Uвых(t) = 0,022*cos(2*π*450*103t + 630,2) + 0,0075* cos(2*π*427,5*103t +637)
+ 0,0064* cos (2*π*472,5*103t + 622) + 0,012* cos (2*π*405*103*t + 644) +
+ 0,008* cos (2*π*495*103t + 619).
8.9 Расчёт спектральной плотности мощности случайного процесса на выходе усилителя и построение его графика.
Найдём спектральную плотность мощности случайного процесса на выходе усилителя Wвых(ω), используя формулу (1):
|T(jω|2 = 1/[1 + 0,282*10-12*(ωL – 1/ ωC)2]. (2)
Wвых(ω) = W0*(|T(jω|2) = W0*|- 1/[1+j* 0,28*10-6*(ωL – 1/ ωC)]|2 (3)
График спектральной плотности мощности случайного процесса на выходе усилителя Wвых(ω), полученный в результате расчёта в Math Cad,
приведен на рис. 3.5
Рис. 3.5
8.10 Вычисление дисперсии, функции корреляции, коэффициента корреляции и интервала корреляции случайного процесса на выходе усилителя.
Для упрощения дальнейших преобразований перейдём к нормированным значениям частоты Ω = ω/106 и нормированным значениям индуктивности и ёмкости Ln = L*106 =1,5825*10-3 * 106 = 1,5825*103 Гн ,
Cn = C*106= 1,25*10-12* 106 = 1,25*10-6 Ф .
Нормируем также спектральную плотность мощности гауссовского шума: WN0 =
Подставим нормированные значения в (3) и запишем выражение для нормированного значения спектральной плотности мощности случайного процесса на выходе усилителя
WNвых(Ω) = WN0*(|T(jΩ|2) =
=0,2828*|- 1/[1+j* 0,28*10-6*(Ω*1,5825*103 – 1/( Ω*1,25*10-6)]|2 (4)
Проделав простейшие арифметические операции, выражение (4) запишем в виде:
WNвых(Ω) =0,2828* Ω2/(0,05 + Ω2 + Ω4)
Функция корреляции выходного процесса является обратным преобразованием Фурье от функции спектральной плотности мощности и находится по формуле:
(5)
Здесь буква N означает нормированность величины. Интеграл был взят с использованием теоремы о вычетах:
, где
Подставим полученные значения в (5) и запишем формулу для нормированной функции корреляции выходного процесса:
Произведём денормирование и получим функцию корреляции выходного случайного процесса:
Дисперсию выходного процесса определяем как значение функции корреляции в нуле:
Находим коэффициент корреляции процесса на выходе резонансного усилителя:
График коэффициента корреляции rвых(τ) случайного процесса на выходе усилителя, полученный в результате расчёта в Math Cad,
приведен на рис. 3.6
Рис. 3.6
Находим и вычисляем интервал корреляции процесса на выходе резонансного усилителя:
Первый интеграл :
Второй интеграл:
τк = I1 – I2 = 0.
Интервал корреляции процесса на выходе резонансного усилителя равен нулю.
8.11 Построение графика одномерной плотности вероятности и функции распределения процесса на выходе резонансного усилителя.
По условию входной сигнал резонансного усилителя имеет гауссово распределение. В силу линейности усилителя его выходной сигнал также будет иметь гауссово распределение. Математическое ожидание входного шума равно нулю, поэтому математическое ожидание выходного процесса также будет нулевым. Поэтому одномерную плотность вероятности и функцию распределения процесса можно рассчитать по формулам:
одномерная плотность вероятности, где . График W(Uвых), полученный в результате расчёта в Math Cad, приведен на рис. 3.7
Рис. 3.7
F(Uвых) = Ф(Uвых/σвых), функция распределения где
Ф(х) = - интеграл вероятности
График F(Uвых), полученный в результате расчёта в Math Cad, приведен на рис. 3.8.
Рис. 3.8
8.12 Отношение сигнал/шум на выходе усилителя
SNRвых = <PАМвых>/σ2вых = 0,395* 10-3/(1,05 *10-7) = 3760 (35,75 дБ)
8.13 Вывод о качестве фильтрации помехи резонансным усилителем и о влиянии эквивалентной добротности усилителя на отношение сигнал/шум.
Частота резонанса усилителя не совпадает с частотой несущей АМ сигнала. Низкое выходное сопротивление каскада сильно шунтирует резонансный контур. Поэтому эквивалентная добротность мала, что привело к широкой полосе пропускания по уровню 3 дБ, а также к тому, что резонансный усилитель плохо фильтрует помеху. Усилитель практически не усиливает сигнал и мощность сигнала, и отношение сигнал/шум на выходе меньше, чем на входе.
16