Построение линейных моделей экономических задач

Задача 1. Предприятие производит пиломатериалы и фанеру, используя для этого еловые и пихтовые лесоматериалы. Для приготовления 1 м3 пиломатериалов необходимо израсходовать 1 м3 еловых и 2.5 м3 пихтовых лесоматериалов. Для изготовления 100 м2 фанеры требуется 5 м3 еловых и 10 м3 пихтовых лесоматериалов. Запасы предприятия составляют 80 м3 еловых и 180 м3 пихтовых лесоматериалов.
Составить математическую модель нахождения оптимального плана производства предприятия, если по условиям поставок необходимо произвести не менее 10 м3 пиломатериалов и не менее 1200 м2 фанеры. Доход с 1 м3 пиломатериалов составляет 16 ед., а со 100 м2 фанеры 60 ед.
Решение:
х1 – количество пиломатериалов, 1 м3, х2 – количество фанеры, 100 м2
количество еловых лесоматериалов: х1+5х2, м3
количество пихтовых лесоматериалов: 2,5х1+10х2, м3
х1+5х2≤80
2,5х1+10х2≤180
х1≥10
х2≥12
х1, х2 ≥0
Целевая функция:
F=16х1+60х2→мах
Введем дополнительные переменные
х1-х3=10
х2-х4=12
Отсюда: х1=10+х3 х2=12+х4
Подставим эти значения
10+х3+60+5х4
25+2,5х3+120+10х4≤180
х3+5х4≤10
2,5х3+10х4≤35
Введем дополнительные переменные следующим образом:
х3+5х4+х5=10
2,5х3+10х4+х6=35
F=16х3+60х4+0х5+0х6+160+720→мах
х5 – остаток еловых лесоматериалов
х6 – остаток пихтовых лесоматериалов
Базисные переменные: х5, х6.
Свободные переменные: х3, х4.
Симплекс-таблица имеет следующий вид:
.....................................................

Задачи решены на пятерку

Задача 1. Предприятие производит пиломатериалы и фанеру, используя для этого еловые и пихтовые лесоматериалы. Для приготовления 1 м3 пиломатериалов необходимо израсходовать 1 м3 еловых и 2.5 м3 пихтовых лесоматериалов. Для изготовления 100 м2 фанеры требуется 5 м3 еловых и 10 м3 пихтовых лесоматериалов. Запасы предприятия составляют 80 м3 еловых и 180 м3 пихтовых лесоматериалов.
Составить математическую модель нахождения оптимального плана производства предприятия, если по условиям поставок необходимо произвести не менее 10 м3 пиломатериалов и не менее 1200 м2 фанеры. Доход с 1 м3 пиломатериалов составляет 16 ед., а со 100 м2 фанеры 60 ед.

Задача 2. Фирма выпускает радиоприемники различных моделей: А, В, С. Каждое изделие указанных моделей приносит доход в размере 8, 15, 25 ед., соответственно.
Необходимо, чтобы фирма выпускала за неделю не менее 100 приемников модели А, 150 модели В и 75 модели С. Каждая модель характеризуется определенным временем, необходимым для изготовления соответствующих деталей, сборки изделия и его упаковки. Так, в частности, в расчете на 10 приемников модели А требуется 3 ч для изготовления деталей, 4 ч на сборку и 1 ч на упаковку. Соответствующие показатели в расчете на 10 приемников модели В равны 3.5, 5 и 1.5 часов, а на 10 приемников модели С – 5, 8 и 3 часа. В течение недели фирма может израсходовать на производство деталей 150 часов, на сборку 200 часов и на упаковку 60 часов. Составить модель нахождения оптимального производственного плана.

Задача 3. Нефтеперерабатывающее предприятие использует два технологических процесса приготовления смесей. Технологический процесс 1 характеризуется следующими показателями: из 1 ед. объема сырой нефти А и 3 ед. объема сырой нефти В получают 5 ед. объема бензина Х и 2 ед.а бензина Y. Технологический процесс 2: из 4 ед. объема сырой нефти А и 2 ед. объема сырой нефти В получают 3 ед. объема бензина X и
8 ед. объема бензина Y. Запасы сырой нефти составляют 100 ед. объема нефти А и 150 ед. объема нефти В. По условиям поставки требуется произвести не менее 200 ед. объема бензина Х и не менее 75 ед. объема бензина Y. Доходы с 1 ед.объема продукции, полученной с помощью технологического процесса 1 составляют 15 ед., а с 1 ед. объема продукции, полученной с помощью процесса 2 – 20 ед. Составить план использования технологических процессов.

