Вход

Три кризиса оснований математики

Реферат по философии
Дата добавления: 23 августа 2004
Язык реферата: Русский
Word, rtf, 1.4 Мб
Реферат можно скачать бесплатно
Скачать
Данная работа не подходит - план Б:
Создаете заказ
Выбираете исполнителя
Готовый результат
Исполнители предлагают свои условия
Автор работает
Заказать
Не подходит данная работа?
Вы можете заказать написание любой учебной работы на любую тему.
Заказать новую работу
СОДЕРЖАНИЕ Введение 3 1. Первый кризис оснований математики в греч еский период его развития 4 2. Второй кризис основания математики Проблема обоснования дифференциального исчисления 8 2.1 Метафизическое обоснование бесконечно малых 12 2.2 Физическая и геометрическая аргументация 14 3. Неевклидовы геометрии и развитие философии математики в XIX в. 15 3.1 Философия математики в начале XIX в. 16 3.2 Основные направления философского обоснования неевклидовых геометрий в XIX в. 20 3.3 Становление современной концепции математики 25 4. Третий кризис основ аний математики 29 4.1 Программа логицизма 30 4.1.1 Этап арифметизации задачи 31 4.1.2 Второй этап - аксиоматизация арифметики 32 4.1.3. Причина неудач 34 4.1.4. Философская оценка 36 4.1.5 Критика интуиционистами основ логицизма и проблема бесконечности 41 5. Интуитивистская альтернатива 43 5.1 Ограниченность интуиционизма 46 5.2 Конструктивная ветвь 48 6 Программное заявление 50 6.1 Концепция абсолютного доказательства и метод формализованной аксиоматики 52 6.2 Результаты Геделя 55 Заключение 59 Список использованной литературы 63 Введение Под обоснованием математики понимают демонстрацию возможности существования объектов ее теории и возможной истинности предложений об этих объектах . Иначе говоря , это в опрос о соотношении концептуальных математических построений и объективной реальности , которую они должны в конечной инстанции отображать . Это и задает определенный философский смысл проблеме. В силу специфики математической науки ее объекты постулируются, либо , если и доказываются ссылкой на ранее созданные и принятые теории , то в этих последних они также постулируются . Иных оснований и обоснований для введения математических , равно как и для вынесения претендующих на истинность высказываний о них , у нас н ет . Все иные основания могли бы быть только экспериментально-наблюдательными , но ссылка на эмпирию здесь бьет мимо цели . Остается принять объекты лишь с помощью постулатов , что и требует философского оправдания их права на существование. Следует признать , что сама обоснованность обоснования отнюдь не безальтернативна . Задается вопрос , так ли уж эффективно обоснование математики ? По мнению Л . Витгенштейна , в обосновании нуждается нечто недостаточно устойчивое , иначе какой резон этим заниматься ? Но тогда то, что вовлекается в процедуру обоснования , что служит опорой для него , должно быть на самом деле надежным , стабильным . Однако философия подобными свойствами не обладает . Так может ли она стать обоснованием математики ? Никакая философия , резюмирует Витгенште й н , не может помочь математике , ибо она имеет только математические трудности , но не философские . Как полагают некоторые исследователи , математик вообще не нуждается в чьих-либо оправданиях и поддержках , ибо , по выражению Р . Киплинга , математика сама себе р асстелила ковры ослепительной славы , так кто или что ей способны еще чего-то добавить ! Здесь есть своя правда . Заметим лишь , что , обращаясь к философским обоснованиям , не имею в виду оправдать математику с помощью какой-либо конкретной философской доктрины , что определенно сомнительно (хотя не исключено и это ). Главная цель подобных намерений в том , чтобы понять , каково отношение математической теории в качестве чисто умозрительной структуры к реальности , что стоит за математическим объектом (и стоит ли во о бще что-то ) и чему он обязан своим появлением . По существу это попытки (и прежде всего самих математиков ) выйти за грани собственной науки , соотнести ее содержание с чем-то внешним , предлежащим ему - с действительным миром , с другими продуктами человеческ о й мысли . Но подобные проблемы и называются философскими . Поэтому к ним едва ли применимы такие квалификации , как нечто неустойчивое , зыбкое . Они столь же неустойчивы , сколь устойчивы. Проблема обоснования вызревала исторически , имеет глубокие корни . Вехами на пути становления проблемы были кризисы в основаниях математики , которые и возвели постановку этой темы в ранг актуальных. По выводу математики из третьего кризиса сложились три направления - логицизм , интуиционизм с его конструктивной ветвью и школа фо рмалистов . Расцвет деятельности всех трех течений падает на период конца XIX - начала XX столетий с выходом конструктивизма в более позднее время . Кроме того , отдельной строкой идет речь о современных попытках обоснования , нашедших выражение в теоретико-м н ожественном и категориальном подходах. 1 Первый кризис оснований математики в греческий период его развития Предпосылки для превращения математики в теоретическую науку впервые возникли в Древней Греции . Особенно важную роль в формировании древнегреческо й математики сыграла пифагорейская школа , которая рассматривала математическое знание как необходимую основу всякого другого знания и как наиболее его истинную часть . Истоки математики уходят в глубокую древность . О состоянии древнеегипетской математики позволяют судить такие документы как папирус Ринда и Московский папирус ( XX – XVIII вв . до н . э .), в которых уже содержатся арифметические задачи , которые сводятся по современным понятиям к решению уравнений первой степени с одним неизвестным и довольно обширные сведения из геометрии : египтяне имели достаточно точное правило для вычисления площади круга и точную формулу для нахождения объема усеченной пирамиды . Но развитие математического знания в те времена было очень медленным . Математика существовала исключительно в виде рецептов для решения определенных задач. Если египетская математика представляет собой исключительно систему правил , подчиненных практическим целям , скомбинированных по назначению (сбор налогов , хранение зерна , измерение земли и т . д .) , то вавилонская математика , развившаяся несколькими столетиями позднее , имеет существенно другой вид . Задачи усложняются в своей математической основе . Вавилоняне широко используют теорему Пифагора и свойства пропорций , они решают задачи , сводящиеся к кв а дратным и кубическим уравнениям . Они уже комбинируют задачи по их математическому типу и выдвигают задачи , не связанные непосредственно с практикой , которые представляют , так сказать , уже целенаправленное испытание возможностей математического метода само г о по себе . Математика , возникшая в качестве простого набора практически полезных правил , постепенно превращается в науку , в систему внутренне связанных идей и методов. Появление математики как теоретической дисциплины исторически относят к греческому перио ду ее развития – в VII - VI вв . до н . э .. Дело в том , что ни в египетской , ни в вавилонской математике не найдено какого-либо следа собственно математического , дедуктивного рассуждения , т . е . вывода одних формул и правил на основе других или иначе – математ ического доказательства в обычном смысле слова . Предполагается , что ни египтянам , ни вавилонянам не была известна сама идея дискурсивного доказательства , обеспечивающая необходимость и истинность результата в силу правил логики . Все мысленные рассуждения л огически строго не оформлялись . Вследствие этого точные результаты в догреческой математике часто соседствуют с приближенными без какого-либо различия ; в основу расчетов кладутся ложные посылки , которые , несомненно , были бы отброшены при наличии строгой л о гической теории. Громадный сдвиг , осуществленный в греческой математике , заключается в идее доказательства или дедуктивного вывода . Доказательство первых геометрических теорем приписывается выдающемуся греческому философу Фалесу из Милета (625-547 гг . до н . э .). Согласно Проклу , Фалес впервые доказал , что вертикальные углы равны , что углы при основании равнобедренного треугольника равны и что диаметр делит круг пополам . Математика в Греции , начиная с этого момента , развивалась чрезвычайно быстрыми темпами и прежде всего в плане логической систематизации . Исследования Гиппократа Хиосского , связанные с задачей о квадратуре круга , выполнены на рубеже V и IV вв . до н . э ., т . е . примерно за 100 лет до Евклида , находятся уже на таком уровне строгости , что , как за мечает Д . Стройг , они вполне могли бы быть отнесены и к послеевклидовской математической традиции . Математика оформилась как особая наука , она нашла свой специфический метод – метод дедуктивного доказательства , который определяет ее развитие до настоящего времени. Вавилонская математика уже отчасти подготовила базу для нее . Зачатки математики , выработанные на Востоке , упали в Греции на благодатную почву относительно более высокой светской образованности и логической культуры , уже натренированной в сфере юри спруденции и философии. Появление математики как систематической науки оказала в свою очередь огромное влияние на философское мышление , которое оказалось в определенном смысле подчиненным математике . Это естественно , ибо наиболее рациональные из мыслителей не выходили еще за рамки антропоморфного и мифологического объяснения природы. Неудивительно , что в математике греки увидели не просто практически полезное средство . Но , прежде всего . Выражение глубинной сущности мира , нечто связанное с истинной и неизмен ной природой вещей . Они космологизировали и мистифицировали математику , сделав ее исходным пунктом во всех подходах к описанию действительности . Эта мистификация математики нашла свое выражение в философском учении Пифагора и его последователей . Основной т езис пифагореизма состоит в том , что «все есть число» . Смысл этого утверждения сводится к следующему . Греческая философия того времени ориентировалась на отыскание первоосновы мира , начало , из которого можно было бы объяснить все происходящее . Для пифагор е йцев роль такого начала играли числа – исходные сущности , определяющие некоторым образом видимые явления и процессы . Чувственно воспринимаемые вещи стали истолковываться в своей структуре лишь как «подражание» числам , свойства их стали рассматриваться в с о ответствии со свойствами того или иного числа или числового соотношения , как проявление числовой гармонии. Согласно Аристотелю , Пифагор пришел к пониманию числа как универсальной основы всех вещей через изучение музыки . Предание гласит , что однажды , проход я мимо кузницы , Пифагор заметил , что молотки кузнецов отбивают квинту . Взвесив их , он нашел , что их веса в точности относятся как 2 к 3, что натолкнуло его на мысль , что любое различие в звучании определяется числовым соотношением , что действительно было п одтверждено в опытах с натянутой струной. Нетрудно представить , какое впечатление произвело это открытие на мыслителей того времени. Греки заметили также , что арифметические действия обладают особой очевидностью , безусловной необходимостью , принудительност ью для разума , которой не обладают никакие утверждения о реальных событиях и фактах . Это обстоятельство было истолковано как проявление особого отношения чисел к истине. Философия превратилась у пифагорейцев в мистику чисел и геометрических фигур , убеждени я в истинности того или иного утверждения о мире достигалось сведением его к числовой гармонии . Учение о четырех стихиях , составляющих природу , заимствованное греками из индийской философии , было тотчас же объединено с геометрическим фактом существования п яти правильных многогранников . Космос как систему небесных тел пифагорейцы отождествили с числом десять как с самым совершенным числом . Пифагорейская теория четырех стихий и теория космоса содержала также изощренное учение о пропорциях , устанавливающее ра з нообразные арифметические и геометрические отношения между отдельными стихиями и отдельными элементами космоса . Пифагорейцы заметили далее , что две точки образуют прямую , две прямые – плоскость , две плоскости – пространство , а в мире звуков – удвоение дл и ны струны приводит к понижению звука на октаву . На основе этих наблюдений удвоение было превращено в принцип становления вообще , в принцип объяснения всякого усложнения . То , что для современного ученого выглядело бы простой случайностью , пифагорейцам пред с тавлялось наполненным глубоким смыслом , выражением «божественного ритма и гармонии». Итак , математические формы (числа и фигуры ), будучи истолкованы в качестве глубинной основы вещей , превратилась и в универсальное орудие их понимания . Механизм объяснения за пределами математики состоял у пифагорейцев не в логическом доказательстве одних положений из других , не в выводе следствий и сравнений их с опытом и даже не в сведении к непосредственной очевидности , но в установлении некоторого изоморфизма , структурн о й тождественности тех или других представлений , определенных математическим отношением . Подразумевалось как нечто само собой разумеющееся , что учение о космосе истинно , так как в нем утверждается наличие именно десяти элементов (частей ). Учение о четырех с тихиях верно , так как оно находится в прямом соответствии с учением о правильных геометрических телах и т . д . Критерием истинности выступает здесь внутренняя гармония , санкционируемая гармонией математической . Пифагорейцы искали различные аналоги , числовы е и геометрические соответствия в окружающем мира , надеясь найти в них разгадку самой природы вещей . Мысли о случайности таких совпадений еще не возникало . Космос пифагорейцев был единым , законченным , чуждым случайности , подчиненным гармонии во всех своих частях. Что касается природы самой математической закономерности , истоков ее безусловной истинности , то ранние пифагорейцы скорее всего не задумывались над этим вопросом . У Платона , однако , мы находим уже некоторую теорию на этот счет . Математические истин ы для Платона врожденны , они представляют собой впечатления об истине самой по себе , которые душа получила , пребывая в более совершенном мире , в мире идей . Математическое познание есть поэтому просто воспоминания , оно требует не опыта , не наблюдений приро д ы , а лишь видения разумом. Математик , согласно Платону , изучает особые идеальные сущности , в отличие от сущностей эмпирических , данных в опыте . «Когда геометры , - говорит Платон , - пользуются чертежами и делают отсюда выводы , их мысль обращена не на чертеж , а на те фигуры , подобием которых он служит . Выводы свои они (геометры ) делают для четырехугольника самого по себе и его диагонали , а не для той диагонали , которую они начертили» . Геометрические фигуры сами по себе (в отличие от чертежей ) можно видеть то л ько «мысленным взором». В этих рассуждениях Платоном был впервые поставлен вопрос о специфике объектов , изучаемых математикой , который является одним из основных и в современной философии математики. Первый и , по-видимому , наиболее сильный удар по философи и пифагореизма был нанесен развитием самой математики , а именно открытием несоизмеримости отрезков в последние два десятилетия V в . до н . э Факт существования несоизмеримых величин подрывал гармонию между геометрией и арифметикой , которая была для пифагор ейцев сама собой разумеющейся , и пифагорейскую идеологию в целом Можно допустить , что пифагорейцы обнаружили несоизмеримость при попытке либо арифметически определить такую дробь , квадрат которой равен 2 (т . е . арифметически вычислить сторону квадрата , пло щадь которого равна 2); либо геометрически при отыскании общей меры стороны и диагонали квадрата ; либо , наконец , в теории музыки , пытаясь разделить октаву пополам , т . е . найти среднее геометрическое между 1 и 2. Несоизмеримость диагонали квадрата со сторон ой , т . е . иррациональность , пифагорейцы доказывали , опираясь на главную , с их точки зрения , «онтологическую» характеристику чисел , а именно на деление их на ч етные и нечетные ; доказательство велось от противного : если допустить соизмеримость диагонали и стороны , то придется признать нечетное число равным четному . Открытие иррациональности , т . е . отношений , не выражаемых целыми числами , вызвало первый кризис ос н ований математики. Открытие несоизмеримости стало первым толчком к осознанию оснований математического исследования , к попытке не только найти новые методы работы с величинами , но и понять , что такое величина. Однако во весь рост проблему континуума перед философами и математиками поставил Зенон из Элеи , выявив противоречия , связанные с понятием бесконечности , и после него невозможно было вернуться к прежнему , дорефлексивному оперированию математическими понятиями . Благодаря элеатам началась логическая раб о та над исходными понятиями науки – напряженная работа на протяжении V , IV и III вв . до н . э ., завершившаяся созданием трех главных программ научного исследования : математической , атомистической и континуалистской. Характерно , однако , что на всем протяжении этого бурного периода в развитии философии и науки – с V по III в . до н . э . – можно выделить два направления философско-теоретической работы . Одно из них представлено теми философами и учеными , которые прежде всего заняты проблемами обоснования науки и лог ического уяснения и разработки ее понятий и методов . К нему принадлежат Зенон , Демокрит , Платон , Аристотель , Теофраст и другие . Другое направление представлено в первую очередь математиками-«практиками» - такими , как Архит Терентский , Евдокс Книдский , Мен е хм , Теэтет. Кризис в основаниях античной математики был преодолен в результате двух замечательных достижений научной мысли . Первым из них является теория пропорций , изложенная в «Началах» Евклида . По мнению ряда ученых , эта теория могла бы быть основой для определения понятия иррационального числа и создания арифметической теории континуума . Однако древние греки признавали законными только целые числа , и это , конечно , задержало развитие арифметики и математики в целом . Другим блестящим достижением греков б ы ло создание Архимедом особого метода исчерпывания , в котором многие ученые видят прообраз современных теорий интегрирования . Важно при этом отметить , что при использовании данного метода не обращаются к бесконечным процессам , по крайней мере , в явном виде. 2 Второй кризис основания математики Проблема обоснования дифференциального исчисления В эпоху средневековья философия математики не вышла за рамки пифагореизма в его платонистской и неоплатонистской интерпретации . Лишь в XIV - XV вв . в Европе началось возрождение творческого математического мышления в арифметике , алгебре и геометрии . Следующие два столетия ознаменовались появлением и развитием совершенно новых математических идей , которые сегодня относятся к дифференциальному и интегральному исчислению. Новые идеи возникли в связи с потребностями науки , в особенности механики , и это обстоятельство предопределило появление принципиально новой философии математики . Математика стала рассматриваться не как врожденное и абсолютное знание , а скорее как знани е вторичное , опытное , зависящее в своей структуре от некоторых внешних реальностей . Эта философская установка предопределила в свою очередь конкретное методологическое мышление , ярко проявившееся в сфере обоснования дифференциального и интегрального исчисл е ний. Ученые XVIII в . (Лейбниц , Эйлер , Ньютон , Лагранж и другие ) требовали от математики так называемой « (греческой ) строгости древних» , под которой прежде всего понимался метод , применяемый Евклидом в его «Началах» - метод выведения одних положений из дру гих , зафиксированных в аксиомах и определениях (и только из них !). Сегодня очевидно , что античные математики (Евклид , Платон , Аристотель и другие ) не осуществили указанного идеала (например , не все аксиомы , необходимые для строгого развития математики , бы л и сформулированы в то время ), но несомненно то , что они имели правильную идею математического доказательства , строгого отделения математически доказанного от очевидного , отделения точного от приближенного . Такой идеал математики был принят и в XVIII в ., од нако математикам прошлось осознанно отступить от него , и прежде всего создателям дифференциального исчисления Ньютону и Лейбницу. В работах математиков XVII в . (Кеплер , Кавальери , Ферма , Барроу и другие ) различными частными методами были решены многочислен ные задачи , сегодня относимые к дифференциальному и интегральному исчислению – нахождение площадей криволинейных фигур , проведение касательной к произвольной кривой , нахождение максимумов и минимумов элементарных функций и т . д . Г . В . Лейбниц и И . Ньютон з авершили эту работу созданием одного (!) алгоритма решения всех , на первый взгляд , различных задач . Однако , будучи