Обобщающее повторение по геометрии на примере темы "Четырехугольник"

С одержание . Введ ение. 2 Глава I. Психолого– педагогические особенности подросткового периода. 5 § 1. Воз растные критерии. 5 § 2. Повышение уровня обоб щённости изучаемых знаний. 12 Глава II. Обобщающее повторение по геометрии в 8 классе (на примере темы : "Четырехугольники "). 16 § 1. Зна чение повторения. 16 § 2. Виды повторения. 17 § 3. Содерж ание и методика обобщающего повторения на примере темы : «Четырехугольники». 24 Глава III. Описание и результаты эксперимента. 42 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 47 БИБЛИОГРАФИЯ 50 Введение. В процессе обучения математике важное место отводится ор ганизации повторения изученного материала . Необхо димость повторения обусловлена задачами обучения , требующими прочного и сознательного ов ладения ими . Указывая на важность процесса повторения изученного материала , современные исследователи показали значительную роль при этом таки х дидактических приёмов , как сравнение , класси фикация , анализ , синтез , обобщение , содействующее интенсивному прот еканию процесса запоминан ия . При этом вырабатывается гибкость , подвижно сть ума , обобщённость знаний . В процессе повторения память у учащих ся развивается . Эмоциональная память опирается на наглядно– образные процессы , постепенно усту пает памяти с логическим и процессами мышления , которая основана на умении устанавл ивать связи между известными и неизвестными компонентами , сопоставлять абстрактный материал , классифицировать его , обосновывать свои выск азывания. Повторение учебного материала по математи ке осущест вляется во всей системе уче бного процесса : при актуализации знаний — на этапе подготовки и изучения нового материала , при формировании учителем новых по нятий , при закреплении изученного ранее , при организации самостоятельных работ различных ви дов , при про в ерке знаний учащихся . Необходимость повторения изученного ранее материала вызвано самой структурой программы учебного курса математики . Например , учащиеся проходят по учебной программе тему : «Четырё хугольники» в 8 классе , но пользуются ей в 10 – 11 класса х при изучении темы : « Поверхность тел вращения» , «Площадь поверхности» , «Объёмы тел» и др . Школьная программа устроена так , что , не повторяя ранее изу ченного материала , трудно понять новый . Поэтом у повторение пройденного материала необходимо учащимся . На практике чувствуется ва жность и полезность обобщающего повторения . О бобщающие уроки являются итогом большой работ ы учащихся по повторению , оказывают им пра ктическую помощь в подготовке к экзаменам . Отзывы восьмиклассников об этих уроках , их осознанные , л огически правильные от веты , с правильным использованием символической записи , умением применять теоретические знания при решении задач говорят о большой эффективности такого повторения . Литературы по организации повторения не хватает . Важность обобщающего повторения и методических разработок определяют актуально сть этой проблемы . Проблема заключается в изучении влияния обобщающего повторения на качество знаний учащихся . В связи с возникшей проблемой выдвига ется гипотеза : предлагаемая методика обобщающег о повторения способствует повышению качес тва знаний учащихся. Объектом является учебно– воспитательный про цесс в периоды повторения пройденного материа ла . Предметом служит обобщающее повторение на уроках математики в 8 классе . Для решения проблемы необход имо р ешить задачи : Изучить научно– педагогический материал по психологии , по математике , по методике препо давания . Изучить состояние обобщающего повторения в процессе работы , практику работы учителей , то есть , опыт их работы . Проанализировать виды обобща ющего пов торения . Разработать содержание и метод приёмов на примере темы : «Четырехугольники» . Провести экспериментально в средней шк оле . Методы , использованные при экспериментировани и гипотезы : теоретический анализ , педагогическое наблюдение , беседа , т естирование анкетирова ние , эксперимент . Аплобирование гипотезы проводило сь в средней школе № 46 (гимназия № 4) под руководством Баязитовой Л.Ш . в 8 б и 8 г классах. Глава I . Психолого– педа гогические особенности подросткового периода. § 1. Возр астные критерии. В настоящее время наблюдается усиленный интерес учителей математики к психолого– педагогическим проблемам , к психологическим знаниям . Этот интерес обусловлен тем , что учителя математики в с воей повседневн ой практической деятельности встречаются с такими проблемами , которые можно разрешить лишь на основе психолого– пед агогических знаний , а также при условии гл убокого психологического осмысления сущности эти х проблем . 1. Ученик как объект и су бъект процесса обучения. В процессе обучения математике непосредственно участвуют с одной стороны — учитель , с другой — ученик . Роли их в этом процессе представляются , по кра йней мере на первый взгляд , достаточно ясн ыми : учитель организует , направляет и руководи т процесс ом обучения математике , а уче ник должен учиться , выполнять все требования учителя . Вот как , например , определяется процесс обучения в одном из учебников по педаг огике : «Обучением называется двусторонний процесс , состоящий из деятельности учителя , когда он ученикам объясняет , рассказывает , показыв ает , заставляет их выполнять упражнения , испра вляет их ошибки и т.д ., и из деятельнос ти учеников , которые под руководством учителя усваивают знания и соответствующие умения и навыки» . Основная роль учителя математ ики в современных условиях — это воспитание личности учащихся , формирование их потребностно– мотивационной сферы , воспитание их способностей , нравственных идеалов и убеждений . Обучение знаниям умениям и навыкам по математике я вляется составной частью этого воспит ания и тем процессом , в котором это во спитание осуществляется. 2. Возрастные психологические ос обенности ученика как объекта обучения матема тике . О том , что надо учитывать возрастные особенности учащихся , говорится всюд у , но не всегда указывается , ч то эт о означает , какие особенности надо учитывать и как их надо учитывать . Между тем , надо иметь в виду , что возрастные особе нности — это не нечто неизменное и в ечное , что присуще ученикам опре делённого возраста . Сами эти о собенности довольно резко меняютс я со временем . Скажем , возрастные психологические особенности ученика м ладшего школьного возраста теперь и лет 30 тому наза д совсем не одни и те же . Точно также современный подрос ток весьма существенно отличается от подростк а довоенных лет . Рассмотрим нек оторые психологические особенности современного ученика , име я в виду лишь те ег о особенности , которые важно у читывать в процессе обучения математике . Ученик — это растущий , развивающийся человек . Придя в школу в семь лет , он заканчивает её в 17 лет вполне сложив шимся человеком юношеского возраста . За эти десять лет обучения ученик проходит огромн ый путь физического , психического и социально – нравственного развития . Подростковый возраст — это весьма сл ожный , таящий в себе опасность кризисных я влений , период в жизни ученика . В это т период организм ребёнка претерпевает кардин альные изменения . Развёртывается процесс полового созревания . С этим процессом связано возн икновение у подростка физического ощущения со бственной взрослости . У него возникает предст авлени е о себе уже не как о ребёнке , он стремится быть и считаться взрослым . Отсюда у подростка возникает нова я жизненная позиция по отношению к себе , к окружающим людям , к миру . Он становитс я социально активным , восприимчивым к усвоени ю норм ценностей и способо в пов едения , которые существуют среди взрослых . Поэтому период подросткового возраста хар актерен тем , что здесь начинается формировани е морально– нравственных и социальных установок личности ученика , намечается общая направлен ность этой личности . Подросток стремится к активному общ ению со своими сверстниками , и через это общение он активно познаёт самого себя , овладевает своим поведением , ориентируясь на образцы и идеалы , почерпнутые из книг , к инофильмов , телевидения . Подросток становится более независимым от взрослых ещё и потому , что у него возникают такие потребности , которые он должен удовлетворить только сам (потребн ость в общении со сверстниками , в дружбе , в любви ). Родители и вообще взрослые при всём их желании не могут решить п роблемы , встающие пер е д подростками в связи с возникновением у них новых потребностей , между тем как удовлетворение всех основных потребностей младших школьников зависит в основном от родителей . Всё эт о зачастую болезненно сказывается на отношени и учащихся к учению . Вот как ха р актеризует это известный психолог Н.