Три кризиса оснований математики

СОДЕРЖАНИЕ Введение 3 1. Первый кризис оснований математики в греч еский период его развития 4 2. Второй кризис основания математики Проблема обоснования дифференциального исчисления 8 2.1 Метафизическое обоснование бесконечно малых 12 2.2 Физическая и геометрическая аргументация 14 3. Неевклидовы геометрии и развитие философии математики в XIX в. 15 3.1 Философия математики в начале XIX в. 16 3.2 Основные направления философского обоснования неевклидовых геометрий в XIX в. 20 3.3 Становление современной концепции математики 25 4. Третий кризис основ аний математики 29 4.1 Программа логицизма 30 4.1.1 Этап арифметизации задачи 31 4.1.2 Второй этап - аксиоматизация арифметики 32 4.1.3. Причина неудач 34 4.1.4. Философская оценка 36 4.1.5 Критика интуиционистами основ логицизма и проблема бесконечности 41 5. Интуитивистская альтернатива 43 5.1 Ограниченность интуиционизма 46 5.2 Конструктивная ветвь 48 6 Программное заявление 50 6.1 Концепция абсолютного доказательства и метод формализованной аксиоматики 52 6.2 Результаты Геделя 55 Заключение 59 Список использованной литературы 63 Введение Под обоснованием математики понимают демонстрацию возможности существования объектов ее теории и возможной истинности предложений об этих объектах . Иначе говоря , это в опрос о соотношении концептуальных математических построений и объективной реальности , которую они должны в конечной инстанции отображать . Это и задает определенный философский смысл проблеме. В силу специфики математической науки ее объекты постулируются, либо , если и доказываются ссылкой на ранее созданные и принятые теории , то в этих последних они также постулируются . Иных оснований и обоснований для введения математических , равно как и для вынесения претендующих на истинность высказываний о них , у нас н ет . Все иные основания могли бы быть только экспериментально-наблюдательными , но ссылка на эмпирию здесь бьет мимо цели . Остается принять объекты лишь с помощью постулатов , что и требует философского оправдания их права на существование. Следует признать , что сама обоснованность обоснования отнюдь не безальтернативна . Задается вопрос , так ли уж эффективно обоснование математики ? По мнению Л . Витгенштейна , в обосновании нуждается нечто недостаточно устойчивое , иначе какой резон этим заниматься ? Но тогда то, что вовлекается в процедуру обоснования , что служит опорой для него , должно быть на самом деле надежным , стабильным . Однако философия подобными свойствами не обладает . Так может ли она стать обоснованием математики ? Никакая философия , резюмирует Витгенште й н , не может помочь математике , ибо она имеет только математические трудности , но не философские . Как полагают некоторые исследователи , математик вообще не нуждается в чьих-либо оправданиях и поддержках , ибо , по выражению Р . Киплинга , математика сама себе р асстелила ковры ослепительной славы , так кто или что ей способны еще чего-то добавить ! Здесь есть своя правда . Заметим лишь , что , обращаясь к философским обоснованиям , не имею в виду оправдать математику с помощью какой-либо конкретной философской доктрины , что определенно сомнительно (хотя не исключено и это ). Главная цель подобных намерений в том , чтобы понять , каково отношение математической теории в качестве чисто умозрительной структуры к реальности , что стоит за математическим объектом (и стоит ли во о бще что-то ) и чему он обязан своим появлением . По существу это попытки (и прежде всего самих математиков ) выйти за грани собственной науки , соотнести ее содержание с чем-то внешним , предлежащим ему - с действительным миром , с другими продуктами человеческ о й мысли . Но подобные проблемы и называются философскими . Поэтому к ним едва ли применимы такие квалификации , как нечто неустойчивое , зыбкое . Они столь же неустойчивы , сколь устойчивы. Проблема обоснования вызревала исторически , имеет глубокие корни . Вехами на пути становления проблемы были кризисы в основаниях математики , которые и возвели постановку этой темы в ранг актуальных. По выводу математики из третьего кризиса сложились три направления - логицизм , интуиционизм с его конструктивной ветвью и школа фо рмалистов . Расцвет деятельности всех трех течений падает на период конца XIX - начала XX столетий с выходом конструктивизма в более позднее время . Кроме того , отдельной строкой идет речь о современных попытках обоснования , нашедших выражение в теоретико-м н ожественном и категориальном подходах. 1 Первый кризис оснований математики в греческий период его развития Предпосылки для превращения математики в теоретическую науку впервые возникли в Древней Греции . Особенно важную роль в формировании древнегреческо й математики сыграла пифагорейская школа , которая рассматривала математическое знание как необходимую основу всякого другого знания и как наиболее его истинную часть . Истоки математики уходят в глубокую древность . О состоянии древнеегипетской математики позволяют судить такие документы как папирус Ринда и Московский папирус ( XX – XVIII вв . до н . э .), в которых уже содержатся арифметические задачи , которые сводятся по современным понятиям к решению уравнений первой степени с одним неизвестным и довольно обширные сведения из геометрии : египтяне имели достаточно точное правило для вычисления площади круга и точную формулу для нахождения объема усеченной пирамиды . Но развитие математического знания в те времена было очень медленным . Математика существовала исключительно в виде рецептов для решения определенных задач. Если египетская математика представляет собой исключительно систему правил , подчиненных практическим целям , скомбинированных по назначению (сбор налогов , хранение зерна , измерение земли и т . д .) , то вавилонская математика , развившаяся несколькими столетиями позднее , имеет существенно другой вид . Задачи усложняются в своей математической основе . Вавилоняне широко используют теорему Пифагора и свойства пропорций , они решают задачи , сводящиеся к кв а дратным и кубическим уравнениям . Они уже комбинируют задачи по их математическому типу и выдвигают задачи , не связанные непосредственно с практикой , которые представляют , так сказать , уже целенаправленное испытание возможностей математического метода само г о по себе . Математика , возникшая в качестве простого набора практически полезных правил , постепенно превращается в науку , в систему внутренне связанных идей и методов. Появление математики как теоретической дисциплины исторически относят к греческому перио ду ее развития – в VII - VI вв . до н . э .. Дело в том , что ни в египетской , ни в вавилонской математике не найдено какого-либо следа собственно математического , дедуктивного рассуждения , т . е . вывода одних формул и правил на основе других или иначе – математ ического доказательства в обычном смысле слова . Предполагается , что ни египтянам , ни вавилонянам не была известна сама идея дискурсивного доказательства , обеспечивающая необходимость и истинность результата в силу правил логики . Все мысленные рассуждения л огически строго не оформлялись . Вследствие этого точные результаты в догреческой математике часто соседствуют с приближенными без какого-либо различия ; в основу расчетов кладутся ложные посылки , которые , несомненно , были бы отброшены при наличии строгой л о гической теории. Громадный сдвиг , осуществленный в греческой математике , заключается в идее доказательства или дедуктивного вывода . Доказательство первых геометрических теорем приписывается выдающемуся греческому философу Фалесу из Милета (625-547 гг . до н . э .). Согласно Проклу , Фалес впервые доказал , что вертикальные углы равны , что углы при основании равнобедренного треугольника равны и что диаметр делит круг пополам . Математика в Греции , начиная с этого момента , развивалась чрезвычайно быстрыми темпами и прежде всего в плане логической систематизации . Исследования Гиппократа Хиосского , связанные с задачей о квадратуре круга , выполнены на рубеже V и IV вв . до н . э ., т . е . примерно за 100 лет до Евклида , находятся уже на таком уровне строгости , что , как за мечает Д . Стройг , они вполне могли бы быть отнесены и к послеевклидовской математической традиции . Математика оформилась как особая наука , она нашла свой специфический метод – метод дедуктивного доказательства , который определяет ее развитие до настоящего времени. Вавилонская математика уже отчасти подготовила базу для нее . Зачатки математики , выработанные на Востоке , упали в Греции на благодатную почву относительно более высокой светской образованности и логической культуры , уже натренированной в сфере юри спруденции и философии. Появление математики как систематической науки оказала в свою очередь огромное влияние на философское мышление , которое оказалось в определенном смысле подчиненным математике . Это естественно , ибо наиболее рациональные из мыслителей не выходили еще за рамки антропоморфного и мифологического объяснения природы. Неудивительно , что в математике греки увидели не просто практически полезное средство . Но , прежде всего . Выражение глубинной сущности мира , нечто связанное с истинной и неизмен ной природой вещей . Они космологизировали и мистифицировали математику , сделав ее исходным пунктом во всех подходах к описанию действительности . Эта мистификация математики нашла свое выражение в философском учении Пифагора и его последователей . Основной т езис пифагореизма состоит в том , что «все есть число» . Смысл этого утверждения сводится к следующему . Греческая философия того времени ориентировалась на отыскание первоосновы мира , начало , из которого можно было бы объяснить все происходящее . Для пифагор е йцев роль такого начала играли числа – исходные сущности , определяющие некоторым образом видимые явления и процессы . Чувственно воспринимаемые вещи стали истолковываться в своей структуре лишь как «подражание» числам , свойства их стали рассматриваться в с о ответствии со свойствами того или иного числа или числового соотношения , как проявление числовой гармонии. Согласно Аристотелю , Пифагор пришел к пониманию числа как универсальной основы всех вещей через изучение музыки . Предание гласит , что однажды , проход я мимо кузницы , Пифагор заметил , что молотки кузнецов отбивают квинту . Взвесив их , он нашел , что их веса в точности относятся как 2 к 3, что натолкнуло его на мысль , что любое различие в звучании определяется числовым соотношением , что действительно было п одтверждено в опытах с натянутой струной. Нетрудно представить , какое впечатление произвело это открытие на мыслителей того времени. Греки заметили также , что арифметические действия обладают особой очевидностью , безусловной необходимостью , принудительност ью для разума , которой не обладают никакие утверждения о реальных событиях и фактах . Это обстоятельство было истолковано как проявление особого отношения чисел к истине. Философия превратилась у пифагорейцев в мистику чисел и геометрических фигур , убеждени я в истинности того или иного утверждения о мире достигалось сведением его к числовой гармонии . Учение о четырех стихиях , составляющих природу , заимствованное греками из индийской философии , было тотчас же объединено с геометрическим фактом существования п яти правильных многогранников . Космос как систему небесных тел пифагорейцы отождествили с числом десять как с самым совершенным числом . Пифагорейская теория четырех стихий и теория космоса содержала также изощренное учение о пропорциях , устанавливающее ра з нообразные арифметические и геометрические отношения между отдельными стихиями и отдельными элементами космоса . Пифагорейцы заметили далее , что две точки образуют прямую , две прямые – плоскость , две плоскости – пространство , а в мире звуков – удвоение дл и ны струны приводит к понижению звука на октаву . На основе этих наблюдений удвоение было превращено в принцип становления вообще , в принцип объяснения всякого усложнения . То , что для современного ученого выглядело бы простой случайностью , пифагорейцам пред с тавлялось наполненным глубоким смыслом , выражением «божественного ритма и гармонии». Итак , математические формы (числа и фигуры ), будучи истолкованы в качестве глубинной основы вещей , превратилась и в универсальное орудие их понимания . Механизм объяснения за пределами математики состоял у пифагорейцев не в логическом доказательстве одних положений из других , не в выводе следствий и сравнений их с опытом и даже не в сведении к непосредственной очевидности , но в установлении некоторого изоморфизма , структурн о й тождественности тех или других представлений , определенных математическим отношением . Подразумевалось как нечто само собой разумеющееся , что учение о космосе истинно , так как в нем утверждается наличие именно десяти элементов (частей ). Учение о четырех с тихиях верно , так как оно находится в прямом соответствии с учением о правильных геометрических телах и т . д . Критерием истинности выступает здесь внутренняя гармония , санкционируемая гармонией математической . Пифагорейцы искали различные аналоги , числовы е и геометрические соответствия в окружающем мира , надеясь найти в них разгадку самой природы вещей . Мысли о случайности таких совпадений еще не возникало . Космос пифагорейцев был единым , законченным , чуждым случайности , подчиненным гармонии во всех своих частях. Что касается природы самой математической закономерности , истоков ее безусловной истинности , то ранние пифагорейцы скорее всего не задумывались над этим вопросом . У Платона , однако , мы находим уже некоторую теорию на этот счет . Математические истин ы для Платона врожденны , они представляют собой впечатления об истине самой по себе , которые душа получила , пребывая в более совершенном мире , в мире идей . Математическое познание есть поэтому просто воспоминания , оно требует не опыта , не наблюдений приро д ы , а лишь видения разумом. Математик , согласно Платону , изучает особые идеальные сущности , в отличие от сущностей эмпирических , данных в опыте . «Когда геометры , - говорит Платон , - пользуются чертежами и делают отсюда выводы , их мысль обращена не на чертеж , а на те фигуры , подобием которых он служит . Выводы свои они (геометры ) делают для четырехугольника самого по себе и его диагонали , а не для той диагонали , которую они начертили» . Геометрические фигуры сами по себе (в отличие от чертежей ) можно видеть то л ько «мысленным взором». В этих рассуждениях Платоном был впервые поставлен вопрос о специфике объектов , изучаемых математикой , который является одним из основных и в современной философии математики. Первый и , по-видимому , наиболее сильный удар по философи и пифагореизма был нанесен развитием самой математики , а именно открытием несоизмеримости отрезков в последние два десятилетия V в . до н . э Факт существования несоизмеримых величин подрывал гармонию между геометрией и арифметикой , которая была для пифагор ейцев сама собой разумеющейся , и пифагорейскую идеологию в целом Можно допустить , что пифагорейцы обнаружили несоизмеримость при попытке либо арифметически определить такую дробь , квадрат которой равен 2 (т . е . арифметически вычислить сторону квадрата , пло щадь которого равна 2); либо геометрически при отыскании общей меры стороны и диагонали квадрата ; либо , наконец , в теории музыки , пытаясь разделить октаву пополам , т . е . найти среднее геометрическое между 1 и 2. Несоизмеримость диагонали квадрата со сторон ой , т . е . иррациональность , пифагорейцы доказывали , опираясь на главную , с их точки зрения , «онтологическую» характеристику чисел , а именно на деление их на ч етные и нечетные ; доказательство велось от противного : если допустить соизмеримость диагонали и стороны , то придется признать нечетное число равным четному . Открытие иррациональности , т . е . отношений , не выражаемых целыми числами , вызвало первый кризис ос н ований математики. Открытие несоизмеримости стало первым толчком к осознанию оснований математического исследования , к попытке не только найти новые методы работы с величинами , но и понять , что такое величина. Однако во весь рост проблему континуума перед философами и математиками поставил Зенон из Элеи , выявив противоречия , связанные с понятием бесконечности , и после него невозможно было вернуться к прежнему , дорефлексивному оперированию математическими понятиями . Благодаря элеатам началась логическая раб о та над исходными понятиями науки – напряженная работа на протяжении V , IV и III вв . до н . э ., завершившаяся созданием трех главных программ научного исследования : математической , атомистической и континуалистской. Характерно , однако , что на всем протяжении этого бурного периода в развитии философии и науки – с V по III в . до н . э . – можно выделить два направления философско-теоретической работы . Одно из них представлено теми философами и учеными , которые прежде всего заняты проблемами обоснования науки и лог ического уяснения и разработки ее понятий и методов . К нему принадлежат Зенон , Демокрит , Платон , Аристотель , Теофраст и другие . Другое направление представлено в первую очередь математиками-«практиками» - такими , как Архит Терентский , Евдокс Книдский , Мен е хм , Теэтет. Кризис в основаниях античной математики был преодолен в результате двух замечательных достижений научной мысли . Первым из них является теория пропорций , изложенная в «Началах» Евклида . По мнению ряда ученых , эта теория могла бы быть основой для определения понятия иррационального числа и создания арифметической теории континуума . Однако древние греки признавали законными только целые числа , и это , конечно , задержало развитие арифметики и математики в целом . Другим блестящим достижением греков б ы ло создание Архимедом особого метода исчерпывания , в котором многие ученые видят прообраз современных теорий интегрирования . Важно при этом отметить , что при использовании данного метода не обращаются к бесконечным процессам , по крайней мере , в явном виде. 2 Второй кризис основания математики Проблема обоснования дифференциального исчисления В эпоху средневековья философия математики не вышла за рамки пифагореизма в его платонистской и неоплатонистской интерпретации . Лишь в XIV - XV вв . в Европе началось возрождение творческого математического мышления в арифметике , алгебре и геометрии . Следующие два столетия ознаменовались появлением и развитием совершенно новых математических идей , которые сегодня относятся к дифференциальному и интегральному исчислению. Новые идеи возникли в связи с потребностями науки , в особенности механики , и это обстоятельство предопределило появление принципиально новой философии математики . Математика стала рассматриваться не как врожденное и абсолютное знание , а скорее как знани е вторичное , опытное , зависящее в своей структуре от некоторых внешних реальностей . Эта философская установка предопределила в свою очередь конкретное методологическое мышление , ярко проявившееся в сфере обоснования дифференциального и интегрального исчисл е ний. Ученые XVIII в . (Лейбниц , Эйлер , Ньютон , Лагранж и другие ) требовали от математики так называемой « (греческой ) строгости древних» , под которой прежде всего понимался метод , применяемый Евклидом в его «Началах» - метод выведения одних положений из дру гих , зафиксированных в аксиомах и определениях (и только из них !). Сегодня очевидно , что античные математики (Евклид , Платон , Аристотель и другие ) не осуществили указанного идеала (например , не все аксиомы , необходимые для строгого развития математики , бы л и сформулированы в то время ), но несомненно то , что они имели правильную идею математического доказательства , строгого отделения математически доказанного от очевидного , отделения точного от приближенного . Такой идеал математики был принят и в XVIII в ., од нако математикам прошлось осознанно отступить от него , и прежде всего создателям дифференциального исчисления Ньютону и Лейбницу. В работах математиков XVII в . (Кеплер , Кавальери , Ферма , Барроу и другие ) различными частными методами были решены многочислен ные задачи , сегодня относимые к дифференциальному и интегральному исчислению – нахождение площадей криволинейных фигур , проведение касательной к произвольной кривой , нахождение максимумов и минимумов элементарных функций и т . д . Г . В . Лейбниц и И . Ньютон з авершили эту работу созданием одного (!) алгоритма решения всех , на первый взгляд , различных задач . Однако , будучи принятым , этот алгоритм подвергся критике за неясность основных понятий. Основным же понятием теории Лейбница было понятие дифференциала , или бесконечно малого приращения функции . Пусть дана функция y = f ( x ). Если увеличить ее аргумент ( x ) на некоторую величину h , то получим приращение функции dy = f ( x + h )- f ( x ) . Для Лейбница dy 0 , но