принятым , этот алгоритм подвергся критике за неясность основных понятий. Основным же понятием теории Лейбница было понятие дифференциала , или бесконечно малого приращения функции . Пусть дана функция y = f ( x ). Если увеличить ее аргумент ( x ) на некоторую величину h , то получим приращение функции dy = f ( x + h )- f ( x ) . Для Лейбница dy 0 , но вместе с тем эта величина столь мала , что , умножние ее на любое конечное число не даст конечной величины . В своем определении таким образом Лейбниц проводил чуждую элементарной математике и вообще здравому смыслу идею неархиме довой величины Согласно аксиоме Архимеда , для любых двух величин a и b найдется такое целое N , что a * N > b . . Эта идея , однако , была необходима Лейбницу для оправдания предлагаемого им способа вычисления дифференциала . Пусть , к примеру , дана функция y = x 2 . Пусть x получает приращение dx , тогда y + dy = ( x + dx ) 2 = = x 2 +2 x * dx + dx 2 , откуда dy =2 x * dx + dx 2 . Величину dx 2 Лейбниц предлагает отбрасывать как несравненно малую по отношению к величине 2 x * dx . В результате dy =2 x * dx – правильный результат ! Эта процедура является , очевидно , противоречивой . Если допустить , что dx =0 , то очевидно , что и dy будет равно нулю (из исходного равенства ). Но если dx 0 , то , не нарушая строгости нель зя отбросить dx 2 . Рассуждения Лейбница о несравненно малых величинах были попыткой как-то оправдать такой способ действия. Практика , однако , показывала (что стало основным аргументом за принятие алгоритма в целом ), что если придерживаться правила отбрасыва ть в разложении y + dy все члены , содержащие dx в степени выше первой , то с помощью таким образом определенного понятия (дифференциала ) можно получать точные ответы в широком классе задач . Так как интегрирование обратно дифференцированию , то , например , площа дь фигуры , ограничивающая линия которой есть некоторая функция , может быть найдена как некоторое значение первообразной функции от данной . Таким образом , алгоритм Лейбница – универсальный метод вычисления площадей и объемов различных фигур , метод , несводи м ый к методам традиционной геометрии. Алгоритм Ньютона , в свою очередь , базировался на понятии флюксии (производной – в современной терминологии ) и обладал той же самой противоречивостью . При отыскании флюксии Ньютон также отбрасывал члены , заведомо не равн ые нулю (хотя он считал , что в математике нельзя пренебрегать никакими количествами , даже самыми малыми ). Противоречивость алгоритмов дифференциального исчисления , несогласие их с представлениями о математической строгости , было очевидным для большинства м атематиков XVIII в . Однако , это исчисление находило все новые приложения в механике и астрономии , превращаясь в центральную и наиболее продуктивную часть математического здания . Проблема же обоснования дифференциального исчисления становилась все более акт уальной. Логически обоснована та система понятий , которая достигла определенной степени зрелости , богатства содержания и однозначности в фундаментальных определениях . Дифференциальное исчисление как теория находилась в то время на стадии отыскания основны х закономерностей и определения фундаментальных понятий , потому его логическое обоснование объективно было невозможным Вплоть до начала XIX в . в самом содержании анализа , в его понятийной системе имелись изъяны , фактически исключающие его обоснование . Осно вные из них следующие : 1. Отсутствие правильного понимания дифференциала . Лейбниц , Лопиталь ., Эйлер и другие математики первой половины XVIII в . отождествляли дифференциал с приращением функции , что и приводило к парадоксальности исчисления . Четкое раздел ение приращения функции и ее дифференциала было проведено Лагранжем в 1765 г. 2. Отсутствие достаточно общего понимания функции . Фактически вплоть до конца XIX в . под функцией математики понимали только аналитическую функцию , которая отвечала некоторой ме ханической или геометрической зависимости и выражалась определенной алгебраической формулой Здесь речь идет о фактическом , рабочем понимании функции , но не об определениях . У Эйлера и других математиков XVIII в . можно найти современное определение функц ии , которым , однако , не придавался статус именно общих , поэтому они не оказали влияния на практическую методологию. . Узкое , привязанное к наглядности понимание математиками функции мешало им (при их стремлении к строгости ) придать должное значение формал ьным определениям основных понятий , лежащих в основе исчисления . Лишь введение разрывных функций , выход за пределы традиционных объектов , заставил математиков обратить внимание на логическое оформление понятий анализа и отбросить альтернативу его элемен т арного обоснования Расширение понятия функции отсеяло иллюзорные альтернативы и выделило метод пределов как единственно возможный. . 3. Отсутствие строгого определения предела . Предел определялся не строго , а скорее содержательно описывался на основе мех анических и геометрических примеров , часто с привлечением понятий , не имеющих отношения к делу (понятия времени , например ). Кроме того , предел понимался узко вследствие узкого понимания функции . Неясность в понимании предела осталась вплоть до Коши. 4. Одн о из центральных понятий в современных основаниях анализа . – понятие непрерывности функции – долгое время присутствовало в математике лишь интуитивно . Это объясняется тем , что математики XVIII в . все функции мыслили как непрерывные и потому не возникало п роблемы выделения , ради чего обычно уточняются понятия . Только в начале XIX в . с введением в математику разрывных функций непрерывность была определена в современном смысле , на базе понятия предела. 5.До конца XVIII в . оставалось недостаточно строгим пон ятие определенного интеграла . Эта нестрогость была связана прежде всего с отсутствием теорем существования . По аналогии с элементарной алгеброй считалось , что формула Ньютона – Лейбница для вычисления определенного интеграла справедлива для всех функций и при всех условиях . Однако позже она оказалась неприемлемой для разрывных функций , к тому же в ряде случаев не давала однозначного результата . Исследования Лакруа , Пуассона и Коши в области уточнения понятия определенного интеграла показали важность теорем существования , выдвинули на первый план понятие предела и непрерывности , таким образом они заложили фундамент правильного построения логических основ дифференциального и интегрального исчисления. Итак , движение математического анализа в XVIII в . к обоснова нию можно описать в системе «теория - приложение» , т . е . как диалектическое взаимодействие двух этих моментов . Необходимость вычисления площадей фигур с произвольной границей и т . д . привело к открытию алгоритмов дифференциального исчисления . Приложение э т их алгоритмов к новым задачам необходимо заставило обобщить и уточнить исходные понятия и сделать более строгими сами алгоритмы . В конечном итоге анализ сформировался как логически непротиворечивая , относительно замкнутая и полная понятийная система. Однак о эта картина при своей верности оказалась еще не полной , ибо сами математические затруднения и заблуждения поддерживались и закреплялись определенной методологией , которая в свою очередь была обусловлена определенной философией математики . Математики отк а зались от ряда философских и методологических предрассудков , прежде чем правильно сформулировать задачу обоснования дифференциального исчисления. 2.1 Метафизическое обоснование бесконечно малых Метафизическое или натурфилософское обоснование в науке сост оит в стремлении вывести те или иные ее закономерности из некоторых фундаментальных свойств природы . Примером метафизической аргументации в физике может служить принятое до опытов Торичелли объяснение действия гидравлического насоса из принципа «природа н е любит пустоты» . В XVII в . еще крепко было убеждение , что философия – верховная наука и все частные законы должны быть получены или выведены из общих представлений о материи , пространстве и т . д . Такая тенденция проявилась и в обосновании анализа на первой стадии его развития , в частности у Г . Лейбница. Для оправдания идеи бесконечно малой , но не равной нулю величины Лейбниц использовал первоначально физические аналогии . Различные порядки бесконечно малых по Лейбницу следует понимать в том же смысле , в како м земной шар мыслится по сравнению с расстоянием до неподвижных звезд , шарик в руках мыслится как точка по сравнению с полудиаметром земного шара , и тогда расстояние от неподвижных звезд есть бесконечность бесконечности по отношению к диаметру шара. Однако математики , как впрочем и сам Лейбниц понимали , что допущение хоть и малой , но конечной величины ведет к неточности результатов дифференциального исчисления . В последующих работах Лейбниц ведет более тонкое обоснование бесконечно малых , основанное на про т ивопоставлении «реальных» и «идеальных» величин , а также на законе непрерывности . Бесконечно малую величину Лейбниц уже предлагает мыслить как идеальное понятие и приводит пример такого мышления в области комплексных чисел : «…мнимые числа (вроде )…несмотря на то , что их называют мнимыми , не перестают…быть полезными и…необходимыми…» Избранные отрывки из математических сочинений Г . В . Лейбница // УМН , 1948, т . 3 , вып . 1(83), с . 192 . Лейбниц предвосхищает здесь одну из самых влиятельных идей в последующей философии математики – идею фиктивных или идеальных элементов в структуре математического знания , вплотную подходя таким образом к современному пониманию матема тического понятия как элемента оперативной системы , но его обоснование идет не в логическом , а в натурфилософском плане . Идеальные элементы для него скорее платоновские идеи , «имеющие основание в вещах» , связанные с реальными сущностями посредством закона непрерывности – свойства реального необходимо переходят в свойства идеального , и наоборот . Идеальные элементы не даются в опыте , но выражают некоторую глубинную основу вещей , введение их необходимо для существования самой науки. Принцип непрерывности испол ьзуется Лейбницем и в качестве онтологического основания операции предельного перехода . Общефилософский принцип непрерывности – «природа не делает скачков» в сфере математики и физики Лейбниц преобразовывает в некоторое правило , родственное современному п р инципу соответствия . Согласно этому закону движение непрерывно должно переходить в законы покоя , неравенство есть частный случай неравенства , свойства многоугольников должны непрерывно переходить в свойства кривых . Лейбниц пишет : «…неверно , что покой есть род движения…равенство…род неравенства,…круг есть род правильного многоугольника , но…покой , равенство и круг заканчивают движение , неравенство и правильные многоугольники , которые переходят в них , исчезая в непрерывном движении…» Избранные отрывки из мат ематических сочинений Г . В . Лейбница // УМН , 1948, т . 3, вып . 1(83), с . 196. . Здесь легко узнаваемы идея предельного перехода и общее представление о непрерывности функции , хотя разъяснение их ведется Лейбницем с натурфилософской позиции. Натурфилософские идеи присущи и работам Эйлера , но уже в иной роли . Эйлер отвергает лейбницевское понятие несравненной величины , отвергает его и его последователей объяснительные физические аналогии . Эйлер , в отличие от других обращает внимание на различие арифметического и геометрического отношения нулей . Разность двух нулей равна нулю , но отношение может быть равно любому числу , и это число зависит от качества тех функций , которые находятся в отношении и приближаются к нулю в своей численной величине. Эйлер , несомненно , б олее близок к канонам современной математической строгости , чем Ньютон и Лейбниц . Он опирается на аналитическое доказательство не привлекая механических или геометрических аналогий . Но отказ от натурфилософии у Эйлера неполный . Он критикует не натурфилосо ф ское обоснование вообще , а лишь натурфилософию Лейбница и Вольфа . Его пространные рассуждения о делимости материи и о бесконечности мира в специальных математических работах говорят об отсутствии понимания Эйлером математического объекта как логической ко н струкции. Итак , математики XVIII в . не проводили в достаточной мере различие математического и физического существования . Здесь можно отметить также позиции Канта и Гегеля . В своей работе «Опыт введения в философию отрицательных величин» Кант осуществляет чисто метафизический подход к обоснованию математических операций – действия с отрицательными числами он объясняет исходя из утверждения о реальной сущности отрицания . Гегель в своей « Науке логики» бесконечно малые в математике связывает с категориями бы т ия и ничто , в соответствие с этим бесконечно малые могут одновременно существовать и не существовать . Таким образом , возникшее в математике противоречие есть нечто нормальное и неустранимое с очки зрения формальной логики , вытекающее из диалектической сущ н ости вещей . Следует отметить , что при Гегеле основное противоречие в алгоритме дифференцирования ( dx приходилось считать то неравным , то равным нулю ) уже было устранено работами Эйлера , Д”Аламбера и Лагранжа , которые оставались на позициях формальной логик и. 2.2 Физическая и геометрическая аргументация Итак , отказ от метафизики в разработке конкретных научных проблем , продемонстрированный в работах Ньютона , Д”Аламбера , Лагранжа , Карно и других вернул математике утраченную строгость , освободил ее от внешне го оправдания исходных правил . Однако сдвиг в обосновании анализа задерживали заблуждения методологического порядка. Наиболее значительное заблуждение состояло в том , что математика в своем обосновании тесно связана с механикой . Ньютон , Маклорен , Тейлор ра ссматривали дифференциальное исчисление не как учение о функции , но как часть учения о движении , как теоретическую кинематику. Однако , хотя Ньютон и отличает физическую задачу от ее математического оформления , его математический аппарат четко ориентируется на одну эмпирическую интерпретацию со всеми вытекающими отсюда ограничениями. Новая позиция , что дифференциальное исчисление не должно всецело ориентироваться на механику и что математика не может быть обоснована через механические понятия , а скорее наобо рот , была явно высказана Лагранжем . Именно Лагранж признал рассматривать дифференциальное как логически фундаментальную теорию без привлечения механики и эмпирических предпосылок вообще. Признание автономии понятия анализа от представления механики – выдаю щееся методологическое достижение математики XVIII века . Однако эта автономия рассматривалась ограниченно , ибо геометрия оставалась эмпирической наукой . Все математики того времени ссылались на геометрические представления в процессе математического доказа тельства , что отчасти можно объяснить авторитетом «Начал» Евклида. Развернутая критика как физических , так и геометрических аналогий в математике была дана в начале XIX в . чешским философом и математиком Б . Больцано . В результате критики геометрии как базы анализа задача обоснования дифференциального исчисления стала однозначно определенной . В математике в начале XIX в ., таким образом , появилось новое отношение к объектам дифференциального исчисления и к строгости математического доказательства вообще . О . Коши дал в своей работе «Алгебраический анализ» (1821 г .) строго логическое развитие идей дифференциального исчисления , опираясь на понятие предела и операции над действительными числами . Аналитические доказательства Коши представляют установление нового, более высокого стандарта той греческой строгости , к которой стремились математики XVIII в. Итак , главными философскими линиями в математике XVIII в . были натурфилософия и эмпиризм . В обоих случаях делалась попытка обосновать математику , внутреннюю логику е е понятий , прямой ссылкой на нечто внешнее , на тот или иной тип представлений о реальности , игнорировалась также сущность математических понятий , специфика математического существования. 3 Неевклидовы геометрии и развитие философии математики в XIX в. Философские дискуссии в математике XIX в . были связаны в основном с развитием геометрии , а именно с истолкованием неевклидовых геометрий . В области математического анализа также возникли принципиальные трудности , но до конца XIX в . они казались легко устранимыми и некоторые из них , действительно , были устранены . Неевкли довы геометрии были фактом совсем другого рода . Вопрос о природе математического знания возник в связи с ними снова и не менее остро , чем в предыдущем столетии , в связи с обоснова нием исчисления бесконечно малых. II февраля 1826 г . профессор Казанского университета Н , И . Лобачевского представил ученому совету физико-математического факультета доклад с изложением основ новой геометрии . Главная идея его состояла в том , что аксиома Ев клида о параллельных независима от других аксиом е вклидовой геометрии (невыводима из них ) и , следовательно , возможно построить другую геометрию , столь же непротиворечивую , как и евклидова , если в евклидовой геометрии заменить аксиому о п араллельных на прот ивоположное утверждение . В последующие годы Лобачевский всесторонне разработал теорию новой геометрии и указал ряд е е приложений в области математического анали за . Одновременно с Лобачевским те же идеи был развиты молодым венгерским математиком Яно ш ем Больяи. Значение неевклидовых геометрий состоит преж де всего в том , что их построение и доказательст во непротиворечивости представляет собой окон чательное решение проблемы о параллельных , занимавшей математиков в течение двух тысячелетий . В дальнейш ем эти геометрии нашли самые разнообразные применения в задачах самой мате матики и в теоретической физике . Но не этому собственно математическому значению неевклидовы геометрии обязаны своей известностью . Они явились не только крупным событием в развитии математики XIX в ., но вместе с тем фактом , про тиворечащим всем сложившимся к тому времени представлениям о природе математического зна ния . Подобно тому , как открытие несоизмеримых величин поставило под удар пифагорейскую кар тину мира , основанную на поня тии целого числа и целочисленного отношения , открытие Лобачев ского и Больяи привело математиков к коренному пересмотру представлений о собственной науке , о ее функции в системе знания , о методах постро ения и обоснования математических теорий . Мож но сказ ать без преувеличения , что современное понимание математики выросло из попыток ос мыслить факт неевклидовых геометрий. 3.1 Философия математики в начале XIX в. В начале XIX в . в истолковании математики имели влияние два направления : эмпиризм и априоризм . Платон в свое время различал арифметику и геометрию в соответствии с природой их понятий . Числа для Платона относятся к миру идей , в то время как геометрические объекты являются идеальными только наполовину , так как они связаны чувственными образами и поэт ому занимают п ромежуточное положение между миром идей и реальным миром . Аналогичное различение ариф метики и геометрии проводится и математиками XIX в . Если объекты арифметики (особенно это касается иррациональных и мнимых чисел ) рассматриваются как мыслен ные образования , как сфера , где мы можем опираться исключительно на логику , то геометрические понятия неразрывно связываются с опытными представлениями . Большинством математиков первой половины XIX геометрия понимается чисто эмпирически как наука о реально м пространстве. Противоположное , рационалистическое воззрение на геометрию и математику в целом , которому суждено было сыграть исключительно большую роль в дискуссиях о природе неевклидовых геометрий , было развито в конце XV I II в . выдающимся немецким филос офом И . Кантом . Согласно Канту , понятия геометрии и арифметики не являются отражением структуры космоса , как думали пифа горейцы , и не извлечены посредством абстракций из опыта , но представляют собой отражение чис того или априорного созерцания , присущего че ло веку наряду с созерцанием эмпирическим . Сущест вуют две формы чистого созерцания — простран ство и время . Пространство и время — необходимые внутренние представления , которые даны че ловеку даже при абстрагировании от всего эмпи рического . Геометрия , по Кант у , есть не что иное , как выраженная в понятиях чистая интуиция пространства , арифметика находится в таком же отношении к чистому представлению времени . Гео метрические и арифметические суждения не эмпи рические , поскольку они отражают априорное созерцание , н о вместе с тем они и не аналитические суждения , не тавтологии , каковыми являются пра вила логики , поскольку они отражают содержание чувственности , хотя и не эмпирической . Матема тика таким образом может быть определена как система синтетических суждений , выр ажающая структуру априорных фирм чувственности Понятие априорного Кант определяет только отрица тельно . Понятий (соответственно , суждение ) является ап риорным , если оно не является ни эмпирическим , ни врож денным ( Кант И . Сочинения в 6- ти томах ., М ., 1962-1965, , т . 