курсовая

Оглавление
Введение 3
1. Нелинейное программирование 4
1.1. Общая нелинейная задача математического программирования 4
1.2. Методы решения НЗМП 5
Практическая часть 12
Задача 5 12
Задача 6 14
Задача 11 17
Задача 12 21
Задача 13 33
Задача 14 35
Задача 15 37
Заключение 39
Список литературы 40
Приложение. Решение задачи линейного программирования 41

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса. БазисBx1x2x3x4x5x23/2501-1/502/25x4-4/2500-12/5114/25x11/51000-1/5F(X1)8/2500-1/50-3/25Представим расчет каждого элемента в виде таблицы: Bx 1x 2x 3x 4x 51/5-(-1 • 2/5):-52/5-(-5 • 2/5):-51-(0 • 2/5):-5-1/5-(0 • 2/5):-50-(0 • 2/5):-50-(1 • 2/5):-52/5-(-1 • 24/5):-524/5-(-5 • 24/5):-50-(0 • 24/5):-5-12/5-(0 • 24/5):-51-(0 • 24/5):-50-(1 • 24/5):-5-1 : -5-5 : -50 : -50 : -50 : -51 : -51/5-(-1 • -3/5):-5-3/5-(-5 • -3/5):-50-(0 • -3/5):-5-1/5-(0 • -3/5):-50-(0 • -3/5):-50-(1 • -3/5):-51. Проверкакритерияоптимальности. План 2 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец. 2. Определение новой свободной переменной. Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю. Ведущей будет 2-ая строка, а переменную x4 следует вывести из базиса. 3. Определение новой базисной переменной. Минимальное значение θ соответствует 3-му столбцу, т.е. переменную x3 необходимо ввести в базис. На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-12/5). БазисBx1x2x3x4x5x23/2501-1/502/25x4-4/2500-12/5114/25x11/51000-1/5F(X0)8/2500-1/50-3/25θ0 - - -1/5 : (-12/5) = 1/7 - - 4. Пересчетсимплекс-таблицы. Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса. БазисBx1x2x3x4x5x21/7010-1/70x34/35001-5/7-2/5x11/51000-1/5F(X2)12/35000-1/7-1/5Представим расчет каждого элемента в виде таблицы: Bx 1x 2x 3x 4x 53/25-(-4/25 • -1/5):-12/50-(0 • -1/5):-12/51-(0 • -1/5):-12/5-1/5-(-12/5 • -1/5):-12/50-(1 • -1/5):-12/52/25-(14/25 • -1/5):-12/5-4/25 : -12/50 : -12/50 : -12/5-12/5 : -12/51 : -12/514/25 : -12/51/5-(-4/25 • 0):-12/51-(0 • 0):-12/50-(0 • 0):-12/50-(-12/5 • 0):-12/50-(1 • 0):-12/5-1/5-(14/25 • 0):-12/58/25-(-4/25 • -1/5):-12/50-(0 • -1/5):-12/50-(0 • -1/5):-12/5-1/5-(-12/5 • -1/5):-12/50-(1 • -1/5):-12/5-3/25-(14/25 • -1/5):-12/5В базисном столбце все элементы положительные. Переходим к основному алгоритму симплекс-метода. 1. Проверка критерия оптимальности. Среди значений индексной строки нет положительных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи. Окончательныйвариантсимплекс-таблицы: БазисBx1x2x3x4x5x21/7010-1/70x34/35001-5/7-2/5x11/51000-1/5F(X1)12/35000-1/7-1/5Оптимальный план можно записать так: x2 = 1/7x1 = 1/5F(X) = 1•1/7 + 1•1/5 = 12/35Составим двойственную задачу к прямой задаче. 2y1 + 5y3≤1 5y1 + 7y2≤1 y1 + y2 + y3 → maxy1 ≥ 0 y2 ≥ 0 y3 ≥ 0 Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план двойственной задачи. Из теоремы двойственности следует, что Y = C*A-1. Составим матрицу A из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис. Определив обратную матрицу D = А-1 через алгебраические дополнения, получим: Как видно из последнего плана симплексной таблицы, обратная матрица A-1 расположена в столбцах дополнительных переменных. Тогда Y = C*A-1 = Оптимальный план двойственной задачи равен: y1 = 0 y2 = 1/7y3 = 1/5Z(Y) = 1*0+1*1/7+1*1/5 = 12/35Критерий оптимальности полученного решения. Если существуют такие допустимые решения X и Y прямой и двойственной задач, для которых выполняется равенство целевых функций F(x) = Z(y), то эти решения X и Yявляются оптимальными решениями прямой и двойственной задач соответственно. Цена игры будет равна g = 1/F(x), а вероятности применения стратегий игроков: pi = g*xi; qi = g*yi. Цена игры: g = 1 :12/35 = 211/12p1 = 211/12 • 1/5 = 7/12p2 = 211/12 • 1/7 = 5/12Оптимальная смешанная стратегия игрока I: P = (7/12; 5/12) q1 = 211/12 • 0 = 0 q2 = 211/12 • 1/7 = 5/12q3 = 211/12 • 1/5 = 7/12Оптимальная смешанная стратегия игрока II: Q = (0; 5/12; 7/12) Поскольку ранее к элементам матрицы было прибавлено число (5), то вычтем это число из цены игры. 211/12 - 5 = -21/12Цена игры: v=-21/124. Проверим правильность решения игры с помощью критерия оптимальности стратегии. ∑aijqj ≤ v∑aijpi ≥ vM(P1;Q) = (-3•0) + (-5•5/12) + (0•7/12) = -2.08 ≥ vM(P2;Q) = (0•0) + (2•5/12) + (-5•7/12) = -2.08 ≥ vM(P;Q1) = (-3•7/12) + (0•5/12) = -1.75 ≥ vM(P;Q2) = (-5•7/12) + (2•5/12) = -2.08 ≥ vM(P;Q3) = (0•7/12) + (-5•5/12) = -2.08 ≥ vПоскольку из исходной матрицы были удалены и столбцы, то найденные векторы вероятности можно записать в виде: P(7/12,5/12) Q(0,0,5/12,7/12) Задача 13Каждое из конкурирующих предприятий имеет по две стратегии рыночного поведения. Платежные матрицы приведены в таблице.22876691Решение: В каждом столбце матрицы A найдем максимальный элемент. Эти элементы подчеркнуты в матрице A. Их положение соответствует приемлемым ситуациям 1-го игрока, когда второй игрок выбрал стратегию j соответственно. Затем в каждой строке матрицы B выберем наибольший элемент. Эти элементы подчеркнуты в матрице B. Их положение будет определять приемлемые ситуации 2-го игрока, когда первый игрок выбрал стратегию i соответственно. Платежнаяматрицаигрока А: 2287Платежнаяматрицаигрока B: 6691Таким образом, найдены две равновесные ситуации (2;1), . Эти ситуации оказались приемлемыми для обоих игроков. В равновесной ситуации (2,1) игрок 1 выигрывает 8 единиц, а игрок 2 - 9 единицы. Если биматричная игра не имеет равновесных ситуаций в чистых стратегиях, то она неразрешима в чистых стратегиях. И тогда можно искать решение в смешанных стратегиях. Итак, чтобы в биматричной игре: А=(a), В = (b) пара (p,q); определяемая равновесную ситуацию, необходимо и достаточно одновременное выполнение следующих неравенств: (p–1)(Cq-α) ≥ 0, p(Cq-α) ≥ 0; 0 ≥ p ≥ 1 (q-1)(Dp-β) ≥ 0, q(Dp-β) ≥ 0; 0 ≥ q ≥ 1 гдеC = a11 - a12 - a21 + a22α = a22- a12D = b11-b12-b21+b22β = b22-b21Проводя необходимые вычисления: C = 2 - 2 - 8 + 7 = -1 α = 7 - 2 = 5 D = 6 - 6 - 9 + 1 = -8 β = 1 - 9 = -8 и рассуждения (p–1)(-1q-5) ≥ 0 p(-1q-5) ≥ 0 (q-1)(-8p+8) ≥ 0 q(-8p+8) ≥ 0 Поскольку 0 ≤ q ≤ 1, то принимаем q=0. получаем, что: 1) p=1,q ≥ 0 p=0, q ≤ 0 0 ≤ p ≤ 1, q=0 2) q=1,p ≥ 1 q=0, p ≤ 1 0 ≤ q ≤ 1, p=1 Цена игры Ha(1;0) = 2 Hb(1;0) = 6 Ответ: P* = (1;0); Q* = (0;1). Выигрыш игроков в равновесной ситуации: f(P*,Q*) = (2;6).Задача 14В пространстве трех товаров известен вектор цен , богатство потребителя и его функция полезности . Требуется описать бюджетное множество и изобразить его графически. Определить функцию спроса и рассчитать его значение при заданном богатстве и векторе цен. После этого нужно убедиться в справедливости уравнения Слуцкого для данного потребителя. Далее следует определить, какие товары являются ценными и малоценными, нормальными товарами и товарами Гиффина, какие товары взаимозаменяемы, а какие – взаимодополняющие. РешениеСистема неравенств принимает вид:С геометрической точки зрения – это пирамида.Предельные полезности равны:Условия для функции спроса:Задача 15Рассматривается фирма с мультипликативной производственной функцией. Исходные данные взяты из таблицы.