вместе с тем эта величина столь мала , что , умножние ее на любое конечное число не даст конечной величины . В своем определении таким образом Лейбниц проводил чуждую элементарной математике и вообще здравому смыслу идею неархиме довой величины Согласно аксиоме Архимеда , для любых двух величин a и b найдется такое целое N , что a * N > b . . Эта идея , однако , была необходима Лейбницу для оправдания предлагаемого им способа вычисления дифференциала . Пусть , к примеру , дана функция y = x 2 . Пусть x получает приращение dx , тогда y + dy = ( x + dx ) 2 = = x 2 +2 x * dx + dx 2 , откуда dy =2 x * dx + dx 2 . Величину dx 2 Лейбниц предлагает отбрасывать как несравненно малую по отношению к величине 2 x * dx . В результате dy =2 x * dx – правильный результат ! Эта процедура является , очевидно , противоречивой . Если допустить , что dx =0 , то очевидно , что и dy будет равно нулю (из исходного равенства ). Но если dx 0 , то , не нарушая строгости нель зя отбросить dx 2 . Рассуждения Лейбница о несравненно малых величинах были попыткой как-то оправдать такой способ действия. Практика , однако , показывала (что стало основным аргументом за принятие алгоритма в целом ), что если придерживаться правила отбрасыва ть в разложении y + dy все члены , содержащие dx в степени выше первой , то с помощью таким образом определенного понятия (дифференциала ) можно получать точные ответы в широком классе задач . Так как интегрирование обратно дифференцированию , то , например , площа дь фигуры , ограничивающая линия которой есть некоторая функция , может быть найдена как некоторое значение первообразной функции от данной . Таким образом , алгоритм Лейбница – универсальный метод вычисления площадей и объемов различных фигур , метод , несводи м ый к методам традиционной геометрии. Алгоритм Ньютона , в свою очередь , базировался на понятии флюксии (производной – в современной терминологии ) и обладал той же самой противоречивостью . При отыскании флюксии Ньютон также отбрасывал члены , заведомо не равн ые нулю (хотя он считал , что в математике нельзя пренебрегать никакими количествами , даже самыми малыми ). Противоречивость алгоритмов дифференциального исчисления , несогласие их с представлениями о математической строгости , было очевидным для большинства м атематиков XVIII в . Однако , это исчисление находило все новые приложения в механике и астрономии , превращаясь в центральную и наиболее продуктивную часть математического здания . Проблема же обоснования дифференциального исчисления становилась все более акт уальной. Логически обоснована та система понятий , которая достигла определенной степени зрелости , богатства содержания и однозначности в фундаментальных определениях . Дифференциальное исчисление как теория находилась в то время на стадии отыскания основны х закономерностей и определения фундаментальных понятий , потому его логическое обоснование объективно было невозможным Вплоть до начала XIX в . в самом содержании анализа , в его понятийной системе имелись изъяны , фактически исключающие его обоснование . Осно вные из них следующие : 1. Отсутствие правильного понимания дифференциала . Лейбниц , Лопиталь ., Эйлер и другие математики первой половины XVIII в . отождествляли дифференциал с приращением функции , что и приводило к парадоксальности исчисления . Четкое раздел ение приращения функции и ее дифференциала было проведено Лагранжем в 1765 г. 2. Отсутствие достаточно общего понимания функции . Фактически вплоть до конца XIX в . под функцией математики понимали только аналитическую функцию , которая отвечала некоторой ме ханической или геометрической зависимости и выражалась определенной алгебраической формулой Здесь речь идет о фактическом , рабочем понимании функции , но не об определениях . У Эйлера и других математиков XVIII в . можно найти современное определение функц ии , которым , однако , не придавался статус именно общих , поэтому они не оказали влияния на практическую методологию. . Узкое , привязанное к наглядности понимание математиками функции мешало им (при их стремлении к строгости ) придать должное значение формал ьным определениям основных понятий , лежащих в основе исчисления . Лишь введение разрывных функций , выход за пределы традиционных объектов , заставил математиков обратить внимание на логическое оформление понятий анализа и отбросить альтернативу его элемен т арного обоснования Расширение понятия функции отсеяло иллюзорные альтернативы и выделило метод пределов как единственно возможный. . 3. Отсутствие строгого определения предела . Предел определялся не строго , а скорее содержательно описывался на основе мех анических и геометрических примеров , часто с привлечением понятий , не имеющих отношения к делу (понятия времени , например ). Кроме того , предел понимался узко вследствие узкого понимания функции . Неясность в понимании предела осталась вплоть до Коши. 4. Одн о из центральных понятий в современных основаниях анализа . – понятие непрерывности функции – долгое время присутствовало в математике лишь интуитивно . Это объясняется тем , что математики XVIII в . все функции мыслили как непрерывные и потому не возникало п роблемы выделения , ради чего обычно уточняются понятия . Только в начале XIX в . с введением в математику разрывных функций непрерывность была определена в современном смысле , на базе понятия предела. 5.До конца XVIII в . оставалось недостаточно строгим пон ятие определенного интеграла . Эта нестрогость была связана прежде всего с отсутствием теорем существования . По аналогии с элементарной алгеброй считалось , что формула Ньютона – Лейбница для вычисления определенного интеграла справедлива для всех функций и при всех условиях . Однако позже она оказалась неприемлемой для разрывных функций , к тому же в ряде случаев не давала однозначного результата . Исследования Лакруа , Пуассона и Коши в области уточнения понятия определенного интеграла показали важность теорем существования , выдвинули на первый план понятие предела и непрерывности , таким образом они заложили фундамент правильного построения логических основ дифференциального и интегрального исчисления. Итак , движение математического анализа в XVIII в . к обоснова нию можно описать в системе «теория - приложение» , т . е . как диалектическое взаимодействие двух этих моментов . Необходимость вычисления площадей фигур с произвольной границей и т . д . привело к открытию алгоритмов дифференциального исчисления . Приложение э т их алгоритмов к новым задачам необходимо заставило обобщить и уточнить исходные понятия и сделать более строгими сами алгоритмы . В конечном итоге анализ сформировался как логически непротиворечивая , относительно замкнутая и полная понятийная система. Однак о эта картина при своей верности оказалась еще не полной , ибо сами математические затруднения и заблуждения поддерживались и закреплялись определенной методологией , которая в свою очередь была обусловлена определенной философией математики . Математики отк а зались от ряда философских и методологических предрассудков , прежде чем правильно сформулировать задачу обоснования дифференциального исчисления. 2.1 Метафизическое обоснование бесконечно малых Метафизическое или натурфилософское обоснование в науке сост оит в стремлении вывести те или иные ее закономерности из некоторых фундаментальных свойств природы . Примером метафизической аргументации в физике может служить принятое до опытов Торичелли объяснение действия гидравлического насоса из принципа «природа н е любит пустоты» . В XVII в . еще крепко было убеждение , что философия – верховная наука и все частные законы должны быть получены или выведены из общих представлений о материи , пространстве и т . д . Такая тенденция проявилась и в обосновании анализа на первой стадии его развития , в частности у Г . Лейбница. Для оправдания идеи бесконечно малой , но не равной нулю величины Лейбниц использовал первоначально физические аналогии . Различные порядки бесконечно малых по Лейбницу следует понимать в том же смысле , в како м земной шар мыслится по сравнению с расстоянием до неподвижных звезд , шарик в руках мыслится как точка по сравнению с полудиаметром земного шара , и тогда расстояние от неподвижных звезд есть бесконечность бесконечности по отношению к диаметру шара. Однако математики , как впрочем и сам Лейбниц понимали , что допущение хоть и малой , но конечной величины ведет к неточности результатов дифференциального исчисления . В последующих работах Лейбниц ведет более тонкое обоснование бесконечно малых , основанное на про т ивопоставлении «реальных» и «идеальных» величин , а также на законе непрерывности . Бесконечно малую величину Лейбниц уже предлагает мыслить как идеальное понятие и приводит пример такого мышления в области комплексных чисел : «…мнимые числа (вроде )…несмотря на то , что их называют мнимыми , не перестают…быть полезными и…необходимыми…» Избранные отрывки из математических сочинений Г . В . Лейбница // УМН , 1948, т . 3 , вып . 1(83), с . 192 . Лейбниц предвосхищает здесь одну из самых влиятельных идей в последующей философии математики – идею фиктивных или идеальных элементов в структуре математического знания , вплотную подходя таким образом к современному пониманию матема тического понятия как элемента оперативной системы , но его обоснование идет не в логическом , а в натурфилософском плане . Идеальные элементы для него скорее платоновские идеи , «имеющие основание в вещах» , связанные с реальными сущностями посредством закона непрерывности – свойства реального необходимо переходят в свойства идеального , и наоборот . Идеальные элементы не даются в опыте , но выражают некоторую глубинную основу вещей , введение их необходимо для существования самой науки. Принцип непрерывности испол ьзуется Лейбницем и в качестве онтологического основания операции предельного перехода . Общефилософский принцип непрерывности – «природа не делает скачков» в сфере математики и физики Лейбниц преобразовывает в некоторое правило , родственное современному п р инципу соответствия . Согласно этому закону движение непрерывно должно переходить в законы покоя , неравенство есть частный случай неравенства , свойства многоугольников должны непрерывно переходить в свойства кривых . Лейбниц пишет : «…неверно , что покой есть род движения…равенство…род неравенства,…круг есть род правильного многоугольника , но…покой , равенство и круг заканчивают движение , неравенство и правильные многоугольники , которые переходят в них , исчезая в непрерывном движении…» Избранные отрывки из мат ематических сочинений Г . В . Лейбница // УМН , 1948, т . 3, вып . 1(83), с . 196. . Здесь легко узнаваемы идея предельного перехода и общее представление о непрерывности функции , хотя разъяснение их ведется Лейбницем с натурфилософской позиции. Натурфилософские идеи присущи и работам Эйлера , но уже в иной роли . Эйлер отвергает лейбницевское понятие несравненной величины , отвергает его и его последователей объяснительные физические аналогии . Эйлер , в отличие от других обращает внимание на различие арифметического и геометрического отношения нулей . Разность двух нулей равна нулю , но отношение может быть равно любому числу , и это число зависит от качества тех функций , которые находятся в отношении и приближаются к нулю в своей численной величине. Эйлер , несомненно , б олее близок к канонам современной математической строгости , чем Ньютон и Лейбниц . Он опирается на аналитическое доказательство не привлекая механических или геометрических аналогий . Но отказ от натурфилософии у Эйлера неполный . Он критикует не натурфилосо ф ское обоснование вообще , а лишь натурфилософию Лейбница и Вольфа . Его пространные рассуждения о делимости материи и о бесконечности мира в специальных математических работах говорят об отсутствии понимания Эйлером математического объекта как логической ко н струкции. Итак , математики XVIII в . не проводили в достаточной мере различие математического и физического существования . Здесь можно отметить также позиции Канта и Гегеля . В своей работе «Опыт введения в философию отрицательных величин» Кант осуществляет чисто метафизический подход к обоснованию математических операций – действия с отрицательными числами он объясняет исходя из утверждения о реальной сущности отрицания . Гегель в своей « Науке логики» бесконечно малые в математике связывает с категориями бы т ия и ничто , в соответствие с этим бесконечно малые могут одновременно существовать и не существовать . Таким образом , возникшее в математике противоречие есть нечто нормальное и неустранимое с очки зрения формальной логики , вытекающее из диалектической сущ н ости вещей . Следует отметить , что при Гегеле основное противоречие в алгоритме дифференцирования ( dx приходилось считать то неравным , то равным нулю ) уже было устранено работами Эйлера , Д”Аламбера и Лагранжа , которые оставались на позициях формальной логик и. 2.2 Физическая и геометрическая аргументация Итак , отказ от метафизики в разработке конкретных научных проблем , продемонстрированный в работах Ньютона , Д”Аламбера , Лагранжа , Карно и других вернул математике утраченную строгость , освободил ее от внешне го оправдания исходных правил . Однако сдвиг в обосновании анализа задерживали заблуждения методологического порядка. Наиболее значительное заблуждение состояло в том , что математика в своем обосновании тесно связана с механикой . Ньютон , Маклорен , Тейлор ра ссматривали дифференциальное исчисление не как учение о функции , но как часть учения о движении , как теоретическую кинематику. Однако , хотя Ньютон и отличает физическую задачу от ее математического оформления , его математический аппарат четко ориентируется на одну эмпирическую интерпретацию со всеми вытекающими отсюда ограничениями. Новая позиция , что дифференциальное исчисление не должно всецело ориентироваться на механику и что математика не может быть обоснована через механические понятия , а скорее наобо рот , была явно высказана Лагранжем . Именно Лагранж признал рассматривать дифференциальное как логически фундаментальную теорию без привлечения механики и эмпирических предпосылок вообще. Признание автономии понятия анализа от представления механики – выдаю щееся методологическое достижение математики XVIII века . Однако эта автономия рассматривалась ограниченно , ибо геометрия оставалась эмпирической наукой . Все математики того времени ссылались на геометрические представления в процессе математического доказа тельства , что отчасти можно объяснить авторитетом «Начал» Евклида. Развернутая критика как физических , так и геометрических аналогий в математике была дана в начале XIX в . чешским философом и математиком Б . Больцано . В результате критики геометрии как базы анализа задача обоснования дифференциального исчисления стала однозначно определенной . В математике в начале XIX в ., таким образом , появилось новое отношение к объектам дифференциального исчисления и к строгости математического доказательства вообще . О . Коши дал в своей работе «Алгебраический анализ» (1821 г .) строго логическое развитие идей дифференциального исчисления , опираясь на понятие предела и операции над действительными числами . Аналитические доказательства Коши представляют установление нового, более высокого стандарта той греческой строгости , к которой стремились математики XVIII в. Итак , главными философскими линиями в математике XVIII в . были натурфилософия и эмпиризм . В обоих случаях делалась попытка обосновать математику , внутреннюю логику е е понятий , прямой ссылкой на нечто внешнее , на тот или иной тип представлений о реальности , игнорировалась также сущность математических понятий , специфика математического существования. 3 Неевклидовы геометрии и развитие философии математики в XIX в. Философские дискуссии в математике XIX в . были связаны в основном с развитием геометрии , а именно с истолкованием неевклидовых геометрий . В области математического анализа также возникли принципиальные трудности , но до конца XIX в . они казались легко устранимыми и некоторые из них , действительно , были устранены . Неевкли довы геометрии были фактом совсем другого рода . Вопрос о природе математического знания возник в связи с ними снова и не менее остро , чем в предыдущем столетии , в связи с обоснова нием исчисления бесконечно малых. II февраля 1826 г . профессор Казанского университета Н , И . Лобачевского представил ученому совету физико-математического факультета доклад с изложением основ новой геометрии . Главная идея его состояла в том , что аксиома Ев клида о параллельных независима от других аксиом е вклидовой геометрии (невыводима из них ) и , следовательно , возможно построить другую геометрию , столь же непротиворечивую , как и евклидова , если в евклидовой геометрии заменить аксиому о п араллельных на прот ивоположное утверждение . В последующие годы Лобачевский всесторонне разработал теорию новой геометрии и указал ряд е е приложений в области математического анали за . Одновременно с Лобачевским те же идеи был развиты молодым венгерским математиком Яно ш ем Больяи. Значение неевклидовых геометрий состоит преж де всего в том , что их построение и доказательст во непротиворечивости представляет собой окон чательное решение проблемы о параллельных , занимавшей математиков в течение двух тысячелетий . В дальнейш ем эти геометрии нашли самые разнообразные применения в задачах самой мате матики и в теоретической физике . Но не этому собственно математическому значению неевклидовы геометрии обязаны своей известностью . Они явились не только крупным событием в развитии математики XIX в ., но вместе с тем фактом , про тиворечащим всем сложившимся к тому времени представлениям о природе математического зна ния . Подобно тому , как открытие несоизмеримых величин поставило под удар пифагорейскую кар тину мира , основанную на поня тии целого числа и целочисленного отношения , открытие Лобачев ского и Больяи привело математиков к коренному пересмотру представлений о собственной науке , о ее функции в системе знания , о методах постро ения и обоснования математических теорий . Мож но сказ ать без преувеличения , что современное понимание математики выросло из попыток ос мыслить факт неевклидовых геометрий. 3.1 Философия математики в начале XIX в. В начале XIX в . в истолковании математики имели влияние два направления : эмпиризм и априоризм . Платон в свое время различал арифметику и геометрию в соответствии с природой их понятий . Числа для Платона относятся к миру идей , в то время как геометрические объекты являются идеальными только наполовину , так как они связаны чувственными образами и поэт ому занимают п ромежуточное положение между миром идей и реальным миром . Аналогичное различение ариф метики и геометрии проводится и математиками XIX в . Если объекты арифметики (особенно это касается иррациональных и мнимых чисел ) рассматриваются как мыслен ные образования , как сфера , где мы можем опираться исключительно на логику , то геометрические понятия неразрывно связываются с опытными представлениями . Большинством математиков первой половины XIX геометрия понимается чисто эмпирически как наука о реально м пространстве. Противоположное , рационалистическое воззрение на геометрию и математику в целом , которому суждено было сыграть исключительно большую роль в дискуссиях о природе неевклидовых геометрий , было развито в конце XV I II в . выдающимся немецким филос офом И . Кантом . Согласно Канту , понятия геометрии и арифметики не являются отражением структуры космоса , как думали пифа горейцы , и не извлечены посредством абстракций из опыта , но представляют собой отражение чис того или априорного созерцания , присущего че ло веку наряду с созерцанием эмпирическим . Сущест вуют две формы чистого созерцания — простран ство и время . Пространство и время — необходимые внутренние представления , которые даны че ловеку даже при абстрагировании от всего эмпи рического . Геометрия , по Кант у , есть не что иное , как выраженная в понятиях чистая интуиция пространства , арифметика находится в таком же отношении к чистому представлению времени . Гео метрические и арифметические суждения не эмпи рические , поскольку они отражают априорное созерцание , н о вместе с тем они и не аналитические суждения , не тавтологии , каковыми являются пра вила логики , поскольку они отражают содержание чувственности , хотя и не эмпирической . Матема тика таким образом может быть определена как система синтетических суждений , выр ажающая структуру априорных фирм чувственности Понятие априорного Кант определяет только отрица тельно . Понятий (соответственно , суждение ) является ап риорным , если оно не является ни эмпирическим , ни врож денным ( Кант И . Сочинения в 6- ти томах ., М ., 1962-1965, , т . 3, , т . 3, с . 