3, , т . 3, с . 215). Кантовская позиция отличается от позиции Декарта или Лейбница , которые склонны были счи тать математические понятия врожденным». . Как система выводов и доказательств математика должна быть полностью интуитивно ясной : по Кан ту , все математические доказательства «постоянно следуют за чистым созерцанием на основании в сегда очевидного синтеза» (Кант И . Сочинения в 6- ти томах ., М ., 1962-1965, , т . 3, с . 402). В теоретическом плане априоризм представляет резкую оппозицию э мпиризму . Однако значение этого расхождения не следует преувеличивать . В методологических требованиях к математике ра ционалисты практически сходились с эмпиристами , так как они также требовали от математических аксиом очевидности , наглядности , интуитивной яс ности , хотя теперь уже от имени априорной чув ственности . Синтез геометрических аксиом посред ством чистой интуиции пространства трудно отли чить в практической плоскости от требования выведения этих аксиом из наблюдения твердых тел или механических движени й в пространстве 7 7 В . Уэвелл в «Философии индуктивных наук» (1840) выразил эту общую методологическую позицию словами «Аксиомы не признаются – они должны быть видимы» . Понятие видимости допускает различную интерпретацию , и вследствие этого Дж . Ст . Милль сч итает Уэвелла сторонником эмпиризма , в то время как Ф . А . Ланге относит его к кантианцам. . Таким образом , в начале XIX в . мы видим на личие двух диаметрально противоположных воз зрений на сущность математики и вместе с тем оп ределенное единство в методолог ических требова ниях : от математических истин требовали не только их строгой доказуемости , но еще и обяза тельной наглядности , непосредственной данности сознанию , интуитивной ясности того или иного рода . Однако , внутренние потребности математики , необходимос ть решения конкретных задач заста вили математиков ввести в обиход такие образы , как иррациональные и комплексные числа , кото рые уже не были интуитивно ясными во всех свойствах и не допускали наглядной эмпирической интерпретации , адекватной этим свойствам . В XVII — XVIII вв . прилагалось много усилий для того , чтобы сделать эти образы обычными , найти для них некоторое непосредственное оправдание в опыте или геометрических представлениях. Ньютон , Лейбниц , Эйлер и другие математики стремились обосновать анализ прежде всего также в этом направлении . Несмотря на неудачу такого рода попыток , несмотря на то , что многие математики практически отошли от этого воззрения , требова ние интуитивной ясности математических образов в том или другом понимании интуиции продолжал о быть определяющим в философских воззрениях на математику в начале XIX в . Лобачевский на звал свою геометрию воображаемой по той же при чине , по какой комплексные числа , несмотря на их широкое использование , назывались мнимыми ; не было наличной физической р еальности , которой можно было бы оправдать введение таких образов и к описанию которой можно было бы их непосредственно приложить . В конце XVIII в . под вли янием трудностей обоснования анализа стали про бивать себе дорогу некоторые новые , более адек ватны е представления о математике . Здесь прежде всего нужно указать на идеи французского математика Л . Карно , который ставил под сомнение необходимость в эмпирическом обосновании каж дого математического понятия. Точка зрения , развитая Карно , получила позднее н азвание фикционализма , так как он счи тал внутренние образы математики фиктивными сущностями , созданными для облегчения операций с реальными , более близкими к опыту математи ческими понятиями . Такими фиктивными сущнос тями Карно считал отрицательные , компл ексные числа , а также бесконечно малые и бесконечно большие величины. Небольшое развитие этих взглядов , вообще го воря , открывает дорогу принятию всех абстракт ных образов математики , в том числе и неевкли довых геометрий . Здесь остается один шаг до по ним ания того , что математическое существование вообще имеет другой смысл , чем физическое , и первое не должно непосредственно связываться со вторым . Но этот шаг не был сделан по крайней мере по отношению к геометрии . Геометрия из-за своей тесной связи с механи кой неизменно рас сматривалась как наука о мире , как часть механики и в то время , когда в других областях математики начался отход от прямолинейно эмпирическ ого понимания математических объектов . На протя жении всего XIX в . в философии математики проводилось резкое различие между арифметикой и геометрией по их отношению к опыту : если за образами арифметики признавалась определен ная независимость от опыта (обычно в форме под черкивания искусственной , мысленной природы этих образов ), то образы геоме трии истолковывал ись как факты действительности или гипотезы о мире . К . Ф . Гаусс писал в начале XIX в .: «Наше знание истин геометрии совершенно лишено того полного убеждения в их необходимости , которое принадлежит к учению о величинах ; мы должны скромно со знаться , что если число есть продукт нашего духа , то пространство помимо нашего духа имеет реальность , которой мы не можем apriori предписывать законы» (цит .: Васильев А . В . «Н . И . Лобачевский» , Казань , 1984, с . 12). Эту идею о разном статусе математическ их дисциплин по отношению к опыту , о большей эмпиричности геометрии по сравнению с арифметикой мы уже видели в приведенном выше рассуждении Больцано . Она принимается как нечто само собой разу меющееся также Дедекиндом , Фреге , Кронекером , Пашем и даже Пуан к аре (Пуанкаре А . «Об основных гипотезах геометрии» - в сб .: Об основаниях геометрии ., М ., 1956, с . 398). В духе своего времени Лобачевский также рас сматривал геометрию прежде всего как опытную науку , как дисциплину , обоснование которой долж но быть найдено в опыте , а именно в правильности наших измерений . В соответствии с этим воз зрением он пытался доказать справедливость своей новой геометрии посредством измерений , а именно через подсчет углов астрономических треугольни ков . С той же целью Гаусс занимался точным из мерением больших треугольников в процессе ра боты по обмеру земель ганноверского королевства . Эти измерения , как известно , не подтвердили ги потезы о неевклидовости реального пространства : отклонение суммы углов треугольников от 180° всегда оказыв алось в пределах допустимых ошибок измерений . Как сейчас установлено , если наше пространство и является неевклидовым в смысле общей теории относительности , то современные средства измерений недостаточны для того , чтобы зафиксировать этот факт в каких-либо непосредст венных измерениях . Таким образом , отрицатель ный результат опытов Лобачевского и Гаусса был предрешен . Но суть дела не в этом . Суть в том , что сама идея оправдания математического объ екта через опыт была ошибочной . П опытки Гаус са и Лобачевского показывают , что первооткрыва тели новой сферы математики и , в определенном смысле , нового стиля математического мышления сами еще всецело находились под влиянием тра диционного эмпирического воззрения на математи ку и были далеки от понимания действительного значения своих новых идей . Философская позиция , идущая от Бэкона и Ньютона , которой придерживались Лобачевский , Больяи и Гаусс , была для начала XIX в ., несомненно , более адекватной естествознанию , чем априоризм К анта . Но в своем непосредственном виде , как простое утверждение об опытной природе всякого знания , эта позиция была явно недостаточной для обоснования не толь ко неевклидовой геометрии , но и обычных мате матических теорий . Эмпиризм XIX в . так же , как и эмпиризм XVII в ., не был в состоянии объяснить специфику математики. Лобачевский , как можно заключить из некото рых его высказываний , испытывал некоторые ко лебания в вопросе о путях оправдания новой гео метрии . Так , он пишет в статье «О началах геомет рии» : «Очень вероятно , что эвклидовы положения одни только истинные , хотя и останутся навсегда недоказанными . Как бы то ни было , новая геометрия , основание которой здесь уже положено , если и не существует в природе , тем не менее может существовать в нашем воображении и , оставаясь без употребления для измерений в самом деле , открывает новое обширное поле для взаимного применения геометрии и аналитики» (Лобачевский Н . И . Полн . Собр . Соч ., т . 1-5, с . 209). Здесь Лобачевский , как мы видим , делает основ н ой акцент на внутриматематической ценности своей геометрии и в вопросе ее оправдания занимает позицию , близкую к взглядам Лейбница и Карно. Однако в начале XIX в ., как мы сейчас пони маем , не существовало объективных предпосы лок для того , чтобы перейти от э тих правильных догадок к принципиально новому взгляду на сущность математических объектов и способов их оп равдания. 3.2 Основные направления философского обоснования неевклидовых геометрий в XIX в. В 1854 г . Б . Риман выдвинул концепцию n -мер ных геометрич еских многообразий — чрезвычайно общее понимание пространства , в котором геометрия Лобачевского — Больяи заняла определенное место как трехмерная геометрия с отрицательной кривизной . Тем самым эта геометрия становится узаконенной , необходимой частью матема тики при ее систематическом развитии . В 1868 г . Е . Бельтрами , занимаясь геометрией кривых поверхностей , нашел поверхность с отрицательной кривизной (псевдосферу ), внутренняя геометрия которой ока залась совпадающей с планиметрией Лобачевско го . Основной во прос относительно геометрии Ло бачевского-Больяи — вопрос о ее внутренней непротиворечивости — был в значительной мере разрешен . Несколько позднее А . Пуанкаре , С . Ли , Л . Кронекер начали использовать неевклидовы геометрии как эффективный аппарат для решения различных задач в теории функции и других об ластях математики . Сам принцип построения но вой математической теории через изъятие и замену аксиом , примененный при создании неевклидовых геометрий , был положен в основу исследований по основаниям математики , ко торые к концу XIX в . стали превращаться в особую , все более важную область математических исследований . Можно сказать , что к 80-м гг . XIX в . собственно матема тическое значение неевклидовых геометрий было вполне осознано. Философское понимание новой геомет рии не сделало , однако , к этому времени сколько-ни будь существенного шага вперед . История призна ния неевклидовых геометрий в XIX в . является одним из наиболее ярких примеров отставания фи лософской концепции науки от роста ее содержа ния . Признание этих геометрий , совершившееся под давлением внутренних потребностей матема тики , поставило перед философией математики вопросы , на которые долгое время не удавалось найти сколько-нибудь удовлетворительного ответа . Основные из них следующие : 1. Каков эмпирический статус неевклидовых геометрий ? Является ли реальное пространство евклидовым ? 2.Какова природа математических аксиом ? Существование неевклидовых геометрий , очевидно , противоречит убеждению эмпиризма об опытном происхождении геометрических аксиом . С другой стороны , оно противоречит и утверждению об ап риорном характере аксиом , так как если аксиому Евклида о параллельных считать взятой из чистого созерцания , то противоположную аксиому уже , очевидно , нельзя считать таковой. 3. В чем природа математической досто верности ? Кант по-своему отвечал на этот вопрос , исходя из априорных представлений о математике . Если же мы ставим под сомнение точку зрения Канта вообще , то вопрос о достоверности (аподиктичности ) математики , поставленный еще в древности , очевидно требует решения на некоторой другой основе. Эти вопросы встали во всей остроте в 70-х гг . XIX в ., когда неевклидовы геометрии уже были признаны в математике , когда они стали фактом , требующим какого-то оправдания с точки зрения общего понимания этой науки. Призна ние неевклидовых геометрий привело прежде всего к ряду попыток чисто метафизического ее истолкования . Известные последователи Канта Ф . Ланге и О . Либман выдвинули точку зрения , согласно которой неевклидовы геометрии представляют собой не что иное как возм о жные геометрии мира «самого по себе» , в то время как евклидова геометрия представляет собой геометрию чувственного восприятия , геометрию «мира для нас» . Другого рода натурфилософию связывал с неевклидовыми геометриями английский математик У . Клиффорд . Реа л ьная геометрия мира , по Клиффорду , неевклидова , и все , что происходит в мире , может быть понято как определенное изменение кривизны пространства в той или другой его части . Неевклидова геометрия приобретает у Клиффорда значение фундаментальной динамическо й основы мира. Большинство математиков XIX в . в попытках обоснования неевклидовых геометрий исходили из представления об опытной природе геометрических понятий . Все три создателя неевклидовой геометрии — Гаусс , Лобачевский и Больяи — выступали против априор истской гносеологии и настаивали на опытном происхождении геометричес ких понятий . С этих же позиций позднее стремились подойти к обоснованию неевклидовых геометрий Б . Риман , Г . Гельмгольц , Л . Больцман , Ф . Клейн и другие ученые. Гельмгольц при обосновании геометрии исходит из того , что все наши геометрические представле ния так или иначе опираются на измерение . Но сама возможность измерения предполагает возможность перемещения тел в пространстве без изменения их формы . Однако это допущение , Гельмгольцу , не может быть дано apriori; оно , несомненно , фиксирует наш опыт , а именно опыт обращения с твердыми телами . В мире , где не было бы твердых тел , не было бы и евклидовой геометрии . Евклидово , а также сферическое и псевдосферическое пространства допускают переме щение фигур внутри себя без изменения формы и вследствие этого являются оправданными с точки зрения опыта . Вслед за Риманом Гельмгольц склонен рассматривать неевклидовы пространства как некоторого рода гипотезы о возможных физических мирах . В своей работе «О происхождении и значении аксиом геометрии» он пытается с помощью оптических аналогий сделать более осязаемым мир , в котором могла бы понадобиться геометрия Лобачевского (Гельмгольц Г . О происхождении и значении геометрических аксиом ., Спб ., 1895, с . 41 — 50). Л . Больцман и Ф . Клейн подходили к оправданию неевклидовых геометрий также из соображений опыта , но скорее из анализа его субъективной , психологической стороны . По мнению Клейна , интуиция , которой Кант оправдывал существование и единственность евклидо вой геометрии , представляет собой на самом деле чрезвычайно несовершенный инструмент в этом отношении . Интуиция подсказывает нам , к примеру , что биссектрисы внутренних углов треугольника пересекутся друг с другом внутри треугольника , но она нам не говорит, что все они пересекутся в одной точке ; это может быть обосновано только логикой . Так как действительная кривизна реального пространства мало ощутима практически , то наша интуиция ничуть не в меньшей мере оправдывает неевклидову геометрию , чем евклидову ( Н овые идеи в математике ., Сб .8, Спб ., 1914, с . 120). Ценный момент воззрений Гельмгольца и других математиков эмпирического направления состоит в том , что они , исходя из конкретного содержания геометрии , привели сильные доводы против априоризма . В целом , од нако , эта позиция является довольно слабой , поскольку она является попыткой объяснить математическое знание , не выявляя его специфики , т . е . по существу на базе отождествления его с теоретической физикой . С позиции Гельмгольца нельзя ответить на вопрос , я в ляется ли геометрия точной или она только приближенная наука , как физика , но это вопрос первой важности для понимания природы математики . Гельмгольц оправдывает , далее , существование сферического и псевдосферического пространств тем , что все они соответств уют опыту по крайней мере в том , что допускают движение без изменения формы . Но тем самым геометрия ограничивается тремя указанными видами пространств , так как известно , что никакие другие варианты римановых многообразий не удовлетворяют этому требованию. Наконец , взгляд на аксиомы неевклидовой геометрии как на гипотезы о возможном мире не выдерживает критики с точки зрения логики развития науки . Если геометрия Евклида есть учение о реальном пространстве , то новая гипотеза об этом пространстве представляла с ь бы оправданной , если бы геометрия Евклида оказалась в каком-то пункте неудовлетворительной , расходящейся с показаниями опыта . Но поскольку этого никогда не наблюдалось , то неевклидовы геометрии могут быть оценены только как некоторые чисто произвольные, ничем не обусловленные предположения о мире . Если же вообще допускать такие свободные гипотезы , то неясно , почему мы в физике не строим , к примеру , нефарадеевскую или немаксвелловскую теорию электричества в качестве возможной для некоторого другого мира . О чевидно , что дело здесь в некоторой специфике математики , в различном статусе математических и физических теорий по отношению к опыту , но ни Гельмгольц , ни никто другой из ученых эмпирического направления не поставил вопроса в этой плоскости . Они прилагал и все усилия к тому , чтобы найти каналы , по которым новые математические структуры могли бы быть связаны с опытом , поскольку не видели другого способа оправдать их существование как только через наличие такого рода непосредственных связей . Фактически же пр и таком подходе природа и значение неевклидовых геометрий оставались совершенно невыясненными. Очевидная неспособность эмпиризма объяснить понятие абстрактных структур в математике обус ловила значительное влияние в этой области кантовской философии вплоть д о конца XIX в . Согласовать факт неевклидовых геометрий с философией математики Канта пытались Г. Ko ген , А . Краузе , Б . Рассел , Л . Нельсон , В . Майнец , П . Наторп , Е . Кассэрер и другие философы конца XIX — начала XX в . Аргументы кантианцев в целом могут быть св едены к следующей системе утверждений. 1. Противопоставление неевклидовых геометрий кантовскому учению о пространстве основано на недоразумении , на искажении сути кантовской философии математики . Кант не ограничивал возможные геометрии , доступные человеку, только одной евклидовой геометрией . В своих первых p аботах он доказывал , что свойство трехмерности пространства непосредственно связано с действием тел друг на друга обратно пропорционально квадрату разделяющих их расстояний и что вполне возможны другие м иры с другим законом сил и , как следствие , с другой размерностью пространства , т . е . с принципиально другой геометрией . «Наука обо всех этих возможных видах пространства , — писал Кант , — несомненно , представляла бы высшую геометрию , какую способен построи т ь конечный ум» ( Кант И . Сочинения в 6- ти томах ., М ., 1962-1965, , т . 3, , т . 1, с . 71). В «Критике чистого разума» Кант говорит о возможности других форм чувственного восприятия для других живых существ . «Нет необходимости , — пишет он , — ограничивать спосо б созерцания в пространстве и времени чувственностью человека» ( Кант И . Сочинения в 6- ти томах ., М ., 1962-1965, , т . 3, , т . 3, с . 152), Но это есть не что иное , как предположение существования некоторых других законов пространства , чем те , которые выражен ы в теоремах евклидовой геометрии . Таким образом , Канта следует рассматривать не в антагонизме с неевклидовыми геометриями , но , напротив , скорее как одного из их теоретических предшественников , который впервые сформулировал саму идею высшей геометрий , не с овпадающей с геометрией евклидовской ( Баух Б . Кант и его отношение к естествознанию , М ., 1912, с . 21 — 22). 2. Утверждения Канта о возможности других пространств и других форм чувственного созерцания случайны , но вытекают необходимо из приципиальных установ ок его философии . Математические утверждения для Канта не аналитические , а синтетические , а это значит , что построение других геометрий вполне согласуется с основным моментом кантовского учения о математике , так как синтетические утверждения допускают в к а честве осмысленных и противоположные себе утверждения . Построение неевклидовых геометрий — не опровержение , но блестящее подтверждение взглядов Канта на логический статус математических истин (ст . Нельсона (Новые идеи в математике , Сб . 8, Спб ., с . 14, 17 — 1 8)). 