Вход

Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения

Курсовая работа по физике
Дата добавления: 14 апреля 2003
Язык курсовой: Русский
Word, rtf, 401 кб
Курсовую можно скачать бесплатно
Скачать
Данная работа не подходит - план Б:
Создаете заказ
Выбираете исполнителя
Готовый результат
Исполнители предлагают свои условия
Автор работает
Заказать
Не подходит данная работа?
Вы можете заказать написание любой учебной работы на любую тему.
Заказать новую работу
В.Кинети ческие Свойства § 6. Кинетическое уравнение Носители заряд а в металле или полупроводнике могут подвергаться действию внешних полей и гр адиентов температуры . Они также испытывают ра ссеяние на примесях , колебаниях решетки и т . д . Эти эффекты должны быть сбалансирова ны — нас интересуют такие ситуации , в которых эле к трон ускоряется полем , но при рассеянии теряет избыточные энерг ию и импульс . В этой главе мы рассмотр им «обычные» кинетические свойства , наблюдаемые при наложении постоянных полей. Общий метод решения этой задачи основан на кинетическом уравнении , или урав нении Болъ цмана . Мы рассматриваем функцию f k (r) — локальную концентр ацию носителей заряда в состоянии k в окрестност и точки r. Строго говоря , эту величину можно определить только в терминах мелкозернистых распределений , средних по ансамблю , матриц плотнос ти и т . д . Имеется обширная литература по этому вопросу , но она отн осится скорее к формальному аппарату квантово й статистической механики , чем к теории тв ердого тела. Посмотрим теперь , какими спосо бами функция f k (r) может изме няться во времени . Возможны п роцессы т рех типов : 1. Носители заряда приходят в область пространства вблизи точки r и уходят из нее . Пусть v k — скорость носителя в состоянии k . Тогда в течение ин тервала времени t носители заряда в этом состоянии пройдут путь t v k . Следовательно , на осн овании теоремы Лиувилля об инвариантности фазового объема системы число носителей в окрестности точки r в момент времени t равно числу их в окрестности точки r – t v k в момент времени 0: f k (r, t ) = f k (r – t v k , 0). ( 35 ) Это оз начает , что скорость изменения функции расп ределения из-за диффузии есть f k / t ] diff = – v k f k / r = – v k f k . (36) 2. Внешние поля вызывают изме нение волнового вектора k каждог о носителя , согласно равенству (37) Величину можно рассматрива ть как «скорость» носителя заряда в k -пространстве , так что по аналогии с равенством (35) име ем (38) следоват ельно , под действием полей функция распределения меняется со скоростью (39) (мы использовали здесь обоз начение f k / k для градиента в k - пространстве — оператора k ). 3. Влияние процессов рассеяния оказывается более сложным . Мы ограничимся з десь в основном упругим рассеянием . При эт ом функция f k меняется со скоростью f k / t ] scat t = ∫ f k' (1 – f k ) – f k (l – f k' ) Q(k, k') dk'. (40) Процесс рассеяния из состояния k в состояние k ' приводит к уменьшению f k . Вероятность этого процесса зависит от величины f k — числа носителей в состояни и k , и от разности (1 – f k ' ) — числа свобод ных мест в конечном состоянии . Имеется так же обратный процесс , переход из k ' в k , который веде т к увеличению функции f k ; он пропорционален величине f k ' (1 – f k ). Очевидно , надо просуммировать по всевозможным состоя ниям k '. Для каждой пары значений k и k ' существует , однако , «собственная» вероятность перехода Q ( k , k '), равная скорости перехода в случае , когда состояние k полностью заполнено , а состояние k ' вакантно . Согласно принципу микроскопической обратимости , та же функция дает и скорость перехода из k ' в k , поэтому под интегралом появляется общий множитель. Кинетическое уравнение выражает следующее : для любой точки r и для люб ого значения k полная скорость изменения функции f k ( r ) рав на нулю , т . е. f k / t ] scatt + f k / t ] field + f k / t ] diff = 0. (41) Отметим , что здесь рассматривается стационарное , но не обяз ательно равновесное состояние . Для последнего функция распре деления обозначается через f 0 k , оно осуществляется только в о тсутствие полей и градиентов темпе ратуры. Допустим , однако , что расс матриваемое стационарное рас преде ление не слишком сильно отличается от рав новесного. Положим g k = f k – f 0 k . (42) где f 0 k = 1/ exp[( E k – )/kT] + 1 (43) Здес ь нужно проявить некоторую осторожность . Имен но , как определить функцию f 0 k в случае , когда температура зависит от координат ? Будем считать , что в каждой точке можно корректно опреде лить локальную температуру T ( r ) , и положим gk(r)=f k (r) – f 0 k 3T(r) . (44) Если введение локальной температуры вызывает затруднения , можно потребовать , чтобы окончат ельное ре шение удовлетворяло какому-либо дополнительному у словию , например g k (r)dk = 0. (45) Подставляя выр ажение (42) в кинетическое у равнение (41) и используя равенства (7.2) и (7.5), получаем – v k f k / r – e / ħ'68 (E + 1/c[ v k H]) f k / k = – f k / t] scatt , (46) или – v k f k / T T – e / ħ'68 ( E + 1/ c [ v k H ]) f 0 k / k = – f k / t ] scatt + v k g k / r + e / ħ'68 ( E + 1/ c [ v k H ]) g k / k . (47) С помощью формулы (43) это уравнение можно переписать в виде ( f 0 / E ) v k ( E (k) – ) / T T + e (E – 1/e ) = – f k / t] scatt + v k g k / r + e / ħ'68 c[ v k H] g k / k. (48) Э то — линеаризованное уравнение Больцмана . В нем опущен член ( E g k / k ) порядка E 2 , соответствующий отклонениям от закона Ома . Отброшен также член v k [ v k H ] , тождественно рав ный нулю ; в левую часть уравнения магнитн ое поле явно не входит. Подставляя выражение (40) в у равнение (48), можно убе дитьс я , что мы получили линейное интегро-дифференци альное уравнение относитель но «добавки» g k ( r ) к функции распределения . Функция g k ( r ) определяется интенсивностью электри ческого поля и величиной градие нта температуры , входящими в неоднородный член в левой части . Далее в этой главе м ы будем отыскивать решения кинетического урав нения для различных случа ев в порядке увеличения сложности. § 7. Электропроводность Пуст ь на систему наложено только электрическое поле E , и в «бесконечной» среде поддерживается постоянная температура . С учетом выражения (40) получа ем ( – f 0 / E ) v k eE = – ( f 0 / t)] scatt = (f k – f k )Q(k,k )dk = (g k – g k )Q(k,k )dk (49) Это есть простое интегральное уравнение для неизв естной функции g k . Вместо того чтобы , непосредств енно решать его , сделаем фено менологическое предположение : – f k / t] scatt = g k / (50) Тем самым мы вводим время релаксации . При выключении поля любое отклонение g k от равновесного распределен ия будет затухать по закону – g k / t = g k / , (51) или g k (t) = g k (0)e – t / . (52) Подс тавляя определение (50) в уравнение (49), находим g k = ( – f 0 / E ) v k eE (53) Чтобы найти электропровод ность , вычислим соответствующую плотность тока (54) Здесь при переходе от первой строки ко второй принято во вни мание , что f 0 k ev k (r)dk 0, использов аны также формулы для преобразования объемног о интеграла в k -пространстве в интеграл по и зоэнергетическим поверхностям и по энергии. В ме талле функция ( – f 0 / E ) ведет себя как -функция от ( E – ) , поэтому остается только проинтегрировать по поверхности Ферми . Таким образом, ( 55) Сравним это выражение с обычной макроскопической формулой J = E , (56) где – тен зор . Получим (57) Обы чно имеют дело с кристаллами кубической с имметрии, при этом тензор электропров одности сводится к скаляру , помно женному на единичный тензор . В случае , когда оба вектора E и J направлены по оси х , подынтегральн ое выражение в (55) есть (v k v k E) = v 2 x E, (58) что дает 1/3 вклада от квадра та скорости , v 2 E . Поэтому (5 9 ) где мы ввели длину свободного пробега = v . (6 0 ) Это есть основная формула для электропроводност и. Интересно посмотреть (фиг . 