215). Кантовская позиция отличается от позиции Декарта или Лейбница , которые склонны были счи тать математические понятия врожденным». . Как система выводов и доказательств математика должна быть полностью интуитивно ясной : по Кан ту , все математические доказательства «постоянно следуют за чистым созерцанием на основании в сегда очевидного синтеза» (Кант И . Сочинения в 6- ти томах ., М ., 1962-1965, , т . 3, с . 402). В теоретическом плане априоризм представляет резкую оппозицию э мпиризму . Однако значение этого расхождения не следует преувеличивать . В методологических требованиях к математике ра ционалисты практически сходились с эмпиристами , так как они также требовали от математических аксиом очевидности , наглядности , интуитивной яс ности , хотя теперь уже от имени априорной чув ственности . Синтез геометрических аксиом посред ством чистой интуиции пространства трудно отли чить в практической плоскости от требования выведения этих аксиом из наблюдения твердых тел или механических движени й в пространстве 7 7 В . Уэвелл в «Философии индуктивных наук» (1840) выразил эту общую методологическую позицию словами «Аксиомы не признаются – они должны быть видимы» . Понятие видимости допускает различную интерпретацию , и вследствие этого Дж . Ст . Милль сч итает Уэвелла сторонником эмпиризма , в то время как Ф . А . Ланге относит его к кантианцам. . Таким образом , в начале XIX в . мы видим на личие двух диаметрально противоположных воз зрений на сущность математики и вместе с тем оп ределенное единство в методолог ических требова ниях : от математических истин требовали не только их строгой доказуемости , но еще и обяза тельной наглядности , непосредственной данности сознанию , интуитивной ясности того или иного рода . Однако , внутренние потребности математики , необходимос ть решения конкретных задач заста вили математиков ввести в обиход такие образы , как иррациональные и комплексные числа , кото рые уже не были интуитивно ясными во всех свойствах и не допускали наглядной эмпирической интерпретации , адекватной этим свойствам . В XVII — XVIII вв . прилагалось много усилий для того , чтобы сделать эти образы обычными , найти для них некоторое непосредственное оправдание в опыте или геометрических представлениях. Ньютон , Лейбниц , Эйлер и другие математики стремились обосновать анализ прежде всего также в этом направлении . Несмотря на неудачу такого рода попыток , несмотря на то , что многие математики практически отошли от этого воззрения , требова ние интуитивной ясности математических образов в том или другом понимании интуиции продолжал о быть определяющим в философских воззрениях на математику в начале XIX в . Лобачевский на звал свою геометрию воображаемой по той же при чине , по какой комплексные числа , несмотря на их широкое использование , назывались мнимыми ; не было наличной физической р еальности , которой можно было бы оправдать введение таких образов и к описанию которой можно было бы их непосредственно приложить . В конце XVIII в . под вли янием трудностей обоснования анализа стали про бивать себе дорогу некоторые новые , более адек ватны е представления о математике . Здесь прежде всего нужно указать на идеи французского математика Л . Карно , который ставил под сомнение необходимость в эмпирическом обосновании каж дого математического понятия. Точка зрения , развитая Карно , получила позднее н азвание фикционализма , так как он счи тал внутренние образы математики фиктивными сущностями , созданными для облегчения операций с реальными , более близкими к опыту математи ческими понятиями . Такими фиктивными сущнос тями Карно считал отрицательные , компл ексные числа , а также бесконечно малые и бесконечно большие величины. Небольшое развитие этих взглядов , вообще го воря , открывает дорогу принятию всех абстракт ных образов математики , в том числе и неевкли довых геометрий . Здесь остается один шаг до по ним ания того , что математическое существование вообще имеет другой смысл , чем физическое , и первое не должно непосредственно связываться со вторым . Но этот шаг не был сделан по крайней мере по отношению к геометрии . Геометрия из-за своей тесной связи с механи кой неизменно рас сматривалась как наука о мире , как часть механики и в то время , когда в других областях математики начался отход от прямолинейно эмпирическ ого понимания математических объектов . На протя жении всего XIX в . в философии математики проводилось резкое различие между арифметикой и геометрией по их отношению к опыту : если за образами арифметики признавалась определен ная независимость от опыта (обычно в форме под черкивания искусственной , мысленной природы этих образов ), то образы геоме трии истолковывал ись как факты действительности или гипотезы о мире . К . Ф . Гаусс писал в начале XIX в .: «Наше знание истин геометрии совершенно лишено того полного убеждения в их необходимости , которое принадлежит к учению о величинах ; мы должны скромно со знаться , что если число есть продукт нашего духа , то пространство помимо нашего духа имеет реальность , которой мы не можем apriori предписывать законы» (цит .: Васильев А . В . «Н . И . Лобачевский» , Казань , 1984, с . 12). Эту идею о разном статусе математическ их дисциплин по отношению к опыту , о большей эмпиричности геометрии по сравнению с арифметикой мы уже видели в приведенном выше рассуждении Больцано . Она принимается как нечто само собой разу меющееся также Дедекиндом , Фреге , Кронекером , Пашем и даже Пуан к аре (Пуанкаре А . «Об основных гипотезах геометрии» - в сб .: Об основаниях геометрии ., М ., 1956, с . 398). В духе своего времени Лобачевский также рас сматривал геометрию прежде всего как опытную науку , как дисциплину , обоснование которой долж но быть найдено в опыте , а именно в правильности наших измерений . В соответствии с этим воз зрением он пытался доказать справедливость своей новой геометрии посредством измерений , а именно через подсчет углов астрономических треугольни ков . С той же целью Гаусс занимался точным из мерением больших треугольников в процессе ра боты по обмеру земель ганноверского королевства . Эти измерения , как известно , не подтвердили ги потезы о неевклидовости реального пространства : отклонение суммы углов треугольников от 180° всегда оказыв алось в пределах допустимых ошибок измерений . Как сейчас установлено , если наше пространство и является неевклидовым в смысле общей теории относительности , то современные средства измерений недостаточны для того , чтобы зафиксировать этот факт в каких-либо непосредст венных измерениях . Таким образом , отрицатель ный результат опытов Лобачевского и Гаусса был предрешен . Но суть дела не в этом . Суть в том , что сама идея оправдания математического объ екта через опыт была ошибочной . П опытки Гаус са и Лобачевского показывают , что первооткрыва тели новой сферы математики и , в определенном смысле , нового стиля математического мышления сами еще всецело находились под влиянием тра диционного эмпирического воззрения на математи ку и были далеки от понимания действительного значения своих новых идей . Философская позиция , идущая от Бэкона и Ньютона , которой придерживались Лобачевский , Больяи и Гаусс , была для начала XIX в ., несомненно , более адекватной естествознанию , чем априоризм К анта . Но в своем непосредственном виде , как простое утверждение об опытной природе всякого знания , эта позиция была явно недостаточной для обоснования не толь ко неевклидовой геометрии , но и обычных мате матических теорий . Эмпиризм XIX в . так же , как и эмпиризм XVII в ., не был в состоянии объяснить специфику математики. Лобачевский , как можно заключить из некото рых его высказываний , испытывал некоторые ко лебания в вопросе о путях оправдания новой гео метрии . Так , он пишет в статье «О началах геомет рии» : «Очень вероятно , что эвклидовы положения одни только истинные , хотя и останутся навсегда недоказанными . Как бы то ни было , новая геометрия , основание которой здесь уже положено , если и не существует в природе , тем не менее может существовать в нашем воображении и , оставаясь без употребления для измерений в самом деле , открывает новое обширное поле для взаимного применения геометрии и аналитики» (Лобачевский Н . И . Полн . Собр . Соч ., т . 1-5, с . 209). Здесь Лобачевский , как мы видим , делает основ н ой акцент на внутриматематической ценности своей геометрии и в вопросе ее оправдания занимает позицию , близкую к взглядам Лейбница и Карно. Однако в начале XIX в ., как мы сейчас пони маем , не существовало объективных предпосы лок для того , чтобы перейти от э тих правильных догадок к принципиально новому взгляду на сущность математических объектов и способов их оп равдания. 3.2 Основные направления философского обоснования неевклидовых геометрий в XIX в. В 1854 г . Б . Риман выдвинул концепцию n -мер ных геометрич еских многообразий — чрезвычайно общее понимание пространства , в котором геометрия Лобачевского — Больяи заняла определенное место как трехмерная геометрия с отрицательной кривизной . Тем самым эта геометрия становится узаконенной , необходимой частью матема тики при ее систематическом развитии . В 1868 г . Е . Бельтрами , занимаясь геометрией кривых поверхностей , нашел поверхность с отрицательной кривизной (псевдосферу ), внутренняя геометрия которой ока залась совпадающей с планиметрией Лобачевско го . Основной во прос относительно геометрии Ло бачевского-Больяи — вопрос о ее внутренней непротиворечивости — был в значительной мере разрешен . Несколько позднее А . Пуанкаре , С . Ли , Л . Кронекер начали использовать неевклидовы геометрии как эффективный аппарат для решения различных задач в теории функции и других об ластях математики . Сам принцип построения но вой математической теории через изъятие и замену аксиом , примененный при создании неевклидовых геометрий , был положен в основу исследований по основаниям математики , ко торые к концу XIX в . стали превращаться в особую , все более важную область математических исследований . Можно сказать , что к 80-м гг . XIX в . собственно матема тическое значение неевклидовых геометрий было вполне осознано. Философское понимание новой геомет рии не сделало , однако , к этому времени сколько-ни будь существенного шага вперед . История призна ния неевклидовых геометрий в XIX в . является одним из наиболее ярких примеров отставания фи лософской концепции науки от роста ее содержа ния . Признание этих геометрий , совершившееся под давлением внутренних потребностей матема тики , поставило перед философией математики вопросы , на которые долгое время не удавалось найти сколько-нибудь удовлетворительного ответа . Основные из них следующие : 1. Каков эмпирический статус неевклидовых геометрий ? Является ли реальное пространство евклидовым ? 2.Какова природа математических аксиом ? Существование неевклидовых геометрий , очевидно , противоречит убеждению эмпиризма об опытном происхождении геометрических аксиом . С другой стороны , оно противоречит и утверждению об ап риорном характере аксиом , так как если аксиому Евклида о параллельных считать взятой из чистого созерцания , то противоположную аксиому уже , очевидно , нельзя считать таковой. 3. В чем природа математической досто верности ? Кант по-своему отвечал на этот вопрос , исходя из априорных представлений о математике . Если же мы ставим под сомнение точку зрения Канта вообще , то вопрос о достоверности (аподиктичности ) математики , поставленный еще в древности , очевидно требует решения на некоторой другой основе. Эти вопросы встали во всей остроте в 70-х гг . XIX в ., когда неевклидовы геометрии уже были признаны в математике , когда они стали фактом , требующим какого-то оправдания с точки зрения общего понимания этой науки. Призна ние неевклидовых геометрий привело прежде всего к ряду попыток чисто метафизического ее истолкования . Известные последователи Канта Ф . Ланге и О . Либман выдвинули точку зрения , согласно которой неевклидовы геометрии представляют собой не что иное как возм о жные геометрии мира «самого по себе» , в то время как евклидова геометрия представляет собой геометрию чувственного восприятия , геометрию «мира для нас» . Другого рода натурфилософию связывал с неевклидовыми геометриями английский математик У . Клиффорд . Реа л ьная геометрия мира , по Клиффорду , неевклидова , и все , что происходит в мире , может быть понято как определенное изменение кривизны пространства в той или другой его части . Неевклидова геометрия приобретает у Клиффорда значение фундаментальной динамическо й основы мира. Большинство математиков XIX в . в попытках обоснования неевклидовых геометрий исходили из представления об опытной природе геометрических понятий . Все три создателя неевклидовой геометрии — Гаусс , Лобачевский и Больяи — выступали против априор истской гносеологии и настаивали на опытном происхождении геометричес ких понятий . С этих же позиций позднее стремились подойти к обоснованию неевклидовых геометрий Б . Риман , Г . Гельмгольц , Л . Больцман , Ф . Клейн и другие ученые. Гельмгольц при обосновании геометрии исходит из того , что все наши геометрические представле ния так или иначе опираются на измерение . Но сама возможность измерения предполагает возможность перемещения тел в пространстве без изменения их формы . Однако это допущение , Гельмгольцу , не может быть дано apriori; оно , несомненно , фиксирует наш опыт , а именно опыт обращения с твердыми телами . В мире , где не было бы твердых тел , не было бы и евклидовой геометрии . Евклидово , а также сферическое и псевдосферическое пространства допускают переме щение фигур внутри себя без изменения формы и вследствие этого являются оправданными с точки зрения опыта . Вслед за Риманом Гельмгольц склонен рассматривать неевклидовы пространства как некоторого рода гипотезы о возможных физических мирах . В своей работе «О происхождении и значении аксиом геометрии» он пытается с помощью оптических аналогий сделать более осязаемым мир , в котором могла бы понадобиться геометрия Лобачевского (Гельмгольц Г . О происхождении и значении геометрических аксиом ., Спб ., 1895, с . 41 — 50). Л . Больцман и Ф . Клейн подходили к оправданию неевклидовых геометрий также из соображений опыта , но скорее из анализа его субъективной , психологической стороны . По мнению Клейна , интуиция , которой Кант оправдывал существование и единственность евклидо вой геометрии , представляет собой на самом деле чрезвычайно несовершенный инструмент в этом отношении . Интуиция подсказывает нам , к примеру , что биссектрисы внутренних углов треугольника пересекутся друг с другом внутри треугольника , но она нам не говорит, что все они пересекутся в одной точке ; это может быть обосновано только логикой . Так как действительная кривизна реального пространства мало ощутима практически , то наша интуиция ничуть не в меньшей мере оправдывает неевклидову геометрию , чем евклидову ( Н овые идеи в математике ., Сб .8, Спб ., 1914, с . 120). Ценный момент воззрений Гельмгольца и других математиков эмпирического направления состоит в том , что они , исходя из конкретного содержания геометрии , привели сильные доводы против априоризма . В целом , од нако , эта позиция является довольно слабой , поскольку она является попыткой объяснить математическое знание , не выявляя его специфики , т . е . по существу на базе отождествления его с теоретической физикой . С позиции Гельмгольца нельзя ответить на вопрос , я в ляется ли геометрия точной или она только приближенная наука , как физика , но это вопрос первой важности для понимания природы математики . Гельмгольц оправдывает , далее , существование сферического и псевдосферического пространств тем , что все они соответств уют опыту по крайней мере в том , что допускают движение без изменения формы . Но тем самым геометрия ограничивается тремя указанными видами пространств , так как известно , что никакие другие варианты римановых многообразий не удовлетворяют этому требованию. Наконец , взгляд на аксиомы неевклидовой геометрии как на гипотезы о возможном мире не выдерживает критики с точки зрения логики развития науки . Если геометрия Евклида есть учение о реальном пространстве , то новая гипотеза об этом пространстве представляла с ь бы оправданной , если бы геометрия Евклида оказалась в каком-то пункте неудовлетворительной , расходящейся с показаниями опыта . Но поскольку этого никогда не наблюдалось , то неевклидовы геометрии могут быть оценены только как некоторые чисто произвольные, ничем не обусловленные предположения о мире . Если же вообще допускать такие свободные гипотезы , то неясно , почему мы в физике не строим , к примеру , нефарадеевскую или немаксвелловскую теорию электричества в качестве возможной для некоторого другого мира . О чевидно , что дело здесь в некоторой специфике математики , в различном статусе математических и физических теорий по отношению к опыту , но ни Гельмгольц , ни никто другой из ученых эмпирического направления не поставил вопроса в этой плоскости . Они прилагал и все усилия к тому , чтобы найти каналы , по которым новые математические структуры могли бы быть связаны с опытом , поскольку не видели другого способа оправдать их существование как только через наличие такого рода непосредственных связей . Фактически же пр и таком подходе природа и значение неевклидовых геометрий оставались совершенно невыясненными. Очевидная неспособность эмпиризма объяснить понятие абстрактных структур в математике обус ловила значительное влияние в этой области кантовской философии вплоть д о конца XIX в . Согласовать факт неевклидовых геометрий с философией математики Канта пытались Г. Ko ген , А . Краузе , Б . Рассел , Л . Нельсон , В . Майнец , П . Наторп , Е . Кассэрер и другие философы конца XIX — начала XX в . Аргументы кантианцев в целом могут быть св едены к следующей системе утверждений. 1. Противопоставление неевклидовых геометрий кантовскому учению о пространстве основано на недоразумении , на искажении сути кантовской философии математики . Кант не ограничивал возможные геометрии , доступные человеку, только одной евклидовой геометрией . В своих первых p аботах он доказывал , что свойство трехмерности пространства непосредственно связано с действием тел друг на друга обратно пропорционально квадрату разделяющих их расстояний и что вполне возможны другие м иры с другим законом сил и , как следствие , с другой размерностью пространства , т . е . с принципиально другой геометрией . «Наука обо всех этих возможных видах пространства , — писал Кант , — несомненно , представляла бы высшую геометрию , какую способен построи т ь конечный ум» ( Кант И . Сочинения в 6- ти томах ., М ., 1962-1965, , т . 3, , т . 1, с . 71). В «Критике чистого разума» Кант говорит о возможности других форм чувственного восприятия для других живых существ . «Нет необходимости , — пишет он , — ограничивать спосо б созерцания в пространстве и времени чувственностью человека» ( Кант И . Сочинения в 6- ти томах ., М ., 1962-1965, , т . 3, , т . 3, с . 152), Но это есть не что иное , как предположение существования некоторых других законов пространства , чем те , которые выражен ы в теоремах евклидовой геометрии . Таким образом , Канта следует рассматривать не в антагонизме с неевклидовыми геометриями , но , напротив , скорее как одного из их теоретических предшественников , который впервые сформулировал саму идею высшей геометрий , не с овпадающей с геометрией евклидовской ( Баух Б . Кант и его отношение к естествознанию , М ., 1912, с . 21 — 22). 2. Утверждения Канта о возможности других пространств и других форм чувственного созерцания случайны , но вытекают необходимо из приципиальных установ ок его философии . Математические утверждения для Канта не аналитические , а синтетические , а это значит , что построение других геометрий вполне согласуется с основным моментом кантовского учения о математике , так как синтетические утверждения допускают в к а честве осмысленных и противоположные себе утверждения . Построение неевклидовых геометрий — не опровержение , но блестящее подтверждение взглядов Канта на логический статус математических истин (ст . Нельсона (Новые идеи в математике , Сб . 8, Спб ., с . 14, 17 — 1 8)). 3. Попытка Гельмгольца во всех отношениях отождествить неевклидовы геометрии с евклидовой неправомерна , так как она смешивает математический , физический и психологический (созерцательный ) аспекты в понимании пространства . Неевклидовы геометрии равнопр авны с евклидовыми в математическом смысле , как математические структуры , они равноправны и в физическом смысле — они могут применяться на одинаковых правах при описании различных отношений действительности , но они никоим образом не могут быть отождествле н ы психологически , в плане восприятия мира . Но это основной пункт в кантовском истолковании геометрии . Кант был бы опровергнут , если бы было доказано , что , пользуясь новыми геометриями , мы способны выработать для себя новую интуицию пространства . Но в дейс т вительности это невозможно . Во всяком случае , Гельмгольц ошибается , когда он от возможности новых логических конструкций заключает к возможности новых форм интуитивного видения мира . Факты не подтверждают этого ( Meinecke W . Die Bedeutung der nichteuclidsche Geometrie in ihrem Verhaltnis zu Kautz Theorie ., Kant - Studien , Bd XI . Berlin , 1906, с . 221 — 232 ) . 4. Эмпирическая трактовка математики не отличает объектов математики от объектов эмпирических наук , идеальные сущности от объектов , данных в опыте . Эмпирическая арифметика — это арифметика «камешков и пряников» , эмпирическая геометрия — это геометрия чертежей и картонных фигур . Эмпирическая математика игнорирует разделение , которое «совершенно ясно было проведено уже Филолаем и Платоном» (Бау х Б . Кант и его отношение к естествознанию , М ., 1912, с . 25). Эмпиризм ставит математику рядом с физикой и «разбивается о факт аподиктичности математических истин» . Он просто игнорирует тот факт , что математические теории не доказываются и не опровергаютс я опытом (Новые идеи в математике , Сб . 8, Спб ., 1914, с . 52). 5. Эмпирическая позиция противоречива логически . Утверждение Гельмгольца о том , что наши представления об измерении покоятся на допущении неизменности формы тел и масштабов , содержит в себе логич еский круг , ибо само понятие «твердого тела» или «тела , не изменяющего форму» , предполагает уже процедуру измерения ( Russel B / Die Einfurung in die mathematische Philosophy , Munchen , 1923, § 70). В этих аргументах сторонников кантианской философии необходи мо различать несколько тенденций : во-первых , здесь налицо критика эмпиризма , которую нужно признать верной ; во-вторых , попытка более ясного воссоздания сущности кантовской философии математики . Это также вполне естественно : любое большое открытие в науке н еобходимо отзывается пересмотром и уточнением существующих гносеологических теорий . Наконец , обсуждение неевклидовой геометрии стимулировалось у ряда авторов (О . Либман , Г . Коген , Л . Нельсон , В . Майнеке и др .) стремлением защитить гносеологию Канта как ед и нственно истинную . В настоящее время ясно , что эти усилия не могли быть полностью успешными . В конце XIX в ., однако , позиция кантонской философии в математике выглядела почти безупречно . Аргументы эмпириков обеспечивали скорее популярное опровержение априо ризма , и , хотя они имели влияние в среде ученых , они никоим образом не были достаточными для борьбы с ним в теоретической сфере. 3.3 Становление современной концепции математики Большой вклад в правильное понимание неевклидовых геометрий внес выдающийся ф ранцузский математик А . Пуанкаре . Пуанкаре был одним из первых математиков , увидевших несостоятельность чисто эмпирического понимания геометрии , Математическое вообще и геометрическое , в частности , утверждение — это точное утверждение , которое не опроверг а ется и не дополняется исторически таким образом , как положения физики , химии или другой опытной науки . Если бы Гаусс тли Лобачевский нашли , что сумма углов у некоторых реальных треугольников меньше 180° , то это по мнению Пуанкаре , не свидетельствовало бы о ложности евклидовой геометрии , но говорило бы лишь о том , что световые лучи не подчиняются ее аксиомам . Тезис о необходимости (неопровержимости через опыт ) геометрических истин , с точки зрения Пуанкаре , безусловно верен. Вместе с тем Пуанкаре не принимал учение Канта об априорности геометрических аксиом . «Можно спросить , — писал он , — что представляют собой эти гипотезы (аксиомы геометрии )? Факты ли это , полученные из опыта , или суждения аналитические или синтетические apriori? Мы должны ответить отрицател ьно на эти три вопроса . Если бы эти гипотезы были фактами опыта и наблюдения , то геометрия подлежала бы постоянному пересмотру и не была бы наукой точною ; если бы это были синтетические apriori суждения , а тем более аналитические , то невозможно было бы отр ешиться от них , и на их отрицании ничего нельзя было бы построить» (Пуанкаре А . «Об основных гипотезах геометрии» - в сб .: Об основаниях геометрии ., М ., 1956, с .397). Пуанкаре развивает взгляд на аксиомы , получивший в дальнейшем наименование конвенционали з ма , как на утверждения , в становлении которых известную роль играет опыт , но которые формируются по соображениям простоты и удобства . Пуанкаре признает основной тезис эмпиризма , а именно — если бы не было твердых тел в природе , то геометрия не существовал а бы . вместе с тем , по его мнению , геометрия все-таки не наука о твердых телах : она изучает не твердые тела , а идеальные представления о них , и эти идеальные представления уже не подвергаются контролю опыта , независимы от него в своей структуре. Позиция Пуа нкаре также не может быть принята как вполне объясняющая суть дела , ведь можно спросить , почему проверяются на опыте и исправляются им физические представления , хотя они также только идеализации ? В чем специфика математических моделей ? Но тем не менее име н но благодаря идеям Пуанкаре обсуждению проблемы неевклидовых геометрий впервые было придано верное направление . В отличие от Гельмгольца , Ф . Клейна и других ученых , у Пуанкаре на первом месте стоит специфика математики как науки , ее отличие от физики . Пуа н каре в принципе наметил выход из основного затруднения в философии математики XIX в .: он пытался обосновать , что необходимость математических истин не нуждается в посылках априоризма , но вполне примирима с опытным их происхождением. Основная идея , необходи мая для современного понимания математики , возникла , однако , не в философии Пуанкаре , а в контексте работ Дедекинда , Кантора и Гильберта , которые стремились на логической основе уточнить исходные понятия геометрии и других математических наук . Надо сказат ь , что эти работы также в значительной мере были обусловлены появлением неевклидовых геометрий и других абстрактных образов , оперирование которыми предъявило повышенные требования к логике обоснования математических утверждений . Высоко оценивая работы Гиль б ерта , Пуанкаре скептически относился к «формалистам» , стремившимся , по его мнению , изъять из математики интуицию и превратить ее в механическое оперирование символами . Неприязнь к претензиям «формалистов» была , по-видимому , главной причиной , по которой Пу а нкаре не понял важности для философии математики представления о математической теории как о формальной системе и не принял той простой идеи , что , с какими бы интуитивными образами она ни была связана генетически , она функционирует по отношению к опытному знанию исключительно как формальная система , как определенная знаковая модель , для эффективности которой существенна лишь ее внутренняя непротиворечивость . Такой взгляд на функцию и структуру математической теории дает возможность дополнить критику Пуанкар е более удовлетворительной позитивной концепцией , в рамках которой находит полное оправдание и факт неевклидовых геометрий. С понятием формальной системы или формальной структуры иногда связывают представление только об особом внутреннем устройстве математ ической теории . Фактически , однако , это понятие представляет собой центральный момент современного понимания математики вообще , понимания ее происхождения , функции и т . д . Мы сформулируе м в рамках этой общей концепции некоторые утверждения о математике с т ем , чтобы отметить прогресс философии математики , который наметился к началу XX века. 1. Математика не есть опытная наука , изучающая определенные свойства действительности , наряду с механикой , физикой , химией и т . д . Мате матика находится не рядом с опытны ми науками , как считал Аристотель и многие после него , а над опытными науками , представляя собой определенную надстройку над ними . Математика в общем является набором формальных (знаковых ) моделей для теоретического знания и таким образом связана с опытом не непосредственно , а через другие науки. 2. Математика выступает по отношению к эмпирическому знанию как особого рода язык , способ трансформации эмпирических высказываний , установления связи между ними . Для этой цели математическая теория должна быть непр отиворечивой , но не обязательно интуитивно ясной или имеющей опытное происхождение . В математике в принципе допустимы любые непротиворечивые структуры , которые эффективны в прикладном отношении или важны для внутреннего обоснования математической науки . Н е евклидова геометрия менее законна , чем евклидова или какие-либо другие мыслимые математические структуры . Математика , в отличие от других наук , имеет право на создание чистых форм , т . е . образов , не имеющих какой-либо эмпирической интерпретации , но лишь в интенции на некоторую внутреннюю задачу . (Лобачевский , как мы уже говорили , допускал такое чисто функциональное оправдание своей геометрии , но оно не казалось ему достаточным из-за его в целом эмпирического взгляда на природу геометрических истин ). 3. Мате матические утверждения необходимы (неопровержимы на опыте ) вследствие внутренней логической определенности понятий . Эмпирический закон , к примеру , закон , утверждающий , что все газы расширяются при нагревании по закону V 0 (l+at), где V 0 — исходный объем , t — темпе ратура , а a — коэффициент расширения , может быть опровергнут только потому , что мы имеем внешнее , эмпирическое определение газа , независимое от самого закона . Если же газом назвать всякое вещество , которое расширяется в соответствии с данным законом , то закон , очевидно , будет неопровержим , ибо все , что ему не соответствует , не будет газом по определению . Утверждение 2 + 2=4, как и любое другое математическое утверждение , неопровержимо просто потому ; что символы , его составляющие , не имеют внешних оп р еделений , независимых от самого утверждения . Математические понятия , даже если они генетически связаны с опытом , представляют собой не просто абстракции и даже не просто идеализации , но конструкции , т . е . понятия , свойства которых полностью определены вкл ю чающей их системой формальных связей. 4. Математическая теория сама по себе не истинна , не ложна , она приобретает это свойство только после интерпретации в определенной сфере опытных представлений . Убеждение пифагорейцев и некоторых более поздних философов -рационалистов (Декарт , Лейбниц , Фреге ) в особой достоверности математического знания является не более чем мистификацией логической структуры математических теорий , необходимости их внутренних связей. 5. Единство математики обеспечивается исключительно ме тодом , но не предметом исследования . Сфера возможного приложения математики в принципе бесконечна : математик может говорить обо всем , что поддается формулировке на точном оперативном языке , что может быть изучено в своей логической форме в отвлечении от к о нкретного содержания . Это значит , в частности , что различие между геометрией и арифметикой по их близости к опыту , которому традиционно придавалось столь много внимания , в действительности является несущественным , по крайней мере в плане обоснования . Обос н ование любой математической теории есть доказательство ее непротиворечивости , и оно может опираться только на ее формальную структуру , а не на ассоциации , которые мы привыкли связывать с ее понятиями. Эти положения фиксируют основные моменты так называемог о формалистского или структуралистского понимания математики Формалистскую философию математики следует отличать от формализма как программы обоснования математики , хотя формализм существенно опирается на понимание математики как логической структуры. , которое оформилось к концу XIX в . и которое делает акцент на логических особенностях и особых функциях математического знания . Этими положениями в значительной мере определяется современное , так сказать , «рабочее» понимание математики , которое мы можем вс третить в методологических работах самих математиков и физиков , в предисловиях к учебникам и т . д . Математика определяется и как наука о необходимых заключениях (Б . Пирс в книге : Кутюра Л . Философские принципы математики ., Спб ., 1913, с . 183)), и как иера р хия формальных структур (Н . Бурбаки Очерки по истории математики , М ., 1963, с . 255), и как строгий язык , созданный для перехода от одних опытных суждений к другим (Бор Н . Атомная физика и человеческое познание , М ., 1961, с . 96), и как особого рода идеальн а я техника науки , относительно которой можно говорить об эффективности , но нельзя говорить об истинности и ложности (Александров А . Д . Диалектика и математика . Сибирский математический журнал , 1970, № 2), и как наука о знаковых моделях (Илиев Л Математика к а к наука о моделях ., УМН , 1971, т . 27, вып . 2). Высказывается также взгляд на математику как на символический миф , который , как и обычный миф , будучи вымыслом , помогает тем не менее человеку разобраться в ситуациях реального мира ( Bochner S . He role of math ematics in the rise of science ., Princeton , 1966). Несмотря на некоторые нюансы , все эти определения выражают одно и то же , а именно взгляд на математику как на логически организованную систему понятий , для существования которой важна лишь ее дедуктивная , трансформирующая функция. Возникновение такого взгляда на математику было прежде всего расширением предмета математики , признанием de jure математических образов , не связанных с опытом и интуицией . С этой точки зрения , и эмпиризм , и кантовская философия ма тематики оказываются несостоятельными , произвольно сужающими область приемлемых математических объектов . Очевидно , что отбрасывается также и всякая натурфилософия : математик не должен ломать голову над тем , что стоит , к примеру , за бесконечно малой в реал ь ности , ибо дело не в созерцании и не в содержательном описании бесконечности , но лишь в формальных определениях , в оперативной силе понятия. Развитие новых представлений о природе математики завершилось в первых двух десятилетиях нашего века . Уже в самом н ачале XX в . центр тяжести в философии математики смещается к проблемам логического обоснования . И это обусловлено не только интересом к новым проблемам , но и тем обстоятельством , что вопрос о природе неевклидовых геометрий постепенно перестает быть загадко й . Несмотря на различия в понимании своей науки , проявившиеся в отношении путей поиска ее логических оснований , математики начала XX века не оспаривают того , что логическая непротиворечивость есть необходимое и достаточное условие существования математичес кой теории как таковой Вскоре , однако , наступила реакция . Пуанкаре , а затем Борель , Лебег , Лузин и в особенности Брауэр стали возражать против столь широкого понимания математического существования. . Неевклидовы геометрии , а также и другие «монстры» мат ематического мира , открытые позднее , превращаются с этой точки зрения в обычные рядовые объекты математики , ничуть не более странные , чем дробные или отрицательные числа . Тем самым завершается один из самых глубоких переворотов в философии математики , в п р едставлениях о природе математического знания . Философское значение неевклидовых геометрий состоит в том , что их открытие явилось исходным пунктом и основным стимулом этого переворота. Открытие в науке , как бы оно ни было велико , само по себе не является в кладом в философию . Однако существуют открытия , которые влекут за собой изменения в философии науки , в понимании ее предмета , методов , связи с другими науками . Неевклидовы геометрии — пример одного из таких открытий , чрезвычайно редких в истории науки . До построения неевклидовых геометрий к таким сдвигам в математике , имевшим философское значение , можно отнести только три события , а именно появление самой идеи математики как дедуктивной науки , открытие несоизмеримых величин и открытие дифференциального исч и сле ния в XVII в . В наше время таким событием явился отказ от основных программ обоснования математики (прежде всего под влиянием логических исследований К . Геделя ), последствия которого для философии математики пока еще окончательно не осмыслены. 4 Трети й кризис оснований математики Едва улеглись страсти после второго кризиса оснований , как в конце XIX столетия назрел третий , самый глубокий и продолжительный , который волнует математику , логику и философию и поныне . Третий кризис поставил вопрос о точност и математики , безупречности ее основных понятий . И это затрагивает уже фундамент математики , по-настоящему выводя проблему на уровень философского осмысления темы , поскольку речь идет о статусе математической науки , правомерности построения ее объектов , в о зможности их существования и критериях истинности утверждений о них . В предыдущих кризисах подобные вопросы , конечно , тоже возникали , но лишь в частных , не глобальных проявлениях. По выводу математики из третьего кризиса сложились три направления : логицизм , интуиционизм с его конструктивной ветвью и школа формалистов . Расцвет деятельности всех трех течений падает на период конца XIX - начала XX столетий с выходом конструктивизма в более позднее время . Кроме того , отдельной строкой идет речь о современных п о пытках обоснования , нашедших выражение в теоретико-множественном и категориальном подходах. 4.1 Программа логицизма Лидеры логицизма (Г . Фреге , Б . Рассел и др .) видели основания математики в логике. Первые идеи логицизма сформулированы в конце XIX в . в работах немецкого математика и логика Г.Фреге и развиты в самом начале XX в . Б . Расселом. В основе логицизма лежит убеждение , что математика является лишь частью , отраслью логики. Логицисты исходят из того , что математическое доказательство широко использу ет методы логики , построено на базе логических операций . Философ Э . Гуссерль подробно исследовал определение математики как логики . Аксиоматический метод (гордость математики , то , что отличает ее сейчас от других наук ) своим происхождением также обязан ло г ике , выступающей инструментом извлечения следствий из принимаемых постулатов . Далее , и математике и логике обща точность , являющаяся следствием доказательности выдвигаемых положений . Доказательность же шлифовалась в риторике , которая была предметом особых забот логиков , разрабатывавших ее как умение убеждать , обосновывать «Со времени греков , - пишет Н . Бурбаки , - говорить «Математика» - значит говорить «Доказательство» , в том точном и строгом смысле , какой получило это слово у греков и какой хотим мы придать ему здесь » . Бурбаки Н. Элементы математики. Теория множеств // Жизнь науки . М .: Наука , 1973. С . 490. . Далее , логицизм питается тем , что математики традиционно вводят объекты , опираясь на логический тезис непротиворечивости . Существование математическо го объекта правомерно , если он мыслим непротиворечивым образом . При этом используется метод доказательства , выступающий острейшим орудием логики . Одним словом , логика является предпосылкой математики , поскольку последняя широко использует дедуктивные расс у ждения. Будучи лишь частью логики , математика , по мнению логицистов , не должна заимствовать ни у созерцания , ни у опыта никакого обоснования . Все специальные математические термины могут быть представлены кратким перечнем основных понятий , которые принадле жат словарю чистой логики . Доказательство же математических теорем не требует иных аксиом , кроме логических , и правил вывода , помимо тех , что использует логика. Концепция логицизма покоится на идее редукции , сводимости математики к логике . Но что значит ре дуцировать математику к логике ? В конечном счете это предполагает представить математические понятия , объекты и операции как логические , а аксиомы математики как теоремы логики . Однако встает вопрос , как именно следует переводить математические объекты и д ействия над ними в логические объекты и действия ? Значит ли это , что каждый объект и каждую операцию надо выражать в терминах логики ? Очевидно , нет . Надо выделить основные понятия и операции и интерпретировать их логически , то есть осуществить аксиоматиче с кое построение математики . Но теперь возникает другая проблема . В математике немало разделов , дисциплин . Следует ли каждую из них аксиоматизировать и далее работать над ними ? Естественно стремление выделить в математике такую отрасль , в терминах которой м о жно было бы выразить все остальные разделы математики . Это арифметика. Так весь ход рассуждений приводит к началу процесса и видно , что для реализации конечной цели логицизма необходимо осуществить три последовательные операции : арифметизировать математику , аксиоматизировать арифметику и осуществить логическую интерпретацию аксиоматизированной арифметики . Очерченная программа реализуется по двум направлениям : создание подходящего логического аппарата и подготовка содержания математики к его применению. 