3. Попытка Гельмгольца во всех отношениях отождествить неевклидовы геометрии с евклидовой неправомерна , так как она смешивает математический , физический и психологический (созерцательный ) аспекты в понимании пространства . Неевклидовы геометрии равнопр авны с евклидовыми в математическом смысле , как математические структуры , они равноправны и в физическом смысле — они могут применяться на одинаковых правах при описании различных отношений действительности , но они никоим образом не могут быть отождествле н ы психологически , в плане восприятия мира . Но это основной пункт в кантовском истолковании геометрии . Кант был бы опровергнут , если бы было доказано , что , пользуясь новыми геометриями , мы способны выработать для себя новую интуицию пространства . Но в дейс т вительности это невозможно . Во всяком случае , Гельмгольц ошибается , когда он от возможности новых логических конструкций заключает к возможности новых форм интуитивного видения мира . Факты не подтверждают этого ( Meinecke W . Die Bedeutung der nichteuclidsche Geometrie in ihrem Verhaltnis zu Kautz Theorie ., Kant - Studien , Bd XI . Berlin , 1906, с . 221 — 232 ) . 4. Эмпирическая трактовка математики не отличает объектов математики от объектов эмпирических наук , идеальные сущности от объектов , данных в опыте . Эмпирическая арифметика — это арифметика «камешков и пряников» , эмпирическая геометрия — это геометрия чертежей и картонных фигур . Эмпирическая математика игнорирует разделение , которое «совершенно ясно было проведено уже Филолаем и Платоном» (Бау х Б . Кант и его отношение к естествознанию , М ., 1912, с . 25). Эмпиризм ставит математику рядом с физикой и «разбивается о факт аподиктичности математических истин» . Он просто игнорирует тот факт , что математические теории не доказываются и не опровергаютс я опытом (Новые идеи в математике , Сб . 8, Спб ., 1914, с . 52). 5. Эмпирическая позиция противоречива логически . Утверждение Гельмгольца о том , что наши представления об измерении покоятся на допущении неизменности формы тел и масштабов , содержит в себе логич еский круг , ибо само понятие «твердого тела» или «тела , не изменяющего форму» , предполагает уже процедуру измерения ( Russel B / Die Einfurung in die mathematische Philosophy , Munchen , 1923, § 70). В этих аргументах сторонников кантианской философии необходи мо различать несколько тенденций : во-первых , здесь налицо критика эмпиризма , которую нужно признать верной ; во-вторых , попытка более ясного воссоздания сущности кантовской философии математики . Это также вполне естественно : любое большое открытие в науке н еобходимо отзывается пересмотром и уточнением существующих гносеологических теорий . Наконец , обсуждение неевклидовой геометрии стимулировалось у ряда авторов (О . Либман , Г . Коген , Л . Нельсон , В . Майнеке и др .) стремлением защитить гносеологию Канта как ед и нственно истинную . В настоящее время ясно , что эти усилия не могли быть полностью успешными . В конце XIX в ., однако , позиция кантонской философии в математике выглядела почти безупречно . Аргументы эмпириков обеспечивали скорее популярное опровержение априо ризма , и , хотя они имели влияние в среде ученых , они никоим образом не были достаточными для борьбы с ним в теоретической сфере. 3.3 Становление современной концепции математики Большой вклад в правильное понимание неевклидовых геометрий внес выдающийся ф ранцузский математик А . Пуанкаре . Пуанкаре был одним из первых математиков , увидевших несостоятельность чисто эмпирического понимания геометрии , Математическое вообще и геометрическое , в частности , утверждение — это точное утверждение , которое не опроверг а ется и не дополняется исторически таким образом , как положения физики , химии или другой опытной науки . Если бы Гаусс тли Лобачевский нашли , что сумма углов у некоторых реальных треугольников меньше 180° , то это по мнению Пуанкаре , не свидетельствовало бы о ложности евклидовой геометрии , но говорило бы лишь о том , что световые лучи не подчиняются ее аксиомам . Тезис о необходимости (неопровержимости через опыт ) геометрических истин , с точки зрения Пуанкаре , безусловно верен. Вместе с тем Пуанкаре не принимал учение Канта об априорности геометрических аксиом . «Можно спросить , — писал он , — что представляют собой эти гипотезы (аксиомы геометрии )? Факты ли это , полученные из опыта , или суждения аналитические или синтетические apriori? Мы должны ответить отрицател ьно на эти три вопроса . Если бы эти гипотезы были фактами опыта и наблюдения , то геометрия подлежала бы постоянному пересмотру и не была бы наукой точною ; если бы это были синтетические apriori суждения , а тем более аналитические , то невозможно было бы отр ешиться от них , и на их отрицании ничего нельзя было бы построить» (Пуанкаре А . «Об основных гипотезах геометрии» - в сб .: Об основаниях геометрии ., М ., 1956, с .397). Пуанкаре развивает взгляд на аксиомы , получивший в дальнейшем наименование конвенционали з ма , как на утверждения , в становлении которых известную роль играет опыт , но которые формируются по соображениям простоты и удобства . Пуанкаре признает основной тезис эмпиризма , а именно — если бы не было твердых тел в природе , то геометрия не существовал а бы . вместе с тем , по его мнению , геометрия все-таки не наука о твердых телах : она изучает не твердые тела , а идеальные представления о них , и эти идеальные представления уже не подвергаются контролю опыта , независимы от него в своей структуре. Позиция Пуа нкаре также не может быть принята как вполне объясняющая суть дела , ведь можно спросить , почему проверяются на опыте и исправляются им физические представления , хотя они также только идеализации ? В чем специфика математических моделей ? Но тем не менее име н но благодаря идеям Пуанкаре обсуждению проблемы неевклидовых геометрий впервые было придано верное направление . В отличие от Гельмгольца , Ф . Клейна и других ученых , у Пуанкаре на первом месте стоит специфика математики как науки , ее отличие от физики . Пуа н каре в принципе наметил выход из основного затруднения в философии математики XIX в .: он пытался обосновать , что необходимость математических истин не нуждается в посылках априоризма , но вполне примирима с опытным их происхождением. Основная идея , необходи мая для современного понимания математики , возникла , однако , не в философии Пуанкаре , а в контексте работ Дедекинда , Кантора и Гильберта , которые стремились на логической основе уточнить исходные понятия геометрии и других математических наук . Надо сказат ь , что эти работы также в значительной мере были обусловлены появлением неевклидовых геометрий и других абстрактных образов , оперирование которыми предъявило повышенные требования к логике обоснования математических утверждений . Высоко оценивая работы Гиль б ерта , Пуанкаре скептически относился к «формалистам» , стремившимся , по его мнению , изъять из математики интуицию и превратить ее в механическое оперирование символами . Неприязнь к претензиям «формалистов» была , по-видимому , главной причиной , по которой Пу а нкаре не понял важности для философии математики представления о математической теории как о формальной системе и не принял той простой идеи , что , с какими бы интуитивными образами она ни была связана генетически , она функционирует по отношению к опытному знанию исключительно как формальная система , как определенная знаковая модель , для эффективности которой существенна лишь ее внутренняя непротиворечивость . Такой взгляд на функцию и структуру математической теории дает возможность дополнить критику Пуанкар е более удовлетворительной позитивной концепцией , в рамках которой находит полное оправдание и факт неевклидовых геометрий. С понятием формальной системы или формальной структуры иногда связывают представление только об особом внутреннем устройстве математ ической теории . Фактически , однако , это понятие представляет собой центральный момент современного понимания математики вообще , понимания ее происхождения , функции и т . д . Мы сформулируе м в рамках этой общей концепции некоторые утверждения о математике с т ем , чтобы отметить прогресс философии математики , который наметился к началу XX века. 1. Математика не есть опытная наука , изучающая определенные свойства действительности , наряду с механикой , физикой , химией и т . д . Мате матика находится не рядом с опытны ми науками , как считал Аристотель и многие после него , а над опытными науками , представляя собой определенную надстройку над ними . Математика в общем является набором формальных (знаковых ) моделей для теоретического знания и таким образом связана с опытом не непосредственно , а через другие науки. 2. Математика выступает по отношению к эмпирическому знанию как особого рода язык , способ трансформации эмпирических высказываний , установления связи между ними . Для этой цели математическая теория должна быть непр отиворечивой , но не обязательно интуитивно ясной или имеющей опытное происхождение . В математике в принципе допустимы любые непротиворечивые структуры , которые эффективны в прикладном отношении или важны для внутреннего обоснования математической науки . Н е евклидова геометрия менее законна , чем евклидова или какие-либо другие мыслимые математические структуры . Математика , в отличие от других наук , имеет право на создание чистых форм , т . е . образов , не имеющих какой-либо эмпирической интерпретации , но лишь в интенции на некоторую внутреннюю задачу . (Лобачевский , как мы уже говорили , допускал такое чисто функциональное оправдание своей геометрии , но оно не казалось ему достаточным из-за его в целом эмпирического взгляда на природу геометрических истин ). 3. Мате матические утверждения необходимы (неопровержимы на опыте ) вследствие внутренней логической определенности понятий . Эмпирический закон , к примеру , закон , утверждающий , что все газы расширяются при нагревании по закону V 0 (l+at), где V 0 — исходный объем , t — темпе ратура , а a — коэффициент расширения , может быть опровергнут только потому , что мы имеем внешнее , эмпирическое определение газа , независимое от самого закона . Если же газом назвать всякое вещество , которое расширяется в соответствии с данным законом , то закон , очевидно , будет неопровержим , ибо все , что ему не соответствует , не будет газом по определению . Утверждение 2 + 2=4, как и любое другое математическое утверждение , неопровержимо просто потому ; что символы , его составляющие , не имеют внешних оп р еделений , независимых от самого утверждения . Математические понятия , даже если они генетически связаны с опытом , представляют собой не просто абстракции и даже не просто идеализации , но конструкции , т . е . понятия , свойства которых полностью определены вкл ю чающей их системой формальных связей. 4. Математическая теория сама по себе не истинна , не ложна , она приобретает это свойство только после интерпретации в определенной сфере опытных представлений . Убеждение пифагорейцев и некоторых более поздних философов -рационалистов (Декарт , Лейбниц , Фреге ) в особой достоверности математического знания является не более чем мистификацией логической структуры математических теорий , необходимости их внутренних связей. 5. Единство математики обеспечивается исключительно ме тодом , но не предметом исследования . Сфера возможного приложения математики в принципе бесконечна : математик может говорить обо всем , что поддается формулировке на точном оперативном языке , что может быть изучено в своей логической форме в отвлечении от к о нкретного содержания . Это значит , в частности , что различие между геометрией и арифметикой по их близости к опыту , которому традиционно придавалось столь много внимания , в действительности является несущественным , по крайней мере в плане обоснования . Обос н ование любой математической теории есть доказательство ее непротиворечивости , и оно может опираться только на ее формальную структуру , а не на ассоциации , которые мы привыкли связывать с ее понятиями. Эти положения фиксируют основные моменты так называемог о формалистского или структуралистского понимания математики Формалистскую философию математики следует отличать от формализма как программы обоснования математики , хотя формализм существенно опирается на понимание математики как логической структуры. , которое оформилось к концу XIX в . и которое делает акцент на логических особенностях и особых функциях математического знания . Этими положениями в значительной мере определяется современное , так сказать , «рабочее» понимание математики , которое мы можем вс третить в методологических работах самих математиков и физиков , в предисловиях к учебникам и т . д . Математика определяется и как наука о необходимых заключениях (Б . Пирс в книге : Кутюра Л . Философские принципы математики ., Спб ., 1913, с . 183)), и как иера р хия формальных структур (Н . Бурбаки Очерки по истории математики , М ., 1963, с . 255), и как строгий язык , созданный для перехода от одних опытных суждений к другим (Бор Н . Атомная физика и человеческое познание , М ., 1961, с . 96), и как особого рода идеальн а я техника науки , относительно которой можно говорить об эффективности , но нельзя говорить об истинности и ложности (Александров А . Д . Диалектика и математика . Сибирский математический журнал , 1970, № 2), и как наука о знаковых моделях (Илиев Л Математика к а к наука о моделях ., УМН , 1971, т . 27, вып . 2). Высказывается также взгляд на математику как на символический миф , который , как и обычный миф , будучи вымыслом , помогает тем не менее человеку разобраться в ситуациях реального мира ( Bochner S . He role of math ematics in the rise of science ., Princeton , 1966). Несмотря на некоторые нюансы , все эти определения выражают одно и то же , а именно взгляд на математику как на логически организованную систему понятий , для существования которой важна лишь ее дедуктивная , трансформирующая функция. Возникновение такого взгляда на математику было прежде всего расширением предмета математики , признанием de jure математических образов , не связанных с опытом и интуицией . С этой точки зрения , и эмпиризм , и кантовская философия ма тематики оказываются несостоятельными , произвольно сужающими область приемлемых математических объектов . Очевидно , что отбрасывается также и всякая натурфилософия : математик не должен ломать голову над тем , что стоит , к примеру , за бесконечно малой в реал ь ности , ибо дело не в созерцании и не в содержательном описании бесконечности , но лишь в формальных определениях , в оперативной силе понятия. Развитие новых представлений о природе математики завершилось в первых двух десятилетиях нашего века . Уже в самом н ачале XX в . центр тяжести в философии математики смещается к проблемам логического обоснования . И это обусловлено не только интересом к новым проблемам , но и тем обстоятельством , что вопрос о природе неевклидовых геометрий постепенно перестает быть загадко й . Несмотря на различия в понимании своей науки , проявившиеся в отношении путей поиска ее логических оснований , математики начала XX века не оспаривают того , что логическая непротиворечивость есть необходимое и достаточное условие существования математичес кой теории как таковой Вскоре , однако , наступила реакция . Пуанкаре , а затем Борель , Лебег , Лузин и в особенности Брауэр стали возражать против столь широкого понимания математического существования. . Неевклидовы геометрии , а также и другие «монстры» мат ематического мира , открытые позднее , превращаются с этой точки зрения в обычные рядовые объекты математики , ничуть не более странные , чем дробные или отрицательные числа . Тем самым завершается один из самых глубоких переворотов в философии математики , в п р едставлениях о природе математического знания . Философское значение неевклидовых геометрий состоит в том , что их открытие явилось исходным пунктом и основным стимулом этого переворота. Открытие в науке , как бы оно ни было велико , само по себе не является в кладом в философию . Однако существуют открытия , которые влекут за собой изменения в философии науки , в понимании ее предмета , методов , связи с другими науками . Неевклидовы геометрии — пример одного из таких открытий , чрезвычайно редких в истории науки . До построения неевклидовых геометрий к таким сдвигам в математике , имевшим философское значение , можно отнести только три события , а именно появление самой идеи математики как дедуктивной науки , открытие несоизмеримых величин и открытие дифференциального исч и сле ния в XVII в . В наше время таким событием явился отказ от основных программ обоснования математики (прежде всего под влиянием логических исследований К . Геделя ), последствия которого для философии математики пока еще окончательно не осмыслены. 4 Трети й кризис оснований математики Едва улеглись страсти после второго кризиса оснований , как в конце XIX столетия назрел третий , самый глубокий и продолжительный , который волнует математику , логику и философию и поныне . Третий кризис поставил вопрос о точност и математики , безупречности ее основных понятий . И это затрагивает уже фундамент математики , по-настоящему выводя проблему на уровень философского осмысления темы , поскольку речь идет о статусе математической науки , правомерности построения ее объектов , в о зможности их существования и критериях истинности утверждений о них . В предыдущих кризисах подобные вопросы , конечно , тоже возникали , но лишь в частных , не глобальных проявлениях. По выводу математики из третьего кризиса сложились три направления : логицизм , интуиционизм с его конструктивной ветвью и школа формалистов . Расцвет деятельности всех трех течений падает на период конца XIX - начала XX столетий с выходом конструктивизма в более позднее время . Кроме того , отдельной строкой идет речь о современных п о пытках обоснования , нашедших выражение в теоретико-множественном и категориальном подходах. 4.1 Программа логицизма Лидеры логицизма (Г . Фреге , Б . Рассел и др .) видели основания математики в логике. Первые идеи логицизма сформулированы в конце XIX в . в работах немецкого математика и логика Г.Фреге и развиты в самом начале XX в . Б . Расселом. В основе логицизма лежит убеждение , что математика является лишь частью , отраслью логики. Логицисты исходят из того , что математическое доказательство широко использу ет методы логики , построено на базе логических операций . Философ Э . Гуссерль подробно исследовал определение математики как логики . Аксиоматический метод (гордость математики , то , что отличает ее сейчас от других наук ) своим происхождением также обязан ло г ике , выступающей инструментом извлечения следствий из принимаемых постулатов . Далее , и математике и логике обща точность , являющаяся следствием доказательности выдвигаемых положений . Доказательность же шлифовалась в риторике , которая была предметом особых забот логиков , разрабатывавших ее как умение убеждать , обосновывать «Со времени греков , - пишет Н . Бурбаки , - говорить «Математика» - значит говорить «Доказательство» , в том точном и строгом смысле , какой получило это слово у греков и какой хотим мы придать ему здесь » . Бурбаки Н. Элементы математики. Теория множеств // Жизнь науки . М .: Наука , 1973. С . 490. . Далее , логицизм питается тем , что математики традиционно вводят объекты , опираясь на логический тезис непротиворечивости . Существование математическо го объекта правомерно , если он мыслим непротиворечивым образом . При этом используется метод доказательства , выступающий острейшим орудием логики . Одним словом , логика является предпосылкой математики , поскольку последняя широко использует дедуктивные расс у ждения. Будучи лишь частью логики , математика , по мнению логицистов , не должна заимствовать ни у созерцания , ни у опыта никакого обоснования . Все специальные математические термины могут быть представлены кратким перечнем основных понятий , которые принадле жат словарю чистой логики . Доказательство же математических теорем не требует иных аксиом , кроме логических , и правил вывода , помимо тех , что использует логика. Концепция логицизма покоится на идее редукции , сводимости математики к логике . Но что значит ре дуцировать математику к логике ? В конечном счете это предполагает представить математические понятия , объекты и операции как логические , а аксиомы математики как теоремы логики . Однако встает вопрос , как именно следует переводить математические объекты и д ействия над ними в логические объекты и действия ? Значит ли это , что каждый объект и каждую операцию надо выражать в терминах логики ? Очевидно , нет . Надо выделить основные понятия и операции и интерпретировать их логически , то есть осуществить аксиоматиче с кое построение математики . Но теперь возникает другая проблема . В математике немало разделов , дисциплин . Следует ли каждую из них аксиоматизировать и далее работать над ними ? Естественно стремление выделить в математике такую отрасль , в терминах которой м о жно было бы выразить все остальные разделы математики . Это арифметика. Так весь ход рассуждений приводит к началу процесса и видно , что для реализации конечной цели логицизма необходимо осуществить три последовательные операции : арифметизировать математику , аксиоматизировать арифметику и осуществить логическую интерпретацию аксиоматизированной арифметики . Очерченная программа реализуется по двум направлениям : создание подходящего логического аппарата и подготовка содержания математики к его применению. 