Решение задач из сборника Чудесенко Теория вероятностей Задачи 1-20. Вариант 1

ВАРИАНТ 1
РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задача 1. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N; б) произведение числа очков не превосходи N; в) произведение числа очков делится на N.
N=3
Задача 2. Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий i -сорта равно ni, i = 1, 2, 3, 4. Для контроля наудачу берутся m изделий. Определить вероятность того, что среди них m1 первосортных, m2, m3 и m4 второго, третьего и четвертого сорта соответственно (∑mi=m).
n1=1; n2=2; n3=3; n4=4; m1=1; m2=2; m3=2; m4=3
Задача 3. Среди n лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли m билетов. Определить вероятность того, что среди них l выигрышных.
n=10; l=2; m=4; k=6
Задача 4. В лифт k -этажного дома сели n пассажиров (n < k). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что: а) все вышли на разных этажах; б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже.
k=6; n=4
Задача 5. В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превосходит величину 1/k.
k=4
Задача 6. Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке времени от T1 до T2. Одно из событий длится 10 мин., другое – t мин. Определить вероятность того, что: а) события «перекрываются» по времени; б) «не перекрываются».
T1 = 900; T2=1000; t=10
Задача 7. В круге радиуса R наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны S1 и S2.
R=11; S1=2,25; S2=3,52
Задача 8. В двух партиях k1 и k2 % доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них: а) хотя бы одно бракованное; б) два бракованных; в) одно доброкачественное и одно бракованное?
k1=71; k2=47
Задача 9. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком р1, вторым – р2. Первый сделал n1, второй - n2 выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.
p1=0,61; p2=0,55, n1=2, n2=3
Задача 10. Два игрока A и B поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадет герб. Первый бросок делает игрок A, второй – B, третий – A и т.д.
Найти вероятность того, что A выиграл до k броска.
k=4
Задача 11. Урна содержит M занумерованных шаров с номерами от 1 до M. Шары извлекаются по одному без возвращения. Рассматриваются следующие события:
A – номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1, 2, …, M;
B – хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения;
C – нет ни одного совпадения номера шара и порядкового номера извлечения.
Определить вероятности событии A, B, C. Найти предельные значения вероятностей при M .
M=12

Задача 12. Из 1000 ламп ni принадлежат i - й партии, i = 1, 2, 3, ∑ni = 1000. В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа – бракованная.
n1=100; n2=250
Задача 13. В первой урне N1 белых и M1 черных шаров, во второй N2 белых и M2 черных. Из первой во вторую переложено К шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый.
N1=4; M1=1; N2=2; M2=5; K=3
Задача 14. В альбоме k чистых и l гашеных марок. Из них наудачу извлекаются m марок (среди которых могут быть и чистые, и гашеные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекается n марок. Определить вероятность того, что все n марок чистые.
k=8; l=10; m=3; n=2
Задача 15. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет mi % изделий (i = 1, 2, 3). Среди изделий i-го завода ni % первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено j-м заводом.
m1=50; m2=30; m3=20; n1=70; n2=80; n3=90; j=1
Задача 16. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадает n раз. Определить вероятность того, что цифра выпадет m раз.
n=3; m=2
Задача 17. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна p. Куплено n билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.
p=0,3; n=10
Задача 18. На каждый лотерейный билет с вероятностью p1 может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью p2 - мелкий выигрыш и с вероятностью p3 билет может оказаться без выигрыша, ∑pi = 1. Куплено n билетов. Определить вероятность получения n1 крупных выигрышей и n2 мелких.
n=15; n1=1; n2=2; p1=0,1; p2=0,2
Задача 19. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна p. Поступило n вызовов. Определить вероятность m «сбоев».
m=7; n=1000; p=0,002
Задача 20. Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна p. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет неравенству k1 ≤ m ≤ k2.
n=100; p=0,8; k1=80; k2=90

ВАРИАНТ 1
РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задача 1. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N; б) произведение числа очков не превосходи N; в) произведение числа очков делится на N.
N=3
Задача 2. Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий i -сорта равно ni, i = 1, 2, 3, 4. Для контроля наудачу берутся m изделий. Определить вероятность того, что среди них m1 первосортных, m2, m3 и m4 второго, третьего и четвертого сорта соответственно (∑mi=m).
n1=1; n2=2; n3=3; n4=4; m1=1; m2=2; m3=2; m4=3
Задача 3. Среди n лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли m билетов. Определить вероятность того, что среди них l выигрышных.
n=10; l=2; m=4; k=6
Задача 4. В лифт k -этажного дома сели n пассажиров (n < k). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что: а) все вышли на разных этажах; б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже.
k=6; n=4
Задача 5. В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превосходит величину 1/k.
k=4
Задача 6. Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке времени от T1 до T2. Одно из событий длится 10 мин., другое – t мин. Определить вероятность того, что: а) события «перекрываются» по времени; б) «не перекрываются».
T1 = 900; T2=1000; t=10
Задача 7. В круге радиуса R наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны S1 и S2.
R=11; S1=2,25; S2=3,52
Задача 8. В двух партиях k1 и k2 % доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них: а) хотя бы одно бракованное; б) два бракованных; в) одно доброкачественное и одно бракованное?
k1=71; k2=47
Задача 9. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком р1, вторым – р2. Первый сделал n1, второй - n2 выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.
p1=0,61; p2=0,55, n1=2, n2=3
Задача 10. Два игрока A и B поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадет герб. Первый бросок делает игрок A, второй – B, третий – A и т.д.
Найти вероятность того, что A выиграл до k броска.
k=4
Задача 11. Урна содержит M занумерованных шаров с номерами от 1 до M. Шары извлекаются по одному без возвращения. Рассматриваются следующие события:
A – номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1, 2, …, M;
B – хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения;
C – нет ни одного совпадения номера шара и порядкового номера извлечения.
Определить вероятности событии A, B, C. Найти предельные значения вероятностей при M .
M=12

