Методы оптимальных решений

Задание 1. Найти и изобразить в декартовой системе координат области выпуклости и вогнутости функции f(x,y)=(x-1)^3-6xy+y^3. Выпуклы ли построенные области?
Задание 2. Задачу нелинейного программирования привести к стандартному виду. Изобразить допустимое множество и линии уровня целевой функции; решить задачу графически. Проверить, выполняются ли условия теоремы Вейерштрасса о существовании решения. На рисунке проверить выполнение условий Куна-Таккера в угловых точках допустимого множества (т.е. в точках, в которых число активных ограничений не меньше числа переменных) и в точках касания линии уровня целевой функции с границами допустимой области. Найти точки, в которых условия Куна-Таккера выполняются, и определить, какие из ограничений являются активными в таких точках. Выписать условия Куна-Таккера в найденных точках и рассчитать значения двойственных переменных. Сделать обоснованный вывод о наличии или отсутствии локального (глобального) максимума во всех рассмотренных точках.
Задание 3. Фабрика по производству мороженого может выпускать пять сортов мороженого. При производстве мороженого используется два вида сырья: молоко и наполнители, запасы которых известны. Известны также удельные затраты сырья, а также цены продукции. Требуется построить план производства, который обеспечивает максимум дохода.
Задание 4. Рассмотреть задачу целевого программирования, в которой множество допустимых решений задается неравенствами x_1+2x_2≤4,4x_1+x_2≤4 и x_1,2≥0, критерии заданы соотношениями z_1=2x_1+x_2,z_2=2x_2, а целевая точка совпадает с идеальной точкой z^*, отклонение от которой задается функцией ρ(z,z^* )=max{(z_1^*-z_1 ),(z_2^*-z_2 ) }. Найти и изобразить множество достижимых критериальных векторов Z, его паретову границу P(Z) и идеальную точку z^*. Изобразить линии уровня функции ρ(z,z^* ). Графически решить задачу нахождения достижимой точки (z_1^',z_2^' ), дающей минимум отклонения от идеальной точки; аналитически записать задачу минимизации отклонения от идеальной точки в виде задачи линейного программирования. Задание 5. Рассмотреть задачу двухкритериальной оптимизации z1=F1 (x)=2x1+5x2+4x_3→max, z2=F2 (x)=-5x1+x2-4x_3→max, на множестве допустимых решений X∈E^3 2x1^2+x2^2+(x3+1)^2≤1, x1≥0,x2≥0,x3≥0. Найти Парето-эффективное решение, максимизирующее линейную свертку критериев ϕ(z_1,z_2 )=0,6z_1+0,4z_2. Проверить, выполняется ли для возникающей задачи нелинейного программирования условия теоремы Вейерштрасса и является ли эта задача задачей выпуклого программирования. Проверить возможность использования условий Куна-Таккера в данной задаче. Выписать и проверить выполнение условий Куна-Таккера в градиентной форме для различных наборов активных ограничений. Найти решение рассматриваемой задачи нелинейного программирования. Выписать функцию Лагранжа и условия Куна-Таккера через функцию Лагранжа; проверить выполнение условий Куна-Таккера в найденном решении.

ИТОГОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
1. Найти и изобразить в декартовой системе координат области выпуклости и вогнутости
функции   3 3 f x, y  (x 1) 6xy  y . Выпуклы ли построенные области?
2. Задачу нелинейного программирования
     max 2
2
2
1 x 4 x при




  
 
, 0
2
3 6
1 2
1 2
1 2
x x
x x
x x
привести к стандартному виду. Изобразить допустимое множество и линии уровня
целевой функции; решить задачу графически. Проверить, выполняются ли условия
теоремы Вейерштрасса о существовании решения. На рисунке проверить выполнение
условий Куна-Таккера в угловых точках допустимого множества (т.е. в точках, в которых
число активных ограничений не меньше числа переменных) и в точках касания линии
уровня целевой функции с границами допустимой области. Найти точки, в которых
условия Куна-Таккера выполняются, и определить, какие из ограничений являются
активными в таких точках. Выписать условия Куна-Таккера в найденных точках и
рассчитать значения двойственных переменных. Сделать обоснованный вывод о наличии
или отсутствии локального (глобального) максимума во всех рассмотренных точках.
3. Фабрика по производству мороженого может выпускать пять сортов мороженого. При
производстве мороженого используется два вида сырья: молоко и наполнители, запасы
которых известны. Известны также удельные затраты сырья, а также цены продукции.
Требуется построить план производства, который обеспечивает максимум дохода.
4. Рассмотреть задачу целевого программирования, в которой множество допустимых
решений задается неравенствами 2 4, 4 4 1 2 1 2 x  x  x  x  и 0 1,2 x  , критерии заданы
соотношениями 1 1 2 2 2 z  2x  x , z  2x , а целевая точка совпадает с идеальной точкой z*,
отклонение от которой задается функцией ( , *) max ( * ), ( * ) 1 1 2 2  z z  z z z z . Найти и
изобразить множество достижимых критериальных векторов Z, его паретову границу P(Z)
и идеальную точку z*. Изобразить линии уровня функции  (z, z*) . Графически решить
задачу нахождения достижимой точки (z’1, z’2), дающей минимум отклонения от
идеальной точки; аналитически записать задачу минимизации отклонения от идеальной
точки в виде задачи линейного программирования.
5. Рассмотреть задачу двухкритериальной максимизации
1 1 1 2 3 z  F (x)  2x  5x  4x → max, 2 2 1 2 3 z  F (x)  5x  x  4x → max
на множестве допустимых решений 3 X  E
2 ( 1) 1 2
3
2
2
2
1 x  x  x   , x1≥0, x2≥ 0, x3≥ 0.
Найти Парето-эффективное решение, максимизирующее линейную свертку критериев
( , ) 0,6 0,4 . 1 2 1 2  z z  z  z
Проверить, выполняется ли для возникающей задачи нелинейного программирования
условия теоремы Вейерштрасса и является ли эта задача задачей выпуклого
программирования. Проверить возможность использования условий Куна-Таккера в
данной задаче. Выписать и проверить выполнение условий Куна-Таккера в градиентной
форме для различных наборов активных ограничений. Найти решение рассматриваемой
задачи нелинейного программирования. Выписать функцию Лагранжа и условия Куна-
Таккера через функцию Лагранжа; проверить выполнение условий Куна-Таккера в
найденном решении.