С . Лейтес : «Дети 12 – 13 лет в подавляющем больш инстве своём относятся к учению в основно м благодушно : не утруждают себя излишними раздумьями , выполняют только уроки в пределах заданного , часто находят поводы для развл ече н ия… Ослабление связи с учител ем , снижение его влияния особенно дают о себе знать в недостатках поведения учени ков на уроках . Теперь учащихся не только иногда позволяют себе игнорировать получаемы е замечания , но могут и активно им про тивостоять . В средних к лассах можно столкнутся с изобретательными шалостями и проявлением самого легкомысленного поведения» . Общая картина работы учащихся– подростков на уроках по сравнению с младшими клас сами ухудшается . Ранее примерные и аккуратные ученики позволяют себе не вы полнять задания . Тетради ведутся неряшливо . У мно гих учащихся меняется подчерк , он становится неразборчивым и небрежным . При решении ма тематических задач многие подростки не проявл яют нужной настойчивости и прилежания . Попытк и учителя заинтересовать учени к ов занимательностью формы изложения или какими– л ибо другими способами зачастую не приносят ожидаемого результата . В то же время эти же подростки весьма охотно участвуют в работе различных кружков , где , казалось бы , наиболее трудны е подростки охотно выполн яют все указ ания взрослого руководителя кружка , с интерес ом и усердием овладевают теоретическими знани ями , нужными для выполнения практических рабо т . Если подростковый возраст есть начало внутреннего перехода ученика от положения объекта обучения и воспит ания , которым он был в младшем школьном возрасте , к положению субъекта этого процесса , то в юношеском возрасте ученик становится (во вс яком случае , должен становиться ) уже подлинным субъектом своей деятельности в учебно– воспи тательном процессе . В то же вр емя ученики ещё сохраняют материальную зависимость от родителей . Главным в их жизни становится подготовка к будущей самостоятельной , взрослой жизни , подготовка к труду , выбор жизненного пути , профессии . В эти годы особую значимость для учеников приобретае т ценностно– ориентационная деятельность . Ученик пытается произвести глубок ую самооценку своей личности , своих способнос тей . Растёт и развивается рефлексия , познавате льный интерес к философским проблемам , юноша пытается выяснить смысл жизни ; оценить на блюд а емые явления с этой точки зрения . Особо следует отметить стремление ученико в старшего школьного возраста к автономии , к эмоциональной и ценностной самостоятельности , к независимости , к самоуважению , между те м как для подростков характерна зависимость от г руппы своих сверстников . Подросто к весьма податлив влиянию сверстников . Внутре нне отойдя от родителей , он ещё не при шёл к своей индивидуальности , которая обретае тся в юношеском возрасте . Если подростка в олнует вопрос : «Неужели я не такой , как все ?» , то юн о шу : «Неужели я такой , как все ?» . Учителю всё это надо иметь в виду и учитывать в своей работе . 3. Мотивация процесса учения . Выше мы установили , что ученик в п роцессе обучения математике из объекта этого обучения постепенно становится его субъектом . Чт о это значит ? В чём выражается различие между объектом и субъектом обуч ения ? Ведь в том и в другом случае ученик как– то учится , приобретает знания , у мения . Действительно , и когда ученик является лишь объектом обучения математике , и когда он становится суб ъектом этого процес са он выполняет задания учителя , решает за дачи , повторяет изученный материал и т.д ., т. е . он учится . Все различия между учением ученика в роли объекта и его же уче нием в роли субъекта состоят в том , ра ди чего он это делает . Человек , уче ник есть деятельное су щество . Он всегда что– то делает , участвует в какой– то деятельности . Но ученик участву ет во многих различных деятельностях , соверша ет разные действия . Для того чтобы ученик эффективно учился , он должен совершать не любые действия , а в п олне опре делённые . Встаёт вопрос : почему ученик соверша ет именно эти действия , а не другие , чт о побуждает совершать эти действия , что на правляет и регулирует его деятельность в процессе обучения ? Иными словами , что мотивиру ет — побуждает и направляет — де я тельность ученика . Только разобравшись в этом , мы сможем понять , в чём различия между объектом и субъектом процесса обучения . Кроме того , в этом надо разобраться ещё и потому , а может быть главным образом потому , чт о учитель должен научиться управлять дея тельностью учащихся в процессе обучения , а для этого он должен формировать у них нужную мотивацию . Ведь в противном случае , если этого не делать , становится вполне реальной опасность , о которой говори л В.А.Сухомлинский : «Все наши замыслы , все поиски и по с троения превращаются в прах , если нет у учащихся желания учиться.» Поэтому учитель должен вызвать у учащ ихся такое желание , а это значит , что о н должен формировать у них соответствующую мотивацию . Что такое мотивация , как она формирует ся у человека ? Под м отивацией понимают обычно совокупность побуждений к деятельност и . Однако когда деятельность уже началась , то она имеет определённую цель . Цель — это то , чего сознательно хочет достигнут ь человек в результате этой деятельности . Но между целью деятельности и её по буждениями не всегда существует полное соотве тствие . Когда оно имеется , то говорят , что эта деятельность имеет смысл ; в противном случае , когда цель деятельности и вызвавш ие эту деятельность побуждения не соответству ют друг другу , то говорят , что д еятельность не имеет смысла , лишена дл я данного человека смысла . Например , ученики решают задачу . Цель у них одна — научиться решать подобные задачи . Побуждения же могут быть самые различные . Так , одни из них решают задачу потому , что привыкли выполнять т ребов ания учителя , у них ещё имеется достаточно стойкая установка на выполнение требований учителя , но некоторые из них , кроме то го , хотят получить хорошую отметку , похвалу . Для других главное — получить хорошую отметку ; третьи решают задачу ещё и пот ому, что их интересует сам процесс решения , он приносит эмоциональное удовольст вие ; наконец , есть и такие , у которых , к роме перечисленных побуждений , есть ещё и стремление овладеть общим способом решения по добных задач . Возможно , что у некоторых уч ащихся и дру г ие побуждения . Однако независимо от мотивов , которые побуждают учащихся решать задачу , объективно эта деятельность направлена на какие– то учеб ные цели , например , на то , чтобы каждый из них научился решать подобные задачи . З аметим , что сама задача с психол огичес кой точки зрения выступает лишь как матер иал , как средство этой деятельности . Итак , ученик всегда является объектом деятельности в процессе обучения , а субъектом этой деятельности он становится тогда , ко гда сознательно принимает объективные цели де я тельности за свои личные цели . Очевид но , что в последнем случае обучение являет ся наиболее эффективном , только в этом слу чае учитель может легко и с удовольствием полностью осуществить цели и задачи обуч ения . Учителю необходимо стремиться к тому , чтобы ка ждый ученик становился субъектом деятельности в процессе обучения . А для этого нужно , чтобы все стороны учебно– во спитательного процесса , его содержание , организаци я и методы содействовали такому становлению , были прямо направлены на воспитание учен ика — с у бъекта своей деятельност и . К описанию одного из путей построения процесса повторения математики мы и пере ходим . § 2. Повы шение уровня обобщённости изучаемых знаний. В настоящее время школьный курс математики далеко от стаёт от мат ематики как науки по уровню обобщённости знаний . Если в современно й математике уровень обобщённости очень высок , то в школьном курсе математики он по ка ещё весьма низок . Его повышение (в р азумных пределах ) приведёт к повышению информ ационной ценности изуч а емых знаний , и также к резкому сокращению времени н а их усвоение . Следует особо отметить , что только на этом пути можно избавиться от пресловуто й перегрузки учащихся , ибо общими понятиями современный школьный курс математики , не то лько не перегружен , но я вно не дог ружен . Проблема развития самостоятельности мышления учащихся в процессе обучения математике является острой , ещё не разрешённой проблемой методики математики . Анализ характера умственной деятельности учеников на различных уроках , в разных кла сс ах показал , что лишь 15 – 20% учебного времени тратится на самостоятельную работу , чем старше класс , тем самостоятельных работ меньше . Создаётся ненормальное положение : с возра стом учащиеся , конечно , становятся более спосо бными к самостоятельной работе , а и м предоставляют для этого всё меньше време ни . Если в числе тренировочных упражнений преобладают однотипные , при решении которых ученик ограничивается лишь получением ответа и сверкой его с готовым ответом , то такие упражнения не направляют усилия ученик а на разрешение иных нешаблонных задани й , с чем ему придётся встречаться в жи зни . Знания ученика будут прочными , если он и приобретены не одной памятью , не заучены механически , а являются продуктом собственны х размышлений и закрепились в результате его собст венной творческой деятельности н ад учебным материалом . Не случайно Леонид Эйлер полагал , что кроме описания результатов своих исследовани й , обогативших науку , ему надобно для обще й пользы чистосердечно изложить ещё и про цесс искания истины со всеми его ис каниями и затруднениями . Действующие учебники математики мало , чем могут помочь развитию творческих начал : в них по меткому выражению профессора Б.