Задача 12. Из 1000 ламп ni принадлежат i - й партии, i = 1, 2, 3, ∑ni = 1000. В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа – бракованная.
n1=100; n2=250
Задача 13. В первой урне N1 белых и M1 черных шаров, во второй N2 белых и M2 черных. Из первой во вторую переложено К шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый.
N1=4; M1=1; N2=2; M2=5; K=3
Задача 14. В альбоме k чистых и l гашеных марок. Из них наудачу извлекаются m марок (среди которых могут быть и чистые, и гашеные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекается n марок. Определить вероятность того, что все n марок чистые.
k=8; l=10; m=3; n=2
Задача 15. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет mi % изделий (i = 1, 2, 3). Среди изделий i-го завода ni % первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено j-м заводом.
m1=50; m2=30; m3=20; n1=70; n2=80; n3=90; j=1
Задача 16. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадает n раз. Определить вероятность того, что цифра выпадет m раз.
n=3; m=2
Задача 17. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна p. Куплено n билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.
p=0,3; n=10
Задача 18. На каждый лотерейный билет с вероятностью p1 может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью p2 - мелкий выигрыш и с вероятностью p3 билет может оказаться без выигрыша, ∑pi = 1. Куплено n билетов. Определить вероятность получения n1 крупных выигрышей и n2 мелких.
n=15; n1=1; n2=2; p1=0,1; p2=0,2
Задача 19. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна p. Поступило n вызовов. Определить вероятность m «сбоев».
m=7; n=1000; p=0,002
Задача 20. Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна p. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет неравенству k1 ≤ m ≤ k2.
n=100; p=0,8; k1=80; k2=90

Решение задач из сборника Чудесенко
Теория вероятностей
Задачи 1-20. Вариант 1
ВАРИАНТ 1
РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задача 1. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N; б) произведение числа очков не превосходи N; в) произведение числа очков делится на N.
N=3
Задача 2. Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий i -сорта равно ni, i = 1, 2, 3, 4. Для контроля наудачу берутся m изделий. Определить вероятность того, что среди них m1 первосортных, m2, m3 и m4 второго, третьего и четвертого сорта соответственно (∑mi=m).
n1=1; n2=2; n3=3; n4=4; m1=1; m2=2; m3=2; m4=3
Задача 3. Среди n лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли m билетов. Определить вероятность того, что среди них l выигрышных.
n=10; l=2; m=4; k=6
Задача 4. В лифт k -этажного дома сели n пассажиров (n < k). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что: а) все вышли на разных этажах; б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже.
k=6; n=4
Задача 5. В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превосходит величину 1/k.
k=4
Задача 6. Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке времени от T1 до T2. Одно из событий длится 10 мин., другое – t мин. Определить вероятность того, что: а) события «перекрываются» по времени; б) «не перекрываются».
T1 = 900; T2=1000; t=10
Задача 7. В круге радиуса R наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны S1 и S2.
R=11; S1=2,25; S2=3,52
Задача 8. В двух партиях k1 и k2 % доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них: а) хотя бы одно бракованное; б) два бракованных; в) одно доброкачественное и одно бракованное?
k1=71; k2=47
Задача 9. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком р1, вторым – р2. Первый сделал n1, второй - n2 выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.
p1=0,61; p2=0,55, n1=2, n2=3
Задача 10. Два игрока A и B поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадет герб. Первый бросок делает игрок A, второй – B, третий – A и т.д.
Найти вероятность того, что A выиграл до k броска.
k=4
Задача 11. Урна содержит M занумерованных шаров с номерами от 1 до M. Шары извлекаются по одному без возвращения. Рассматриваются следующие события:
A – номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1, 2, …, M;
B – хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения;
C – нет ни одного совпадения номера шара и порядкового номера извлечения.
Определить вероятности событии A, B, C. Найти предельные значения вероятностей при M .
M=12

Задача 12. Из 1000 ламп ni принадлежат i - й партии, i = 1, 2, 3, ∑ni = 1000. В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа – бракованная.
n1=100; n2=250
Задача 13. В первой урне N1 белых и M1 черных шаров, во второй N2 белых и M2 черных. Из первой во вторую переложено К шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый.
N1=4; M1=1; N2=2; M2=5; K=3
Задача 14. В альбоме k чистых и l гашеных марок. Из них наудачу извлекаются m марок (среди которых могут быть и чистые, и гашеные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекается n марок. Определить вероятность того, что все n марок чистые.
k=8; l=10; m=3; n=2
Задача 15. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет mi % изделий (i = 1, 2, 3). Среди изделий i-го завода ni % первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено j-м заводом.
m1=50; m2=30; m3=20; n1=70; n2=80; n3=90; j=1
Задача 16. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадает n раз. Определить вероятность того, что цифра выпадет m раз.
n=3; m=2
Задача 17. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна p. Куплено n билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.
p=0,3; n=10
Задача 18. На каждый лотерейный билет с вероятностью p1 может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью p2 - мелкий выигрыш и с вероятностью p3 билет может оказаться без выигрыша, ∑pi = 1. Куплено n билетов. Определить вероятность получения n1 крупных выигрышей и n2 мелких.
n=15; n1=1; n2=2; p1=0,1; p2=0,2
Задача 19. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна p. Поступило n вызовов. Определить вероятность m «сбоев».
m=7; n=1000; p=0,002
Задача 20. Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна p. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет неравенству k1 ≤ m ≤ k2.
n=100; p=0,8; k1=80; k2=90