4.1 .1 Этап арифметизации задачи . В известной мере это относится и к этапу аксиоматизации арифметики , хотя проводивший в жизнь эту идею итальянский математик Д . Пеано , по-видимому , уже сознавал , что она служит утверждению концепции логицизма. Итак , 1-й шаг на пути к логическому представлению исходных математических понятий и операций - арифметизация самой математики . Были предприняты попытки редукции числа к самому элементарному . В итоге любое число стало возможным выражать посредством натурального Это и дал о основание Кронекеру воскликнуть : «Целые числа создал господь бог . Все остальное – математики» (« Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht. Alles audere ist Menschenwerk » ). . Большую роль в реализации программы арифметизации сыграла теория множеств , методы которой тесно переплетены с методами теории чисел . С другой стороны , ее основное понятие (актуально бесконечного ) множества , а также возможность сведения математической проблемы к указанию соответствующего множества (или нескольких множеств ) и изуч е нию его свойств , как и решение проблемы на базе этих свойств , - все это вооружило математиков эффективным инструментом анализа. Характеризуя вклад теории множеств в решение задачи арифметизации , А . Пуанкаре пишет : «Теперь в анализе остались только целые чи сла и конечные или бесконечные системы целых чисел , связанных сетью равенств и неравенств . Математика , как говорят , арифметизировалась» Гильберт Д . Математические проблемы . Речь на II Международном математическом Конгрессе // Жизнь науки . М .: Наука , 1973 . С . 470-471. . Ему вторит Д . Гильберт , выдающий восторженные оценки теории множеств и ее автору : «Никто не изгонит нас из рая , который создал нам Кантор». 4.1.2 Второй этап - аксиоматизация арифметики . Далее встает задача представить в минимуме понят ий сам натуральный ряд , то есть вывести (указав правила перехода ) из исходных , простейших элементов всю совокупность целых чисел . Аксиоматизацию начинают Дедекинд и Грассман , а завершает Пеано . Выделив три основных понятия : натуральное число , следование о д ного числа непосредственно за другим , начальный член натурального ряда - 0 или 1; Пеано связал их пятью аксиомами. 1) 1 есть натуральное число ; 2) Следующее за натуральным числом есть натуральное число ; 3) 1 не следует ни за каким натуральным числом ; 4) Ес ли натуральное число b следует за натуральным числом a и за натуральным числом c , то a и c тождественны . Несколько забегая вперед , можно заметить , что эта аксиома выступает как проявление более общей , логической аксиомы функциональности a R b c R b > a = c , то есть если предметы a и c одинаково относятся к b , то a и c е сть один и тот же предмет . Скажем , если Петр - брат Елены и Сергей - брат Елены , то Петр и Сергей - братья . Типично дедуктивное умозаключение на основе суждений с отношениями. Наконец , аксиома 5) Если какое-либо предложение доказано для 1 и если из допущен ия , что оно верно для натурального числа n , вытекает , что оно верно и для следующего за n натурального числа , то это предложение верно для всех натуральных чисел. Итак , арифметика аксиоматизирована . Следующий шаг программы - определение исходных понятий ак сиоматизированной арифметики в терминах логики , а аксиом - как теорем логики. Понадобился специальный логический аппарат . Он создавался ранее . Первые идеи принадлежат Р . Декарту (XVII в .), рассматривавшего математику как частный случай исчисления (общего ф ормально-логического метода ). Г . Лейбниц (в книге «Искусство комбинаторики» ) говорит о введении универсального языка науки , функционирующего на основе целесообразно подобранной символики и предназначенного для проведения рассуждений Язык предполагает , по Лейбницу , указание списка всех элементарных понятий (алфавит человеческих мыслей ), основных отношений между понятиями и правил комбинаций с этими символами . Затем Лейбниц развивает идеи , близкие понятиям символической логики (например , вводит логическое умножение и сложение ). В середине XIX в . Д . Буль создает алгебру логики , а де Морган формулирует принципы логики высказываний и логики классов. Использовать этот аппарат в интересах логицизма и пытается Г . Фреге . Он же формулирует программу логицизма. Пров одится следующая цепь доказательств . Математика покоится на логике (не на эксперименте ), ибо ее доказательства - апелляция не к опыту , а к возможности (процедуре ) логического выведения одного предложения из других . Что же касается самой логики , то ее утве р ждения , по мнению логицистов , формальны , они ничего не говорят о мире и представляют аналитические высказывания , тавтологии . Их истинность зависит не от содержания , но лишь от формы , оттого они истинны "во всех возможных мирах ". Таким образом , логику можно изложить в виде исчисления , построив формализованный логический язык . Тогда , поскольку математика - часть логики , выдвигается программа : представив логику как исчисление , вывести из ее аксиом все положения чистой математики и все понятия последней описат ь посредством логических понятий (для чего и необходимо было выразить ее в минимуме исходных терминов и положений ). В результате понятия математики оказываются понятиями логики (1); аксиомы математики - доказуемыми теоремами логики (2); устанавливаются пра в ила вывода (для получения из логических положений предложений математики ) (3). В соответствии с программой , предстояло определить в терминах логики понятие числа и операций над числами . В основе логического подхода к числу лежит идея взаимнооднозначного со ответствия . Это позволяет установить равенство двух (и более ) множеств по количеству элементов , не прибегая к математической операции их пересчитывания и пользуясь просто методом сопоставления элементов одного множества элементам другого . Если удается уст а новить полное однозначное соответствие , то множества эквивалентны . Так , множество сторон света эквивалентно множеству углов равностороннего прямоугольника , а также эквивалентно множеству букв в слове «вода» . Можно говорить о множестве всех таких эквивален т ных между собой множеств , имя которому - четыре. Отсюда любое число есть множество всех множеств , которые эквивалентны между собой . Фреге интерпретировал натуральные числа как кардинальные числа некоторых понятий . Кардинальное (то есть не порядковое , а кол ичественное ) число (иначе говоря мощность ) понятия F определялось как сокращение для объема понятия , равночисленного с понятием F . Например , все понятия с единичным объемом (скажем , столица Франции , автор романа «Жерминаль» подпадают под одно понятие с ка рдинальным числом 1, то есть его мощность равна мощности класса 1, все понятия с кардинальным числом 2 находятся во взаимнооднозначном соответствии , образуя число 2 и т.д . Таким образом , число есть класс всех возможных его реализаций. Так же логически опре деляются арифметические операции : сложение , объединение (дизъюнкция ) ( a + b ) = ( a U b ), умножение как отыскание общих элементов (конъюнкция ) ( a ╥'54 b ) = ( a b ). Необходимо отметить только , что в логике эти операции подчинены принципу идемпотентности (сохранения степени ), который в математике нарушается. 4.1.3. Причина н еудач Выполнение замысла логистов близилось к концу : оставалось лишь выровнять шероховатости , чем и занялся Г . Фреге , который , как пишут авторы известной книги «Основания теории множеств» А . Френкель и И . Бар-Хиллел , Программа сведения математики к логике представлялась завершенной , страсти вокруг улеглись , борения закончились. Но вдруг молодой английский математик и логик Б . Рассел в самом начале прошлого столетия в письме к Фреге обращает внимание на некорректность использования им понятия теории множест в , лежащей в фундаменте арифметики , а следовательно , всей математики : Дело касалось понятия «класс всех классов» . Ситуация получила название парадокса Рассела . Вообще парадокс проявился в трех аспектах : как собственно математический , логический и лингвист и ческий. В математике является признанным тезис о несуществовании наибольшего кардинального числа , то есть самого мощного множества , ибо какое бы наиболее мощное множество мы ни взяли , всегда можно построить еще более мощное . Например , для множества чисел н атурального ряда и тождественных ему так называемых счетных множеств (таких , что элементы множества можно расположить в последовательность ). Для них более мощным является континуум , то есть множество точек на отрезке прямой (непрерывность ), а относительно континуума более мощным выступает множество функций . Вообще , поскольку всегда можно образовать множество всех подмножеств данного множества и , включив его в исходное множество , получим совокупность , мощность которого будет на единицу выше мощности данного множества . Таким образом , существуют все большие трансфинитные множества , потому , звучит доказанная Г . Кантором теорема : нельзя построить самое мощное множество. Однако , с другой стороны , интуитивно ясно , что множество всех множеств должно быть самым мощны м , так как оно представляет совокупность всех мыслимых множеств , являясь сверхмощным . Как заметил Рассел , если взять все , то не останется ничего и , следовательно , ничего уже нельзя добавить . Кстати , и сам Кантор , несмотря на доказанное им , пришел к выводу, что должно же существовать трансфинитное число , превосходящее наибольшее из трансфинитных чисел. В данном математическом содержании парадокса выражением противоречия стала логическая антиномия , о чем и заявил Рассел. Согласно теории множеств Кантора , множ ество или класс есть совокупность предметов , мыслимых как нечто единое . Затем вводится понятие «принадлежать» , то есть «быть элементом множества» . Поскольку само множество - тоже объект (как и его элементы ), возникает вопрос , принадлежит ли множество само м у себе. Есть два вида классов : содержащие себя в качестве собственного элемента и не содержащие . К первым относятся , например , понятия «Список» , «Каталог» , «Классификация» и т.п . (список списков также список ). Подобные понятия составляют меньшинство , поэ тому их называют нестандартными . Обычно же классы не содержат себя в качестве элемента своего класса , не входят в объем собственного множества (стандартные классы ). Скажем , элементами множества «студент» являются конкретные студенты , но само-то множество с тудентом не является , ибо не имеет ни возраста , ни национальности или факультетской принадлежности . Нет студента как такового. Логически парадокс обнаруживается в том , что неизвестно , куда поместить стандартное множество . В классе , который является собстве нным элементом , ему не место , поскольку он не входит в свой класс . Но его нельзя включить и в класс , который собственным элементом не является , поскольку он представляет стандартный класс и не должен находиться среди собственных элементов . Рассел иллюстри р ует этот парадокс примером , который он назвал «парадокс парикмахера» . Допустим , в некой деревушке , где имеется лишь единственный парикмахер - мужчина , мэр издал указ : «у парикмахера имеют право бриться те и только те , кто не бреется сам» Спрашивается , мож е т ли парикмахер брить себя ? С одной стороны , он не имеет права этого делать , поскольку бреет только других . Но , если он не будет брить себя , то попадет в число тех , кто себя не бреет и , следовательно , согласно букве указа , получает право на то , чтобы брит ь сам себя . Имеется и вторая версия этого парадокса . Парикмахер объявил , что бреет всех , кто не бреется сам . При этом он похвалялся , что в парикмахерском деле ему нет равных , но однажды задумался , а должен ли он брить сам себя. Обнаружив парадокс , Рассел ре шил , что Кантор доказывая теорему о несуществовании самого мощного множества , допустил тонкую логическую ошибку . Рассел надеялся преодолеть ее , однако не смог и через 16 лет извинился за то , что не сумел выполнить обещание. Лингвистический аспект парадокса , проблема несовершенства самого языка математики , в полной мере характеризует третий кризис. В науке , в том числе и в математике , часто приходится использовать так называемые непредикативные определения , чем и обусловлено появление порочного круга . Их сут ь такова. Непредикативное описание такое , в котором определяемый предмет вводится через множество , к которому данный предмет принадлежит в качестве элемента . Здесь и заключена возможность ошибки , поскольку то , что определяется , принимает участие в определе нии . Получается логический круг . Однако не все непредикативные определения ошибочны . Многие из непредикативных описаний вполне приемлемы , в том числе и в математике . Например , двойка есть такое число , что , будучи сложено само с собой , дает свой точный ква д рат - 2+2=2 2 . Однако есть ряд некорректных непредикативных определений , которые ведут к парадоксам . В этом случае и наблюдается определение множества , которое не принадлежит самому себе . Это свойство предикабильности. Понятия различаются как предикабильны е и непредикабильные . Предикабильные такие , которые фиксируют свойство , относящееся к самому себе . Например , понятия «русский – русское» , «абстрактный – абстрактно» , «двузначный – двузначно» . Другие же понятия , и их большинство - непредикабильны . Понятие «зеленый» не является зеленым , понятие «человек» не есть человек . Поставим вопрос . Куда отнести само понятие «непредикабильный» ? Возникает парадокс . В классе предикабильных оно непредикабильно , а в классе непредикабильных оно предикабильно , ибо здесь оно распространяется на самого себя . Оно непредикабильно да находится в классе непредикабильных , значит , оно здесь предикабильно . Но как же оно стало предикабильным , если , по определению , не относится к самому себе. Парадоксы теории множеств заставили обратить внимание на самые глубинные проблемы математики , на ее основы , затронули математический язык . Опыт же исканий логицистов показал , что хотя попытка оправдания математики логикой в некоторых моментах имеет право на применение , но по своим основаниям являет с я недостаточной и вынуждена выходить за пределы собственно логики , апеллируя к философии и беря ее в союзники . Фактически , сводя математику к логике , логицисты лишь отодвинули проблему . Теперь она состояла в обосновании возможности существования уже не ма т ематических , а логических объектов . То есть в их философском обосновании. 4.1.4. Философская оценка В реализации логицистской программы ее творцы то и дело выходили на философию , без привлечения которой процедура сведения математики к логике выглядела н езавершенной , и сами логические построения оставались в ряде пунктов открытыми , требуя более точного объяснения. Когда Рассел обнаружил парадокс , он будучи убежденным логицистом , не изменил идее и попытался преодолеть антиномию. Ошибка Г . Фреге состояла в том , что он исходил из мысли об универсальной предметности логики , поэтому допускал рассмотрение в качестве аргументов логической функции 1-й ступени любые объекты : индивидуумы , классы , классы классов и т.д. См . подробнее : Бирюков Б.В . Теория смысла Г . Ф реге // Применение логики в науке и технике . М ., 1960. Логическая или пропозициональная (высказывательная ) функция есть , по определению польского логика А . Тарского , нормальное по форме высказывание , но содержащее переменную , о которой нам ничего не из вестно . Например , высказывание : « x есть студент» (P( x ), где x - переменная , а P - предикат «быть студентом» ). Формально здесь все компоненты высказывания налицо : имеется субъект ( x ), предикат (P) и связка («есть» ), однако ненормальным является то , что о с убъекте содержательно ничего не известно . Тарский сравнивает пропозициональную функцию с незаполненной анкетой , которая становится нормальным документом лишь после заполнения ее конкретными данными. Логическая функция строится по образу математической , уст анавливающей зависимость одной переменной от другой , скажем , y =f( x ). Функция состоит из трех компонентов : область определения аргументов (независимая переменная x) , область значений (зависимая переменная y ) и переход от x к y , то есть собственно функция f (например , y= 2 x , где переход означает умножение на 2). Логическая функция P( x ) также имеет эти три компонента . Область определения , то есть независимая переменная ( x ); область значений , зависимая переменная , в логике их всего два – «истина» или «ложь» (в м ногозначных логиках хотя и много значений , как и в математической функции , но все они расположены в диапазоне тех же двух значений двузначной или черно-белой и т.п . логики ); переход же от одной области к другой выражается предикатом P: x есть (не есть ) y и его вариантами «является» , «принадлежит» , «входит» и т.п. Чтобы избежать ошибки , допущенной Фреге , Рассел строит теорию типов . Тип - это ранг значений пропозициональной функции , то есть совокупность аргументов , для которых функция имеет значение , то есть превращается в нормальное , осмысленное , истинное или ложное , высказывание . Рассел выделил типы : нулевой , первый , второй , третий и т.д . Аргументами нулевого типа являются индивидуумы , вещи ; аргументы 1-го типа - свойства (классы ); 2-го типа - свойства сво й ств (например , конкретные числа : 5, 7, 10 и т.п .); 3-го - свойства свойств свойств (к примеру , обобщенное понятие числа ) и т.д. И далее формулируется принципиальное правило : функция должна быть одним рангом выше ее аргументов . Это значит , что множество n -г о уровня (типа ) должно состоять из элементов n- 1 типа . Так , если в качестве аргументов выступают имена элементов , то функция содержит класс , если аргументами являются имена классов , то функция должна содержать уже класс классов и т.д . Иными словами , в ряду аргументов функции не может быть имен , содержащих ссылку на самое функцию . Рассел писал : «То , что включает всю совокупность чего-либо не должно включать себя» Russel B. Logic and Knowledge. L., 1956. P. 38. . Однако здесь одних лишь логических аргументо в недостаточно . Заявляет о себе философия. Как явствует из рассуждений Рассела , всякое свойство , поскольку оно присуще более высокой ступени , может принадлежать как таковое лишь вещам , обладающим этим свойством , и не должно принадлежать себе . Скажем , «быть белым» приписывается определенным предметам , носителям этого свойства : снегу , мелу , свету белому , но не самому свойству . Столь же лишены смысла вопросы (и ответы на них ) типа : «бытие есть» , «бытия нет» ? Бытие не может быть предикатом , обращенным на себя, но оно предицирует все сущее , поскольку оно есть . Обращение к философии стало неизбежным и при введении логицистами гипотезы бесконечности . А это произошло в связи с формулированием одной из аксиом арифметики : два различных натуральных числа не имеют посл едующим одно и то же число (аксиома функциональности a R b c R b > a = c ). Но если в мире ограниченное число объектов , скажем , 10, тогда все числа после 10 попадают в один и тот же класс (все они тождественны числу 10). Получается , что числа есть , а объектов нет . Разверзлась так называемая «арифметическая катастрофа». Спасти ситуацию способна была только идея бесконечности , то есть уже не логическая , а внелогическая аргументация , допущение «космологической» гипотезы , несущей философский подтекст . «Мы требуем аксиомы бесконечности» , - заявляли сторонники спасения логиц и зма . Но где ее взять , если ни в логике , ни в самой математике подобной аксиомы не содержится ? Аксиома бесконечности формулируется следующим образом . Если n - натуральное число , то всегда существует некоторое множество индивидуумов , содержащее по крайней ме ре n +1 элементов . Поскольку n - неопределенно , это требовало ввести содержательно интуитивные соображения и апеллировать к объективному миру , тем самым ставя под сомнение тезис о независимости логики от философии. Мы коснулись обращений к философии по конк ретным темам . Вместе с тем встает проблема соотношения математики и логики вообще . Ее также трудно решить без философского присутствия. Прежде всего программа логицизма упирается в фундаментальный вопрос , возможно ли сведение математики к логике в принципе ? Безусловно , у них много общего , но все же они - разные дисциплины . Та и другая крайне абстрактны . Однако если математика отвлечена от конкретно-вещественной природы объекта , то логика - от конкретного содержания мысли . Та и другая есть чистые формы , но п ервая - формы пространственных и количественных отношений , а вторая - формы мысли . Это значит , что математика , ее термины обладают специфическим содержанием , не сводимым полностью к логическому . Так , арифметизация математики предполагает ее редукцию не то л ько к целым числам , но и к тому , что называют множествами целых чисел . А это означало бы редукцию к логике помимо арифметики также общей теории множеств . Фреге этого не сделал и даже не пытался сделать , равно , как и другие. Дисциплинарная специфика , препят ствующая сведению математики к логике проявляется еще в ряде случаев . Так , в логике действует принцип идемпотентности (сохранения степени ), который в математике нарушается . Логическая операция дизъюнкции , объединения классов , когда образуется новый класс, включает в себя элементы , которые принадлежат по крайней мере одному из исходных классов a v a=a . В алгебре же a + a= 2 a . Рассмотрим логическое сложение . Если взять высказывание «железо – металл» и прибавить к нему высказывание «железо – металл» , то мы только и получим исходное высказывание «железо – металл» . Но если взять две монеты , да прибавить еще две монеты , то будет уже четыре монеты (конечно , когда прибавленные монеты были другими , а не теми же самыми ). Аналогично операция конъюнкции , логического умнож е ния , то есть отыскание у исходных классов общих элементов . В логике a a=a , в алгебре a* a=a 2 , то есть в логике степень сохраняется , но в алгебре она не сохраняется. Кроме того в алгебре выполняются все логические законы : коммутативности , ассоциативности , дистрибутивности , кроме закона дистрибутивности (распред еления ) дизъюнкции относительно конъюнкции . В логике a v b( c)=(a v b) (a v c), но в алгебре 5+(3* 4) (5+3)* (5+4). Стоит напомнить и то , что процедура арифметизации матема тики как выявление в ней единых оснований в целях последующей аксиоматизации и перевода в термины логики , сама эта процедура таила сбои . Так , в квантовой механике не выполняется закон коммутативности для конъюнкции ( a* b b* a ). То есть здесь нарушается не только логическое правило ( a b = b a ), но и правило алгебры ( a* b = b* a ). Ограниченность программы логицизма проявилась и в том , что при редукции математики к логике не обходим логический аппарат вывода , но правила вывода сама логика не обосновывает . Это можно сделать только в другой системе , следовательно , нужна более широкая интерпретация , что также диктует необходимость обращения к философии. При анализе логицистской п рограммы обнаружилось и еще одно обстоятельство . Оказалось , что аксиоматика Пеано нелокальна , поскольку она удовлетворяет не только числам , но и более широкому кругу объектов , чем натуральный ряд (например , прогрессиям ). Но в самой же логике есть принцип « кто много доказывает , тот не доказывает ничего» (qui kimim probat, neuhil probat). То есть это вносит неопределенность , лишая подобные построения точности и строгости , а ни математика , ни логика не могут такое терпеть. И в довершение и завершение перечня с толь многочисленных прегрешений логицизма принципиальное обстоятельство . На него обратил внимание , в частности , Ван Хао См .: Ван Хао . Процесс и существование в математике // Математическая логика и ее применение . М .: Мир , 1965. С . 315-389 . Положим , удал ось свести числа к логическим описаниям , но ведь тогда числовые выражения становятся громоздкими . Строить и осуществлять с их помощью доказательства , оперировать ими было бы делом крайне трудоемким , и мы вынуждены были бы снова вводить сокращения . Однако г лавное даже и не в этом . Замена арифметического выражения логическим означает , что последнее верно только потому , что верно арифметическое выражение , но не наоборот . Тогда зачем , резюмирует Ван Хоа , это логическое «пришивание оборочек» к арифметическому д о казательству , ничего , собственно , последнему не прибавляющее и несущее лишь доказательство предложения в логике ? В итоге . Как же решил логицизм два основных требования обоснования . 1. Доказательство возможности существования математического объекта осущест вимо , если удается найти ему логическую интерпретацию . То есть если оправдана логика , то оправдана и математика . Однако , как мы видели , это вовсе не самоочевидно , поскольку логика сама нуждается во внешнем оправдании , в частности философией . 2. Доказатель с тво возможной истинности утверждений об объектах математики . Равно и здесь . Математические утверждения истинны , поскольку истинны аксиомы логики . Эта проблема также упирается во внелогические основания , находя их , точнее , растворяясь все в той же философи и и постулатах здравого смысла. Логическое оправдание существованию математических понятий не удалось , и это вынуждены были признать сами лидеры логицизма . Так , Фреге был настолько удручен обнаружением парадоксов , что был склонен даже свою книгу «Основания арифметики» (Grundsд tze der Arithmetic) считать ошибочной . Во всяком случае из задуманных им трех томов этого большого труда вышел лишь первый , а работу над вторым томом прекратил , получив письмо Рассела о парадоксе. И Рассел в работе «Мое философское разв итие» (1959 г .) констатировал : «Восхитительная определенность , которую я всегда надеялся найти в математике , затерялась в путанице понятий и выводов . Это оказался поистине запутанный лабиринт , выхода из которого не было видно» Цит . по : Клайн М . Математик а . Утрата определенности . М .: Мир , 1984. С . 267. . Если уж лидеры выказали разочарование логицизмом , тем более это характерно для других ученых . А . Пуанкаре (сторонник интуиционизма ), столь восхищавшийся на II математическом Конгрессе в 1900 г . теорией м ножеств (этой основы логицизма ), через восемь лет на Конгрессе в Риме назвал теорию множеств тяжелой болезнью , своего рода математической патологией , от которой удалось избавиться . Еще громче возмущался Л . Кронекер (также разделявший идеи интуиционистов ). Он назвал Кантора шарлатаном , заявив : все , что он сделал в области трансфинитных чисел , в сфере актуальной бесконечности - все это мистика . Пала тень и на самое математику . Классический анализ , по Кронекеру , - не более , чем игра в слова . Он мог бы добавит ь , замечает М . Клайн , цитируя Кронекера , что если у Бога есть несколько математик , то ему следовало бы оставить их при себе . И даже Д . Гильберт , отличавшийся сдержанностью , с горечью признавался : «Где же еще искать надежность и истинность , если уж само мат е матическое понимание дает осечки ?» Итак , попытка найти логическое основание существованию математических объектов и правомерности истинностных высказываний о них не увенчалась успехом . Вместе с тем , усилия логицизма не прошли бесследно . Была проделана боль шая работ , положительно отразившаяся на математических исследованиях. 4.1.5 Критика интуиционистами основ логицизма и проблема бесконечности Новая ориентация в обоснованиях , впервые заявившая о себе в 1907 г . представляла реакцию на попытки придать матема тике чисто логическое истолкование . Интуиционисты (Я . Брауэр , Г . Вейль , А . Гейтинг , чуть ранее Л . Кронекер и др .) в противовес этому исходили из того , что математика не может быть сведена к логике , ибо уходит в структуры мысли глубже ее , логика связана с я зыком , который , как показали парадоксы , несовершенен . Поэтому математика не нуждается ни в языке , ни в логике , ибо будучи независимой , автономной от языка , опирается на интуицию. Как полагает голландский математик Я . Брауэр , считающийся основателем интуици онизма , математические мысли рождаются вне слов , слова используются только для передачи мысли , математическое содержание которой не зависит от словесного одеяния . Мысли нельзя выразить адекватно в языке (даже в математическом языке ), поскольку он вносит от клонения от предмета. Все это и делает правомерным для интуиционистов вывод о независимости математики от языка и логики . Более того ими высказывается тезис о том , что логика есть часть математики и была в свое время абстрагирована от последней , именно - о т математики конечных множеств . Вместе с тем это не означает отрицания роли логики вообще. Новые установки повлекли пересмотр фундаментальных математических понятий , принципов и методов , затрагивая не только идеи логицизма , но и всей традиционной математик и . Прежде всего подвергся критике принцип бесконечности . Математическое построение конечно , но не любое построение может быть выполнено фактически , поскольку для его получения надо совершить бесконечное количество шагов . Тем не менее математика свободно о п ерирует с подобными конструктами . Почему ? Как показал отечественный математик , сторонник конструктивистского течения , А . Марков , математик имеет дело не с самой бесконечностью , но лишь с ее абстракцией . От возможности построения подобных объектов отвлекают ся , принимая ее лишь в абстрактном смысле . Это наше действие и опирается на абстракцию осуществимости . Реальное построение бесконечного объекта с точки зрения интуиционизма невозможно , но оно , кажется осуществимым , либо даже осуществлено (если заранее зад а но ). Наиболее сильным допущением является актуальная осуществимость : объект существует , если мыслим без противоречий . На этом основании и строилась актуальная (то есть осуществленная , заданная всеми своими элементами , бесконечность например , натуральный ря д чисел . Благодаря такой абстракции математики оперируют с бесконечными множествами. Другой представитель отечественного конструктивизма Н . Шанин показал гносеологический механизм образования понятия бесконечности . Он поясняет , что , имея набор конструктивн ых средств построения математических объектов , мы можем допустить , что эти объекты не только осуществимы потенциально , но и построены фактически . Необходимы четыре шага. 1) Вводим наряду с реальной , природою данной бесконечностью математическую бесконечнос ть как возможность ; 2) мысленно приравниваем воображаемую ситуацию к реальной , при этом рассуждаем об этом воображаемом построении , применяя методы классической логики ; 3) полагаем сконструированную нами бесконечность независимой от набора конструктивных о пераций ; 4) принимаем бесконечную совокупность одновременно существующих объектов в качестве не связанных вообще с какими-либо конструктивными операциями даже и своим происхождением 87 . Неудовлетворенность традиционной позицией , на которой базировался логиц изм , вызывали несколько моментов. Во-первых , невозможность найти в бесконечном множестве заданный элемент , именно потому , что число элементов бесконечно. Против идеи актуальной бесконечности восставала интуиция . Заданная всеми элементами бесконечность уже не бесконечность . Множество потому и бесконечно , что не закончено , между тем его предлагают завершить , то есть фактически уничтожить и в то же время - сохранить как бесконечное . Это противоречие , ибо натуральный ряд мыслится как неограниченно продолженный. Вызывало недоумение и то следствие теории , что в случае бесконечных множеств теряла силу аксиома - часть меньше целого . Действительно , если удается каждому элементу класса сопоставить один и только один элемент другого класса , значит , они равномощны , экви валентны . Так , множество целых чисел натурального ряда эквивалентно множеству квадратов этих чисел , то есть часть оказывается равна целому , ибо невозможно указать какое-либо натуральное число , которому мы не могли бы сопоставить квадрат этого числа. Эти и другие моменты ставили под сомнение методы теоретико-множественного подхода Г . Кантора , а тем самым и концепцию логицизма . Математический объект принимается существующим , если он мыслим без противоречий , между тем сказанное (логические парадоксы , актуализ а ция бесконечности , вывод о том , что часть равна целому ) как раз свидетельствовало о глубине противоречивости в построениях Кантора Имея в виду отмеченные неувязки , интуиционисты назвали канторову теорию множества любопытным «патологическим казусом» , от к оторого грядущие поколения придут , вероятно , в ужас . 5. Интуитивистская альтернатива Все беды обоснования интуиционизм видит не собственно в логике (в несовершенстве ее аппарат ), а в самой математике и именно в неточном использовании ее понятий , прежде всего - понятия бесконечности . Первично математическое мышление , а язык и логика суть несовершенные способы его выражения. Достичь точности и должна помочь интуиция . Необходимо , чтобы все построения опирались только на те утверждения , которые санкциониров аны изначальной интуицией . Материал , из которого созидаются математические объекты , не является собственно математическим . Это актуально переживаемое . Оно очищено от всего , берется лишь сам акт восприятия . Изначальная интуиция - деятельность , связанная с г лубинным ощущением времени . Идея выводить число на основе времени восходит еще к Канту . Человеку всегда дано нечто переживаемое . В качестве элементарного акта мысленных построений интуиционизм рассматривает разделение моментов жизни на качественно различн ы е части , которые , будучи разъединены лишь временем , могут быть снова объединены . В силу сменяемости и последовательности событий , мы , воспринимая некоторый объект , можем говорить о следующем за ним объекте . Одновременно происходит очищение разделения пере ж иваемого от какого бы то ни было эмоционального содержания до момента , пока не останется интуиция абстрактного двуединства . «Два в одном» - это и есть базисная интуиция Я . Брауэра. Отметим , что к аналогичному представлению подошел также известный немецкий ученый Г . Гельмгольц , предвосхитив интуиционистское понимание происхождения чисел. Стоит особо подчеркнуть тот факт , что хотя по внешним описаниям рассуждения интуиционистов по поводу возникновения числового ряда кажутся построенными на механическом повтор е восприятия , на самом деле они , вводя интуицию , пытались уйти от автоматизма , скорее характерного для строго логического мышления и сторонников логицизма . Математическая традиция , на которую опирались логицисты , исповедовала математику «чистых количеств», которая легла опорой математического естествознания . Интуиционизм же , нащупывал выход к другим основаниям , в истоках которых находится , как выражались иные , «математика качеств» . Она связана не со сложением (механическим повторением ), а с операцией делен и я , когда «два» является не внешним повторением «одного» , а внутренним результатом его саморасщепления . Подобное раздвоение единого таит начала бесконечного числа . Это хорошо иллюстрирует схема Эрнста Бинделя . В ряду справа - операции механического мышления n +1, в столбце слева - акты человеческого мышления 1 : n . Если правый ряд отрицает левый , то левый органически содержит в себе правый как один из моментов анализа. Итак , первичные математические объекты постулируются на основе интуиции. Другим важным пунктом интуиционистской программы был пересмотр принципов конструирования систем математических объектов . Брауэр полагал , что они должны формироваться на базе некоторых принципов построения , но не вводиться в математический обиход с самого начала целиком , как множества , отвечающие требованиям заданных аксиом. Вс е это существенно меняло подход к обоснованию математики . Для логицизма математический объект существует , если его определение не приводит к противоречию . С точки же зрения интуиционизма существование объекта оправдано , если он задан эффективным определен и ем , указывающим способ (алгоритм ) построения . Наиболее адекватно отвечают этому генетические , фиксирующие происхождение объекта , определения . Разъясняя смысл интуиционистского подхода , Вейль пишет : «Для математика совершенно безразлично , что такое окружно с ть , для него принципиально знать , каким образом может быть задана окружность» . То есть не суть важно , что собой представляет окружность , каково ее математическое содержание , имеет значение лишь способ , каким она может быть построена . По идее логицистов , в с е производные понятия дедуцируются из исходных , здесь же понятия рассматриваются не как выводимые , а как порождаемые в некотором определенном порядке . Налицо генетический (вместо аксиоматического ) метод построения теории , вместо дедукции - конструкция Сл едует заметить , что интуиционистские теории так же могут быть изложены аксиоматически (и это сильнейший аргумент в пользу интуиционизма ), здесь используются другие методы . Соответственно в аксиоматике исходным является система высказываний , описывающая не которую область объектов , и система логических действий над ними . Важны отношения , устанавливаемые между объектами , тогда как последние могут обладать любой природой (получать самую различную интерпретацию ). При генетическом же построении исходными являют с я не высказывания , а наличные , данные объекты , которые вводятся остенсивно , то есть путем прямого указания на объект , и уточняются индуктивными определениями . В свете новых идей пересматриваются интуиционизмом и логические принципы. Абстракция потенциальн ой (не актуальной ) осуществимости предполагает , что элементы бесконечного множества не могут быть заданы одновременно , они последовательно возникают в процессе его построения . Это становящаяся бесконечность , не имеющая последнего члена , ибо после n шагов всегда можно сделать ( n +1)-ый шаг . Так , вместо актуальной бесконечности принимаемой логицизмом и традиционной математикой , вводится понятие потенциальной бесконечности. Ультраинтуиционистское течение (одним из представителей которого является выдворенный в свое время из СССР сын поэта Сергея Есенина А . Есенин-Вольпин ), отказывается не только от актуальной , но и от потенциальной бесконечности , признавая лишь конечные множества - концепция «откровенной точки зрения» . В соответствии с этим подвергаются уточне н ию понятия всеобщности и квантора общности . Математические высказывания , содержащие выражения «все» , «каждый» и т.п ., принимаются , только если указан способ их получения . В частности , нельзя говорить о всех , но о каждом можно. Особое внимание уделяется зак ону исключенного третьего . Утверждается , что принципы классической логики не имеют абсолютной приложимости , не зависящей от содержания предмета обсуждения . В частности , закон исключенного третьего , сохраняя силу для конечных множеств , утрачивает ее в обла с ти потенциально бесконечного , как незавершенного бесконечного. В связи с этим интуиционизм не приемлет и метода доказательства от противного , поскольку оно покоится на законе исключенного третьего . Критические выступления против классической логики застави ли интуиционистов разработать новые , уточненные принципы логики . Первое интуиционистское исчисление построил Гейтинг в 1930 г . Для самих интуиционистов исчисление не представляло интереса , зато другие математики получили , наконец , возможность познакомитьс я с новой логической системой . Тут же были предприняты попытки ее анализа . Первым , кто получил результаты , стал отечественный математик А.Н . Колмогоров , который показал , что гейтинговское исчисление поддается интерпретации в терминах классической логики ка к исчисление проблем (задач ). При этом , оставляя понятия «проблема» и ее «решение» неопределенными (как это и делается обычно ), интуиционизм ставит в соответствие конъюнкции решение двух проблем , дизъюнкции - хотя бы одной из двух , импликации - сведение ре ш ения одной проблемы к решению другой . Интуиционистская логика оказывается здесь частью классической . Вместе с тем есть и другие интерпретации , где , наоборот , классическая логика переводима в интуиционистскую. 5.1 Ограниченность интуиционизма Логико-матем атические идеи интуиционистов тесно переплетены с известными философскими установками , которые выдают их во многом односторонне-субъективное происхождение. Поскольку изначальной реальностью здесь выступает восприятие , нечто непосредственно (интуитивно ) пос тигаемое и лишенное эмпирически достоверного , то математические объекты считаются полученными независимо от чего-либо внешнего разуму , являются свидетельствами интеллигибельного мира . Как заявляет , например , Г . Вейль , «числа суть вольные творения духа» В ейль Г . О философии математики . М.Л ., 1934. С . 52 . Делается вывод об отрицании объективности математического знания . Отсюда математическая теорема , по Гейтингу , - чисто эмпирический факт , именно успех некоторого построения , а сама математика есть изучение некоторых функций человеческого мозга . Реализуя принципы потенциальной бесконечности , интуиционисты акцентируют внимание на процессах построения объектов вместо его результата . Принимается , например , закон построения чисел , а не их совокупность . Важно , не что получить , а как получить . Следовательно , существовать , значит , «быть построенным». Математика объявляется не теорией , но родом деятельности , сводится до операционализма , ибо , де , записанные на бумаге результаты , знаки суть вторичное , первично же само их конструирование. Наконец , пересмотру роли закона исключенного третьего так же соответствует известная философская платформа . Поскольку мы не можем знать , обладает некоторый элемент бесконечного множества заданным свойством или не обладает , то объективн ой истины нет . То , что мы называем истиной , суть творение мысли . Истина возникает в момент , когда удается данный элемент построить. Заметим , что здесь интуиционизм смещает проблему с вопроса об истине к вопросу о способах ее верификации . Из того , что мы не в силах проверить на истинность какое-либо утверждение (например , есть ли жизнь на других планетах ), это утверждение не перестает быть либо истинным , либо ложным . Интуиционистское неприятие закона исключенного третьего вызвало особо острую критику со сто р оны математиков , и не только тех , кто разделял идеи логицизма . Ибо затрагивался фундаментальный принцип математики , более того , дело касалось логической основы самого человеческого мышления . По отмеченному поводу Д . Гильберт заявлял : отнять у математиков э тот закон все равно , что забрать у астронома телескоп или запретить боксеру пользоваться кулаками . Поэтому , резюмирует Гильберт : «Запрещение теорем существования и закона исключенного третьего равносильно отказу от математической науки» Гильберт Д . Основ ания геометрии . М.