Где ? Когда ?» Вопросы Инд ийцы называли его «сунья» , арабские матема тики «сифр» . Как мы называе м его сейчас ? [Нуль .] Именно этот учебник был первой в России энцик лопедией математических знаний . По нему учился М.В.Ломоносов , называвший его «в ратами учености» . Именно в нем впервые на русском языке введены по нятия «ча стное» , «произведение» , «делитель» . Назо вите учебн ик и его автора . [«Арифметика» Л.Ф.Маг ницкого .] Это название происходит от двух латин ских слов «дважды» и «секу» , буквально «ра ссекающая на две части» . О чем идет ре чь ? [О биссектрисе .] Ее знакомство с математикой произошло в 8 лет , так как стены ее комнаты были оклеены листами с записями лекций по математике профессора Остроград ского . Кто она ? [С.В.Ковале вская .] На могиле этого великого математика б ыл установ лен памя тник с изображением шара и описанного око ло него цилиндра . Почти спустя 200 лет по этому чертежу нашли его могилу . Кто этот математик ? [Ар химед .] В древности такого термина не было . Его ввел в XVII в . французский математик Франсуа Виет , в переводе с лати нского он о значает «спица колеса» . Что это ? [Ра диус .] В черном ящике лежит предмет , название которого произошло от греческого слова , о значающего в пере воде «игральная кость» . Терм ин ввели пифагорейцы , а используется этот предмет в играх маленькими детьми . Что в черном ящике ? [Куб , кубик .] Слово , которым обозначается эта фигура , в перево де с греческого означает «натянут ая тетива» . Что это ? [Гипотенуза .] Точка , от которой в Венгрии отсчитываю т расстоя ния , отмечена особо . В этом месте в центре Будапешта ст оит памятный знак . Кто или что было удостоено та ких почестей ? [Нуль .] Воины римского консула Марцелла были надолго задержаны у стен города Сиракузы мощными машина ми-катапультами . Их изобрел для защиты своего горо да великий ученый Архимед . В черном ящике лежит еще одно изобретение Архимеда , которое и поныне исполь зуется в быту . Что в черном ящике ? [Вин т Ар химеда , используется в мясорубке .] Мы , в отличие от египтян , римлян и славян , пользу емся позиционной системой счис ления , в которой все го десять цифр и «ступеньки» . Что это за «ступеньки» , пере числите их . [Это разряды , их всего три - едини цы , десятки , сотни .] Математическая пьеса «Бесплатный об ед» (по мотивам рассказа Я.И.Пврвльмана ) Ведущий . Десять друзей , решив отпразд новать окон чание средней школы в рестор ане , заспорили у стола о том , как усест ься вокруг него. Первый друг . Давайте сядем в алфавитно м порядке , тогда никому не будет обидно. Второй . Нет , сядем по возрасту. Третий . Нет , нет . Сядем по успеваемости. Четвертый . Да ну , опять успеваемость , э т о вам не школа , да и надоело. Пятый . Тогда я предлагаю сесть по росту , и никаких проблем. Шестой . Устроим здесь физкультуру не т ак ли ? Седьмой . Придется тащить жребий. Восьмой . Ну уж нет. Девятый . По-моему уже обед остыл. Десятый . Я сажусь , где придется , и вы , давайте за мной. Появляется официант . Вы еще не рассели сь ? Моло дые друзья мои , оставьте ваши прер екания . Сядьте за стол , как кому придется , и выслушайте меня. Все сели как попало. Официант . Пусть один из вас запишет , в каком по рядке вы сейчас сидите . Завтра вы снова явитесь сюда пообедать и разместитесь уже в ином порядке . Посл е завтра сядете опять по-иному и т.д ., пока не перепро буете все возможные размещения . Когда же придет черед вновь сесть так , как сидите вы сегодня , тогда - обещаю торжест венно — я начну ежедневно угощать вас всех беспла тно самыми изысканными обедами. Друзья почти хором . Вот здорово , будем каждый день обедать у вас. Друзья сидят за столом , выходит вперед ведущий. Ведущий . Друзьям не пришлось дождаться того дня , когда они стали п итаться бесплатно . И не потому , что официант н е исполнил обещания , а потому что число всех возможных размещений за столом чересч ур вели ко . Оно равняется ни мало , ни м ного — 3 628 800. Такое число дней составляет , как не трудно сосчитать , почти 10 000 лет ! Вам может показать ся невероятным , чтобы 10 человек могли размещаться таким большим числом различных способов . Проверьте расчет сами. Возьмите любое трехзначное число . Допусти м 475. Сколько еще можно получить чисел путем перестанов к и цифр этого трехзначног о числа ? Переставляя цифры , получим следующие числ а : 475, 457, 745, 754, 547, 574. Всего 6 п ерестановок. Добавим четвертую цифру : 4753. Сколько будет тогда перестановок ? 4753, 4735, 4573, 4537, 4357, 4375, ... Если каждую цифру поставить на первое место , т о три другие дадут шесть перестановок , значит , так как у нас всего четыре цифры , то всего получится 4-6=24 перестанов ки . То есть , когда взяли три цифры , пер е становок получили 6, а когда взяли четыре цифры , пе рестановок оказалось 24. В первом случае число перес тановок равно 1 2 3=6, во втором 1 2 3 4=24. А в нашей сценке число перестан овок равно 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10=3628800. Математическая пьеса «Задача о чашах» Много лет тому назад очень бога тый шах объявил , что хочет разделить насле дство между своими детьми , а того , кто поможет ему в этом , он щедро вознаградит. Шах . В трех чашах хранил я жемчуг . Подарю я стар шему сыну половину же мчужин из первой чаши , сред нему — одну треть из второй , а младшему только чет верть жемчужин из последней . Затем я подарю с тар шей дочери 4 лучшие жемчужины из первой чаши , ср едней — 6 жемчужин из второй чаши , а младше й дочери — две жемчужины из третьей чаши . И осталось у меня в первой чаше 38, во второй — 12, а в третьей — 19 жемчужин . Сколько жемчужин у меня должно быть в каждой чаше сначала ? Хв атит ли моего жемчуга для детей и мен я ? Ведущий . И вот из разных стран при шли во дворец мудрецы . И первый му дрец , поклонившись шаху , на писал свое решение задачи. Первый мудрец . Если в первой чаше , о великий шах , останется 38 жемчужин , а подаришь ты старшей доче ри 4 жемчужины , то эти 42 жемчужины и составят половину того , что х ранится сейчас в чаше . Ведь вто рую половину ты подаришь старшему сыну ? Значит , в первой чаше у тебя должно быть сейчас 84 жемчужи ны . Во второй чаше должно остаться 12 жемчужин , да 6 ты по даришь другой дочери . Эти 18 жемчужин со ставят 2/3 того , что храни тся во второй чаше сейчас . Вед ь 1/3 ты пожалуешь среднему сыну . Значит , во второй чаше должно быть сейчас 27 жемчужин . Ну а в третьей чаше должно остаться 19 жемчужин , да две ты подаришь младшей дочери . Выходит , что 21 жемчу жина - это 3/4 содержимого т рет ьей чаши . Ведь 1/4 ты отдаешь младшему сыну . З начит , сейчас в третьей чаше должно быть 28 жемчужин. Во время рассказа первый мудрец запис ывает реше ние на доске : 38+4=42 42:1/2=42 2=84, 12+6=18 18:2/3=18-3/2=27, 19+2=21 21:3/4=21 4/3=28. Шах . Как же ты смог решить такую сложную задачу ? Первый мудрец . Мне помогла арифметика — наука о числах , их свойствах и правилах вычис ления . Это очень древняя наука , ей уже много тысяч лет. Шах . Твое реш ение мне понятно , но оно длинное и утомило меня . А что скажет другой мудрец ? Второй мудрец . О великий шах ! Я обо значу число жемчужин в первой чаше буквой х . Тогда старшему сыну ты подаришь ж емчужин . Если из х вычесть его половину , да еще 4 жемчужины , что ты подаришь старшей дочери , то остаток нужно приравнять к 38. Вот какое уравнение я составил : x- -4=38. Решим его . = 42, а х в два раза больше , т.е . х = 84. Выходит , чт о в первой чаше должно быть сейча с 84 жемчужины . А для второй чаши , если количество же мчу жин в ней обозначить через у , получим уравнение y - -6=12 Решим его . у == 18, а теперь 18 разделим на 2 и умножим на 3. Значит у = 27. Рассуждая также , соста вляем уравнение для третьей чаши : z- -2=19, z =21, z =28. Следовательно , в третьей чаше должно быть сейчас 28 жемчужин. Шах . Твое решение мне тоже нравится . И ответы у вас одинаковые . Но нельзя ли решить это все как-то покороче ? Тогда молча вышел третий мудрец и показал плакат , где написано следующее : х — ах — b = с. Ответ : х = . Шах . А здесь я ничего не