СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, ЕЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Содержание
Введение …………………………………………………………………………. 3
Математическое ожидание дискретной случайной величины …..…………… 6
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение …………………………... 14
Ковариация и коэффициент корреляции ……………………………………... 21
Заключение …………………………………………………………………….. 28
Список литературы …………………………………………………………….. 30

Моментом второго порядка величины относительно точки называется момент второго порядка разности
(*)
Очевидно, что
Смешанным моментом второго порядка скалярных случайных величин и называется математическое ожидание произведения первой величины и сопряженной второй:
Центральным смешанным моментом второго порядка величин и называется смешанный второй момент центрированных случайных величин и , т.е. ковариация величин и .
Смешанным моментом второго порядка величин и относительно точек и называется смешанный второй момент разностей и
(**)
Ясно, что
Подставив в и и пользуясь свойствами математических ожиданий, получим выражения моментов второго порядка через математические ожидания и центральные моменты второго порядка:
Аналогично из (*) и (**) получаем
Таким образом, все моменты второго порядка выражаются через математические ожидания случайных величин и их центральные моменты второго порядка.
Формула показывает, что дисперсия случайной величины представляет собой наименьший из всех ее моментов второго порядка.
Момент второго порядка случайных векторов, ковариационная матрица, корреляционная матрица
Моментом второго порядка (вторым моментом) случайного вектора называется матрица вторых моментов всех его координат:

Момент второго порядка центрированного случайного вектора называется ковариационной матрицей случайного вектора

Представив вектор в форме матрицы-столбца, можем переписать определения второго момента и ковариационной матрицы случайного вектора в виде

где звездочка означает операцию транспонирования матрицы с заменой всех ее комплексных элементов соответствующими сопряженными числами.
Матрица, элементами которой служат коэффициенты корреляции координат случайного вектора называется его корреляционной матрицей:

Подставив в формулу и пользуясь свойствами математических ожиданий, получаем соотношение между моментом второго порядка, ковариационной матрицей и математическим ожиданием случайного вектора:
Взаимный момент второго порядка и взаимная ковариационная матрица
Взаимным моментом второго порядка (вторым моментом) двух случайных векторов и назовем матрицу (в общем случае прямоугольную)
Взаимной ковариационной матрицей или ковариацией случайных векторов и назовем взаимный момент второго порядка соответствующих центрированных случайных векторов и
Взаимный момент второго порядка, ковариационная матрица и математические ожидания векторов и связаны соотношением:
Случайные векторы и называются коррелированными, если , и некоррелированными, если Из этого определения следует, что векторы и не коррелированы тогда и только тогда, когда каждая координата одного из них не коррелирована со всеми координатами другого.
Заключение
Теория вероятностей является мощным инструментом исследования, и поэтому она находит большое число самых разнообразных применений в различных областях науки и инженерной практики. Области ее применения непрерывно расширяются. В прошлом веке теория вероятностей получила применение в теории измерений, в теории стрельбы и в физике. В нашем веке она постепенно проникла в аэродинамику и гидродинамику, радиотехнику, теорию управления, динамику полета, теорию связи, строительную механику, теорию механизмов и машин, теорию волнения моря и качки кораблей, метеорологию и во многие другие области знания. Сейчас трудно назвать отрасль науки, которая не пользовалась бы вероятностными методами. В современной теории процессов управления, в теоретической радиотехнике теория вероятностей стала основным инструментом исследований. Вся теория современных сложных систем и процессов управления основана на применении статистических методов. Теория вероятностей служит фундаментом для теории надежности технических систем и для многих других прикладных научных теорий. Этот процесс непрерывного расширения областей применения теории вероятностей вполне естествен и легко объясняется. Дело в том, что в начале развития каждой отрасли науки человек стремится открыть основные законы этой науки и ему достаточно довольно грубого совпадения результатов расчета с данными опытов. Кроме того, техника эксперимента на начальной стадии несовершенна и не может обеспечить высокую точность измерений. По мере развития науки требования к точности расчетов повышаются, техника эксперимента совершенствуется, и случайные явления, которыми можно было пренебрегать в начале развития данной отрасли науки, начинают играть все более и более значительную роль. В результате старая теория начинает во многом расходиться с экспериментальными данными и возникает необходимость обратиться к теории вероятностей. Теория вероятностей во всех таких случаях неизменно дает новую теорию, более точно описывающую изучаемые явления и обеспечивающую совпадение результатов теоретических расчетов с экспериментальными данными. Так случилось в начале тридцатых годов с теорией турбулентности в аэродинамике и в сороковых годах с теорией автоматического управления и радиотехникой, а потом и с другими прикладными научными теориями. Особенность вероятностных методов состоит в том, что они рассматривают исследуемое явление в целом, изучают результаты совокупного действия всех причинных связей, которые невозможно проследить по отдельности.
Список литературы
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика.-М.: Физматлит, 2002.
Хохлов Ю.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Ч./М-во общ. И проф. Образован. РФ; ТГУ. Тверь:[ТГУ], 1997.
Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., «Наука», 1969.
Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. М., «Наука», 1969.
Ермаков В.А. Теория вероятностей и математическая статистика:–М.: Инфа – М, 2008.
Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В., Сиротин А.И. Теория вероятностей и математическая статистика. – М. Физматлит, 2002.
Гнеденко Б.В. Курс теории вероятности – М.: Наука, 1986.
Розанов Ю.А. Лекции по теории вероятностей – М.: Наука, Гл. ред. Физю-мат. Лит., 1986.
Захаров В.К., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Теория вероятностей – М.: Наука, 1983.
Солодовников А.С. Теория вероятностей:/ – М. Просвещение, 1983.
Контрольная работа
Задача №2
Дано:
,
Искомая вероятность равна сумме вероятностей 4-х событий:
{неуспевающий был вызван первым из 4-х}
{неуспевающий был вызван вторым из 4-х}
{неуспевающий был вызван третьим из 4-х}
{неуспевающий был вызван четвертым из 4-х}
Соответствующие вероятности:
и так далее. Очевидно, что . Искомая вероятность:
Задача №12
Дано:
, ,
Введем следующие события:
{1-я винтовка поразила мишень}
{2-я винтовка поразила мишень}
{пистолет поразил мишень}
Противоположные события (промахи) обозначим как , и соответственно для 1-й и 2-й винтовок и пистолета.
Вероятность того, что в залпе мишень будет поражена равна «единица минус вероятность того, что мишень не будет поражена»:
Задача №22
Дано:
, ,
, ,
Полное число событий:
Введем события:
{выбранный спортсмен – лыжник}
{квалификационная норма выполнена}
Искомую условную вероятность найдем, используя известную формулу Байеса:
Безусловная вероятность того, что выбранный спортсмен – лыжник:
Безусловная вероятность того, что квалификационная норма выполнена:
Наконец, условная вероятность . Искомая вероятность:
Задача №32
Дано:
–5 –4 –3 0 2 0.1 0.2 0.1 0.1 0.5
Математическое ожидание :
Дисперсия :
Имеем:
откуда
Среднее квадратическое отклонение :
Задача №42
Дано:
, , ,
Вероятность того, что в результате испытания с.в. примет значение в интервале :
где функция Лапласа:
В нашем случае:
,
Пользуясь свойством и таблицей значений функции Лапласа, находим:
31