Плоская задача теории упругости

Из тела находящегося в плоском напряженном состоянии , выделена пластина , толщина которой 1 см , размеры в плане 20х 20 см. Схема закрепления пластины. Задаваясь функцией напряжений , общий вид которой Ф (х,у )=а 1 х 3 у +а 2 х 3 +а 3 х 2 у +а 4 х 2 +а 5 ху +а 6 у 2 +а 7 ху 2 +а 8 у 3 +а 9 ху 3 Принять два коэффициента функции согласно таблиц 1 и 2, остальные шесть коэффициентов принять рав ными нулю . В этих же таблицах даны значения модуля упругости Е и коэффициента Пуассона для материала пластины. Найти общие выражения для напряжений х , у , ху (объем ные силы не учитывать ) и построить эпюры этих напряжений для контура пластины. Определить выражения для перемещений U и V . Показать графически (на миллиметровке ) перемещение пластины в результате деформирования , определив компоненты перемещений U и V в девя ти точках , указанных на схеме . Для наглядности изображения для перемещений выбрать более крупный масштаб , чем масштаб длин . Значение U и V свести в таблицу. Расчет. Дано : а 3 =1 /3 , а 4 = 1 Е =0,69*10 6 кг /см 2 = 0,33 Решение : 1.Проверим , удовлетворяет ли функция напряжений бигармоническому уравнению. Ф (х,у )= Поскольку производные -бигармоническое уравнение удовлетворяется. 2.Определяем компоненты по формулам Эри , принимая объемные силы равными нулю. х = у = ху = 3.Строим эпюры напряжений для контура пластины согласно полученным ан алитическим напряжениям. 4.Проверяем равновесие пластины Уравненения равновеси я : х =0 -Т 5 +Т 6 =0 > 0=0 y =0 Т 4 +Т 3 +Т 2 -Т 1 - N 2 + N 1 =0 > 0=0 M =0 M ( T 4 T 3 )=- M ( T 2 T 1 ) > 0=0 удовлетворяется , т.е . пластина находится в равновесии. 5.Для точки А с к оординатами (5,-5) найти величины главных напряжений и положение главных осей для точки А. В этой точке напряжения в основных площадках . х =0, у =-1,33, ху =3,33, Найдем главное напряжение по формуле : =-0,665 3,396 кгс /см 2 max = I =2,731 МПа min = II = -4,061 МПа Находим направление главных осей. I =39,36 o II =-50,64 o 6.Определяем компоненты деформации 7.Находим компон енты перемещений Интегрируем полученные выражения (у ), (х ) – некоторые функции интегрирования или После интегрирования получим где с 1 и с 2 – постоянные интегрирования С учетом получения выражений для (у ) и (х ) компоненты перемещений имеет вид Постоянные с 1 , с 2 , и с определяем из условий закрепления пластины : 1) v =0 или 2) v =0 или 3) u =0 или Окончательные выражения для фун кций перемещений u и v Покажем деформированное состояние пластины определив для этого перемещение в 9-ти точках. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 координаты Х (см ) -10 0 10 10 10 0 -10 -10 0 У (см ) 10 10 10 0 -10 -10 -10 0 0 V *10 -4 3,8 0,77 0,58 -0,19 0 0,19 3,2 3,1 0 U *10 -4 -3,1 -3,5 -3,9 -1,9 0 -0,23 -0,45 -1,8 -1,9 Масштаб ь длин : в 1см – 2см ь перемещений : в 1см - 1*10 -4 см