4.1 .1 Этап арифметизации задачи . В известной мере это относится и к этапу аксиоматизации арифметики , хотя проводивший в жизнь эту идею итальянский математик Д . Пеано , по-видимому , уже сознавал , что она служит утверждению концепции логицизма. Итак , 1-й шаг на пути к логическому представлению исходных математических понятий и операций - арифметизация самой математики . Были предприняты попытки редукции числа к самому элементарному . В итоге любое число стало возможным выражать посредством натурального Это и дал о основание Кронекеру воскликнуть : «Целые числа создал господь бог . Все остальное – математики» (« Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht. Alles audere ist Menschenwerk » ). . Большую роль в реализации программы арифметизации сыграла теория множеств , методы которой тесно переплетены с методами теории чисел . С другой стороны , ее основное понятие (актуально бесконечного ) множества , а также возможность сведения математической проблемы к указанию соответствующего множества (или нескольких множеств ) и изуч е нию его свойств , как и решение проблемы на базе этих свойств , - все это вооружило математиков эффективным инструментом анализа. Характеризуя вклад теории множеств в решение задачи арифметизации , А . Пуанкаре пишет : «Теперь в анализе остались только целые чи сла и конечные или бесконечные системы целых чисел , связанных сетью равенств и неравенств . Математика , как говорят , арифметизировалась» Гильберт Д . Математические проблемы . Речь на II Международном математическом Конгрессе // Жизнь науки . М .: Наука , 1973 . С . 470-471. . Ему вторит Д . Гильберт , выдающий восторженные оценки теории множеств и ее автору : «Никто не изгонит нас из рая , который создал нам Кантор». 4.1.2 Второй этап - аксиоматизация арифметики . Далее встает задача представить в минимуме понят ий сам натуральный ряд , то есть вывести (указав правила перехода ) из исходных , простейших элементов всю совокупность целых чисел . Аксиоматизацию начинают Дедекинд и Грассман , а завершает Пеано . Выделив три основных понятия : натуральное число , следование о д ного числа непосредственно за другим , начальный член натурального ряда - 0 или 1; Пеано связал их пятью аксиомами. 1) 1 есть натуральное число ; 2) Следующее за натуральным числом есть натуральное число ; 3) 1 не следует ни за каким натуральным числом ; 4) Ес ли натуральное число b следует за натуральным числом a и за натуральным числом c , то a и c тождественны . Несколько забегая вперед , можно заметить , что эта аксиома выступает как проявление более общей , логической аксиомы функциональности a R b c R b > a = c , то есть если предметы a и c одинаково относятся к b , то a и c е сть один и тот же предмет . Скажем , если Петр - брат Елены и Сергей - брат Елены , то Петр и Сергей - братья . Типично дедуктивное умозаключение на основе суждений с отношениями. Наконец , аксиома 5) Если какое-либо предложение доказано для 1 и если из допущен ия , что оно верно для натурального числа n , вытекает , что оно верно и для следующего за n натурального числа , то это предложение верно для всех натуральных чисел. Итак , арифметика аксиоматизирована . Следующий шаг программы - определение исходных понятий ак сиоматизированной арифметики в терминах логики , а аксиом - как теорем логики. Понадобился специальный логический аппарат . Он создавался ранее . Первые идеи принадлежат Р . Декарту (XVII в .), рассматривавшего математику как частный случай исчисления (общего ф ормально-логического метода ). Г . Лейбниц (в книге «Искусство комбинаторики» ) говорит о введении универсального языка науки , функционирующего на основе целесообразно подобранной символики и предназначенного для проведения рассуждений Язык предполагает , по Лейбницу , указание списка всех элементарных понятий (алфавит человеческих мыслей ), основных отношений между понятиями и правил комбинаций с этими символами . Затем Лейбниц развивает идеи , близкие понятиям символической логики (например , вводит логическое умножение и сложение ). В середине XIX в . Д . Буль создает алгебру логики , а де Морган формулирует принципы логики высказываний и логики классов. Использовать этот аппарат в интересах логицизма и пытается Г . Фреге . Он же формулирует программу логицизма. Пров одится следующая цепь доказательств . Математика покоится на логике (не на эксперименте ), ибо ее доказательства - апелляция не к опыту , а к возможности (процедуре ) логического выведения одного предложения из других . Что же касается самой логики , то ее утве р ждения , по мнению логицистов , формальны , они ничего не говорят о мире и представляют аналитические высказывания , тавтологии . Их истинность зависит не от содержания , но лишь от формы , оттого они истинны "во всех возможных мирах ". Таким образом , логику можно изложить в виде исчисления , построив формализованный логический язык . Тогда , поскольку математика - часть логики , выдвигается программа : представив логику как исчисление , вывести из ее аксиом все положения чистой математики и все понятия последней описат ь посредством логических понятий (для чего и необходимо было выразить ее в минимуме исходных терминов и положений ). В результате понятия математики оказываются понятиями логики (1); аксиомы математики - доказуемыми теоремами логики (2); устанавливаются пра в ила вывода (для получения из логических положений предложений математики ) (3). В соответствии с программой , предстояло определить в терминах логики понятие числа и операций над числами . В основе логического подхода к числу лежит идея взаимнооднозначного со ответствия . Это позволяет установить равенство двух (и более ) множеств по количеству элементов , не прибегая к математической операции их пересчитывания и пользуясь просто методом сопоставления элементов одного множества элементам другого . Если удается уст а новить полное однозначное соответствие , то множества эквивалентны . Так , множество сторон света эквивалентно множеству углов равностороннего прямоугольника , а также эквивалентно множеству букв в слове «вода» . Можно говорить о множестве всех таких эквивален т ных между собой множеств , имя которому - четыре. Отсюда любое число есть множество всех множеств , которые эквивалентны между собой . Фреге интерпретировал натуральные числа как кардинальные числа некоторых понятий . Кардинальное (то есть не порядковое , а кол ичественное ) число (иначе говоря мощность ) понятия F определялось как сокращение для объема понятия , равночисленного с понятием F . Например , все понятия с единичным объемом (скажем , столица Франции , автор романа «Жерминаль» подпадают под одно понятие с ка рдинальным числом 1, то есть его мощность равна мощности класса 1, все понятия с кардинальным числом 2 находятся во взаимнооднозначном соответствии , образуя число 2 и т.д . Таким образом , число есть класс всех возможных его реализаций. Так же логически опре деляются арифметические операции : сложение , объединение (дизъюнкция ) ( a + b ) = ( a U b ), умножение как отыскание общих элементов (конъюнкция ) ( a ╥'54 b ) = ( a b ). Необходимо отметить только , что в логике эти операции подчинены принципу идемпотентности (сохранения степени ), который в математике нарушается. 4.1.3. Причина н еудач Выполнение замысла логистов близилось к концу : оставалось лишь выровнять шероховатости , чем и занялся Г . Фреге , который , как пишут авторы известной книги «Основания теории множеств» А . Френкель и И . Бар-Хиллел , Программа сведения математики к логике представлялась завершенной , страсти вокруг улеглись , борения закончились. Но вдруг молодой английский математик и логик Б . Рассел в самом начале прошлого столетия в письме к Фреге обращает внимание на некорректность использования им понятия теории множест в , лежащей в фундаменте арифметики , а следовательно , всей математики : Дело касалось понятия «класс всех классов» . Ситуация получила название парадокса Рассела . Вообще парадокс проявился в трех аспектах : как собственно математический , логический и лингвист и ческий. В математике является признанным тезис о несуществовании наибольшего кардинального числа , то есть самого мощного множества , ибо какое бы наиболее мощное множество мы ни взяли , всегда можно построить еще более мощное . Например , для множества чисел н атурального ряда и тождественных ему так называемых счетных множеств (таких , что элементы множества можно расположить в последовательность ). Для них более мощным является континуум , то есть множество точек на отрезке прямой (непрерывность ), а относительно континуума более мощным выступает множество функций . Вообще , поскольку всегда можно образовать множество всех подмножеств данного множества и , включив его в исходное множество , получим совокупность , мощность которого будет на единицу выше мощности данного множества . Таким образом , существуют все большие трансфинитные множества , потому , звучит доказанная Г . Кантором теорема : нельзя построить самое мощное множество. Однако , с другой стороны , интуитивно ясно , что множество всех множеств должно быть самым мощны м , так как оно представляет совокупность всех мыслимых множеств , являясь сверхмощным . Как заметил Рассел , если взять все , то не останется ничего и , следовательно , ничего уже нельзя добавить . Кстати , и сам Кантор , несмотря на доказанное им , пришел к выводу, что должно же существовать трансфинитное число , превосходящее наибольшее из трансфинитных чисел. В данном математическом содержании парадокса выражением противоречия стала логическая антиномия , о чем и заявил Рассел. Согласно теории множеств Кантора , множ ество или класс есть совокупность предметов , мыслимых как нечто единое . Затем вводится понятие «принадлежать» , то есть «быть элементом множества» . Поскольку само множество - тоже объект (как и его элементы ), возникает вопрос , принадлежит ли множество само м у себе. Есть два вида классов : содержащие себя в качестве собственного элемента и не содержащие . К первым относятся , например , понятия «Список» , «Каталог» , «Классификация» и т.п . (список списков также список ). Подобные понятия составляют меньшинство , поэ тому их называют нестандартными . Обычно же классы не содержат себя в качестве элемента своего класса , не входят в объем собственного множества (стандартные классы ). Скажем , элементами множества «студент» являются конкретные студенты , но само-то множество с тудентом не является , ибо не имеет ни возраста , ни национальности или факультетской принадлежности . Нет студента как такового. Логически парадокс обнаруживается в том , что неизвестно , куда поместить стандартное множество . В классе , который является собстве нным элементом , ему не место , поскольку он не входит в свой класс . Но его нельзя включить и в класс , который собственным элементом не является , поскольку он представляет стандартный класс и не должен находиться среди собственных элементов . Рассел иллюстри р ует этот парадокс примером , который он назвал «парадокс парикмахера» . Допустим , в некой деревушке , где имеется лишь единственный парикмахер - мужчина , мэр издал указ : «у парикмахера имеют право бриться те и только те , кто не бреется сам» Спрашивается , мож е т ли парикмахер брить себя ? С одной стороны , он не имеет права этого делать , поскольку бреет только других . Но , если он не будет брить себя , то попадет в число тех , кто себя не бреет и , следовательно , согласно букве указа , получает право на то , чтобы брит ь сам себя . Имеется и вторая версия этого парадокса . Парикмахер объявил , что бреет всех , кто не бреется сам . При этом он похвалялся , что в парикмахерском деле ему нет равных , но однажды задумался , а должен ли он брить сам себя. Обнаружив парадокс , Рассел ре шил , что Кантор доказывая теорему о несуществовании самого мощного множества , допустил тонкую логическую ошибку . Рассел надеялся преодолеть ее , однако не смог и через 16 лет извинился за то , что не сумел выполнить обещание. Лингвистический аспект парадокса , проблема несовершенства самого языка математики , в полной мере характеризует третий кризис. В науке , в том числе и в математике , часто приходится использовать так называемые непредикативные определения , чем и обусловлено появление порочного круга . Их сут ь такова. Непредикативное описание такое , в котором определяемый предмет вводится через множество , к которому данный предмет принадлежит в качестве элемента . Здесь и заключена возможность ошибки , поскольку то , что определяется , принимает участие в определе нии . Получается логический круг . Однако не все непредикативные определения ошибочны . Многие из непредикативных описаний вполне приемлемы , в том числе и в математике . Например , двойка есть такое число , что , будучи сложено само с собой , дает свой точный ква д рат - 2+2=2 2 . Однако есть ряд некорректных непредикативных определений , которые ведут к парадоксам . В этом случае и наблюдается определение множества , которое не принадлежит самому себе . Это свойство предикабильности. Понятия различаются как предикабильны е и непредикабильные . Предикабильные такие , которые фиксируют свойство , относящееся к самому себе . Например , понятия «русский – русское» , «абстрактный – абстрактно» , «двузначный – двузначно» . Другие же понятия , и их большинство - непредикабильны . Понятие «зеленый» не является зеленым , понятие «человек» не есть человек . Поставим вопрос . Куда отнести само понятие «непредикабильный» ? Возникает парадокс . В классе предикабильных оно непредикабильно , а в классе непредикабильных оно предикабильно , ибо здесь оно распространяется на самого себя . Оно непредикабильно да находится в классе непредикабильных , значит , оно здесь предикабильно . Но как же оно стало предикабильным , если , по определению , не относится к самому себе. Парадоксы теории множеств заставили обратить внимание на самые глубинные проблемы математики , на ее основы , затронули математический язык . Опыт же исканий логицистов показал , что хотя попытка оправдания математики логикой в некоторых моментах имеет право на применение , но по своим основаниям являет с я недостаточной и вынуждена выходить за пределы собственно логики , апеллируя к философии и беря ее в союзники . Фактически , сводя математику к логике , логицисты лишь отодвинули проблему . Теперь она состояла в обосновании возможности существования уже не ма т ематических , а логических объектов . То есть в их философском обосновании. 4.1.4. Философская оценка В реализации логицистской программы ее творцы то и дело выходили на философию , без привлечения которой процедура сведения математики к логике выглядела н езавершенной , и сами логические построения оставались в ряде пунктов открытыми , требуя более точного объяснения. Когда Рассел обнаружил парадокс , он будучи убежденным логицистом , не изменил идее и попытался преодолеть антиномию. Ошибка Г . Фреге состояла в том , что он исходил из мысли об универсальной предметности логики , поэтому допускал рассмотрение в качестве аргументов логической функции 1-й ступени любые объекты : индивидуумы , классы , классы классов и т.д. См . подробнее : Бирюков Б.В . Теория смысла Г . Ф реге // Применение логики в науке и технике . М ., 1960. Логическая или пропозициональная (высказывательная ) функция есть , по определению польского логика А . Тарского , нормальное по форме высказывание , но содержащее переменную , о которой нам ничего не из вестно . Например , высказывание : « x есть студент» (P( x ), где x - переменная , а P - предикат «быть студентом» ). Формально здесь все компоненты высказывания налицо : имеется субъект ( x ), предикат (P) и связка («есть» ), однако ненормальным является то , что о с убъекте содержательно ничего не известно . Тарский сравнивает пропозициональную функцию с незаполненной анкетой , которая становится нормальным документом лишь после заполнения ее конкретными данными. Логическая функция строится по образу математической , уст анавливающей зависимость одной переменной от другой , скажем , y =f( x ). Функция состоит из трех компонентов : область определения аргументов (независимая переменная x) , область значений (зависимая переменная y ) и переход от x к y , то есть собственно функция f (например , y= 2 x , где переход означает умножение на 2). Логическая функция P( x ) также имеет эти три компонента . Область определения , то есть независимая переменная ( x ); область значений , зависимая переменная , в логике их всего два – «истина» или «ложь» (в м ногозначных логиках хотя и много значений , как и в математической функции , но все они расположены в диапазоне тех же двух значений двузначной или черно-белой и т.п . логики ); переход же от одной области к другой выражается предикатом P: x есть (не есть ) y и его вариантами «является» , «принадлежит» , «входит» и т.п. Чтобы избежать ошибки , допущенной Фреге , Рассел строит теорию типов . Тип - это ранг значений пропозициональной функции , то есть совокупность аргументов , для которых функция имеет значение , то есть превращается в нормальное , осмысленное , истинное или ложное , высказывание . Рассел выделил типы : нулевой , первый , второй , третий и т.д . Аргументами нулевого типа являются индивидуумы , вещи ; аргументы 1-го типа - свойства (классы ); 2-го типа - свойства сво й ств (например , конкретные числа : 5, 7, 10 и т.п .); 3-го - свойства свойств свойств (к примеру , обобщенное понятие числа ) и т.д. И далее формулируется принципиальное правило : функция должна быть одним рангом выше ее аргументов . Это значит , что множество n -г о уровня (типа ) должно состоять из элементов n- 1 типа . Так , если в качестве аргументов выступают имена элементов , то функция содержит класс , если аргументами являются имена классов , то функция должна содержать уже класс классов и т.д . Иными словами , в ряду аргументов функции не может быть имен , содержащих ссылку на самое функцию . Рассел писал : «То , что включает всю совокупность чего-либо не должно включать себя» Russel B. Logic and Knowledge. L., 1956. P. 38. . Однако здесь одних лишь логических аргументо в недостаточно . Заявляет о себе философия. Как явствует из рассуждений Рассела , всякое свойство , поскольку оно присуще более высокой ступени , может принадлежать как таковое лишь вещам , обладающим этим свойством , и не должно принадлежать себе . Скажем , «быть белым» приписывается определенным предметам , носителям этого свойства : снегу , мелу , свету белому , но не самому свойству . Столь же лишены смысла вопросы (и ответы на них ) типа : «бытие есть» , «бытия нет» ? Бытие не может быть предикатом , обращенным на себя, но оно предицирует все сущее , поскольку оно есть . Обращение к философии стало неизбежным и при введении логицистами гипотезы бесконечности . А это произошло в связи с формулированием одной из аксиом арифметики : два различных натуральных числа не имеют посл едующим одно и то же число (аксиома функциональности a R b c R b > a = c ). Но если в мире ограниченное число объектов , скажем , 10, тогда все числа после 10 попадают в один и тот же класс (все они тождественны числу 10). Получается , что числа есть , а объектов нет . Разверзлась так называемая «арифметическая катастрофа». Спасти ситуацию способна была только идея бесконечности , то есть уже не логическая , а внелогическая аргументация , допущение «космологической» гипотезы , несущей философский подтекст . «Мы требуем аксиомы бесконечности» , - заявляли сторонники спасения логиц и зма . Но где ее взять , если ни в логике , ни в самой математике подобной аксиомы не содержится ? Аксиома бесконечности формулируется следующим образом . Если n - натуральное число , то всегда существует некоторое множество индивидуумов , содержащее по крайней ме ре n +1 элементов . Поскольку n - неопределенно , это требовало ввести содержательно интуитивные соображения и апеллировать к объективному миру , тем самым ставя под сомнение тезис о независимости логики от философии. Мы коснулись обращений к философии по конк ретным темам . Вместе с тем встает проблема соотношения математики и логики вообще . Ее также трудно решить без философского присутствия. Прежде всего программа логицизма упирается в фундаментальный вопрос , возможно ли сведение математики к логике в принципе ? Безусловно , у них много общего , но все же они - разные дисциплины . Та и другая крайне абстрактны . Однако если математика отвлечена от конкретно-вещественной природы объекта , то логика - от конкретного содержания мысли . Та и другая есть чистые формы , но п ервая - формы пространственных и количественных отношений , а вторая - формы мысли . Это значит , что математика , ее термины обладают специфическим содержанием , не сводимым полностью к логическому . Так , арифметизация математики предполагает ее редукцию не то л ько к целым числам , но и к тому , что называют множествами целых чисел . А это означало бы редукцию к логике помимо арифметики также общей теории множеств . Фреге этого не сделал и даже не пытался сделать , равно , как и другие. Дисциплинарная специфика , препят ствующая сведению математики к логике проявляется еще в ряде случаев . Так , в логике действует принцип идемпотентности (сохранения степени ), который в математике нарушается . Логическая операция дизъюнкции , объединения классов , когда образуется новый класс, включает в себя элементы , которые принадлежат по крайней мере одному из исходных классов a v a=a . В алгебре же a + a= 2 a . Рассмотрим логическое сложение . Если взять высказывание «железо – металл» и прибавить к нему высказывание «железо – металл» , то мы только и получим исходное высказывание «железо – металл» . Но если взять две монеты , да прибавить еще две монеты , то будет уже четыре монеты (конечно , когда прибавленные монеты были другими , а не теми же самыми ). Аналогично операция конъюнкции , логического умнож е ния , то есть отыскание у исходных классов общих элементов . В логике a a=a , в алгебре a* a=a 2 , то есть в логике степень сохраняется , но в алгебре она не сохраняется. Кроме того в алгебре выполняются все логические законы : коммутативности , ассоциативности , дистрибутивности , кроме закона дистрибутивности (распред еления ) дизъюнкции относительно конъюнкции . В логике a v b( c)=(a v b) (a v c), но в алгебре 5+(3* 4) (5+3)* (5+4). Стоит напомнить и то , что процедура арифметизации матема тики как выявление в ней единых оснований в целях последующей аксиоматизации и перевода в термины логики , сама эта процедура таила сбои . Так , в квантовой механике не выполняется закон коммутативности для конъюнкции ( a* b b* a ). То есть здесь нарушается не только логическое правило ( a b = b a ), но и правило алгебры ( a* b = b* a ). Ограниченность программы логицизма проявилась и в том , что при редукции математики к логике не обходим логический аппарат вывода , но правила вывода сама логика не обосновывает . Это можно сделать только в другой системе , следовательно , нужна более широкая интерпретация , что также диктует необходимость обращения к философии. При анализе логицистской п рограммы обнаружилось и еще одно обстоятельство . Оказалось , что аксиоматика Пеано нелокальна , поскольку она удовлетворяет не только числам , но и более широкому кругу объектов , чем натуральный ряд (например , прогрессиям ). Но в самой же логике есть принцип « кто много доказывает , тот не доказывает ничего» (qui kimim probat, neuhil probat). То есть это вносит неопределенность , лишая подобные построения точности и строгости , а ни математика , ни логика не могут такое терпеть. И в довершение и завершение перечня с толь многочисленных прегрешений логицизма принципиальное обстоятельство . На него обратил внимание , в частности , Ван Хао См .: Ван Хао . Процесс и существование в математике // Математическая логика и ее применение . М .: Мир , 1965. С . 