97), как выглядит функция ра спределения f k , заданная выражением (7.8). Как видно из равенства (53), функция g k велика только вблизи по верхности Ферми. Фиг .97. а – смещенная повер хность Ферми ; б – смещенное распределен ие Ферми . Небольшая добавка появляется с той ст ороны , где v k eE >0, т . е . та м , где электроны ускоряются полем . Та же величина вычитается с противоположной стороны. Фактически по теореме Тей лора можно на писать (61) Это выглядит так , как будто вся сфера Ферми сдвинулась в k -п po странстве на величину ( e / ħ'68 ) E . Это нескольк о неверная интерпретация . В действительности поле не действует на состояния вблизи дна зоны , в глубине сферы Ферми . Из-за при нципа Паули поле не может придать ускорен ия электронам в таких состояниях ; по этой же причине они не рассе иваются п римесью. Отметим , однако , что электропр оводность не зависит от тем пературы (если не считать возможной те мпературной зависи мости ). Эта же формула справедлива при T = 0, когда рас пределени е Ферми имеет совершенно четку ю грани цу . Можно сказать , что электр опроводность выражается через смещение жесткой поверхности Ферми. Заметим также , что выражение (61) можно представить в виде f k = f 0 ( E k + e v k E), (62) как будто к энергии электрона в состоянии k добавилась вели чина E k = e v k E. (63) Это в точности соответствует классической сит уации , которая имела бы место , если бы электрон со скоростью v k двигался в поле E в теч ение интервала времени . Это замечание лежит в основе кинетического метода решения подобных задач . Доба вочная энергия , приобретаемая в промежутках между столкно вениями с примесями , соответств ует наличию дрейфовой скорости v в н аправлении поля ; именно v( E / v) = evE , (64) или для классической частицы массы m v( E / v) = evE / mv. (65) Пусть концентрация част иц есть n , тогда полная плотность тока равна J = ne v, (66) и , сравнивая формулы (65), (66) и (56), находим = ne 2 / m . (7.33) Легк о показать , что в случае свободного электр онного газа формулы (67) и (59) эквивалентны ; в м еталле последняя формула принципиально зна чительно лучше . Она показывает , что электропроводность зависит т олько от свойств электронов на уровне Ферми , а не от полной концентрации их . Большую электропроводность металлов следует объяснять скорее наличием не большой группы очень быстрых электронов на вершине распределения Ферми , а не высо ким значением полной концентрации свободных э лектронов , которым можно придать небольшую др ей фовую скорость. Основная формула (59) показывает также , что происходит , когда площадь своб одной поверхности Ферми уменьшается в р езультате взаимодействия с границами зоны , и учиты вает влияние ре шетки , ограничивающее эффективную скорость электронов на поверхности Ф ерми . Такие эффекты действительно можно наблюдать в металлах типа Bi . С другой стороны , фор мула кинетической теории (6 7) удобна для полупроводников . При этом под п следует понимать кон центрацию свободных носителей заряда . Обычно пишут = n|е | (68) где = |e| /m (69) есть подвижность носителей . В более общем случае считают , что электроны и дырки вносят независимые вклады в пол ный ток и определяют их подвижности равенством = n h | е | h + n e | е | e . (70) Нетрудно вывести ф ормулу (68), скажем , из (54), при нимая в качестве f ° кл ассическую функцию распределения . При этом мы допускаем , что время релаксации может зависеть от энергии ; в формулу (69) над о подставить его среднее значение (71) гд е N ( E ) есть плотность состоян ий в рассматриваемой зоне . Таким образом, e = |e| e /m e (7.38) где т е — эффективная масса электроно в . Аналогичная формула справедлива и для д ырок . Из этих формул видно , что подвиж ность может зависеть от температуры . С ростом T распределение размазывается и среднее время релаксации изменяется . В случае металла то обстояте льство , что т зависит от энергии , не иг рает большой роли , ибо существенно только значение ( E F ) .
© Рефератбанк, 2002 - 2017