-Л ., 1948. С . 383. . Преувеличенно-субъективные установки интуиционистов проявились и в полном игнорировании роли практической деятельности в оценке математических построений . Конечно , математика весьма далека от непосредственных примерок ее теорий к материально-производственной работе . Однако путем ряда опосредований через естествознание , прикладную науку , технику и т.п . математическая мысль все же находит (или не находит ) внешнее оправдание и проверку на истинность . Интуиционизм исключа е т вообще какие-либо подобные действия . Функцию практического критерия замещает все та же интуитивная ясность суждений. В итоге , как и логицизм , интуиционистское направление не смогло выполнить обещаний , и предложить эффективные методы обоснования математик и. Попытка осуществить демонстрацию возможности существования математического объекта , опираясь на идеи интуиционизма , успехом не увенчались . С самого начала выступлений интуиционистов возникло немало вопросов , нуждающихся в разъяснении , но так и не получи вших его . Прежде всего дело касалось фундаментального понятия базисной интуиции , ссылкой на которую и демонстрировалось оправдание факта введения объектов математики . Было заявлено о безусловной надежности актов изначальной интуиции , ее безупречной точнос т и в качестве единицы математического мышления , благодаря чему , якобы , удается избежать неопределенностей , сопровождавших классическую математику. В итоге от математики после ее переделки остаются , по мнению ряда видных ученых , жалкие остатки в виде немного численных и не связанных друг с другом единичных результатов по сравнению с могучим размахом современной математики . Не случайно Н . Бурбаки назвал интуиционизм «историческим курьезом». Таким образом , интуиционизм не принес успокоения в математику . Многие е е разделы оказались в свете интуиционистских установок неприемлемыми. 5.2 Конструктивная ветвь Попытки спасти интуиционистские идеи и начинания , развить далее оригинальные и продуктивные мысли предприняли сторонники конструктивного течения . Продолжая тр адицию интуиционистского направления , конструктивисты отмежевались от субъективистских выводов его философии и внесли существенные уточнения в методы построения математических объектов , расширив базис конструкции. Молодое течение , прежде всего его отечеств енные представители (А.А . Марков , Н.А . Шанин ), подвергли критике философские установки интуиционистов : понимание истины , вопрос о критериях истины и др. В частности , отказываясь от абстрактных показателей истинности математического знания , лидеры интуицион изма апеллировали к изначальной интуиции , подчеркивая ясность ее образований . Обращаясь к этой фундаментальной философской установке , А.А . Марков приходит к выводу , что она неприемлема . Критике была подвергнута и интуиционистская идея «свободно становящей с я последовательности» , как несущая с собой мысль о бесконтрольности математического творчества перед постулатами логики , как деятельность , опиравшаяся на поток сознания , якобы , не детерминированный никакими внешними ему определениями. Другим пунктом расхож дений было следующее . Интуиционизм , принимая идею «свободно становящейся последовательности» , предполагал в качестве «среды свободного становления» континуум . Однако , как замечает А . Марков , «судя по описаниям интуиционистов , свободно становящиеся последо в ательности не являются конструктивными объектами и их нельзя рассматривать , не привлекая абстракцию актуальной бесконечности» Марков А.А . О логике конструктивной математики . М .: Знание , 1972. С . 45 . Далее , конструктивисты не считают математическое постр оение чисто «умственным занятием» (как принято в интуиционизме ). Мысленный характер имеют не наши построения , а рассуждения о них (в частности , об абстракции потенциальной осуществимости ). Принимается следующее определение : «Конструктивная математика - аб с трактная , умозрительная наука о конструктивных процессах , о нашей способности осуществлять такие процессы и их результатах - конструктивных объектах» . Примером конструктивного процесса может быть построение ряда вертикальных палочек I I I I I. Оно осущест в ляется посредством написания одной палочки , приписывания к ней справа другой , к полученным - еще одной , затем еще , и еще одной . В итоге имеем конструктивный объект , изображенный выше . Назовем его натуральным числом , в нашем случае – «пять» Марков А.А . О логике конструктивной математики . М .: Знание , 1972. С . 4 . Конструктивизм разрабатывает понятие алгоритма как разрешающей процедуры , распадающейся на ряд строго задаваемых действий или предписаний в их четкой детерминированности . Алгоритм есть последовател ьность операций , шагов , где каждый данный шаг однозначно детерминирован предыдущим и , в свою очередь , столь же однозначно детерминирует последующий шаг , то есть мы знаем что и в какой последовательности надо делать . Например , умножение , извлечение корня и т.д . Отсутствие этого понятия тормозило развитие конструктивного направления. Алгоритм вносит : а ) точность предписания , не оставляя места произволу ; б ) возможность решения по одной и той же программе любой из некоторого класса задач , отличающихся значениям и каких-либо параметров (массовость алгоритма ); в ) направленность , организуя на достижение известной цели и гарантируя искомый результат См .: Яновская С.А . Методологические проблемы науки . М .: Мысль , 1972. С . 188. . В 30-х г . прошлого века А.Марковым р азвито понятие нормального алгорифма , серьезно повлиявшего на развитие конструктивных методов . Нормальный алгоритм есть стандартное предписание , определяемое его схемой . Благодаря предписанию любое слово алфавита (последовательность символов или букв , обр а зуемая из символов , принятых в данном алфавите ) может быть преобразовано в некоторое другое слово . Алгорифм определяет и окончание процесса , хотя последний может и не наступить. Вместе с тем уточняются логические основания конструктивной математики . В его фундаменте лежат те же логические установки , что приняты интуиционизмом : ограничение области действия закона исключенного третьего , иное понимание операций отрицания , уточнение импликации. На основе идей конструктивизма были разработаны новые подходы , обог атившие математический анализ . Создается конструктивная теория функций действительного переменного . В ряду особо важных достижений теории исследователи отмечают доказательство теоремы о непрерывности конструктивных функций . Получили плодотворное развитие к онструктивные теории дифференцирования и интегрирования , конструктивный функциональный анализ . Благодаря этому появились новые методы , способствующие прогрессивному развитию математической мысли , новым открытиям . Таковым было например , достижение молодого отечественного математика конструктивистской школы Ю . Матиясевича , который установил в 1970 г . алгоритмическую неразрешимость 10-й проблемы Гильберта , ожидавшей своего часа целых 70 лет. Мы рассмотрели интуиционистское обоснование математики и его развитие конструктивистами . Следует отметить , что несмотря на субъективно-идеалистические посылки интуиционизма , он вносит новое понимание проблемы и новые методы , оказавшиеся особенно успешными в части их ориентации на идею конструктивного построения математичес к их объектов и имеющие , по мнению специалистов (в том числе и не-интуиционистского лагеря ), хорошие перспективы. Вместе с тем интуиционизм и конструктивизм , естественно , также не могли единолично решить проблему обоснования . На том , что сделано интуиционизм ом и конструктивизмом , также не могла быть законченной работа по выявлению аспектов подхода к сущности математических объектов , оправданию правомерности их существования. 6 Программное заявление Кризисные явления в математике , заставившие обратиться к е е обоснованиям , и трудности , вставшие перед логистами , породили наряду с интуиционизмом еще одно течение - формализм . Первые выступления формалистов связаны с именем крупнейшего немецкого математика Д . Гильберта и относятся к 1902-1904 гг . Но основные иде и этого направления сложились позднее в полемике с интуиционизмом. Под ударами интуиционистской критики незыблемость устоев математики была поколеблена . В двадцатые годы Гильберт , его сотрудники и соратники В . Аккерман , И . Бернайс , фон Нейман и др . приступа ют к математической разработке программы формализма . В 1934 г . вышел первый том «Оснований математики» , в фундаменте которого лежала теория доказательства. Гильберт подверг критике оба предшествующих направления. В противовес интуиционизму он утверждал , чт о интуиция не может быть исходным базисом математических построений , поскольку она неопределенна , расплывчата . Одновременно Гильберт расходится и с логицистами , утверждая , что логика не предваряет математику , ибо прежде , чем оперировать по законам логики со знаками , надо эти знаки иметь , то есть располагать объектами , поддающимися логическим операциям . Никакая наука , в том числе и математика , не может , по его мнению , быть основана только на логике . Наоборот , чтобы производить умозаключения и другие логиче с кие операции , мышлению должны быть уже предпосланы некоторые внелогические объекты , существующие наглядно. Следовательно , ни интуиция , ни логика не могут стать оправданием математики , ее базисом . Основанием математики является , по Гильберту , сама математик а , именно ее внутренняя непротиворечивость Как заметил профессор Кенигсбергер , «математика принадлежит к числу тех наук, которые ясны сами по себе » . Цит. по Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии . М.-Л ., 1937. С . 149. . Но , критикуя концепц ию предшественников , Гильберт берет то , по его мнению ценное , что ими было создано . Опираясь на логицизм и традицию классической математики , он восстанавливает власть закона исключенного третьего над математическим мышлением . Не следует отказываться от эт о го закона , говорил Гильберт , как и от остальных законов аристотелевской логики . Вместе с законом исключенного третьего обретает прежнюю силу и правило доказательства от противного (ex adverso). Это один из видов так называемого анагогического , то есть неп р ямого , косвенного доказательства . Положим , надо доказать тезис A . Допускаем не- A . Из этого A выводим некоторое следствие B , приводящее к противоречию . Следовательно , B является ложным . Отсюда высказывание A B может быть истинным только если A является ложным , соответственно A есть истина . Иными словами , из ложност и антитезиса вытекает истинность тезиса. В свою очередь , доказательство от противного служит опорой принятия актуальной бесконечности , также восстанавливаемой Гильбертом вместо интуиционистского принципа потенциальной бесконечности . То есть проявляется ори ентация на финитные методы в противовес требованию интуиционизма , отстаивающего идею незавершаемости процедуры построения математического объекта . С другой стороны , Гильберт принимает от интуиционистов понятие алгоритма как четко детерминированной последо вательности операций мысли . Близкие контакты с конструктивизмом наметились в области теории формального доказательства , развитой Гильбертом не без учета идей конструктивной математики . Отметим в этой связи тот факт , что Гильберта относят к основателям кон с труктивного направления . Теперь о программе формализма более подробно. Предлагая новое решение проблемы обоснования , Гильберт исходил из идеи , что содержательная математика не может быть логически противоречивой , иначе она вела бы к ошибкам в практической деятельности . Теория , раздираемая противоречиями , не способна вести к успеху в производственных и житейских делах . Но ссылка на практику - аргумент недостаточно корректный , поскольку математика оперирует не с вещами реального мира , а со знаками . Следовате л ьно , речь должна идти о противоречиях в области знаковой формы . Тем самым показатель непротиворечивости как оправдание правомерности введения математических объектов и истинности утверждений о них переводится Гильбертом из фактуально-содержательного плана в чисто формальный план , из сферы гносеологии в область логики , от семантики к синтаксису . То есть надо доказать внутреннюю непротиворечивость математики , в чем и лежит ключ к ее обоснованию. Итак , в качестве исходной и единственной реальности , с которой и меет дело математика , являются , по мнению Гильберта , знаки . Речь идет у Гильберта о внутриматематичском языке , об отношении знака к знаку , а не о том , какова связь математических объектов с внешней реальностью , каковы механизмы абстрагирования , эмпирическо й обработки чувственно данного , которые приводят к появлению символики . Символы взяты в качестве математической реальности после того , как они были «извлечены» из действительной реальности . То есть это очищенные от какого-либо конкретного содержания знаки Г . Вейль вспоминает : На одном математическом заседании в 1891 г . при обсуждении доклада Г . Викера Гильберт бросил реплику : «Надо , чтобы такие слова , как «точка» , «прямая» , «плоскость» , во всех предложениях геометрии можно было заменить, например, словами стол, стул, пивная кружка » . См.: Вейль Г. Математическое мышление . М .: Наука , 1989. С . 237.. . Оперируя со знаками , вычисляя , комбинируя и т.п ., математик забывает о предметах природы , которые они могут представлять . Также , принимая методы обоснования мат ематики , можем отвлечься , говоря современным языком , от семантики знаков , рассматривать их как самостоятельную реальность , точнее , искусственно созданную человеком , но после создания отчужденную , и от нас , создателей , уже не зависящую , поскольку знакам «в м еняется» в обязанность функционировать по заранее принятым правилам преобразования одной знаковой последовательности в другую. Этим достигается полная строгость и ясность . Отвлечение от содержательных аспектов знака , по Гильберту , совершенно необходимо . В противном случае математика утратит характер достоверного и абсолютного знания , ибо , предваряя посылки , мы переходим в область проблематичного (различие во мнениях как раз покоится на различии предпосылок ) 110 . Отвлекаясь от содержательного момента знаков , переходим в сферу формализованного исчисления. Итак , знаки очищены от семантики . Однако это пока не доказательство обоснованности математических построений . Простое декларирование математических знаков последней для математики реальностью еще не делает эт и знаки эквивалентными предметам действительности . Гильберт ищет дополнительные условия . Ими и провозглашается требование непротиворечивости , которое регулирует поведение знаков . Непротиворечивость есть внутриматематический аналог критерия практики , испол ь зуемого в естествознании 111 . 6.1 Концепция абсолютного доказательства и метод формализованной аксиоматики Чтобы доказать непротиворечивость , Гильберт использует метод так называемого абсолютного доказательства , который находит реализацию в идее формализо ванной аксиоматики. Вообще , аксиоматика уже вошла в арсенал математических средств . Благодаря этому геометрия древних была «расшифрована» как наука получения следствий из принятых предложений , то есть выявлен механизм выведения знаний , имеющих принудительн ый характер. Однако с усилением абстрактности математики (в частности , благодаря открытию неэвклидовых геометрий ), с утратой наглядности аксиом , возникло сомнение в непротиворечивости последних . Обычно непротиворечивость доказывалась построением моделей (и нтерпретаций ). Необходимо , чтобы каждый постулат оказался истинным утверждением об объектах модели . Если это выполняется , значит постулаты системы совместимы. Так , неэвклидовы геометрии интерпретируются на эвклидовой , непротиворечивость которой служит аргу ментом непротиворечивости первых . Для интерпретации же самой эвклидовой системы прибегали к арифметической модели (предложенной также Гильбертом ). Но здесь и обнаружилось несовершенство описанных методов доказательств . Они не абсолютны , поскольку предпола г али ссылки на другие системы , в конечном счете - на арифметику . Последняя же включает бесконечное число объектов (натуральный ряд ) и не обозрима в конечное число шагов . Поэтому постулаты не могли быть интерпретированы . Так , для аксиомы о параллельных треб о валась модель бесконечно продолженных параллельных . Невозможность получения такой модели означала отсутствие гарантий , что на каком-то этапе ее построения не встретимся с противоречием. Предложенное Гильбертом доказательство не связано с интерпретацией (до пущением непротиворечивости другой системы ) и опирается лишь на наличное , заданное построение . Потому оно названо абсолютным (прямым , непосредственным ). В чем же его суть ? Новый метод предполагал построение формализованной аксиоматики . До этого была извест на модель содержательной аксиоматики , осуществленной Гильбертом же на основе построения геометрии Эвклидом . При этом Гильберт внес существенные коррективы в систему Эвклида , для которой характерно следующее . 1. Отсутствие списка исходных объектов . 2. Нали ч ие ссылок на интуицию и опыт , например , в понятиях «лежать между» , «находиться внутри» и т.п . 3. Отсутствие четко фиксированных правил вывода . Последние принимались сами собой разумеющимися , предшествующими математике и взятыми из логики (аналогично тому, как используются логические правила в обыденных рассуждениях : мы соблюдаем их , специально не договариваясь об этом ). Приводя содержательную аксиоматику эвклидовой геометрии , Гильберт соответственно уточняет . 1. Приводит полный список исходных объектов и ак сиом . 2. Объекты вводятся им без каких-либо ссылок на опыт . Он избегает попытки дать определения путем указания свойств . Вернее , избегает давать обычные определения через родовидовые или генетические признаки и использует так называемы имплицитные (скрыты е , неявные ) определения - через аксиомы . Это содержательная аксиоматика . Но теперь Гильберт идет дальше к аксиоматике формализованной , в которой в качестве исходных образований фигурируют абстрактные символы , а вместо содержательных предложений (аксиом , те орем и т.п .) - сочетания символов . В результате остаются лишь формулы. Формализация предполагает следующие шаги . (1) Задают полный перечень символов , которые используются в системе («алфавит системы» ). Так водятся исходные объекты . Гильберт в связи с этим говорил следующее . Будем мыслить три системы вещей . Вещи 1-ой называем точками и обозначаем A , B , C ; вещи 2-ой системы - прямыми ( a , b , c ); вещи 3-ей - плоскостями (a , b , c ). Далее , (2) вводятся правила образования из «букв» алфавита его формул (предло жения системы ). Это формальная грамматика исчисления , то есть допустимые в системе знаковые сочетания (предложения , формулы ). Но их много . Потому из числа формул отбираем исходные (3). Они образуют базис системы . Наконец , (4) устанавливаем правила преобра з ования формул (правила вывода ), чтобы из исходных получать все остальные . Тогда исходные формулы суть аксиомы , а получаемые путем применения к ним правил - теоремы . Последние образуют «тело» системы. Таким образом , все составляющие математику предложения о казываются формулами . Налицо исчисление : в совокупность исходных символов входят те и только те , на которые мы указали , аксиомы же и теоремы - просто «строчки» , последовательности лишенных значения знаков. А теперь перейдем к решающему пункту программы Д . Гильберта . Имея такую формализованную систему , можем провести прямое (не выходящее за рамки системы ) доказательство ее непротиворечивости . Это и есть абсолютное , без каких-либо ссылок на эмпирию , на интерпретационные модели , доказательство . Оно имеет алго р итм и цель . Алгоритм заключает три шага : 1) предъявляется формула ; 2) что из предъявленной формулы следует другая (правила заданы ). И эта другая - следствие либо из аксиом , либо из ранее доказанных теорем ; 3) предъявляется другая формула . Это средства , а ц ель ? Именно непротиворечивость . Доказательство реализуется так : манипулируя с принятыми символами по правилам системы , никогда не получим два логически противоречивых высказывания F и не -F .