В Г неденко , спрятаны все концы , дана уже гото вая схема , знания представлены в статистическ ом состоянии , в за вершённых формах. Под обобщением будем понимать распростран ение , какого– либо суждения от частого поняти я к общему (например , от «четырёхугольника» до «трапеции , ромба…» ). Суждения полученные по аналогии , будут проблематическими и подлежат дальнейшему иссл едованию и доказательству . Умозаключения по аналогии являются непрем енной составной частью творческого мышления , так как этим путём мысль человека выходит за пределы известного , пролагая путь к неизвестному . Умственное развитие учащихся , которые дол жны п одготавливаться уже в период шко льного обучения к роли творчески мыслящих активных деятелей , не может быть полноценны м , если их не научат в школе специальн о применению приёма аналогии . Простое применение аналогии даёт упражнен ие подобное , однопорядковое с исходным . О т него следует отличать составление задачи обобщением , когда новая задача оказывается в том или ином отношении сложнее исходной . Процесс обобщени я основывается на применении анало гии , но не сводится полностью к ней . Применение обобщения связа но с пр еобразованием мыслей , с умственным экспериментиро ванием ; оно есть одно из самых важных средств самообучения , то есть , самостоятельного расширения и углубления имеющихся знаний . Для достижения глубокого усвоения нового понятия , способа решения нельз я обход иться задачами одного уровня трудности , а нужно предложить обобщённую задачу , а ещё лучше дать учащимся возможность самим обобщит ь решённую задачу , чтобы затем решить тако вую , видоизменяя , если нужно прежний способ . В практике обучения общее классн о е задание рассчитано на среднего ученика , а для расширения познавательных способностей более сильных учащихся необходимы дополнительные задания по самостоятельному обобщению и решению составленных задач . Если , скажем готовую задачу , решают вс е учащиеся в основном одинаковой послед овательностью рассуждений , то с обобщением уж е справляется не всякий . Результат обобщения зависит не столько от суммы знаний , п римерно одинаковой для всех учащихся класса , а от умения комбинировать , связывать эти знания по– новом у , заглядывать даль ше обычных пределов . Характер упражнений , выполняемых в классе , должен отразится и на характере контроль ных и проверочных работ ; чему обучают , то и следует проверять . Всякая математическая задача неисчерпаема в своих связях с другими за дачами ; после решения задачи почти всегда можно найти предмет размышления , найти несколько направлений , в которых удаётся обобщить зад ачу , и найти затем решение созданных таким образом новых проблем . Время и усилия , затраченные на обобщен ие знаний , окупаю тся той большой эконо мией мышления , в последующем , которые достигаю тся благодаря единообразным методам усвоения материала . Глава II. Обобщающее повторение по геометрии в 8 классе (на примере темы : "Четырехугольни ки "). § 1. Знач ение повторения. Одним из ва жнейших вопросов , способствующих дальнейшему повы шению успеваемости , достижению глубоких и про чных знаний у учеников является вопрос о повторении ранее пройденного материала . Без прочного сохранения п риобретенных знаний , без умения воспроизвести в необхо димый момент , ранее пройденный материал , изуче ние нового материала всегда будет сопряжено с большими трудностями и не дает над лежащего эффекта . "Обучение нельзя довести до основательн ости без возможно более частых и ос обенно искусно поставленных повторений и упра жнений ", — говорил Каменский . Преподавать математику , не повтор яя повседневно на каждом уроке ранее прой денный материал , это значит — передать , п ересказать учащимся определенную сумму различных законов , теорем , формул и т . п . , с овершенно не заботясь о том , насколько про чно и сознательно освоили этот материал н аши питомцы ; это значит не дать детям глубоких и прочных знаний . Работать так , э то , по меткому выражению Ушинского , уподобитьс я "пьяному вознице с дурно увязанн ой кладью : он все гонит вперед , не огля дываясь назад , и привозит домой пустую тел егу , хвастаясь только тем . что сделал боль шую дорогу ". Ранее пройденный материал должен служить фундаментом , на который опирается изучение нового матер иала , который в свою оч ередь , должен обогащать и расширять ранее изученные понятия . "Старое должно подпирать новое , а но вое обогащать старое ". Правильно организованное повторение помогает ученику увидеть в старом нечто новое ; помогает установить логическ ие связи м ежду вновь изучаемым материалом и ранее и зученным ; обогащает память ученика ; расширяет его кругозор ; приводит знания ученика в си стему ; дисциплинирует ученика ; приучает в нем уменье находить необходимого для ответа на поставленный вопрос материа л ; вос питывает в ученике чувство ответственности . В связи с этим особо важное значение приобретают воп росы : Что надо повторять ? Как повторять ? Ког да повторять ? Большую и серьезную ошибку допускает тот учитель , который побуждает ученика повтор ять материал в том порядке , в которо м он изучался . Повторение в этом случае сводится и механическому воспроизведению в памяти пройденного материала . Ушинский воспитывал против механического повторения . "Нет никакой надобности повторять выученное в том порядке , в каком оно было пройдено , а напротив , ещё полезнее повторения случайные , сводящие выученное в новые комбинации ", — говорил он . Повторение пройденного материала должно стать необходимейшим элементом в препо давании математики , органической и неотъемлемой частью к аждого урока . § 2. Виды повторения. В связи с этим мы различаем следующие виды повторе ния ранее пройденного материала : 1. Повторение в начале учебного года . 2. Текущее повторение всего , ранее пройд енного : а ) повторение пройд енного в связи с изучением нового материала (сопутствующие повторению ); б ) повторение пройденного вне связи с новым материалом . 3. Tематиче cк oе повторение (обобщающее и систематизирующее повторение законченных тем и разделов программы ). 4. Заключительно е повторение (организуемо е при окончании прохождения большого раздела программы или в конце учебного года ). Цели и время повторения тесно связаны и взаимообусловлены и в свою очередь определяют методы и приемы повторения . При планировании повторения необ ходим о отобрать материал , установить последовательност ь и время повторения , распределить отобранный материал по урокам , установить формы и методы для осуществления повторения , разумеется , надо учитывать и свойство памяти . Основные требования к организации п овторения должны исходить из целей повторения , специфики математики как учебного предмета , её методов . Первое требование к организации повторени я , исходящее из его целей , это определение времени : когда повторять ? Оно должно осущ ествляться по принципу : " Учить новое , пов торяя , и повторять , изучая новое " (В . П . В ахтеров ). Это не означает , однако , что нельзя специально отводить уроки для повторения , с кажем , для таких вопросов программы , которые трудно увязать с текущим материалом . План повторения и выбор тем для повторения учитель должен сос тавлять в каждом отдельном случае на осно вании общих теоретических соображений с учето м того , как усвоен учащимся материал соотв етствующих разделов . К сказанному добавим еще то , то ха рактер урока в связи с переходом уч ащихся из одного класса в другой значительно меняется . В старших классах сущес твенно перестраивается закрепление и повторение учебного материала . Увеличивается объем факт ического материалами , выносимого на закрепление и повторение ; поурочное закрепление в ряде случаев переходит и тематическое или перерастает в обобщающее повторение , ув еличивается доля самостоятельности учащихся при закреплении и повторении . Второе требование к организации повторени я должно отвечать на вопрос : Что повторять ? Исходя из выска зываний классиков пед агогики , можно выдвинуть следующие положения при отборе учебного материала по различным видам повторения : 1. Не следует повторять все ранее пройденное . Нужно в ыбрать для повторения наиболее важные вопросы и понятия , вокруг которых груп пируетс я учебный материал . 