Теория игр Вариант 4

Задание 1 3
Задание 2 9
Задание 3 14
Задание 4 26
Задание 5 30

Задание 1
а) Решить игру с природой по критерию Гурвица, α=0,4;
б) Решить игру с природой по критерию Лапласа;
в) Решить игру с природой по критерию Сэвиджа;
г) Решить игру с природой по критерию Вальда.
Исходные данные:
9 -3 4
2 5 9
1 8 6
1 3 2

Задание 2
Решить игру методом Брауна, выполнить 20 итераций.
Задание 3
Решить игру симплекс-методом.
Задание 4
Решить игру графически.
Задание 5
Найти верхнюю и нижнюю цену игры, проверить игру на наличие седловой точки.

Задание 1
а) Решить игру с природой по критерию Гурвица, α=0,4;
б) Решить игру с природой по критерию Лапласа;
в) Решить игру с природой по критерию Сэвиджа;
г) Решить игру с природой по критерию Вальда.
Исходные данные:
9 -3 4
2 5 9
1 8 6
1 3 2

Решение:
Б) Критерий Лапласа.
Если вероятности состояний природы правдоподобны, для их оценки используют принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которого все состояния природы полагаются равновероятными, т.е.:
q1 = q2 = ... = qn = 1/n.
qi = 1/3
Ai П1 П2 П3 ∑(aij)
A1 3 -1 1.33 3.33
A2 0.67 1.67 3 5.33
A3 0.33 2.67 2 5
A4 0.33 1 0.67 2
pj 0.33 0.33 0.33

Выбираем из (3.33; 5.33; 5; 2) максимальный элемент max=5.33
Вывод: выбираем стратегию N=2.

Г) Критерий Вальда.
По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.
a = max(min aij)
Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Ai П1 П2 П3 min(aij)
A1 9 -3 4 -3
A2 2 5 9 2
A3 1 8 6 1
A4 1 3 2 1

Выбираем из (-3; 2; 1; 1) максимальный элемент max=2
Вывод: выбираем стратегию N=2.
В) Критерий Севиджа.
Критерий минимального риска Севиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается:
a = min(max rij)
Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Находим матрицу рисков.
Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце bj = max(aij) характеризует благоприятность состояния природы.
1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.
r11 = 9 - 9 = 0; r21 = 9 - 2 = 7; r31 = 9 - 1 = 8; r41 = 9 - 1 = 8;
2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.
r12 = 8 - (-3) = 11; r22 = 8 - 5 = 3; r32 = 8 - 8 = 0; r42 = 8 - 3 = 5;
3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков.
r13 = 9 - 4 = 5; r23 = 9 - 9 = 0; r33 = 9 - 6 = 3; r43 = 9 - 2 = 7;
Ai П1 П2 П3
A1 0 11 5
A2 7 3 0
A3 8 0 3
A4 8 5 7

Результаты вычислений оформим в виде таблицы.
Ai П1 П2 П3 max(aij)
A1 0 11 5 11
A2 7 3 0 7
A3 8 0 3 8
A4 8 5 7 8

Выбираем из (11; 7; 8; 8) минимальный элемент min=7
Вывод: выбираем стратегию N=2.
А) Критерий Гурвица.
Критерий Гурвица является критерием пессимизма - оптимизма. За оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение:max(si)
где si = y min(aij) + (1-y)max(aij)
При y = 1 получим критерий Вальде, при y = 0 получим – оптимистический критерий (максимакс).
Критерий Гурвица учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Как выбирается y? Чем хуже последствия ошибочных решений, тем больше желание застраховаться от ошибок, тем y ближе к 1.
Рассчитываем si.
s1 = 0.5•(-3)+(1-0.5)•9 = 3
s2 = 0.5•2+(1-0.5)•9 = 5.5
s3 = 0.5•1+(1-0.5)•8 = 4.5
s4 = 0.5•1+(1-0.5)•3 = 2
Ai П1 П2 П3 min(aij) max(aij) y min(aij) + (1-y)max(aij)
A1 9 -3 4 -3 9 3
A2 2 5 9 2 9 5.5
A3 1 8 6 1 8 4.5
A4 1 3 2 1 3 2

Выбираем из (3; 5.5; 4.5; 2) максимальный элемент max=5.5
Вывод: выбираем стратегию N=2.
Обобщенный критерий Гурвица.
Данный критерий является некоторым обобщением критериев крайнего пессимизма и крайнего оптимизма и также представляет собой частный случай обобщенного критерия Гурвица относительно выигрышей при следующем допущении:
λ1=1-λ, λ2=λ3=…=λn-1=0, λn=λ, где 0 ≤ λ ≤ 1
Тогда показатель эффективности стратегии Ai по Гурвицу есть:
Gi=(1-λ)min aij + λmax aij
Оптимальной стратегией Ai0 считается стратегия с максимальным значением показателя эффективности.
Строим вспомогательную матрицу B, полученную путем упорядочивания показателей доходностей в каждой строке.
Подход пессимиста. λ выбирается из условия невозрастания среднего:

G1 = 0.0333 • (-3)+(1-0.0333) • 9 = 8.6;
G2 = 0.0333 • 2+(1-0.0333) • 9 = 8.767;
G3 = 0.0333 • 1+(1-0.0333) • 8 = 7.767;
G4 = 0.0333 • 1+(1-0.0333) • 3 = 2.933;
Подход оптимиста. λ выбирается из условия неубывания среднего:

G1 = 0.967 • (-3)+(1-0.967) • 9 = -2.6;
G2 = 0.967 • 2+(1-0.967) • 9 = 2.233;
G3 = 0.967 • 1+(1-0.967) • 8 = 1.233;
G4 = 0.967 • 1+(1-0.967) • 3 = 1.067;
Ai П1 П2 П3 min(aij) max(aij) Подход пессимиста Подход оптимиста
A1 -3 4 9 -3 9 8.6 -2.6
A2 2 5 9 2 9 8.77 2.23
A3 1 6 8 1 8 7.77 1.23
A4 1 2 3 1 3 2.93 1.07

Выбираем из (8.6; 8.767; 7.767; 2.933) максимальный элемент max=8.77
Вывод: выбираем стратегию N=2.
Оптимальные стратегии по обобщенному критерию Гурвица.
b = 1 + 17 + 29 = 47
Показатели эффективности по Гурвицу.
Подход пессимиста




Подход оптимиста




Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A2.