Методы оптимальных решений.
Работа оценена на Отлично.
Подробное решение с графиками.
10 страниц 12 шрифтом.

ИТОГОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
1. Найти и изобразить в декартовой системе координат области выпуклости и вогнутости
функции   3 3 f x, y  (x 1) 6xy  y . Выпуклы ли построенные области?
2. Задачу нелинейного программирования
     max 2
2
2
1 x 4 x при




  
 
, 0
2
3 6
1 2
1 2
1 2
x x
x x
x x
привести к стандартному виду. Изобразить допустимое множество и линии уровня
целевой функции; решить задачу графически. Проверить, выполняются ли условия
теоремы Вейерштрасса о существовании решения. На рисунке проверить выполнение
условий Куна-Таккера в угловых точках допустимого множества (т.е. в точках, в которых
число активных ограничений не меньше числа переменных) и в точках касания линии
уровня целевой функции с границами допустимой области. Найти точки, в которых
условия Куна-Таккера выполняются, и определить, какие из ограничений являются
активными в таких точках. Выписать условия Куна-Таккера в найденных точках и
рассчитать значения двойственных переменных. Сделать обоснованный вывод о наличии
или отсутствии локального (глобального) максимума во всех рассмотренных точках.
3. Фабрика по производству мороженого может выпускать пять сортов мороженого. При
производстве мороженого используется два вида сырья: молоко и наполнители, запасы
которых известны. Известны также удельные затраты сырья, а также цены продукции.
Требуется построить план производства, который обеспечивает максимум дохода.
4. Рассмотреть задачу целевого программирования, в которой множество допустимых
решений задается неравенствами 2 4, 4 4 1 2 1 2 x  x  x  x  и 0 1,2 x  , критерии заданы
соотношениями 1 1 2 2 2 z  2x  x , z  2x , а целевая точка совпадает с идеальной точкой z*,
отклонение от которой задается функцией ( , *) max ( * ), ( * ) 1 1 2 2  z z  z z z z . Найти и
изобразить множество достижимых критериальных векторов Z, его паретову границу P(Z)
и идеальную точку z*. Изобразить линии уровня функции  (z, z*) . Графически решить
задачу нахождения достижимой точки (z’1, z’2), дающей минимум отклонения от
идеальной точки; аналитически записать задачу минимизации отклонения от идеальной
точки в виде задачи линейного программирования.
5. Рассмотреть задачу двухкритериальной максимизации
1 1 1 2 3 z  F (x)  2x  5x  4x → max, 2 2 1 2 3 z  F (x)  5x  x  4x → max
на множестве допустимых решений 3 X  E
2 ( 1) 1 2
3
2
2
2
1 x  x  x   , x1≥0, x2≥ 0, x3≥ 0.
Найти Парето-эффективное решение, максимизирующее линейную свертку критериев
( , ) 0,6 0,4 . 1 2 1 2  z z  z  z
Проверить, выполняется ли для возникающей задачи нелинейного программирования
условия теоремы Вейерштрасса и является ли эта задача задачей выпуклого
программирования. Проверить возможность использования условий Куна-Таккера в
данной задаче. Выписать и проверить выполнение условий Куна-Таккера в градиентной
форме для различных наборов активных ограничений. Найти решение рассматриваемой
задачи нелинейного программирования. Выписать функцию Лагранжа и условия Куна-
Таккера через функцию Лагранжа; проверить выполнение условий Куна-Таккера в
найденном решении.