2. Выделять для повторения такие темы и вопросы , которые по трудности своей н едостаточно прочно усваиваются . 3. Выделять для повторения надо то , чт о необходимо обобщить , углубить и систематизи ровать . 4. Не следует повторять в се в одинаковой степени . Повторять основательно надо главное и трудное . При отборе материала для повторения необходимо учитывать степень его связи с вновь изучаемым материалом . Третье требование к организации повторени я математики должно отвечать на вопро с , как повторять , т . е . осветить те мето ды и приемы , которыми должно осуществляться повторение . Методы и приемы повторения долж ны находиться в тесной связи с видами повторения . При повторении необходимо применять различные приемы и ме тоды , сделать повторе ние интересным путём внесения , как в повторяемый материал , так и в методы изучения некоторых элементов новизны . Только разнообразие методов повторения может устранить те противоречие , которое возникает ввиду отсутствия желания у части учащихся повторять то , что ими усвоено однажды . Различные виды повторения тесно взаимодей ствуют ; от своевременного и успешного проведе ния одного из видов повторения , например , тематического или те кущего , зависит продолжительность и успешность повторения другого вида — заключи тель ного повторения или повторения в конце го да . Перейдём к краткой характеристике видов повторения . 1. Повторение пройденного в начале года . При повторении в начале учебн ого года в первый план должно выдвигаться повторение тем , имеющих прямую связь с но вым учебным материалом . Новые знания , приобретаемые на уроке , должны опираться на прочный фундамент уже усвоенных . При повторении в начале года необходи мо наряду с повторением тем , тесно связанн ых с новым материалом , повторить и другие разделы , которые по ка не примыкают к вновь изучаемому материалу . Здесь необход имо сочетать обе задачи : провести общее по вторение в порядке обзора основных вопросов из материала прошлых лет и более глу боко повторить вопросы , непосредственно связанные с очередным материалом п о прог рамме учебного года . Само повторение следует проводить как в классе , так и дома . При решении во проса , какой материал должен быть повторен в классе и какой оставлен учащимся для самостоятельного повторения дома , нужно исхо дить из особенности материала . Наиболее трудный материал повторили в классе , а мен ее трудный дали на дом для самостоятельно й работы . 2. Текущее повторение пройденн ого . Текущее повторение в процессе изучения нового материала — весьма важный момент в системе повторения . Оно помогает ус танавливать органическую связь между новым ма териалом и ранее пройденным . Текущее повторение может осуществляться в связи с изучением нового материала . В этом случае повторяется материал , естественно увязывающийся с новым материалом . Повторение здесь вх одит составной и неотъемлемо й частью во вновь изучаемый материал . Под руководством учителя ученики на у роке воспроизводят ранее изученный ими необхо димый материал . В результате этого доказатель ство новой теоремы воспринимается учащимися л егко , а дальнейш ая работа учителя — воспроизведение доказанного и упражнения , об еспечивающие вторичное осмысление теоремы и е ё закрепление . Во втором случае все связи с новы м материалом , когда повторяемый материал не находит естественной увязки с новым и его приходится п овторять на специальных уроках . При текущем повторении вопросы и упра жнения могут быть предложены учащимся из различных разделов программы . Текущее повторение осуществляется в проце ссе разбора упражнений , включается в домашнее задание . Оно может быть про ведено как в начале или в конце урока , так и во время опроса учащихся . Текущее повторение дополняется сопутствующим повторением , которое нельзя строго планирова ть на большой период . Сопутствующее повторени е не вносится в календарные планы , для него не выд еляется специальное время , но оно является органической частью каждог о урока . Сопутствующее повторение зависит от материала , привлекаемого для изучения очеред ного вопроса , от возможности установить связи между новым и старым , от состояния зн аний учащихся в данный момент . Усп ех сопутствующего повторения в значительной с тепени обусловливается опытом и находчивостью учителя . Сопутствующим повторением учитель по ходу работы устраняет неточности в знани ях , напоминает вкратце давно пройденное , указы вает их связь с новым . 3. Тематическое повторение . В процессе работы над математ ическим материалом особенно большое значение приобретает повторение каждой законченной темы или целого раздела курса . При тематическом повторении систематизируютс я знания учащихся по теме на заверш ающем этапе его прохождения или после нек оторого перерыва . Для тематического повторения выделяются с пециальные уроки , на которых концентрируется и обобщается материал одной какой-нибудь темы . В процессе работы над темой вопросы , предлагаемые уч ащимся по каждому разде лу , следует вновь пересмотреть ; оставить наибо лее существенные и отбросить более мелкие . Обобщающий характер вопросов при тематическом повторении отображается и на их количест ве . Учителю приходится основной материал темы охватить в меньшем числе вопросов . Повторение на уроке проводится путём беседы с широким вовлечением учащихся в э ту беседу . После этого учащиеся получают з адание повторить определённую тему и предупре ждаются , что будет проведена контрольная рабо та . Контрольная рабо та по теме должна включать все ее основные вопросы . После выполнения контрольной работы проводится раз бор характерных ошибок и организуется повторе ние для их устранения . При тематическом повторении полезно соста вить вопросник , а затем логический план по т еме и завершить работу составлением итоговых схем . Таблица или схема экономно и наглядно показывает общее для понятий , входящих в данную тему , их взаимосвязь в логической последовательности . Процесс составления таблиц в одних сл учаях , подбор и запись прим еров после анализа готовой таблицы в других случаях является одновременно и формами письменных упражнений при обобщающем и систематизирующе м повторении . Последовательное изучение различных особых случаев при повторении весьма полезно зако нчить их классифи кацией , что поможет у чащимся яснее различить отдельные случаи и группировать их по определенному признаку . 4. Заключительное повторение . Повторение , проводящееся на завершающем э тапе изучения основных вопросов курса математ ики и осуществляемое в логическ ой свя зи с изучением учебного материала по данн ому разделу или курсу в целом , будем н азывать заключительным повторением . Цели тематического повторения и заключите льного повторения аналогичны , материал повторения (отбор существенного ) весьма близок , а при е мы повторения в ряде случаев совпада ют . Заключительное повторение учебного материала преследует цели : 1. Обозрение основных понятий , ведущих ид ей курса соответствующего учебного предмета ; напоминания в возможно крупных чертах пройден ного пути , эволюции п онятий , их развит ия , их теоретических и практических приложени й . 2. Углубления и по возможности расширения знаний учащихся по основным вопросам кур са в процессе повторения . 