Например , утверждение « 0=0» и его отрицание . Иными словами , нерав е нство «0 0» в системе не должно быть доказуемо . Свои метод ы Гильберт назвал финитными : они не используют ни бесконечных множеств структурных свойств формул , ни бесконечных множеств операций над формулами. Так было получено понятие доказательства абсолютной непротиворечивости формальных систем , а вместе с ним , как полагал Гильберт , - и доказательство непротиворечивости математики . Иначе говоря , казалось , что получено обоснование последней С помощью теории доказательства ⌠ я хотел бы , √'76 писал Гильберт , √'76 окончательно разделаться с вопросами обоснования математики как таковыми┘'2d■'a6 Гильберт Д . Основания геометрии . М.-Л .: ОГИЗ , 1948. С . 365. . Вывод , к которому приходит формалистское направление , состоит в том , что обоснование математики в ней самой. Вскоре однако произошло событие , имевшее столь же радикальные последс твия , как в свое время обнаружение парадоксов Рассела. 6.2 Результаты Геделя В 1931 г . 25-летний австрийский математик Венского университета Курт Гедель (позднее , после аншлюсса эмигрировавший в США ) доказал теоремы , из которых следовало , что программа Г ильберта не выполнима . Идеи Геделя оказали столь сильное влияние , что дальнейшее развитие логики шло уже под знаком тех выводов , которые были получены Геделем. Аксиоматизируя какую-либо область знания , полагали , что систему аксиом удается подобрать так , чт о она будет полной . По Гильберту и Аккерману , полнота означает возможность выведения всех истинных формул определенной области знания из данной системы аксиом . Это широкий смысл . Более строгое понятие полноты предполагает , что присоединение к системе како й -либо невыводимой , формулы обязательно приводит к противоречию Гильберт Д ., Аккерман В . Основы теоретической логики . М .: ИЛ , 1947. С . 66 . Но что значит невыводимая формула ? Это формула , (высказывание ) недоказуемое в данной системе , то есть ее нельзя опр еделить на истинность : ни подтвердить , ни опровергнуть . Такие образования мысли считаются неразрешимыми . Математики и логики , строя аксиоматические системы (Рассел и Уайтхед , Цермело , Френкель и др .), исходили из того , что аксиом и правил вывода системы д о статочно для того , чтобы решить любой математический вопрос , который может быть формально выражен в соответствующих системах . Следовательно , аксиоматизированная арифметика полна или может быть пополнена добавлением конечного числа аксиом. Гедель же как раз и доказал , что это не так , что все подобные построения , содержащие в качестве своей части формальную арифметику , не полны . Это значит , что в них всегда можно сформулировать проблему , построить предложение , которое нельзя ни доказать , ни опровергнуть . В ч а стности , подобное предложение можно высказать в виде x , которое содержит утверждение о своей недоказуемости . Такое предложение , хотя и является истинным , но доказать его невозможно . Отсюда вытекает , что система не полна . То есть при попытке провести полную формализацию всегда обнаруживается некий остаток , который не поддается формализации , свидетельством чему и является предложение x . Однако можно поступить и так . Принять этот неподдающийся остаток в качестве аксиомы и пополнить им список аксиом нашей систе мы , сделав ее полной . Но тогда в этой новой системе найдется другое предложение x? , которое , несмотря на истинность , также окажется неразрешимым и т.д . Иначе говоря , система не полна и непополняема. В своей первой теореме Гедель и резюмировал , что любая ло гистическая система , настолько богатая , чтобы содержать формализованную рекурсивную арифметику , либо противоречива , либо включает хотя и истинную , но неразрешимую формулу , такую , которая недоказуема сама и недоказуемо ее отрицание . Вейль по этому поводу в шутку заметил : ⌠ Бог существует , поскольку математика несомненно непротиворечива . Но существует и дьявол , поскольку доказать ее непротиворечивость мы не можем. . Утверждая , что система либо неполна , либо противоречива , имеют в виду следующее . Систему мож но сделать полной , но лишь включив в нее такую аксиому , на основе которой предложение будет и истинным и ложным. Эта теорема и была названа теоремой о неполноте формализации (точнее , формализованной арифметики ). В чем же источник неполноты ? Математические системы , включающие формальную арифметику , допускают , как мы уже отметили , возможность формулировать предложение о собственной недоказуемости . Здесь и возникает антиномия . Запишем предложение : Это предложение недоказуемо . Допустим , что данное предложение л ожно . То есть неверно , что оно недоказуемо . Следовательно , оно доказуемо . Притом оно истинно , поскольку , допустив , что оно ложно , мы получим противоречие . Но от этого не легче . Мы доказали , что наше предложение истинно , а в истинном предложении утверждает с я то , что есть на самом деле , то есть , что предложение недоказуемо . Иначе сказать , мы доказали недоказуемое . Где ошибка ? Причина в недостаточной определенности самого понятия доказуемости . Общее понятие доказуемости отсутствует , и можно говорить лишь о док азуемости относительно конкретной системы Подробнее см .: Смаллиан Р . Как же называется эта книга ? М ., 1981. С . 237-238. . Но здесь мы выходим к 2-й теореме Геделя. Возникает вопрос , не является ли факт неполноты теории выражением ее противоречивости ? Док азательством 2-ой теоремы Гедель осветил и эту проблему , определив границы непротиворечивости формализованной системы . Формализованная арифметика не обязательно должна быть противоречивой . Но если она непротиворечива , утверждает Гедель , то не существует д о казательства ее непротиворечивости , которое можно было бы провести средствами , формализуемыми в этой системе . Таким образом , дело не в том , что вообще нельзя доказать непротиворечивость арифметики . Невозможно такое доказательство непротиворечивости , котор о е могло бы быть отображено (переведено ) в формальное доказательство , проводимое в самой формализованной арифметике , на языке данного исчисления. Безусловно , выводы Геделя имеют более широкое , чем критика формализма , применение . Теоремы выявили ограниченнос ть подходов школы Гильберта . Замыкая проблему обоснования математики на самой математике , формализм подменил вопрос об истине ее утверждений требованием непротиворечивости . Но не все сводимо к синтаксису знаков (например , чисел ) и их соединению в формулы. На развитие математики оказывают влияние проблемы , связанные с выяснением предметного значения символов и их сочетаний (формул ), а также вопросы практического назначения знаков , использование достижений математики в прикладных аспектах , в решении конкретн о -научных , производственных , технологических и т.п . задач . Короче , наряду с синтактикой выполняют важную роль также семантика и прагматика. Б . Рассел так охарактеризовал эту ситуацию : формалист , писал он , подобен ому часовому мастеру , который настолько погл ощен тем , чтобы лучше выглядели часы , что забывает об их назначении показывать время. Тем не менее вопреки выводам Геделя Д . Гильберт (как и многие математики ) продолжал верить в осуществимость своей программы и не считал , что потерпел поражение , продолжая работу по исследованию темы Не случайно , что в надгробии могилы Гильберта высечено : Wir mussen wissen. («Мы должны знать» ) Wir werden wissen. . («Мы будем знать.» ) - с лова, остававшиеся девизом его жизни. . Вообще сложилась характерная ситуация . Ряд мат ематиков , признавая правоту Геделя , в то же время сомневались в том , что математическую логику удастся привести к совершенству , когда она могла бы обнять всю математику единой формальной системой , наподобие той , что демонстрирует Гедель . Подспудный смысл т аких построений выдает сопротивление стремлениям сузить компетенции математического мышления , тем самым обеднив его . Как заметил современный американский математик П . Коэн , жизнь была бы приятней , не будь гильбертовская система потрясена теоремой Геделя. В месте с тем следует признать , что выводы Геделя (как и ряд аналогичных теорем А . Тарского , А . Черча и др .) не означают признания ущербности формальных систем . И хотя они указывают границы применимости формализмов , только на этом их значение не замыкается. На основе указанных решений удалось раскрыть существенные аспекты многих содержательных понятий , например , «истинность» , «доказуемость» , «логическое следование» . Скажем , разработка Тарским проблемы истины в формализованных языках составили глубокий вклад в теорию истины. В связи с этим уместно напомнить о методологической функции запретов в науке , одним из которых и является теорема Геделя. Обращаясь к этой теме , Н . Овчинников подробно прослеживает историю науки под углом плодотворности действия запретов н а эволюцию знаний , начиная с исторически первого запрета - принцип атомизма (нельзя разделять , дробить и т.п . частицы вещества , из коих состоит мир ) и до современных запретов . По сути дела каждый крупный шаг в развитии знания , особенно точного , связан с в ы движением новых запретов , а теоретические построения без запретов не могут претендовать на научность В частности , по поводу принципов атомизма кто-то из физиков заметил : «Если бы вся научная информация погибла , то , располагая лишь единственной гипотезой об атомистическом строении вещества , можно было восстановить всю науку » . . Напрашивается мысль рассуждения Овчинникова резюмировать следующим образом . В научном познании настойчиво проявляют себя различные варианты запретов , играющие важные методологически е и эвристические роли , постоянно витает , говоря словами К . Поппера , «интуитивная идея , суть которой в том , что утверждения или теории говорят тем больше , чем больше или запрещают или исключают» См.: Овчинников Н.Ф. Знание - болевой нерв философской мысли // Вопросы философии . 2001., 2, С . 124-151. Цит . там же . С . 145. . Специально же тема позитивного запретительного значения теорем Геделя рассматривается А.Н.Паршиным См . Паршин А.Н . Размышления над теоремой Геделя // Вопросы философии . 2000. ╧'a6 6. С. 92-109 . Также отмечая позитивную методологическую роль запретов (закон сохранения энергии , ограниченность скорости света в теории относительности , принцип неопределенности Гейзенберга и др .), Паршин делает следующий вывод . Согласно Геделю , если мы хотим формализовать истину , мы не сможем этого сделать ни на каком данном этапе и будем только гнаться за формализацией . Следовательно , мы имеем дело с фактом расширения построенной нами формализованной системы . Поэтому можно формализовать некий добытый результ а т , но для добывания новых результатов необходимо раз за разом уходить от полученного формализма. Высокую оценку открытию Геделя дает фон Нейман , один из лидеров формалистского направления . Вклад Геделя в логику поистине фундаментален . Это больше , чем монум ент . Это веха , разделяющая две эпохи , ибо открытие Геделя изменило предмет логики как науки. Более того , выводы Геделя имеют не только логическое и не только общенаучное значение , но и , как считают исследователи , они открывают возможность постижения природ ы человеческой мысли и даже самой жизнедеятельности . Так , А . Паршин пишет : «Теорема Геделя показывает не просто ограниченность логических средств , она говорит о каком-то фундаментальном , глубинном свойстве мышления и , может быть , жизни вообще» Паршин А.Н . Размышления над теоремой Геделя // Вопросы философии . 2000. ╧'a6 6. С . 94. . Заключение Анализ рассмотренных основных направлений философского обоснования математики показывает , что ни одно из них не принесло удовлетворяющего решения . Вместе с тем кажд ое , внося что-то свое верно раскрыло определенные стороны математики , продвинуло понимание науки в ее основаниях . Логицизм разработал и практически применил эффективный (и не только для математики ) аппарат символической логики как вспомогательный прием ан ализа математического содержания. Характеризуя движение от традиционной формальной логики к математической , явившейся современным этапом ее развития , Г . Рейхенбах отмечал следующее . Простые операции в логике доступны выражению и без посредства символически х оформлений . Однако состав сложных отношений уже невыразим . Введение символов позволило элиминировать специфические значения слов и обнажить общую структуру , которая соединяет их , расставляя по своим позициям соответственно универсальным отношениям. Стои т особо отметить разработку логицизмом теории типов . Применение ее идей в анализе какой-либо области знания дает возможность провести четкую стратификацию области по уровням используемых понятий. Одним словом , все это позволило уточнить математические поня тия , выявить их отношения , дать систематическое изложение логических процедур , в рамках которых протекает математическое рассуждение Обогащение было взаимным : логика стала более математической, а математика - более логической (Рассел). Френкель и Бар-Хиллел писали : «Резко разграничивать математику (которая сама по себе , конечно , хороша ) и логику (которой каждый здравомыслящий математик должен ради блага своей души избегать ) по меньшей мере бесполезно : математика постоянно использует логику , хотя это использование зачастую замаскировано и явно не учитывается » . Френкель А ., Бар-Хиллел И . Основвания математики . М .: Мир , 1966. С . 64. . Утверждение нового аппарата анализа содействовало прогрессу математики . Интуиционистское и конструктивное направления выявил и иные возможности построения математических объектов , приоткрыв дверь в новые сферы математического мышления . Утверждается генетический метод задания теории , объекты которой принимаются как порождаемые , конструируемые в определенном порядке их исходных . Д ается индуктивное (в отличие от дедукции ) определение . Следует подчеркнуть неоценимое значение разработок понятия алгоритма и теории доказательств. Особенно эффективными явились идеи конструктивной ветви течения , существенно уточнившие методы построения о бъектов . Причем , эти методы не противоречат аксиоматическим . Дело в том , что аксиоматическое построение применимо к областям , имеющим развитые конкретные теории , путем обобщения которых и можно создать аксиоматику . Специалисты предсказывают интуиционистск ому движению большое будущее . Так , Г . Ивс и К.В . Ньюсом отмечали , что интуиционистская математика является пока менее мощной по сравнению с классической . Ее построения более трудоемки и громоздки , потому многое из того , что дано большинству математиков , п р иносится в жертву . Однако ситуация может измениться , поскольку разрабатываются новые методы интуиционистского построения математики . Привлекает и то , что интуиционистский метод не может привести к противоречиям См .: Ивс Г ., Ньюсом К.В . О математической л огике и философии математики . М .: Знание , 1968. С . 41. . С успехами интуиционистского направления связано развитие дискретной математики , поскольку она опирается на дискретные операции , которые разрабатываются на базе идеи конструктивного построения объек та . В свою очередь , это (вместе с развитием математической логики ) содействовало успеху в конструировании электронно-вычислительных машин , вообще , повлекло возможность расширения применений математики и математизацию таких сфер , как лингвистика , экономика, медицина , педагогика и психология , теория искусства. Безусловно , лидерам рассматриваемого направления наука обязана пробуждением интереса к тем аспектам математического творчества , которые обозначены в литературе как интуитивные . Внешне интуиция противост оит методам логики , строгого следования правилам логического вывода . При более внимательном же рассмотрении обнаруживается , что обе стороны научного творчества дополняют друг друга , содействуя , каждая своими средствами , единой цели поиска истины. Вместе с тем это направление ценно и в своей , так сказать , негативной части. Здесь имеется в виду открытая критика классической математики , критика , которую с прежних позиций , то есть , оставаясь на почве «старой» математики , едва ли можно было провести столь после довательно . Критика заставила математику задуматься о себе самой , провести рефлексию над своим содержанием , принципами , методами . Это повлекло к более углубленному анализу природы науки , заставило быть более точным . В связи с этим Г . Вейль заметил , что по д ударами Брауэра и его последователей многое казавшееся ранее бесспорным , было поставлено под сомнение , и математик со скорбью смотрел на то , «как словно туман расплывалась большая часть его высоко вознесшихся теорий» Вейль Г . О философии математики . С . 26. . На эту сторону деятельности интуиционистов обращал внимание также и Д . Гильберт. Наконец , формализм . Его усилиями развита новая область математического метода - метаматематика (и еще шире - заложены идеи метатеоретического знания ). Когда А . Гильбер т , формализуя аксиоматическое построение , ввел в качестве исходных объекты , лишенные какого бы то ни было конкретного содержания и в данном отношении «бессмысленные» , этим еще не исключалась возможность формулировать о таких объектах содержательные высказ ы вания . То , что символы не несут семантической нагрузки - лишь абстрактная иллюстрация системы . Однако ее структура поддается описанию на обычном , содержательном языке . Мы можем строить предложения о конфигурации знаков , фиксировать простоту , минимальност ь , симметричность «строк» (формул ) и т.п. Подобного рода высказывания о ненаполненных смыслом объектах формализованной математики принадлежат уже не ей самой , а метаматематике , то есть теории , в которой говорим о математических терминах и высказываниях . Гил ьберт и обосновывает метаматематику , как науку о символах системы , их упорядочении , соединении в формулы и т.д . Значение этого метода шагнуло далеко за рамки математики . Стали различать вообще объектный язык (на нем ведется рассуждение в рамках данного пр едмета ) и метаязык (на нем рассуждают об объектном языке ), соответственно : теорию (совокупность высказываний о предмете исследования ) и метатеорию (система рассуждений о данной теории ). С успехами формалистского направления связан также развитие аксиоматич еского метода . Впрочем , здесь обнаруживается взаимосвязь : чтобы стать доступной для анализа в метаматематике , математика должна быть аксиоматизирована . На примере формализованной аксиоматики было показано , что важным в подобных построениях является выделе н ие структуры системы , то есть совокупности отношений , в которые поставлены объекты , в то время как природа самих объектов остается неопределенной . Требуется лишь , чтобы объекты удовлетворяли выделенным отношениям . Этим формализм обратил внимание на необхо д имость уточнения математических отношений , как бы обнажая их. Вообще , методы формализма также содействуют выявлению более точных оснований , на которых покоится математическое рассуждение . В этом смысле формализм явился продолжением дела логицистов. Здесь н еобходимо обратить внимание на следующее . В связи с доказательством К . Геделем своих теорем может возникнуть сомнение в надежности методов формализации и идей формалистского направления в целом . Однако теоремы Геделя не отвергают полностью того , что сдела н о представителями этого течения . Теоремы утверждают лишь невозможность абсолютно полной формализации теоретической системы , но они не налагают ограничений на варианты сколь угодно возможной формализации таких систем . Как отмечает Н . Бурбаки , теорема Геделя не полностью закрывает двери дальнейшим попыткам доказать непротиворечивость при условии отказа (хотя бы частичного ) от ограничений Гильберта , касающихся «финитных процессов» Бурбаки Н . Очерки по истории математики . М ., 1963. С . 183. . Таковы главные ре зультаты , полученные ведущими течениями в области обоснований математики . Каждое из рассмотренных направлений вносит некие специфические идеи и методы в обоснование , раскрывая новые стороны монументального здания математики . Поэтому , решая проблему , надо д ействовать не разрозненными (тем более находящимися в состоянии вражды ), а общими усилиями. Использованная литература 1. Беляев Е . А ., Перминов В . Я . Философские и методологические проблемы математики // Издательство Московского Университета , 1981 2. Гай денко П.П . Греческая философия в ее вязи с наукой //М ., 2002 3. Сухотин А . К . Философия математики // Internet