Задача 4. Составить оптимальный суточный рацион для откорма свиней, живой вес которых составляет 30-40 кг. Рацион одной свиньи должен содержать не менее 2,3 кг кормовых единиц, 270 г. перевариваемого протеина и 8 мг каротина. Рацион составляют из трех видов кормов: концентрированного ячменя, концентрированных бобов и сенной муки. В одном кг ячменя содержится 1.2 кг кормовых единиц, 80 г перевариваемого протеина и 1 мг каротина, в одном кг бобов содержится 1.25 кг кормовых единиц, 280 г перевариваемого протеина и 1 мг каротина, в одном кг сенной муки 0.75 кг кормовых единиц, 100 г перевариваемого протеина и 100 мг каротина. Цена одного кг ячменя 6 ед., бобов – 8 ед., сенной муки – 4.5 ед. Составить рацион минимальной стоимости

Задача 5. Имеются запасы кормов: 2000 кг ячменя, 2500 кг бобов и 200 кг сенной муки. Эти корма используются для откорма свиней. Суточный рацион должен содержать: не менее 2,3 кг кормовых единиц, 270 г. перевариваемого протеина и 8 мг каротина. При этом в одном кг ячменя содержится 1.2 кг кормовых единиц, 80 г перевариваемого протеина и 1 мг каротина, в одном кг бобов содержится 1.25 кг кормовых единиц, 280 г перевариваемого протеина и 1 мг каротина, в одном кг сенной муки 0.75 кг кормовых единиц, 100 г перевариваемого протеина и 100 мг каротина. Поголовье свиней составляет 50 голов. На сколько дней хватит заготовленных кормов ?

Задача 6. Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силой и оборудованием для производства любого из четырех видов производимых товаров. Затраты ресурсов на изготовление единицы каждого вида товара, прибыль, получаемая предприятием, а также объем ресурсов указан в таблице. Определить оптимальный план производства товаров при условии, что товаров 1 вида требуется не более 10 единиц, 2 вида не менее 8 единиц, а 3 и 4 видов не менее 10 единиц
Ресурсы Затраты ресурсов на единицу товара Объем ресурсов
1 2 3 4
Сырьё (кг) 3 5 1 4 600
Рабочая сила (чел.) 21 10 12 30 4000
Оборудование (станко-ч) 10 14 6 16 16000
Прибыль на ед. товара (руб.) 30 25 50 50

Задача 7 . На предприятии изготавливаются три изделия И1, И2, И3. Каждое изделие может изготавливаться как на оборудовании Г1, так и на оборудовании Г2.
Ci –отпускная цена изделия i ( i =1,2,3 )
aji – затраты времени (нормочасы) на изготовление одной штуки изделия i на оборудовании j ( j=1,2 i =1,2,3 );
sji – затраты (себестоимость изготовления, руб.) на изготовления одной штуки изделия i на оборудовании j ( j=1,2 i =1,2,3 );
di – план производства (штук) по изделию i ( i =1,2,3 );
bj – ресурс времени работы (нормочасов) оборудования j в рассматриваемом плановом периоде ( j =1,2 ).
Составить план производства изделий, обеспечивающий максимальную прибыль предприятия при условии:
А) строгого выполнения плана (то есть изделия И1 требуется изготовить ровно d1 штук, И2 ровно d2 штук и И3 ровно d3 штук;
Б) допускается перевыполнение плана;
В) допускается недовыполнение плана;
Г) ограничения на план выпуска изделий отсутствуют (то есть можно изготавливать любые изделия в любом количестве и на любом оборудовании, ограничения только по времени использования оборудования).
Задачу решить по вариантам (номер варианта соответствует Вашему порядковому номеру в списке группы).

Вариант 10
Вариант 10
Группа оборуд. И1 И2 И3 Ресурс (н/ч)
Г1 a11=0,2 s11=30 a12=0,5 s12=70 a13=0,5 s13=100 b1=350
Г2 a21=0,3 s21=40 a22=0,4 s22=90 a23=1,0 s23=90 b2=320
План выпуска d1=510 d2=310 d3=500
Отпускн. цена C1=60 C2=100 C3=150
Задача 8. Сколько рулонов линолеума размерами 4 на 14 метров потребуется для укладки полов в доме, где 10 однокомнатных, 15 двухкомнатных и 8 трехкомнатных квартир. В каждой квартире кухня размером 3*4 м. В однокомнатной квартире комната размером 4*5 м, в двухкомнатной: комната 4*5 и 3*4 м, в трехкомнатной 4*5, 3*4, 3*4. ?

Задача 9. На товарном складе находится 12 единиц груза по 200 кг, 15 единиц – по 150 кг и 8 единиц по 250 кг. Груз нужно отправить контейнерами по 500 кг. Сколько таких контейнеров потребуется ?

Задача 10. Из партии досок длиной 6 метров в количестве 1000 штук необходимо изготовить максимальное число комплектов, состоящих из 1 доски по 2.3 м и двух досок по 1.4 м. Сколько комплектов можно изготовить из имеющихся досок?

Задача 11. На складе деревообрабатывающего завода имеются доски двух видов: по 6 м и по 4 м. Из этих досок нужно сделать 200 штук досок по 2,5 м и 300 штук досок по 1,6 м. Каким образом и из каких исходных досок целесообразно выполнить заказ таким образом, чтобы общее количество израсходованных погонных метров было минимальным (обрезки не используются и считаются отходами производства)?

Задача 12. Фирма производит пользующиеся спросом платья и костюмы, реализация которых зависит от состояния погоды. Затраты фирмы на одно платье – 7 ден.ед., а на один костюм – 28 ден.ед. Цены их реализации составляют соответственно 15 и 50 ден.ед.
По данным наблюдений за предыдущие годы известно, что в условиях теплой погоды фирма может реализовать 2000 платьев и 800 костюмов, а в условиях прохладной погоды – 900 платьев и 1500 костюмов. Прогноз на текущий сезон: с вероятностью 0.6 он будет теплым и с вероятностью 0.4 – прохладным. Какой производственный план (по выпуску платьев и костюмов) целесообразно принять на текущий сезон?