3. Некоторой перестройки и иного подхода к ранее изученному материалу , присоедине ния к повторному материалу новых знан ий , допускаемых программой с целью его угл убления . § 3. Содержание и методика обобщающего повторения на прим ере темы : «Четырехугольники». Решением одной из важных задач общеобразовательной и п рофессиональной школы является усиление прикладной направле нности обучения . В этой связи важно вырабо тать у учащихся умение при решении конкре тных вопросов ориентироваться на существенные свойства объектов и явлений . Большие возмож ности для формирования т акого умения имеются при изучении темы "Четырёхугольники ". Предлагаемый материал представляет большие возможности для организации разных форм ко ллективной учебно-познавательской деятельности учащих ся , формирования их диалектико– материалистического мировоз зрения , закладывает фундамент для развитая умения применять геометрические знани я при решении вопросов жизненно– практического и производственного характера . В качестве ведущей идеи берем идею четкого разграничения свойств и признаков параллелограмма и его частных видов . Прежде всего нужно добиться , чтобы уча щиеся научились различать понятия "свойство ф игуры " и "признак фигуры ". Если дано , что фигура параллелограмм , и исходя из этой посылки доказывают некоторые соотношения между элементами рассматриваемой фигуры , то к аждое из этих соотношений называется свойство м фигуры , о которой речь идет в услови и теоремы . Например , теорема : "У параллелограмма проти воположные стороны равны , противоположные углы равны ", кратко может быть записано так : Дано : АВСД – параллелограмм . Доказать : 1) АВ = СД ; АД = ВС 2) А = С ; В = Д Каждое из соотношений (1), (2) заключения теоремы дает свойство параллелограмма . В теореме же "Если диагонали четырёхуг ольника пересекаются и точкой пересечения дел ятся пополам , то этот четырехугольник — п араллелограмм " указаны соотношения между элемента ми некоторо го четырехугольника (АО =ОС , ВО =ОД ) и доказывается , что при их выпо лнении четырехугольник будет принадлежать к к лассу параллелограммов (будет являться параллелог раммом ). В этом случае условия (АО =ОС , В О =ОД ) называют признаками параллелограмма , т . к . при и х выполнении мы можем смело утверждать , что четырехугольник , для которого выполняются эти условия , обязательно будет параллелограммом (теорема ). Более глубокого и осознанного усвоения понятий "свойство " и "признак " можно добиться , если связать их с понятия ми "необ ходимое условие ", "достаточное условие ", "необходимое и достаточное условие ". Сообщаем школьникам , что любая теорема может быть записана в виде А Ю В , где А — условие теоремы (что дан о ), а В — заключение теоремы (что треб уется доказать ). Если доказ ана теорема А Ю В , то А является дос таточным для В (как только есть А , то сейчас же будет и В ), а В — н еобходимо для А , из А неизменно (необходим о ) следует В . Ещё более убедительное обоснование того , почему условие В считается необходимым д ля А , можно дать, если познакомить уч ащихся с вопросом о видах теорем и св язи между ними . Записываем схему : (1) А Ю В В Ю А (2) (3) нет А Ю нет В нет В Ю нет А (4) Сообщаем , что если утверждение (1) назвать прямым , то утверждение (2) будет к нему об ратным , утверждение (3) — противоположным прям ому , а (4) — противоположно обратному . Далее дока зывается , что из справедливости утверждения (1) следует справедливость утверждения (4) [(1) Ю (4)] и наоборот , т . е . (4) Ю (1). Сообщается , что если (1) Ю (4), то утверждения называются эквивалентными . Аналогично эквивалентны утверждени я (2) и (3) [(2) Ы (3)]. Словами формулу (1) Ю (4) можно расшифровать так : если из условия А следует (вытекает ) условие В , т о без в нет и А (из нет в нет А ), иными словами В необходимо для А (без В не будет и А ). А далее сообщаем , что необходимое усло вие дает нам свойство , а если условие не только необходимо , но и достаточно , то получаем признак . Иными словами , чтобы получить свойство В какого-нибудь объекта А , достаточно доказа ть теорему А Ю В , а ч тобы убедиться , что рассматриваем ое свойство В является признаком , следует ещё доказать теорему В Ю А (обратную ). Вместе с учащимися вспоминаем все сво йства параллелограмма и составляем таблицу . Дано : АВС Д – параллелограмм Доказать : 1) АВ || СД 2) ВС || А Д 3) АВ = СД 4) ВС = АД 5) АО = ОС 6) ВО = ОД 7) А = С 8) В = Д 9) А + В = 180 0 10) С + В = 180 0 11) С + Д = 180 0 12) А + Д = 180 0 Обращаем внимание на тот факт , что каждое из условий 1 – 12 вытекает из того , что АВСД — параллелограмм , следовательн о , каждое из них является необходимым условием того , чтобы четырехугольник АВСД б ыл параллелограммом . Легко убедиться , что из каждого из условий 1 – 12 не следует , что АВСД — параллелограмм (например , если да но , что АВ II СД , что имеем трапецию , ибо ВС || АД ) . Таким образом , каждое из условий 1 – 12, взятое в отдельности , признаком параллелограмма не является . Теперь начнём комбинировать свойства по два (Сколько таки х комбинаций будет ? Как сосчитать все комб инации , чтобы быть убеждённым , что ни одна не пропущена ?). Убеждаемся , что не к оторые из комбинаций дают признак пар аллелограмма . Какие из комбинаций по два д ают известные уже вам признаки параллелограмм а ? [(1, 2), (1, 3), (2, 4), (5, 6)]. В то же время легко видеть , что не каждая из комбинаций по два дает признак параллелограмма . Н апример , из то го что АВ II СД и ВС = АД следует , что фигура АВСД — равнобочная трапеция , а не параллелограмм . Естественно встает вопрос , сколько же всего признаков у параллелограмма ? Для ответа на этот вопрос нужно перебрать все в озможные комбинации и либ о доказать п олученную теорему , либо привести пример , опров ергающий её (контрпример ). Ясно , что эта раб ота на уроке проделана быть не может . Она может быть дана в качестве индивидуал ьных заданий на дом хорошо успевающим уча щимся , или еще лучше , предложена в качестве коллективной работы кружковцам . Здесь встают интересные вопросы о планиров ании работы , о разделении труда при решени и этой проблемы , об организации самоконтроля и взаимоконтроля , о подведении окончательных ит oг oв , т .e. вопросы , возникающие при о р ганизации любой трудовой деятель ности . Далее аналогичную работу можно провести по выяснению признаков прямоугольника и ромба . Но этой работе должно предшествовать уточнение определений прямоугольника и ромба . Действительно , достаточно потребовать , чтобы у параллелограмма был один прямой угол , т . к . из условия (АВСД — параллелограмм ; Р А =90 0 ) следует , что Р В =90 0 , Р С =90 0 , Р Д =90 0 . Для д оказательства этого факта достаточно воспользова ться известными свойствами углов параллелограмма . Аналогично , легко доказать теорему (А ВСД — параллелограмм , АВ =ВС Ю АВ =ВС =СД =АД ), из которой следует , что ромбом называется паралл елограмм , у которого две смежные стороны р авны . Можно не менять привычные учащимся из быточные определения , но обязательно подчеркнуть тот факт , что , чтобы убедиться , что рассматриваемый параллелограмм будет ромбом , достаточно проверить равенство двух смежных сторон , а чтобы убедиться , что он будет прямоугольником , достаточно доказать , что один из его углов прямой . После этого отмечаем особые свойства диагон алей пря моугольника и ромба и опять ставим вопрос , будут ли эти условия не только необходимыми , но и до статочными , т . е . являются ли эти условия признаками рассматриваемых фигур . Как это п роверить ? Учащиеся должны сообразить , что для ответа на поставленный вопрос следует сформулировать и доказать теоремы , обратные к теоремам , выражающим свойства диагоналей прямоугольника и ромба . Запишем одну из этих теорем . Дано : АВСД - прямоугольник . Доказать : АС = ВД . Обратное к этой теореме утверждение з аписывается так : Дано : в четырёхугольнике АВСД АС =ВД . Доказать : АВСД — прямоугольник . Легко убедиться , что это утверждение н есправедливо . Приведите примеры , подтверждающие эт от факт . Учащиеся могут вспомнить , что диа гонали равны у равнобочной трапеции , или н ачертить произвольный четырехугольник с рав ными диагоналями . Таким образом , мы убеждаемся , что равенство диагоналей не выделяет пря моугольник из класса четырехугольников (среди четырёхугольников с равными диагоналями есть и не являющиеся прямоугольниками ). Здесь учитель знакомит учащихся с еще одним способом получения утверждений , о братных данному . Замечает , что условие прямой теоремы может быть разбито на две ча сти . Дано : 1) АВСД — параллелограмм . 