Прохождение информационного сигнала и шума через фильтр нижних частот

Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1. Тема курсовой работы и исходные данные для ее выполнения . . . . . . . 4
2. Расчет характеристик фильтра нижних частот . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3. Графики АЧХ ФНЧ фильтра нижних частот. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4. Амплитудный и фазовый спектры импульсной последовательности на входе ФНЧ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
5. Максимальная мощность импульсной последовательности и отношение сигнал-шум на входе ФНЧ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
6. Спектральная плотность мощности процесса на выходе ФНЧ. . . . . . . . 10
7. Дисперсия, функция корреляции, коэффициент корреляции, интервал корреляции процесса на выходе ФНЧ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
8. Графики одномерных плотности вероятности и функции распределения процесса на выходе ФНЧ, график его коэффициента корреляции. .
15
9. Амплитудный и фазовый спектры импульсной последовательности на выходе ФНЧ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
10. Максимальная средняя мощность информационного сигнала и отношение сигнал-шум на выходе ФНЧ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
11. Анализ идеального ФНЧ с частотой среза, определяемой по АЧХ реального ФНЧ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
12. Анализ ФНЧ, состоящего из двух одинаковых последовательных RC-звеньев. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Выводы по работе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Поскольку ФНЧ - линейная цепь, то его выходной сигнал будет иметь то же распределение. Одномерная плотность вероятности сигнала определяется по формуле:
. (77)
График функции приведен на рис.14.
Рис.14
Функция распределения процесса определяется интегралом вероятности:
. (78)
График функции приведен на рис.15.
Рис.15
12. Анализ ФНЧ, состоящего из двух одинаковых
последовательных RC-звеньев
12.1. АЧХ и ФЧХ двухзвенного ФНЧ
Схема двухзвенного ФНЧ приведена на рис.16.
Рис.16
Между звеньями включен идеальный повторитель напряжения ИПН,
Частотный коэффициент передачи двухзвенного ФНЧ описывается формулой:
. (79)
АЧХ описывается формулой:
. (80)
12.2. Спектральная плотность мощности процесса на выходе двухзвенного ФНЧ и ее график (задание согласно п.п. 6.5 [3]).
Спектральная плотность мощности выходного сигнала определяется формулой:
, (81)
или как функция дискретной переменной :
. (82)
На рис.17 приведен график спектральной плотности мощности выходного сигнала как функция дискретной переменной .
Рис.17
Т.к. больше, чем остальные гармоники, масштаб графика увеличен.
Спектральная плотность мощности выходного сигнала (белого шума) определяется формулой:
, (83)
где - односторонняя спектральная плотность белого шума.
На рис.18 приведен график спектральной плотности мощности выходного сигнала согласно (83).
Рис.18
Учитывая, что , спектральная плотность мощности сигнала на выходе двухзвенного фильтра определяется спектральной плотность мощности полезного сигнала.
12.3. Дисперсия, функция корреляции, коэффициент корреляции, интервал корреляции процесса на выходе двухзвенного ФНЧ (задание согласно п.п. 6.6 [3]).
Выходной сигнал представляет собой сумму полезного сигнала и шума :
. (84)
Функция корреляции выходного процесса описывается формулой:
. (85)
где - спектральная плотность мощности входного сигнала, которая представляет собой сумму спектральных плотностей мощности полезного сигнала и шума .
, (86)
где - функции корреляции полезного сигнала и шума на выходе двухзвенного ФНЧ:
; (87)
. (88)
Вычислим функцию корреляции полезного сигнала на выходе двухзвенного ФНЧ.
; (89)
Спектральная плотность мощности периодического сигнала на входе двухзвенного ФНЧ определяется формулой:
, (90)
или как функция дискретной переменной :
, (91)
где - максимальный номер гармоники, учитываемый в (91). При 100 значение .
Поэтому
. (92)
Представим интеграл как
. (93)
Интеграл вида (93) сводится к интегралу вида
.(93)
Тогда
. (94)
График функции корреляции приведен на рис.19.
Рис.19
Вычислим функцию корреляции шумового сигнала на выходе двухзвенного ФНЧ.
. (95)
Используя предыдущее, можно записать:
. (96)
Дисперсию процессов , определяем как значение функции корреляции в нуле:
. (97)
. (98)
Учитывая, что , то дисперсия выходного сигнала определяется дисперсией полезного сигнала.
12.4. Графики одномерной плотности вероятности и функции распределения процесса на выходе двухзвенного ФНЧ (задание согласно п.п. 6.7 [3]).
Входной сигнал имеет гауссово распределение. Поскольку ФНЧ - линейная цепь, то его выходной сигнал будет иметь то же распределение. Одномерная плотность вероятности сигнала определяется по формуле:
. (99)
График функции приведен на рис.20.
Рис.20
12.5. Амплитудный и фазовый спектры импульсной последовательности на выходе двухзвенного ФНЧ (задание согласно п.п. 6.8 [3]).
Для определения амплитудного и фазового спектра выходного сигнала можно воспользоваться частотным методом.
Амплитудный спектр выходного напряжения описывается формулой:
. (100)
Фазовый спектр выходного напряжения описывается формулой:
. (101)
Поскольку и амплитудный, и вазовый спектры входного напряжения – линейчатые, то и спектры выходного напряжения также будут линейчатые. Поэтому их удобно представить как функция дискретной переменной :
функция дискретной переменной :
, (102)
или
. (103)
. (104)
На рис.21 приведен график амплитудного спектра импульсной последовательности для значений до . Для наглядности масштаб графика увеличен.
Рис.21
12.6. Максимальная мощность информационного сигнала и отношение сигнал-шум на выходе двухзвенного ФНЧ (задание согласно п.п. 6.9 [3]).
Средняя мощность информационного сигнала определяется формулой:
, (105)
или как функция дискретной переменной :
. (106)
Как показали вычисления, проведенные в MathCad, при 100 значение 21,78 (В2). Дальнейшее увеличение незначительно увеличивает .
Дисперсия выходного шума определена ранее в (98).
Отношение сигнал/шум на выходе ФНЧ определяется формулой:
. (107)
Выводы по работе
В работе проанализировано прохождение сигнала и шума через три типа ФНЧ: RC-фильтр нижних частот; идеальный фильтр нижних частот (с частотой среза, равной частоте среза RC-фильтра); двухзвенный RC-фильтр нижних частот (последовательно соединенные два RC-фильтра).
Для каждого из фильтров получены аналитические выражения АЧХ и построены их графики. Рассчитаны и построены графики амплитудного спектра. Рассчитана мощность импульсной последовательности на выходе каждого из фильтров и определен коэффициент шума на выходе.
Минимальное значение коэффициента шума обеспечивает идеальный ФНЧ. Однако такой фильтр физически не реализуем. Чем выше порядок фильтра – тем ближе его АЧХ к АЧХ идеального фильтра. Поэтому двухзвенный RC-фильтр обеспечивает меньший коэффициент шума по сравнению с простым RC-фильтром.

ЛИТЕРАТУРА
1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: учебник для вузов: рек. М-вом образования РФ / Баскаков С. И. - 5-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2005. - 462 с.
2. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: руководство к решению задач : учеб. пособие : рек. М-вом образования РФ / Баскаков С.И. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2002. – 214 с.
3. Булгаков О.М. Радиотехнические цепи и сигналы: Методические рекомендации / О.М. Булгаков, В.П. Удалов. - Воронеж: Воронежский институт МВД России, 2013. - 64 с.
4. Гоноровский С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. пособие для вузов / С.И. Гоноровский. – 5-е изд. – М.: Дрофа, 2006. – 719 с.
2