315-389 . Положим , удал ось свести числа к логическим описаниям , но ведь тогда числовые выражения становятся громоздкими . Строить и осуществлять с их помощью доказательства , оперировать ими было бы делом крайне трудоемким , и мы вынуждены были бы снова вводить сокращения . Однако г лавное даже и не в этом . Замена арифметического выражения логическим означает , что последнее верно только потому , что верно арифметическое выражение , но не наоборот . Тогда зачем , резюмирует Ван Хоа , это логическое «пришивание оборочек» к арифметическому д о казательству , ничего , собственно , последнему не прибавляющее и несущее лишь доказательство предложения в логике ? В итоге . Как же решил логицизм два основных требования обоснования . 1. Доказательство возможности существования математического объекта осущест вимо , если удается найти ему логическую интерпретацию . То есть если оправдана логика , то оправдана и математика . Однако , как мы видели , это вовсе не самоочевидно , поскольку логика сама нуждается во внешнем оправдании , в частности философией . 2. Доказатель с тво возможной истинности утверждений об объектах математики . Равно и здесь . Математические утверждения истинны , поскольку истинны аксиомы логики . Эта проблема также упирается во внелогические основания , находя их , точнее , растворяясь все в той же философи и и постулатах здравого смысла. Логическое оправдание существованию математических понятий не удалось , и это вынуждены были признать сами лидеры логицизма . Так , Фреге был настолько удручен обнаружением парадоксов , что был склонен даже свою книгу «Основания арифметики» (Grundsд tze der Arithmetic) считать ошибочной . Во всяком случае из задуманных им трех томов этого большого труда вышел лишь первый , а работу над вторым томом прекратил , получив письмо Рассела о парадоксе. И Рассел в работе «Мое философское разв итие» (1959 г .) констатировал : «Восхитительная определенность , которую я всегда надеялся найти в математике , затерялась в путанице понятий и выводов . Это оказался поистине запутанный лабиринт , выхода из которого не было видно» Цит . по : Клайн М . Математик а . Утрата определенности . М .: Мир , 1984. С . 267. . Если уж лидеры выказали разочарование логицизмом , тем более это характерно для других ученых . А . Пуанкаре (сторонник интуиционизма ), столь восхищавшийся на II математическом Конгрессе в 1900 г . теорией м ножеств (этой основы логицизма ), через восемь лет на Конгрессе в Риме назвал теорию множеств тяжелой болезнью , своего рода математической патологией , от которой удалось избавиться . Еще громче возмущался Л . Кронекер (также разделявший идеи интуиционистов ). Он назвал Кантора шарлатаном , заявив : все , что он сделал в области трансфинитных чисел , в сфере актуальной бесконечности - все это мистика . Пала тень и на самое математику . Классический анализ , по Кронекеру , - не более , чем игра в слова . Он мог бы добавит ь , замечает М . Клайн , цитируя Кронекера , что если у Бога есть несколько математик , то ему следовало бы оставить их при себе . И даже Д . Гильберт , отличавшийся сдержанностью , с горечью признавался : «Где же еще искать надежность и истинность , если уж само мат е матическое понимание дает осечки ?» Итак , попытка найти логическое основание существованию математических объектов и правомерности истинностных высказываний о них не увенчалась успехом . Вместе с тем , усилия логицизма не прошли бесследно . Была проделана боль шая работ , положительно отразившаяся на математических исследованиях. 4.1.5 Критика интуиционистами основ логицизма и проблема бесконечности Новая ориентация в обоснованиях , впервые заявившая о себе в 1907 г . представляла реакцию на попытки придать матема тике чисто логическое истолкование . Интуиционисты (Я . Брауэр , Г . Вейль , А . Гейтинг , чуть ранее Л . Кронекер и др .) в противовес этому исходили из того , что математика не может быть сведена к логике , ибо уходит в структуры мысли глубже ее , логика связана с я зыком , который , как показали парадоксы , несовершенен . Поэтому математика не нуждается ни в языке , ни в логике , ибо будучи независимой , автономной от языка , опирается на интуицию. Как полагает голландский математик Я . Брауэр , считающийся основателем интуици онизма , математические мысли рождаются вне слов , слова используются только для передачи мысли , математическое содержание которой не зависит от словесного одеяния . Мысли нельзя выразить адекватно в языке (даже в математическом языке ), поскольку он вносит от клонения от предмета. Все это и делает правомерным для интуиционистов вывод о независимости математики от языка и логики . Более того ими высказывается тезис о том , что логика есть часть математики и была в свое время абстрагирована от последней , именно - о т математики конечных множеств . Вместе с тем это не означает отрицания роли логики вообще. Новые установки повлекли пересмотр фундаментальных математических понятий , принципов и методов , затрагивая не только идеи логицизма , но и всей традиционной математик и . Прежде всего подвергся критике принцип бесконечности . Математическое построение конечно , но не любое построение может быть выполнено фактически , поскольку для его получения надо совершить бесконечное количество шагов . Тем не менее математика свободно о п ерирует с подобными конструктами . Почему ? Как показал отечественный математик , сторонник конструктивистского течения , А . Марков , математик имеет дело не с самой бесконечностью , но лишь с ее абстракцией . От возможности построения подобных объектов отвлекают ся , принимая ее лишь в абстрактном смысле . Это наше действие и опирается на абстракцию осуществимости . Реальное построение бесконечного объекта с точки зрения интуиционизма невозможно , но оно , кажется осуществимым , либо даже осуществлено (если заранее зад а но ). Наиболее сильным допущением является актуальная осуществимость : объект существует , если мыслим без противоречий . На этом основании и строилась актуальная (то есть осуществленная , заданная всеми своими элементами , бесконечность например , натуральный ря д чисел . Благодаря такой абстракции математики оперируют с бесконечными множествами. Другой представитель отечественного конструктивизма Н . Шанин показал гносеологический механизм образования понятия бесконечности . Он поясняет , что , имея набор конструктивн ых средств построения математических объектов , мы можем допустить , что эти объекты не только осуществимы потенциально , но и построены фактически . Необходимы четыре шага. 1) Вводим наряду с реальной , природою данной бесконечностью математическую бесконечнос ть как возможность ; 2) мысленно приравниваем воображаемую ситуацию к реальной , при этом рассуждаем об этом воображаемом построении , применяя методы классической логики ; 3) полагаем сконструированную нами бесконечность независимой от набора конструктивных о пераций ; 4) принимаем бесконечную совокупность одновременно существующих объектов в качестве не связанных вообще с какими-либо конструктивными операциями даже и своим происхождением 87 . Неудовлетворенность традиционной позицией , на которой базировался логиц изм , вызывали несколько моментов. Во-первых , невозможность найти в бесконечном множестве заданный элемент , именно потому , что число элементов бесконечно. Против идеи актуальной бесконечности восставала интуиция . Заданная всеми элементами бесконечность уже не бесконечность . Множество потому и бесконечно , что не закончено , между тем его предлагают завершить , то есть фактически уничтожить и в то же время - сохранить как бесконечное . Это противоречие , ибо натуральный ряд мыслится как неограниченно продолженный. Вызывало недоумение и то следствие теории , что в случае бесконечных множеств теряла силу аксиома - часть меньше целого . Действительно , если удается каждому элементу класса сопоставить один и только один элемент другого класса , значит , они равномощны , экви валентны . Так , множество целых чисел натурального ряда эквивалентно множеству квадратов этих чисел , то есть часть оказывается равна целому , ибо невозможно указать какое-либо натуральное число , которому мы не могли бы сопоставить квадрат этого числа. Эти и другие моменты ставили под сомнение методы теоретико-множественного подхода Г . Кантора , а тем самым и концепцию логицизма . Математический объект принимается существующим , если он мыслим без противоречий , между тем сказанное (логические парадоксы , актуализ а ция бесконечности , вывод о том , что часть равна целому ) как раз свидетельствовало о глубине противоречивости в построениях Кантора Имея в виду отмеченные неувязки , интуиционисты назвали канторову теорию множества любопытным «патологическим казусом» , от к оторого грядущие поколения придут , вероятно , в ужас . 5. Интуитивистская альтернатива Все беды обоснования интуиционизм видит не собственно в логике (в несовершенстве ее аппарат ), а в самой математике и именно в неточном использовании ее понятий , прежде всего - понятия бесконечности . Первично математическое мышление , а язык и логика суть несовершенные способы его выражения. Достичь точности и должна помочь интуиция . Необходимо , чтобы все построения опирались только на те утверждения , которые санкциониров аны изначальной интуицией . Материал , из которого созидаются математические объекты , не является собственно математическим . Это актуально переживаемое . Оно очищено от всего , берется лишь сам акт восприятия . Изначальная интуиция - деятельность , связанная с г лубинным ощущением времени . Идея выводить число на основе времени восходит еще к Канту . Человеку всегда дано нечто переживаемое . В качестве элементарного акта мысленных построений интуиционизм рассматривает разделение моментов жизни на качественно различн ы е части , которые , будучи разъединены лишь временем , могут быть снова объединены . В силу сменяемости и последовательности событий , мы , воспринимая некоторый объект , можем говорить о следующем за ним объекте . Одновременно происходит очищение разделения пере ж иваемого от какого бы то ни было эмоционального содержания до момента , пока не останется интуиция абстрактного двуединства . «Два в одном» - это и есть базисная интуиция Я . Брауэра. Отметим , что к аналогичному представлению подошел также известный немецкий ученый Г . Гельмгольц , предвосхитив интуиционистское понимание происхождения чисел. Стоит особо подчеркнуть тот факт , что хотя по внешним описаниям рассуждения интуиционистов по поводу возникновения числового ряда кажутся построенными на механическом повтор е восприятия , на самом деле они , вводя интуицию , пытались уйти от автоматизма , скорее характерного для строго логического мышления и сторонников логицизма . Математическая традиция , на которую опирались логицисты , исповедовала математику «чистых количеств», которая легла опорой математического естествознания . Интуиционизм же , нащупывал выход к другим основаниям , в истоках которых находится , как выражались иные , «математика качеств» . Она связана не со сложением (механическим повторением ), а с операцией делен и я , когда «два» является не внешним повторением «одного» , а внутренним результатом его саморасщепления . Подобное раздвоение единого таит начала бесконечного числа . Это хорошо иллюстрирует схема Эрнста Бинделя . В ряду справа - операции механического мышления n +1, в столбце слева - акты человеческого мышления 1 : n . Если правый ряд отрицает левый , то левый органически содержит в себе правый как один из моментов анализа. Итак , первичные математические объекты постулируются на основе интуиции. Другим важным пунктом интуиционистской программы был пересмотр принципов конструирования систем математических объектов . Брауэр полагал , что они должны формироваться на базе некоторых принципов построения , но не вводиться в математический обиход с самого начала целиком , как множества , отвечающие требованиям заданных аксиом. Вс е это существенно меняло подход к обоснованию математики . Для логицизма математический объект существует , если его определение не приводит к противоречию . С точки же зрения интуиционизма существование объекта оправдано , если он задан эффективным определен и ем , указывающим способ (алгоритм ) построения . Наиболее адекватно отвечают этому генетические , фиксирующие происхождение объекта , определения . Разъясняя смысл интуиционистского подхода , Вейль пишет : «Для математика совершенно безразлично , что такое окружно с ть , для него принципиально знать , каким образом может быть задана окружность» . То есть не суть важно , что собой представляет окружность , каково ее математическое содержание , имеет значение лишь способ , каким она может быть построена . По идее логицистов , в с е производные понятия дедуцируются из исходных , здесь же понятия рассматриваются не как выводимые , а как порождаемые в некотором определенном порядке . Налицо генетический (вместо аксиоматического ) метод построения теории , вместо дедукции - конструкция Сл едует заметить , что интуиционистские теории так же могут быть изложены аксиоматически (и это сильнейший аргумент в пользу интуиционизма ), здесь используются другие методы . Соответственно в аксиоматике исходным является система высказываний , описывающая не которую область объектов , и система логических действий над ними . Важны отношения , устанавливаемые между объектами , тогда как последние могут обладать любой природой (получать самую различную интерпретацию ). При генетическом же построении исходными являют с я не высказывания , а наличные , данные объекты , которые вводятся остенсивно , то есть путем прямого указания на объект , и уточняются индуктивными определениями . В свете новых идей пересматриваются интуиционизмом и логические принципы. Абстракция потенциальн ой (не актуальной ) осуществимости предполагает , что элементы бесконечного множества не могут быть заданы одновременно , они последовательно возникают в процессе его построения . Это становящаяся бесконечность , не имеющая последнего члена , ибо после n шагов всегда можно сделать ( n +1)-ый шаг . Так , вместо актуальной бесконечности принимаемой логицизмом и традиционной математикой , вводится понятие потенциальной бесконечности. Ультраинтуиционистское течение (одним из представителей которого является выдворенный в свое время из СССР сын поэта Сергея Есенина А . Есенин-Вольпин ), отказывается не только от актуальной , но и от потенциальной бесконечности , признавая лишь конечные множества - концепция «откровенной точки зрения» . В соответствии с этим подвергаются уточне н ию понятия всеобщности и квантора общности . Математические высказывания , содержащие выражения «все» , «каждый» и т.п ., принимаются , только если указан способ их получения . В частности , нельзя говорить о всех , но о каждом можно. Особое внимание уделяется зак ону исключенного третьего . Утверждается , что принципы классической логики не имеют абсолютной приложимости , не зависящей от содержания предмета обсуждения . В частности , закон исключенного третьего , сохраняя силу для конечных множеств , утрачивает ее в обла с ти потенциально бесконечного , как незавершенного бесконечного. В связи с этим интуиционизм не приемлет и метода доказательства от противного , поскольку оно покоится на законе исключенного третьего . Критические выступления против классической логики застави ли интуиционистов разработать новые , уточненные принципы логики . Первое интуиционистское исчисление построил Гейтинг в 1930 г . Для самих интуиционистов исчисление не представляло интереса , зато другие математики получили , наконец , возможность познакомитьс я с новой логической системой . Тут же были предприняты попытки ее анализа . Первым , кто получил результаты , стал отечественный математик А.Н . Колмогоров , который показал , что гейтинговское исчисление поддается интерпретации в терминах классической логики ка к исчисление проблем (задач ). При этом , оставляя понятия «проблема» и ее «решение» неопределенными (как это и делается обычно ), интуиционизм ставит в соответствие конъюнкции решение двух проблем , дизъюнкции - хотя бы одной из двух , импликации - сведение ре ш ения одной проблемы к решению другой . Интуиционистская логика оказывается здесь частью классической . Вместе с тем есть и другие интерпретации , где , наоборот , классическая логика переводима в интуиционистскую. 5.1 Ограниченность интуиционизма Логико-матем атические идеи интуиционистов тесно переплетены с известными философскими установками , которые выдают их во многом односторонне-субъективное происхождение. Поскольку изначальной реальностью здесь выступает восприятие , нечто непосредственно (интуитивно ) пос тигаемое и лишенное эмпирически достоверного , то математические объекты считаются полученными независимо от чего-либо внешнего разуму , являются свидетельствами интеллигибельного мира . Как заявляет , например , Г . Вейль , «числа суть вольные творения духа» В ейль Г . О философии математики . М.Л ., 1934. С . 