2) Р А =90 0 . Доказать : АС = ВД . Если теперь поменять местами закл ючение и вторую часть условия , то мы п олучим утверждение : Дано : АВСД — параллелограмм АС =ВД . Доказать : Р А =90 0 . Это утверждение легко доказать . Докажите самостоятельно . Если учащиеся затрудняются , то можно " навести " их на мысль , обрати в внимание , что Р А + Р Д = 180 0 (АВСД — параллелограмм ). Что ост алось теперь доказать ? ( Р А = Р Д ). Аналогичную работу проводим с установлени ем признаков ромба , основанных на свойствах его диагоналей . Вспоминаем теорему о свой ствах диагоналей ромба . Дано : АВСД — ромб . Доказать : 1) ВД | АС ; 2) Р ВАС = Р САД . Для этой теоремы можно составить две обратные : Теорема 1 Теорема 2 Дано : ВД | АС Дано : Р ВАС = Р САД Доказать : АВСД — ромб . Доказать : АВСД — ромб . Легко показать , что каждая из этих теорем несправедлива , приведя хотя бы по одному "контрпримеру " ; Интересен вопрос . А как можно видоизме нить первый чертеж чтобы его можно било использовать одновременно д ля "опровержения " и теоремы 1 и теоремы 2 (Достаточно взять АО =ОС и тогда Р AВД = Р ДВ С . Используя второй способ образования обрат ных теорем , с которым учащиеся ознакомлены при установлении признака прямоугольника . Имеем : Прямая теорема : Дано : АВСД – паралл елограмм , АВ = ВС . Доказать : ВД | АС Обратная теорема : Дано : АВСД – параллелограмм , ВД | АС . Доказать : АВ =ВС Вспоминая уточненное определение ромба , д аем такую формулировку обратной теоремы : "Если в параллелограмме диагонали взаимоперпендикуляр ны , т о этот параллелограмм — ромб ". Схема аналитического рассуждения при от ыскании доказательства этой теоремы . АВСД – ромб АВСД – параллелограмм АВ =ВС АВО = СВО АОВ = СОВ ВД | А С АО = ОС ВО – общая АОВ = СОВ АВСД – параллелограмм ВД | АС Аналогично формулируем второй признак ром ба : "Если в параллелограмме диагональ делит угол пополам , то этот параллелограмм — ромб ". Аналитическое рассуждение проводится ана л огично . Схематическая запись доказательства АВСД — параллелограмм Ю АД II ВС Ю ( Р 1 = Р 3, Р 1 = Р 2) Ю ЮР 2 = Р 3 Ю (АВ =BС , АВСД - параллелограмм ) Ю АВСД — ромб . Обобщая полученные результаты , полезно об ратить внимание школьников на тот факт , чт о равенство ди агоналей не выделяет пр ямоугольник из множества всех четырехугольников , но выделяет его из множества параллелогр аммов , и предложить им самостоятельно сформул ировать аналогичные утверждения (их 2!) для ромб а . Для поверки того , владеют ли учащиеся признакам и параллелограмма , ставим перед ними следующую проблему : Как сформулировать признаки прямоугольника и ромба , основанные на свойствах их диа гоналей , чтобы они выделяли прямоугольник и ромб из множества всех четырехугольников ? П одсказка , если ученики не спр авляются : условие АВСД — параллелограмм , каким требова нием относительно его диагоналей можно замени ть . Получаем признаки : 1. Если в четырехугольнике диагонали ра вны и точкой их пересечения делятся попол ам , то этот четырехугольник — параллелограмм . 2. Если в четырехугольнике диагонали взаимноперпендикулярны и делятся точкой пере сечения пополам , то этот четырехугольник — параллелограмм . 3. Признак формулируем аналогично . Переходя к выяснению признаков квадрата , подчеркиваем , что квадрат является как ч астным случаем прямоугольника , так и р омба и следовательно обладает всеми свойствам и прямоугольника и всеми свойствами ромба . Ставится проблема : выделить комбинации свойств диагоналей , которые выделяли квадрат из м ножества прямоугольников , из множества ро м бов , их множества параллелограммов , из множества четырехугольников . Если ученики осмыслили рассмотренный мат ериал о признаках прямоугольника и ромба , то они легко ответят на поставленные вопр осы и сформулируют следующие признаки квадрат а : Квадратом явл яется : Прямоугольник с взаимно– перпендикулярными д иагоналями, Прямоугольник , у которого диагональ делит угол пополам . Ромб с равными диагоналями . Параллелограмм , у которого диагонали равн ы и взаимно– перпендикулярны. Параллелограмм , у которого диагонали рваны и делят угол пополам . Четырехугольник , у которого диагонали рав ны , взаимно– перпендикулярны и в точке пересе чения делятся пополам . После этого можно перейти к решению задач , требующих применения изученных признаков . Для приведения в систему материа л а по теме "Параллелограмм и его виды» очень хороша задача : «Определить вид четыреху гольника , который получится , если последовательно соединить отрезками прямых середины сторон произвольного четырехугольника» . После доказательства того факта , что п олученн ый четырехугольник будет параллелогра ммом , ставится вопрос : «Каким должен быть исходный четырехугольник , чтобы полученный оказал ся прямоугольником , ромбом , квадратом ?» . 2) Начертим произвольный четырехугольник . 3) Найд ём середины сторон и изобразим схемат ично на чертеже равенство отрезков . 4) Соединим пос ледовательно полученные точки E, F, M, N. Вопрос : к акой четырехугольник получился ? У разных учащихся ответ будет различн ым : параллелограмм , прямоугольник , ромб , квад рат . Учитель обращает внимание на то , что прямоугольник , ромб , квадрат — частн ые виды параллелограмма , поэтому всем придетс я доказывать , что четырехугольник EFMN — паралле лограмм . Дано : АЕ = Е B, BF=FC, СМ =МД , Д N=NА. Доказать : EFMN — параллелограмм. Провод ится анализ : Вопрос : Для того , чтобы доказать , что EFMN — параллелограмм , что достаточно доказать ? Ответ ; параллельность прямых EF и MN, а так же Е N и MF. Вопрос : Как можно доказать ? (или , если не отвечают : Используя какой признак паралл ельности прямых мо жно это доказать ?). Ответ : Первый признак параллельности прям ых т.к . в других признаках участвуют углы , а в условии задачи об углах ничего не сказано . Вопрос : В первом признаке параллельности прямых говорятся о трех прямых . Где в зять третью прямую ? Ответ : Соединить точки А и С . Получим два треугольника — АВС и АДС . Вопрос : Какое соотношение известн о в этих треугольниках ? Или : Чем являются Е F и MN в АВС и АДС ? Ответ ; Е F является сре дней линией АВС , иб о АЕ = FВ и ВГ = FC, а MN является средней линией АДС , т.к . СМ = МД и Д N = NА. Вопрос : Какой признак средней линии мы знаем ? Ответ : Средняя линия параллельна осн ованию . Вопрос : Какой вывод можно сделать о Е F и MN? Ответ : Е F || АС и М N || АС . Значит , по первому признаку параллельности прямых следу ет , что Е F || MN. Аналогично доказывается , что Е N || FM. Проведем так называемый «взгляд назад» и попробуем найти др угое решение , б олее рациональное и короткое . Вопрос : Как еще можно доказать , что четырехугольник EFMN — параллелограмм ? Или : Каким признаком параллелограмма можн о воспользоваться , чтобы доказать , что четырех угольник EFMN — параллелограмм ? Ответ : Воспол ьзоваться признаком пара ллелограмма , который заключается в том , что если в четырехугольнике противоположные сторон ы попарно параллельны и равны , то этот четырехугольник — параллелограмм . Значит надо доказать , что EF || MN и EF = MN. Вопрос : Параллельност ь прямых EF и MN доказывается так , как это было сделано выш е . Как доказать равенство Е F и М N? или : Какое свойство средней линии мы знаем ? Ответ : Так как Е F — средняя линия АВС , то Е F равна половине основания АС ; MN сре дняя линия АДС и М равна половине основания АС . Значит Е F = MN. Это решение является более рациональным и коротким . Теперь надо записать решение задачи . Д ля этого уже используется синтез . АЕ = ЕВ Е F || AC BF = FC EF = 1/2 AC EF || MN EFMN – парал– СМ = МД MN || AC EF = MN лелограмм Д N = NA MN = 1/2 AC В классе всегда есть ученики , которые быстро найдут решение этой задачи . Для организации индивидуальной групповой деятельности более сильным учащимс я можно дать дополнительные задания : Какой вид должен иметь исходный четыр ехугольник , чтобы полученный был а ) прямоугольником ? б ) ромбом ? в ) квадратом ? В этом случае целесообразно подойти к распределению дифференцированно : наиболее сильны м предложить вариант в ), средним — в ариант б ), остальным — а ). Предлагая учащимся задачи с избыточной и неполной информацией , мы воспитываем в них готовность к практической деятельности . Рассматривая изящное решение той или иной математической задачи , мы способствуе м эстетическому воспитанию школьников . Мне хочется привести несколько примеров задач , возникших из рассмотрения шарнирной модели четырехугольника . Убедившись вместе со школьниками в по движности этой модели (не жёстко скрепленной в вершинах ) учитель побуж дает их к выводу , что четыре данные стороны не определяют четырехугольник однозначно , Затем перед учащимися формируется сама задача . Задача 1. Имеется модель шарнирного четырех угольника со сторонами определённой длины . Ка ким способами можно придать «жёст кость» данной модели четырехугольника , если его вершины не могут быть закреплены ? Ответ об основать . В ходе обсуждения этой задачи предлаг аются различные варианты её решения , которые проверяются опытными путями , например , скрепи ть две вершины четырехугольн ика планкой по диагонали , соединить планкой середины двух противоположных сторон и т . д . Убедившись на опыте в разумности сдел анных предложений , учащихся приходят к необхо димости обосновать т от или иней способ «наведения жесткости» . С помощью учителя они приходят к во зможности провести это обоснование , переформулиро вать задачу в виде соответствующей задачи на построение . Роли по заданным элементам можно построить единственную фигуру , то её модель будет жёсткой . Возможность сведения конкретной задачи , о пре делённой на модели , к решению абст рактной геометрической задачи на построение р еализует одну из важнейших воспитывающих функ ций геометрических задач : связь обучения мате матике с жизнью , т.