пон имаю ! И вообще один ответ , а у меня три чаши ! Третий мудрец . Все три ответа уместили сь в одном , о великий шах ! Ведь задачи про чаши совершенно одинаковые , лишь числ а разные . Я и объединил три решения в одном , обозначив через х неизвестное числ о жемчу жин , через а - часть жемчужин , подаренных сыну , че рез b - число жемчужин , отданных дочери , а через с — число оставшихся в чаше жемчужин . Теперь можно под ставлять вместо этих букв числа , которые ты задашь в своей зада че , и будут получаться правильные ответы . Будь у тебя 100 чаш, 100 сыновей, 100 дочерей , одного моего уравнения х ватит , чтобы получить все ответы. Шах . Да , твое решение , оказывается , само е удобное . Как же ты придумал его ? Третий мудрец . Мне помогла решить эту задачу алгеб ра , как и второму мудрецу . В этой науке буквы исполь зуются наравне с чи слами . Под буквой можно разумет ь любое число . Алгебра дает самое короткое , самое общее решение для многих похожих друг на друга задач. 27 Игра «Аукцион» На торги выносятся задания по к акой-либо теме , причем учитель заране е договаривается с ребятами о теме игры . Пу сть , например , это будет тема VIII клас са «Дейст вия с алгебраическими дробями». В игре участвуют 4 — 5 команд . С помощью кодос копа на экран проецируется лот № 1 — пять заданий на сокращение дробей . Первая команд а в ыбирает задание и назначает ему цену от 1 до 5 баллов . Если цена этой команды выше тех , что дают другие , она получает это задание и выполняет его . Остальные задани я долж ны купить другие команды . Если зада ние решено вер но , команде начисляются баллы — цена этого задания , если неверно , то эти баллы (или часть их ) снимаются . Хочу о братить внимание на одно из достоинств эт ой простой игры : при выборе примера учащие ся сравни вают все пять примеров и мыслен но «прокручивают» в голове ход их решения. Игра «Игрекс» Эту игру можно проводить по люб ой теме на уроке или как внеклассное мероприятие . В классе или в ко ридоре став ят столы , над которыми написаны плакаты : фирма «Поиск» , «Бюро добрых услуг» , «Ш колбанк» , магазин «Сладкоежка» . Во всех фирмах работают стар шеклас сники . В игре мож ет участвовать от 3 до 8 команд . Все команды зачисляются в фирм у «Поиск» и получают одну или несколько задач первого уровня , причем каждая задача оценена в 500 игрексов (игреке — денежная единица , которую пр идумали ребята для этой игры ). Р ешив задачи , команда сдает свою работу снова в фирму «Поиск» . Руководители фирмы проверя ют работы и оценивают их . На основании этих оценок банк выдает заработанные коман дой деньги . Банк также ведет размен денег и выдает кредит . Получив причита ющееся ч исл о игрексов за задания первого уровня , команда приступает к задачам второг о уровня и т.д . Если задача не получает ся , команда обращается за кон сультацией в «Бюро добрых услуг» , заплатив при этом 10% стоимости задачи . Выигрывает та команда , кото рая за работае т больше игрексов . В конце игры все команды покупают в магазине «Сладкое жка» на свои игрексы настоящие конфеты. Приложение 4 Приведем примеры . 1. В IX классе на занятии математического кружка было предложе но найти способ (путь ) решения задачи : «Най ти ур авне ние прямой , параллельной прямой у =2х— 3 и проходящей через точку К ( — 3; 2). Известная из аналитической геометрии форм ула у — у 0 = k (х— х 0 ) учащимся не сообщалась . Они самос тоятельно должны были отыскать путь решения предложенной задачи. Решение. Способ 1. Уч еник предложил на прямой у =2х — 3 р ассмотреть любую точку , например А (0; — 3). Затем в формулах параллель ного переноса х '=х +а , у '=у + b подобрать параметры а и b так , чтобы точка A перешла в точку К . Это будет перенос : х '=х — 3, у '=у +5. Прямую у =2х — 3 подвергнем найденному параллель ному переносу : x = x'+3; y = у ' — 5; у ' — 5=2 (x'+ 3) — 3; у ' — 5= 2 x'+6 — 3; y'==2x'+8. После отбрасывания штрихов при пе ременных по лучим ответ : y =2 x +8. Способ 2. Ученик предлож ил воспользоваться известным фактом , что в уравнениях паралл ельных прямых угловые коэф фициенты равны . Поэтому искомое уравнение будет вида у =2х +b. Последнему удовлетворяют координаты точки K , по этому 2=2 (-3)+b, b =8. Ответ : y ==2 x +8. 