52 . Делается вывод об отрицании объективности математического знания . Отсюда математическая теорема , по Гейтингу , - чисто эмпирический факт , именно успех некоторого построения , а сама математика есть изучение некоторых функций человеческого мозга . Реализуя принципы потенциальной бесконечности , интуиционисты акцентируют внимание на процессах построения объектов вместо его результата . Принимается , например , закон построения чисел , а не их совокупность . Важно , не что получить , а как получить . Следовательно , существовать , значит , «быть построенным». Математика объявляется не теорией , но родом деятельности , сводится до операционализма , ибо , де , записанные на бумаге результаты , знаки суть вторичное , первично же само их конструирование. Наконец , пересмотру роли закона исключенного третьего так же соответствует известная философская платформа . Поскольку мы не можем знать , обладает некоторый элемент бесконечного множества заданным свойством или не обладает , то объективн ой истины нет . То , что мы называем истиной , суть творение мысли . Истина возникает в момент , когда удается данный элемент построить. Заметим , что здесь интуиционизм смещает проблему с вопроса об истине к вопросу о способах ее верификации . Из того , что мы не в силах проверить на истинность какое-либо утверждение (например , есть ли жизнь на других планетах ), это утверждение не перестает быть либо истинным , либо ложным . Интуиционистское неприятие закона исключенного третьего вызвало особо острую критику со сто р оны математиков , и не только тех , кто разделял идеи логицизма . Ибо затрагивался фундаментальный принцип математики , более того , дело касалось логической основы самого человеческого мышления . По отмеченному поводу Д . Гильберт заявлял : отнять у математиков э тот закон все равно , что забрать у астронома телескоп или запретить боксеру пользоваться кулаками . Поэтому , резюмирует Гильберт : «Запрещение теорем существования и закона исключенного третьего равносильно отказу от математической науки» Гильберт Д . Основ ания геометрии . М.-Л ., 1948. С . 383. . Преувеличенно-субъективные установки интуиционистов проявились и в полном игнорировании роли практической деятельности в оценке математических построений . Конечно , математика весьма далека от непосредственных примерок ее теорий к материально-производственной работе . Однако путем ряда опосредований через естествознание , прикладную науку , технику и т.п . математическая мысль все же находит (или не находит ) внешнее оправдание и проверку на истинность . Интуиционизм исключа е т вообще какие-либо подобные действия . Функцию практического критерия замещает все та же интуитивная ясность суждений. В итоге , как и логицизм , интуиционистское направление не смогло выполнить обещаний , и предложить эффективные методы обоснования математик и. Попытка осуществить демонстрацию возможности существования математического объекта , опираясь на идеи интуиционизма , успехом не увенчались . С самого начала выступлений интуиционистов возникло немало вопросов , нуждающихся в разъяснении , но так и не получи вших его . Прежде всего дело касалось фундаментального понятия базисной интуиции , ссылкой на которую и демонстрировалось оправдание факта введения объектов математики . Было заявлено о безусловной надежности актов изначальной интуиции , ее безупречной точнос т и в качестве единицы математического мышления , благодаря чему , якобы , удается избежать неопределенностей , сопровождавших классическую математику. В итоге от математики после ее переделки остаются , по мнению ряда видных ученых , жалкие остатки в виде немного численных и не связанных друг с другом единичных результатов по сравнению с могучим размахом современной математики . Не случайно Н . Бурбаки назвал интуиционизм «историческим курьезом». Таким образом , интуиционизм не принес успокоения в математику . Многие е е разделы оказались в свете интуиционистских установок неприемлемыми. 5.2 Конструктивная ветвь Попытки спасти интуиционистские идеи и начинания , развить далее оригинальные и продуктивные мысли предприняли сторонники конструктивного течения . Продолжая тр адицию интуиционистского направления , конструктивисты отмежевались от субъективистских выводов его философии и внесли существенные уточнения в методы построения математических объектов , расширив базис конструкции. Молодое течение , прежде всего его отечеств енные представители (А.А . Марков , Н.А . Шанин ), подвергли критике философские установки интуиционистов : понимание истины , вопрос о критериях истины и др. В частности , отказываясь от абстрактных показателей истинности математического знания , лидеры интуицион изма апеллировали к изначальной интуиции , подчеркивая ясность ее образований . Обращаясь к этой фундаментальной философской установке , А.А . Марков приходит к выводу , что она неприемлема . Критике была подвергнута и интуиционистская идея «свободно становящей с я последовательности» , как несущая с собой мысль о бесконтрольности математического творчества перед постулатами логики , как деятельность , опиравшаяся на поток сознания , якобы , не детерминированный никакими внешними ему определениями. Другим пунктом расхож дений было следующее . Интуиционизм , принимая идею «свободно становящейся последовательности» , предполагал в качестве «среды свободного становления» континуум . Однако , как замечает А . Марков , «судя по описаниям интуиционистов , свободно становящиеся последо в ательности не являются конструктивными объектами и их нельзя рассматривать , не привлекая абстракцию актуальной бесконечности» Марков А.А . О логике конструктивной математики . М .: Знание , 1972. С . 45 . Далее , конструктивисты не считают математическое постр оение чисто «умственным занятием» (как принято в интуиционизме ). Мысленный характер имеют не наши построения , а рассуждения о них (в частности , об абстракции потенциальной осуществимости ). Принимается следующее определение : «Конструктивная математика - аб с трактная , умозрительная наука о конструктивных процессах , о нашей способности осуществлять такие процессы и их результатах - конструктивных объектах» . Примером конструктивного процесса может быть построение ряда вертикальных палочек I I I I I. Оно осущест в ляется посредством написания одной палочки , приписывания к ней справа другой , к полученным - еще одной , затем еще , и еще одной . В итоге имеем конструктивный объект , изображенный выше . Назовем его натуральным числом , в нашем случае – «пять» Марков А.А . О логике конструктивной математики . М .: Знание , 1972. С . 4 . Конструктивизм разрабатывает понятие алгоритма как разрешающей процедуры , распадающейся на ряд строго задаваемых действий или предписаний в их четкой детерминированности . Алгоритм есть последовател ьность операций , шагов , где каждый данный шаг однозначно детерминирован предыдущим и , в свою очередь , столь же однозначно детерминирует последующий шаг , то есть мы знаем что и в какой последовательности надо делать . Например , умножение , извлечение корня и т.д . Отсутствие этого понятия тормозило развитие конструктивного направления. Алгоритм вносит : а ) точность предписания , не оставляя места произволу ; б ) возможность решения по одной и той же программе любой из некоторого класса задач , отличающихся значениям и каких-либо параметров (массовость алгоритма ); в ) направленность , организуя на достижение известной цели и гарантируя искомый результат См .: Яновская С.А . Методологические проблемы науки . М .: Мысль , 1972. С . 188. . В 30-х г . прошлого века А.Марковым р азвито понятие нормального алгорифма , серьезно повлиявшего на развитие конструктивных методов . Нормальный алгоритм есть стандартное предписание , определяемое его схемой . Благодаря предписанию любое слово алфавита (последовательность символов или букв , обр а зуемая из символов , принятых в данном алфавите ) может быть преобразовано в некоторое другое слово . Алгорифм определяет и окончание процесса , хотя последний может и не наступить. Вместе с тем уточняются логические основания конструктивной математики . В его фундаменте лежат те же логические установки , что приняты интуиционизмом : ограничение области действия закона исключенного третьего , иное понимание операций отрицания , уточнение импликации. На основе идей конструктивизма были разработаны новые подходы , обог атившие математический анализ . Создается конструктивная теория функций действительного переменного . В ряду особо важных достижений теории исследователи отмечают доказательство теоремы о непрерывности конструктивных функций . Получили плодотворное развитие к онструктивные теории дифференцирования и интегрирования , конструктивный функциональный анализ . Благодаря этому появились новые методы , способствующие прогрессивному развитию математической мысли , новым открытиям . Таковым было например , достижение молодого отечественного математика конструктивистской школы Ю . Матиясевича , который установил в 1970 г . алгоритмическую неразрешимость 10-й проблемы Гильберта , ожидавшей своего часа целых 70 лет. Мы рассмотрели интуиционистское обоснование математики и его развитие конструктивистами . Следует отметить , что несмотря на субъективно-идеалистические посылки интуиционизма , он вносит новое понимание проблемы и новые методы , оказавшиеся особенно успешными в части их ориентации на идею конструктивного построения математичес к их объектов и имеющие , по мнению специалистов (в том числе и не-интуиционистского лагеря ), хорошие перспективы. Вместе с тем интуиционизм и конструктивизм , естественно , также не могли единолично решить проблему обоснования . На том , что сделано интуиционизм ом и конструктивизмом , также не могла быть законченной работа по выявлению аспектов подхода к сущности математических объектов , оправданию правомерности их существования. 6 Программное заявление Кризисные явления в математике , заставившие обратиться к е е обоснованиям , и трудности , вставшие перед логистами , породили наряду с интуиционизмом еще одно течение - формализм . Первые выступления формалистов связаны с именем крупнейшего немецкого математика Д . Гильберта и относятся к 1902-1904 гг . Но основные иде и этого направления сложились позднее в полемике с интуиционизмом. Под ударами интуиционистской критики незыблемость устоев математики была поколеблена . В двадцатые годы Гильберт , его сотрудники и соратники В . Аккерман , И . Бернайс , фон Нейман и др . приступа ют к математической разработке программы формализма . В 1934 г . вышел первый том «Оснований математики» , в фундаменте которого лежала теория доказательства. Гильберт подверг критике оба предшествующих направления. В противовес интуиционизму он утверждал , чт о интуиция не может быть исходным базисом математических построений , поскольку она неопределенна , расплывчата . Одновременно Гильберт расходится и с логицистами , утверждая , что логика не предваряет математику , ибо прежде , чем оперировать по законам логики со знаками , надо эти знаки иметь , то есть располагать объектами , поддающимися логическим операциям . Никакая наука , в том числе и математика , не может , по его мнению , быть основана только на логике . Наоборот , чтобы производить умозаключения и другие логиче с кие операции , мышлению должны быть уже предпосланы некоторые внелогические объекты , существующие наглядно. Следовательно , ни интуиция , ни логика не могут стать оправданием математики , ее базисом . Основанием математики является , по Гильберту , сама математик а , именно ее внутренняя непротиворечивость Как заметил профессор Кенигсбергер , «математика принадлежит к числу тех наук, которые ясны сами по себе » . Цит. по Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии . М.-Л ., 1937. С . 149. . Но , критикуя концепц ию предшественников , Гильберт берет то , по его мнению ценное , что ими было создано . Опираясь на логицизм и традицию классической математики , он восстанавливает власть закона исключенного третьего над математическим мышлением . Не следует отказываться от эт о го закона , говорил Гильберт , как и от остальных законов аристотелевской логики . Вместе с законом исключенного третьего обретает прежнюю силу и правило доказательства от противного (ex adverso). Это один из видов так называемого анагогического , то есть неп р ямого , косвенного доказательства . Положим , надо доказать тезис A . Допускаем не- A . Из этого A выводим некоторое следствие B , приводящее к противоречию . Следовательно , B является ложным . Отсюда высказывание A B может быть истинным только если A является ложным , соответственно A есть истина . Иными словами , из ложност и антитезиса вытекает истинность тезиса. В свою очередь , доказательство от противного служит опорой принятия актуальной бесконечности , также восстанавливаемой Гильбертом вместо интуиционистского принципа потенциальной бесконечности . То есть проявляется ори ентация на финитные методы в противовес требованию интуиционизма , отстаивающего идею незавершаемости процедуры построения математического объекта . С другой стороны , Гильберт принимает от интуиционистов понятие алгоритма как четко детерминированной последо вательности операций мысли . Близкие контакты с конструктивизмом наметились в области теории формального доказательства , развитой Гильбертом не без учета идей конструктивной математики . Отметим в этой связи тот факт , что Гильберта относят к основателям кон с труктивного направления . Теперь о программе формализма более подробно. Предлагая новое решение проблемы обоснования , Гильберт исходил из идеи , что содержательная математика не может быть логически противоречивой , иначе она вела бы к ошибкам в практической деятельности . Теория , раздираемая противоречиями , не способна вести к успеху в производственных и житейских делах . Но ссылка на практику - аргумент недостаточно корректный , поскольку математика оперирует не с вещами реального мира , а со знаками . Следовате л ьно , речь должна идти о противоречиях в области знаковой формы . Тем самым показатель непротиворечивости как оправдание правомерности введения математических объектов и истинности утверждений о них переводится Гильбертом из фактуально-содержательного плана в чисто формальный план , из сферы гносеологии в область логики , от семантики к синтаксису . То есть надо доказать внутреннюю непротиворечивость математики , в чем и лежит ключ к ее обоснованию. Итак , в качестве исходной и единственной реальности , с которой и меет дело математика , являются , по мнению Гильберта , знаки . Речь идет у Гильберта о внутриматематичском языке , об отношении знака к знаку , а не о том , какова связь математических объектов с внешней реальностью , каковы механизмы абстрагирования , эмпирическо й обработки чувственно данного , которые приводят к появлению символики . Символы взяты в качестве математической реальности после того , как они были «извлечены» из действительной реальности . То есть это очищенные от какого-либо конкретного содержания знаки Г . Вейль вспоминает : На одном математическом заседании в 1891 г . при обсуждении доклада Г . Викера Гильберт бросил реплику : «Надо , чтобы такие слова , как «точка» , «прямая» , «плоскость» , во всех предложениях геометрии можно было заменить, например, словами стол, стул, пивная кружка » . См.: Вейль Г. Математическое мышление . М .: Наука , 1989. С . 237.. . Оперируя со знаками , вычисляя , комбинируя и т.п ., математик забывает о предметах природы , которые они могут представлять . Также , принимая методы обоснования мат ематики , можем отвлечься , говоря современным языком , от семантики знаков , рассматривать их как самостоятельную реальность , точнее , искусственно созданную человеком , но после создания отчужденную , и от нас , создателей , уже не зависящую , поскольку знакам «в м еняется» в обязанность функционировать по заранее принятым правилам преобразования одной знаковой последовательности в другую. Этим достигается полная строгость и ясность . Отвлечение от содержательных аспектов знака , по Гильберту , совершенно необходимо . В противном случае математика утратит характер достоверного и абсолютного знания , ибо , предваряя посылки , мы переходим в область проблематичного (различие во мнениях как раз покоится на различии предпосылок ) 110 . Отвлекаясь от содержательного момента знаков , переходим в сферу формализованного исчисления. Итак , знаки очищены от семантики . Однако это пока не доказательство обоснованности математических построений . Простое декларирование математических знаков последней для математики реальностью еще не делает эт и знаки эквивалентными предметам действительности . Гильберт ищет дополнительные условия . Ими и провозглашается требование непротиворечивости , которое регулирует поведение знаков . Непротиворечивость есть внутриматематический аналог критерия практики , испол ь зуемого в естествознании 111 . 6.1 Концепция абсолютного доказательства и метод формализованной аксиоматики Чтобы доказать непротиворечивость , Гильберт использует метод так называемого абсолютного доказательства , который находит реализацию в идее формализо ванной аксиоматики. Вообще , аксиоматика уже вошла в арсенал математических средств . Благодаря этому геометрия древних была «расшифрована» как наука получения следствий из принятых предложений , то есть выявлен механизм выведения знаний , имеющих принудительн ый характер. Однако с усилением абстрактности математики (в частности , благодаря открытию неэвклидовых геометрий ), с утратой наглядности аксиом , возникло сомнение в непротиворечивости последних . Обычно непротиворечивость доказывалась построением моделей (и нтерпретаций ). Необходимо , чтобы каждый постулат оказался истинным утверждением об объектах модели . Если это выполняется , значит постулаты системы совместимы. Так , неэвклидовы геометрии интерпретируются на эвклидовой , непротиворечивость которой служит аргу ментом непротиворечивости первых . Для интерпретации же самой эвклидовой системы прибегали к арифметической модели (предложенной также Гильбертом ). Но здесь и обнаружилось несовершенство описанных методов доказательств . Они не абсолютны , поскольку предпола г али ссылки на другие системы , в конечном счете - на арифметику . Последняя же включает бесконечное число объектов (натуральный ряд ) и не обозрима в конечное число шагов . Поэтому постулаты не могли быть интерпретированы . Так , для аксиомы о параллельных треб о валась модель бесконечно продолженных параллельных . Невозможность получения такой модели означала отсутствие гарантий , что на каком-то этапе ее построения не встретимся с противоречием. Предложенное Гильбертом доказательство не связано с интерпретацией (до пущением непротиворечивости другой системы ) и опирается лишь на наличное , заданное построение . Потому оно названо абсолютным (прямым , непосредственным ). В чем же его суть ? Новый метод предполагал построение формализованной аксиоматики . До этого была извест на модель содержательной аксиоматики , осуществленной Гильбертом же на основе построения геометрии Эвклидом . При этом Гильберт внес существенные коррективы в систему Эвклида , для которой характерно следующее . 1. Отсутствие списка исходных объектов . 2. Нали ч ие ссылок на интуицию и опыт , например , в понятиях «лежать между» , «находиться внутри» и т.п . 3. Отсутствие четко фиксированных правил вывода . Последние принимались сами собой разумеющимися , предшествующими математике и взятыми из логики (аналогично тому, как используются логические правила в обыденных рассуждениях : мы соблюдаем их , специально не договариваясь об этом ). Приводя содержательную аксиоматику эвклидовой геометрии , Гильберт соответственно уточняет . 1. Приводит полный список исходных объектов и ак сиом . 2. Объекты вводятся им без каких-либо ссылок на опыт . Он избегает попытки дать определения путем указания свойств . Вернее , избегает давать обычные определения через родовидовые или генетические признаки и использует так называемы имплицитные (скрыты е , неявные ) определения - через аксиомы . Это содержательная аксиоматика . Но теперь Гильберт идет дальше к аксиоматике формализованной , в которой в качестве исходных образований фигурируют абстрактные символы , а вместо содержательных предложений (аксиом , те орем и т.п .) - сочетания символов . В результате остаются лишь формулы. Формализация предполагает следующие шаги . (1) Задают полный перечень символов , которые используются в системе («алфавит системы» ). Так водятся исходные объекты . Гильберт в связи с этим говорил следующее . Будем мыслить три системы вещей . Вещи 1-ой называем точками и обозначаем A , B , C ; вещи 2-ой системы - прямыми ( a , b , c ); вещи 3-ей - плоскостями (a , b , c ). Далее , (2) вводятся правила образования из «букв» алфавита его формул (предло жения системы ). Это формальная грамматика исчисления , то есть допустимые в системе знаковые сочетания (предложения , формулы ). Но их много . Потому из числа формул отбираем исходные (3). Они образуют базис системы . Наконец , (4) устанавливаем правила преобра з ования формул (правила вывода ), чтобы из исходных получать все остальные . Тогда исходные формулы суть аксиомы , а получаемые путем применения к ним правил - теоремы . Последние образуют «тело» системы. Таким образом , все составляющие математику предложения о казываются формулами . Налицо исчисление : в совокупность исходных символов входят те и только те , на которые мы указали , аксиомы же и теоремы - просто «строчки» , последовательности лишенных значения знаков. А теперь перейдем к решающему пункту программы Д . Гильберта . Имея такую формализованную систему , можем провести прямое (не выходящее за рамки системы ) доказательство ее непротиворечивости . Это и есть абсолютное , без каких-либо ссылок на эмпирию , на интерпретационные модели , доказательство . Оно имеет алго р итм и цель . Алгоритм заключает три шага : 1) предъявляется формула ; 2) что из предъявленной формулы следует другая (правила заданы ). И эта другая - следствие либо из аксиом , либо из ранее доказанных теорем ; 3) предъявляется другая формула . Это средства , а ц ель ? Именно непротиворечивость . Доказательство реализуется так : манипулируя с принятыми символами по правилам системы , никогда не получим два логически противоречивых высказывания F и не -F .