е . показывает реальное п роисхождение математических абстракций . Уч итывая «свойство жесткости» треугол ьника первое из вышеназванных решений обоснов ывается достаточно просто . Однако обоснование второго пути решения задачи не столь очев идно . Возникает уже чисто геометрическая абст рактная задача . Задача 2. Построить 4-х уго льник АВСД , зная длину его сторон и длину отрезк а MN, соединяющего середины сторон АВ и ДС . Допустим , что искомый 4-х угольник АВСД построен (рис . 3а ). Выполним параллельный пе ренос (Д N) стороны ДА и || перенос (CN) стороны СВ , теперь из точки исходят 3 о трезка А 1 N, MN, NВ 1 известной длины. Нетрудно показать , что точка М является серединой АВ 1 . В самом деле , длины отрезков АА 1 и ВВ 1 равны 1/2ДС , а сами о трезки || ДС. Поэтому четырехугольник А 1 АВ 1 В является параллелограммом . Точка М — середина его диаго нали АВ . Поэтому М принадлежит диагонали А 1 В 1 и является ее середино й . Итак , в NA 1 B 1 известны стороны NA 1 , В 1 N и заключённая между ними медиан а . Для того , чтобы построить этот треуголь ник , отметим точку N 1 , симметрично о тносительно М . Очевидн о , |А N| = |В 1 N|. Треугольник N 1 NA 1 можно построить по трем известным сторонам : |NA 1 | = |ДА |, |A 1 N 1 | = |В 1 N| = |CB| и |NM 1 | = 2|NM|. Теперь построим искомый четырехугольник . Делим отрезок N 1 N т очкой М на два конгруэнтных отрезка , строим точку В 1 , симметричную А 1 относительно М . По трем сторонам построим треугольники А 1 МА и МВВ 1 . Перенеся отрезок А 1 А на вектор А 1 N, а отрезок ВВ 1 на вектор В 1 N, поду чим все четыре вершины искомого 4-х угольн ика АВСД . Нетрудно показать единственност ь решения задачи . Усилению развивающих функций задачи спосо бствует последующая постановка задач-аналогов , при решении которых используется некоторый (один и тот же ) прием , основанный на примене нии определённого метода . Так как паралл ельный перенос элементов фигуры (АС ) приводит к построению вспомогательного четырехугольника СВВ 1 Д 1 с весьма интересными с войствами . Например , 4- х угольник ДД 1 В 1 В — параллелограмм , стороны которого конгруэнтны диагоналям 4-х угольника АВСД, в углы конгруэнтны углами между этими диагоналями ; д лины диагоналей ДД 1 В 1 В вдвое больше длин отрезков , соединяющих середины противоположных сторон АВСД ; расстояния от то чки С до вершин этого параллелограмма рав ны соответственно длинам сторон 4-х угольника АВСД и т.д . Многие в этих свойств позволяют решит ь задачи , аналогичные исходной , создают услови я для распространения определенного приема на целый класс задач , способствуя , т.о ., формир ованию у учащихся способностей к об об щению (через анализ ). Таковы , например , следующие задачи : Задача 3. В четырехугольнике АВСД известны длина отрезка М , соединяющего середины ст орон АВ и СД , длина диагонали АС и длины сторон АВ , ВС и АД . Является ли данная фигура жесткой ? Задача 4. Пос троить трапецию АВСД п о данным диагоналям АС , ВД , стороне АД и отрезу М N, соединяющему середины её осно ваний . Рассмотрение этого примера показывает , ка к достаточно широко можно использовать обучаю щие , развивающие и воспитывающие функции зада ч в их единств е . В самом деле , в ходе решения этих задач используются ра зличные свойства геометрических фигур , активно работает метод параллельного переноса и пр ием построения вспомогательной фигуры с весьм а интересными свойствами , тесно связанными со свойствами заданн о й (искомой ) фиг уры (реализуются различные развивающие функции ), задача легко моделируется (дотекает опытные решения ), возбуждает интерес школьников (реализу ются воспитывающие функции ). Задача такова , что может служить источником разнообразных анало гичных задач , многие из которых ка к показал опыт , успешно составляются самими школьниками , что способствует формированию у них творческой активности . Опыт показывает , что успешность в реал изации воспитывающих функций математических зада ч во многом определяется п робуждением у учащихся интереса к данной задаче , во зникновением у них устойчивой потребности в её решении , наличием интереса к самому процессу решения задач на основе последнег о часто возбуждается и формируется интерес учащихся к изучению самой математики и смежных учебных дисциплин , интерес к учению в целом . Факторы , существенно влияющие на формирование у учащихся устойчивого интереса к решению математических задач , весьма ра знообразны . К ним , например , относится доступно сть предложенной задачи , внешняя и ли в нутренняя занимательность задачи , осознанная возм ожность проявить при этом творческую самостоя тельность . Глава III. Описание и результаты эксперимента. Эксперимент п роводится в СШ № 46 (гимназия № 4) под руководством Баязит овой Л.Ш . в 8 б и 8 г . Перед проведением уроков по о бобщающему повторению в обоих классах была проведена самостоятельная работа с целью у знать их уровень знаний . Проверочная самостоятельная работа. Через точку пересечения диагоналей паралл елограмма ABCD пр о ведена прямая , пересекающая стороны AD и BC в точках Е и F соотв етственно . Найдите стороны параллелограмма , если его периметр равен 28 см , АЕ = 5 см , В F = 3 см . [ 1. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в т . М лежащей на стороне ВС . Най дите стороны па раллелограмма , если его периметр равен 36 см .] Найдите меньшую боковую сторону прямоугол ьной трапеции , основания которой равны 10 см и 6 см , а один из углов 45 о [2 . Найдите боковую сторону равнобедрен ной трапеции , основания которой равны 12 с м и 6 см , а один из углов 60 о ] Самостоятельная показала , что знания у учеников в обоих классах разрозненные , реша ют задания очень медленно . Оценки по самос тоятельной работе низкие . (Это показано на графике .) После самостоятельной работы , используя т аблицу темы : «Четырехугольники» , которая приведена в методическом пособии по геометрии (Гудв ин и Гангнус ч .1). Перед учащимися можно поставить ряд вопросов , ответы на которые ученики не найду т в готовой форме в учебнике , а должны поработать головой , чтобы дать их . Приведём некоторые вопросы , которые ставя тся нами перед учащимися : Как из равнобедренной трапеции получить квадрат ? Какие дополнительные условия необхо димы для этого ? Ответ учащихся : равенство боковых сторон сохранится . В равноб едренной трапеции боковые стороны сделаем пер пендикулярными к основаниям трапеции . Тогда п олучим пр ямоугольник . Так как в квадра те смежные стороны равны , то в полученном прямоугольнике смежные стороны сделаем равны ми , получим искомый квадрат . Как из параллелограмма получить квадрат ? Как трапецию обратить в ромб ? Являясь параллелограммом , ромб имеет свои обычные свойства . Перечислите их . Тоже о квадрате . Перечислите , какими свойствами параллелограмм а обладает ромб ? Квадрат ? Прямоугольник ? И т.