Методы низкочастотной фильтрации

Содержание
Введение 3
1. Применение фильтров низких частот 5
2. Методы низкочастотной фильтрации 6
2.1 Метод наименьших квадратов 6
2.2 Метод весовых функций 10
Заключение 18
Список литературы 20

Рисунок 2.2.5. 257-точечное окно Кайзера.

Рисунок 2.2.6. Частотная характеристика окна Кайзера.
На рисунках 2.2.7, 2.2.9 и 2.2.11 показаны результирующие импульсные и переходные характеристики, а на рисунках 2.2.8, 2.2.10 и 2.2.12 — полученные частотные характеристики фильтра. Проектируемый идеальный фильтр нижних частот имеет коэффициенты ряда Фурье (т. е. отсчеты импульсной характеристики) вида
                   (2.2.1)
(во всех трех примерах ). На рисунке 2.2.7 представлен результат умножения  на прямоугольное окно. Видно, что характерный вид импульсной характеристики фильтра (2.2.1) сохранился. Использование окон Хэмминга и Кайзера (рисунки 2.2.9 и 2.2.11) приводит к ослаблению далеко отстоящих членов . На рисунке 2.2.8 показана частотная характеристика фильтра нижних частот для случая прямоугольного окна. Отчетливо наблюдается эффект Гиббса, причем максимум первого бокового лепестка равен 0,09 (или —21 дБ). Переходная полоса имеет ширину 0,9375/N (N=257) и является в данном случае очень узкой. Однако из-за больших пульсаций, связанных с явлением Гиббса, для многих приложений этот фильтр непригоден.
Рисунок 2.2.7. Импульсная и переходная характеристики фильтра нижних частот с прямоугольным окном.
На рисунке 2.2.10 показана частотная характеристика фильтра нижних частот с окном Хэмминга. Для этого фильтра максимум амплитуды пульсаций в полосе пропускания составляет около 0,0018, а в полосе непропускания — 0,002 (или —53,6 дБ). Ширина переходной полосы равна 3,3125/N, т. е. она более чем в три раза больше ширины переходной полосы для прямоугольного окна. Наконец, для фильтра нижних частот с окном Кайзера максимум амплитуды пульсаций в полосах пропускания и непропускания составляет 0,0001, или — 80 дБ (для обеих полос), а ширина переходной полосы равна 5,06/N.
Рисунок 2.2.8. Частотная характеристика фильтра нижних частот с прямоугольным окном.
Таким образом, для улучшения аппроксимации идеального фильтра нижних частот приходится увеличивать ширину переходной полосы с тем, чтобы уменьшить максимальное значение ошибки аппроксимации (пульсаций). Для окна Кайзера, как уже было сказано выше, параметр  позволяет разработчику находить компромиссное решение для ширины переходной полосы  и максимального уровня пульсаций.
Рисунок 2.2.9. Импульсная и переходная характеристики фильтра нижних частот с окном Хэмминга.
Рисунок 2.2.10. Частотная характеристика фильтра нижних частот с окном Хэмминга.
Рисунок 2.2.11. Импульсная и переходная характеристики фильтра нижних частот с окном Кайзера.
 
Рисунок 2.2.12. Частотная характеристика фильтра нижних частот с окном Кайзера.
Заключение
Итак, низкочастотная фильтрация применяется в областях, связанных с обработкой сигналов, изображений и т.д. Низкочастотная фильтрация успешно применяется для устранения шумов в исходных данных.
Простая низкочастотная аналоговая фильтрация с использованием RС-звеньев равнозначна установке точки 3 дБ намного ниже тактовой частоты (например, ниже 1% fтакт). Для того чтобы использовать часть спектра более близкую к тактовой частоте, желательно применить фильтры с более крутым срезом, например фильтры Баттерворта или Чебышева. В этом случае плоскость результирующего спектра будет определяться параметрами фильтра, которые должны быть измерены, поскольку отклонения в параметрах могут вызывать колебания коэффициента передачи в полосе пропускания. С другой стороны, если требуется точное значение напряжения шума на Гц-1/2, то необходимо измерить реальный коэффициент передачи фильтра по напряжению.
Аналоговая фильтрация имеет ряд недостатков. Если тактовая частота изменяется в несколько раз, то необходима подстройка частоты среза фильтра. В случае необходимости, наилучшее решение дает цифровая фильтрация, осуществляемая с помощью взвешенной аналоговой суммы последовательных выходных разрядов (нерекурсивная цифровая фильтрация). С ее помощью эффективная частота среза подстраивается под изменение тактовой частоты. Также, цифровая фильтрация дает возможность спуститься до предельно низких частот среза (доли герца), где выполнение аналоговой фильтрация становится фактически невозможным.
Осуществить взвешенное суммирование одновременно нескольких последовательных выходных разрядов, можно воспользовавшись различными параллельными выходами разрядов регистра сдвига и использовав резисторы различного номинала, которые подключены к суммирующей точке операционного усилителя. Для НЧ-фильтра весовые коэффициенты должны быть пропорциональны (sinx/x). Потребуется инвертирование некоторых уровней, так как весовые коэффициенты могут быть обоих знаков. В схеме не используются конденсаторы, поэтому выходной сигнал будет включать в себя несколько дискретных уровней выходного напряжения.
Использование весовой функция для большого числа разрядов последовательности, позволяет улучшить приближение к гауссову шуму. В этом случае аналоговый выходной сигнал приобретает вид непрерывного сигнала.
Список литературы
Гутников В.С. Фильтрация измерительных сигналов. – Л.: Энергоатомиздат, 1990. – 192 с.
Адаптивные фильтры. /Под ред. К.Ф.Н.Коуэна и П.М.Гранта. – М.: Мир, 1988, 392 с.
Искусство схемотехники. Хоровиц и Хилл. Том 1. – М.: Мир,1986, 300с.
Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: В 2-х томах. - М.: Мир, 1983.
Хемминг Р.В. Цифровые фильтры. – М.: Недра, 1987. – 221 с.
20