Например , утверждение « 0=0» и его отрицание . Иными словами , нерав е нство «0 0» в системе не должно быть доказуемо . Свои метод ы Гильберт назвал финитными : они не используют ни бесконечных множеств структурных свойств формул , ни бесконечных множеств операций над формулами. Так было получено понятие доказательства абсолютной непротиворечивости формальных систем , а вместе с ним , как полагал Гильберт , - и доказательство непротиворечивости математики . Иначе говоря , казалось , что получено обоснование последней С помощью теории доказательства ⌠ я хотел бы , √'76 писал Гильберт , √'76 окончательно разделаться с вопросами обоснования математики как таковыми┘'2d■'a6 Гильберт Д . Основания геометрии . М.-Л .: ОГИЗ , 1948. С . 365. . Вывод , к которому приходит формалистское направление , состоит в том , что обоснование математики в ней самой. Вскоре однако произошло событие , имевшее столь же радикальные последс твия , как в свое время обнаружение парадоксов Рассела. 6.2 Результаты Геделя В 1931 г . 25-летний австрийский математик Венского университета Курт Гедель (позднее , после аншлюсса эмигрировавший в США ) доказал теоремы , из которых следовало , что программа Г ильберта не выполнима . Идеи Геделя оказали столь сильное влияние , что дальнейшее развитие логики шло уже под знаком тех выводов , которые были получены Геделем. Аксиоматизируя какую-либо область знания , полагали , что систему аксиом удается подобрать так , чт о она будет полной . По Гильберту и Аккерману , полнота означает возможность выведения всех истинных формул определенной области знания из данной системы аксиом . Это широкий смысл . Более строгое понятие полноты предполагает , что присоединение к системе како й -либо невыводимой , формулы обязательно приводит к противоречию Гильберт Д ., Аккерман В . Основы теоретической логики . М .: ИЛ , 1947. С . 66 . Но что значит невыводимая формула ? Это формула , (высказывание ) недоказуемое в данной системе , то есть ее нельзя опр еделить на истинность : ни подтвердить , ни опровергнуть . Такие образования мысли считаются неразрешимыми . Математики и логики , строя аксиоматические системы (Рассел и Уайтхед , Цермело , Френкель и др .), исходили из того , что аксиом и правил вывода системы д о статочно для того , чтобы решить любой математический вопрос , который может быть формально выражен в соответствующих системах . Следовательно , аксиоматизированная арифметика полна или может быть пополнена добавлением конечного числа аксиом. Гедель же как раз и доказал , что это не так , что все подобные построения , содержащие в качестве своей части формальную арифметику , не полны . Это значит , что в них всегда можно сформулировать проблему , построить предложение , которое нельзя ни доказать , ни опровергнуть . В ч а стности , подобное предложение можно высказать в виде x , которое содержит утверждение о своей недоказуемости . Такое предложение , хотя и является истинным , но доказать его невозможно . Отсюда вытекает , что система не полна . То есть при попытке провести полную формализацию всегда обнаруживается некий остаток , который не поддается формализации , свидетельством чему и является предложение x . Однако можно поступить и так . Принять этот неподдающийся остаток в качестве аксиомы и пополнить им список аксиом нашей систе мы , сделав ее полной . Но тогда в этой новой системе найдется другое предложение x? , которое , несмотря на истинность , также окажется неразрешимым и т.д . Иначе говоря , система не полна и непополняема. В своей первой теореме Гедель и резюмировал , что любая ло гистическая система , настолько богатая , чтобы содержать формализованную рекурсивную арифметику , либо противоречива , либо включает хотя и истинную , но неразрешимую формулу , такую , которая недоказуема сама и недоказуемо ее отрицание . Вейль по этому поводу в шутку заметил : ⌠ Бог существует , поскольку математика несомненно непротиворечива . Но существует и дьявол , поскольку доказать ее непротиворечивость мы не можем. . Утверждая , что система либо неполна , либо противоречива , имеют в виду следующее . Систему мож но сделать полной , но лишь включив в нее такую аксиому , на основе которой предложение будет и истинным и ложным. Эта теорема и была названа теоремой о неполноте формализации (точнее , формализованной арифметики ). В чем же источник неполноты ? Математические системы , включающие формальную арифметику , допускают , как мы уже отметили , возможность формулировать предложение о собственной недоказуемости . Здесь и возникает антиномия . Запишем предложение : Это предложение недоказуемо . Допустим , что данное предложение л ожно . То есть неверно , что оно недоказуемо . Следовательно , оно доказуемо . Притом оно истинно , поскольку , допустив , что оно ложно , мы получим противоречие . Но от этого не легче . Мы доказали , что наше предложение истинно , а в истинном предложении утверждает с я то , что есть на самом деле , то есть , что предложение недоказуемо . Иначе сказать , мы доказали недоказуемое . Где ошибка ? Причина в недостаточной определенности самого понятия доказуемости . Общее понятие доказуемости отсутствует , и можно говорить лишь о док азуемости относительно конкретной системы Подробнее см .: Смаллиан Р . Как же называется эта книга ? М ., 1981. С . 237-238. . Но здесь мы выходим к 2-й теореме Геделя. Возникает вопрос , не является ли факт неполноты теории выражением ее противоречивости ? Док азательством 2-ой теоремы Гедель осветил и эту проблему , определив границы непротиворечивости формализованной системы . Формализованная арифметика не обязательно должна быть противоречивой . Но если она непротиворечива , утверждает Гедель , то не существует д о казательства ее непротиворечивости , которое можно было бы провести средствами , формализуемыми в этой системе . Таким образом , дело не в том , что вообще нельзя доказать непротиворечивость арифметики . Невозможно такое доказательство непротиворечивости , котор о е могло бы быть отображено (переведено ) в формальное доказательство , проводимое в самой формализованной арифметике , на языке данного исчисления. Безусловно , выводы Геделя имеют более широкое , чем критика формализма , применение . Теоремы выявили ограниченнос ть подходов школы Гильберта . Замыкая проблему обоснования математики на самой математике , формализм подменил вопрос об истине ее утверждений требованием непротиворечивости . Но не все сводимо к синтаксису знаков (например , чисел ) и их соединению в формулы. На развитие математики оказывают влияние проблемы , связанные с выяснением предметного значения символов и их сочетаний (формул ), а также вопросы практического назначения знаков , использование достижений математики в прикладных аспектах , в решении конкретн о -научных , производственных , технологических и т.п . задач . Короче , наряду с синтактикой выполняют важную роль также семантика и прагматика. Б . Рассел так охарактеризовал эту ситуацию : формалист , писал он , подобен ому часовому мастеру , который настолько погл ощен тем , чтобы лучше выглядели часы , что забывает об их назначении показывать время. Тем не менее вопреки выводам Геделя Д . Гильберт (как и многие математики ) продолжал верить в осуществимость своей программы и не считал , что потерпел поражение , продолжая работу по исследованию темы Не случайно , что в надгробии могилы Гильберта высечено : Wir mussen wissen. («Мы должны знать» ) Wir werden wissen. . («Мы будем знать.» ) - с лова, остававшиеся девизом его жизни. . Вообще сложилась характерная ситуация . Ряд мат ематиков , признавая правоту Геделя , в то же время сомневались в том , что математическую логику удастся привести к совершенству , когда она могла бы обнять всю математику единой формальной системой , наподобие той , что демонстрирует Гедель . Подспудный смысл т аких построений выдает сопротивление стремлениям сузить компетенции математического мышления , тем самым обеднив его . Как заметил современный американский математик П . Коэн , жизнь была бы приятней , не будь гильбертовская система потрясена теоремой Геделя. В месте с тем следует признать , что выводы Геделя (как и ряд аналогичных теорем А . Тарского , А . Черча и др .) не означают признания ущербности формальных систем . И хотя они указывают границы применимости формализмов , только на этом их значение не замыкается. На основе указанных решений удалось раскрыть существенные аспекты многих содержательных понятий , например , «истинность» , «доказуемость» , «логическое следование» . Скажем , разработка Тарским проблемы истины в формализованных языках составили глубокий вклад в теорию истины. В связи с этим уместно напомнить о методологической функции запретов в науке , одним из которых и является теорема Геделя. Обращаясь к этой теме , Н . Овчинников подробно прослеживает историю науки под углом плодотворности действия запретов н а эволюцию знаний , начиная с исторически первого запрета - принцип атомизма (нельзя разделять , дробить и т.п . частицы вещества , из коих состоит мир ) и до современных запретов . По сути дела каждый крупный шаг в развитии знания , особенно точного , связан с в ы движением новых запретов , а теоретические построения без запретов не могут претендовать на научность В частности , по поводу принципов атомизма кто-то из физиков заметил : «Если бы вся научная информация погибла , то , располагая лишь единственной гипотезой об атомистическом строении вещества , можно было восстановить всю науку » . . Напрашивается мысль рассуждения Овчинникова резюмировать следующим образом . В научном познании настойчиво проявляют себя различные варианты запретов , играющие важные методологически е и эвристические роли , постоянно витает , говоря словами К . Поппера , «интуитивная идея , суть которой в том , что утверждения или теории говорят тем больше , чем больше или запрещают или исключают» См.: Овчинников Н.Ф. Знание - болевой нерв философской мысли // Вопросы философии . 2001., 2, С . 124-151. Цит . там же . С . 145. . Специально же тема позитивного запретительного значения теорем Геделя рассматривается А.Н.Паршиным См . Паршин А.Н . Размышления над теоремой Геделя // Вопросы философии . 2000. ╧'a6 6. С. 92-109 . Также отмечая позитивную методологическую роль запретов (закон сохранения энергии , ограниченность скорости света в теории относительности , принцип неопределенности Гейзенберга и др .), Паршин делает следующий вывод . Согласно Геделю , если мы хотим формализовать истину , мы не сможем этого сделать ни на каком данном этапе и будем только гнаться за формализацией . Следовательно , мы имеем дело с фактом расширения построенной нами формализованной системы . Поэтому можно формализовать некий добытый результ а т , но для добывания новых результатов необходимо раз за разом уходить от полученного формализма. Высокую оценку открытию Геделя дает фон Нейман , один из лидеров формалистского направления . Вклад Геделя в логику поистине фундаментален . Это больше , чем монум ент . Это веха , разделяющая две эпохи , ибо открытие Геделя изменило предмет логики как науки. Более того , выводы Геделя имеют не только логическое и не только общенаучное значение , но и , как считают исследователи , они открывают возможность постижения природ ы человеческой мысли и даже самой жизнедеятельности . Так , А . Паршин пишет : «Теорема Геделя показывает не просто ограниченность логических средств , она говорит о каком-то фундаментальном , глубинном свойстве мышления и , может быть , жизни вообще» Паршин А.Н . Размышления над теоремой Геделя // Вопросы философии . 2000. ╧'a6 6. С . 94. . Заключение Анализ рассмотренных основных направлений философского обоснования математики показывает , что ни одно из них не принесло удовлетворяющего решения . Вместе с тем кажд ое , внося что-то свое верно раскрыло определенные стороны математики , продвинуло понимание науки в ее основаниях . Логицизм разработал и практически применил эффективный (и не только для математики ) аппарат символической логики как вспомогательный прием ан ализа математического содержания. Характеризуя движение от традиционной формальной логики к математической , явившейся современным этапом ее развития , Г . Рейхенбах отмечал следующее . Простые операции в логике доступны выражению и без посредства символически х оформлений . Однако состав сложных отношений уже невыразим . Введение символов позволило элиминировать специфические значения слов и обнажить общую структуру , которая соединяет их , расставляя по своим позициям соответственно универсальным отношениям. Стои т особо отметить разработку логицизмом теории типов . Применение ее идей в анализе какой-либо области знания дает возможность провести четкую стратификацию области по уровням используемых понятий. Одним словом , все это позволило уточнить математические поня тия , выявить их отношения , дать систематическое изложение логических процедур , в рамках которых протекает математическое рассуждение Обогащение было взаимным : логика стала более математической, а математика - более логической (Рассел). Френкель и Бар-Хиллел писали : «Резко разграничивать математику (которая сама по себе , конечно , хороша ) и логику (которой каждый здравомыслящий математик должен ради блага своей души избегать ) по меньшей мере бесполезно : математика постоянно использует логику , хотя это использование зачастую замаскировано и явно не учитывается » . Френкель А ., Бар-Хиллел И . Основвания математики . М .: Мир , 1966. С . 64. . Утверждение нового аппарата анализа содействовало прогрессу математики . Интуиционистское и конструктивное направления выявил и иные возможности построения математических объектов , приоткрыв дверь в новые сферы математического мышления . Утверждается генетический метод задания теории , объекты которой принимаются как порождаемые , конструируемые в определенном порядке их исходных . Д ается индуктивное (в отличие от дедукции ) определение . Следует подчеркнуть неоценимое значение разработок понятия алгоритма и теории доказательств. Особенно эффективными явились идеи конструктивной ветви течения , существенно уточнившие методы построения о бъектов . Причем , эти методы не противоречат аксиоматическим . Дело в том , что аксиоматическое построение применимо к областям , имеющим развитые конкретные теории , путем обобщения которых и можно создать аксиоматику . Специалисты предсказывают интуиционистск ому движению большое будущее . Так , Г . Ивс и К.В . Ньюсом отмечали , что интуиционистская математика является пока менее мощной по сравнению с классической . Ее построения более трудоемки и громоздки , потому многое из того , что дано большинству математиков , п р иносится в жертву . Однако ситуация может измениться , поскольку разрабатываются новые методы интуиционистского построения математики . Привлекает и то , что интуиционистский метод не может привести к противоречиям См .: Ивс Г ., Ньюсом К.В . О математической л огике и философии математики . М .: Знание , 1968. С . 41. . С успехами интуиционистского направления связано развитие дискретной математики , поскольку она опирается на дискретные операции , которые разрабатываются на базе идеи конструктивного построения объек та . В свою очередь , это (вместе с развитием математической логики ) содействовало успеху в конструировании электронно-вычислительных машин , вообще , повлекло возможность расширения применений математики и математизацию таких сфер , как лингвистика , экономика, медицина , педагогика и психология , теория искусства. Безусловно , лидерам рассматриваемого направления наука обязана пробуждением интереса к тем аспектам математического творчества , которые обозначены в литературе как интуитивные . Внешне интуиция противост оит методам логики , строгого следования правилам логического вывода . При более внимательном же рассмотрении обнаруживается , что обе стороны научного творчества дополняют друг друга , содействуя , каждая своими средствами , единой цели поиска истины. Вместе с тем это направление ценно и в своей , так сказать , негативной части. Здесь имеется в виду открытая критика классической математики , критика , которую с прежних позиций , то есть , оставаясь на почве «старой» математики , едва ли можно было провести столь после довательно . Критика заставила математику задуматься о себе самой , провести рефлексию над своим содержанием , принципами , методами . Это повлекло к более углубленному анализу природы науки , заставило быть более точным . В связи с этим Г . Вейль заметил , что по д ударами Брауэра и его последователей многое казавшееся ранее бесспорным , было поставлено под сомнение , и математик со скорбью смотрел на то , «как словно туман расплывалась большая часть его высоко вознесшихся теорий» Вейль Г . О философии математики . С . 26. . На эту сторону деятельности интуиционистов обращал внимание также и Д . Гильберт. Наконец , формализм . Его усилиями развита новая область математического метода - метаматематика (и еще шире - заложены идеи метатеоретического знания ). Когда А . Гильбер т , формализуя аксиоматическое построение , ввел в качестве исходных объекты , лишенные какого бы то ни было конкретного содержания и в данном отношении «бессмысленные» , этим еще не исключалась возможность формулировать о таких объектах содержательные высказ ы вания . То , что символы не несут семантической нагрузки - лишь абстрактная иллюстрация системы . Однако ее структура поддается описанию на обычном , содержательном языке . Мы можем строить предложения о конфигурации знаков , фиксировать простоту , минимальност ь , симметричность «строк» (формул ) и т.п. Подобного рода высказывания о ненаполненных смыслом объектах формализованной математики принадлежат уже не ей самой , а метаматематике , то есть теории , в которой говорим о математических терминах и высказываниях . Гил ьберт и обосновывает метаматематику , как науку о символах системы , их упорядочении , соединении в формулы и т.д . Значение этого метода шагнуло далеко за рамки математики . Стали различать вообще объектный язык (на нем ведется рассуждение в рамках данного пр едмета ) и метаязык (на нем рассуждают об объектном языке ), соответственно : теорию (совокупность высказываний о предмете исследования ) и метатеорию (система рассуждений о данной теории ). С успехами формалистского направления связан также развитие аксиоматич еского метода . Впрочем , здесь обнаруживается взаимосвязь : чтобы стать доступной для анализа в метаматематике , математика должна быть аксиоматизирована . На примере формализованной аксиоматики было показано , что важным в подобных построениях является выделе н ие структуры системы , то есть совокупности отношений , в которые поставлены объекты , в то время как природа самих объектов остается неопределенной . Требуется лишь , чтобы объекты удовлетворяли выделенным отношениям . Этим формализм обратил внимание на необхо д имость уточнения математических отношений , как бы обнажая их. Вообще , методы формализма также содействуют выявлению более точных оснований , на которых покоится математическое рассуждение . В этом смысле формализм явился продолжением дела логицистов. Здесь н еобходимо обратить внимание на следующее . В связи с доказательством К . Геделем своих теорем может возникнуть сомнение в надежности методов формализации и идей формалистского направления в целом . Однако теоремы Геделя не отвергают полностью того , что сдела н о представителями этого течения . Теоремы утверждают лишь невозможность абсолютно полной формализации теоретической системы , но они не налагают ограничений на варианты сколь угодно возможной формализации таких систем . Как отмечает Н . Бурбаки , теорема Геделя не полностью закрывает двери дальнейшим попыткам доказать непротиворечивость при условии отказа (хотя бы частичного ) от ограничений Гильберта , касающихся «финитных процессов» Бурбаки Н . Очерки по истории математики . М ., 1963. С . 183. . Таковы главные ре зультаты , полученные ведущими течениями в области обоснований математики . Каждое из рассмотренных направлений вносит некие специфические идеи и методы в обоснование , раскрывая новые стороны монументального здания математики . Поэтому , решая проблему , надо д ействовать не разрозненными (тем более находящимися в состоянии вражды ), а общими усилиями. Использованная литература 1. Беляев Е . А ., Перминов В . Я . Философские и методологические проблемы математики // Издательство Московского Университета , 1981 2. Гай денко П.П . Греческая философия в ее вязи с наукой //М ., 2002 3. Сухотин А . К . Философия математики // Internet
© Рефератбанк, 2002 - 2017