д . Наряду с использованием указанной таблицы перед учащимися были поставлены вопросы : в каком четырехугольн ике : Диагональ делит его на два равных треугольника ? Диагонали пересекаются в одной точке и делятся пополам ? Диагонали являются биссектрисами внутренних углов ? Диагонали взаимно перпендикулярны ? Диагонали служат осями симметрии ? Учащиеся должны были дать не то лько ответы на вопросы , но каждый ответ обосновать , ссылаясь на изученные теоремы . Ответ считали малоценным , если он пер ечислял без системы отдельные виды четырехуго льников , в которых диагонали обладают требуем ым свойством . Так если на вопрос : « В каких четырехугольниках диагонали пересекаясь делятся пополам ? » Ученик отвечал : «Диагонали , пересекаются в одной точке , делятся пополам в параллело грамме , ромбе , квадрате » . Не перебивая его давали возможность у ченику высказаться , но по окончанию отве та ставили вопрос : «Следует ли для ответа на поставленный вопрос перечислять все в иды четырехугольников ? Нельзя ли дать полный и исчерпывающий ответ , но в более кор откой формулировке ? » Если ученик затрудняется ответить на эти вопросы , перед ним став ились допо лнительные вопросы : «Является ли прямоугольник параллелограммом ? Почему ?» Подобные вопросы ставились и по отнош ению к ромбу и квадрату . Следовательно , можно ли утверждать , что прямоугольник , квадрат , ромб — есть параллелогр амм ? После этого учащимся не составляло затруднений дать такой ответ : «Диагонали , пересекаются и точкой пересеч ения делятся пополам в параллелограммах». Если учащихся давали сразу исчерпывающ ий ответ и при том в краткой форме , мы давали дополнительные вопросы с целью выя снить , на сколько сознательно усвоен материал . Так если на вопрос : «В каком четыр ехугольнике диагональ делит его на два ра вных треугольника ?» Следовал ответ : «Диагональ делит четыреху гольник на два равных треугольника в том случае , если он параллелограмм» , то ученику ставился вопрос : «А в прямоугольнике , квадрате , ромбе диагональ не обладает те м же свойством ?» «Прямоугольник , квадрат , ромб — это п араллелограммы , но каждый с особыми свойствам и . Поэтому , когда говорил о параллелограмме , говорил и о них» , — о твечал уч еник . Подобные ответы мы считали наиболее ц енными , так как они показывают , что ученик действительно поработал сам над данным е му заданием , что материал не зазубрил , а усвоил сознательно . Однако таких ответов было очень мало . Тогда в одном из кла ссов (8 б ) было проведено обоб щающее повторение . А в 8 г была пройдена тема «четырехугольник и» и закреплена . После всего этого была проведена контрольная работа. Контрольная работа . (1ч .) Диагонали прямоугольника АВСД пересекаются в точке О . Найдите угол между диа гоналями , если АВО = 30 о [1. Диагонали ромба КМНР пересекаются в точке О . Найдите углы треугольника КОМ , если угол МНР = 80 о ]. В параллелограмме КМНР проведена биссектр иса угла МКР , которая пересекает сторону М Н в точке Е . а ) Докажите , что треуг ольник КМЕ равнобедренный . б ) Найдите сторону КР , если МЕ = 10 см , а периметр параллелограмма = 52 см . [2. На стор оне ВС параллелограмма АВСД взята точка М так , что АВ =ВМ . а ) Докажите , что АМ — биссектриса угла ВАД . б ) Найдите пе риметр параллелограмма , ес ли СД =8 см , а СМ = 4 см ]. Результаты контрольной работы мож но показать диаграммой. Проведённый эксперимент показывает , что к ласс , в котором было проведено обобщающе е повторение , легко работает с материалом , быстро решает задачи , может ответить на л юбой дополнительный вопрос , пояснить , что и как решается , обосновать свой ответ . Эффективность обобщающего повторения заметна сразу . ЗАКЛЮЧЕН ИЕ Прочное усвоен ие знаний является главной задачей процесса обучения , это очень сложный процесс . В него входят восприятие учебного материала , его запоминание и осмысливание , а также во зможность использования этих зн аний в различных условиях . 1. Преподавание математики не может стоят ь на должном уровне , а знания учащихся не будут достаточно полными и прочными , если в работе учителя отсутствует система повторительно-обобщающих уроков . Это объясняется психологическими особенностями процесса познания и свой ств памяти . Только постоянное в определенной системе осуществляемое включение новых знани й в систему прежних знаний может обеспечи ть достаточно высокое качество усвоения предм ета . Только через повторение можно приход и ть к логическим выводам . Без повторения невозможно , раскрыть сущность вещей и явлений , их развитие . Не даром говорят : «Повторение — мать учения» . 2. Повторение математики необходимо как д ля учащихся с целью углубления , упрочнены и систематизации своих зна ния , так и для самого учителя в чётности совершенст вование методов обучения и поднятия эффективн ости своей работы . 3. Повторение математики должно систематичес ки проводиться на уроках , органически сочетая сь с основным содержанием урока . При сообщении нов ого материала од новременно надо повторять ранее изучаемый мат ериал . Учащиеся должны чувствовать потребность к повторений . Это достигается тем , что п ри изучении нового материала учитель сравнива ет его , сопоставляет со старым , устанавливает аналогии между н и ми , проводит обобщение , углубление и систематизацию . 4. Перед началом учебного года или че тверти необходимо тщательно спланировать материа л для повторения , указать виды повторения , через которое оно может проводится , т.е . ус танавливается , какой материал б удет прово дится параллельно с изучением новой темы и какой на специально отведенных уроках п овторения . 5. Необходимо систематически практиковать те кущее повторение . Необходимо и тематическое п овторение по окончании темы , заключительное — по окончании разд ела , курса в ц елом , на которых устанавливаются более широкие логические связи между темами и разделами , подчеркиваются те основные и ведущие идеи , которые лежат в основе данной учебной дисциплины . 6. Для повышения интереса и активности учащихся при повтор ении необходимо при менять различные приемы и методы работы , р азнообразить повторяемый материал , старый материа л рассмотреть с новых точек зрения , устана вливать все новые и новые логические связ и , стимулировать самостоятельную работу учащихся . Только таким путём можно устранить то противоречие , которое возникает , с одн ой стороны , ввиду отсутствия желания у час ти учащихся повторять то , что ими усвоено однажды , а с другой в силу необходимо сти повторять с целью углубления , обобщения и систематизации ранее изу ч енного материала . 7. Необходима хорошо продуманная теоретическ ая и практически обоснованная система повторе ния , которая должна обеспечить высокое качест во и прочность знаний учащихся . Только в этом случае преподаватель достигает тех целей , которые он прес ледует повторением. 8. Необходимо тщательно проанализировать тео рию и практику повторения с целью установ ления положительных и отрицательных сторон ра боты школ при повторении . Повторение учебного материала требует от учителя творческой работы . Он должен о беспечить четкую связь между видами п овторения , осуществить глубоко продуманную систем у повторения . Овладеть искусством организации повторения — такова задача учителя , от её решения во многом зависит прочность знаний учащи хся . БИБЛИОГР АФ ИЯ Аракелян О.А . «Некоторые вопросы повторения математики в средней школе» М . Учпедгиз , 1960. Басова Л.А ., Шубин М.А ., Эпштейн Л.А . Л екции и задачи по математике : из опыта работы летней физико– математической школы в Карелии . М . 1981. Беляев Е .А ., Киселёва Н.А ., Перминов В.Я . Некоторые особенности развития математич еского знания . М . 1975. Бескин Н.М . «Методика геометрии» . Учебник для педагогических институтов . Учпедгиз . 1947. Библиотека учителя математики . Преподавание геометрии в 6-8 клас сах . Сборник статей составитель В.А . Гусев . Москва "Просвещение " 1979. Богоявленский Д.Н ., Менчинская Н.М . Психолог ия усвоения знаний в школе . М ., 1959. Глейзер . История математики в школе (4 – 6 кл .). М . «Просвещение» , 1981. Жуков Н.И . Философские про блемы ма тематики . Минск , 1977. Кабанова– Меллер Е.Н . Психология формирования знаний и навыков . М . 1962. Карри Х.Б . Основания математической логики . М . 1969. Кедровский О.И . Методологические проблемы разв ития математического познания . Киев , 1977. Кудрявц ев Л.Д . Современная математика и её преподавание . М. 1981. Менчинская А.А . Психологические вопросы ра звивающего обучения и новые программы . «Совет ская педагогика» , 1968. Методика преподавания математики в средне й школе : Общая методика /Ю.М . Колягин и др. — М . Просвещение , 1980. Методика преподавания математики . Составители : Р.С . Черкасов , А.А . Столяр. Молодший В.Н . Очерки по философским во просам математики . М . 1969. Моноезон Е.И . Методика и результаты из учения знаний учащихся . «Советская педагогика» , 1 962. Петров Ю.Н . Философские проблемы математик и . М . 1973. Поба Д . Математика и правдоподобные ра ссуждения . М . 1975. Проверочные задания по математике для учащихся 5 – 8 и 10 классов средней школы . М . «Просвещение» 1992. Реньи А . Диалоги о математике . М. 1969. Рузавин Г.И . О природе математического знания . М . 1968. Славков С . Аспекты на математические п ознания . София . 1971. Срода Р.Б . "Повторение на уроках матема тики ". Издательство газеты "Волга " Астрахань , 1950. Школьный факультатив по математике. Межвузовский сборник . Издательство Саратовского п едагогического института 1993. Эрдниев П.М . Обучать математике активно , творчески , экономно . «Народное образование» , 1962. Эрдниев П.М . Сравнение и обобщение при обучении математике , М . Учпедгиз , 1960. Ф ёдоров И.Г . Некоторые методологически е проблемы математики . М . 1975.