2. В стенгазете математического кружка IX класса б ыло предложено самостоятельно найти с пособы решения задачи : «Вы числить расстояние от точки M (3; 2) до прямой Зх +4y+1=0» . Ученики нашли различные способ ы решения. Способ 1. Воспользоваться готовой формулой , найденной учеником в учеб нике по аналитической геометрии для вту зов : где Ах +Ву +С =0 — ур авнение прямой , a x 0 и у 0 — координаты заданной точки. Способ 2. На прямой Зх - 4y + 1 = 0 способом п одбора найти две точки , например A (1; 1) и В ( — 3; — 2). В треугольнике АВМ вычислить длины сторон и по формуле Герона площадь . Затем на йти высоту , проведенную к стороне АВ . Это и будет искомое расстояние. Способ 3. Найти уравнение прямой , проходящей чере з точку М перпендикулярно данной прямой . З атем вы числить координаты х 0 и у 0 точки пересечения этих прямых . Расстоян ие от точки (3; 2) до точки (x 0 ; у 0 ) и будет искомым. Приложение 5 Приведем темы некоторых обзоров. Тема 1. Координаты и задание фигур на плоскости (IX кл .). Литература. 1) Гельфанд И . М ., Глаголе ва Е . Г ., Кириллов А . А . Метод координат. — М .: Наука , 1971. 2) Понтряги н Л . С . Знакомство с высшей математикой : Метод координат. — М .: Наука, 1977. Тема 2. Задачи на максимум и минимум (X кл .). Литера т у р а. 1) Нагибин Ф . Ф . Экстре мумы. — М .: Просвещение, 1966. 2) Б е л я е в а Э . С ., М онахов В . М . Экстремальные задачи. — М .: Просвещение, 1977. Тема 3. Применение математики при решении нема темати ческих задач (XI кл .). Литература. 1) Маковецкий П . В . Смотри в ко рень ! — М .: Наука, 1984. 2) Попов Ю . П ., Пухначев Ю.В . Математика в об разах. — М .: З нание, 1989. 3) Тихонов А . Н ., Костомаров Д . П . Рассказы о п рикладной математике. — М .: Наука, 1979. Приложение 6 1. Между морскими портами А и В регулярно курсируют теплоходы одного и т ого же номерного рейса , отправляясь еже дневно в полдень из одного порта и пр ибывая ровно в полдень через 7 суток в др угой порт . Стоянка в порту — сутки . Сколько тепл оходов своего рейса встретит команда одного из них на пути от Л до В ? Как ово наименьшее число те плоходов , необходи мых для бесперебойного обеспечения расписания движений ? 2. Найти геометрическое место середин всех хорд окр ужности , проходящих через заданную внутри ее точку. 3. Найти геометрическое место оснований перпендикуляров , опущенных из данной то чки М на прямые , проходящие через точку К. 4. Механизм представляет собой равнобед ренный треугольник СОК , в котором равные с тороны ОС и ОК являются упругими (несжимае мыми и нерастяжимыми ) стержнями , а сторона КС — ре зиновый (равномерно растяжимый ) шнур . Какую линию опишет середина стороны КС , если сторону ОК оставить неподвижной , а сторону ОС вращать вокруг точки О ? Список литературы 1. Под р ед . Ю.К . Бабанского . Выбор методов обучения в средней школе . М ., 1981. 2. Бабанский Ю.К . Раци ональная организация деятельности учащихся . М .: Знание 1981г . (Серия «Педагогика и психо логия» ; № 3 1981г .) 3. Айзенберг М.И . Обучение учащихся методам самостоятельной р аботы . Математика в школе . 1982 № 6. 4. Кулько Б.А ., Цехместров а Т.Д . Формирование у уч ащихся умений учиться : пособие для учителей . – М .: П росвещение , 1989 г. 5. Минскин Е.М . От игр ы к знаниям . – М .: Просвещение , 1987 г. 6. Сефибеков С.Р . Внекласс ная работа по математике . – М .: Просвещени е , 1988 г. 7. Пичурин Л.Ф . Воспитание учащихся при обу чении математике : кни га для учителя . – М .: Просвещение , 1987 г. 8. Самостоятельная деятельно сть учащихся при обучении математике (Формиро вание умений самостоятельной работы ): Сборник статей , составитель Демидова С.И . – М .: Прос вещение , 1990 г. 9. Степанов В.Д . Вне урочная работа по математике в средней шк оле . – М .: Просвещение , 1991 г. 10. Веселая математика . Журнал «Математика в школе № 6, 1999 г.»