РешениеПолучим:Найдем параметр А:Прибыль фирмы:Условия оптимальности:ЗаключениеПроцесс проектирования информационных систем, реализующих новую информационную технологию, непрерывно совершенствуется. В центре внимания инженеров-системотехников оказываются все более сложные системы, что затрудняет использование физических моделей и повышает значимость математических моделей и машинного моделирования систем. Машинное моделирование стало эффективным инструментом исследования и проектирования сложных систем. Актуальность математических моделей непрерывно возрастает из-за их гибкости, адекватности реальным процессам, невысокой стоимости реализации на базе современных ПЭВМ. Все большие возможности предоставляются пользователю, т. е. специалисту по моделированию систем средствами вычислительной техники. Особенно эффективно применение моделирования на ранних этапах проектирования автоматизированных систем, когда цена ошибочных решений наиболее значительна.Современные вычислительные средства позволили существенно увеличить сложность используемых моделей при изучении систем, появилась возможность построения комбинированных, аналитико-имитационных моделей, учитывающих все многообразие факторов, имеющих место в реальных системах, т. е. использованию моделей, более адекватных исследуемым явлениям.СписоклитературыВолошин Г.Я., Методы оптимизации в экономике: Учебное пособие. — М.: «Издательство «Дело и Сервис», 2004. — 320 с.Данилов Н.Н. Курс математической экономики. – М.: Высшая школа, 2006.Замков О.О., Толстопятенко А.В., Чермных Ю.Н. Математические методы в экономике: учеб.пособие. Изд-во «ДИС», Москва. – 1998 г.Колемаев В. А. Математическая экономика: Учебник для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 399 с.Коршунов Н.И., Плясунов В.С., Математика в экономике. - М.: Изд-во «Вита-Пресс», 2006. – 345 с.Кундышева Е.С. Математическое моделирование в экономике: Учебное пособие/ Под науч. ред. Проф. Б. А. Суслакова. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и Кο», 2004. – 352 с.Приложение. Решение задачи линейного программированияПредприятие производит для автомобилей ВАЗ запасные части типа А и В. Норма расхода ресурсов для производства каждого вида запасных частей, а также отведенные лимиты ресурсов приведены в таблице.Производственная мощность позволяет выпускать максимум 3500 деталей типа А. РесурсыНормы расхода ресурсов на производство деталиЛимитресурсовТрудозатраты, чел.-час.438000Листовой материал, кг267500Полимерные материалы, кг526000Доход от продажи 1 детали1113Табл. 1 Исходные данные Определить, сколько деталей каждого вида следует производить, чтобы обеспечить максимальный доход от продажи за неделю через Simplex-метод и «Поиск решений» используя средства MicrosoftExcel.Для решения данной задачи составим экономико-математическую модель, используя исходные данные, приведенные в табл. 1.Обозначим x1; x2- нормы расхода ресурсов на производство детали. Для их изготовления потребуется:4х1+3х2 – трудозатраты2х1+6х2 - листовой материал5 х1+2 х2 - полимерные материалТак как использование норм расхода ресурсов на производство детали не должно превышать лимит ресурсов то связь выразится следующей системой неравенств:(1)По смыслу задачи (2) (3) Необходимо найти сколько деталей каждого вида следует производить, чтобы обеспечить максимальный доход от продажи за неделю удовлетворяющий системе (1) и условию (2) при котором функция (3) принимает максимальное решение. В MSExcel составляем таблицу с исходными данными:В ячейки D2; D3; D4 вводим соответственно:=СУММПРОИЗВ(B2:C2;$B$6:$C$6)=СУММПРОИЗВ(B3:C3;$B$6:$C$6)=СУММПРОИЗВ(B4:C4;$B$6:$C$6)Затем заходим на вкладку Данные и выбираем «Поиск решений»; в появившемся окне последовательно выбираем изменяемые ячейки:И добавляем необходимые нам ограничения:В параметрах поиска решений выбираем «Линейная модель»:И в результатах поиска решений сохраняем найденное решение:В результате мы получаем таблицу с готовыми данными: